Гироскопическая стабилизация: случайная матрица гироскопических сил, оценки степени устойчивости тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

□03067040

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

Г Б ("'■'■ '"г

На правах рукописи

Карапетян Артем Александрович

ГИРОСКОПИЧЕСКАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ: СЛУЧАЙНАЯ МАТРИЦА ГИРОСКОПИЧЕСКИХ СИЛ, ОЦЕНКИ СТЕПЕНИ УСТОЙЧИВОСТИ

01.01.05 - теория вероятностей и математическая статистика 01.01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

003067040

Работа выполнена на кафедре математической статистики и теории случайных процессов Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

академик РАН В.В. Козлов Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор А.И. Нейштадт доктор физико-математических наук, профессор A.A. Шкаликов Ведущая организация: Математический институт

имени В.А. Стеклова РАН

Защита состоится 9 февраля 2007 года в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета (Главное здание МГУ, 14 этаж).

Автореферат разослан 9 января 2007 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, професссор

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

При рассмотрении задачи устойчивости движения механической системы, линеаризованной в окрестности положения равновесия и находящейся под действием гироскопических и потенциальных сил, исследование сводится к анализу дифференциального уравнения вида:

Qx 4- Gx + Rx = 0, (1)

гдех £ R", матрицы Q и R - симметрические матрицы размера nxn (Q1 — Q, Rl = R), матрица Q положительно определена, т. е. скалярное произведение (Qx, х) неотрицательно для любого х € R" и обращается в нуль лишь при 2 = 0; матрица G - кососимметрическая матрица (Gl = —G). Точка означает дифференцирование по времени /; так что х - скорость системы, а х - ее ускорение.

В механике симметрическая матрица Q определяет инерционные свойства системы; более точно, квадратичная форма по скоростям (1/2)(Qx,x) - кинетическая энергия системы. Симметрическая матрица R задает потенциальную энергию (l/2)(Rx,x). Кососимметрическая матрица G в механике обычно называется матрицей гироскопических сил.

Гироскопические силы появляются при переходе во вращающуюся систему отсчета, при понижении порядка системы методом Рауса, а также при описании движения заряженных частиц в магнитных полях1.

1 Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-во АН СССР. 19G2. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиториал УРСС. 2002.

Систему (1) можно привести к более простому виду:

х + Га: + Рх = 0, (2)

где Г = —Г', Р = Р1. Слагаемое —Тх называется гироскопической, а слагаемое —Рх - потенциальной силой, действующей на рассматриваемую систему с п степенями свободы. Заметим, что вид системы (2) можно сделать еще более простым, добившись того, чтобы матрица потенциальных сил стала диагональной.

Важнейшее свойство гироскопических сил состоит в том, что их наличие не влияет на сохранность полной энергии (т. е. на существование интеграла энергии). Интеграл энергии системы (2) имеет вид:

(1/2)(х,х) + (l/2)(Px,x) = const. (3)

Укачанный интеграл соответствует также системе вида

х + Рх = 0; (4)

таким образом вклад гироскопических сил в интеграл энергии равен нулю.

Пример (сила Лоренца). Движение частицы массы тп заряда е в электромагнитном поле описывается уравнением

тх = е(Е + [¿,Н]),

здесь Е - напряженность электрического поля, Н - напряженность магнитного поля. Сила, действующая на частицу, называется слой Лоренца. Считаем магнитное поле Н постоянным. Тогда, согласно уравнениям Максвелла получаем, что rotE = 0, и поэтому напряженность электрического поля можно представить в виде Е = — grady. Ясно, что

положение равновесия заряда совпадает с критической (стационарной) точкой потенциала <р. Пусть, например, х = 0 - одно из равновесий. Положим <р = (1/2)(Рх,х) + о(|ж|2), Р = diag(cii,d2,d3). Записывая линеаризованное уравнение, получим систему вида:

тх\ ~ -dixx + ¿2#з - ¿3^2

ГПХ2 = —¿2X2 — Х1Н3 + ±з#1 тх3 = -<¿32:3 + ±iH2 - x2Hi

или, что тоже самое:

тпх + Гж + Рх -- О, ' О -Яз #2 х Г= Яз 0 -Нг к -Я2 Hi о

Рассмотрим систему (4), которая соответствует системе (2) в отсутствие гироскопических сил.

Напомним, что решение ж^) = 0 линейной системы, называемое положением равновесия, устойчиво в том и только том случае, если все его решения х{{) ограничены. Если же найдется хотя бы одно неограниченное решение, то положение равновесия будет неустойчивым.

Критерий устойчивости Лагранжа утверждает, что положение равновесия системы (4) устойчиво тогда и только тогда, когда квадратичная форма (1/2)(Рх, х) положительно определена. Достаточное условие следует из вида интеграла энергии (3). Поэтому для системы (2) справедливо следующее

утверждение (достаточное условие устойчивости): если квадратичная форма (1/2)(Рх,х) положительно определена, то решение х(<) = 0 системы (2) также устойчиво.

