Групповая классификация и точные решения нелинейных уравнений гиперборлического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

НАЦИОНАЛЬНА АКАДЕМ1Я НАУК УКРАШИ 1НСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

Г)/?

¿сИх

о

МАГДА Олена Вжтор1вна

УДК 517.9

ГРУПОВА КЛАСИФ1КАЦ1Я ТА ТОЧН1 РОЗВ'ЯЗКИ НЕЛ1Н1ЙНИХ РЮНЯНЬ Г1ПЕРБОЛ1ЧНОГО ТИПУ

01.01.03 — математична ф1зика

АВТОРЕФЕРАТ дисертацп на здобуття паукового стуиеня кандидата ф1зико-математичпих наук

К и!"в - 2004

Дисертащею е рукопис.

Робота виконапа в Гнституп математики HAH Укра'йш.

Науковий KcpioniiK: доктор ф1зико-матсматичних наук, професор HIKITIH Анатол1Й Глхбович, 1нститут математики HAH Укра'ши, заводвач в^ддшу прикладних доапджень

Офщшш опоненти: доктор ф^зико-математичних наук, професор САМОЙЛЕНКО Валерш Григорович,

Кшвський нацюналышй ушверситет iMciii Тараса Шевченка, завщувач кафедри матсматичноУ ф!зики

кандидат фЬико-математичних наук, ЮРИК 1ван 1ванов,йч,

Нацюналышй ушверситет харчових технологш, доцент кафедри вшцоТ математики

Провщна установа: Ihcthtvt теоретично!' фгзики

iMCni М.М. Боголюбова HAH Укра'йш, В1дд1л математичних методов в теоретичшн ф13ИЩ, М. К HIB

Захист вщбудеться " /а » 2004 р. о 15 год. на засщанш

спсщалпованоУ вчено1 ради Д 26.206.01 в 1нституп математики HAH Укра'ши за адресою: 01601, м. Кшв-4, вул. Терыценювська, 3.

3 дисерташею можна ознайомитпси в 6i6.nioTeni 1нституту математики HAH Укра'ши.

Автореферат роздано Т^хбил 2004 р.

РОМАНЮК A.C.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуалыпсть теми. Теория неперервних груп бсрс початок в роботах Софуса Лл. Досщдження таких об'ект1в, увсденнх С. Л1 в розгляд у зв'язку Ь зд!йсненням ним спроби побудови загальноУ теорп штегру-вання диференщальних р1внянь, привели до створення апарату груп 1 алгебр Л1, як1 широко використовуються в р1зномаштних областях математики.

Сьогодш, як 1 рашше, одним з застосувань неперервних груп пере-творень е теор1я диференщальних р1впянь, як звичайних, так 1 з ча-стиннимн похцщими. Основи теоретико-групового тдходу до анал!зу диференщальних р1внянь були закладеш Софусом Ль Подальший ро-звиток теоретико-груповнх методав пов'язаний з ¿менами таких вчених, як Г. Б1ркгоф, Л.1. Седов, Н.Х. Крапмов, Л.В. Овсяшпков, П. Вштер-ттц, Д. Блумен та Ю. Коул 1 ряду шших. В peзyльтaтi в математищ сформувався важливий напрямок, який за проиозищею Л.В. Овсяшпко-ва було названо "Груповий анашз диференц^алышх р1вняиь". Важли-ву роль цей напрямок вЦдграе в тсорп р1внянь математичиоУ фхзики. Значний вклад в розвиток групового ангипзу диференщальних р!внянь внесли В.1. Фущич та Гюго учш — А.Г. Шшн, Р.З. Жданов, Л.Ф. Ба-рашшк, М.1. Серов.

Одшею з центральних задач сучасного групового анализу е групова класиф1кац1я диференщальних р1внянь. Загальноприйияте формулю-вання задач1 груповоТ класифжацй наложить Л.В. Овсяишкову. Ця проблематика е дуже популярною 1 займае тплыгс М1сце в провщних журналах св1ту.

Групова класиф1кац1я дозволяе окреслити коло задач, до яких мож-на застосовувати поту ж ш теоретико-групов1 методи. Одним ¡з результат такоУ класифжащУ е можливилъ побудови точних розв'язмв склад-них нелшшних р'пшянь.

Серед фундаментальних р1внянь математичноТ ф1зики важливе М1С-це посщають диференщалыи р1вняння з частиннимн похщними другого порядку гшерболгшого типу. Тага р1вняння зустр1чаються в задачах хвильово'У й газовоУ динамжи, х1\пчно1 технологи й хроматограф!?, в р13-них областях ф1зики (надпровщшсть, дислокацп в кристалах, хвшп в феромагнетичних материалах, лазерт ¡мпульси в двофазовому середо-вгищ тощо), в диференщальшй геометра. При цьому, серед нелшшних piвнянь ппербол1чного типу найбитын вживаними в р1зних моделях е досить обмежене коло р1внянь (Л1увшля, Гурса, д'Аламбера тощо).

Задача групово'1 класифжацн квазшпнйних р!внянь гшербол1Чного

типу е дуже складною, i до тепершнього часу в цш облает! отримано тшьки окрем! результата.

