Гладкие функционалы и дифференциальные операторы на бесконечномерных пространствах с мерой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦЮНАЛЬНА АКАДЕМ1Я НАУК УКРА1НИ ■ > •' ■ > 1нститут математики

Гладк1 функцюнали та диференц1"альж оператори на нескшчэнновил/ирних просторах з м!рою

01.01.01 - математичний ана;»з

Автореферат

дисертаци на эдобуття наукового ступени кандидата ф|'зико-математичних наук

КиТв-1997

Дисергац1ею е рукопис Робота емко!' ча в КиТвському унтерсите"ч iweni Тараса Шевченка

Науковий KepiBHi«: ^октор ф1з.-мат. наук

ДОРОГОБЦЕВ Агадрзй Анатолиевич

пров1Дний науковий сгивроб'тник IM ПАНУ

Оф'ц'.йж опоненти: доктор ф1з.-мат. наук, професср

БУЛДИПН Eanepitt Володимирович професор НТУУ "КПГ

Пров1дна установа: Московський державний унюерситет

кандидат фЬ.-мат. наук

КОСЯК Олександр Володимиропич

старший науковий сгивройтник IM НАНУ

Захист в'щбудеться - U" V Т на засщанж спец1ал1зованоТ вченоТ ради Д.01.66.01 при ¡нститул математики HAH Укра'ши за адресою: 252601 КиТв 4, ГСП, вул, Терещонкшська 3.

'б' о/

3 дисзртацюю можна ознайомитися у 6i6nioTeni ¡нституту

Автореферат роз:сланий

Вчений секротар спец!ал;зованоУ вчено'| ради доктор ф1э.-мат. наук

ГУСАК Д.В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА Р050ТИ

Актуальжсть роботи. Е дисортац!ЙН!Й робот! о>,ача:оться умовн! и.:ри що зиникають при дезинтегр/заны ¡"«'•■«¡риосниу r/ip в нэсюнче1'новиг/:ри.;:: просюрах по негладким повср.'чям, отсимьи! результата застосовуються для дослщження вг.аспчзостсй ф.'ккцюнгл!? зщ Е>:ла.стоз::х

ПрОЦСОВ.

Mofoiti диференц!ального численнг були есрсктизно sîotocgs^hî а 70-х роках П. Малляве-.-гам для розз'язангя тзкоТ ¿îmodîdhochcï задач! -к дотд-кення гяадкосл перехЦртоТ щть:юст! для дифузч'.тас npouecia. 3 подальшсму цзй гмдхд влечения гладкост: розг.одшу фун::^;"-. трансформувс.зся з так зззне чкслсння Малляьена i роззксаася гогил-.и авто; зми як S. Wa»anabe, J.M. Eismut, D.W. StrcoK, D. Ni;a'.:.rr, M. 2c.;ai. N. Ikedr, M. Hitsuda, Ю.П. Дзлецький, О.Г. Сг/опяноч, 3.1. Богатое, (O.A. Давидов, М.А. /¡¡фш;ц, A.B. Угланов та багатьма ¡ншими.

Одн"м з утруднень несюн^енновим^рного анализу та лэбудезп соболевських npouTopis s в:дсутнють з неск1нчен<юь';ыирних просторах аналопв Mipn Лебега. Цю переикоцу можма здологи, рззглядаючч огоратори диференшюза' ня за напрямкаг/и деякого гедг.ростору кзгзпнз'лр1ант1:сс"л вихщноТ м!ри. Однэк для доелдження диферен'^алыгах влпетивосей розлодМв функцюналш на wipy потрШно нэкласти бшыи ciotl-hv угрозу, н!» KsasiiHBapiaHTniCTb. Такою еаг.югою е дифзренц1й0£н1сть Mipn. Саг/о тому числе-ння Маллязена слочатку вякористовувалось для аивчення вмерЬз'лкпх фучкцюна^т, оск;льки в:нер!вська Mipa е типовим прикладом д',1фсре:;цмсш:о'; м!ри. Означения диференцшовноТ f.'.ipn було запропзкэзаьг C.B. Oû.vmct;. Дещо ¡нше ознзчення blhb A.B. Скороход. Поняття диференшйовнэ~-п ,\-:ри i поСудова диференц!ал'_.них операторт вздгвж ьееторнсго гол л пг,сри_е 0/л:; розглякуп Ю.Л. Дэлець::им. Ьивченням р'!Зио\:ан1тни;с дмференцгагьчмх властивсстей Mip i розппд^в функцюнал!в згймались тгкож B.i. Бога-os, О.Г. Смоляное, А:В. Угланов, Н.В. Нор^н та ¡.ч. Досг.'фжемня абсолютно"! неперзрвност: оозлодту функцюнал!в в ситуацн, коли вимдний fi.v.0Bi;:HCCHi:;"i npocTip не надоено лЫмною структурою, однак можна еид!пити дзяк/

допустиму нелш;йну трупу допу'-тг,.«« перетворень, проводилось Ю.А. Дагадовим, М.А Лф'ищом.

