Группы с небольшими коммутантами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

КШВСЬКИЙ УН1ВЕРСИТЕТ шен! ТАРАСА ШЕ0ЧЕНКА

МАЗУРОК ОлексШ Олегович

УДК 619.41/47

ГРУПИ 3 НЕВЕЛИКИМИ КОМУТАНТАМИ

01.01.06 - алгебра i теорш чисел

АВТОРЕФЕРАТ дисертаци на одобуття наукового ступеня кандидата фюико-математичних впук

Кшв - 1998

S #

<5* С'

Дисертацгсю t руктис

Работа ли конина в1нститут1 математики HAH УкраТни

Науковий KtpieHUH доктор фшпко-математнчннх наук

КУЭЕННИЙ МИКОЛА ФЕОДОС1ЙОВИЧ, 1нстптут математики НАЛ УкраТни, провщний науковий cninpo6ÍTHRK

Ofmitliii ononrritiiu/ доктор фЬико-матсматнчних наук, профссор КУРДАЧЕНКО ЛЕОШД АНДР1ЙОВИЧ, Днтропетровськнй державиий ушвсрсигет. оав1дува<* кафедра алггбри i геометрм;

кандидат фганко-математичних наук, доцент СЕМКО МИКОЛА МИКОЛАЙОВНЧ, УкраТнськнй фшэиго1>о-еко11оМ1Ч1111Й ¡четктут, доцгнт кафедрн матгматихн

Проводил установи Ужгородськпи державнин ушаератт, кафедра алгебрм, MinicrepcTBO осени Укражп, м. Ужгород

CifiTiicm eidSydcmbci* 16 " листопада 1993 року и И годиш па аалданш спешалгао-паноТ B'iciioí ради Д 26.001.18 при Кшап.кому утверентет! ¡мен! Тараса Шгвченка па адресом: 252127, Кп! в-127, пр. аквдешха Глуююва, б, Мехашхо-математнчнкн факультет, ауд. 44.

3 дисертвцйю ложна отаВомитись в науковш 6*|6л'ютещ Кшвського ушв^рси-. cry ¡h»*h¡ Тараса Шгвчеща (вул. Володимирська, 62). Автореферат po.iic.iamiS ~*у0 ' 19Í1S року

Вчений секретар спешал1гювано1 вченоТ ради

Пгтравчук А.II.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОВОТИ

Актуальшсть теми . Значшш роэдш теоретико-груповнх до-слдакень складають реаультати внвчення груп з обмеженнями для тд-груп. ITepuii реаультати цього роздЬу одержали О. Гольдер, Р. Де-деинд, Г. Ммлср, X. Морено, О. Шмщт,. Р. Бер. Так, напрнклид, О, Гольдером булн oniicaiii скшчешн групп порядкш р, pq, pqr, рх, де p,q, r - не обов'яоково pinHi npocri числа. Доопдження скшчетшх минмаль-Ш1Х неабелеинх груп (груп Милера-Морено) оапочатковане Г. Мпле-ром та X. Морено. Л. РедеУ встановнв, що комутант скшченноУ шльпо-тентноУ групп Мпмера-Морено мае порядок р. Багато як вггчшзняних, так i заруб1жннх алгебраУст'ш обагатили цен роздш г.воУмн блигкушми результатам». Серед них можна згадатн: О. ИЬйдта, Р. Бора, Г. Ку-роша, С. Черткова, Б. Неймана, Ф. Холла, В. Гащюца, В. Г'лушкова, Ю. Горчакова, Д. Зайцева, М. Ка]>гаполова, М. Купейного, Л. Курда-ченка, С. Левщенка, А. Мальцева, 10. Мерзлякова, О. Ольшанського, Я. Сисака, В. Маржа, М. Черншова,С. Чушхша, Л. Шемегкова. ^

При одержанш результате згаданого роздшу серед обмежень на шдгрупн булн там, що внмагалн скшченност! певчих шдгруп дослщжу-ваноУ групп i обмеженост1 порядкш цих пщгруп. В частшшому внпадку так'1 обмеження накладалнсь лнше на комутант досйджуваноУ групп. Саме в цьому напрямку працювали О. Белооьоров, Я. Берковнч, Н. Блекбурн, Г1. Лонгобард!, Я. Половццькнй, В. Сергенчук, О. Устю-жаншов, Ченг Binr. Зролукпло, що обмеження порядку групп е ав-томатичним обмеженням i порядку УУ комутанту. До цих дослщжень взноситься i реаультати даноУ днсертацшноУ роботн.