Дисертацшна робота прнсвячена розв'язуванню задач1 повноУ гру-повоТ класифжаци найбшьш загалыюго одноникпрного квазЬшпйного диференщального р1вняиня з частинпими шшдними другого порядку ппербол1чного типу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертащя виконана у в1ддш1 прикладних дослщжень 1нституту математики HAH Укра'ши в рамках теми "Теорстико-груповий аналп нелипйних проблем математично? ф5зики, xiMi'i, öioriorii та економжн" (номер держреестраци 0101U000098).

Мета i задач! доашдження. Метою диссртацШноТ роботи е по-вне розв'язання задач1 rpynoBOi класиф!кацп для квазЫшйних р1внянь rincp6oni4Horo типу найбшьш загалыюго вигляду у двовшпрному прос-Topi-4aci, симетршна редукщя i побудова швар1антних розв'язив для ряду отриманих ршнянь.

Для цього, поряд з класичшши методами групового ananiay дифе-ренщальних р1виянь та вщомими методами ix штегрування, використо-вуеться,запропонований Р.З. Ждановим i B.I. Лагно, иовий шдхвд до груповоТ класиф1кацй' диференщальних р^внянь, який дос! застосову-вався ильки для piBimiib парабол^чного типу.

Наукова новизна одержаних результата. В дисертацп вперше одержано таю результата:

• Проведено повну групову класифшащю квазшншних р1внянь ri-пербол1чного типу, лтшних вщносно их. Доведено, що найширшу симетрш серед розглянутих р^виянь мае р1виянкя Л^увшля, яке iimapiaHTHe в1дпосно нескшчетюпараметрично! групп локальних перетвореиь.

• Доведено теорему про структуру допустимих алгебр iimapiaHT-ноей квазшшшних гшербашчних р'шнянь, нелппйних в'щносно их. Показано, що xaKi р1вняшш можуть допускати лише розв'язш ал-гебри iHBapianTHocri.

• Проведено повну групову класиф1кащю квалшппйних rinep6cwi4-них piumiHb, нелшшних шдносно их. Зокрема, показано, що найбшьш широка симетр1я таких р1вняпь впзначаеться п'ятивтир-ними алгебрами Л1 i знайдено Bei нескв1валентш класи р!внянь з такою ciiMOTpiero.

• Здшснепо повну групову класифжацпо загалыюго квазшшишого р1вняння ппербегачного типу.

• 3 використапням знайдених симетрш проведено редукцно та побу-доваш класи точних розв'язюв квазишшпшх р1внянь ппербол1ч-ного типу.

Практичне значения одержаних результа^в. Дисертащйна робота мае теоретичний характер. К результата можуть бути викори-CTani для досгндження конкретних диференщальних р1внянь, побудови математичних моделей з заданою симетр1ею i знаходження ix точних розв'язюв.

Особистий внесок здобувача. Yd результатн, що виносяться на захист, одержано здобувачем самостп"шо. В роботах, як1 були опуб-лжоваш разом з шшими авторами, особистий внесок дисертанта такий. У робот! (2] Р.З. Жданову i B.I. Лагну належить загальна постановка задач^ анали отриманих результат!«, дисертанту — доведения теорем i групова класифнсащя доавджуваного р!вняння. У роботах [1, 8] B.I. Лагну належить загальна постановка задач! й уточнения деяких формулювань теорем i тверджень, дисертанту — розв'язання задачи

Апробащя результатов дисертацп. Результати дисертацп до-повщалися на III, IV, V М5жнародних конференциях "Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics" (Кшв 1999, 2001, 2003), М1жнародшй кон-ференцн "Inverse Problem and Nonlinear Equations" (Харюв, 2002).

Окр1м дього, результати дисертацп були предметом доповщей на на-укових семшарах вущшу прикладних дослщжень (1нститут математики НАН Украши, KepiBHUK— професор А.Г. HiKirin), об'еднаному ceMiiiapi з математичноТ ф1зики (1нститут математики НАН Украши, кер1вники ceMinapy — член-кореспондент НАН Укра'ши Д.Я. Петрина, професор 6.Д. Бшоколос, професор А.У. Юпмик, професор А.Г. Шк1т1и), ceMinapi i3 статистичноУ мехашки лабораторп теоретично!" ф1зики iM. М.М. Боголюбова (Об'еднаний шетитут ядерних дослщжень, Дубна, Рос1я, KepiB-ник — професор В.Б. Пр1езжев).

Публжацн. OciiOBui результати дисертацп опублшоваш у профшь-них виданнях [1-4, 6] та додатково виевгглеш у [5, 7, 8].

Структура та обсяг дисертацп. Дисертащя складаеться 3i 3MicTy, вступу, двох роздинв, висновшв, списку використаних джерел, що мктить 87 найменувань, та одного додатку. Повний обсяг дисертацп 148 сторшок, з них список використаних джерел та додаток займають 15 сторшок.

3MICT РОБОТИ

У встуш наведено загальпу характеристику, ui.ni роботи, стислий 3MicT дисертацп, обгрунтовано i"i актуальшеть i паукову новизну.