Это утверждение можно понимать следующим образом. Если положение равновесия "исходной" системы (4) устойчиво, то при добавлении гироскопических сил - при рассмотрении "расширенной" системы (2) -положение равновесия останется устойчивым. Предположим теперь, что положение равновесия системы (4) неустойчиво. Если при добавлении гироскопических сил положение равновесия станет устойчивым, то говорят, что имеет место гироскопическая стабилизация.

Отрицательный индекс инерции квадратичной формы (1/2)(Рх,х) называется степенью неустойчивости по Пуанкаре. Для линейной системы (4) ее степень неустойчивости по Пуанкаре равна в точности количеству вещественных положительных точек спектра этой системы (т. е. числу точек спектра, лежащих в правой комплексной полуплоскости).

Напомним, что при любом способе приведения произвольной квадратичной формы V тцх^х^ к сумме квадратов ££>¿2/? посредством невырожденной линейной замены переменных число г+ (соответственно г-) таких индексов г, что Ь{ > 0 (соответственно Ь; < 0), остается неизменным и называется положительным (соответственно отрицательным) индексом инерции квадратичной формы. Пара (г+,г~) называется сигнатурой этой квадратичной формы.

Томсоном было отмечено следующее необходимое условие гироскопической стабилизации2. Если степень неустойчивости нечетна,

2 Четаев Н.Г. Устойчивость движения. Работы по аналитической механике. М.: Изд-вО АН СССР. 1962.

то положение равновесия системы (2) будет неустойчивым для любой матрицы Г, т. е. гироскопическая стабилизация невозможна. Если же степень неустойчивости четна, то существует матрица Г, для которой положение равновесия соответствующей системы (2) устойчиво, т. е. гироскопическая стабилизация возможна.

Пусть Р < 0, т. е. матрица потенциальных сил Р отрицательно определена. Из теоремы Томсона следует, что при нечетных п положение равновесия системы (2) неустойчиво, а при четных п положение равновесия этой системы может быть устойчиво (гироскопическая стабилизация возможна). Пусть п четно. В работах Г.К. Пожарицкого3, C.B. Болотина и В.В. Козлова4 показано, что если 4P — Г2 < 0, то положение равновесия системы (2) неустойчиво. С другой стороны5, если РГ = ГР, то положение равновесия системы (2) устойчиво тогда и только тогда, когда 4P — Г2 > 0. За дальнейшими результатами по теории устойчивости таких систем следует обратиться к работе P.M. Булатовича6.

При изучении задачи о гироскопической стабилизации полезно рассмотреть случай, при котором гироскопические силы, действующие на систему, очень велики. Другими словами, матрица гироскопических сил представима в виде AT, где N - числовой коэффицент, N 1.

3 Пожарицкий Г.К. О неустановившемся движении консервативных голономных систем // ПММ. 1956. Т. 20. Вып. 3.

^Волошин C.B., Козлов В.В. Об асимптотических решениях уравнений динамики // Вест. МГУ.

Математика. Механика. 1980. N 4.. С. 84-89.

5Huseyin К, Hagedorn P., Teschner W. On the stability of linear conservative gyroscopic systems // ZAMP. 1983. V. 34. N 6. P. 807-815.

6Вулатович P.M. Об устойчивости линейных потенциальных гироскопических систем в случаях, когда потенциальная энергия имеет максимум // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 3. С. 385-389.

Сразу отметим, что если матрица потенциальных сил Р отрицательно определена, а размерность системы п четна, то при достаточно больших N гироскопическая стабилизация заведомо имеет место7.

Вернемся к ра,осмотренному выше примеру - движение заряда в электромагнитном поле. Будем считать, что заряд единичной массы находится в постоянном бездивергентном электрическом поле Е и сильном магнитном поле Н. Линеаризованное уравнение движения заряда имеет вид

х + NTx + Рх - О,

здесь х е R3; матрица Р = diag(c¿i, <¿2, d¡) задает электрическое поле, di + ¿2 + d3 = 0 (это условие есть следствие условия divE = 0). Магнитное поле задается следующим образом: направление Н - фиксированная точка на единичной сфере S2 = {Щ + Я| + Я| = 1}, а интенсивность поля очень велика: |Н| = N > 1. Таким образом кососимметрическая матрица Г, отвечающая направлению магнитного поля в трехмерном евклидовом пространстве, определяется компонентами вектора Н = {Н\, i/2, Hz).

Необходимое условие гироскопической стабилизации Томсона в данных условиях означает, что среди компонент d\,d2,d^ две отрицательные и одна положительная; можно считать, что di, ¿2 < 0, d¡ = —(di + di) > 0. В работе B.B. Козлова8 показано, что если Т, = d-Jl\ + а!2Я| + d^lll > 0, то при больших значениях N равновесие заряда устойчиво, если же £ < 0, то равновесие неустойчиво. В той же работе дается следующая вероятностная

7Лахаданов В.М. О стабилизации потенциальных систем // ПММ. 1975. Т. 39. Вып, 1. С. 53-58. Ка]х1пе.тян A.B. К вопросу о гироскопической стабилизации // Teor. i primen, meh. 3994. N 20. S. 8993.

8Козлов B.B. О стабилизации неустойчивых равновесий зарядов сильными магнитными полями // ПММ. 1997. Т. 61. Вып. 3. С. 390-397.