Зв'яоок роботи о науковими програмами, планами, темами. Тепа дисертацп подноситься до плашв теоретико-груповнх дос.*иджень ¡нстнтугу математики НашональноУ академй' наук УкраУни.

Мета i о а дач i дослщження. Як вже вциначалось, О. Гольдер опн-' сав групп порядив р, pq, pqr, pl. Bei групп порядив менше 21С, OKpiM 192, описаш А. Лунном та Дж. Сентором. Д. Таунт, М. Рум, В. Ку-мар описали групп, порядки яких не дьляться на куб жодного простого числа. Скшченш бшримарш групп, що не мають нормальних силовсь-ких падгруп i порядок яких не дшггься на четверту степшь жодного простого числа описан! М. Куоеншш. Скшченш р-групп порядку р"

при а 6 {4,5.6,7,3} внвчали О. Гольдер, X. Бендер. Р. Феймср, О. Ннлявська, М. Ньюмен, Д. Бубболонь

Природним уоагальненням шонно огаданих реоультаэти е. задача класифшщп груп, у якнх комутант будс скшченною групою о вишс наведеннми обможсннями на ïx порядки. Дослщження такого роду пд'шснювались О. ГЪльдером, Л. РсдеТ, Н. Блекбурном, X. Бсхтолем, О. Устюжаншовнм, В. Сергейчуком, М. Семком, М. Куоенннм Я. Берковнчем. Д. Т^ебенком. X. Бсхтель вионачип B-iacTimocri скжчен-hoï групп, необхщш для того, щоб попа була комутантом дсякоТ inuroï групп. Деяк'| Ьшй обмеження на комутаитн дослщжуваннх груп роэ-глядалнгь Я. Половнцьким. П. Лонгобардь

Мст'.но дослщження дано!" днссртац^нноТ роботи с конструктнвннй опис довьчьних груп, комутаитн якнх мають порядки р, pq, pqr, до р, q. г - не обои'яоково pinHi npocTi числа. Задачею дослщження е конструк-тнвнии опне нешльпотентннх об'сктш дослиження та тльпотентних об'скт'ш дослшження при умов1, шо ïx факторн по комутантах е пря-мимн добуткамн локально uiiK.ii4Hiix груп.

Наукова новиона одержпних реоультатов. Огновннмн реоуль-татамн дисертаци е теореми: 1.1.2, 1.1.3, 1.2.1, 1.2.2, 2.1.1, 2.1.2, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 3.2.1, 3.3.1, 3.3.2. До донолпжннх результатов вино-сятьея теореми: 1.2.3, 1.2.4, 3.1.2; леми: 1.2.1, 1.2.2, 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 3.1.1. 3.1.2, 3.1.3. 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, 3.3.1 - 3.3.7: накидки: 1.1.3, 1.2.2, 1.2.3, 3.1.1. 3.1.3. Зокрема, в робот! повжетю описан! нешльпотентш групп о цик.-пчним комутантом порядку р", а > 0. i конструктивно onncaiii шльпотентш групп G о инклЬпшм комутантом G' порядкш р, рг, p7q. pqr, у якнх G/G' - прямнн добуток локально ипклгших груп. Новшстю описан! також нешльпотентн! групп а комутантом порядку порядку pq та pqr. Конструктивно onncaiii шльпотентш групп G, у яких С - група типу (]>,p.q) i G/G' - прямнн добуток локально цик.-пч-ннх груп. Bei ni реаультатн iioni i мають строге доведения.

Практично оначення одержанпх реоультатш. Реэультатн дисертаци поповнюють коикретну балу Tropiï абстрактных груп. Вони можучь бути викорнеташ в гюдалыпнх доелиженнях îiirï Teopiï. Деякч частики дисертаци можиа пнкорнстовуватн як основу дли проведения гпенкурав та спедсемшар1в для студенев матсматичнпх щешально-

стей. Окрем1 питания, що випливають о дисертацп, можуть бути темами курсових та днпломних робгг.

Особистий ввесок одобувача i публиацп. Bei ociiobhS резуль-тати одержан! самостшно i опубл1коват без сшвавторш.

