Группы с условием (а,а)-конечности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



КяУвсышй у^верскгет !кояг Тараса Шввчонка

На правах рукошоу

Череп Олександр Олеко 1йовяч

ГРУПП 3 ЛЮБОЮ /а. %<х/ ~ СКШЧЕШЮСТ1

01.01,06 - алгебра, теоргя -чисел та категлатячна лог!ка

Автореферат'

д~сор?адП та здобуття ааукозого стуяаяя кандидата ф!зшсо-штв|.®тзчниз; саун

¿У

К я 1 в 19 9 3

КяГвський уд!версггает !мзз! Тараса Шовченка

На правах руксвгау

Чорвп Олгксаидр 0аэко1йоэйч

ГРУШ 3 УМОЕОЮ /<2 ,сь/ _ СКНЙЕВНОСИ

01.01.06 - алгебра, тзор$я чзоэл ta датедотлгана

лсг!ка

Авторэфера?

дясэртацП на здобуття паукового ступэпя кандидата зпчо^лтомглзчазх ища

К H Ï в 19 9 8

Даеертац1ею е рукопис.

Робота виконана в Красноярске ому Деряавному Ун}версите-

Наукови$ кер!вних - доктор ф18вко-матвматичнвх наук, црофесор Шуаков Володимир Петрович.

0ф1ц1йн} оаовенти:

1. Доктор ф} здао--штематячнях наук Черн1ков Мйкола Сергеевич.

2. Кандидат ${Эйко-математэтнах наук, доцент Патровчук Анатол!й Петрович.

Пров1даа орган1эац!я - УжгородськиЙ. Деркавнай Ун!вер-сктот, " .

• Захает в^дбудвться " I? " с!чня 1994 р. на аао1данн! сшц1ая!зоЕано'1' вчево! рада Д.01.01.01 при КиКвоькому Ун1-версвтет! 1мев! Тараса Шевченка аа адресов: 252124, КяУв-124, пр.Глушкова, 6, шхая1ко-ыатематйчняЙ факультет, аул.42.

3 дЕсертац1сю маяно ознайомитися в науков!й сЯсШоте-ц! Уи1вероЕтету. . ,

Автореферат роз! сдано " 17 " гр^-дня 1993 р.

2<?е«ай секретар : ; спеШалгчавано! ради

0В016НК0 С.А.

ЗАШЬЧА ХАРАКТЕРИСТИКА РОЕОТЙ

Актуадьн{сть теьж, Щд умовоп скЬчченност! в хсор!У труп розум!сться люба така властность, яка притачаяла уо!и с^нчзнянз трупа».!, що 1снуз хоча б одна носк!пчглша трупа, 'яг;а д|'ею властя-в!ст» т волод!е.

Б якост! пров1днвх }'т:сз ск^пепносг! при с.чвчетга! коея?я -чзнинх груз у ДЕоартацН принайггаться уиовн б!пр!г?1тпш1о¥ оп1п~ ченноот! I /для труп <1ъойт1 уса/ - ск!1Г?еяясет1.

Доочгь довгого часу ветлешш труп з цкш чп 1сзигя уиова?гп ск!пчвшюст! обкеяувалось , б остальному,- рашса/а локально чсапнх труп, проте, варовадженкя В.П.Иунковям у 1970 р„ клас1з б! гтрнштпвпо ск!нчвшшх, а пот!и I спряйоно <Ипрам1тивао сгЛн -чоаних труп у 1975 р. дозволила знатао розшрнтн Ш рамка. Зго~ дом вяявилось, що багато з деякях познтзвнюс результат!а з теор!1 лохалтлю ск!ячЕннаа; труп пэреиосяться на ?1зъхя па вкпе-вказаа! клася труп, ало ! на груш, як* задовольшшгь /снлья}й/ ушз! /¿г, сг,' - ех!нчоннсст1 для деяксго алеггзнту простого доряляу.

