Группы с условиями плотности нормальности и её обобщений для некоторых систем подгрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ
|
Семко, Николай Николаевич
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Киев
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2000
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.06
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
КИШСЬКИЙ НАЦЮНАЛЫШЙ УН1ВЕРСИТЕТ
СЕМКО Микола Миколайович
ГРУПИ 3 УМОВАМИ Щ1ЛБНОСТ1НОРМАЛЫЮСТ1 ТА II УЗАГАЛЬНЕНЬ ДЛЯ ДЕЯКИХ СИСТЕМ П1ДГРУП
01.01.06 - алгебра I теор1я чисел
АВТОРЕФЕРАТ дисертацп на здобуття наукового ступеня доктора ф1зико-матеиатичних наук
¡меш ТАРАСА ШЕВЧЕНКА
УДК 519.41/47
Кшв - 2000
Дисертащя е рукопис
Робота виконана в Академи державно'/ податковоУ служби Укра'ши Державно!' податковоТ адмппстрацп Укра'ши
Офщшш опоненти:
член-кореспондент HAH Bmopyci, доктор ф1зико-математичних наук, професор ШЕМЕТКОВ Леонщ Олександрович, Гомельський державний ушверситет iMeHi Франщско Скорини Республжи Бшорусь, професор кафедри алгебри i геометри
доктор ф1зико-математичних наук, старший науковий сшвробшшк ЧЕРН1КОВ Микола Сергшович, 1нститут математики HAH Укра'ши, провщний науковий сшвробггник
доктор ф1зико-математичних наук, професор ЛИМАН Федф Миколайович, Сумський державний педагопчний ушверситет ¡м. A.M. Макаренка, завщувач кафедри математики
Провщна установа:
Льв1вський нащональний ушверситет ¡\icni 1вана Франка, кафедра алгебри i топологи, MimcTepCTBO ocBira i науки Укра'ши, м. Льв1в
Захист вицбудеться " " сЛю^ тЛП^С' 2001 року о 14 годши на засщанш спещатзовано! вченоУ ради Д 26.001.18 Кшвського нащонального ушверситету iмeнi Тараса Шевченка за адресою: 01107, м. Киле, проспект акад. Глушкова, б, Кшвський нацюнальний ушверситет шет Тараса Шевченка, мехатко-математичний факультет.
3 дисертащею можна ознайомитись в б1блютещ Кшвського нащонального ушверситету ¡меш Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).
Автореферат розкланий " ^fl^J^C Вчений секретар спещатзовано! вчено'{ ради
2000 р.
Петравчук А.П.
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуалыисть теми. Вже бшьше ста роив здшснюеться штенсивне вивчення труп, у яких деяи системи пщгруп задовольняють певш умови (обложения). Зазначимо, що темп i глибина таких дослщжень невпинно зроста-ють. Цей напрямок вивчення труп бере свхй початок з груп Гамшьтона, груп Miraiepa-Морено, груп Шмщта. Особливу роль в подальшому розвитку цьо-'0 напрямку з1грали роботи О.Ю. Шмщта, Р. Бера, О.Г. Куроша, D.M. Чершкова, Ф. Холла, Б. Неймана. У цш дшянщ дослщжень одержано Загато важливих результат, яы можна знайти в роботах Б. Амберга, Г.Баумслага, 3.1. Боревича, Н. Блекберна, X. Вшанда, В.Гашюца, З.М. Глушкова, Ю.М. Горчакова, Ф. Джюванш, Д.1. Зайцева, JI.C. Казарша,, VI. I. Каргаполова, О. Кегеля, П.Г. Конторовича, М.Ф. Кузенного, П.А.Курдаченка, С.С.Левщенка, Ф.М.Лимана, В.Д.Мазурова, A.I. Мальцева, 3.0. Махньова, Ю.1. Мерзлякова, B.C. Монахова, О.Ю. Ольшанського, \.П. Петравчука, I.B.Протасова, Б.1. Плотина, В.Н. Ремесленшкова, Ц. Роб1нсона, Я.П. Сисака, A.I. Старостша, С.Стоунхевара, B.I. Сущанського, VI. Томкшсона, Б. Xaprai, Г. Хайнекена, М.Холла, B.C. Чарша, Vi.C. Черн!кова, С.А. 4yHixiHa, Л.О. Шеметкова, В.П. Шункова та багатьох нших алгебрахст1в.
