Гладкостные и предельные свойства решений параболических уравнений второго порядка тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ МАТЕМАТИКИ И КИБЕРНЕТИКИ

На правах рукописи

АЛХУТОВ ЮРИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

ГЛАДКОСТНЫЕ И ПРЕДЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

01.01.02 — дифференциальные уравнения

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва —

1992

Работа выполнена в Институте математики и механики АН Азерб. Республики.

Официальные оппоненты: доктор физико-ыагекагических наук,

профессор А.А.Д23ИН доктор фиаико-матештичоских наук, . ведущий научный сотрудник А.И.ИБРАГИМОВ

провес сор Л.А.ШИП',!ДРЕВ

. Ведущая организация - Институт прикладной математики и

механика АН Украины.

на заседании Специализированного совета Д.053.05.37 при Московской государственном университете иц.М.ВЛоиоснова по адресу: 11989;*, Москва, Ленинские горы, ИГУ, 2-й учебный корпус, факультет вычислительно:! ыатекатши и кибернетики, ауд. 685.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке факультета ВМиК МГУ мы. М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан "" ТЗЭ^-г.

• доктор йнзико-матештических наук,

Защита состоится

Ученый секретарь , 1

Специализированного совета, л) I .

профессор (аЛС^^ Е.И.МОИСЕЕВ

ОБЩкЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

лнрртдцмрциои, работ» паям то Я!

а) иоояедоваше разрзшиооти первой краевом задачи дм т-рабомчеоких уравнений в цилиндричеокой обдаот* я случае, когда негладкими является коэффициент уравнений ила граница области;

б) огшсавме веошых пространств функций, в которых первая краевая задача для параболических уравнений раареиииа в нецилинд-ричаоких областях о изолированными характеристическими точками;

в) изучение дифференциальных и асимптотических свойств решений эллиптических и параболических уравнений, коэффициенты которых имеют минимальную гладкость; .

г) изучение устранимых особенностей решений параболических уравиений.н различных клаосах функций.

Актуальность теин диссертации. Теория параболических уравнении включает в себя, в чаотлосзм, такие вопроси, как разревн-иооть краевых задач, внутренние я граничные оаойотва решений, исследование устранимых особенностей в различит клаооах функций и т»д.

разрешимость ооновнаг краевых задач для дивергентных и ее-дивергентных параболических уравнений второго порядка в дедиид-рической области хорошо изучена в работах О.А.Дадшанской, К,И. Витка, В.А.Ильина, А.Фридааш, В.А.Солонникова, С.Д.Эйдельиана, Л.И.Камынина и др.

Интереоньм здесь представляв тоя выяогзкяв влияния свойств границы облаоти и коэффициентов уравнений на раврешииость краевой задачи и внутреннюю гладкость решений.

Влияние границы, если её особенности локализованы,в каждой конкретной сизуации изучено достаточно лоляо. этоцу направле-

- k -

кию» начиная с ирследований В.А.Кондратьева о пове/«о»- рвкши^ эллиптических уравнений в окрестности конических точек, посвящено большое число работ,

Вопрос о Lp- рзрашимооги краевой задачи & областях более оложной структуры изучен эичительно меньше,

Раз решим ос гькраввьк задач для траоилических уравнений в не цилиндрических рбдасгях барах свое начало о-работ И.Г.Петровского и находит дальнейшее развитие в .исследованиях В.П.Михайлова и В.А.Коядранлва, 1оиыпготичвскоау поведение и оценка» модулу непрерывности реваний в таких областях посвящаки работы В.А, Кондратьева, Е.М.Ландчса, А.А.Новрувова, И.Т.Ыааедова и др.

Нахождение асимптотики решений краевой задачи тип возыояно более широкого, класса параболических уравнений второго порядка : о 'негладкими коэффициентаии здесь тесно связано о точный описание и весовшс npooTpauoîB^ в которых справедлива двухвесовая коэрцитивная ¿р -оценка для «сдельного оператора теплопроводности.

Классически« в теории диффера идеальных уравнений является вопроо о повышения гладкости обобденша. решений.