'-¡¡кач.!м с лапупний ..<г, що пов'язус досл!Д-,;ення анал!тичних сиасмзослей иеск'чченн ич/крних розпод'.л^в 3i стох-.стичними диферонц|альними р:знякнями. Як виявигось. розширений стохасгичний ¡НЮГрЧЛ Р. /,ОГСрИфм1ЧНОЮ ПСИИДНОЮ wipn вздоаж векторного псля, при цьому стохаст«Mwi дис^ренц1альн1 р;пяния можна рсспядпти як аналоги р>вняиь в ч.:сгкоиих поздних о но-1.!нчгннс5им1рних просторах з м'рою. Т?кой ni",xifl дае мсклисхть рогг,!ядати упереджуюч1 сто/астичч1 р1вняпня.

Конструкц:я розширенсго стохастичного ¡нтаграпу у випац,<у : аусшськоТ iwipn була шзеденг в роботах М. Hitsuda, A.B. Скорохода, Ю.Л. Далоцькогс. Виячипось, що ¡снуюгь два pi3nwx мотоди побудови розширьного стохастичного ¡нтегоачу.

Один з Hiix .юс'язаний з розкладо>.. |ТО-Ё.НОр.' i досл1джонняы OfiOpaTOpiB на простор: Ооки. Одчак г.ри nepenoci qie'i конструкцп на випадок негауЫвсысо! г.;;ри В'1никають певж перешксди. Ц| перешкоди обходяться в деяких випадка:: (¡О.Л. Дд/'йЦокий) за допомогою побудови бюртогоналького poiicr.jfly, однак в дзн'ц": ситуацП розширений стохасп-чний 1нтеграл е. взагал'| кажучи, узггаль!)еною функцюю. Тому в робол будз розглядатися ¡нша конструкфя рс.*шмрп;юго ¡нтегрзпу. пов'язаьз з формулою ¡нтегрузання частинами. В гаусшсьюй сыуацп вщповщна по'будова вперше зроблена в робот1 Ю.Л. Дапоцького i G.H. Парамоновой для негаускського випадку -Б.В. Билоном, h.ß. HopiHHM. Для труп нелшймих пеоетворень ознгчення логарнфм^но; похщноТ i розширеного стохаспмного ¡нтегралу з'явилось о робип О.Г. Сыолянова.

В перин/ роботах про упереджуюч: стохчстичж ршняння (в гаус.вс!.юй сшучц») A.B. Скороход, А.Ю. Шеьлякоа, Y. Shiota, A.S. Ustunel ьикористовузали ризкгад iTo-Binepa i обмежились лише лЫ1йнкм>1 р!вняннг:ми.

Псгужнкм методом розв'язання упереджуючих стохастич.шх р!внянь ыи-'йяися магод упереджуючи» перетворень Прсаноеа, запропонований Г<. Бис! -iti-irt. ячий можна застсюувати i в негаусшсьюй ситуацм. Цей метод

виксристовуеться в дисертац1йн1й pc6ori для розв'язання лЫн"них рг.кячь з розширеним стохастичним ¡нтсграпом.

A.A. Дороговцезим побудоаанпй розширйний стохастичн/й ¡нтеграп i отримана формула 1то у вкладку, коли на тшдному йг.ОЕ1риоснсму i'ipor.rcpi задане деяке фоомальне правило диференцтовання та г.ов'лзаиэ з н/м формула ¡нтэгрувакня частинами. Дгр розв'язачня стохалумм.х р¡скг.чь використовуеться модификацж метода характеристик для диферзнцкэльних рюнянь з частинними похщними в сганченковикнрких просторах.

Мета i задач! дослщжеьня. Метою роботи с досл'дхолня аналпичних власт/. гостей розподМв функцюнаят в несюнченкозиг/лрних просторах з Mipoio. Для цього на просторах функц|й несинчьноьиглрчого аргументу будуються соболеасьга оперзтори диференцтовання i виачают^ся Тх зластивосп.

Отриман1 результати застосозуються такс»; для дослджскня уг.ореджуючих стохасткчних р!внянь, оск;лы:я до розш/рено'о стохастичмого ¡нтегралу мсжливий шдх1д як до узагаг.ьнення деякого диферотиального несюнченновим1рного оператора.

Загальна методика достджснь. 8 дан'й робоп виксристозупться матоди TeopiT м!ри, функцюнального анаж'зу га теори випадкових процесс.