У першому роздШ дисертаци подано огляд праць, яю стосуються груповоУ класифшаци диференщалышх р1внянь. Також була проведена повна групова класиф1кащя квазшшшних гшербсипчних р1внянь, лшш-них в1Дноспо их. У шдроздш1 1.1 здшсшоеться постановка задачу роз-глядаються вщом1 результати груповоУ класиф1каци двовикпрних хви-льових р1внянь, обговорюються метода роз'язашш зада'п груповоУ кла-сиф1кацй. Об'ектом досивджень дисертащУ е квазшшйш р1вняння, яи належать до класу хвильових р1впянь

— «п + F(t,x,г¿, их), (1)

де функщя Р е дов'шьною гладкою функщею своУх аргуменйв,

и — Тут 1 дал1 щ = их — = ----Р1вняння ви-

гляду (1) займають важливе мкце серед диференщальних р1внянь ма-тематичноУ ф1знки. До таких р1внянь, зокрема, приводять задач1 опису нелшШних хвиль з осьовою та центральною симетр1ею, задач 1 поши-рення нелшнпшх хвиль в иеоднорщному середовииц, задач1 хвильовоУ та газовоУ динамши.

Снметр1я р1вняння (1) залежить В1Д явного вигляду функци Задача груповоУ класиф1кацц полягае в опий вах неекв'шалентних клаав довшьних елемегшв Г \ знаходження вцщовщних алгебр швар1антност1.

В дисертащУ застосовуеться метод, що е синтезом методу Овсяншко-ва, методу апрюрноУ специф1кацп алгебр Лц як1 можуть винпкнути при класифшащУ р1внянь, та перетворень екв1валеитность Основпа 1дея цього методу полягае в тому, що замкть безпосереднього розв'язування визпачальних р1внянь ми сночатку будуемо решизаци алгебр Л:, як! можуть допускатися нашим р1внянкям. Саме такий гидоид дае змогу ро-зв'язати до К1нця задачу груповоУ класиф^кацп дуже складних нелшш-них р1внянь.

Стосовно класу р1внянь (1) алгоритм методу груповоУ класиф1кащУ передбачае виконання таких кpoкiв.

Знаходимо групу екв1валентност1 р1вняння (1), тобто сукупшсть перетворень, що збершдать форму р1вняння, але можуть мшяти конкрет-ну форму функци Р.

Використовуючи метод Лц зиаходимо систему визначалышх р1внянь для коефщ1енгпв ¡нфшггезимального оператора та знаходимо загальний вигляд цього оператора.

Виходячи з загального вигляду шфнптезималыюго оператора будуемо вадповщш реал1заци алгебр Л1 Ап, п = 1,2,3. Як доведено в дисертаци, за одним винятком, ус! там алгебри повинш бутн розв'язш.

При цьому, пaявнicть у розв'язноУ алгсбрн Л1 так званого композищй-ного ряду дозволяе проводитн поетаппу групову класиф1кацш рпшянь вигляду (1), збшыиуючи кожного разу рстпршсть алгебри швар^ант-пост1 на одиницю.

Завершения групово1 класиф1каци полягае в знаходженш вс1х не-екв1валентних р!внянь вигляду (1) та вщповуцшх максималышх алгебр итар1антност1.

Результатом виконання цього алгоритму е перелж неекв1валентних р1вняиь, що належать до класу (1), для яких наведено Ухш максимальш алгебри симетрп.

У н1дрозддл11.2 була проведена попередня групова класифжащя до-слщжуваного класу р1внянь. Загальна задача класифп<сацп р^вняння (1) розпадаеться на задач1 класиф1кацп таких частшших випадкт цього р1вняння:

= ихх + дЦ,х,и)их + /(«,х,и), диф 0; (2)

Щх =д(Ь,х)их + /(£,х,и), д ф0, /ии ф 0; (3)

Щх=/^,х,и), /ииф0. (4)

та р1вняння (1) з Ритит Ф 0.

У шдроздш! 1.3 проведена повна групова класифпсащя р1вняння (2). Трупу птар1антносп р1вняння (2) генеруе шфшггезималышй оператор:

С} = + Хг)д( + (Ах + Х2)дх + [И(х)и + г(«, х)]ди,

де дшсш стал1 Л, Ль Л2 та функцп Л, г, 7, / задовольняють систему двох ровностей:

-2/г' - А5 = (А£ + А^ + (Ах + Х2)9х + (Ли + г)ди, -Ы'и + Гц - тХх + (/г - 2А)/ = (А* + А1 )Л + (Ах + Аа)/Х + + (ки + г)/и + 5(/г'и + гх).

Груну екв1валснтност1 £ р1вняння (2) складають тaкi невироджеш пе-ретворення:

1=Н + ки х = екх + к2, V = Х{х)и + У{Ь,х), (5)

де к Ф 0, X Ф 0, е = ±1, к,кг,к2 € М, X, У — довьчын гладю функцп сво1х аргументов.

Основшш результат з класнфжапп р1внянь (2), що допускають од-нопараметричт групп Ль дае така теорема.

