Глобальное поведение решения начально краевой задачи для нелинейного волнового уравнения с сильной диссипацией тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

РГ8 ОД

; п "'1 с/'.

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ АЗЕРБАЙДЖАНСКОЙ РЕСПУБЛИКИ

БАКИНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им.М.З.РАСУЛ-ЗАДЕ

на правах рукописи

Искендеров Мсраил Иса оглы

УДК 517-916

ГЛОБАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИИ НАЧАЛЬНО КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ С СИЛЬНОЙ ДИССИПАЦИИ

С 01.01.02 ' -дифференциальные уравнения ) Автореферат

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

БАКУ -

1994

Работа выполнена в институте математики и механики АН Азербайджанской Республики .

Научный руководитель -доктор физико-математических-наук ■ . * Калантаров' В.К,

Официальные оппоненты : -доктор'физико математических наук ■ Ю.А.Алхутов,

-кандидат физико-математических наук Г,Ф.Кулиев,

Ведущая организация : -Азербайджанский Технический

Университет.

Защита состоится :'"0&" 1994 г, в час.

на заедании Специализированного совета по присуждению учён/ой степени кандидата физико-математических наук Д.054,03.02 в Бакинском Государственном Университете им, М,3,Расул-заде по адресу ;г,Баку-3701.45, ул,академика З.Халшшва. 23,кор 2 „зуд,307«

Отзови на автореферат просим выслать с заверенными подписями по тому же адресу .

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке БГУ имена М.А.Расул-заде .

Автореферат разослан Ол* "994 г.

УченИый секретарь Специализированного Совета доктор ф.м.н.профессор

О.Ягубов

7

~ к) ~

Общая характеристика работы

Актуальность темы : Многие задачи математической

физики связанные с описанием продольных волк в стержнях , в теории волн на воде движущихся как влево лак и вправо.а также с описанием волн в плазме,и ряд динамических задач механики сплошной среды приводят к необходимости исследования начально-краевых задач для псевдогипэрболических уравнений. Данная диссертация посвящена исследовании решений классса уравнений .

неотрициательше число /

Различные виды уравнения (-г) исследовались в работах К.И.ХудазердиеБа . З.Н.Дкалилова , З.Радоховой , Р.Е.^овалтера , М.Аккаси и Ф.Ердогана , В.п.Калантарова, Н /А.Кларксона,?.С.¡Вамалова и др.

Цель работы - Исследование глобальной разрешимости

и неразрешимости начально-краевых задач для уравнения вида (*).

-Исследование аппроксимации.решений задачи и наличие ограниченного поглоцающего множества. для процесса описываемых уравнений вида С*).

-Нахождение условий существования глобального аттрактора для ураьнвния вида >'•« ' .

Общая методика исследования- В работе используются

методы априорных оценок в пространстве С.Я.Соболева, метод Фаздо-Галёркина и метод собственных функций .

Научная'новизна,теоретическая и практическая ценность работь :

Все результаты диссертации является новыми .Исследования носят теоретический характер-.Полученные б ней результаты можно применить при исследовании начально-краевых з-дач для иирокого класса нелинейных уравнений. Апробация работь':

Результат диссертации докладывались на семинаре по нелинейным задачам математической физики института ма-темматики и механики Ш Азербайджанской Республики,на и республиканских конференциях молодых ученых по математике и механике,на йзербайдиано-Турецком симпозиуме

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, список которых приводится в конце автореферата. Структура и обьем работы.

Диссертаци.. изложена на 100 страницах машинописного текста , состоит из введения , трех глав и списка ли--тературы .

Краткое содержание диссертаций.

Диссертация состоит из введения и трёх глав. Зо введении обоснована актуальность темы диссертации > сформулирована её цель и дан краткий обзор работ , непосредственно связанных с темой данной диссертации .приводятся необходимые обозначения »определения и вспомогательные факты> 3 $1.1 главы 1 расшатиривается следующая задача ;

+|(й(а:Д)) = К(л), хе^ , х >о с!)

ОС (2 3

' ,а®Л® Гц (3)

где -ограниченная область из ' с достаточно гладкой границей - ТЩ^ - и о . -Д

-заданные функции , с1 -неотрицательная константа ,

В первом параграфе доказывается теорема о существования и единственности решения задачи ((1)-(3)} прий\ = 0.

Теорема 0.1. Пусть

>• ^кН'Са), (1=0^

2, а) СО?4) »причем Л05=0

г

бз

о

где 4 , с:< -положительные кон-

станты. " *

р У й

- константа. ^ ' п+г

Г) при п

Тогда при сС =0 задача {(1)-СЗ)} имеет'единственное решение.

Во втором параграфе доказывается следущая теорема. Теорема 0.2. Пусть

1. й^еЙ'Сй) ,

• |(-)еС(Ю, |(0>0 и для всех

.