Иаукова новизна роботи

• Знайден1 ноз! необхщн! умови на Mipy в пшмкому простора при я>:их можлива побудова соболезського оператора дифференц1ювання.

• Доведена локальнють . замикання оператора диференщювання за напрямком.

• Доведено, що якщс власн1 числа оператора, д1агоналького винсснс систег«и власних фукюуй задач! Штурма-ГИувшля, зрсстають не швидше, н1ж полном, то цей оператор буде локальниги лише у випадку, коли вЫ а многочлсном в:д оператора задач! Штурма-ГНувшля.

о Наведен! достать умови абсолютно: иеперорвносл розпод;лу фунхцюналу у вчпадку, коли на вихщнэму npocTopi г Mipo:o диоть нексмутуюч! припустим! групп

* Для лМйних стохастични* ¿¡внянь з розширеким стохастичним ¡нтегралом га логарифма,ним провесом дозодсмо теорему ¡снуогиня та едичосп рсип'язгу. Этримаж достатж умоии глздкосп Tpaetcropiii роза'язку.

Теоретична та практична цшшеть. Дисертаимна робота носить теоретичний характер. Bei отримаш в дисертац» результати е нопими i ыожуть бути виксристаш в матоматичнему та функцЬнзльному a:Han;3i, теорн винадкозих г.роцеав.

Апробац;я роботи. Основ:-» положения та результат дичсертацмнэТ роботи доповдалися на IV та VI мккчародних кочференцЫх ¡меж акадсм1ка М. Кравчука (Ки'ш, 1995; КиТв, 1997), Другм Укра'жо-Скандинавсьюй Конфсреици (Umea, Sweden, 1997), ьйжнародмй наукошй конфереицп Stocnastic and Global Analysis (Вороне», 1997), на наукоеих семшарах |кституту математики HAK УкраТни, КиТзського yHisepciiTow ¡Meni Тараса Шевченка, МТУУ "КПГ.

Пубш'кзцГ/. Осноз.ч; результати дисгргацп спублжован! в роботах [1-9].

Структура i об'еш робота. Дисеотацмна робота оРсягом 144 машинописних сторыок складаеться з вгтупу, трьох роздш|'а , списку цитованоТ Л1тератури, що кнетить 62 кайг^енування та виснонюв.

ОСНОВНОЙ ЗМПСТ РОБОТИ

У г ступ! обгрунтовуетъся эктуальнють та важлишсть лптань, що розглядэються в дисертаци, проводиться счисляй огляд близьких за напрямкэм роб1Т, даеться опис зм:сту та результате дисертацй.

В роздш1 1 дослщженЛ зластиьэст! мр I диференцЬльиих сператор:в у простора:: функшй нсскшченнов.им!р.юго аргументу. Навадемо основы розультпти.

Пехай Х- сзпарабельнкй метричьий прост^, Р - ймсгарнссна м:р.>, то задана на 'З(ХхЯ) - бсрглшсьюй <т-алге5р| добутку просторЬ, -уу - оператор диференцгопання за нгпря.мками з Я

£ : х И,Р)-> 1,р{Х х Л, Л),

до /I j складаеться з нелеоервно дсферонц!йопких пс друли коордгнат!

функцЮ, обмэжених своею пох^шою.

Теорема 1.1.3. Якгцо допускае ззмикачня з 1-р, р> 1, то г.'!ра Р о I .

абсолютно нсперервна вщносно ифи //хД, де Л - м1рл Лсй'с.'а нз и -проекц(я Р на 'чЗрч)-

Наведегий тако:к приклад яки.й почазуе, що умова екз1вэлРнтност1

О ' е д '

не 2 достатньою для того, щоб -т- дог.ускав яамикдмня наз1ти у

а I

вкладку, коли X складчсться з оджеТ точки.

У випадку, коли X - лшшний нормовакий простф, результат ттаро:..;; 1.1.3 можо бути выражений в ¡нш;:х терм!нзх.

Теорема 1.2.1. Нехай О/, - оператор дифере.адюваимя ло напр; мку п, -С„ //)->/., (X, и).

Якщо О/-, допускав замикання, то м;ра /; неперерсна а нслрямку h.

При роза'язаин: ди1Ьеренц!апьних або стохастичких fln^iepeHnianv них pibiir.Hb мсшшва ситуац1я, коли немае глобального розв'язку, який належить вихщному фу: ¡кцюналиюму ростору, однак ¡снуе "локалЬований" розв'язок. Наведемо процедуру лохалгааиД, яка дозвслле розширити д1ю необмеженого оператора в функцюнальному простор! на сухупысть функцм, яю не мають моментш.