Разом з шш залиэались в!дкратш1 питания про каявн!сть у /спряжено/ б1прнм{тивно ск!нченннх групаа пер!одагто2_,часта1тн1 про замкнут!сть цзх клао!в груп в!дзосяо взяття фактор-груп, про зб!г 1сяас!в сяряжсшо <5!щш!тивно сличениях I б1прзк1тпг:ю Шз-чаннзх груп, а такоз про з<5!г /л,л/ - 1 сашшго /<2,<гУ -уыов ск!нченност!.

" Вс! ц! Ш-гаяна були поставлен! В.П.Шутгеовша автору ! стала в!дпров!дноп точке© для доол!джень, результата якюс подан! у дясертацИ. • /

Мэтодвка доол!двзвня. У робот! вгяорйстсврггьея "вшшгто 1

- 3 -

кетоди, конструкцП' ! результата 'гоор! 1' г руг;.

Пашкова новина. У дксертац1йн!й робе?! одержал! сд!дуот! нов! теоротечн! результата:

доведено 1 снувашш (ЯпримГггвно сгЛтетЛй трут, пэр1одвч-елементи яко! пе складаэть п!дерупу;

доведена незамкнут!сть класу <5!пр2ы1тивно ск1нчешшх труп йхдкосно факторизац!1 по абелавкм нормальней дЬлзтелям;

виявлен! умови зб1гу глас I в б!прш!тивно I спрякзно б!нрш!~ тевяих труп;

доведена екв!валентн!сть умов 1а., сх/ - ок!нчениост! 1 сапь-но! /&,&! - ск!нченност1 дал груп Фробел!уса.

Теоретична ! практична ц!нн!сть. Дксертацг&на робота косить теоретичной характер. Отршан! результата мокуть бути прютооова-в! у теорй' песк!нченнюс груп, а також використовуватися при че-таяп! фахових курс!в по алгебр!.

Апробад!я роботи. Результата дкевртад)К докладалвся на Всесоюзна наукоао-студентсыс1й конфереиц!Г /Йовосиб!рськ, 1985 р./, 28 Всесоюзна конферошЦ 1 по алгебр! /Кваин!в, 1985 р./, М1ана-родах конференциях по алгебр! /Барнаул, 1991 р. ! Красноярсък, 1993 р./, сем!нарах "Алгебра 1 лог!ка" ! "Теор!я труп".1нст£туту математики ! Новосиб!рського державного ун!верснтету, на Красво-яроькоыу ы!ецзвому алгебра! чному оем!нар1 I опуйл!кс©ая! в роботах Д-Ь/.

Структура ! обсяг робота. Дисертац!я складаетьоя э двох глав, под1лених иа п"ять параграф!в } ы!стить 10 теорем /пумора-й!я прох1дна/.

Першвй розд!л перио! глави м!стить оаначення I в!дом! ре-вультатв.

Загэлыгай обсяг дисертецП складаеться з 63 стор!нок, Б!бл?сгрзф1я MíCíKTb 52 кайменування.

SMIGT РОБОТЙ ■

В те ta ifi глазi дпсертац!ï розглядаютьоя деяк} властявост1 змШаянх /спрядено/ сЗ!првм!тивно ск11гчепних груп. Зокрема, § I днссртац!! присвяченлй пошуку в!дповШ ва питания 6.57 з KoypíB-сысого зошзта: чи у 0удь-як!й /спряяеио/ б!пршл{тивко ckíu4chhí5 rpyrii пзр1одичн1 еламенти складають nijarpyny - ÏÏ пер1одячну частицу?