Теорема 1. 1спуютпъ п'ятпъ исеквгвалаипиих ргвимнъ вигляду (2), якг допускаютпь одпопараметричт групп локальних перетворепь. Bid-noeidni реализацп тфттезимальних onepamopie та фг)пкцш fige р1впяпнях (2)маютъ вигляд:

А\ = (tdt + хдх) : g = х~1д(гр, и),

f = х~21(Ф,и),ф = tx~l,ди ф 0;

А! = (dt + (3dx) : g = g(n, и), / = /(г?, и), ri=x-0t, Р > 0, ди ф 0;

А\ — (dt + а(х)иди} : g = -2сг'ст-1 In |u| + g(p,х),

f ^ (a'cr-1)2uln2 |u| — a'a~1g(p,x)u\n |u| - a'1a"и ln |u| + -f и f(p,x), p = ue~ta, a ф 0; = (3x> : g = g(t, u), f = f(t, u), gu ф 0; = (a(x)udu} : g = -2a'a~l ln |u| + g(t, x), f = (aV-^uln2 |u| - (a~1(r" + a-Vfl(t,®))tt ln |u| + + uf(t, x), a' Ф 0.

Було доведено, що не аснуе нелншшнх р1внянь вигляду (2), алгебри iHBapiaiiTHOCTi яких 1зоморфш нашвпростим алгебрам Jli або м1стять ÏX як шдалгебри. Зпдно з теоремою Лев1-Мальцева, це означае, що нелшшш ршнянпя вигляд}- (2) можуть мати тшьки тага алгебри ш-BapiaiiTiiocTi, як! е розв'язними. Це дозволяв ефективно проводити пое-тапну класиф1кацпо р1внянь вигляду (2) вщносно двох, трьох i бшьш ви-coKopo3Mipnnx алгебр Ль Так, наступному вивченню шдлягають нелпий-ш рнзняння (2), алгебри iimapiaiiTHOCTi яких е двовтнрними розв'язними алгебрами Ль Доведено кнування чотирьох р1внянь вигляду (2), ян iHBapiaimii вщносно алгебри А2.1, та шести ртнянь вигляду (2), яю iii-eapiaHTHi в1дносно алгебри А0.2 (тут i дал! ми використовуемо позначен-ня алгебр Jli, введен! Мубаракзяновим). Доандження показали також, що серед р1внянь (2) в bîcîm, максималышми алгебрами iimapiaHTiiocTi яких е тривилирш розв'язш алгебри Jli. Pïbhhhl, що допускають алгебри iHBapiaiiTiioeri po3MipnocTi вище трьох, не icuye. Bci щ р1вняння в дисертацп знайдеш в явному виглядц, чим i завершено групову кла-сиф1кацдо р1вняиь (2). Нижче, для прикладу, наведено деяю з цих р1внянь та вказаш базисш елементи вщпошдних алгебр iHBapiaiiTHOCTi.

Лз,2^нвар1антне р!вняння

Utt = Uxx + ux ln |ы| 4- \u ln2 |u| — I11 \u\ + nu, n £ R,

{dt,dx,e~ixudu)\ Лз.4-щвар1антне р1вняння

Utt = «и + х-1 [2 In \u\ + mx~1t + n]tix + In |?j| 4-+ (mx~xt + n- 2)x~2u In |u| + \m2x~xt2u + + ±m(n-3)x~3tu + px~2u, тф 0, n,peR,

(tdt +xdx,x~1udu,dt - In \x\udu). Л3.г-швар1аитне р!вняння

Utt = uxx ~ 2mx~1ux In |u| + mx"2\mu In2 jzi| — - (m-l)uln|u|+rm], тф 0,1; n € R,

У гпдроздЬ'н 1.4 проведено групову класифжацпо ¡лвняпня (3). Показано, що група iimapianTHOCTi р!вняння (3) генеруеться ¡нфпптези-мальним оператором

Q = т(Щ + £(х)дх + [A(i)u + r(t,x)}du,

де функщ'1 т, h, г, /, д задовольняють так! piBHOCTi:

rtx + f[h-Tt-Zx]=grx + Tft + Zfx+[hu+r]fu, ht = пд + тдь +£дх.

Групу екв1валептност1 £ ршнянпя (3) складають так! перетворення:

(1 )t = T{t), х = Х{х), v = U{t)u+ Y(t,x), t'X'U Ф 0; (2)i=T{x), x = X{t), v=*(x)<&(t,x)u + Y(t,x), Ь'Х'ЦфО,

Подалыш дослщження показали, що серед р1внянь вигляду (3) icny-ють три р1вняш!я, ¡HBapiaHTiii вадносно однови.шргшх алгебр Jli. Опис piBHHiib, iimapiaHTHiix в1Дносно двовмпрних алгебр, подано в такш те-opeMi.

Теорема 2. 3 гпочнгстю до еквгвалептпостт, гснують три пелтгй-ni ргвняння вигляду (3), що inoapianmni eidnocno двовимгрипх алгебр Iii. Bidnoaidni рсалгзаци iпфпитезимальних onepamopie та фуигщгй f ige рхвняниях (2)мають вигляд:

{<du\x\mudu,Wt + xdx).

