Граничное управление и гиперболические обратные задачи тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

^ *

/1 -

академия наук ссср

математический институт иу.ени в.а.стеклова санкт-петербургское отделение

На правиос рукописи

БЕЛШЕВ Михаил Игоревич

граничное шравление и гиперболические обратные задачи 01.01.03 - математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соусканме ученей степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 19 9 1

Работа выполнена в лаборатории математических проблем геофизики Санкт-Петербургского отделения Математического института им.В.А.Стеклова АН СССР

НАУЧНЫЙ КОНСУЛЬТАНТ"

официальные оппоненты

ВЕЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

Защита состоятся Д/3? О "1 1992. г. в ^ V часов на

заседании специализированного совета Д 002.38.04 при Санкт-Петербургском отделения Математического-института им.В.А.Стеклова АН СССР по адресу: 191011, Санкт-Петербург, наб.р.Фонтанки, 27, к. ¿11

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ПОМИ Автореферат разослан ¿ЬЗ ^ *1X, 1991 г.

- доктор физико-математических наук, профессор В.М.Бабич

- член-корреспондент АН СССР, профессор Б.Г.Романов

доктор физико-математических наук, профессор Л.П. Нижник

доктор физико-математических наук, профессор М.М.Попов

Международный Институт Теории Прогноза Землетрясений и Математической Геофизики АН СССР (г.Москва)

Ученый секрзтарь специализированного совета, п,' доктор <2из'.-;.шгем.каук, профессор Н7

А. П. Осколков

-na: jt - 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИК РАБОТЫ

ri-'-vАКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Замечательный прогресс раздела математики/объединяемого термином "обратные. задачи" (о.з), достигнутый за последние четыре десятилетия, обусловлен двумя причинами: актуальностью многочисленных приложений (геофизика, акустика, оптика и др.) и широтой разнообразных свгзей с другими областями математики (функциональный анализ, интегральная геометрия, нелинейные уравнения и т.д.) Основы теории о.з.' заложены в классических работах И.М.Гельфанда, Б. М. Левитана, В.А.Марченко, М.ПКрейна, Ю.М.Березанекого, Л.Д.Фаддеева, Р.Ныэтона. Существовавшее у исследователей, работающих в приложениях, недоверие к "абстрактним" математическим подходам было в значительной мере преодолено благодаря успехам теории о.з. именно в прикладных областях (томография, МОЗР).

В динамических одномерных о.з. подход, основанный на уравнениях Гёльфанда-Левитана-Крейна (ГЖ) к технике операторов преобразования, использующий причинные (локальные) свойства гиперболических уравнений с успехом применен А.С.Благовещенским и П.П.Ниж-ником и. привел к исчерпывающим результатам. Многомерные о.з. изучены гораздо слабее; исследование осложняет их общая чйрта - некорректность. Сказанное, в особенности, относится к многомерным, динамическим о.з., характер постановки которых исключает применение схем теории, возмущена"!. Для них аналога теории ГШ не существовало. В то же время, потребности приложений (динамическая сейсмология, акустика я-др.) диктовали, необходимость поисков в этом направлении.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ состоит в разработке подхода к многомерным о.з., динамический и спектральный, дои моделей, не охватываемых схемой теории, возмущений. Процедурам, разрешающим динамические о.з., предъявляется требование причинности, адекватное физическим свойствам моделей.

МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ основан на связях днам:веских о.з. с теорией граничного управления (Т1У; 1.-31.Лионе, Д.Гзссел и др. )Вах~ ный инструмент - нестационарный вариант метода ВКБ, используемый для вывода основных соотношений. Роль схемы, организующей материал

работы выполняет теория линейных систем (Р.Калман). .

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. . Предлагаемый в диссертации подход, использующий идеи и методы ТГУ, не имеет прямых аналогов в теории, о.з. Он разработан в ситуация, когда рассматриваемый тип многомерных задач находился в первоначальной стадии изучения .

основные РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Разработан подход к важному, классу многомерны* о.з. .динамических и спектральных. Он охватывает вре встречающиеся в црило-"склях односкоростные. волновые модели, в которых постулируется принцип Гюйгенса.

2. Обнаружены и использованы новые содержательные связи между. ТГУ и теорией краевых о.з. В отличие от известных ранее, эти связи, имею? линейный характер и. приводят к весьма общему рецепту получения многомерных, аналогов уравнений ГЖ.