3 дедекгадових (Я-) груп, тобто груп, у яких нормалью Bci пщгрупи, юзпочалось вивчення довшьних (як скшченних, так i нескшченних) груп, у [ких деяка система пщгруп £ задовольняе умову нормальност! (Я). Опис :юнченних Я-груп здшснено у робой Р. Дедеюнда (1897 р.), а нескшченних - у робоп Р. Бера (1933 р.). Згадаш роботи започаткували важливий напрямок дослщжень в Teopii' груп. Головною метою цього напрямку е опис уза-альнень дедеюндових груп. TaKi узагальнення здшснюються або шляхом ¡вуження системи пщгруп X > що с нормальними в усш rpyni, або послаб-[енням властивосп нормальносп для пщгруп i3 £ • Назваш узагальнення Я-руп можна знайти, наприклад, у роботах О.Ю. Шмщта, Б. Хупперта, 3. Ян-:а, Д. Баюп, Н. 1то, Й. Сепа, Ф.М. Лимана, Г.М. Ромалюа, М.Ф. Сесеюна, 1М. Чершкова, В.Т. Нагребецького, О.О. Махньова, М.Ф. Кузенного, 1С. Леввденка, 1.Я. Субботша, Л.О. Шеметкова, Г. Жордана, А. Фатгах1, Л.С. Чершкова, Л.А. Курдаченка, В.В. Пилаева, Д. KenniTa, А.Ф. Бараншка, V. Манна, В.Е. Горецького та ¡нших.
Послаблениям нормальное^ для пщгруп системи Е нескшченно'1 групи 1 е майже нормальшеть. Пщгрупа Я групи G називаеться майже нормальною [щгрупою групи G, коли шдекс [G: NC(H)] еюнченний. Одними з перших начних узагальнень дедеюндових груп, яга пов'язаш з поняттям майже нор-1ально\' пщгрупи, одержан! Б. Нейманом та I.I. Срьомшим.
Узагальненням дедегандових груп присвячена дисертацшна робота. В lift узагальнення дедеюндових груп здшснюеться за допомогою обмеження
нормальност! i майже н<^рмальносп для системи пщгруп 2*, яка певним чином пов'язана ¿з згаданою системою 2. Це пщкреслюе п актуальшсть.
Зв'язок роботи з науковнмн програмами, планами, темами. Тема дисертацшно!' роботи пов'язана з тематикою наукових дослщжень 1нституту математики HAH Украши i Академп державно!' податково!" служби УкраТни ( номер державно!' реестрацп 0198U001999).
Мета i задач! дослщження. Традицшними питаниями напрямку дослщжень груп, до якого взноситься дисертацшна робота, були задач! опи-су груп G, у яких нормальш або майже нормальш Bei пщгрупи деякоТ системи 2.
У 1968 poui А. Манн почав вивчати групи, у яких нормальш не Bei пщгрупи системи 2, а Ti групи G, що мають нормальну пщгрупу N, розмщену м1ж будь-якими двома пщгрупами А i В ¡з 2, де А - власна немаксимальна пщгрупа з В. У нього 2 - система Bcix пщгруп групи G.
Групи, введен! А. Манном, С.М. Чернков у 1975 роц! назвав трупами з умовою щшьност! нормальноси для вс!х пщгруп. BiH же вв!в понятгя умов щшьност! i строго!' щшьност! для будь-яко! теоретико-групово!" властивосп V (доповнюваност!, субнормальност!, майже нормальное™ i т.д.) системи пщгруп 2. Власпшсть V пщгруп групи G називаеться щшьною (строго щшьною) по вщношенню до системи пщгруп 2, якщо для будь-яких пщгруп А i В ¡з 2, де А - власна немаксимальна пщгрупа з В, icnye така пщгрупа Я ¡з властив!стю V, що А < Н < В (А < Н < В). 1Д1 понятгя широко використовува-лися в роботах С.М. Черншова i його учшв (М.С. Чертков, JI.A. Курдачен-ко, М.Ф. Кузенний, В.В. Пилаев, В.Е. Горецький).