Позитивна в!дпов!.дь на це нятання дай спрятано tíínpsMiTHBHO ск!нченнях груп з розвпязшшя ск!нченниш п!дгрунает при дсдатко-вях обмаяешшх отрЕШна,- ВЛ.Сенапювтд» В робот! А.К.Шлог.к1яа до-сл!дяуэться /спряково/ <Ипрп?л1тяв!Ю citiimiral групз, як i оадоволь-ияэть умов? прямарно! м{н!малвност1. Естановлэно рад улов, достат-nîx для патаност! пэр! одптлох' чсстгли з тсизх трупах, Л »K.HUieaidn трsos вязначвв утммш, ягам поэиапа зздозаштя /опглзэяо/ dlnpa-"itтйеяо ск1вченна група без пер1рдячио! частшз з у?*овоэ npa-apaoï мЬНмаяьаоет! у вападку, якщо вола îchya. Яя вдавалось, в загагь-псму ьашагку, в!даов!дь на питания 6.57 шзгатлта í ccîopoa дозв-дгаа ластугша.

Toopsm I, 1спуз öfirpss!} тввно ск!ачевна груш бэз septодлч-noï частмш,

3 властБВ0с?»й вр5кладу, псбудовового Ерл дс::аз} теорэет. I,

л0гко e3tík£s

Toopot-a 2. Icaye 0!прам1тнвно CKímeima група G , волод!»-нэвряв!аяыюэ абаяввою ворлалыгею п!дгрупою H гака, ко ¿дктор-гругд G/ И ш е бÎпрпуîтшзяо cîîlincHEoa, ' - .

Такт тчогл показано, цо глас 01прж!тивно ск1нчешшх груи ке еаисиошй в!днсено езктгл £актсг>-груп. Кр1ы soi?o5 теорема 2 т-d-jebü iü'ispac у 8в"яэку с тт} и о фактор-грула будь-яко? nepl одкч-hoi /сарлазао/ б1пркй!т5внс ск1нченн№ rpyniGno черя1козськЗД че сэровiü скшчеян!й шда'руш, а такса но н!дгрун1, яка язляз соЗозо сбяеднання верхнього головного ряду групп G такок е /спряаено/ eilnpiSMisKBHO скхнчекноз). /Результата Шуакова» Свшзова, НоековеЛ Треба в1дзначЕ'гы, цо побудована при доказ! теорема I груга G т5лькг 2 - крупная, тоб-то x(i>) Ваувааш, що дня' р~2 5 нгаалзгво бхд результату автора, В.П.Шунксвш показаний ^Х^аид 2 -• спряаено öliipiiiiiтивяо ск!кч£щц1й груш:, в ßxiii Hüpua-л1еатор будь-яко'1 неат:аь1ально1 сгЛкчешю'! п1дгрупз ше сгЛкч&нну ¿эр/одячэу. чаемшу, а трупа-не мае. пер|одично! частики.

Тзкйм члноа, у S 2 розглядаеться найбШш загалька ситуация, а сzisa доведена

Теорема 3« Для будь-якого простого числа р !снуе ölnpmii-tusso ск1вчешш група G така, що iT(&) - {р} t кноняна yciznepi- ' одерни елемант!в груш & на складае п1дгруну - пзр!одачну чаотя-ку груш G .

Эв!дои ввт!кае сл.{дуюча

Теорема 4. Для буцъ-SKoI даожини простих чисел Р icnye öi-npiialTUBüO ск!вченна група G така, що ST(0)~ P f для конного р & Р ынсанна р - елэщнт!в групя G но в п1дгрупою.

В1дзвачиао такоз, що з властивостей црикладу, нобудованого црг докав! теорема 3, лагко вят!кае

Теорема 5. 1снус слабо <Мпрши!тнвно ск!нченна група беэ ав-р1сдачЕо1 частгшя, в як!й нормая!затор будь-яко! негрив!ально* сд{ачеаа!^ н}дгрупя волод1е локально скаченною пер!одячнов чао-

Кр1м одзрзашо сл4дуючо 8г.<!ш*2ОТ1 таора.п ?,

Теогсгп 1онуе б1прим1?явно груза & , яка кзв

нормр:п-пу едатяторну' абагвву Шдгрупу & ♦ таку, що фактор-тк'-га 6/В на з даяэ слабо спрятано с!;Гфг?.'1?пггго сгЛпченно®.