Сравнительно^ пало этот вопрос из следован в направлении выявления точной -вавиошооти ыэкда свойствами коэ^фидоенгов и глад-

I - » . ■

кооты) в фикоиройааяйй »очке рбласти обобщен®« речений эллиптических и параболических уравнения.

Впервые в ?акой постановке эта задача для дивергентных эллип-

тичеоких уравнений была рассмотрена Л.А.Багировьы и В.А.Кондрать-

' ■

Другим клаооичеоюш объект ou в теории дифференциальных уравнений двлнатоп вопрос об уогранкивд особенностях решений в рвали чных классах функций. Наиболее полно он исоледовак для эллиптических уравнений. Сюда стаооягоя работы Л.Карлэоона, В.А.Конд-. ра тьева, В,Г ,Иааьи К В Д.Хавана, F .и.Лакдия&, Е.И.коиоеава,

- 5 -

Ю.В.Егорова, А.А.Новруаова и др.

В случае параболических уравнений азот вопроо не изучен даже применительно к тех функциональный пространствам, где установлена обобщенная разрешимость основных краевых задач.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые ре-, чулыаты: '

1. Установлена ¿р -разрешшооть первой краевой задачи для дивергентных параболических уравнений в выпуклой цилиндричеокоЯ области.

2. Найдено точное условие типа Кортеса на коэффициенты недивергентного параболического оператора, обеспечивающее одяо-

аначную разрешимость первой краевой задачи-в цнлиндричеокой области. ' .

3."Исследована раарэшиыость в веоовас проотраштвах первой краевой задачи для параболичеоких уравнений а яацилиндрической . области, швюцэй изолированные характеристические точки. Найден критерий на.весовые' функции, при выполнении которого, справедлива двухвесовая коэрцитивная ¿р -оценка для операторов о постоянными коэффициентами. .

4. Исследованы даффере идеальные свойства и асимптотическое поведение обобщенных решений эллиптических и параболических уравнений с непрорывньаи в точке коэффициентаии. : .

5. Исследовано асимптотическое поввданиэ решений первой, краевой задачи для параболических уравнений в вецилиндричеокой области вблизи изолированной характеристической точки границы при минимальных требованиях сткссятэяьно коз^ятентов.

6. Найдены критерии устранимости компактов для решений дивергентных параболических уравнений в пространствах функций, описывающих разрешимость основных краевых задач.

Методы исследования. В работе ведущими являются два метода:

1. Метод теории потенциала, основанный на интегральной представлении речений рассматриваемых уравнений с поиощыо фундадан-таяьиого решения или функции Гриш.

2. функциональные ыетоды получения коэрцитивных оценок для параболических операторов в дивергентной и недивергентной формах.

Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Часть результатов, относящаяся к разрешиости краевых га-дач и внутренней.гладкости решений, ноже! быть использована г тэори нелинейных уравнений, а исследования, проводимые в кеци-яетряическпх областях, иогут быть применены в задачах о меняющейся со временен границей.

Апробация диссертации и публикации. Оонозныо результаты диссертации докладывались на сеиитрах по дифференциальныа уравнениш кеханико-кагештического факультета МГУ, факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ, Математического института им.В.А.СгекдоЕа, Института математики и механики АН Азербайджанской Республики.

По теме дисоертации сдзланы доклады на конференциях по нелинейный задачам математической 4«аики (г.Донецк, 1986, 1989, 1991 гг) и семинаре ии.И.Г.Потровокого (г.Москва, 1990 г.).

Основные результаты .отражены в 6 работах актора.

Объем и структура работы. Диссертация состоит на введения и грех глав, изложена на 237 страницах машинописного текста. Список цитируемой литературы включает 74 наименования.

СОДЕРМШЕ РАБОТЫ

Во введении дается краткий исторический обзор, определяется место полученных в диссертации результатов среди других

В диссертации раооыагрираютон дараболи'чвокив уравнения ей»

аГи «т-и^ ^ (ц

и на прогяжения всей райого предполагаема, чго

I * АШ* А«.а*#>о

* . В дальнэйиеи и означаюг.ввклидозш лроотраногва

точек (4,И ¡XЭ^и) ооо^вэтотввНПО,

Парная глава посвящена изучению разртшмооти первой краевой .