3. Разработана процедура решения о.з., удовлетворяющая принципу причинности в наиболее сильной форме. Процедура конструктивна: в соотношениях, составляющих ее основу ("амплитудных формулах") используются объекты, явно и просто связанные с данными о. з. Процедура решает о.з. "в большом", без традиционных априорных ограничений на глобальное поведение, лучевых полей. -

4. Подход интерпретирован в терминах Спектральной. Теоремы; его главный фрагмент обобщается до схемы абстрактной теории линейных систем.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. В основе подхода лежит операторная схема весьма общего характера, что открывает перспективы его применения в о.з. болей сложного типа (многоскорост-кке модели теории упругости, электродинамики и др.) В ряде экспериментов на тестовых задачах продемонстрирована вычислительная эффективность процедур, разрешающих о.з. Подход может стать осно-

^ Другой подход к вопросам локальной разрешимости о.з. развит Б.Г.Романовым для уравнений с коэффициентами, анашгаичныш. по части переменных (ДАН СССР (1983), т.304, 1« 4, с. 807 - 811)

вой для разработки прикладных методов.

АПРОБАВДЯ РАБОТЫ. Результаты диссертации докладнвались на всесоюзных и международных конференциях, в т.ч. на Ш Всесоюзном симпозиуме по томографии (Киев, 198е/); Сибирской школе по условно-корректным задачам (Красноярск, 1987); Меодународной конференции по о.з. (Варна, 1989); Всесоюзной конференции по условно-корректным задачам (Алма-Ата, 1989); Международной конференции до не корректно поставленным задачам в естественных науках .(Москва, 1991) и др.; на семинарах ЛОМИ и ЛГУ (198 о - 1991).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации опубликовано более 20 работ. Основные результаты содержатся в [I - 19] .

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, четырех глав и приложения. Список литературы включает 133 наименования. Объем работы - 15*2 стр.машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении кратко излагается, содержание работы и приводится обзор литературы.

5 Главе I вводятся объекты и рассматриваются прямые задачи, общие для всех вариантов нашего подхода к о.з.

Геометрическая часть посвящена аолугеодезическим координатам (п.-г.к.) с базой Г := дЛ в римаковом многообразии i} . В п,-г.к. точке ХеЛ сопоставляется пара ( У ,í ), где f = f(x)ef, есть (геодезическая) проекция л на Г ; V =t (х): = сЦ^ (х.Г) -

эйконал. Используемые "в большом", п.-ч.к. регулярны вне множества раздела ( cut low ) a) ; meó и) = 0. Множество & : =

= t-(il\«>)«=rх 0,i;j ( i(x) ; = (Г(ФМ(Я); Ту : » = МОЯ %(x) ) называется выкройкой многообразия i} . Функцию на <Э вида

% ' -1

<r,vXy* KM (1)

( J3- расходимость поля геодезических нормалей, к Г ; "L'-

%: = L„(_í2 ; ¿Q ), %: = L( © ; dr¿r ) назовем изображали-я *

' fl ем функции tye ¿у.

Начально-краевым задачам

d'll-Atl-O ■ в -Qx(0;T) (2)

Т/

и

flJí-ASS-O в Л*(0-,Т) (4)

=0 ; 21 0.31 -а ■ (5)

" 1Гх(о;Т) fc-r * lt-r 7

j i У- .

с решениями ti- = ti (£С. и % = 2 (ít ,t) содоставкм операторы уд-

т т

равления W и наблюдения Í? :

1Гл(С;Т)

Т Т Т Т s

(W: F: = ЦГх(0;Т); ¿ГШ) ¿Q)й : =

= (ле-Л!Т(х)<5 j (0<1<гТ)).

Рассматривается задача граничного, управления (ГУ), состоящая

в нахоздсншг Je: F КЗ уравнения 1¿(

с заданным Ц е: , равносильная обращению -V/ . Вводится ос-

« Г Г» >

«-'(•,- О)

___________________ У

ЛГ уггоавляемкх систем ,

новкоп дал раооты класс Л управляемых систем ', определяемый

(В)

эквивалентными условиями "управляемости" и "наблюдаемости":

C^wYW (VT>0); (VT>0).

ж

система есть rapa (il;L), где L' - (эллиптический)оператор, эходяций в уравнение двпяеняя.

- 7 -

Свойство- наблюдаемости (8) выводится из адекватной формализации физического принципа Еюйгвнса, постулирующего построение фронта волны по огибающей. Выясняется.связь управляемости с теоремой единственности Хольмгрена-йона в задаче Коши'с данными на време-нилодобной поверхности. Устанавливается управляемость систем ^ с (вещественно) аналитическими И.

