Глобальное поведение решений нелинейных уравнений математической физики классических и неклассических типов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

А/3

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им.В.А.СТЕКЛОВА (Ленинградское отделение)

На правах рукописи УЛК 517.9

КАЛАНТАРОВ Варга Кязым оглы /С; ,,, ,пл < г-

071?. 01. ПМ1 ■

ГЛОБАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ КЛАССИЧЕСКИХ И НЕКЛАССИЧВСКИХ Ш10В

(01.01.02 - дифференциальные уравнения и математическая физика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ленинград 1988

Работа выполнена в Ленинградском отделении Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР и в Институте математики и механики АН Аэерб.ССР

Официальные оппоненты: член-корреспондент АН УССР,

профессор И.И.Данилюк

доктор физико-математических наук, профессор О.А.Дубинский

доктор физико-математических наук, профессор В.А.Солонников

Ведущая организация: Ленинградский Государственный

университет им.А.А.Жданова

Защита состоится 1988 г. в часов

на заседании специализированного совета Д 002.38.04 при Ленинградском отделении Математического института им.В.А. Стеклова АН СССР (Ленинград, наб.р.Фонтанки, д.27, комн.311).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛОМИ.

Автореферат разослан 1986 г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физико-математических

наук, профессор , ш /р [У А.П.Осколков

у; гстб?.':а~.

лссертаций

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Исследования глобального поведения решений нелинейных задач математической физики составляют один из наиболее важных разделов качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Актуальность тематики обусловлена многочисленными приложениями в механике сплошной среды и физике, а также новизной математических постановок задач и необходимостью разработки методов исследования.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Цель работы состоит в том, чтобы исследовать наиболее широкие классы эволюционных задач математической физики с точки зрения наличия коллапсов или, напротив, их глобальной устойчивости; исследовать поведение решений гра-ш. шых задач на бесконечности (по пространственным'переменным) для нелинейных эллиптических и параболических уравнений механики сплошной среды.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В диссертации установлены следующие новые научные результаты:

- решения задачи Коши для нелинейных дифференциально-операторных уравнений второго порядка с диссипацией с градиентными нелинейностями, удовлетворяющими некоторым условиям структурного характера, разрушаются за конечное время для начальных данных из определенного класса;

- начально-краевые задачи для нелинейных параболических

и гиперболических уравнений и составных систем таких уравне-нийс нелинейными краевыми условиями, систем нелинейных уравнений типа термовязкоупругости, параболико-гиперболических систем нелинейных уравнений разрушаются за конечное время для начальных данных из некоторого класса, когда нелинейности удовлетворяют определенным условиям структурного характера;

- разработан метод доказательства ограниченной диссипатив-ности для градиентных нелинейных дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядков, с помощью которого доказана ограниченная диссипативность начально-краевых задач для широкого класса нелинейных уравнений классического и неклассического типов;

- найдены и исследованы минимальные глобальные 5> - аттракторы начально-краевых задач для уравнений Навье-Стокса-Фойгта, нелинейного псевдопараболического уравнения, нелинейного волнового уравнения с сильной диссипацией, систем нелинейных уравнений типа термовязкоупругости, систем нелинейных уравнений параболико-гиперболического типа, уравнения теплопроводности с нелинейным краевым условием, уравнения Хана- • Хилларда и .уравнения Курамото-Сивашинского;

- доказаны теоремы типа Фрагмена-Линделёфа для нелинейных эллиптических и параболических уравнений и систем, в том числе для уравнений Кармана и уравнения упруго-пластического изгиба жестко закрепленной пластинки.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В диссертации развиты новые методы обнаружения коллапсов, ограниченных поглощающих множеств и минимальных компактных аттракторов для различных классов нелинейных задач математической физики. Выявлены ноьые эффекты поведения решений граничных задач в областях с некомпактными границами. Эти результаты могут быть использованы как для анализа математических моделей различных нелинейных процессов механики сплошной среды и физики, так и при их численных реализациях.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. Результаты о разрушении решений и ограниченная диссипативность получены на базе построения специальных функционалов и исследования их эболюции под действием заданной динамики. Существование и исследование аттракторов основаны на качественном анализе и получении различных априорных оценок для решений исследуемых задач. Исследования решений в областях с некомпактной границей проводят-

ся комбинированием энергетических оценок и анализа специальных дифференциальных неравенств.

АПРОБАЦИЯ РАБОТУ. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзной конференции по нелинейным задачам математической физики (Донецк 1979 г.), на Всесоюзном семинаре по нелинейным задачам математической физики (Ленинград 1981 г.), на совместных заседаниях Семинара'им.И.Г.Петровского и Московского математического общества (Москва 1982 г., 1983 г., 1986 г.), на Всесоюзном семинаре-совещании по нелинейным задачам математической физики (Кировобад 1985 г.), на международной конференции по топологии (Баку 1987 г.), на общеинститутском семинаре Института математики и механики АН Азерб. ССР, на семинаре по нелинейным задачам математической физики Лаборатории математической физики ЛОМИ АН СССР, на семинаре по нелинейным задачам математической физики Института математики АН ГДР (Берлин) и на семинаре по нелинейному функциональному анализу Лейпцигского Университета им.Карла Маркса.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I]- [12] .

СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, разбитых на 22 параграфа, и списка литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во' ВВЕДЕНИИ дан обзор литературы по теме диссертации, приведены определения понятий, формулировки фактов, необходимых в дальнейшем, и вкратце изложено содержание работы.

Глава I "РАЗРУШЕНИЕ РШЕНИЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ" посвящена исследованию вопроса о том, когда решения начально-краевых ,(Н.-К.) задач для нелинейных эволюционных уравнений и систем с частными производными (УЧП) разрушаются (коллапсируют) за конечное время.

Систематические исследования по выявлению условий разру-

шения решений задачи Коши и н.-к, задач для нелинейных уравнений с частными производными были начаты в работах Дк.Келлера, П.Лакса, А.Фридмана, Х.Фужиты, С.Каплана и в известной монографии О.А.Ладыженской , В.А.Солонникова и Н.Н.-Уральце-вой "Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа". Дальнейшее развитие эта область теории нелинейных УЧП получила в работах Д.Сеттинджера, С.И.Похожаева, Р.Глассея, Тсутсуми, Г.Левина, Л.Пейна, Б.Строугана, О.А.Ладыженской, Ф.Джона, Дк.Болла, А.А.Самарского, С.П.Курдюмова, В.А.Галак-тионова, А.П.Михайлова, Ф.Вайслера, Т.Като, Г.Гаевского и многих других. Интерес к этому кругу вопросов возрос в последние два десятилетия в связи с учетом нелинейных эффектов в различных разделах теоретической физики: теории горения, физике плазмы, нелинейной оптике, теории нелинейных волн и др. В работе [I] О.А.Ладыженской и автора диссертации был разработан "интегральный" метод обнаружения коллапсов, позволивший исследовать ряд разнообразных нелинейных задач математической физики. В данной главе этот метод развивается применительно к более общим дифференциально-операторным уравнениям и различным классам задач математической физики.

Заключение о наличии коллапса дается на основе следующей леммы из работы [I] .

Лемма 1.1. Пусть положительная дважды дифференцируемая функция удовлетворяет при неравенству

Ч'-ЫЧ'П) Ч'М' ^-ЩЧ'МЧ'П) ' С, (I)

где С1,Сг >0.

Тогда, если 1^о)>0 , у'Со)>-,ы" и С^С^О,

то ^а) при I ->1, <{2

+ \ / гъ?. У,,г = -С, * Ус,2+лс'.

В гл.1 получены условия разрушения решений задачи Коши для нелинейных дифференциально-операторных уравнений второго порядка с диссипацией, н.-к. задач с нелинейными краевыми условиями для нелинейных параболических и гиперболических уравне-

ний, н.-к. задач для составных систем нелинейных уравнений типа термовязкоупругости и систем нелинейных уравнений пара-болико-гиперболического типа.

В § 1.1 рассмотрена следующая задача в гильбертовом пространстве Н :

раа +/1и = В(и)+Р(и|; 1>0, (2)

и(о)-и0, . (3)

Здесь Р,0, А, В(и) и Р(и) суть операторы, действующие изН , где % - некоторое линейное множество, всюду плотное в Ц . Предполагается, что и А линейные сим-

метрические операторы, Р и (2 положительные, а А - неотрицательный операторы. и Г(и) - нелинейные операторы, причем Ни) является дифференциалом Фреше для некоторого функционала Gfll) : ^ в(иШ) = ( )

и «Чо) = 0 . Далее, предполагается, что

« м, |д\.|ч м2 |рЧц 1 ,

и

(РСи),-и) > 2(Ш1) О(и}-С0> Уи*», С0

где II' И ^ (• >' ] - норма и скалярное произведение в Н . Для задачи (2),(3) доказана следующая теорема, являющаяся обобщением теоремы о разрушении решений д.-о. уравнений второго порядка из работы [ I.] . ,

Теорема 1.1, Пусть выполнены все вышеперечисленные условия и начальные данные М0 и удовлетворяют условиям

■ ЬрЧАКЛЫЧ -КЛо!1,

где а. .г -I ■ I -! ,

М - { Н^ Ои) ; М2 Ы + 2Мг } ,

ц\ьиУ-}»р'и,Л >/0.