задачи. •

8 § 1.1 уравнение (I) рассматривавюя в цилиндра Огк1)к(01Т)

о параболической границей Р(0|>)' и ограниченным оснозанием2>с ,

граница "ЬЗ) которого принадлежи* квасоу С* •

Иоследуетоя разрешимость задачи

Хи*1 « От, ,), <3)

в пространстве А

Интерес к данному вопросу обусловлен работой Н.Н.Уральцавой /I/ о невозможности -оцэнок дня эллиптических уравнений о раарывнши коэффициенмии.

Точное условие на отарше коэффициент (Х{Н ооотввгсмующе- ' го эллиптического оператора (уодсгиз Хсряеа), при выполнении которого задача Дирихле в области с ^„ однозначно разрешима в проо!]внот1э Щ^Ф), выло найдено. Д.Таленм.. Оно имвв» вид

тир & >

- Й -

где -И - размерность пространства.

Вопрос о регулярном об обща нки этого условия на параболические уравнения оставался открытых.

В настоящей диссертации предполагается, что

1?;*и'х)А I а*"'х))г< & - <*>

г да

и у я

^ = £ аии,хущ}ирЕ аиа,х) ,

, А* ¿¿>({5Г) , где р* мая (2, при

и сг >о; при и=2 .

ТЕОРКМА I. При сделанных предположениях задачи (3) однозначно разрешима в пространство ^т) к ■аля рэиония * '

справедлива оценка

с постоянной С | на зависящей оч и и / .

Б случае эллиптических уравнений олед патрицы Цй^Ц ,

НО

'ограничивая в общности, всегда шжно считать величиной посгояк-иой и превращается в классическое уелоше Копдеса.

В заключение параграфа приводится пример, показывающий, что , в (4) неравенство нельзя заменись на равенство.

В § Х.2 и 1.3 для дивергентного оператора щ' вида (2) без младших членов и о непрерывными в От коэффициентами рассмотрена разрешимость задачи

® №

в пространстве (От) при ,

_ 9 -

Основной результат здесь заключается в следующем: ТВОТЕМА 2. Если основание и*линдра является выпуклой ограниченной областью, то задача (5) однозначно разрешима в пространстве (5Г)? и для её решения справедливо неравенство

с постоянной С , не зависящей от Ы , ^ и .

Аналогичный результат о разрешимости задачи Дирихле в лро-странства \Ц> (2>) в гшггуклгг» ограниченной области Р установлен И для дивергентных элшгтгатеких уравнений ; непрерывней в 3) -коэффициентами.

Приводятся примеры, показывающие, что- требование выпуклости области 1) (если её граница на принадлежит классу С1 ) и свойство непрерывности коэффициентов существенны для справедливости доказанных творен.

Остальные параграфы первой главы (§§ 1Л-1.7) посвящены исследованию разрешимости первой краевой задачи для уравнений (I) и (2) в нвцилиндраческих облаогях.

Опишем вначале класс модельных областей.

Пуоть £с£и- ограниченная область и ЭСМы будем говорить, чгоДс.£т| является Р областью о вершиной в точке

и основанием Эс , если для любог.о сечение Л

гиперплоскостью ■£гГ совпадает о

Аналогично, ¿1 называется Р* областью с вершиной

в и основаниям 3)е Еп , если её зеркальное отражение через

гиперплоскость является Р областью с вершиной в точке

№) и основанием 2? . В частности, если $бС(£п)

является И

областью с основанием 1)={х: /(эс-х°) <£}

Предполагается, что граница исходной области Л с Е„н может

--I0.-

оодержать только две изолированные точки, в которых касательная гиперплоскость перпендикулярна оси i и при этой в окрестности каждой из этих точек сущеотвует преобразование переменных (инвариантное относительно рассматриваемого класса операторов) , отобракаюцее Л в одну из модельных Р* или Р областей. (Более детальное'описание проведено В.А.Кондратьевым в работе /2/),

Всюду в дальнейшем'предполагается, что граница основа* 2

ния модельной области пригадлежит классу С , если рассматриваются недивергвн»ные уравнения, и классу С , если речь идет о дивергентных уравнениях. '

■ ni

Изучение краевых задач достаточно провести в г областях о ворсиной в начале координат. Определим для них пространство функций H^ttlJ .где ЛТ«{«>ГИ*И; Г >0.