Апробац1я реоультат1в дисертацп. OciioDiii реоультати дисертацп доповадались на

- М'|жнародних конференциях ¡мет академка М. Кравчука;

- М1жнароднш конференцм пам'ят1 профссора Л.М. Гпуекша;

- науковому ceMinapi п алгебрн Кшвського университету ¡меш Тараса Шевченка;

- гштних конференшях 1нституту математики HAH Укра'ши;

- науковому алгебраТчному ceMinapi Нацюнального педагогичного уншерситету ¡меш М.П. Драгоманова.

Публ1каци. Реоультати дисертацшиого дослщження опубл1кован( у Г роботах, о них 4 у фахових виданнях.

Структура та обсяг дисертацп. . Дисертащя складаеться oi вступу, трьо^ роодшв, biichobkib та списку використаних джерел. с

Дисерташя мае аагальний обсяг 121 сторшку, г> яких основний ом!ст метиться на 113 сторшках, список використаних джерел Ь 77 найме-нувань м'1ститься на 8 сторшках.

ОСНОВНИЙ 3MICT РОВОТИ

У встуш дисертацп обгрунтована актуальшсть дослщження, вшшачено мету та оада'й дослщження, подано короткий огляд роб1т оа темою дослщження; обгрунтована наукова новизна та практичне i теоретично значения одсржаних результате.

У роод1л1 1 "Попередш реоультати" конструктивно описан! групп о комутантом порядку р. BiH також мктнть багато р'тномашт-них як нових, так i в!домих реаультггпв, що використовуються в по-дальшому.

У П1дроод{л1 1.1 "Групи о комутантом порядку р" конструктивно «niirani групп о наови (теорсми 1.1.1 i 1.1.2). Для бьчьш про-оумЬюго формулювання цих та багатьох нагтупних теорем наведемо ояначення стандартного добутку (ооначення 1.1.5).

Ооначоппя 1.1.5. Будемо каиати, шо шдгрупа D групп G с стан-дартним добутком шдгруп Gi, i € I, якщо Gi — (А*АЛ',) <з G, пщгрупа D иороджусгься nciMa G|. Л', - примарка чи бея скруту локально ци-кл»чна трупа, К < D, D/K - прямии добуток С7./А* для Bt ix i € /. I -дояка множина шдекст; при |/| = ü D = Л".

Теорема 1.1.1. Нехан комутант Gf групи G с слемеитарною абеле-пою шдгрупою порядку />"'. р - просто число, т > 0, { 1 — Z4 С Zj С Z? С Z\ С Zq = Р} - цритральиий ряд силовськ»! ;>-тдгруии Р го G. що мостить (j . G}(j - прямии добуток локально цнкл1чних груп i справедлива хоча б одна а умов:

1) I Z, |= I;

2) я >2;

3) р = 2; P/G - елементарна абелева трупа або прямии добуток локально цнклНнпх груп, порядок К0ЖН01 о пкнх больше, тж 4.

Тод1 G — С • D. D - стандартний добуток мпрмалышх nurpyn Gi — Gr А A'j групп G для Bcix i для деяко! множиии I. G' = С П D, С - чершковська р-група. Bei елсментн порядку р i:> С належать G .

Якшо т < 2. то С - локально цшшчна група чн групп киптершошп.

Теорема 1.1.2. Група G тод! i тгльки тод1 с нетлынпенттчо гру-пою о цикл1чним комутантом порядку т > 0 (/? - просте числи).

коли G = A A D, [A,D]~ A = G, | A |= p'" - непарне просте число, D = Z ■ (a), Z = Z(G), Z П ( a ) = (a*), » = t ■ p'\ 0 < a < m - 1, t > 1, p= \(mod <), прн m = 1, s = t.

В п!дроодIni 1.2 "Дещо про комутанти" встановлюються вла-CTiiBOCTi комутант1в труп при пеоних обмеженнях на них, а також вка-оуються деяк\ яластппогт! групп Я, прн яких оон.ч не може бути комутантом жодноТ групп G. Для прикладу наведемо таи ргаультатн.