интерпретация этого результата. В евклидовом пространстве И3 конус Е = О пересекает единичную сферу 52 по двум овалам и делит ее на три области. При этом условию £ > 0 отвечают точки из двух областей, содержащих полюсы сферы (0,0, ±1). Отношение суммы площадей этих двух областей к площади всей сферы 82 есть вероятность гироскопической стабилизации неустойчивого равновесия заряда случайно выбранным сильным магнитным полем. Эта вероятность зависит от компонент <¿1, с?2> и заключена между значениями 1 — З-1^2 « 0,423 и 1/2. В частности, при случайном выборе направления сильного магнитного поля более вероятен случай неустойчивого равновесия заряда.

Цель работы.

Диссертация посвящена дальнейшему развитию, теории гироскопической стабилизации. В работе исследуется задача гироскопической стабилизации с вероятностной точки зрения, а также устанавливаются оценки степени устойчивости линейной гамильтоновой системы, позволяющие получить ряд важных следствий.

Научная новизна.

Результаты диссертации являются новыми.

В диссертации получены следующие основные результаты:

1. Исследованы подходы к оценке вероятности гироскопической стабилизации при случайном выборе матрицы гироскопических сил.

2. Получена оценка степени устойчивости линейной гамильтоновой системы через индексы инерции гамильтониана, являющегося квадратичной формой от обобщенных координат.

3. Доказано нетривиальное обобщение теоремы Томсона: при добавлении гироскопических сил степень устойчивости системы не уменьшается.

Методы исследования.

В диссертации используются методы и результаты теории устойчивости, теории Вильямсона нормальных форм вещественных гамильтоновых систием, теории U-статистик.

Теоретическая и практическая ценность.

Работа носит теоретический характер. Ее результаты дополняют классическую теорию устойчивости и могут быть полезны при изучении линейных гамильтоновых систем.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ "Гамильтоновы системы и статистическая механика" под руководством академика РАН В.В. Козлова, члена-корреспондента РАН Д.В. Трещева и профессора C.B. Болотина (2005 г.), "Аналитическая механика и теория устойчивости" под руководством академика РАН В.В. Румянцева, члена-корреспондента РАН В.В. Белецкого и профессора A.B. Карапетяна (2004 г.), "Прикладная статистика" под руководством ведущего научного сотрудника И.А. Кожевниковой, доцента М.В. Козлова, старшего преподавателя К.В. Степанова и доцента Е.Б. Яровой (2004 г.), а также на семинаре ВЦ им. A.A. Дородницына РАН по теории устойчивости под руководством профессора С.Я. Степанова (2006 г.).

Публикации.

Результаты диссертации опубликованы в 2 работах, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, двух глав (каждая из которых разбита на разделы) и списка литературы, насчитывающего 26 наименований. Общий объем диссертации - 56 страниц.

Поддержка.

Исследования по теме диссертации частично были поддержаны Российским фондом фундаментальных исследований (проект 02-01-01059) и Программой поддержки ведущих научных школ (проект НШ 136.2003.1).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор по теме диссертации - задаче гироскопической стабилизации, излагается краткое содержание работы, формулируются основные полученные результаты. Далее в диссертации рассматривается круг вопросов, связанных с дальнейшим исследованием задачи гироскопической стабилизации.

В главе I изучаются подходы к оценке вероятности гироскопической стабилизации при случайном выборе матрицы гироскопических сил Г. Элементы матрицы Г полагаются независимыми бернуллиевскими случайными величинами, принимающими значения ±1. Матрица Р полагается приведенной к диагональному виду (т. е. Р — В =

. - -, с/гг)), а ее элементы фиксировании, кроме специально оговоренных случаев.

Для случая п = 4 (п - размерность конфигурационного пространства -число степеней свободы) в указанных предположениях получено значение вероятности гироскопической стабилизации в зависимости от элементов матрицы Р; указаны условия на элементы матрицы Р, при которых эта вероятность нетривиальна, т. е. отлична от нуля и единицы.

Для произвольного п = 2т (или п = 2т + 1) указаны т необходимых условий гироскопической стабилизации, причем первое условие ■■ ■ йп > О есть условие Томсона четности степени неустойчивости. В указанных предположениях об элементах матрицы Г второе условие принимает вид

£ -А- > 0. (5)

1<1<7<тг а1а]

Если считать элементы ,..., ¿п матрицы Р независимыми одинаково распределенными случайными величинами, то сумма, стоящая в левой части неравенства (5), станет и-статистикой. Напомним, что 11-статистикой (степени т < п) независимых одинаково распределенных случайных величин Х\,..., Хп называется выражение

%=(") £ ад,,--.,^),

К771) 1<«1<...<»т<П

где Ф(хх,..., хт) - симметрическая функция т переменных. Поэтому, применяя теорию 11-статистик9, можно оценить вероятность выполнения условия (5), а значит, получить оценку сверху вероятности гироскопической стабилизации.

9Королюк B.C., Боровских Ю.В. Теория U-статистик. Киев: Наук. Думка. 1989.