Пуоть W(t) четная функция, положительная и непрерывная в (о,*0) , удовлэтворяющан при ¿#0 условию

CjWtfc) 6 af(Zi)&CzW(i) (6)

о некоторыми константами Ct?0 ,СЯ>0 ,

Тогда для целых и p>d озюча-

ет замыкание по норае * у

null -if? I '

мнохеотва гладких в Л-р функций, равных «улю на параболической границе /*(йг) . В случае ШИ)* Ш* пространзтва И^ будем обозначать через Н^ .

§§ 1.4 ♦ 1.6 ! посвящены изучению задачи

¿u-li^ «Л,./« *l4SLT)t uj—o (7) С помощью оценок функции Грива (§ 1.5) в § 1.6 найдено яеобоъ

- ir -

дикое и достаточное условие на весовые функции W0 и Ш , при выполнении которого для гладких в ílr функций U , обращающихся в О на ПДТ) , в модальной области Лт справедлива оценка

с постоянной С , на зависящей от U .

Для формулировка этих результатов обгэначии через первые собственные числа задач

£ (ехр(*1}1г) v: ) +у*ехр(7 \}ll)V+=o i Т>, tf'l =0 (9)

isl ' liP

и положим a*pV~fy+»/z , *Hfl .

ТЕОРЭЦ 5. Для того, чтобы в Р~ (соответственно Р+) области Л с вершиной в начгле координат я ограниченным основанием Ъ было выполнено неравенство (8) с постоянной С . не зависшей от (X , необходимо и доогаючно выполнение у слом й

sup j uj0(vtaJv ( ¡ («дг/т*/ JrY* < -о Сio)

и ' .

Т . « -J. vP"

sup fwolT>rUr(S(VWt) ctt)*M2*'" (П) tt(o,TJ * О

соответственно.

Отметим, что оцвнкр (8) при р«2 дйя степенянх взсов и W впервые установлена В. А. Кондратьевым".

Условия видч (10) и (II) была использована Б.Макенхауптои при изучении двухвэсовых нерйвбпЗхБ Хардя.

Из оценки (8) вытекает разрешимость задача (7) в просГрви-стве H¿£(SlT).

Еоли /I является Р областью, то реиение всегда единственно и в § 1.6 приводится близкое к (10) необходимое уело-

г

вие на UI0 и U7 , при выполнении которого задача (7) раз pe-ашыа для любого свободного члена /с H^fiJl,.) безотносительно справедливости оценки (8). .

Приведем еще один из результатов § 1.6.

ТЕОРЕМА <1-. Если fl является Р* областью, что для единственности решения задачи (7) в пространстве необходимо и достаточно выполнения условия

7*

ш0( т;гвс/г=<*>

о

Аналогичные результаты доказаны и для слабых реивний и о дельной задачи „

Au-u^ld,)^ Щ.ЫфЦкЦициI

в пространстве . V

Все утверждения § 1.6 справедливы также в случае неограниченной области /1 (когда Т'00 )•

В заключительном § 1.7 исследована разрешимость первой крае вой задачи для уравнений общего вида (I) и (2). Построен пример показывающий точность налагаемых ка коэффициенты Q,-« ограничений.