Теорема 1.2.1. Hexaii перюднчннй комутант G' групп G мктить нормаяьну в G локально скшченну шдгрупу T о локально Ш1кл1чними силовськими р-шдгрупамп для довшьного p 6 Jr(T). Tbfli Т - центральна в G' локально цикл1чна трупа. ,

Теорема 1.2.2. Не ¡гнус груп G а комутантом G = (а)\В, [(а), В] ф 1, 7Г((a)) П п(В) = ф, i при | « |= оо централюатор (а) п В не «¡стать шволюшй.

Наслщок 1.2.3. Неабелева група порядку р3 не може бутн комутантом шльпотентио! групп.

Тзорема 1.2.5. Нехай G - довшьна група i F - така ïï скшчешпР нормальна шдгрупа, що G/F - прямий добуток локально цикл1чних груп. Тод1 G = С • D, С < G, С - периодична чершковська ir(F) -тдгрупа, С П D — F, D - стандартний добуток п'|дгруп G,- = F Л Л',-. i G / '

У роодЬи 2 "Групп о комутантом порядку pq" одшснюеться конструктивннй опис оадначених в nanni груп.

В пщроодЬп 2.1 "Г^эупи о комутантом типу (р,р)" описуються нешльпотеш групп о наппи тдроэдлу (теорема 2.1.3) i конструктивно описуються нпьпотентш гдупи G 5 комутантом G' типу (р,р), у яких G/G' - прямий добуток локально цик.11чнп.\ груп (теорема 2.1.2).

Теорема2.1.2. Dei групп G о комутантом типу (р.р), у яких G/G -прямий добуток локально цнкл'пних груп, мають вигляд: G = С ■ Д . де С 2 Я = АХВ 5 {а)Щ Э (а?"') х {//"') = G, H />". = р", а > 0, ¡3 > 0, о € А, Ь € В, Я не мктитк шдгруп Uif\apa порядку 8, [о,6] £ (аР'"), кожна о шдгруп A i В с локально шшпчн<"р р-групою чи групою KBaTepuioHin, i D - стандартный добуток шдгруп G, = G'A.Y(,t € / - деяка множина шдекпп, D ПС = G', та вичерпу-ються трупами, у яких С - пвдгрупа одного ч Timin:

1)С = Я = А\Я;

2) С = Я-(х), Н = (а)х(Ь), |о| = |6| = 4, [а,х] = eJ,'M = at-P ■■

i

3) С = Я • Л', Я = (а) х (6), А' я (х) х (y)<G; |а| = |Ь| = 4, а2 *2 - (а, у) = [Ь, х], Ь2 = уг = [я, *], а» • б2 = [6, у);

4) С = Я-(х), Я = (а) х (6), |а| ä= |xj ss 9, |6| = 3, (а,*) =6,

5) С = Я • (х), Я = (а)А{6), |а| = 8, |х| « 4, |6| = 2, ■ [а,6] = х5 = «\ {а.х] = Ь, [Ь,х] = 1.

Теорема 2.1.3. Нешльпотснтш групп о комутантом типу (р,р) мають внгляд G = AXD, де |Л| € С* = Л х В, де В = £)*, |ß| €

{1,р}, D - шльпотентна трупа, [Л, О] = А, ВС Z(D),C0{A) = C'o(G') = Z<G, Ca(D) = l та вичерпуються трупами тиюв:

1) |Л| = |В|=р>2, D = Z ■ (о), Zn(o)s(a'), s > 1, p = l(rnwfs);

2) G = .4. A - елементарна абелева трупа по])ядку Z = Z(G),D/Z - скшченна неодпнична абелева шдгрупа in GL{2,p).

Наслщхом основных результатов цього П1дроод1лу с теорема 2.1.4, яка опнсус Bei труп и G о комутантом С типу (р,р), nci елементн яко! порядку р належать G1.

ТЪорема 2.1.4. Bei групп G о комутантом G* типу (р.р), якии MicTiiTb Bei елементн Порядку р ю G (р - просте число) мають ецину ги.товську р-тдгрупу Р ■» вичерпуються трупами титв:

1) G = AXD. |Д| = р > 2, [A,D] = A,D-Z- (о), Z = Са{А) «G, Z Л (о) = (a*), a > 1, р = l(niods), Р = Л X U, де U - едина силовська р-п!дгрупа ia Z, що е локально цикл1Чнок> p-niarpvnow, D'<Z(D), \D'\ = p, Слф) = 1;

2) G = PXD, C¡ = Р - слементарна абелева п дару па порядку р2, [P,D] = Р, Cp(D) = 1, £> не MicTiiTb р-слементт, Со(Р) = Z Z(G), £>/.£ - неодинична абелева пщгрупа io GL[2,p):

=3

т

3) G - шлытотентна група, у якоГ падгрупа Р ¡ооморфна шдтруп! С теоремн 2.1.2 i мае Т1 ж властивосп, що и С.

