Граничные задачи для некоторых классов дифференциальных уравнений в частных производных высших порядков с сингулярной точкой тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЕИКИСТАН ТАДЖИКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДДЯ НЕКОТОРЫХ КЯАССОВ Д!И»ЕШЩИЛЛЫШХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ С СИНГУЛЯРНОЙ точкой

Специальность 01.01.02 - Дифференциальные уравнения

Автореферат

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

АХМАД ДКЕЛЛО

Душанбе 1993

Работа выполнена в Тадкикоком Государственном университете..

Научный руководитель - член-корреспондент АН Республики

Таджикистан, доктор физико-математических наук, профеосор РАДЕАЮВН.Р. - '

Официальные оппоненты - член-корреспондент АН РТ,доктор

физико-математических наук, профессор ЕОЙШОВ К.Х.

" БоЖЖТКФС3"4Ла'1'На:УК,ДОЦеНТ

Ведущая организация - Ташкентский Государственный

Университет

Защита оостоитоя ' ' й_ 1993 г. в_чао

на заседании специализированного Совета К 065.01.02. по при-оуядению учёной степени кандидата физико-штематичеоких наук в Тадяикоком гооуниверситете (734025, г.Душанбе, пр.Рудаки, Г7)

Отзывы на автореферат просим выслать в двух экземплярах о заверенными подписями.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Таджикского госуниверситета. •

Автореферат разослан " " 6_ 1993 г.'

Учёный Секретарь специализирован- . ' '

ного Совета, к.ф.и.н., доцент О.Х.Хосабеков

- 3 -

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами являются одним из важных разделов теории дифференциальных уравнений о частика производными. К рассмотрению таких уравнений приводят многие задачи прикладного характера, в частности, пространственная осесп?,метрическая задача гидродинамики,'теории упругости.

Фундаментальные результату в теории дифференциальных уравнений с сингулярны,ш коэффициентами или выражающимися дифференциальны.! уравнениям эллептических п гиперболических типов получены в работах М.В.Кельдша, А.В.Бицадзе, М.М.Смирнова, И.Л.Кароль, В.Ф.ВолкодавоЕа, С.П.Цулькина, А.М.Нахуще-ва, А.И.Янушаускаса, Л.Г.Шхаплова, А.Д.Ддураева, Т.Д.Дн^'-раева, М.С.Салахпдинова, М.М.Мередош, З.Д.Усмакова, A.B.

G-\$Ы R.P, R.W.Cawt9&„ R.E SiWött, Н.Еэдкабо-ва и многих других авторов.

Имеется ряд работ посвященных гиперболическим уравнениям с синцулярныля коэффициентами. В основном они посвящены изучению линейных гиперболических уравнений второго порядка. Как следует из теории упругости п гидродинамики многие задачи приводят к рассмотрению уравнений высших порядков с сингулярными' коэффициентами. В связи с этим, появился интерес к изучении уравнений высших порядков с сингулярныли коэффициентами.

В последние годы появились работы, посвященные линейным модельным и немодельным уравнениям высших порядков.

Проблеме получения интегральных представлений и исследованию граничных задач, для некоторых уравнений высших по-

рядков посвящены работы М.М.Смирнова, ,

Н.Радяабова, А.С.Саттарова, А.Насима Адиба Хонена и других авторов.

Цель работы. Целью наотоящей работы является получение интегральных представлений многообразий решений через четыре ' произвольных функции одного переменного для немодельных уравнений четвёртого порядка с сингулярной точкой.

Методика исследования. В-работе используется метод ин-' тегральншс представлений, метод интегральных уравнений. На этой основе для некоторых немодельных гиперболических уравнений с одной сингулярной точкой найдено решение представи-мое в виде интегралов. Кроме того, используются методы разработанные в работах Н.Р.Раджабова.

Научная новизна. Используется связь немодельного гиперболического уравнения четвёртого порядка о обыкновенными дифференциальными уравнениями, а также способы разработанные в работах Н.Раджабова. Найдены интегральные представления содержащие четыре произвольные функции одного переменного. Получено интегральное представление в области содержащей беско-венно удалённую точку. Найдены условия на коэффициенты рассматриваемых уравнений при выполнении которых, общее решение находится в явном виде. Полученные интегральные представления дают возможность выяснить корректные постановки граничных задач в конечных и бесконечных областях.

Теоретическая практическая ценность работы. Исследования содержащиеся в диссертации, носят теоретический характер. Эти результаты могут быть использованы для дальнейшего развития теории немодельных дифференциальных уравнений с сингулярны-

ми коэффициентами, а также в различных прикладных вопросах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах кафедры математического анализа и теории функций "Комплексный анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными" (1990-1993 гг.); апрельских конференциях ТТУ (1991-1993 гг.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, спиоок которых приведён в конце автореферата.