Во второй главе научаются внутренние свойства решений уравнений (I)' и (2)

. Предполагается, что коэффициенты недивергентного оператора ££ и свободный член | непрерывны в фиксированной точке . и",Xе) рассматриваемой обюсти ЛсЕнли при (i,x)t£l .

| а,к (t, о)-aiK +1 а4-«,эц- а4- (t0,x'J| +

где у>(2)&0 - непрерывная, неубывающая на некотором отрояко СУП функция, удовлетворяющая условию Дини

j оо (13)

Хорошо известно, что воли условие (12) справедливо для всех И, V) t(i',xe)tSl , ;го при выполнении (13) решение

уравнения (I) принадлежит пространству С*"Ч>А) (по повода этого и последующих обозначений см. /3/). Если же модуль непрерывности коэффициентов хотя бы в одно* • точке №,*') перестает удовлетворять (13), то, как показано С.Н.Кружковым /V и A.M.Ильиным /5/, отмеченный факт, вообще говоря, уже не имеет места.

Аналогичное утверждение справедливое для слабых решений уравнения (2). В этом случае, вообще говоря, UfCl/0(A), если (13) нарушается отнооительно модуля непрерывности старших коэффициентов Gt<к . Соответствующий пример мокко извлечь из работы Л.А.Багирова и 0.Д.Кондратьева /6/.

В настоящей диссертации нас интересует вопрос о дифференциальных свойствах обобщенных решений рассматриваемых уравнений в точке H"tx°) непрерывности их коэффициентов,

ТЕОРЕМА 5. Пусть относительно коэффициентов оператора вС и свободного члена / выполнены условия (12), (13). Тогда решение Ui Щ>,1а Ш) уравнения (I) имеет в точке (¿1 классические производные видов UXt H0,X°J , Ux.x.(i*x°), U^lfiX") {i,j=ir.., n) и в достаточно нал о it окрестности (i°txe) справедливо асимптотическое представление

и и,х)=иа'х')+ Z &r*t)uxM0,»и-Ш^а'.х*)*

* £ j I WXXj -2рих.хМв,х°>+о(1Н'( + IX-X'I2;

¿,j-l 1 *

Отметим, что существование производаых в окрестности

Ц", X") сле.дует из результатов В.А.Солоннихова.

В случае дивергентных уравнений непрэрывнши ло Дини в точке (Iй, Ха) предполагаются только старвие коэффициенты, a Gt(- ,

ая/ считаются ограниченными в Л функциями.

ТЕОРЕМ б. Пусть и^ьЦЛ) является слабым решением уравнения (2). Тогда при сделанных предполонениях функция Шимеет в точке (4* Xе) классические производные иХ£а°1Х')(1^11...1п) и в достаточно малой окрестности справедливо асимптоти-

ческое представление

Непрерывность решения иа,х) в Л здесь следует из результатов Наша.

Для дивергентных эллиптических уравнений аналогичный $акт при условии

г

о

где (>0 | установлен Л.А.Багировш и А.Кондратьевым.

Предлагаемый нами метод исследования основан на идеях работы Г.О.Кордеса /7/, впервые применившего весовые неравенства зида - п

для доказательства гельдэровости первых производных решений не дивергентных эллиптических уравнений второго порядка.

Применительно к рассматриваемый нами задачам в (14) важно не только освободиться от степенного характера веса, но и получить точную оценку константы 3 . Этому посвящен № 2.1.

Пусть Гг*{Н,*):-Т<*<о) ,7>0 , Хф - функция Хевиоайда,

ШШ - четная функция, положительная и непрерывная ш (О,«» , удостатворяющая условию (б). Определим пространство .^црСЯр) (КвО,4,.<-) функций с конечной нормой

щ »(!£ гиниСнЬФГК'М**)*

Обозначим еще через А (Я?) цноке^тво бескоючно диффэренвд-руемас в функций, финитных по ЗГ , равных О при ,

и для щг-^о,... положим ат(жр) = а (жт) , 60ля гп-'1 , и

Ьо. «к„»1к|»е ^

воли М>-1 . Ооновной результат § 2.1 зам ю- аетоя а слэдуюцеы.