Тогда для решений задачи (2),(3)

йт (ир1}иа)12 4 Г «сЛиГтигл) = +

ГД6 1, * 1; = (г/^Мя)2¡(У, +

-ыИ \А*г ' &Л 2 с/ (Щ, «,) и ' * Ы+

+ м О,

Отметим, что здесь и далее в этой главе под решением рассматриваемой задачи мы подразумеваем решение почти всюду. В действительности, доказанные теоремы справедливы и для обобщенных решений из более широких классов.

В § 1.2 рассмотрены примеры нелинейных уравнений с частными производными, для которых теорема 1.1 позволяет выявить разрушение решений за конечное время. В § 1.3 рассмотрена задача вида

-¿и - и,их )} хКЗ, -иЯ*, (4)

К( = и? (к(5)

где <2 С !2 Л - ограниченная область с достаточно гладкой границей 5.(2 = 3! О , причем №СЗ $}'0 . Доказана следующая

Теорема 1.3. Пусть : I) функция О, Ц/3^ непрерывна

»а* £п+1 и ¡йМ.цр^ М, 1и|+М,|р1, .

2) функция такова, что существует непрерывно

дифференцируемая "первообразная" функция ^({»и) такая, чте

= иМ)) •' , где част-

пая производная по f ., a F(t|Uj - -¡j^S (t,u) )

F(bs)i л 0+jJG(is), V Si Z1, и 2*, ot, 'О, Qtit,s) > MiF(t,s)s, V за1, Mj

с каким-либо f (Mi) и £e(Oi0' .

3)lllU>0 и Л0> |иоЯ 1 , Где ¿0^-iilUoxJ-!iW+

Тогда существует {, < +*> такое, что для решений задачи <4)-{б) имеет место:

L'm lu{-,l)il - t t-»t,

Здесь и в дальнейшем, если не оговорено специально, 1- ¡1 и (• ,>' J будут обозначать норму и скалярное произведение

Цгп) .

В § 1.4 исследована н.-к. задача для уравнений вида

Ujj tm'u + -ли + a(*,t,u,uj mt-o, 6^0, (7)

с нелинейным краевым условием вида (5). Доказано, что для нелинейностей Q(*,t,u,p) и F(t/u) , удовлетворяющих условиям I) и 2) теоремы 1.3,многие решения исследуемой задачи разрушаются за конечное время.

Отметим, что как' для уравнения (4), так и для уравнения (7), разрушение решений происходит даже, когда функция 0(},1,и,р) является линейной относительно Пир. В § 1.5 исследована задача вида

Ut -ли-VAUt +o,f)(,f,Li(u(uJ XiQ, (8)

D .¿n> + 0г(*(1,и,0,их) = xcQ, t« (9)

U(>,úJ =u„w, Ut(t,o)*Vt(x)f V(x,o)=Vüh), X e CZ, (10)

u(*,t) - vh,t) =o; jcéifl, i<V, (П)

где QcRn- ограниченная область с достаточно гладкой границей й/? , Y - положительное число, U4|u(f U0)fJ¿( ( ¿=/,2j-- заданные функции. .

Для этой же задачи доказана следующая Теорема 1.4. Пусть выполнены условия '•

1. Ш2+У Hw'i-iu'x), ад^+Пи«/*!^ >of1 ("С( +Jc,2+Jl\){ +VI ИЫ2 j f

К = - L2 íu<5*" \ М™!2- i íl«íJ + >0)

4 ^

2. lotf<,t,u,ti,p>U< M¡(lu|t/oíMp/) ¿4?,

3. F¿(o,cJ -o, i=/,-2 ¡F,(utfu+F/orfVsMGfavJ*0/ VW КK<

где ot>0, '/0 ( г»/7з), С, = 2"'(5M, ) .

Сг = ЗМ, + М/ X wv''{i>-v'(Vtif+

+2С, m^x ¡ |)1г-([£ + +2\VíM, j j ,( A, - первое

собственное значение оператора -Л при нулевом условии Дирихле) .

Тогда существует 1(<+«> такое, что

t ^ 2 ?im [ ! + y i ¡I U¿(- -f i" íty(-,i)l Jr j - +*«. t~>t, 0 ; 0 Изучению задачи

u -ли = F. , X(Q. ta + : . . ÍI2)

н 1 ' ' /

^-л» (13)

иМ-ц>г*), и,г»), х(£2, (и)

= (15)

посвящен § 1.6. Доказано, что при определенных условиях, накладываемых на нелинейности р; и ^ { » решения этой задачи разрушаются за конечный промежуток времени. При этом рассмотрены три возможных варианта:

1. разрушение происходит как за счет нелинейностей в уравнении, так и за счет нелинейностей в краевых условиях ;

2. решения разрушаются за счет нелинейностей в уравнении, т.е. когда ^ (1=Ц) линейно зависят от и и У, задача является глобально разрешимой^

3. разрушение происходит благодаря нелинейностей в краевых условиях.