Означения 1.3.1. ЛЫмний оператор j з областю визначення /')(/)с£ Г1(Х, и, Н<), який лриймае значения в функцюнальному npocropi

LpAKju, Нг), називаетьсч локальним вщносно системи вимфних множин I, Я1:що для довшъних f, g £'/)(/), Fe 'f кожного разу з pishocTi

(f-9)ZF-0 и- м.н.

сл!дуе

О' Ч q)zf=o ¡.i - м.н. Оператори, fiKi е локальними вщнэсно Bciei ст-алгебри, будемо називати строго локальними.

Означения 1.'>.2. ФункцЫ f:X—>H належить облает") визначення Ю(у'/ос) роз^иоення локального оператира у, якщо ¡снуе послщовысть Лункой {/■„ i Л>1 }cr/D(j) i множин {А таких що

'J = i

->) V п Л А„с:Лп,1, А,с{х: f{x)=fn(x)}. В такому оппг!Дку //2 - значну функцию д, таку що

v лИ д ■ Хл. ~Ха -jf" (mod /') '

наавемо ¿и</чомням дм оператора jioc на f.

Бихыыеи.ся, що замикання оператора диференцтоиання по напрямку е строго гока.'ьним оператором. •

Теорема 1.3.2. Якщо допускае замикання в Lp(XxR, i^(X>R), Р), то --

дс ■

иого замикання строго локальне. at

Зазначимо, що даний результат е посиленчям рашшз вщомих результата, в яких була доведена локальмсть в1дносно деякого класу "гладких вщкритих'' множин. або розглядався лише гауапський випадок

. При розглад)" властивестей локальних операторов отримзно наступний результат, що списуг локалы-м оператори, ям е функцюми в!Д оператора гздач! Штурма-ГПувтля.

Розглянемо крайову задачу:

d( du]

я0(н) = д,(н) = а.

де {р, р, q)<=Cx([a, Ь]), р >0, р>0, q>0,

R0 = t/(a) cosa+ ti'(a) sin а, R, =it(b)созp + гС(£)sin p.

Нехай {u„ | n>0}, {Ап | n>0} - сукупнють власних фунхцШ i б!дпоь:дних 7m власних зчачень задач! (1.3.4).

flari вважгемо, що ]|»„(д)|"р(лг)^лг= 1, п>0, i власш числа впорядкованк

0<Л0 <Я, <Л2 < ... , Лп -»эо, Л—>оо. Нехай L - оператор задач! (1.3.4), тобто L - такий самоспряжений оператор в ¡--¿{{а, Ь], р(х) dx), що на базиа {и:11 п>0} д:е наст/пним чином:

Lun~ Л.г и„, п>0.

Розглянемо самоспряжений оператор А, дшгональний вщнссно систем/:

{ип | л>0}. Тобто для кожкого fe Т>(А), f{x) = Хсу/„(.х) д1я А на ft.-, as вчгллг

ii=0

Uf)(.x)=la„cj/Jx), (1-3.5)

11=0

дe {u„ | /)>0} - фксованз поогвдознють ;чйсних чисел,

. ?)(/»)={ fe L2{{„, b), Р[х) dx)! Ic-a,; < - }.

Теорема 1.3.3. Не-хай оператор А який заданий формуппо (1.3.5), е лскапьним.вщносно. сукупност: шдкриткх м:гаж'.;н в!Др;зка [я, Ь], i ¡снуе leN,

Ii ,

г-|а„! •-■•• тгке що Inn—

Ii-»« и

Tofli ¡снуе многочлен ступени Р но вище, нЬк I, таг/.й що ап=Р{/.п), тобю Л=Р{1\

Випадок тригочо^етрииноТ системи функций на [D, 2л], тобто випадок,

сР ■ .

коли 1. — , Ьуло эозглянуто A.A. Дороговцевим. tlx~

В роздш! 2 розглядаеться пигання про абсолютну неперервшеть Б!Дносно wipn Jlc5eia розподту в R" гладкого функцюналу. Як правило,.умова абсолютно'! HenepepBnocTi гарантуеться неЕиродженютю м.н. :латриц'|, яка склада о гься з скалярних добутюв <Df,, Dfj >, де noxuHi Df, взят'| вщносно делкого простору допустимих напрямюз вихщнзТ Mipn. Дании результат для геустських Mtp отриманий такими авторами, як Р. Malliavin, Ю.А. Давидов, для диференц'йовних r.'ip - A.B. Угланов, для неперервних - В.!. Богачов. В деяких cinyauii'x вихвдна ймоЫрносна Mipa • може не матн допустимих хшйних напрям! :з. в "i ой час як на вихщному ймсв1рносному npocvopi може дюти трупа непМйних допустимих перетворень, як! переводить Mipy в абсол'отно иогюрервну вщносно 'и само). Це'й випадок ефективно дослщжуеться за догюмогою метода розшарувань, розробгеного Ю.А. Давидовим, М А. Якршк.ем.