ТЕОРЕМА 7. Для существования конотантн' 3 , не зависящей от функции 1/( ) в такой, что

необходимо и достаточно,, чтобыа (0 удовлетаоряяа условиям (10), (И) о постоянными С1*Я/2+К*1 р=2 , если К>0 , и условно (10) 6 -поотояншии (Х*Щ , р=2 , . еоли К• При этой гаилучгая константа В допускает оценку

СЧМ(*%№МЖ)**В 4 С(М, +

где , Мл определены в (10), (II), а С>0 зависит только от К , И и валищи С, . Сд ва(6).<

Аналогичное утверждение доказано в в просграштве Дцг в случае, когдаД1Г-ЯЛ допускав? представление

ы*

Дальнейшая стдектура главы П тахоп.что вначале резуль» та ты § 2.1 распространяется на операторы о переменными коэффициентами, а затеи (§ 2.3 я § 2.5) праэодятдя оценки тепловых потенциалов для ревзний уравнений (I) и (2). Самостоятельный . . интерео здеоь' на нав взгляд представляет теоремы 2.3.2 и 2.5.2 об интегральной гладкости производных раосиатриваемых

решений.

Основные результаты, полученные в § 2Л и § 2.6 имеют место и для соответствующих эллиптических у]нвнений второго порядка дивергентного и недивергентного видов.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА диосерзащаи посвшеда изучению предельных овойств решений уравнений (I) и (2).

В §§ 3.1-3.2 научается асимптотическое поведение решений задач • .

(15)

и

п

£ &т, и| = о (к) ' ¿=4 _ V Т' 1ГЧЛ,,,)

на примере модальной Р области Л о вершиной в начале координат к ограниченным основанием 2К

Предполагается, что коэффициенты ОС^к операторов ^ и Щ непрерывны г точка (О,О) и

I ъ «М.^ , |ам>| а0^» >о,

где - непрерывная, неубывающая на [0,Т] функция,

удовлетворяющая условию Дини (13). ; Относительно свободных членов требуется выполнение условий

где Р>упаа(2, »_+_*) , и а ¿-и/г- р^'/Н* р-1

( ^ - первое собственное число вспомогательной задачи (9)).

Ввиду сделанных предположений задачи (15) и (16), в силу результатов § 1.7 однозначно разрешимы в пространствах )

О '

И Н$(ЛТ) , если Г*Т0 (здесь 14^(0. ^ОШ^1'^

). Кроле того* согласно выбору р и , их решения будут непрерывными в£1^(0,0) функциями.

ТЕОША 8. Пусть относительно коэффициентов операторов % , и онободйых членов ^ , / и выполнены перечисленные выше условия. Тогда для решений задач (15), (16) вблизи начала координат справодливо асимптотическое представление

иа,х)=сопн (- + о(ш

гда V- - первое собственное число, а V - первая собственная функция вспомогательной задачи (9).

В заключение § 3.2 приводится пример, показывающий точность условия Лини (13) относительно модуля непрерывности коэф-

фициентов (Х^ц для справедливости доказанной теоремы.

Отметим, что впервые асимптотическое поведение решений краевых задач для гараболических уравнений о гладкими коэффициентами в но цилиндрических областях изучено В.А.Кондратьапым.

В § 3.3 и § 3.4 уравнения вида (Г!) без младших членов к при одно« только условии равномерной га работам нссти отиоштель-но 0-1к рассматриваются в цилиндра <?тяВ*(0,Т}. Здеоь исследуется вопрос оо устрашших особенностюс реаакяй в пространот-вах У2''°(0Т) и (си. /3/).

Компакт Е^Огр шзывается устранимым в Уд' (Ог) (ооог-ветственно в ), если иа того, что [¿'а(07} (соот-

ветственно ) и Щи - 0 в О^Е олодует, что

11 - п _ Г>

V о УХгр .

Определим для комшктов Б С £м+< тепловую емкость С&р(£)

и функцию множества 5В ( Е) .

Пусть Ра,х) - фундаментальное решение оператора теплопроводности. Тогда число Сй.р(Е)~ , где точная вбрхняя

грань берется по'воем иерам j* , таюш чго

J F(x-y, I xjJfi (X,у < I t и)Х) ф. В £

называется тоцловой еикоохь» В . Далее, пологик

*(£)• i»f[ J ivyfkh ♦JwifKxMx«/*],

Епн Еин •

где уозначает преобразование Фурье ylt,X) по переменной i , а точная нижняя грань береюя по воевовможшл! ft , равный I в окрестнооти коиткга £ •

ТЕОРЕМА 9, Для устранимости комгама £ в пространстве необхолшо и достаточно, чтобы C0f(B)*O.