Все перечисленные выше результаты получены по единой схеме: для каждой задачи находится некоторый положительный функционал ^(иС-Д),) , зависящий от решения исследуемой задачи, и доказывается, что ^ удовлетворяет неравенству вида (I), если соответствующим образом выбрать начальные данные. Отметим, что эффект разрушения в теореме 1,1 обнаруживается с помощью функционала вида^

<1>(Ь) - ви(.,и»2+ |"о + 1С* %Лг:.

л «

для задачи (4)-(6) = )0 <17 +С3 ,

для задачи (8)-(П) lj.it) = [ (у II Щ (• ,Х)(* Г

+ Л)(-,т)»2Ыг + V НУ*, 1

для задачи (12М15) ^ = ) , 0(./оЛг +

В § 1.7 рассмотрены некоторые задачи, для которых разрушение решений устанавливаются с помощью других соображений.

В главе И "ОГРАНИЧЕННАЯ даССШАТИВНОС'ГЬ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДДЧ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ" основной целью является доказательство ограниченной диссипативнос-ти начально-краевых задач дли различных классов нелинейных уравнений и систем с частными производными.

Под ограниченной диссшгативностью п.-к. задачи мы подразумеваем ограниченную диссипатизность полугруппыУ^ ,

, порождаемой этой задачей в том или ином фазовом пространстве X • ^

Определение 2.1. Полугруппа \ ^ ■ X ~р X , Ь Я , действующая в метрическом пространстве ){ , называется ограниченно-диссипативной, если в X существует ограниченное множество В0 такое, что для любого ограниченного множества ВСЛ множества (' В) принадлежат Во » начиная с некоторого " Ш) II7/ Ьв(Ь) Множество Во при этом назы-

вается поглощающим множеством для , £ *Й

Обнаружение поглощающих множеств является важной составной частью проблемы о глобальной устойчивости системы (полугруппы) . Эта проблематика началась разрабатываться с конца прошлого столетия для обыкновенных дифференциальных уравнений (и систем). В ней получено много замечательных результатов, важных для классической механики и техники. Для уравнений же с частными производными теория устойчивости начала разрабатываться лишь в последние два десятилетия, причем, сначала - локальная теория устойчивости (в окрестности стационарного или периодического решения). Результаты по глобальной устойчивости, в основном, ограничивались выявлением тех случаев, когда все решения притягиваются к какому-то одному (стационарному) решению. Позднее были выявлены некоторые классы уравнений, для которых существуют ограниченные множества, притягивающие (или поглощающие) любую точку фазового пространства. Для нахождения таких множеств строились "обобщенные" функции Ляпунова (это работы Т.И.Зеленяка, Е.

Мушиньского, В.А.Якубовича, А.Л.Лихтарникова, Н.Чаффе, Е. Инфанте, Дж.Болла, Г.Вабба, П.Массата и др.). Систематические исследования по обнаружению ограниченных поглощающих (или притягивающих) множеств для УЧП начались с работы О.А. Ладыженской

"О динамической системе, порожденной уравнениями

Навье-Стокса" (Зап.науч.семин:Л0Ш, т.27, 1972г.) ,

в которой была поставлена и решена проблема о нахождении минимального глобального аттрактора для уравнений Навье-Стокса и других нелинейных задач с параболическим характером диссипации. В данной главе разработан метод нахождения ограниченных поглощающих множеств для различных классов нелинейных УЧП градиентного типа. Центральное место в этой главе занимает § 2.1, где доказана ограниченная диссипативность задачи Коши, для нелинейных дифференциально-операторных уравнений первого и второго порядков.

Далее доказана ограниченная диссипативность н.'-к. задач для уравнения теплопроводности, волнового уравнения с диссипацией и составной системы параболико-гиперболического типа при нелинейных краевых условиях, н.-к. задач для системы нелинейных уравнений типа термовязноупругости и нелинейной параболико-гиперболической системы уравнений. Кроме того доказана ограниченная диссипативность н.-.к. задач для нелинейного волнового уравнения с сильной диссипацией и нелинейного псевдопараболического уравнения.

В § 2.1 исследована следующая задача:

Рии+<*и1+Аи + РГи)«Ь, (16)

и(о) = и0, иеГо) = и, , (17)

где операторы Р, С| ^ А) Р определены на некотором линейном всюду плотном множестве 3) гильбертова пространства (-) • Они действуют из в Н . причем Р;0 и Д являются линейными симметрическими операторами, а оператор Р(и) является производной Фреше некоторого функционала (?(и) 2) и удовлетворяет условиям

(РЫ.и) ~С('иЬ-С; (РМ.иЬ-С^иЬ-С, V иеЯ» ^ С>0.

Доказана следующая

Теорема 2.1. Если выполнены вышеперечисленные условия и, кроме того, ,

( Рв,о) * А0 Ао>0, .