'о

В главе II обобщается понятие степени неустойчивости по Пуанкаре на случай линейных гамильтоновых систем общего вида.

Пусть х = (рх,... ,рп, ..., дп) € И2™ - канонические переменные (набор импульсов и координат), а гамильтониан имеет вид

Н = (1/2)(Вх,х), (6).

где В - симметрический линейный оператор. Тогда канонические уравнения записываются в виде

х = Ах, (7)

где

А — ЗВ, 3 =

X1

В переменных р, д уравнения (7) принимают привычный вид уравнений Гамильтона

дН . дН ,л

Пусть А - невырожденный оператор: |Л| ф 0 (это эквивалентно условию \В\ ф 0). Тогда собственные числа оператора А могут быть трех типов: вещественные пары ±а, чисто мнимые пары ±гЬ и четверки ±а ± гб.

Степенью неустойчивости и системы (7) будем называть количество корней характеристического уравнения оператора А, лежащих в правой полуплоскости, считая их кратности, а степенью устойчивости 5 - количество пар чисто мнимых корней характеристического уравнения оператора А, считая их кратности.

В главе II устанавливается связь между собственными числами оператора А и индексами инерции г+, г~ квадратичной формы (6). Основной результат

главы II составляет

Теорема. Справедливо неравенство

\г+ - ГI < 21,

где I - количество пар чисто мнимых собственных чисел оператора А с жордановыми клетками нечетного порядка. Следствие. Имеет место неравенство

\г+ -i~\ < 2s.

Данный результат получен с помощью теории Вильямсона вещественных нормальных форм линейных уравнений Гамильтона10. Этот же метод дает простое доказательство обобщенной теоремы Томсона

u = i~ mod 2. (8)

Сравнение (8) установлено в работах В.В. Козлова11 и В.Н. Рубановского12. Для систем общего вида (когда II < 0) обобщенная теорема Томсона (8) доказана в работе В.В. Козлова13.

Полученные соотношения позволяют установить ряд важных фактов о возможности гироскопической стабилизации систем вида (2).

Теорема. При добавлении гироскопических сил степень устойчивости системы не уменьшается.

10 Williamson J. On a algebraic problem, concerning the normal forms of linear dynamical systems // Amer.

J. of Math. 1936. V. 58 N 1. P. 141-163.

11 Козлов B.B. Линейные системы с квадратичным интегралом // ПММ, 1992. Т. 56. Вып. 6. С. 900-306.

12Рубановский В.Н. О бифуркации и устойчивости стационарных движений в некоторых задачах

динамики твердого тела // ПММ. 1974. Т. 38. Вып. 4. С. 616-627.

13Козлов В.В. О степени неустойчивости // ПММ. 1993. Т. 57. Вып. 5. С. 14-19.

В связи с этой теоремой укажем результат работы В.Ф. Журавлева14. Пусть матрица потенциальных сил Р положительно определена (Р > 0). При увеличении потенциальной энергии системы (2), т. е. при замене матрицы Р на Р так, что (1/2)(Рх,х) > (1/2)(Рх,х) для любых х ф 0, все собственные частоты этой системы могут только возрасти. Под собственной частотой системы понимается модуль вещественного числа Л, являющегося одним из корней уравнения | (г\)21 4- (¿А)Г + Р\ = 0. (Это уравнение имеет 2п действительных корней, причем если А - корень, то —А - также корень этого уравнения. Таким образом, система имеет ровно п собственных частот.)

Теорема. Заменим матрицу Г в уравнении (2) на N Г. Пусть Р < 0, т. е. матрица потенциальных сил Р отрицательна определена. Если п нечетно и rank Г = п — 1, то при N > Nq степень неустойчивости системы (2) равна 1.

Как известно, при нечетных п матрица Г вырождена и ее максимальный ранг может быть равен как раз п — 1. Таким образом (согласно теореме Томсона), гироскопическая стабилизация невозможна, однако, при подходящем выборе больших гироскопических сил, степень неустойчивости можно свести к ее минимально возможному значению. Проблема устойчивости для ненулевых матриц гироскопических сил минимального ранга, равного двум, рассмотрена в работах В.В. Козлова15 и Т.В. Сальниковой16.

14Журавлев В.Ф. Обобщение теоремы Релея на гироскопические системы // ПММ. 1976. Т. 40. Вып. 4. С. 606-610.

15Козлов В.В. Гироскопическая стабилизация и параметрический резонанс // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 5. С. 739-745.

16Сальникова Т.В. Об устойчивости линейных потенциальных гироскопических систем // ПММ. 2006. Т. 70. Вып. 1. С. 35-39.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю академику РАН Валерию Васильевичу Козлову за постановку задач, ценные советы и всестороннюю поддержку. Автор благодарит доцента Михаила Васильевича Козлова за обсуждение вопросов, затронутых в работе.

Работы автора по теме диссертации

1. Карапетян A.A. К задаче гироскопической стабилизации. // Вест. Моск. Ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2005. N 2.,С. 49-52.

2. Козлов В.В., Карапетпян A.A. О степени устойчивости. // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41. N 2. С. 186-192.