А.2 = щ + Хдх, t2d, + х2дх + mutdu) (т € К) :

У = [тгй + (к- тп)х]Г1^ - г)-1, к ф О, / = |4 - хГ-2|хГт/И, и, = и\Ь- т|-т|хГ, Ли, ф О;

А%л = № + хдх,г2д1 + гпЫду) (тёК):

д = Г2[кх + т£], кф 0, / = |*Г-2|а:Гт/(и/), = /ши) Ф 0;

^2.2 = № + хдх,х2дх + Ыди) ■

д = (¿х)-1(тх - 4) (тп € К), / - х~2е~1х~1 ¡(и>),

и = ф 0.

Неекв1валентш нелшнш р1вняння вигляду (3), яга мають нетри-в1альну симетрпо, вичерпуються трьома р^внянпями, яга швар1антш ввдносно одновим1риих алгебр Л1, та трьома р1вияннями, що наведет в теорем! 2.

У тдроздш! 1.5 даеться повиа групова класиф1кащя р^вняння (4). Знайдено, що трупа швар1антност1 р1вняння (4) генеруеться шфпнтези-мальним оператором

О - г(4)Э( + £(х)дх + {ки + г(Ь,х))ди, де стала к та функцп т, г, / задовольняють р1вшстъ

Пх + [к - т' - = т/£ + и* + [ки + г]/„. Груну егапналентносп £ р1вняння (4) складають перетворення

(1 )?=Т(*), х = Х{х), у = ти + У{г,х),

(2 )1=Т(х), х=Х{£), V = тпи + Г(Ь,х), Т'Х'тп ф 0.

Було доведено, що ¡снують два неекв1валентш нелшшш р1вняння вигля-ду (4), як! швар1ацтш вщносно однопараметричних груп локалышх пе-ретворепь. Опис нелшшних р1внянь, яга допускають алгсбри швар1ант-ноеп розм1рносп вищоУ 1пж 1, ми розночинаемо з класиф1кащУ р1внянь, алгебри швар1антносп яких е нашвпростими алгебрами Л1 або мштять тага алгебри як шдалгебри. Виявляеться, з точшстю до еквшалент-иосп, нелнпГпп р^внянпя (4), алгебри швар1аитносп яких е нагавпро-стими алгебрами Л1 або мютять Ух як шдалгебри, вичерпуються такими р1вняинями:

щх = (* - х)~2]{и), /гш ф 0,

и1х = Хеи, ХфО,

останне з яких е р1вняння Л1ув1лля. Це едине р1вняння з класу (1), що допускае нескшченнопараметричну групу локальних перетворень. Також 1снують ще дев'ять неекв1валентних р1внянь вигляду (4), макси-мальш алгебри п1вар1антност1 яких мають розлпршсть пищу шж оди-ниця. Вигляд функций / у цих р1вняннях, оператори симетрн, що скла-дають базис максимальних алгебр швар^антнот цих р1внянь та тип цих алгебр наведено в таблиц! 1.

Таблиця 1.

Х°-п/п Вигляд функцп / Оператори симетри Тип алгебри нтар1аптност1

1 е'/М, ы = ие /ии Ф 0 д1 +иди,дх А2.\

2 и = ие~*~х, ¡ши) ф 0 дг + иди, дх + идч А2л

3 (1-хГ3/(ш), и = (Ь- х)и, ф 0 - хдх + иди, дь + дх А2.2

4 и = х~1и, Ф 0 - хдх - иди, дь А2.2

5 /ииф 0 + дх, гд1 + хдх, 12дь + х2дх зЦ2,Щ

6 ех'1и -1д1 + хди, хдх + иди -42.2 Ф Ах

7 Л|х|-т-2|и|т+1, Хф0,тпф0,-,1-2 ди Ьдь - ^гиди, Хдх + иди Ао.2 Ф А1

8 ¡(и), }ии Ф 0 ди дх, - хдх Аз.в

9 ЛНП+1, А ф 0, п ф 0,-1 - \-иди, хдх - ±иди, ди дх А2.2 Ф А2.2

У другому розд1л1 розглядаеться задача груповоГ класифп-сащУ хви-льових р1внянь, права частина яких пелпшша тдносно их, тобто р1в-

нянь вигляду

Щ1 = ихх + х, и, их), ф 0. (6)

У першому тдроздш проведено попередню групову класифкацпо р1в-няння (6). Знайдено, що група ¡нвар1антносп р1вняння (6) генеруеться таким шфпитезималышм оператором

<Э = (М + + (А® + \2)дх + Щх)и + г(й, я)]аи.

При цьому дшсш стал1 А, Лх, Аг та функци /г = Н(х), г — г(Ь,х), Р — х, и, их) задоволышють умову:

ги ~ гхх - и - + (/г - 2А)^ - (А4 + Ах)Р( --(Ах + А2)Ес - (/ш + - + ^-и + А)г^ = 0.

Групу екв1валенгност! £ р!вняння (б) складають перегворення

Т = Ы + х = екх + к2, V = Х(а;)и + К(£,х),

де {МьМ С К, /с ^0, е = ±1, ХфО.