Р1зномаштш умови щшьност! властивосп V для системи пщгруп 2 групи G базуються на понятгях: вщр!зка ([А; В]) -, ¡нтервалу ((А; В)) -, швтервалу ((А; В]) швштервалу ([А; В)) - пщгруп групи G, кожний i3 яких е множиною Bcix пщгруп X групи G таких, що А i В ¡з 2, А - пщгрупа з В i вщповщно: А<Х<В; А<Х<В\ А <Х<,В\ А<Х<В. Потужшсть вщнзка, ¡нтервалу, шв!нтервалу пщгруп групи G називаеться його модулем, порядком або довжиною ! позначаеться вщповщно: |[А; В]|; |(А; В)[; |(А; В\|; |[А; В)|. За означениям |[А; ß]| > 1, тобто А - пщгрупа з В, при |[.4; В]| > 1 А - власна пщгрупа з В, при |[А; В]\>2А- власна немаксимальна пщгрупа з В.
У цш термшологп А. Манн розглядав групи, у яких 2 - система Bcix пщгруп групи G i для кожного в!др1зка [А; В\ такого, що |[А; В]| > 2 справед-ливе стввщношення [А; В) Э N < G. Проте вш цшком описав тшьки скшчешп неншьпотентш групи такого роду, у яких (А; В) Э N < G. Власти-Boeri скшченних груп з умовами |[А;В]|>2 i [А; В] Э N<G вивчали М.Ф. Кузенний ! В.В. Пилаев. Опис цих груп згадан! автори не одержали.
В.Е. Горецький вивчав нескшченш групи, у яких |[А; В]\ > 2 \ Е - система вс1х: нескшченннх нескшченних абелевих нескшченних неабелевих пщгруп групи й, для яких [А; 2?] э N < О. Повшстю вш описав тщьки групи такого роду, у яких Е - система вах нескшченних пщгруп. Цей опис виявив-ся дуже гром1здким. Це зумовлено вщсутшстю опису груп, у яких Е - система вах пщгруп, \[А; 5]| > 2, [А\В] Э N
Зрозумщо, що при |[А', > 1 умова \А", В] э N — майже нормальна (МН-) пщгрупа з С зб1гаеться з умовою майже нормальное™ вспх пщгруп групи Б. Нейман установив, що групи такого роду скшченш над своТм центром. При умовах |[А; 2?]| > 2, [А; В] э Ы - МН-пщгрупа з б, |0| = оо, Е -система вс!х пщгруп, групи й вивчеш Л.А. Курдаченком 1 В.Е. Горецьким.
Метою даноТ робота е дослщження наступних клас1в груп з умовами р1зномаштно1 щшьност1 нормальное^ 1 майже нормальносп для конкретних систем пщгруп Е:
• ЩН[ ]-груп та IX пщклаав, тобто груп й, у яких \[А; Б]| > 1, [А\ В] э N
• УЩН[ ]-груп та IX пщклаав, тобто груп С, у яких \[А; 5]| > 2, [А\В] э N <в\
• М#[1]-груп, тобто груп, у яких \[Аш, В]\ > 1, |А| = оо, [А; В] э N -МН-пщгрупа (майже нормальна) з б;
• М//[Т ]-груп, тобто груп, у яких \[А; Д]| > 1, А - неперюдична пщгрупа, [А; В] э N - МН-пщгрупа з С;
• УЩМН[Ц-груп та Тх пщклаав, тобто груп, у яких |[А; 5]| >2,\А\= со, [А; 5] э N— М/-пщгрупа з (7;
• УЩМН[ Т ]-груп та Тх пщклас1в, тобто груп, у яких |[А; 5]| > 2, А -неперюдична пщгрупа, [Л; В] э Ы-МН-пщгрупа з й.
Задач! дослщження:
• локально ст^шичасп ЩН[ ]-групи та Тх пщкласи;
• локально ступшчасгп УЩН[ ]-групи та Гх пщкласи;
• локально майже розв'язш МЯ[1]-групи;
• МН[ Т ]-групи;
• локально майже розв'язш УЩМН[ 1]-групи та Тх пщкласи;
• УЩМ^Т]-групи та Гх пщкласи.