Вторая работа выполнена в соавторстве с научным руководителем. В.В. Козлову принадлежит постановка задачи и предложение использовать теорию Вильямсона для ее решения; решение поставленной задачи полностью принадлежит A.A. Карапетяну.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать

Формат 60 х 90 1/16. Усл. печ. л. /,0

Тираж 100 экз. Заказ 3 ?

Введение

Глава 1. Условия гироскопической стабилизации при случайном выборе матрицы гироскопических сил.

1.1. Задача об устойчивости при больших гироскопических силах

1.2. Случайная матрица гироскопических сил; четырехмерный случай

1.3. Применение ¡еории 11-статистик

Глава 2. Степень устойчивости и гироскопическая с табилизация

2.1. Степень устойчивости и индексы инерции

2.2. Сигнатуры частичных гамильтонианов, доказательство основной теоремы

При рассмотрении -задачи устойчивости движения механической системы, линеаризованной в окрестности положения равновесия и находящейся иод дей( гвием гироскопических и потенциальных сил, исследование сводится к анализу дифференциального уравнения вида:

2г + аг + Яг = о, (1) где х € Я", матрицы <2 и Я - симметрические \ш рицы размера пхп (С— ф, Яг = Я), матрица положи!елыю определена, т е. скалярное произведение ((¿х^х) неотрицательно для любого а; € Я" и обращается в нуль лишь при х = 0, мафица С - кососиммефичсская матрица (С1 = -С) Точка означает дифференцирование по времени так что х скорое 1Ь системы, а х ее ус кореиие

В механике симметрическая матрица 0, определяет инерционные свойства системы, более точно, квадрашчная форма но скоростям (1/2)(фг, х) - кинетическая энергия сис 1емы. Симметрическая матрица Я задает потенциальную энергию (1/2)(Ях,х) Кососимметрическая матрица С в механике обычно называется матрицей гироскопических сил

Гироскопические силы появляются при переходе во вращающуюся сис I ему отсчета, при понижении порядка (истомы метдом Рауса, а 1акже при описании движения заряженных час нщ в магнитных нолях [19, 1|

Сис юму (1) можно привоем и к более простому виду. Воспользуемся хорошо известным результатом из линейной алюбры, согласно которому найдется матрица С ыкая, чю С1(^С = I (-здесь I - единичная матрица пхп) Тогда С1вС = Г = -ГС1ИС = Р = Р1. Сделав -замену х = Сг, получим дс-£ + ва + ясх = о.

Помножив слева на Сь и пореобозначив г через х, имеем: х + ГЛ-Рх^ 0. (2)

Слагаемое —называется гироскопической, а слагаемое -Рх -исменциальной силой, действующей на рассмафиваемую сис 1 ему с п еюненями свободы. Заметм, что вид системы (2) можно сделать еще более простым, добившись юю, чтобы мацшца потенциальных сил смала диагональной

Важнейшее свойс 1во гироскопических сил с остоит в том, что их наличие не влияет на сохранность полной энергии (т. е. на существование интеграла энергии) Из уравнения движения (2) получаем (х, х) + (Г\Ь, х) + (Рх, х) = 0 Заметим, что (х,х)' = 2(т,х), (Рх, г)' = 2(Рх,х), а (Гх,х) = (х,Г1х) = —(х,Гх),т е (Га;,ж) = 0 Отсюда получаем интеграл энергии1

1/2)(г, с) + (1/2)(Рх,х) = согЫ. (3)

Указанный интеграл cooineic inyei 1акже (истоме вида х + Рх = 0; (4) таким образом вклад гироскопических с ил в интеграл энергии равен нулю

Пример (сила Лоренца). Движение частицы массы га заряда е в -электромагнитном иоле описывается уравнением тпх = г(Е + [х, Н]), здесь Е - напряженноеib '-электрического поля, Н - напряженность магнитного поля. Сила, действующая на частицу, называется слой Лоренца Считаем магнитное поле Н постоянным. Тогда, согласно уравнениям Максвелла получаем, что rotE = 0, и поэтому напряженное i ь '-электрического поля можно представить в виде Е = -grad</?. Ясно, что положение равновесия заряда совпадае! с критической (стационарной) точкой потенциала </? Пусть, например, х — 0 - одно in равновесий Положим </? = (1/2)(Рх,х) -}-о(|г|2), Р = diag(cij,с/г,Записывая линеаризованное уравнение, получим систему вида rrix 1 = d\Т\ + хуII.i ~ ¿¿Н-2 m±2 = -d2 г2 ~ 3*1 Д] + -глН\ тхч = -djj-j + x\Il2 - i2 Я] или, что тоже самое гаг + Гх + Рх = 0,

1 0 -НА Н2 Х г =

Я} О -Я]

-я2 Я! о

Рассмотрим систему (4), которая соошстствует сис 1еме (2) в от су к гвие гироскопических сил

Напомним, что решение х(Ь) = 0 линейной системы, называемое положением равновесия, устойчиво в том и только том случае, если все его решения .г(/) ограничены Если же найдется хотя бы одно неограниченное решение, ю положение равновес ия будет неустойчивым.