где р-любое положительное число при и Р-тгк при И. 53

Тогда существует единственное обобщенное решение зада-" чи ((])-(30} при оС >0, удовлетворяющее неравенству

КГ* М^ке""

В третьем параграфе сначала доказывается близость решений нелинейного волнового уравнения и нелинейного уравнения вязкоупругости.Рассматриваются следующие две задачи,в области ^ = ^ х гоД*]

где ограниченная область с достаточно глад-

кой границей ,Т>0,

О.

(5)

о и

•U (ЭД-О, , te(0jT)

а

(6)

(ЭДеО, , ii(i,t)-o,.i=aa, ts(oj)

Теорема 0.3.Пкйдпшющм , что выполняются доловив

a /kjía^^n^ ,

(?)

(8)

с 9.)

(Ч

е солИс;

где '-от, и 1-оз -положительные числа , не зависящие от Ь- .

2Сутцвствушт решения почти всюду И ^(зУ:)

соответственно задач ((7)-С9)} и {(4 И В)} такие,что

л А '

где С011 - положительное число ,независящее от с. ,

3),а) при К=1

б) при И =2 |(Ь)=0

-де оС -лшбое положительное число , . в) при Н^З »

огда имеет место пенка.

[-а

.]Нехр{]11(

це /И и 1Ицполо13Ительнне одело, независяще от Ъ .

-------------

Далее в третьем параграфе главы 1 доказывается ,что решение задачи ((1)-(3;} при СХ >0 сходится к решению задачи СС1)-СЗ)} при с^ =0 еслио(—> 0.

Теорема 0.4.Пусть _____. --- - .

2. а)^(-и)еССй') , причеи £(<а)=0 ,

12.

_ )

где (V -положительные константы.

в) при П--2 ^¡^ШО,

при

)

Н!Ф^Д)- строгое глобальное решение :адачи ((1)-(3)} . при оС> г' , . " - слабое, решение

■ задачи {С13)} при оС. =0.

Тогда существует цоследоватвльност положительных чисел

такая , что с{ -> -0 при ^ ^ ^ к

и» исх,1)= и (Я, О I ССО,Т)/иУП)]

В третьей параграфе тагае доказывается сходимость решений следящих двух задач :

^[р/П (Ю)

иСагДУо^ хеЭЙ , "Ье&Л*]

й^-с Дй^-МЛ- (А) = о

1 т

- 1С -

^ д£[о,т] (15)

Теорема 0,5.Пусть

1. а) ;£(и)е£00

2. а) -ЦД^Й^^)

б) «о)=о, д^* , ^

; константа независящие от & /

3. а) = Иг(а)еЦСй.)

при 11=к

Ч^КСИир), ЦсфсН^)

при П>5

4, -Ца(х)е:Ц\£>) ,

(Ю

Тогда обобщенное решение задачи ((13М15))Ц (^/0 , сходится к ремениш й(зсД) -задачи С12)-(10) в

С(М ¿Ъ2(Я) П С4 ([оIV (ЛЙ

со скоростью ОС £.),

Глава 2 состоит из двух параграфов.Б первом параграфе доказывается . что существует минимальный глобальней аттрактор ,порощающш полугруппу С|''(0.)х Й^))

Теорема 0.6.Предположим, что

где Р[М/(а-2)] , если . К^ 3.

если )1 =2

а при' IX -1 выполнения условия 3 не предполагается, ■

югда задача 11 из),порождает полугруппу ;

Х~Х которая имеет

компактной и сеязнчи минимальный &> -аттрактор,

Зо втором параграфе главы 2 доказывается наличие ограниченного поглощазщего множества для процесеа»сшсьшае-мого следущей задачей,

Ал)- ЬИ 4(11(^3:)) =

-КС^а) , ае^г , (16)

-и(од>-а0(х),, а?)

хс^О., (13)

гр -ограниченная область с достаточно

гладкой границей ^О. , *

ЦЙ^Ш ^Ш^Ш^С^заданние функции удцвдетворшщие условиям.

« с

и -

а „ и '

Я. а До

зЯ&КаЛКа^К: (Й (1-0И)

невозрастающие функции т.е. ¡л

гЧл

\.ау.7и ~ заданное число.

Георема 0.7.Допустим ,что удовлетворяются условия 1-3. Тогда множество йо' | ■

является поглощащим множеством для полугруппы переедаемой задачей ((1В)-(18)> , где ^

ОС-- (ч'слу й'сд)

Глава 3 посещена разруиению'решений,С помощью энергетического метода и методам собственных ф"нкции найдены условия,при которых решения разрушаются,В первом параграфе третьей главы рассматривается следующая зада-

ча.

- Шф } хеЛ ^еСо?)

(19)

Ш^Ц^о, 4 £(0,7). (21)

Теорема 0,8.Пусть 1. (|(и),й)»2(Н2^(«)

- а.