В iiaciyniiüi TeopeMi розглядаеться ситуация, коли на ймов1рнюному npocropi мо>;;е д!яти не одна, а деюлька допустимих труп, яю не обов'язк ьо

КСМ/Г у'ЮТЬ.

Теорема 2.1. Исхай на ймов1рн.осному npocTcpi (X '"(X), Р) д|';сть — допустим! групп 7'/!^) , к> 1; D> - noxirha по rpyni Y'K>. Розгллн^мо

рщображоння r=(Fi , ... , Fn) :X~>R". Якщо для майже вс:х х (mod Р) знайдзться Tai;a трупа Т**', що Рдиференц!йовна по в точ^ х i

то PoF'[ - розподш функцюналу F, с лСсспютио нспсреовнич в!дчоочо м'ои Лебега Л".

Нехай Х - сепарпбельний банах!з прост:р, it - ймов!рносна Mips, зацпна на борел13с:.К!Й a- anrcBpi "^(Х), /; неперервна за напр~ги:с.':л з сепг.^абсльногс гтьоертоза простору Н, неперерсно окл-адгнсгс з X.

Кэхай Ьт0, h'eX*, </)*, 0. Ототожнкмо X з добутком

простоев X=Ker n*xfJi})=YxR. Псзначимс через /¿{h: (у, at) умсзы r/Лри на ДОхК.

Теорема 2.5. Припустимо, що ¡снуе ортоноомований Засис {<5,, | п> що для кожного леД/ ¡снуг тасий вариант умовгах м!р, що м;пи ){Уг,, •) мають мсперер^ну щтьнють для Bcix у„е Ул=Ког еп*, до <е.Л Н-зхэй функцП' Ft , ... , Fn належать обласп Еизнпчен:-;п

оператора DfK - локалйацм (означения, 1.3.2) замикэння оператора д-гференцкоагння за напрямксми з Н. Якщо

i, S\dlf„dlf)\, - о j=0,

то ¿'or"' <</." де F=(ri, ... , F„).

Наслщок. Нехай м:'ра //, диференц!йовна вздовж пльбсртова простору Н, неперервно вкладемого в X, г=(р1, ... , Р„): X—>/?", Я* належить обласн ьизначення оператора Д^..

Якщо * о)=1, то ;/оР "'«Я".

Даний н. лщск при п=1 отримано ¡ншим методом Б.1. Богачовим I О.Г. Счоляновим.

В розд!л1 3 приводиться побудоаа розширеного стохастичного ¡нтеграпу, досл!джугаться його властивост!, розглядаються аналоги дифузиших ршнянь в негаусшськсму випадку.

Наведемо коротко конструкц'1ю побудори розширеного стохастичного ¡нтегралу.

Розгляьемо ймоа!рносний проспр (X, ''о(Х), де X - сепграбельний банана проолр.

Нехай сепарабельний гильбертов прост;р Н неперерзно 1 щ;лыю Бкладений в X за допомогою оператора /:/-/->Х, а м1ра ¡л диференц!йсена за наг.рямками Н. Дал) вважасться, що логарифм^чна похщпг л м!ри ¡л задоЕШьняе умов1

/7>е1р(Х, /;).

Ототожнюючи Н з його спряженим, отримаемо, що /* неперервно 1 щ'тьно вкладае X* в Н - Н*.

Нехай О : ' )(0)с/_р (X, /;)—(X, /I, Н) - оператор диференцновання по Фреше за напрямками простору Н.

В рол! вихкноТ облает! визначення оператора диференц!ювакня О шзьмемр множину Г{0)~ТСцилищричних нескЫченно диферен^йозних фун'хмй, обмйжених разом 31 своТми похщчими,

ГС = {/ - /((<■',"••}.....('•;.•))!'' е .-л/ е сг(л-).«.; е х-}.

Означения 1.2.5. Заммкання оператора О в простор! (котре також будемо позначати символом О) називаетьси стоузстичною похпною. Область визначення Обуде позначатися символом II' '=4' .'(X, //).

Означення 3.1.1. Розширеним стохастичним ¡нтегралом

1:ЮрсЦ(Х. //, Н)->Ц(Х, //), + ^ = 1 нззиваеться оператор, спряжений до

оператора О:г^1.0(Х, //)-► //, Н).