1я\),м) ГАи,«] , (' Ли,о)* А2 тг\ А|;А2>О,

то полугруппа^-. XX ( X) ) ,

порожденная задачей (1),(2) является ограниченно диссипатив-ной.

Далее доказана ограниченная диссипативность задачи Коши для нелинейного дифференциально-операторного уравнения первого порядка. В этом же параграфе установлена ограниченная диссипативность задачи Коши для неавтономных дифференциально-операторных уравнений. Рассмотрены и дифференциально-операторные уравнения с нелинейной главной частью (в случае уравнения (16) - это оператор А ). -

В § 2.2 с помощью теорем, доказанных е предыдущем параграфе, установлена ограниченная диссипативность н.-к. задач для ряда нелинейных уравнений с частными производными, в том числе и некоторых нелинейных уравнений механики.

§ 2.3 посвящен исследовании н.-к. задач с нелинейными краевыми условиями для волновиго уравнения с диссипацией, уравнения теплопроводности и составной системы таких уравнений. Так, для задачи

и - ли =0 , Х6 а, I £ К (

им« ил(х1, (18)

^ «га, "

доказана следующая .

Теорема 2.6. Если функция -[(^¿ СС^ ) и удовлетворяет условиям:

/(о)-о, jW- Ff«/ VotK1, С>0,

■fii»o-VCYi)2, YutV, С^одс^о,

то полугруппа Y^ ■ Vl^ü) W^Vß), t 2 + , порожденная задачей (18), является ограниченно диссипативной. В § 2.5 исследована н.-к. задача для системы

Utt -ди -YAUt +/UUt+/|(U,Wefi,W| + , (19)

- Д1Г + /¿('ци] - xei?, te Й + f (20)

где & - ограниченная область из f с гладкой границей ЬП, V;(u > y+^u>0, ^'(¿-1,2) - заданные функции. Доказана следующая

Теорема 2.8. Пусть функции j; (u,«j ( С ( R2) l)

удовлетворяют условиям

fl(0,o)-0 ( i=<,2), f.Mu + fiMff^-C) V^^, где F(u,uj " f' [^(tySuJur ft(su^v)v]^t

С

li,(.j<: Lj('q) , если у=0, и H (й) , если Y?0,

^(•H H '(fl) . Тогда н.-к. задача для системы (19),(20) является ограниченно диссипативной в классе W„ (Q) *

.tyYaJ . . • 2 1

В заключительном § 2.5 рассмотрены н.-к. задачи для нелинейного волнового уравнения с сильной диссипацией

Ult-ÄU-Y4Ut +f(u) - Ш, V>0; ' (21)

и нелинейного псевдопараболического уравнения

Ü{-AK-VüUt tffu}=-h(*), V>0. (22)

Из результатов .§ 2.1 следует, что если h(-) £ Н \й) и

и удовлетворяет условиям

|(и)и ,-С, (Ги)и - - с,. с»0,

то н.-к. задачи для уравнений (8) и (9) ограниченно диссипа-тивны соответственно в

и Уг (0.) . Это

позволяет доказать, что если 1*2(о) {и £(•)<■ С (Ц1)

удовлетворяет еще условию V и * Я , то н.-к. за-

дачи для (21) и (22) являются ограниченно диссипативндаи соответственно в

и/(а}П Ц'(а)* У/(а) и цЧа)С\Щ(а),

В главе Ш "МИНИМАЛЬНЫЕ ГЛОБАЛЬНЫЕ Б - АТТРАКТОРЫ ДЛЯ ' НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ" рассматриваются начально-краевые задачи для системы уравнений Навье-Стокса-Фойгта, нелинейного псевдопараболического уравнения, нелинейного волнового уравнений с сильной диссипацией, системы нелинейных уравнений типа термовязкоупругости,системы нелинейных уравнений параболико-гиперболического т^па, уравнения Хана-Хилларда, уравнения теплопроводности с нелинейным краевым условием и уравнения Курамото-Сивашинского. Каждый из них порождает полугруппу в некотором полном метрическом пространстве X •

Основная цель данной глава заключается в нахождении и исследовании свойств минимальных глобальных Т>- аттракторов Ж для этих полугрупп, т.е. минимальных множеств Ж , притягивающих любое ограниченное множество Ъ из X • Напомним, что притяжение множеств к множеству означает следующее: по.любому £>о найдется такое конечное 1|(£,Ь) , что

^(Ь)с04 Сж)

при любых Ъ)

•Задача о нахождении таких множеств м была впервые по-тсавлена и решена в указанной выше работе (*) 0.А.Ладыженской, посвященной, в основном, уравнениям Навье-Стокса. Дальнейшее развитие эта проблематика нашла в работах самой О.А.Ладажен-ской, А.В.Бабина и Ы.И.Вишика, Дж.Хейла, Р.Темама, Ч.Фояша, Ю.С.Ильяшенко, П.Константина, Дж.Гидаглиа, Б.Николаенко,Б. Шойрера, Д.А.Камаева, А.П.Осколкова, И.Д.Чуешова и других.