Яес^чпгД ДЕСэртац!!, ос?азп!й у глав* I, прзсга-

чэзпЗ лг-пшгга зб!гу клас!в б!прим!кпшо скИгзешшх 1 сщражеао 61-прс»1!Г2Е!Ю ск!1По:шлх груз, Пятякня про в!дноаення р!зишс умов ск1пч9нно<зт1 актуальна ! кежзн приклад розпод1лу-е обгрунгузаЕе'г 1:: : снуваная .

Як ехтекяось, у досвть инрокзх кллсах труп, плтагоя- розно-д!лу умоз бгаргитгттшо; { спрязеио б!пр;и1тявяо1 ск!нчэниосг! розв"язузт1>ся пзгатпвяо. Зскрзма, глав к{сца

Теорема 7. Розз"лзаня'. сщшсено б1прим1гавно ск1нчэнаа груза б}пряштивно ск!нчанна.

Вадал! роэвзтоя 1дзЯ, 1снуючий у доказ! ц!е¥ творогп, ярз-в!в до сл!дуючого результату:

Теог-еута б. Яйцо О - трупа а незм1шаяимн факторами, та ;сл!дуэт! умовя 0гш1валентя1:

1. Група О спряжено б1приа!т1Шно ок1Ечаниа.

2. Група й б!прим1мвно ск!нченна.

3. Для будь-яко! ск1нченноХ п!дгруш Н у фактор-грун! А^ С И)/Н едвкзвта прости* порядк!в породауоть яокаяьво с^етеплу п!дгруяу.

Шд трупов нэзм1шашшш факторами у дан?1й робот! ро8ум!®?ь~ ся трупа, волод1*№а и!лком упорядкдваникм по зростаниэ норьшьазм рядом, ус} фактора явого або абелев!, або ся!ячеан1, або на «авть

крутини. Внасл*док з ц1е! теореыж вят|каа, що будь-яка ссряяйно

_ *

б!прим1тявно ск!нчеяьз К I - трупа б1пр«{тнвно ск1нчвнна.

Друга глава дксертац!X присвячена вивченню нескгнчонннх • грук Фробан!уеа вигляду & - Г л (о.)з кеЬтар|антнйм мношшком С О,) простого порядку р н» зокрема, р1пюнню питаяня про р!в-нозкачн!сть у таких трупах / л - 1 сильного /Л,¿2/ - умов ск!нчсш10ст!. Нар!вн! з вдм розгладаеться питания про вложения елекепту О. в якусь неск!пченну локально ск!иченну (&) - 1н-вар1антиу п!дгрупу в & ,

Бкточшееться доказ теорзми вложения Шункова, яка була сформульована авторш для труп, як! задовольняють умоваы /й ,<я/-скЛкчениостI дая якогось елемента а простого порядку р , але фшстнчао доведано тхлькй у ирипущанв! про ваконання сильно! умо-гя - сз^вчехшост!:

Теордуа Куккоза. Припустшо С - група без 1нЕалюц!Й з на-сп!нченноэ кнозяноз елзкгят!в сличенного порядку, л ~ елемант простого порядкур так!, цо тВзэ для ве!х ел{шзнт!в вигляду сГс.^ & б ) п!дгрупз. гр ( а, ^ ~йа у ) ск!нчши!.

Тод} елеыэнтя О. знакодяться або в 8аск!нченн!8 локально ск!ечзнн!й п!дгруп!, або в ск!нченн!й п!дгруп!, у норма?Iзатор! яко! безл!ч едемент!в ск!нчонного порядку.

Аз-гор дасертацН гадовшт пустоту. у доказ! ! цйй завершав

И;

Тсотага 9. Прнпусагдэ О ~ група впглкду О^Р > С<х)г ¿¿г. _ вяэмэиз: простого ворядду /> , С^ (а.) =.(сь) { внко-зуаться укова / а, а/ .-> мЦцчевэос?! дзш одемелгу л .