Розглянемо теперь випадок, коли Х=С3([0,1]), /-/=/_2([0.1 ]). (.«У*,

// - розпод|'л випадкового процесу ¿'(О-

Означення 3.1.2. Процьс т(0='(.'/[о..']) називаеться логарифмнним процесом и1ри

Означення 3.1.3. Процес хе£.1(Хх[0.1], df.ry.dt) належить О - обласп визначення розширеного стохастичного ¡нтегралу по логарифммному процесу т{(), яюцо ¡снуе така випадкова величина д&ЩХ, //), що для довтьного /е / виконуеться ршжсть

\\хШ,/11и1г.=\ Ц[с1и. (3.1.4)

.V О .V

Цю оипадкову величину д назвемо ¡нтегралом в1д процесу X по логарифмнному процесу т{1) I будемо позначати

|х(гХ//и(/).

о

Пщ виразэм }.\'(.у)£//;г(.у) розуммть } x(s)v|IJ/|(s)(///l(s). Слщ вщзначити, що

якщо // - розподт в1нершського прсцесу то т({)=и/(/), 1 ¡мтеграл по

логарифм'|чному процесу е розширеним стохастичним 1нтогралом Скорохода, яки."; совпадав з ¡нтегралом 1то на сукупиост! неупереджуючих випадкосих ■ лроцеав. Означення логарифммного процесу 1 рюняння з ¡нтегралом по

логг:р',и!\'.:':чному процесу у випадку, коли на вих'щнопу ймов'|рносног,'у простор'! зг.л-знс деякс формально правило диферснщювання та повязана з ним формула ¡нтефувапня частинами вг.ерше були розгляиул A.A. Дорогозцевим.' Розгг.яисмо ршмяння:

fjv(.') - uitMtUt + Kt)x(t)Mt), .

W» = .v0,

до Xo - оипадедаа величина а, b - виладков1 процссн. Теорема 3.1.1 (юнузангя та сдиносп).

Нзхай ЬеС([0,1 ]) - непилэдкева функцю, aeL, (Хх [О,Л), ¡¡cLr(X). Tofli р:вняння (3.1.6) маг единой розв'язок. Причому цей розв'язок можна лродстазти у [¡ИГЛЯД|

x(i) = ;?(.-Оехр{|aXT,Ä,W\L„ . (-р.7)

ДС-

Т:со= с) +J xM(z)liz)ib, со е А',

о

.I/o =•■ Г,''со = (О-J xwXz)b{z)dz,

, d(uoTrl)......

L, -----j— ■■■ - щ:льн1С""^ зсунут01 wipn.

Формула (3.1.7) для рюняння (3.1.6) з роз^ииронг.м ¡нюгралом по BiHepiscbxoMy процесу була стримсна R. Bucl;dahn з використанням теореми Прсанова.

Алрокспмацьт розшироного стохэстичного интегралу ¡нтегро-дифиренц!альними образами i застосусання методу характеристик для резв'язаьн,. р:знянь з розширеним ¡нтегралом зд!йснена в робот! A.A. Дорогсрцева.

Б §3.2 доведена гладюсть у/.ов:юго матемпичного слод1ванья

E(d, c\F 1, .... , F,)), р^ z,, F......F,, - глэдю випадков1 величи.ги. Отримаж

с :зйд-юионня мЬк розошреним стохастичним ¡нтегралсм i умозним

ыитоматкчним спор.'- ¿нкям.

и

Нэхай .....Нп - гладк1 випадков1 величини. Припустимо. то матриця

Мпллявена ¡О,.|| = I /.. нсвиродженэ // - м.н. Покладомо

Введемо нас1упж позначеннч: Г=(г-1, ... , Р., ):Х—»г?", гг., -о{Р), Еа" — Е{ ■ |<7Л) - умовме математичне спод;зання вщносно <т- алгс-Зри <7.,

Теорема 3.2.1. Нехай ^е'Г,], г,.....Р,,:;'!'/^ </, - ,1)Р] с- /),

1 I 1 1___ _ . . в

- = —+ -^--1-—< 1, I Щ1льнють розподту вщображоння г непирорана и додатня.'

Тод1 Я""!; 6 I! г\ 1 справедлива наступна формула:

.0/:°%- = £{£"'4 Еа-Ык -£"■■{$к!к) + £"«(/>£.</<»£>/•; .

Теорема 3.2.2, Нехпй таю ж, як \ в теорем1 3.2.1, в^/1,,,

V« Р У)

Тод\

Е"<!с) = +/£<!1Е"»(ОГ„а) }.

I ^

причому

Ы

В § 3.3 отриман1 деяю достатт умови, яю гарантують гладкють розв'язюь лМйних ртнгнь по лэгарифмЫному процесу.