Критерий усюйчивос 1и Ла1ранжа утверждает, чю положение равновесия сис юмы (4) ус юйчиво тогда и только тогда, когда квадратичная форма (1/2 )(Рх,.г) положительно определена Дос I а точное условие следует из вида интеграла энергии (3). Псу-ному для системы (2) справедливо следующее утверждение (достаточное условие устойчивости), если квадратичная форма ([/'2)(Рх,т) положительно определена, то решение :г(£) = 0 системы (2) также устойчиво.

Это утверждение можно понимать следующим образом. Если положение равновесия "исходной" системы (4) устойчиво, то при добавлении гироскопических сил - при рас смотрении "расширенной" сис1емы (2) -положение равновесия останется ус шйчивым Предположим п'иерь, что положение равновесия системы (4) неустойчиво Если при добавлении гироскопических сил положение равновесия станет устойчивым, ю говоря!,

41 о имеет мест гироскопическая стабилизация.

Офицательный индекс инерции квадрантной формы (1/2)(Рг/{) называется степенью неус юйчивос ш по Пуанкаре Для линейной с ис 1емы (4) ее степень неустойчивости но Пуанкаре равна в точное Iи количеиву вещественных положительных точек спек фа эюй системы (т е числу точек спектра, лежащих в правой комплексной полуплоскости)

Напомним, что при любом способе приведения произвольной квадратичной формы Етг]хгх] к сумме квадратов £Ьгу^ посредством невырожденной линейной замены переменных число г+ (соответственно г-) таких индексов г, что Ьг > 0 (соответственно Ьг < 0), остается неизменным и называется положительным (соотвепчвенно отрицательным) индексом инерции квадратичной формы Пара (г+,г~) называек-я сигнатурой эюй квадратичной формы. В дальнейшем для наглядности сигнатуру (г+,г~) будем заиисыват ь также1 в следующем виде.

4 V '4 V ' г * г~

Томсоном было отмечено следующее необходимое условие гироскопической стабилизации [10} Если сюпень неус юйчивос ги нечечна, то положение равновесия системы (2) будет неустойчивым для любой матрицы Г, т е гироскопическая стабилизация невозможна Если же степень неус юйчивости четна, то существует матрица Г, для которой положение равновесия соответствующей системы (2) устойчиво, т е. гироскопическая стабилизация возможна

Пусть Р < 0, г е мафица пененциальных сил Р енрицаюльно определил. Из теоремы Томсона следуст, чю при нечетных п положение равновесия системы (2) неус гойчиво, а при че!ных п положение равновесия этй сииемы может быть устойчиво (гироскопическая с ыбилпация возможна) Пус гь п четно В рабоых [16, 2| показано, чю если 4Р — Г2 < О, то положение равновесия сииемы (2) неустойчиво. С другой стороны, если РГ = ГР, то положение равновесия системы (2) устойчиво тогда и только тогда, когда 4Р - Г2 > 0 [20] За дальнейшими результаыми по теории устойчивости таких систем следует обрашшя к работе [3[

При изучении задачи о гироскопической стабилизации полезно рассмотреть случай, при котором гироскопические силы, действующие на сис1ему, очень велики Другими словами, мафица гироскопических сил преде гавима в виде ЛТ, где N числовой кенффицент, N » 1 Сразу ошешм, что если матрица потенциальных сил Р отрицательно определена, а размерность системы п четна, то при дос таточно больших N гироскопическая стабилизация заведомо имеет место [15, в].

Вернемся к рассмотренному выше примеру - движение заряда в электромагнитном поле Будем ("читать, что заряд единичной массы находится в посюянном бездивергентном электрическом иоле Е и сильном машитном поле Н Линеаризованное уравнение движения заряда имеет вид х + ЛТ1 + Рг = О, здесь х е 11®, матрица Р = (\\щ((1\,(1'21 <1Л) задает электрическое поле, + ¿2 + ¿з = 0 (это условие сч гь следствие условия сПу Е = 0) Магнитное иоле задается следующим образом направление Н - фиксированная точка на единичной сфере Б2 = {Н{ + + = 1}, а шпене ивнос 1Ь поля очень нелика |Н| = N 1. Таким образом ко( о< имме1рическая матрица Г, отвечающая направлению магнитного поля в фехмерном евклидовом пространстве, определяется компонеными веж юра Н = (#1,#2,#л)

Необходимое условие ги{)оскоиической смабилизации Томсона в данных условиях означает, чю среди компонент с/ьс^с/з две отрицательные и одна положи 1ельная, можно считать, что с/ьс/2 < 0, = -((1\ + (1г) > О В работе [10] показано, что если Е = (1\Щ + + > 0, то при больших значениях N равновесие заряда ус гойчиво, если же Е < 0, то равновесие неустойчиво В той же работе дается следующая вероятностная интерпретация этого результата. В евклидовом проем рано тве Я3 конус Е = 0 пересекает единичную сферу Я2 но двум овалам и делит ее на три области. При этом условию Е > 0 енвечают ючки из двух областей, содержащих полюсы сферы (0,0,±1) ОIношение суммы площадей этих двух областей к площади всей сферы Я2 есть вероятность гироскопической стабилизации неустойчивою равновесия заряда случайно выбранным сильным магнитным полем Эта вероятность зависит от компонент <1\,в,2,(1д и заключена между значениями 1 - З-1/2 и 0,423 и 1/2 В наемное ти, при случайном выборе направления сильного магнитною ноля более верояюн случай неустойчивого равновее ия заряда