ТЕОРЕМА 10. Для усгранимодти коышкта В в пространства Wi^iQf) необходимо и достаточно, чтобы £(Е)*0. В § ЗА лриводитоя пример компакта £ такого, что Сар{Е)>0 , а ХШ'О i

Считаю своим приятнш долгом выразить благодарность В.А.Кондратьеву, Е.М.Лавдаду и А.А.Новруаову га плодотворные обсуждения, поддержку и Ф.Г.Макоудову ва постоянное вникание.

Цитированная литература

' I, Уральцева H.H. О невозможности оценок для много-

мерных эллиптичооких уравнений с разрывными коэффициент:!.-В кн.: Краевые задачи математической физики и смежные вопросы теории функций,-Я,,; 1967, T.5, с.250-254.

2. Кондрарьев В.А, Краевые задачи для параболических уравнений в вамкнутых областяе,- Труды М!Ю, 1966, т,15, сЛОО-451. 3- Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линей-

- в -

ныв и квазилинейные уравнения параболического тит.- М.: Наука, 1967.-. 736 о.

4. Кружков С.II. Об оценках старших производных, для решений эллиптических и параболических уравнений о непрерывна«!; коэффициентами.- Матем. зачетки, 1967, т.2, й 8, 0.549-560.

5. Ильин А.И. О параболических уравнениях, коэффициенты которых не удовлетворяют условию Дини.- Матем. заметки, 1967, • т.1, № I, с.71-80.

6. Багиров Л.А., Кондратьев В.А. О регулярности решений эллиптических уравнений высокого порядка с непрерывными коэффициентами,- Успехи магеы.науй, 1989, т.И, № I, о. 183-184.

7. Cotdi% М.О. Du emia HwdUf^iati^^nU hi уиа&йщ n&n T>£fjewiiaê$kichtitgin ышкл OxcLw-ttp tu rn*Jvt

oh iwi VcuUaiùtt,— Mailt, hnn. ,195b, Wi,

Список ctaieH, опубликованных по теме диссертации:

1. Алхутов- Ю.А. Лекальные авойотва рзвений не дивергентных гвраболических уравнений 2-го порядка.-Уопеха иатем. наук, 1990, Т.45, вып.5, о.175-176.

2. Алхутов Ю.А. Устранимые особенности решений параболических уравнений.- Успех* матем.науа, 1988, s.43, вда.1, с.189-: 190. '.:'...'. '

3. Алхутов Ю.А. О гладкости s точке ресаний траболмческих уравнений 2-го порядна ядивергви'япй етпухтури»'»- Качественная теория краевых задач магекагяческой фИ8йск. Б&ку, 1991, вып.Г, о. 198-244. - , . • .; ,

4. Алхутоз Ю.А. Гладкость и предельнде свойства решений лз-раболичеоких уравнений' второго порядка,- Ватем.8аметки, J99I,:

т.50, вып.4, 0.150-152.

5. Алхутов ¿.А. У о хранимые особенности репа ний параболических уравнений второго порядка.- Натек.заметки, т.50, вып.5, 0.9-1?,

; ■ • б, Алхутов U.A., Кондратьев В.А. Разрешимость задачи Дирихле для вллиптичеоких 'у равнений второго порядка в выпуклой области.- Дифф.уравнения, 1992, 1.28, № 5, о.806-818.

7. Алхутов Ю.А., Маыедов И.Т. Некоторые свойства решений первой краевой вадачи для траболичеоких уравнений о разрывными коэффициентами.- Докл.АН ССОР, 1985, т.284, № I, о.11-16.

1 3. Алхутов. Ю.А., Мамедов И.Т. Первая краевая задача для недивергентных параболических уравнений второго порядка о разрывными коэффициентами.- Матеи.сб., 1986, т. 131, К» о.4-77-500.