Тод! цзнтраа!затор бузь-яко? ск!нчзнво1 - 1нвар!£Штно* Шдгруяз ш!щуе неок1вченну локально ск!ичеяпу п!дгрупу Ь !

Зв!дсе а есШксм в!докоГ теореш Х!гавна-1омпсояа про н!ль-

4з ;

потвктностi ядра локально ск!иченно! групп Фрсбэн!усп лэгко одержатд

НаслГдок. Припустило Q - трупа вкгдяду G ~ F >■ \ (Х - елемент простого порядку р , Cq Co.) -Co.) j у Q вяко-нуетъся умова /<2.,л / - ск!нчвиност! для елокента . Тод! будь-яка скученна (а) - iiiBapfcimia п{дгруиа з G зпаходпться у носк!нченн!Я(Л)- fHBaptaHTHiit н!льпотентн!й п!дгруп! з G . Дал!, за допомогою тэореми 9 позитивно розв"язуе?ьея питаяпд про зб!г /¿2,<я/ - i сильного IСс%а / - углов ск!нченност! у трупах Фробешуса вигляду Q ' F X СО-), а само, мао тЛсцэ

Теорема 10. Прппустямо G - група вигляду G = F х ^ ) , (м - еле мант простого порядку р » С^ ic<~)~Cc>-) i у G вако-нуеться умова / а,а/ - скЬгсгшностт для елемэнта Л . Тод! у G для елешнта О- викснуеться сильна умоза /<Х,сг/ _ скЛнчен-

HOCTi.

Наелгдок. Якщо у rpyni Фробон!уса з неiкварfантнкм шзож-ником простого порядку иноаишн елемент!в, утвореннх з кз!ыварг-антнм множнягсом неск!нченну п!дгрупу не нусту, то вопо hscs!e-чеяно,

Автор висловлюо глибоку подяку своему наковсму коровника-в! професору Шуцкову Вододощру Нетрошчу за трактувааня завдая-ня t пост!йну увагу до роботе.

ПублгкацП автора за темою дяезртац!V

1. Череп A.A. О бесконечных группах Фробэнкуса // Доп. з ВИНИТИ II.03.91, Ä 1014 - В 91.

2. Череп A.A. О группа^ с условием /л,а/ - конечяоетя. - В кн. : Информационно-оперативный материал /теоряя групп/, препр. .43 ВЦ СО АН СССР, Красноярск, I9SI, с.37-55.

3. Черои A.A. О грукяьх Фробзаауса с условием /<2,«/ _ кокзч-косгй // Доп. в ПИШИ II. 03.91, й 1016 - В 91.

4. Чород A.A. 0 маожзоуво эяекаято® конечного подокна в опцримя-гивно конечной группа // Алгебра и логика. - 1937, 26, is 4, о.518-521.

5. Чорзц A.A. 0 множестве элементов конечного порядка. в сксааншс группах. - В кн.: III Ыовдуяародкая зсонферанция по алгебра /Красноярск, 23 - 28 августа 1993/. Тезисы докладов, Красноярск: Инопроф, 1993, с.358.

6. Чарэп A.A. Об одаоа свойство групп Фробаккуса. - В кк.: Международная конференция но алгебра /Барнаул, 20-25 августа 1991/. Тезнсы докладов по теория груип, Новоонблрск, 1991, с.120.

7. Чорзп A.A. Об одной условии совпедонЕЯ классов бипримзтгано ' . п сопршшзно бапрг-лиггавпо кошчнш; групп Л Доц. б ЕЕШТй

II.03.91, ß 1015 - В '91.

8. Череп A.A. Прциэр бацрвдятввво копзчной группи на обладающей взрЕодэтеоксй частью. - В кн.: 28 Бессоюзная алгебраическая конференция. Тесясы сооб^эннй. чД1. Кеешйэв, 1965, с.267.