В пщроэдМ 2.2 "Групп о цвкл!чвим комутантом порядку pq" одшснюеться конструктивний omic аааначеннх в наав1 груп. Це наступт теореми.

Теорема 2.2.3. Dei групп G о комутантом ö = (/) порядку р1, у яких G/{/) - прямий добуток локально цикл1чних груп, мають вигляд G - С • D, С П D = {/) = G", |/| s= p2, D - стандартний добуток п!дгруп Gj — (f)XXi, та вичерпуються такими трупами G, у яких С -повшетю описана р-група одного а восьми титв, наприклад:

I

1) G - локально циклона /ьгрупа порядку бшьше р;

2) G = U х (х), U - локально цикл!чна /»-група, |х| ~ ps, 6 > О, |l/| > pi+l,p-довшьне просте число, / = и-хр ' , и € f/, |и| = р2\

6) G = <а).(6>, |а| =8, |Ь| — ß > 1, |(а)П(6)| = 2, Ь-1 • а • Ь = а"1

</> = G; °

Теорема 2.2.4. Неншьпотентн1 групп G о комутантом порядку p-q, мають вигляд G = (а}ЛВ, |а| 6 {р,р ■ q}, р > 2, J3 - шльпотентна група, |2?'| € {1,9}, Сд[{а)) = £<G, B/Z -скшченнанеодшшчна абелева метацикл^чна група, (а) X В' = С - цих.'пчна група, [(а), Л] = (u),С{а){В) = 1, та вичерпуються трупами тишв:

1)|а|=р2, В — Z-(x)t {x)r\Z = {x'), »>1, a/p-(p-l), в ф p,Z~Z(G)\

2) H = />•?, q > 2, q ф'р, Z = Z(G), \B/Z\/(p ~ 1 ){q - 1), B' = 1; .

3) |a| = p, В — Z ■ (x), ZП(х)=:(х'}, s>l, p~l(mods), \B'\-q.

Теорема 2.2.5. Шльпотенгт групп G о комутантом Cf порядку ' p • q, y яких G/G* - прямий добуток локально циюпчних груп, мають вигляд С = С • £>, С П D = С = (/) < Z(G), |/| = p • g, шдгрупа D -стандартний добуток шдгруп Gt = {/) х JV,-, i вичерпуються трупами G таких титв, у яких С = Cj X Ci, де Cj - локально циклгша ;;-група, С2 - локально цикл'пна ç-група чи трупа кватершошв, р ф 2, {/) =

Шдроздт павершуе конструктнвний опнс bcíx груп о комутантом порядку pq, оскшьки оа наслщком 1.2.3 неабелева груп а порядку pq не можс бути комутантом жодно1 групп.

При доведеши основннх реоультат!в цього тдропд1лу використову-югься теореми 2.2.1 i 2.2.2, що мають i самостшне оначення. В теорем! 2.2.1 опнеуються Bei метацнкл1'пи групи о комутантом порядку pq г» вндшенням десяти типш груп такого роду. В теорем! 2.2.2 повн;;тю описан! /»-групп G, у яких С = (/), |/| = р2, G/(f) - прямнй добуток локально циктичних груп i G не мае влаенпх доповнюваних п'щгруп, що мштять / о вид!ленням восьми тишв груп такого роду.

У роодЫ 3 "Групи о комутантом порядку pqr" конструктивно описан^деям класн груп л наови.

В п!дрог)д!л1 3.1 "Понередпя шформац1я" описуеться структура групи Н порядку р ■ q • г. при як1й Н може бути комутантом деякоУ групи G, i вкаоуються псвш пластноост! групи С. Це наступи! теореми.

Тэорема 3.1.1. Нехай комутант С групи G мае порядок р • q • г. Год! справедливе одне io тверджень:

1) G' - цикл!чна трупа;

2) G' - пбелева неш1кл1чна трупа порядку р1 ■ д;

3) G' = ЛА{6) - трупа бея центру. А - група типу (/»■/>), |Ь| = q, р ^ q, ■ G = AAD. D' = (Ь);

4) G' - неабелева група порядку />3 (р > 2) ми група кватершошв, i G- нешльпотентна'група.