Теорема 3.3.2. Нехай виконуються умо'ви теореми 3.1.1, \ ¡снус

модифжацЫ щ'тьнисл Дх, (л)■ ¿=[0,1], гака що /?(х,

te[0,1} i /ix, ■) неперервна no друпй змЫнж для ecix XeX\ XqgIV at elVp, •

И0.1]. '

Tofii ¡снуе модифжацЫ розв'язку ршняння (3.1.6), яка мае неперервш траекторц.

Теорема 3.3.3. Нехай м!ра // задовтьняе наступним умовам.

1снус ортонормооани.й базис {/*('',",) I Л> I}, е',е.Х* простору Н, такий що:

;)(£ff"n,/.-n„/.)£ /.ДдН),

р„ = Я„А - /7,Д (A>//J -»О, и > (3.3.2)

Тут сУ/1 =сг(<, • >.....<с-;„ ■ >}, П,. - ортопроектор на

I

2) Mipa и„ - сумюний розпод л <е;, • >, 1<к<П мае неперервну й додатню щшьн!сть в R" для кожного neN.

Нехай функц1я FeJP Д де р> 1 така, що DFsLx(X, ¡л, Н). Тод: ¡снуе

модиф|кац1Я F -F ¡.i- м.н., така що

VxeX, V/76H I F(x+i(h)) - F(x) | <c||/4 , ДС c=,DF,|w.VjlJ/).

Теоргма 3.3.4. (гельдеровють траесторш розв'язку) Нехай виконуються умови теореми 3.1.1, XoefF;; a(i) е»^, i ¡снуе таке а>О, що для Bcix с>0:

sup Е

Ф

i виконуеться одна з наступних умов:

(¡) Dx0eLx(X, ¡л, LK([0,1])); J|D

1С

або

(i¡) викэнуються умови теорем.! 3.3.3 i DxycL, (X, //, H);

Тод! ¡снуе г.:3дификац1я розв'язку р1вняиня (3.1.6). Tpaeirropii яко'| задовшьняють yMOBi Геледера з показником ррля дов1'льною р< 1/2.

ОСНОВЫ! РЕЗУЛЬТАТА ТА ВИСНОВКИ

1. Доведено, що иообх^ною умовою можливосл замикання оператора дпфсрсн^юспння za напрямком I побудови в1дповщного соболевського простору с умова неперервносл 1.фи у цьому напплмку.

2. Дос-сдсна нластиеють ликальносл соболевського оператора д. ч'г-'РонЦ::оаан;ня 33 нгпрямком у просторах ¡нтегрозних функцм.

3. Доведено, шо »ацо власп числа оператора, диагонального вспоено системи вллснпх фуншй задач'| Штурма-Гмув'тля, зростагать не швидше, н'|Ж стсленева функцш, то цей оператор буде лскальним лише у вгпадку, коли в!н е многочленом в1д оператора задач1 1Итурма-Л1увтля.

4. Огримпж достатж умови абсолютно']' неперсранссл розг<од1лу функцюналу у сипадку, коли на ьихдному простор! з :.ирога дто'ь некомутуюч! припустим! груг, И. (

5. Доведено ¡снування тэ едижсть розв'язку лшнчюго стохастичного рщняння з розширеним стохастичним ¡нтсралом за логарифм1Чним провесом.

6. Наведеж достатж уме зи гладкосл траектср^ розв'язку л1жйного стохастичного ршияння за логарифмнним процссом.

Публ1кацп по тем1 дисертацп.

1. Пипкпекко О локгпьности замыкания дифференциальных операторов II Теория случайных процессов. - 1995. - т. 1 ("■ 7), сыг,. 1. - с.95-101.

2. Пилипенко А.Ю. О легальности операторов, заданных на пространствах интегрируемых е квадрате функций // Математика сегодня, науч.-метод. сб./ Под род. проф. А.Я. Дороговцева.'- 1995. - с. 26-41.

3. Пилипенке А.Ю. О локальных операторах, диагоьальных относительно системы полиномов Эрмита // УМЖ. - 1995. - №4. - с. 555-561.

4. Пилипенко А.Ю. О свойствах операторе стохастического дифференцирования, построенного по группе,'/ УМЖ. - 1996. - т.48, №4. -с. 566-571.

5. Пилипс.чк&Л.Ю. Про абсолютну неперервжеть розпод1шв гладких •оункцюналщ /У Тези допоЫдой IV М1жнародноТ науковоТ конференцП' ¡меж М.Кравчука. - Ки'т. - 1905.-с.194.

С. Пилипонко А.Ю. Про гладюсть розв'язюв уг.ереджугачих стохастичних " ршнлнь □ негауазському випадку // Този Шосто!' Микнародно:' нау.човоТ конфоренцП' ¡мен1 М.Кравчука. - КиТв. - 19S7. - с.31 i.