Структура и объём диссертации состоит из вводения, трёх глав и списка литературы. Работа пзлояена на 1С-2 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает чз наименований.

- 6 -

ТО ДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении к диссертационной работе даётся краткий исторический обзор результатов по затрагиваемым проблемам, обосновывается актуальность темы. Приводится такие краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

В первой главе в прямоугольнике 0 = ^0 рассматривается уравнение

(I)

где

ЬаА'Н»= "ИТ^ -яг^ + чГ и ^

известные функции, уС-^^ илх,^ искошя функция. Задача нахождения общего решения этого уравнения приводит к решению дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка и нахождению решения линейных: интегральных уравнений Вольтерра второго рода со слабой особенностью.

На этой основе найдены интегральные представления многообразий решений через четыре произвольные функции одного переменного, найдены условия на коэффициенты уравнения (I), когда решение находится в явном виде.

В общем случае общее решение уравнения (I) выражается через резольвенты двух явно выписанных интегральных уравнений Вольтерра второго рода со слабой особенностью. Найденые интегральные представления используются для выяснения корректной постановки граничных задач и их исследования.

Во второй главе рассматривается уравнение

1Ие

кЯ. ■. _ "Ь* ц •ь уцзд» -а дсх,а)

- ^ п.1

в прямоугольнике 0 . Для этого уравнения также в зависимости от коэффициентов получены интегральные представления многообразий решений через четыре произвольные функции одного переменного, обобщающие в определённом смысле формулу Далам-бера..

В третьей главе уравнение (2) рассматривается в четвёртом квадранте. Изучение этого уравнения в областях, содержащих бесконечно удалёную точку, является затрудни те дышм, так как в этом случае особыми точками являются одновременно начало координат и бесконечно удалённая точка. Поэтому при получении интегральных представлений специально нуяко изучать поведение под интегральных функций как в окрестности начала координат, так и в окрестности бесконечно удаленной точки.

В главе I для уравнения (I) в зависимости от коэффициентов, получены интегральные представления многообразий решения. Через С обозначим класс функции для которых

частности получены следующие утверждения.

Теорема I. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (I) удовлетворяют следующим условием:

I) сцСоь аих^ес^Ь

3) Н- ' н] = ссЫ;

4) 0<а\(.о,о)<1 ^ 0<Ьио,ок I ,

5) ^ п,—> о

6) функции Ь^ос^ьс^сла) связаны меаду собой при помощи формулы

7) функции связаны меаду собой при помощи формулы

Тоцца любое решение уравнения (I) из класса Сц(р) представило в виде

^ V

С^Гс ^ЬгГ1

(^

-Л^) ^^Г^^г) с^г"} (3)

где ^оО^С^Ь Ч»^' произвольные

функции соответотвенно переменных хиц , причём

е е Ось.)-» ессъ>, ^(¿ес^)

Теорема 2. Пусть в уравнении (I) коэффициенты удовлетворяют условия.? теоремы I. Кроме того выполнены следующие условия.

6) функция определяемая фор-ц'лоп

в окрестности начала координат имеет нуль порядка 1(1 , т.о.

С. «1->0 ^

7) функция СгСхЛ) определяемая формулой

в окрестности начала координат имеет нуль порядка "¿1 , т.е.

СаС*,з)=0 ( и?1) Т

Тогла любое

решение уравнения (I) из класса ^цСО} представило в виде:

где л Ч^^) > произвольнее функции соот-

ветственно переменных х и ^ , причем

Ч>.(*)€СаСъу, у^есЧъь ^схтесЧгл

известный интегральный оператор.

В последнем параграфе первой главы ставятся и исследуются следующие граничные задачи.

Задача Л1-Требуется найти решение уравнения (I) из класса СиСО) по граничным условиям:

где

вы (*»» , Ь^а'ч ра> ( "ь <шх.ч)\

Задача А2. Требуется найти решение уравнения (I) из класса Сч^ХЛ по граничным уоловиям:

(СаьН =0 ,

Задача АЗ, Требуетоя найти решение уравнения (I) из класса СиСо) по граничным условиям:

1С

где

<410,0) , ь<1 - сил0*о)

О разрешимости этих задач получены следующие утверждения. Теорема 3. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (I) удовлетворяют воем условиям теоремы I, а функции ^(.х)

в задаче А1 удовлетворяют следующим уоловиям:

?асо есч^, ^сх) л^6есу,), £С Ся),

Тогда задача А1 имеет единственное решение, которое даётоя при помощи формулы (3) при

Теорема 4. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (I) удовлетворяют всем условиям теоремы I и в задаче А2 функ-