Доведено, що кнуюе сш неекв1валентиих клаав нелшшних р1внянь вигляду (6), максимальними алгебрами швар1антносп яких е одновтапр-ш алгебри Ль Нижче, для прикладу, наведено деяга з цих р1внянь та вказано базисш елементи в1дпов1дних алгебр швар1антностк

ии = Ц,хх - + г2(/')2и - 2грих + е{/С?(а:, V, и),

V = е~г1и, и - и-1их - /'/_11п М, А51 = (Э1+Лх)иди) (/^0); ии = ихх - Г1/"и 1п |и| - 2/~1/'их 1п \и\ +

+ Г2и'?и\п2 \и\+ив{Ь,х^), и = и~1их -ГГЧпН

= (¡(х)иди) (/ ф 0).

Також було доведено, що нелишни р1вняння вигляду (6) допускають тшьки розв'язш алгебри швар1антносп. Тому подальшому вивченшо тдлягають нелшшш р^вняння (6), алгебри швар1антносг1 яких е дво-втпрвими розв'язними алгебрами Ль Було знайдено, що 1снують 14 неекв1валентних нелшшних р!внянь вигляду (6), максимальними алгебрами швар^антносл яких е двовиьпрш алгебри Л1, поморфш алгебр!

Л2.1, та 16 неекв1валентних нелнийних р1внянь вигляду (6), максималь-ними алгебрами швар1антносй яких е двовтпрш алгебри Л1, юоморфш алгебр} А2.0. Наведемо деяк! з цих рпшяиь 1 вкажемо вщповщш ре-атзацн алгебр ¡нвар1антност1:

ип = ихх + аГ2[<г-1((1 - - 2£а')и + «З^, и)],

ш — £а'и + сгхих, ¿2.1 = + хдх, <т(£)ди) (а ф 0, ^ - ¿г"1); ии — ихх + ^ Г) = х-Ы, и) = ие~г', V = и~хих,

А\л = {д1 + кдх, дх + иди) (к > 0);

"и = ихх - и~1и2х - 5~15'их +6~1[1"д' - з"/>1п |гх| +и<3(г,х), = (Ях)иди, д(х)иди) (д - А -57 ф 0); = ихх + х~2С(и,ш), ш = хих\ = - хдх, 9(); ии — ихх + {(р~г<р" - 1)и + о1 = их -щ

¿2.2 = фх, еху(1)ди) (<р Ф 0). У пщроздии 2.3 проведено групову класифшащю р1вняння

ии = ихх - + А(х)их + В(х)и 1п |и| + иБ(1, х), (7)

де В(х), В(Ь,х) — довьчый глади функцп своТх аргумента. Гру-иова класифпаиця наведсного вшце р1вняння викопана з використанням методу Опсяншкова. Виявляеться, що в цьому випадку саме цсй метод дозволяе вщносно просто розв'язувати задачу групово! класифжащТ до ганця. Проведено класиф1кащя цього р1вняпня вщносно алгебр, що ма-ють розлнршсть б'тьшу шж два. Подалыщ дослщження показали, що ¡снують 26 нееквшалентиих клайв р1внянь, швар1антних вщносно три-вим1рпих алгебр Л1, 36 неекв1валснтних клаав р1внянь, швар!антних вщносно чотиривтпрних алгебр Л1, та одне р1вняшш, швар!антне вщносно п'ятивимфно1 алгебри Ль

У пщроздии 2.4 дослщжено швар1антшсть нелнийних р1внянь (6) вщносно тривтпрних алгебр Ль При цьому достатньо обмежитися розглядом дшспих розв'язних алгебр Ль 3 точ1Йстю до ¡:томорф1зму розрЬняють дев'ять тривтпрних розв'язних алгебр Л! над полем дшс-них чисел, серед яких дв1 розкладаються в пряму суму алгебр Л1 нижчо1 роз?.приост1 (розкладш алгебри Л!). ГОд час подальшо'1 класиф1кацй бу-ло вилучено ¡з розгляду Т1 з отриманих р1впянь, як! належать до класу

р1внянь (7) 1 групову класифшацпо яких проведено в попередшй частит роботи. Шд час розгляду нелшшних ¡лвнянь, швар1антних вщносно трившмрних розв'язних алгебр Л:, було отримано ряд р1внянь, мак-сималышми алгебрами швар1антносп яких е чотиривтпрш розв'язш алгебри Л!. Уа щ р1вняння хостять довьльш функцп одного аргумента, що дае можлшпсть для Ух иодальшо1 класифжацп використовувати стандарты методи. Знайдено, що ¡снуе 43 р1вняння вигляду (6), ш-вар1антних вщносно тривим1рних розв'язних алгебр Л1, та 15 равняю» розглядуваного виду, максимальними алгебрами швар^антносп яких е чотиривим!рш розв'язш алгебри Л]. Для прикладу наведемо кшька р1внянь та вщповууп ш реал1заци алгебри швар1антностк

ии — ихх — ЪЫх~*и — 2х~2и\п |ы| - и-1и2 + х~2и£?(ш),

и> = хи~1их -I- 1п |к| + Их~г, А\ 4 = {кх~1идш дс — кх~11п \х\иди, + хдх) (к > 0); Пн = ихх + {к2 - 1)(т - 9)(т - 9 - 1)т7~2и + ||/|т-2С?(у),