7. Pilipenko A.Yu. Filtration of linear equation with extended stochastic integral // Stochastic and Globai Analysis, Abstracts. - Voronezh (Russia). - 1997. - p. 5152.

8. Pilipenko A.Yu. The properties of the s'ochastic differential operators in the non-gaussian сазе // First Ul.rainian-Scandinavian Conference. Stochastic Dynamical Systems: Theory and Applications. - Uzhgorod (Ukraine). -1995. - p.69.

0. Pilipenko A.Yu. Anticipate analogues of diffusion processes II The Second Ukrainian-Scandinavian Conference in Mathematical Statistics. - Umea (Sweden). - 1997. - p.87.

Лил.'ппко А.Ю. Глады функцюнали та диференц1альж оператори на носк1нченнооим1рних просторах з Мфою -Рукопис.

Дисеришя на гдобугтя науковото ступеня кандидата ф1зико-матемаг.мних наук за спец1альнют*о 01.01.01 - математичний анал1з. - 1нститут !.- -.тематики НАН Укратч, Ки'1'0, 1907.

С дчеертацмнм робол вивчаються умовн1 М1ри, що гиникають при дезимтегрувпшн ймовфнооних «¡р в несг.Ыченновимфних просторах по негладким поворхням, отрима о результати застосовуютьсг для дослщжпння властивосто;. функцЬналт вщ гмпэдкових процеав.

Офимаш нообх!дн1 умови на мфу в гашйному простор! при яких можлива побудопа соболевського простору; доведена локальчють соболевського ог.ератсра дитеренцмвзння; одержан!, достатж умови абсолютно!' нолерервносл розпод1лу функцюналу у випадку, копи на вих&ному простор! з м:рою д1с припустима трупа: /,ля пш!йних стохастичних рш!= . . з розширеним стохастичним ¡нтегралом за логарифммним процесом доведено теорему ¡снузання та единосл розв'язку, отримаж достатн! умови гладкосл траекторм розв'язку.

Ключос! слова: прослр Соболева, оператор стохастичното дифоре; ц1ювання, абсолютна неперервнюгь, квазмнвар^нтна м!ра, дифс-ренцмогна м!рл, логарифммна по.-эдна м1ри, розшпрсний стохастичний ¡нтеграл за логарифммним процесом тадкоТ мфи.

Пилипенко А.Ю. Гладкие функционалы и дифференциальные операторы на бесконечномерных пространствах с мерой - Рукопись.

Диссертация на сосканио ученой степени кандидата физико-математических нау;. по специальности 01.01.01 - математичзский анализ. -Институт математики НАН Украины, Киев, 1997.

В диссертационной работе изучаются условные меры: которые возникают при дезинтегрировании вероятностных мер в бесконечномерных пространствах по негладким поверхностям, полученные результаты гспользуются для исследования свойств функционалов от случайных процессов.

Получены необходимые условия на меру в л::нейном пространстве, при -которых возможно построение соболевского оператора дифференгяроолиин: доказана локальность соболевского оператора дифференцирования; получены достаточные условия абсолютной непрерывности распределения функционала в случпэ, когда на исходном пространстве с мер"й действует допустимая группа; для линейных стохастических уравнений с расширенным стохастическим интегралом по логарифмическому процессу доказана тс рома существование и единственности решение, получч:!ы достаточные условия гладкости траектории решения.

Ключевые слова: пространство Соболева, оператор стохастического дифференцирования, абсолютная непрерывность, квазиинвариантная мера, дифференцируемая мера, логарифмическая производная меры, расш-.-;-очный стохастический интеграл по логарифмичьскому процессу гладкой меры.

Pylypcnko A.Yu. Smooth functionals and differential operators in the infinitcdimensional spaces with measure - Manuscript.

Doctor of Philosophy thesis, speciality 01.01.01 - mathematical analysis. -Institute of Mathematics, National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 1997.

This thesis studies conditional measures appearing during desintegration of probability measures in ;nfinited:mensicnal spaces with respect to non-smooth manifolds. T he obtained results are applicated for investigation of properties of functionals of random processes.

The necessary conditions on measure in linear space for construction of Scbolev space ore oo'ained; the locality of Sooolev derivative is proved; the sufficient conditions of absolutely continuity of functional^ distribution are given in the case when the admissible group acts on the initial probability space; the thecrem cf existence and uniqueness of solution of ¡¡near stochastic equations with extended stochastic integral is obtained, the sufficient conditions of so'ution's trajectories smoothness are given.

Key words: Sobol^v space, stochastic derivative, absolutely continuity, quasiii.variaiit menviro, differentiable measure, logarithmic derivative of measure, -extended stochastic integral with respect to logarithmic process of amoc'.h measure.