- II -

ции удовлетворяют следующим ус-

ловиям

. ¿сЧтО . ^сх) 6 ,е сСъъ ыуе сЧг»)

Тогда задача А2 тлеет единственное решение, которое даётся при помощи формулы (3) при

Теорема 5. Пусть коэффициенты и правая часть удовлетворяют всем условиям теоремы I и в задаче АЗ функции ^¡Сх) Удовлетворяют следующим условиям:

ес^ь^) е сЧг*)

причём ^С^ = ^ а, (."¿ь бС°)^о • Тогда задача АЗ имеет единственное решение, которое даётся при потащи формулы (3). при

Чдм = , л-

О о

Глава П посвящена получению интегральных представлений и исследованию граничных задач для уравнения (2). Получены следующие утверждения.

Теорема 6. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения (2) удовлетворяют следующим условиям:

I) счсх^е^аСоЬчад, с^х.а}ес!асоЬ «чоцое сКо^ с^х,^. ^х,^ € С^};

3) \tyx-si)->¿16,0)иН; 0<-й<\.' а^Ьа,

4) 0 < а^со,о) <I , 0< 1о^(.о,о)<.V, 1,2.

5) функция С^ех,^4) определяемая формулой

СХс*,^« а^х*) чех.*)- * ^^ имеет нуль порядка "¿V , т.е.-;

С^ф^оС'^ при п,—"> о

6) функция СоЧ*»^} определяемая формулой:

имеет нуль порядка "Ьх , т.е.

СаСэсд^)■== о(.»!?*) %х> «1-^+3при 1—> о

Тогда любое решение уравнения (2) из класса СцСо) пред-ставимо в виде

где ^¿СхЪ у^и) ' ' произвольные функции со-

ответственно переменных х и ^ .

Ъи^илО* Т^хл^г^^ резольвенты

известных интегральных уравнений Вольтерра второго рода со слабой особенностью, причём

^гСюе счгл,

Если в частности ^о , Сг<-М) - о > т01яа

вз формулы (4) получим

- 13 -

КаО^ШЬ^г^Ъ ^йЬ Ч^)' ?<.*.*),<?,о) (5)

где

Теорема 7. Пусть коэффициенты уравнения (2) удовлетворяют условиям IV теоремы 6 и связаны меяду собой при помощи следующих равенств:

С\Л*>Ъ"> = Ч«.*) ^Н.4

Тогда любое решение уравнения (2) из класса представимо в виде (5), где ^Сх), ^¿йЬ Ч^Л*)

произвольные функции соответственно переменных тс и у , причём

В последнем параграфе второй главы ставятся и исоледу-ются следующие граничные задачи.

Задача 31. Требуется найти решение уравнения (2) из класса СцЦ^ по граничнш условиям:

(^«¿сч'т-*.«-.

Задача В2. Требуется найти решение уравнения (2) из класса Сц по граничным условиям:

се

Задача ВЗ. Требуется найти решение уравнения (2) из клааса Сц^О) по граничным условиш:

О разрешимости этих задач получены следующие утверждения.

Теорема 8. Пусть коэффициенты уравнения (2) и правая часть удовлетворяют всем условиш теоремы 7 и функции

а^и^ в задаче В1 удовлетворяют следующим ус-

ловиш:

е^Сто> ^сх) есЧ\о, V« е с Ся), <^есЧъ),

Тогда задача В1 тлеет единственное решение, которое даётся при помощи формулы (5),. при:

^чх)=^ ех), % ы , 4-- 1Д

Теорема 9. Пусть коэффициенты уравнения (2) и правая часть удовлетворяют всем условия:.! теорегды 7 и функции

- 15 -

-»А" в задаче В2 удовлетворяют следующим условиям:

е сЧто, ^со е осъь Зд) сссг») есцй)

Тогда в задаче В2 имеет единственное решение, которое

* 1

Iдаётся при помощи фор,тули (5), при:

У о

Теорема 10. Пусть коэффициенты уравнения (2) и правая часть удовлетворяют всем условиям теоремы 7 и функции ^¿(.ж)

\,г в задаче ВЗ удовлетворяют следующим условиям:

ХгСх)£ есЧхО >

Тогда задача ВЗ имеет единственное решение, которое да-ётоя при помощи формулы (5), при:

Для непрерывности чу^ при ^ - о требуем чтобы

- 16 -

Третья глава посвящена получению интегральных представлений и исследованию граничных задач для уравнения (2) в ' .' четвёртом квадранте, т.е. в области

-сяС^СО .. ОСХСоо^

В данном случае \\ совпадает с положительной частью оси абацесс, а 12 совпадает с отрицательной частью оси ординат, т.е.