В диссертации рассмафивается круг вопросов, связанных с дальнейшим исследованием задачи гироскопической стабилизации В главе I изучакпея подходы к оценке вероятности гироскопической стабилизации при случайном выборе матрицы 1 ироскогшчее ких сил Г Элементы матрицы Г полаыюкя независимыми бернуллиевскнми случайными величинами, принимающими [значения ±1 Матрица Р полагается приведенной к диа1 опальному виду (т е Р — О = - - -, г/Т1)), а ее элементы фикс ированны, кроме специально оговоренных случаев

Для случая п = 4 (п - размерное 1ь конфигурационном) проем ране тва -число степеней свободы) в указанных предположениях получено значение вероятности гироскопической стабилизации в зависимости от элементов матрицы Р, указаны условия иа элементы матрицы Р, при которых эы вероятность нетривиальна, т е отлична от нуля и единицы.

Для произвольного и — 2т (или п = '2т + 1) указаны т необходимых условий гироскопической стабилизации, причем первое условие й\---(1п > О есть условие Томсопа чечноети степени неустойчивости В указанных предположениях об элементах матрицы Г второе условие принимает вид

Е II> а (5)

1 <г<]<п иг(-\7

Если счшагь элементы (1\,.,йп матрицы Р независимыми одинаково распределенными случайными величинами, ю сумма, стоящая в левой чае ги неравенства (5), с 1анег и-статистикой Напомним, что и-етатие ¡икой (степени т < п) независимых одинаково распределенных случайных величин Х\,.,Хп называется выражение т/ 1<г,< <гт<п где Ф(ж1,.,жш) - симметрическая функция т переменных Гкнтму, применяя теорию и-статисмик [14], можно оценить вероятность выполнения условии (5), а значит, получить оценку сверху вероятности гироскопической с табилизации

В главе II обобщаекя понятие степени неус юйчивос ш по Пуанкаре на случай линейных гамильтоновых систем общего вида

Пус I ь г = (р\,. ,рп,Ц\,. ,(1п) £ Я2" - канонические переменные (набор импульсов и координат), а гамилыоииан имеет вид

Н=(\/2)(Вг,.г), (6) где В - симметрический линейный оператор Тогда канонические уравнения записываются в виде х = Ах, (7) где \ О -I

I7

В переменных р, ц уравнения (7) принимают привычный вид уравнений Гамильтона

ОН . он

Рк = Чк = 7Г" (!<«'< щ

Щк орк

Пусть А - невырожденный оператор |Л| ф 0 (это эквивалентно условию \В\ ф 0) Тогда собственные числа оператора А могу1 бьпь трех типов' вещественные нары ±а, чис го мнимые пары ±г6 и четверки ±а ± гЬ

Степенью неустойчивости и сиспчиы (7) будем называть количество корней характерис шчес кого уравнения оиераюра А, лежащих в правой полунлос кости, считая их кратноети, а степеныоус юйчивости а - количество пар чисто мнимых корней характеристического уравнения оператора А, с читая их кратное ти

В главе II ус ынавлпваекя связь между с обе I венными числами онера юра А и индексами инерции г+, г~ квадрашчной формы (6) Основной результат главы II с ос ывляет

Теорема. Справедливо неравенство г+ -г'\ < 21, где I - количество пар чисто мнимых собственных чисел оператора А с жордановыми клетками нечетного порядка Следствие. Имеет мес го неравенство - ¿~| < 2б.

Данный резулыат получен с помощью юории Вильяме она вещееIвенных нормальных форм линейных уравнений Гамилыона [23]. Эюг же меюд дает простое доказательство обобщенной теоремы Томсона и = г~ ню(1 2. (8)

Сравнение (8) ус ыновлено в работах [8, 17] Для сис ¡ем общею вида (когда Я < 0) обобщенная теорема Томсона (8) доказана в рабой» [9].

Полученные с осп ношения позволяют установить ряд важных фактов о возможности гироскопической стабилизации сисIем вида (2).

Теорема. При добавлении гироскопических сил степень усюйчивости с ис темы не уменьшаете я

В (вязи с этой теоремой укажем результат работы [5] Пусть мафица потенциальных сил Р потожителыто определена (Р > 0) При увеличении потенциальной -энергии си( темы (2), т е при замене матрицы Р на Р так, чю (1/2){Р-г, I') > (1/2)(Рг,х) для любых .г ф 0, все (об( iвенные ча(т01ы -ной (исюмы могут только возрасти Под собственной час ютой системы понимается модуль вещественною числа А, являющегося одним из корней уравнения |(zA)2/ + (гА)Г + Р\ = 0 (Эю уравнение имеет 2п дейс1ви1ельных корней, причем если А - корень, то —А 1акже корень этого уравнения Таким образом, система имеет ровно п собственных частот)

Теорема. Заменим матрицу Г в уравнении (2) на NT Пусть Р < 0, т е матрица по унциальных сил Р отрицательна определена Если п нечетно и rank Г = п — 1, то при N > iVo степень иеусюйчивости сис1емы (2) равна 1.