В Главе П подготавливается главный фрагмент процедуры решения о.з. Разрабатывается операторная схема, адекватная теории линейных систем. В схема вводятся: т

■ внешнее пространство управлений ^ ("входов") Р с выделенным семейством "запаздывающих"' подпространств Гт : --

= {|еГТ:|(г,Ъ=а 04-ит-§} С0414Т); 5

I т

внутреннее пространство волн и ("состояний") % с выделенным семейством подпространств -.¿щур у<=й }. - В соотношениях

(Ж;Т),Ж;Т)) т=т тЧС|,д) (9)

появляется оператор 0 — центральный объект: нашего подхода к

ст..<*т>>т1£оУ .

связывающий метрики внешнего и внутреннего пространств системы. Устанавливается, что' при. Т<Т# он положителен и определяет но-вуга метрику внешнего пространства

(Ьд)фГ т (10)

где. Ф - пополнение, р7 по соответвующей норме. В Ф выделено семейство, запаздывающих подпространств Ф : = сЬ рТ

т г т-5 фт т_2

отвечающие им проекторы, £г : ф Ф^ могут быть построены по базису, полученному " (^"-ортогонализацией" по форме. (10) какой-

т

либо полной в системы управлений.

В случае , согласно (8) - (10), изометрическое

Т т Т Т -у I"

расширение и) ооратора оказывает-

ся унитарным, в силу чего, внешнее пространство оказывается изометрической копией внутреннего. Разработка этого факта, с привлечением (нестационарного) метода ВКБ приводит к "¡амплитудным формулам" (АФ) - соотношениями вида

аСг.г.Т)—в** (и)

ъ-ьг-х-о ъ

где.

ао,.;Т)-1(1/(..Т))- Щ} (12)

Г *

есть'изображение волны и , инициированной управлением \ ;

Т Т • .

- часть выкройки © . Правые части АФ суть объекти^знещнего пространства, определяемые оператором . Они о ~ ** $

задаш соответствие + —(*,Т) , осуществляемое оператором ^ 1* у Т Т г**

. Ниже, при решении кон-

гт

кретных о.з. , удается выразить 0 через их данныезатем, из АФ (II), восстановить . Этот перевод ("блок С ) со-.

сгавляет основу разрешающей ^оцедуры.

л * т т т ■

3 случае (Л ;А )е/ оператор 1$ : ф —> % сказывается преобразованием (Сурье) осуществляющим'каношческую диаг'онали-

зацию семейства : . .

•и; [х<7 ] -X (04Г4Т), :

где X : X —* % : = Ц( © ; с1Г({т ) -^уть-проекторы, действие

х . х

которых сводится к срезке, функций на часть выкройки © '-"¿(Л

В силу сказанного, рекешта о.з., в существенном, сводится к реализации Спектральной Теоремы - построению унитарного преобразования Ц/ , диагонализующего разложение, единицы [ ].

Во внешнем пространстве Ф , помимо проекторов ¿Р , есть еще один объект, который удается охарактеризовать в " С -терминах". Это элемент ф , решающий задачу ГУ (7) специального вида:

I т

(К',Т)-1, (13)

где 4.Т есть индикатор области Л с & Мы г оказываем, что

элемент ^": = [ц7Т] 1 является (единственным) решением уравке-ния т т

С ц в Ф . , (и)

т т -

где 36 = 9& СЗГ , 1/ > = Т . Уравнение (14) есть искомый многомерный аналог уравнений. ГЛК. Способ его вывода прост л универсален; он демонстрирует глубокие связи между. ТЕУ и о.з.

В Главе Ш решается динамическая о.з., выбранная для демонстрация^ подхода. - задача продолжения волновых полей (ШП)

В ситуации Л. <=■ рассматривается задача (2), (3), в которой оператор Лапласа заменен на р Д , где р - гладкая положительная функция ("плотность") в Л . Этой задаче сопоставляется оператор реакции & : р —* Г

«Мг^т,-

определяющий отображение "вход —у выход" и являщи::ся центральным объектах теории линейных систем . Постановка задачи ЕЫ1 такова: для (ограниченной) области Ис: с неизвестной плотно-

' Р.Калман и др. Очерки по математической теория, систем. «Л., Мир, 1971; глава 10.