Наукова новизна одержаних результате. В дисертацп вперше отри-мано нов! теоретичш результата:
• вивчено до тв1рних елеменпв 1 визначальних сшввщношень 1 подано конструкций побудови локально ступшчастих ЩН[ ]-груп та Тх пщклаав (теореми 1.4.1 1 1.4.2);
• аналопчно охарактеризовано локально ступшчасп УЩН[ ]-групи та ix пщкласи (теореми 2.2.3,2.3.1,3.1.1, 3.1.2, 3.2.1, 3.2.2, 3 .3.1, 3.3.2);
• встановлено 15 тигйв локально ступшчастих УЩН[ ]-груп, що не належать об'еднанню клас1в локально ступшчастих УЩН{ ]- i УЩН[ )-груп (теорема 3.4.2);
• встановлено 2 типи труп, що належать перетину клаав локально ступшчастих УЩН( ]- i УЩН[ )-груп i не належать класу УЩН( )-груп (теорема 3.4.1 );
• знайдено конструкцй' побудови в термшах прямих, нашвпрямих до-бутюв та скшченних розширень локально майже розв'язних М#[1]-груп (теореми 4.1.1 i 4.1.2);
• знайдено конструкцп побудови в термшах прямих, нашвпрямих до-бутюв та розширень МН[Т ]-груп (теорема 4.1.3);
• аналопчно охарактеризовано локально майже розв'язш УЩМЩ}]-групи (теореми 4.1.2 i 4.2.2);
• аналопчно охарактеризовано УЩМН[ Т ]-групи та ix пщкласи (теорема 4.2.3).
Допом1жними новими результатами, що мають i самостшне значения, можна вважати:
• опис до тв1рних елеменпв i визначальних сшввщношень локально ступшчастих труп, що не породжуються своУми власними немаксимальними пщгрупами (теорема 1.1.1);
• такий же опис метациюпчних 2-груп i3 трьома шволющями ( теорема 1.1.4).
Bei щ результата мають строге доведения.
Практичне значения одержаних результате. Робота мае теоретичний характер. Описаш в дисертацп класи труп значно розширюють конкретну базу теорй' труп. Важливе як теоретичне, так i практичне значения мае роз-роблена в дисертацп методика дослщження труп з умовами щшьносп нор-мальност! i майже нормалыюсп для р1зномангошх систем пщгруп. Результата дисертацп можуть використовуватися в р1зних теоретико-групових дослщженнях.
Сформульоваш i нерозв'язаш в робот! задач1 можуть бути основою но-вих наукових дослщжень.
Особистий внесок здобувача. Основш результата дисертацп опублшоваш в монографн [1] без сшвавторш. Бона ¡нтегруе, узагальнюе й уточнюе результати, що опублшоваш в роботах [2-24]. Bei вони, KpiM [2, 6, 8-10], опублшоваш без cniBaBTopiß. Особистий внесок здобувача в моно-графио [2] i роботи [6, 8-10], що написаш в сшвавторств1, такий: [2, poздiл 5]; [6, теореми 1 i 2]; [8, теорема 3]; [9, теорема]; [10, теореми 1-3].
Апробащя результатов дисертаци. Результата дисертаци доповщалися i опублжоваш в Te3¡cax матер!ашв:
• Всесоюзних алгебра!'чних конференщях ( Кишишв - 1985 р., JIbbíb -1987 р.);
• Всесоюзних симпоз1умах з теорй" груп (MiHCbK - 1986 р., Сверд-ловськ- 1988 р.);
• ГуПжнародних математичних конференщях ím. акад. М. Кравчука (Ки1в - 1995; 1996; 1997; 1998; 2000 р.);
• М!жнароднш алгебраТчнш конференцй', присвяченш пам'ятс профе-сора JI.M. Глускша (Слов'янськ - 1997 р.);
• VII Бшоруськш математичнш конференцн (Мшськ - 2000 р.).
KpiM того, результата дисертацшноТ роботи доповщались на алгеб-раУчних семинарах 1нституту математики HAH Укра'ши ( 1983 - 1988 роки); Кшвського нацюнального ушверситету ímchí Тараса Шевченка (1999 р.); JIbBiBCbKoro нацюнального ушверситету ímchí 1вана Франка ( 2000 р.); Го-мельського державного ушверситету (Беларусь, 1999 р.); Дшпропетровського национального ушверситету (1998 - 2000 роки); УкраТнського национального педагопчного ушверситету ím. М.П. Драгоманова (1986 - 2000 роки); Ко-шицького ушверситету (Словаччина, 1990 та 1992 роки ).