Теорема 3.1.2. Bei //-групп G, ян мають таку но]»мальну п1дгрупу {/> порядку р3, |G'| < p'J, що G/(/) - прямий добуток локально цн-кл1чннх груп i G не мае власних доповнюваних п!дгруп. ию míctati. /, вичерпуються трупами 9-ти типш. Наведемо деям а них:

5) G = «п>А(х» х (,А \а\ = />", = р\ |у| = /Л о > -> + 1. 7 > S + 1. S > 0, [в, х] = а' . / = и • vz, и 6 <а>, |u| = р\ г б (г). |г| = /Л

8) G = (a) ■ (6) . (b) ■ (d), |o| = p°, |6| = p*. |<t| = p°~\ |(a) П (b)\ = p, (b)n{d) = l,0>a>2, pa> 2, b~l • a • Ь = (/) - довмьна

пдарупа порядку p3 ïo G, що «¡стать G', G1 = (ap'~ ).

В шдроодип 3.2 "Нешльпотентп1 групи о комутантом • порядку pqr" повшстю описан! групи о назви. Цей опис оацйснюеться в TeopeMi 3.2.1.

ТЬорема 3.2.1. Неншьпотентш групи G о комутантом G порядку p-q-r мають вигляд G = A-D, де А - неодинична скшченна нормальна в G абелева пдарупа, що не може бути цикл1чною групою парного порядку, [.4, D] = А, \А П D\ € {1, г}, г - просте число, \D'\ долиться на добуток не бктьше шж двох простих чисел, та вичерпуються трупами 7-ми TiiniB. Наведемо деяи а них:

1) G — AXD, |А| = р • q • г, p,q,r - не обов'яоково pioni прост! числа, неодинична силопська 2-П1Дгрулаэ А не може бутп цикл1чною групою ГУ = 1, С0(А) = Z(G) ;

A) G — AXD, А - трупа типу (р,р), ГУ — {b), |6| = q,p,q - piom npocri числа, {b) С Z(D), AX(b) - група бсо центра, CD{A) = Z(G);

С) А - група гватершотв, & С Ф(Л).

В пщроодип 3.3 "Ншьпотентш групи о комутантом порядку pqr" конструктивно опнсаш деям групи G о наави, у яких G/G' -прямнй добуток локально иик.-пчних груп. Згщно з теоремою 3.1.1, комутант рооглядуваних тут груп може бути лише: пикл1Чною групою; нециклгшою групою типу (p,p,q), р ф q\ групою типу (р3,р) ми (р,р,р). Конструктивно описан! групи G о цикл1чшш комутантом (теорема 3.3.3) та групи а нециклНним комутантом типу (p,p,q) (теорема 3.3.1).

Теорема 3.3.1. Шльпотентт групи G а комутантом G' типу (p.p.?), У яких G/G1 - премий добуток локально циклгших груп, p i q ~ pioHÏ прост« числа, мають вигляд G = С • D, С П D = G', D -стандартннй добуток nlarpyn G; = G'AA',. i € /, С — P х Q, Р - пмоп-ська р-шдтрупа io С. Q - силопська <7-тдгрупа in С; p i q - pniii nponi числа, u-(P) x uy(Q) = G', u(Q) С Z{G), га вичерпуються трупами G, y

£&их Q - неодннпчна локально цишпчна група чи трупа кватершошв, а Р - шдгрупа одного о Tiinie 1) - 5) теореми 2.1.2.

Для доведения теореми 3.3.3 використовуеться теорема 3.3.2, що мае i самостшне значения.