Тогда

стремится к бесконечности при -— * —— к

Теорема 0.9, Допустим . что выполнена следующие условия

1. II -Л х [о,Т] ^ ^ -Ц (а/О -шляется слабым решением задачи П)-(З) при оС =0,

2. -^(и)- выпукла вверх.

где Ц>н (3) -положительное в репение задачи

которое является собственной функцией , отвечающей минимальному собственному значению >0.Функция кроме того .выбирается так,чтобы

4. HUV £ неубывающая функция б ; -t-oo)

+ Г^Ч Д +00

Тогда найдется такое 7V tw , Хм^с

'/А

•f-Vf-o

- 19 -

5втор выражает глубокую блогодарность сворму научному )уковот,ители Калантарову В.К.за постановку задач и юмощь на всех sianax работы.

!снавные резуг;.гагы диссертации опубликоваг-и в раоотах.

.И.И.Искендеров "О существовании и несуществовании )бобгзшх решений начально-краевой задачи для одк.то ;ласса нелинейных уравнений". Деп. ЗИН и ТА 12.05.??. ¡:3408 ВЛ7.

!.И.И.Искендеров "0 близости решений нелинейного волно-•ого уравнения и нелинейного уравнения Еязкоулругости ". [атериалы Uli респ.конференции молодых, ученых по математике и механике. Баку -Злм-1987 г. ¡.И.И.Искендеров , З.К.Калантаров "Глобальное поведение ¡еиенг"; уравнений вязкоупригих колебаний брусьев". ДАН [зерб.ССР N:12 1990 г. И.И.Искендеров Д.Г,Керимоз "0 близости регэний не-инейного волнового уравнения вм'зкоупругоьги с нелокаль-:ыми нелинейностями". Материалы 4Х респ.конф.молодых ченых по математике и механике " -1990 г. .Ю.Искендероз .З.К.Калантаров "G минимальном глаболь-ым аттракторе и о разрушений решений нелинейных псевдо-иперболических уравнений ". -я Азербайдяано-Турецский импозиум по математике. Баку -1992 г.

К.К.Искансорси

"Kyvj-.Y дис:йпасии'али га^ри-хатти далга тан.'::»»;:! Y4YH Заалангыч - сгэрКзд иаса-г.эслнин Нэллзринин глоба/i/ кассаларк"

! ' i - '

X Y ЛА СЕ

Pujan;! ?>изинан1Ш Sa ' s:t yazar.ar.spu, а чумлзДЕН суда с ara to соаа Ьарзкзт едзн дглгаягр назвр^'и'эсиндэ.яяагкаАа далгаларни таг иг:;адо, naje механиками ба'эн динамик мзсалэг.зрик Ьаллинлр лсевдоЬнгзереолик тгьталарии баалангьгч -Над «DCünüCviHviH Ьал.-.ина 5з-лйлыр.

Диссер-ac^va иаи

¿у - ^ а,.. - а Я- V I"- '

tí г

ташш^и учуи базлангхх - cspKos насалзсииэ К ас? едилхиидир,

(1) тзнлк^инкн í(u! ?уккс::ь-£сы rejpsi-xsTTи олдугда йацлзнгьге -.сэрЬзд ,ч лвсипил глсЗал Кэлликик sî-P-T^rï вэ ^екгналк^'И исбат едилнкадкр, ( î > тснли,;и Нрллинин лувссон iiayT.-.s? далга тгнлиь'ккин Кэлликэ „'ахинлаака::: та

ВДИЛК1ЮДйр. .

ЛаЬа с сир а ( '. ) тенли^к учун Саилангач - csj>be« касэлзси бсси-есилз jcoct лал прс-ес учу;(,.у. /лан чекяугун са?г. :гц исйат едилмку, < I ) теигочш Учти гло fjtí^T аттракторунуи сарлига учун изртлер ташгЕМиил-р'.

Ьсмчиния KsKcii вортлэр дакклиндэ С î ¡ TSHJ^ijîiHiai дзгилкзск тгг:-

аир-. •

- ZI ~

I. I . Iskenderov

" Clobal behaviour of solutions of initial-boundary probien for nonlinear wave equations with strong dissipation "

ABSTRACT

Many problems of mathematical physics,which ai j connected with description of limited uaves in pivots ( in theory of.uaves the/ noues both to the right jnd to the left ) , as uell connected with description of waves in plasna . and number of dynamical problerss of all-round environment's ..echani es. I ead to necessity of researching of initial-boundary problems for pseudo- hyperbolic equations.

Giv ,n dissertation is dedicated to research of such equation's solutions.

utt " Att~ //<vy = ni

oO/ O-integer.

Clobal resolvinfl and nonresolving of initial-boundary problens for aquation (i) uith nonlinear function f(u) was investigated . ' flpproxlaation of problea's'solution and availability of" IMited absorbed varieties uore considend.

Futher roiditions of global;attractor existence for equation (1) uore found, ■ ^

ils uell condit ons , under which solutions don't exist , were found.