и> ~ — (т — q)r]~lu}, г] = х — кЬ,

А\л = (й + кдх, Щ^д^гдь + хдх + тпиди)

(к> 0, тфя, 0 < |<г| < 1); ии = ихх — и~ги2 — 2 + х~2иС(ш),

и — хи~1их - 1п |гх| + 2тЬх-1, Лз 6 = + тх_1ш?и,:ги<Эи,£с^ + хдх) (т > 0);

1 3 1

ии = "хх - + и =

А4 ~ А4.2, А4 = (дх, л/Щди, \f\t\ 1п Щди,

1д1 + хдх + (д+^)иди) Ф 0); "« = ихх + к2и + ек1С(и>), и> = е~ыих - Ь, А4 ~ Л4.з, А4 = (ек%,дх, дь + {ки + хек1)ди,е~к1ди) {к > 0); ии = ихх 4" \т}\Ч~2С(и), Ш — Г] — X - И,

А.1 ~ А4,8, Л4 = 4- кдх, ди, Юи. £<9( + х<9г + (А; > 0).

У шдроздип 2.5 завершено групову класиф"1кацио ршпяния (6). Групову класифжацио ргвняиь, що .шстять довшьш функцп одше! змшшл проведено з використанням стандартних метод'ш. Отримано повний перелш таких р1внянь (6), швар1ангних ввдносно чотиривим1рних та

п'ятивтпрних розв'язнпх алгебр Jli. Цей перелж наведено нижче.

utt = uxx + mu~lul (тф 0,-1),

A-i ~ ©Ль а4- (dt, дх, tdt + хдх,иди);

utt — + еи",

А\ — (dudx,du,tdu,tdi + хдх + (и - х)ди), utt = uxx + mln\ux\, тп > 0,

А\ = (dt,dx,du,tdu,tdt+xdx + (2 u+^mt2)du);

Utt = ихх + \их\к, ¿7^0,1,

к — 2

А\ = (dt, дх, ди, tdu,tdt + xdx +

Результат» падроздшу 2 завершують повну групову класпфжащю за-галыюго квазшншного р!вняння вигляду (1). У тдроздш 2.6 побудо-Baiti приклади точних розв'языв квазиишйних р1внянь (6). Деяш класи отриманих точних розв'язк1в винесено в додаток.

ВИСНОВКИ

• Проведено повну групову класиф1кащю квазшшйних р1внянь ri-пербол1чного типу, лппйних вщносно их. Доведено, що найширшу симетрно серед розглянутих р1внянь мае ртняння /Пувигля, яке iHBapiaiiTHe вщносно нескшченнопараметрично1 групи локальних перетворень.

• Доведено теорему про структуру допустимих алгебр швар'тнт-Hocri квазшнийних гшербсшчних ¡лвнянь, нелншших вЦносно их. Показано, що таи р!вняння можуть допускати лише розв'язш ал-гебри iiiBapiaiiTiiocTi.

• Проведено повну групову класнф5кацпо квазиишйних ппербол1ч-них р1внянь, нелппйних вщносно их. Зокрема, показано, що най-бшыи широка симетр1я таких piBimiib визначаеться п'ятнвим1рни-мн алгебрами Jli, i знайдсно Bei неекв1валентш класи pinimnb з такою симетр1ею.

• Зд1Йснено повну групову класифшацпо загалыюго квазшншного р1вняння г1пербол1чного типу.

• 3 використанням знайдених симетр1Й проведено редукщю та побу-доваш класи точних розв'язюв квазишшишх piBimiib гшербол1ч-пого типу.

Основн1 результата диссртацп опубл1ковано в таких роботах:

1. Лагно В.И., Магда Е.В. Групповая классификация одного класса // BiciniK Харывського нацюиалыюго ушверситету. Сер1я "Математика, ирикладна математика i мехашка". — 2003. — № 582. — С. 179-191.

2. Лагно В., Магда О., Жданов Р. Про швар1антшсть квазшшйних р1внянь rinep6oJU4iioro типу вщносно тривим1рних алгебр ili // Пращ 1нституту математики НАН УкраТни: TpynoBi та аналггичш методи в математичнш ф1зищ. — 2001. — 36. — С. 136-158.

3. Магда О.В. TpHBHMipni алгебр и Л1 квазинншних р1внянь rinep-бол1чного типу // HayKOBi BicTi Нащонального техшчпого ушвер-ситсту Украпш "Кшвський полггехшчиий шетитут". — 2003. — № 2(28). - С. 151-156.

4. Магда О.В. Чотириви.шрщ алгебри Л1 та точш розв'язки квазь лппйних р1внянь гшербол1чного типу // BiciniK Кшвського yni-верситету. Cepin: Ф1зико-математичш науки. — 2002.— Л"' 4. — С. 89-101.

5. Magda О. Invariance of quasilinear equations of hyperbolic type with respect to three-dimensional Lie algebras // Proceeding of Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine: Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics. - 2002. - 43, Part 1. - P. 167-170.

6. Magda O. The group classification of nonlinear wave equations invariant under two-dimensional Lie algebras // Proceeding of Institute of Mathematics of the NAS of Ukraine: / Symmetry in Nonlinear Mathematical Physics. - 2000. - 30, Part 1. - P. 165-169.