Теорема 3.3.2. Bei р-групи G, у яких G' = {f), |/| = ps, G/(f)

- прямпй добуток локально иикл1чних груп, G не мае власних допов-нюваних тдгруи, wo м1стять (/), вичерпуються трупами 9-ти тишв, наприклад:

3) G = (а) • (Ь), |а| = 2\ |b| = 2*. ß > 4, |(а) П (Ь)| = 2, Ь"1 - о • Ь = аг, г €{3,7};

6) G = V ■ {у), V = U ■ (х) - група типу 5), (/) <G, |у| = |х|, Vn (у) « w({/>). (u,v) та ((/) • (х>.г/> е трупами типу 5);

9) G = F • Y, F = (а) • (*), |а| = р°, \х\ = р3 < р" < ? < |У'|, [(а), (х)] = {а""') « (/) = G', (а) П <х> = </">, р-3 > 2, F П Г = w((/)), V - локально цикл'1чна р-група

Теорема 3.3.3. Нехай G - шльпотентна група ó комутантом G1 — {/), |/| = р . g • г, - попарно pioHi прост! числа, G/G' - прямий добуток локально цикл1чних груп. ТЬдо G = С • D, С П D = G', D

- стандартний добуток шдгруп G¡ = {/)АA'¡, »' € /, С - чернюовська група одного о типт:

1) С - група одного о тншв леми 3.3.1;

2) {/) - група типу (р2, С - група одного о тип1в леми 3.3.2;

3) |/| я= р3, С - група одного о тишв теореми 3.1.3 або група одного з тишв теореми 3.3.2.

висновки

Об'ектами дослщження дисертацп с дошльш, ях скшченш так 1 не-ск!нченн!, групи (3 о комутантом порядку р, pq, рдг, до р, д, г - не обов'яэково рюш прост« числа. Метою дослщження с онаходження бу-дови груп такого роду у виглад! б = С • Д де С ! 1> конструктивно оадан! пщгрупи о С.

В дисертацп встановлено, що в неншьпотентшй груп! <7 о прнмар-ним цикл1чннм комутантом справедливо: С = С = (п), |а| = р", а > О, р > 2, СП 0 = 1.

Вперше доведено, шо в груш (? л комутантом С порядку р, для якоТ (7/С' -прямий добуток локально цикл1чних груп, маемо: С П И = С, С - локально цикл*1чна група чи група кватершошв, О - стандартний добуток нормальннх в й пщгруп б,- = С Л А',-, • € I. Одержаний роэ-клад групи С можна вважати конструктивним описом досить широкого аласу груп о комутантом порядку р.

Новими результатами е твердження, як1 встановлюють, що кому-тант С дослцисуваноТ групи (7 порядив р, рд, рдг може бутн неабе-левою групою лише коли б - нешльпотентна група 1 С - група ква-тернюшв чи неабелева група порядку р1 експонеитн р або С - нешль-потентна група без центра порядку р7д о нормальною силовською р-п!дгрупою типу (р,р).

Роовиваеться ¡дея опису груп, ЯК1 не мають нетривиального ропщш-лення над своТм комутантом.

В шльпотентши груш С о комутантом типу (р,р), для якого С/С -премий добуток локально цикл1чшгх груп, £> - стандартний добуток пщгруп G^ = САА,-,«' € /, С П £> ■= С, 1 С - повшетю описана р-група одного о 5-ти тншв, що не мае власних доповнюваних в С пщгруп, як1 м!стять С. В о га дан ¡й груп! й а цикл!чним комутантом порядку рг магмо: О - аналопчний стандартний добуток, С П О = <?',! С ~ циком описана р-група одного о 8-ми тнп!в, де С не мае власних доповнюваних в С пщгруп, шо мктять С. В шльпотентнш груш о комутантом порядку р</, р ^ д, С е прямим добутком локально циклгшоТ р-пщгрупп ! силовськоТ д-пщгрупн, шо е локально цнк.-пчною групою чи групою кватернюн'ш.

Опнс нетльпотентних груп а комутантом порядку р</ оводпться до

конструкц'й G ~ CXD, де С < G', |С| > 2, £> - ншыготентна трупа, ¡¿>'| £ {\,q}< р i q - не обовязково pioHi npocTi числа. В конструктивному оннс! нешльпотентннх труп о комутантом порядку pqr С < G', |£>ПС| € {l>p}i 6 {l)Pir»9»ïr}> i D може бути нешльпотентною групою лише, колн |£>'| — q, С - трупа типу (р,р), CXD' ~ G' - трупа бсо центра.

Опнс шльпотентких труп G о комутантом G' порядку pqr одшс-нюеться при yMoei, що G/G' - прямий добуток локально циклгших труп. В цьому onuci D - стандартний добуток падгруп G, = G'XX¡, i € /, С П D = G', С - чершковська трупа, що не мае влаеннх допов-нюваних шдгруп, як! мктять G'.