В работе О.А.Ладыженской (х), тем самым, были заложены основы нового направления в качественной теории УЧП - глобальной устойчивости решений начально-краевых задач для УЧП. Большой импульс дальнейшему развитию этого направления дала работа О.А.Ладыженской "О нахождении минимальных глобальных '£>- аттракторов для полугрупп, порождаемых начально-краевыми задачами для нелинейных диссипативных уравнений с частными производными" - Препринт ЛОМИ, Е-3-07, 1987 г. В ней найдены аттракторы для двух классов введенных ею полугрупп: полугрупп класса К и А К . Полугруппа У^. •■ X ~:> X ; Ь £ + , называется полугруппой класса к , если V}- является вполне непрерывным оператором V1>0 • Полугруппа называется полугруппой класса ДК , если для любого ограниченного множества с X последовательность 1(и,.)] , где ( , а Уц е "5 , является прекомпактной. В данной главе доказывается, что перечисленные выше задачи (когда они автономны) порождают полугруппы класса |< или класса Л К . Это в сочетании с результатами второй главы гарантирует наличие минимальных глобальных аттракторов для рассмотренных задач. Для этих аттракторов даны мажоранты их хаусдорфозой и фрактальной размерностей и доказана конечность числа определяющих мод (или что то же конечномерность динамик на Ш ). Кроме того,доказана теорема о существовании минимального глобального В - аттрактора для асимптотически динамических процессов,и она применима к исследованию н.-к. задач для неавтономных уравнений.

В § 3.1 рассмотрена н.-к. задача для системы уравнений Навье-Стокса-Фойгта - одной из математических моделей теории вязкоупругих жидкостей:

-уао- -оии^ +'ЦЛК +§2ос/р * Ы, 1

Ау V «О, учО, (23)

И(*,о) =ЛЧ я, =0 , ЬО, + .

Здесь О. - ограниченная область из К" (п-2,ъ) с достаточно гладкой границей ЬО, V>0; с<?0, Ь (• )• - заданная

вектор-функция. Систематическое исследование этой задачи было проведено в работах А.П.Осколкова. Км доказана глобальная однозначная разрешимость ее в L & ( Н.) , где

о,

Н|= Т^ Til) есть гильбертово пространство соленоидальных векторных полей, равных нулю на йП . с нормой, определяемой интегралом Дирихле. Для задачи (23) доказана следующая

Теорема 3.1. Задача (23) при h (• определяет в

пространстве Hj непрерывную полугруппу класса А К . Она имеет минимальный глобальный ф - аттрактор 7К . Он инвариантен, связен и компактен.Его хаусдорфова и фрактальная размерности конечны (для них найдены мажоранты). Любая полная траектория, лежащая в ТУГ . определяется своей проекцией на некоторое конечномерное подпространство H¡ (в таких случаях говорят, что траектория определяется конечным числом мод).

В § 3.2 рассмотрена начально-краевая задача для нелинейного псевдопараболического уравнения

Ut - AU -Aál¡t + fíu) = U (к), d->о, (24)

в параграфе 3.3 - начально-краевая задача для нелинейного волнового уравнения с сильной диссипацией

Ut1 -AU -dAUt + f(U) — Кfx)/ rf'O. (25)

Как в (24), так и в (25), предполагается, что t Ш) f

{<•■)< cW и

frsvs > - с , ffS) S - Ffs) >/ - С , V SfR ', (26)

где -Fía) = ío frrjcJr ; lffS>|*C(l+UMÍ, [f(S)|5C0 + IS|W",)J VS^',

гдепи[|, ) ПРИ и - любое при n-2 , при

достаточно выполнения условия о(26). ■ +

Доказано, что полугруппа : ÍQ) ~¡> W^ fí]i, f ^ R

порожденная начально-краевой задачей для уравнении (24) и

полугруппа ■■ ^ГаЬ Ц(а) I ^ + , порож-

денная н.-к. задачей для (25), имеют минимальные глобальные "Р) - аттракторы, которые инвариантны, компактны и связны. Эти аттракторы имеют конечную хаусдорфову и фрактальные размерности и состоят из полных траекторий, соединяющих неподвижные точки соответствующих полугрупп. В обоих случаях полные траектории определяются конечным числом мод.

Аналогичный результат получен в § 3.4 для систем типа термовязкоупругости и параболико-гиперболической системы.

Все вышеперечисленные задачи объединяет то, что полугруппы, порождаемые ими,являются полугруппами класса А К .

Задачи, рассмотренные в параграфах .3.5 и З.б, порождают полугруппы класса |< .