7. Magda O. Group classification of one class of quasi-linear hyperbolic-type differential equations // Материалы Междунар. науч. конф. / Обратные задачи и нелинейные уравнения, Харьков, 12-16 августа. 2002 г. - Харьков, 2002. — С. 58-59.

8. Lahno V., Magda О. The group classification of one class of nonlinear wave equations, math-ph/0310049, 8 pages.

Магда О.В. Групова класифжащя та точш розв'язки нелшш-них р!внянь гтербол!чного типу. — Рукопис.

Дисертащя на здобуття паукового ступени кандидата фгшко-мате-матичиих наук 3i гпещалыюсп 01.01.03 — математична ф1зика. — 1н-ститут математики НАН Украши, Кшв, 2004.

В дисертацй' проведена повиа групова класифжащя загального нел1-ншного р1вняння гшерболгшого типу:

uit = ихх + F(t, х, и, их).

Знайдено Bei р1вняння досгпджуваного вигляду з точшспо до допусти-мих перетворень екв1валентиост1 i описано i'x симетр1ю. Таким чипом, вперше здгйснено повну групову класиф1кацпо иелпшших р1внянь rinep-бол1чного типу з довичышм слементом, що залежить В1Д чотирьох зм!п-иих. 3 використанням зпайдених симетрШ проведено редукцй' та побу-довано точн1 розв'язки квазшшйних р1внянь гшербол1чного типу.

Ключов1 слова: квазшшшш р!вняння ппербол1чного типу, групова класиф1кащя, алгебра Jli, оператор симетрп, перетворення екв1валент-HOCTi, T04ni розв'язки.

Магда Е.В. Групповая классификация и точные решения нелинейных уравнений гиперболического типа. — Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.03 — математическая физика. — Институт математики HAH Украины, Киев, 2004.

Диссертация посвящена полной групповой классификации общего квазилинейного уравнения гиперболического типа:

uit = ихх + F(t, х, и, их)

с произвольным элементом, зависящим от четырёх переменных. В первом разделе приведен краткий обзор опубликованных результатов по теме диссертационного исследования.

Показано, что общая задача классификации рассматриваемых уравнений распадается на две качественно различные задачи, соответствующие FUrUx = 0 и FUiUj: ф 0. Проведена полная групповая классификация подклассов общих нелинейных уравнений гиперболического типа, правая часть которых зависит от их линейно либо не зависит от их:

Utt = ихх + g(t, х, и)их + f(t, х, и), ди ф 0; Щх = g{t, х)их + /(*, х, и), дфО, fuu ф 0; Щх = f(t,x,u), /ииф0.

Доказано, что наиболее широкую симметрию среди рассматриваемых уравнений имеет уравнение Лиувилля. Оно инвариантно относительно бесконечно-параметрической группы локальных преобразований. Среди остальных уравнений с наиболее широкой симметрией только нелинейное уравнение д'Аламбера инвариантно относительно четырехмерной разрешимой алгебры Ли. Ещё существуют двенадцать уравнений, которые инвариантны относительно трёхмерных алгебр Ли. Кроме уравнения Лиувилля, существует еще только одно уравнение, которое инвариантно относительно полупростой алгебры Ли, изоморфной алгебре sl(2, К).

Второй раздел посвящен полной групповой классификации уравнений, правая часть которых нелинейна относительно их:

"tt = «rx + F(t, х, и, их), FUrUx ф 0.

Доказано, что такие уравнения могут допускать только разрешимые алгебры инвариантности.

Показано, что существуют тридцать неэквивалентных классов уравнений, правая часть которых нелинейна относительно их, инвариантных относительно двумерных алгебр Ли. Наиболее широкую симметрию среди рассматриваемых уравнений имеют 5 уравнений, максимальными алгебрами которых являются пятимерные алгебры Ли. Ещё существуют 74 уравнения, инвариантные относительно четырехмерных алгебр Ли, и 69 уравнений, максимальными алгебрами инвариантности которых являются трёхмерные алгебры Ли. Также во втором разделе, с использованием полученых симметрии, проведена редукция и построены некоторые точные решения квазилинейных уравнений гиперболического типа.

Ключевые слова: квазилинейные уравнения гиперболического типа, групповая классификация, алгебра Ли, оператор симметрии, преобразования эквивалентности, точные решения.

Magda O.V. Group classification and exact solutions of nonlinear equations of hyperbolic type. — Manuscript.

Thesis for obtaining Candidate of Science (Physics and Mathematics) degree (Ph.D) speciality 01.01.03 — Mathematical Physics. — Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2004.

In the thesis complete group classification of general quasilinear equations of hyperbolic type:

Utt = Uxx + F(t, x,u,ux)

is carried out,. Up to admissible equivalence transformations all equations of this type have been described and the corresponding symmetries are specified. For the first time the complete group classification of the nonlinear hyperbolic equation is presented where arbitrary element F depends on four variables. Using the found symmetries reduction of this equation is carried out and the related exact solution are constructed.

Key words: quasi-linear equations of hyperbolic type, group classification, Lie algebras, symmetry operator, equivalence group, exact solution.