- ю -

сгью р требуется восстановить оператор управления V/ по заданному оператору реакции & .

Удвоение времени в постановке мотивировано соображениями. причинности и отражает фундаментальное свойство гиперболических, задач - конечность скорости распространения возмущений. В приложениях оно соответствует необходимости, увеличения времени наблюдения на границе для восстановления параметров системы (среды) на большую глубину.

Задача ВВЦ решается по схеме :

2Т rJ R, —>6 rJ С —>VÖ ,-i гт << ,VJ

П

Ш

Первый шаг'процедуры состоит в выражения, оператора через дан-

ные - оператор ной:

2Т

. Саязь мевду ниш оказывается простой и яв-*

• Т „ Г П* 2Т 2Т Т

¿4 Sr э- Я. 5 .

(15)

_2Т

где. S : F —» h есть оператор нечетного продолжения по време-

„2Т -ST _2Т ' ,

ни; J : г —* г - оператор интегрировайта по I/ . Вывод (15) не

использует управляемости (свойства (8)), так что связь (15) имеет общий характер. ^ 7

В блоке К," по АФ (II) строится отображение Vi >tl-(»,T),

восстанавливающее выкройку © и изображения волн на ней. Используя решение уравнения (14), удается отделить множитель ß (см. (I)) и восстановить функции, ü (',Т)<> I4 - волны в п.-г.к.

Назначение, блока Iii состоит в возвращении от п.-г.к. к декар-тошм_координатам в _ß , что. равновильно восстановлению отображения (/ ^ . С. этой целью рассматривается задача ГУ (7) с Ц. = Jtj ,

аде % суть срезки координатных функций Ж-ХХ) : = х (дая J J

X = .....Х*]е:-/2 >; л = 1.....Я' на область ./2 .Решения. этой задачи удовлетворяют уравнениям типа (14)

В фТ. (16)

Находя, в ходе решения задачи ПВП, решения (16) и используя их

в АФ (II), удается восстановить %•. на © (в п.-г.к.), что

.-1 J пт

эквивалентно) нахождению 1 : @—\а) . Зная о , можно пересчитать найденные ранее волновые поля в декартовых координатах, т.е. восстановить отображение " |-(' , Т )", решающее задачу ПВП. Одновременно, по I'1, из уравнения для эйконала Т(Х) находится неизвестная плотность Р ]/)т.

Глава заканчивается комментариями я обзором результатов по обратным задачам, близким к задаче ПВП.

Глава 1У посвящена; спектральным о.з. Приложение, подхода к этому классу задач демонстрируется на примере задачи реконструкции: ряманова многообразия, по спектральным данным.

Цусть Л есть гладкое компактное, -к*-мерное риманово многообразна с краем Г . Поставим однородную задачу Неймана:

-М -А«Р в Л (12)

. (18)

к

5усть 0= Х.,4 ... — ее спектр, а <^(£С-), <%(&)„... суть зоответствукщие собственные функции., составляющие ортонормирований базис, в 'Ж - Ц(Л ; сШ ). Совокупность двух наборов:

{, к|гС„ аз)

газовем (неймановскими) спектральными данными II . Ставится воп-юс: в какой мере многообразие определяется данньми (15) ? Кап >езультат такоз: если ( й ; А , то II , определяется ими

однозначно, с точностью до изометриа. Для многообразий, этого класса мы описываем процедуру реконструкции, т.е. построения изометрической копии И до. спектральным данным.

Факты, позволяющие привлечь к реконструкции, технику Ш11 таковы :

1) оператор С выражается через данные (19):

где = МГЛ),

Уг

Т-Ь\ гсг) (к =1,2,.,,);

2) имеются аналоги уравнений (14), (16)

Лт т • .т '

в Ф ,

г

репэнин которых р суть решения задачи ГУ .

I т

т т .

где ~ срезка собственной функции на л/. ■

Эти результаты позволяют воспользоваться блоками I, П и

восстановить, с помощью АФ (II) (с | = 0 ) выкройку © и

функции I на ней. ■

Заключительная часть процедуры реконструкции примерно соответствует блоку Ш схемы ШП. Б ней,'с помощью системы о I'11

I к >к=с

огределяетоя правило склейки (факторизации) выкройки, цреврщаккцее еа в компакт © , гомеоморфный Л , Эта же система позволяет оснастки, его структурой риманова многообразия, превращающей я искомую изометрическую коша Ц .

В конце главы обсуждаются спектральные и.з. по постановке к