В 5 3.5 доказана теорема о наличии минимальности глобального "5 - аттрактора из (й) У полугруппы, порожденной н.-к. задачей для уравнения теплопроводности с нелинейным краевым условием, а в § 3.6 - полугруппы V'. Х4 ((I) (й)

^ I * I '

Ь £ й , порожденной задачей

+ Аи - л{(и) =0 , х(А, Ь е Я ,

иМв "*(*>, х(0> (27)

иМ - = 1 6

где 12 - ограниченная область из (п^ъ) с достаточно гладкой границей ЬО , и0 и £(•)- заданные функции. Для нее справедлива следующая „

Теорема 3.5. Пусть для }■(•) « С (V) выполняются условия: , , VI

|ыи -гги)>-с; па) т= с*о; (28)

Р(и) ? - с, ¡'(иЬ-с, )и,-с, й-о, иа\ С*0; (29) |Тк) &С(1Ш\*) , (30)

где < при И - Ь , р - любое положительное при п ~2 ;

при п=< достаточно выполнения условий , (29). Тогда задача (27) однозначно разрешима в с (Г; (ai) , и соответствующие операторы V^ г , образуют непрерывную полугруппу Vt •• tfyin), i < £ + . Полугруппа Yf , t'Y,

имеет минимальный глобальный ?) - аттрактор if( . Аттрактор Ж инвариантен, связен, компактен. Он состоит из полных траекторий, соединяющих неподвижные точки полугруппы V» >

* , г ъ

Отметим, что уравнение (27) с f(u) = - и +oi(u +¿¡ъ ( - константы, oij, >0 ) описывает процесс формирования пламени в фазовых переходах. Оно и называется уравнением Ха-на-Хилларда.

В § З.б рассмотрена начально-краевая задача для уравнения Курамото-Сивашинского:

Ut-cYAu+AU +UX2 = 0> Xti2t V >0. ' (3I)

Доказано, что начально-краевая задача для (31) с краевыми условиями (27) или периодическими краевыми условиями или краевыми условиями вида

* ЦП «О xOQ, taf, (32)

ЪЛ Ъл ' > ' 0

порождает полугруппу класса к в фазовом пространстве 'vJ^ (й) в случае краевых условий вида (27) и в Vi* (подпространстве W/ (О.) , элементами которого являются функции, имеющие нулевые средние) в остальных случаях. При этом предполагается' наличие оценки Sup III (•,()! й Mi.

§ 3.7 посвящен исследованию н.-к. задач для неавтономных уравнений. Здесь доказана теорема о минимальном глобальном 1?) - аттракторе для асимптотически динамических процессов, которая затем применяется в исследовании н.-к. задач для неавтономных нелинейных уравнений с частными производными.

Глава 1У "ТЕОРЕМЫ ТИПА ФЕ1ГМЕНА-ЛИНДЕЛЙгА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ посвящена исследованию поведения на бесконечности (по пространственным переменным) решений граничных задач для квазилинейных эллиптических и параболических уравнений и систем таких уравнений, в том числе некоторых не-линейных'уравнений и систем теории упругости и пластичности. Основная цель при этом - доказательство теорем типа Фрагмена-Линделёфа для рассматриваемых задач.

Проблематика, связанная с исследованием поведения решений линейных уравнений эллиптического и параболического типов в областях с некомпактными границами,является в настоящее время одной из развитых областей качественно? теории дифференциальных уравнений с частными производными благодаря работам П. Лакса, Е.М.Ландиса, О.А.Олейник, В.П.Михайлова, А.К.Гущина, А.А.Новрузова, Е.А.Радкевича, Г.А.Иосифьяна, И.Т.Мамедова, А.И.Ибрагимова и др. Прогрессу в этом направлении способствовали в большой мере работы И.Ноулса и Р.Тупина по обоснованию принципа Сен-Венана в линейной теории упругости. Эти работы явились предпосылкой ряда работ, в которых- были разработаны энергетические методы исследования граничных задач в областях с некомпактными границами для широкого класса линейных уравнений (в том числе и высокого порядка), и, что примечательно, нелинейных уравнений с частными производными. Теоремы типа Фрагмена-Линделёфа были доказаны для ряда нелинейных за--дач механики сплошной среды в работах О.А.Ладыженской, В.А, Солонникова и их учеников, О.А.Олейник и ее учеников, К.Хор-гана, Л.Уиллера.Роземана,А.Е.Шишкова и др.

В § 4.1 рассмотрена задача

иМ=0»**°» 4^ = 0, ХОГ2, Ыо,7); (34)

где П с ^ п - бесконечная область, главной геометрической характеристикой которой является то, что она имеет на бесконечности равномерно ограниченный от нуля выхор, направленный

- 22 -

вдоль оси X, , то-есть .0 = : х = (*2г..,\)е

£ б*х | • причем для любого фиксированного Т>0 область = [хб(? '• */<Т | ограничена и I.»/т*5(зт > т>0 ;

с( ГоЛЗ^*1 ) ( г-^Тп).