Найдены явные формулы многообразий решений, содержащие четыре произвольные функции одного переменного, когда коэффициенты удовлетворяют одну из следующих равенств

счех^ ^^ ) (6)

С1 и^) = х. * ^^{г—р-)

Сл^> = а^см) Ксхз) * * ^ С-Ц^) х-а + ^м.4^ С"2®*11)

(7)

Сах^^^а^а} Чо^н ч о -^-(г1^) "V (0)

Кроме того, для удовлетворения (2) в области Т12, получены следующие утверждения.

Теорема II. Пусть коэффициенты и правая часть уравнения

- 17 -

(2) удовлетворяют следующим условиям: I) аъсх^ £ с^^о, ^сх.млзд^ес^со»)

2» ' ¡.И

6) > .

у Ч А^Д П._

где

9) О V > ^ ^ .

где

х

ОО

Кроме того, пусть коэффициенты «Ч и сцСх^Ь Ч^ЬСгСу^ связаны мевду собой при помощи равенства (6).

Тогда любое решение уравнения (2) из класса С.ц(ог) продставпмо в виде:

"ФО Ь^Чяга?-*.)«.! ад

■/до ^^ Vх1 'Ч1^)'произвольные функции соответственно переменных х и ^ , причём:

\$гсх)есЧиЬ \^>есЧЪ), чс^ессъ^с*) есЧъл.

/ удовлетворяют следующим условия!,!

' Чг^ - ОС-^ё-) ЬЭ ^ » ^

-!) ^«.го = 0 С~зГо) Чю > 1 - ^ ^ Ч.-» о»

- 19 -

Теорема 12. Цуоть коэффициенты и правая часть уравнения (2) удовлетворяют следующим условиям:

1) УлСх,*) < «НС*,^ е с^сЛБ} , Ь^) ес1^, • СЧСх,^ , СлСх,^, есСо-Л •

2) \ О^СхЛ*) -^<.0,0)1« н\ ^ ^ >0 у^и. ч-^оо

4) \VjWi.« - V; с ^ ^ > ° * -- ^ «^ш ^

7) ' -у

8) -ГЦСх^^С-^-"^ N

где

где

10) Л. - Л ( V .

? ..... ^

где

Кроме того, пусть коэффициенты уравнения (2) связаны меяду собой при помощи формулы (9) ._

Тогда любое решение уравнения (2) из класса СцСОз.) предотавпмо в виде:

те ^с-хЬ 44.1а) произвольные

функции соответственно переменных ос и У » причём:

Н'г^есЧяь£ сЗД} есЧъ.), ^ооессъ).

Кроме того

12) Ч^вО^ОС-1^»)

13) 3

- 21 -

В последнем параграфе третьей главы ставятся а исоле-дуются ряд граничных задач. Приведём постановку одной из задач этих.

Задача 62. Требуется найти решение уравнения (2) в облети Д2 удовлетворящие следующим условиям:

I и. Г ** * V), Ъ* - ^

* - св^ ' х.—»ре

Теорема 13. Пусть коэффициенты уравнения (2) и правая часть удовлетворяют воем условиям теоремы II и функции Удовлетворяют следующими условиями:

Кроме того, пусть:

' ^ *»■+«». при

^ хЦ^ ' при К.—=> 0°

, Ъчм-ч прип.-^^

Тогда задача От2 имеет единствешюе решение, которое даётся при помощи формулы (10) при:

^^ = , ^ = % и* ь Ь ЬД

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих работах:

1. Ахмад Дкелло. Интегральное представление и граничные задачи для одного класса линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа четвёртого порядка с одной сингулярной точкой / Тада. гос.ун-т,- Душанбе, 1992.- 17 с. Деп.в Таджпк-НШНТИ.- Вып.4, 1992 г. № 28(817).- Та-92.

2. Ахмад Джелло, Радаабов Н. Об одном классе линейного гиперболического уравнения четвёртого порядка о одной сингулярной точкой // Известия АН ТадкССР, отд.физ.-мат., хим.и геол.наук.- 1992.- 13 03(3).

3. Ахмад Дкелло, Радаабов Н. Граничные задачи для одного класса гиперболического уравнения четвёртого порядка с сингулярной точкой // Тезисы докладов конференции "Нелинейные проблемы дифференциальных уравнений и математической физики вторые боголюбовокие чтения". (Киев, 14-18 сентября 1992 г.Э.Киев, 1992,- С.51.

В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю, доктору физикочлатематических наук, профессору, члену-корресповденту АН Республики Таджикистан Раджабову Н.Р. за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Заказ ¿ю.Ткрах 100.

?;ТГУ.^/зянСе .у.-..Лахутк