ПУВЛ1КАЦ11 АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦ«

1. Мазурок 0.0. Групи э елементарним абелевим комутантом порядку не бтыие жж р2 // Кпаси труп з обмеженнями для пщгруп. -К.: 1н-т математики HAH УкраТни, 1997. - С, 60-64.

2.Мазурок 0.0. Класифюафя труп э комутантом порядку pq // Класи труп з обмеженнями для пщгруп.-К.: 1н-т математики HAH Украши, 1997.

- С. 65-67.

3.Мазурок 0.0. Нерозв'язж групи э деякими обмеженнями для кому-тант!В // Клзси труп з обмеженнями для пщгруп. -К.: 1н-т математики HAH УкраТни, 1997. - С. 113-119.

4. Мазурск 0.0. Групи з елементарним абелевим комутантом порядку не бшьше жж р1 // Укр. мат. журн. - 1998. - N 4. - С. 534-539

5.Класиф!кац|'я груп з деякими обмеженнями для хомутантю порядку p-q // 0.0. Мазурок; 1н-т математики HAH Украши. -КиТв, 1997. -48 с. Укр. -Деп. в ДНТБ УкраТни 21.04.97, N 311-Ук97 // Анот. в РЖ "Депоноваж HayKOBÎ роботн", N 1, 1998.

6. Мазурок 0.0. Нерозв'яэж групи з деякими обмеженнями для кому-тант1а // М1жнародна апгебраТчна конференцю, присвячена пзм'ят1 про-фесора Л.М. Глускша. - К,: 1н-т математики HAH УкраТни, - 1997. -С. 58-59.

7. Мазурок 0.0. Розщтпювашсть в трупах з елементарним комутантом // Тези V М1жиародноТ науковоТ конференци !м. акад. М. Кравчука.

- К.: Binon, 1996. - С. 267.

Мазурок О.О. Групп о невеликими комутантами. - Рукопис,

Дисерташя на одобуття наукового ступеня кандидата фюико-матеыатич них наук оа спещальшстю 01.01.06 - алгебра i теори чисел. - Кшвсь-кий ун'шерситет ¡меш Тараса Шевченка, Кшв, 1998.

В робот1 повшстю onncani неншьпотентш групи о цикл1чним кому-тантом порядку р°, о > 0 i конструктивно onncani шльпотентш групи G о цикл°1чним комутантом G' порядшв р, р5, р3, plq, pqr, у яких G/G' - прямий добуток локально цншпчних груп. Повшстю onncani також нешльпотентш групи п комутантом порядку pq та pqr. Конструктивно описаю шльпотентш групи G, у яких G' - група типу (p,p,g) i G/G' -прямий добуток локально цшипчних груп.

Ключов! слова: нормальна п^дгрупа, локально цикл1чна група, чер-шковська група, комутант, стандартний добуток.

Маоурок А.О. Группы с небольшими коммутантами. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата фиоико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1998.

В работе полностью описаны неннльпотентные группы с коммутантом порядка pu, а > 0 и конструктивно описаны нильпотентные группы G с циклическим коммутантом G1 порядков р, р2, р3, p'2q, pqr, у которых G/G" - прямое произведение локально циклических групп. Полностью описаны также неннльпотентные группы с коммутантом порядка pq и pqr. Конструктивно описаны нильпотентные группы G, у которых G' - группа типа (р,р, q) и G/G' - прямое произведение локально циклических групп.

Ключевые слова: нормальная подгруппа, локально циклическая группа, чсрниковская группа, коммутант, стандартное произведение,

Mazurok A.U. Groups with small commutators subgroups. -Manuscript.

Dissertation for the Doctor Degree of Philosophical science in speciality 01.01.06 - algebra and number theore, Kiev University named after Taras Shevchenko, Kiev, 1998.

In the Dissertation there are described nonnilpotent groups with cyclic

commutators subgroups of the order p°, o > 0 there are constructure described nilpotent groups G with commutators subgroups of order p. p1, p3, Pl01 P9ri >n wich G/ff - product of locally cyclic groups. The description of nonnilpotent groups with commutators subgroups of order pq and pqr is given too. There are constructure described nilpotent groups G in wich G1 - group of type (jp,p,q) and G/ff - product of locally cyclic groups.

Key words: invariant subgroup, locally cyclic group, Chernikov - subgroup, commutators subgroup, standart product.