Доказана, в частности, следующая теорема Теорема 4.2. Если

ии,|>) = t р)и ъ^рГ,

А М =

то для ьсякого нетривиального решения задачи (33), (34) имеет место: у

г-»^ 0 аг

а АмСг)=ь/ (аде

Для уравнения

-ди

ГА9 ^м-йс^&м, Г^дал*-.^1,

доказано, что ^

Т [ ( 1ц<|2<М >о. г -> о йг

При этом область Í2 такова, что mfS 6 i М< +&>.

т (V т

В § 4.2 доказаны теоремы типа Фрагмена-Линделёфа для квазилинейных эллиптических уравнений второго порядка. Так, относительно задачи Дирихле для уравнения упруго-пластического кручения упрочняющихся стержней

[(а.щш^и*. ] =0 , X«fl,

в случае, когда Sup niíS 6 - из результатов

TfK+ т этого параграфа следует справедливость оценки

iü» exp(-ti) f [aju/to, ¡if¿pJJ* >o

Т -> Qt

с некоторым k>0 , зависящим от М( .

В § 4.3 доказаны теоремы типа Фрагмена-Линделёфа для уравнения упруго-пластического изгиба жестко закрепленной пластинки: , r г

и для системы уравнений Кармана:

дЧ - и^щ],

г г i 'Зэ;

Л u2 = ~ íu,;u,j ;

где [U,UJ = t ^Л'Г^Л'Г

Для системы Кармана доказана следующая Теорема 4.7. Если П есть бесконечная или полубесконечная полоса вида Q = { X '■ X, > Г0 , X¿ t б(Х,) j Т0

Supines í М( , a (U|}U¿)~ решение первой краевой задачи для (35), то имеет место:

■ iüa. T"*E(t)>o,

где

wEiil-fJsffu^ + ü'

"T бе Х I

I, ös

2

в случае . > - ^

в случае Т0 = -

о

У

а С » I иД ( <-иг).

i/.=i ' J

Публикации по теме диссертации:

I. Калантаров В.К., Ладыженская O.A. О возникновении коллапсов ,пля квазилинейных уравнений параболического и гиперболического типов. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1977, т.69, с. 77-

2. Калантаров В.К. О нахождении решений первой краевой задачи для системы уравнений Кармана, имеющих неограниченный интеграл энергии. Зап.научн.семин.ЛОШ, 1980, т.96, с. 97100.

3. Калантаров В.К. Теоремы типа Фрагмена-Линделёфа для двух нелинейных задач механики. Зап.научн.семин.ЛОМИ, 1931, т.ПО, с.53-56.

4. Калантаров В.К. 0 разрушении параболических и гиперболи. ческих уравнений с нелинейными краевыми условиями. Зап.

научн.семин.ЛОМИ, 198Я, т.127, с.75-83.

5. Калантаров В.К. Теоремы типа Фрагмена-Линделёфа для квазилинейных эллиптических уравнений. Материалы конф.по прикл. матем. и мех., посвящ.25-летию Ин-та матем и мех.АН Аз. ССР, 1984, с.41-44.

6. Калантаров В.К. Об оценках решений квазилинейных параболических уравнений в неограниченных областях. Изв.АН Аз.ССР сер.физ.техн.и матем.наук, 1986, т.7, № I, с.33-37.

7. Калантаров В.К. Об аттракторах для некоторых нелинейных

102.

задач математической физики. Зап.научн.семин.ЛОМИ,1986, т.152, с.50-53.

6. Калантаров В.К. Глобальное поведение решений одного класса составных систем нелинейных уравнений. Изв.АН Аз.ССР серия физ.-техн. и матем.наук, 1987, т.8, Jf° 2, с.47-51.

9. Калантаров В.К. Об оценке хаусдорфовой размерности аттракторов для некоторых нелинейных задач математической физики. Тезисы докладов Межд.топологической конф., Баку, 1987, с.135.

10. Калантаров В.К. О глобальном поведении решений некоторых нелинейных уравнений четвертого порядка. Зап.научн.семин. ЛОМИ, 1987, т.163, с.66-75.

11. Калантаров В.К. О глобальном поведении решений систем нелинейных уравнений типа термовязкоупругости. УМН, 1987, т.42, № 4, с.154-155.

12. Калантаров В.К. О глобальном поведении решений задачи Коши для нелинейных дифференциально-операторных уравнений второго порядка. Изв.АН Аз.ССР, сер.физ.-техн. и матем.наук, 1987, т.7, № 6, с.36-43.

РТП ШФ,зак.30,ткр.100,уч.-изд. л.I,I;7/I-I988r. ,N1-21009

Бесплатно