Как известно, при нечсчных п ма1рица Г вырождена и ее максимальный ранг может быть равен как раз п - 1. Таким образом (согласно теореме Томеона), гироскопическая стабилизация невозможна, однако, при подходящем выборе больших гироскопических сил, счеиень неустойчивости можно свести к ее минимально возможному значению Проблема устойчивости для ненулевых матриц гироскопических сил минимального ранга, равною двум, рассмотрена в работах [И, 18].

Ос новные результаты диссертации опубликованы в рабсмах

1 К задаче гироскопической стабилизации / Карапстян А А //Вест Моек Ун-та Сер 1. Мак'матка Механика 2005 N2.0.49-52

2 О степени устойчивости 1 Коыов В.В., Каратитяи А А. // Дифференциальные уравнения 2005 Т 41 N 2. С 186-192.

1. Арнольд В.И., Козлов D.D., Нсйштадт A.M. Магматические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиюриал УРСС. 2002

2. Болотин C.D., Козлов D.D. Об асимптотических решениях уравнений динамики // Вест МГУ Математика Механика. 1980. N 4 С. 84-89

3. DyAamoeuH P.M. Об устойчивости линейных по унциальных гироскопических сис тем в случаях, когда потенциальная энергия имеет максимум // Г1ММ 1997 Т 61 Вып 3 С 385-3894J Джури Э Инноры и устойчивость динамических систем. М. Наука 1979

4. Журавлев D Ф Обобщение теоремы Релея на гироскопические системы // ПММ 197G Т 40 Вып 4 С 606-610.

5. Карапетян A D. К вопросу о гироскопической стабилизации // Teor. i primen meh 1994 N 20 S 89-93

6. Карапетян A.D, Румянцев D.D. Устойчивость консервативных и диссипативных систем /1 Общая механика Т6 Итоги науки и техн. М ВИНИТИ 1983

7. Ко шов В.В. Линейные еис юмы с квадратичным интегралом " ПММ 1992 Т 56 Выи 6 С 900-906

8. Ко мое В. В. О степени неустойчивости // ПММ 1993 Т 57 Вып 5 С 14-19

9. Козлов В.В. О стабилизации неустойчивых равновесий зарядов сильными магнитными полями /1 ПММ 1997 Т 61 Вып 3 С 390-397

10. Ко мое В В. Гироскопическая с габшпиация и параметрический резонанс // ПММ. 2001 Т 65 Вып 5. С. 739-745

11. Козлов В.В. Линейные системы с квадратичным интегралом и симилектическая геометрия пространств Артина // ПММ 2004 Т. 68 Выи 3 С 371-383.

12. Козлов В В Офаничения квадратичных форм на лагранжевы плоскости, квадрашые матричные уравнения и гироскопическая стабилизация /' Функц анализ и его приложения 2005 Т 39 Вып 4 С 32-47

13. Королюк В С., Воровскт Ю.В Теория 11-е гаптстик. Киев Наук Думка 1989

14. Лагаданов В.М. О стабилизации потенциальных систем // ПММ 1975. Т 39 Вып 1 С 53-58

15. Пожарицкий Г К О неустановившемся движении консервативных голономных систем // ПММ 1956 Т 20 Вып. 3 С. 429-433.

16. Рубановский ВН. О бифуркации и у< тйчивосчи < гационарных движений в некоторых задачах динамики твердого тела // ПММ 1974 Т 38 Вып 4 С 616-627.

17. Сальникова ТВ Об у< юйчивости линейных по инициальных гироскопических систем 'ПММ 2006 Т 70 Вып 1. С 35-3919| Четаев Н.Р. У< юйчивос гь движения. Работы по аналитической механике М • Изд-во ЛИ СССР 1962

18. Нинеугп К., Hagedorn P., Teschner W. On the stability of linear conservative gyroscopic systems "ZAMP 1983 V 34 N6 P 807-815

19. Lancaster P., Tiwienetbky M. Inertia characteristics of self-adjoint matrix polynomials '' Linear Algebra and Appl 1983. V. 52 '53. P. 179-496.

20. Shkalikov A A Operator pent ils arising in elasticity and hydrodynamics, the instability index formula //Operator Theory Advances and Applications 1996 V 87 P. 358-385

21. Williamson J. On a algebraic problem, concerning the normal forms of linear dynamical systems// Amei J of Math. 1936 V 58 N 1 P 141-163

22. Wimmer H K. Inertia theorems for matrices, controllability, and linear variations // Linear Algebra and Appl 1974 V 8 P. 337-343.Работы автора по теме диссертации

23. Карапетяи А.А К задаче гироскопической стабилизации //Вест МоекУн-та Сер 1. Математика Механика 2005 N 2 С 49-52

24. Коыов В.В., Карапетяи A.A. О степени усюйчивоии // Дифференциальные ураннения 2005. Т 41 N2 С 186-192