Публжацн. Ochobhí результата дисертацй' опублжоваш в монографп [1], в 23 наукових роботах [2 - 24] (список цих po6ÍT наведено в кшщ автореферату). Bei i;i роботи опублшоваш у фахових виданнях, що вщповщають вимогам ВАК УкраУни.
Структура i об'ем дисертацй'. Дисертащя складаеться ¡з вступу, чо-тирьох основних роздшв (яи mícthtb 13 гндроздшв), bhchobkíb i списку ви-користаних джерел. Список використаних джерел складаеться ¡з 217 найме-нувань. Загальний обсяг дисерташТ - 301 cTopÍHKa.
Автор щиро вдячний ректору Академп державно'! податковоУ служби Укра'ши професору Мельнику Петру Володимировичу за постшну увагу i пщтримку в po6oTÍ.
3MICT РОБОТИ
У BCTyni обгрунтована актуалыйсть дослщження, показаний зв'язок теми, що дослщжуеться в робот!, ¡з планами наукових дослщжень, формулю-ються мета i задач! дослщження, охарактеризовано наукову новизну роботи, практичне значения отриманих результат, особистий внесок дисертанта, апробацпо результат!в дисертаци, вказаш структура й обсяг дисертаци. В структур! дисертацй' видшяеться чотири оеновних роздши I - IV.
Узагальнення дедекнщових груп здшснюеться або шляхом звуження системи пщгруп Б, що нормальш в усш rpyni, або послаблениям властивосп нормальноси для пщгруп Î3 2. Зрозумшо, що узагальнення таких груп можна одержати накладаючи обмеження на деяк1 пщсистеми i3 S. Одшею з ефек-тивних властивостей, що дае можливкть видшяти пщсистеми ¡з Е, е включения одша пщгрупи ¡з 2 в шшу. 3 використанням uieï властивосп багато автор1в вивчали групи, у яких певна властивють V пщгрупи групи G е щшьноТ в rpyni G. Власпшсть V пщгрупи групи G називаеться щшыюю в G, якщо для пщгрупи А з пщгрупи В в rpyni G icnye пщгрупа N \з властивютю V така, що A <N <В. Встановлено, що так видшеш групи мають досить склад-ну будову. А тому Тхнш опис можливий лише при додаткових обмеженнях, серед яких таю досить широк! обмеження як локальна стушнчасткть та локальна майже розв'язшсть.
У роздш I "Будова локально ступшчастих ЩН[ 1-груп" викладають-ся результата про групи з деякими умовами щшьносп нормальное^ для пщгруп. Завдяки поняттю пром1жку ( вщр1зок, штервал, швштервал ) п5дгруп групи вводиться eiciM pi3nnx означень щшьносп i дослщжуються властивосп груп по кожному з них. Наведено опис окремих клаыв груп ¡з найбыьш за-гальним означениям щшьносп (УЩН[ ]-груп). Опиеаш локально ступшчаст! недедекшдов1 ЩН[ ]-групи.
У пщроздш 1.1 "ДопомЬкш результати" розглядаються групи, що не породжуються cboïmh власними немаксимальними пщгрупами. Опис локально ступшчастих груп такого роду дано в теорем1 1.1.1. У теорем1 1.1.2 вста-новлюеться один критерш дедекшдовосп групи. Опис розкладу групи за до-помогою ïï повно'1 нормально!- пщгрупи подано в TeopeMi 1.1.3. У цьому ж пщроздш описаш метациюнчш групи з трьома шволющями (теорема 1.1.4). Теореми 1.1.1 — 1.1.4 hobî i мають самостшне значения.
Теорема 1.1.1. Локально cmyniimacmi групи G, що не породжуються сво'ши власними немаксимальними тдгрупами, вичерпуються групами порядку 1 iр (р - просте число) i сктченними розв'язними 2-породженими групами, у яких yci власт немаксимальт тдгрупи породжуютъ власну нор-малъну тдгрупу M, i G ¡зоморфна грут одного з munie:
1) G - цикл1чна група порядку ра, р- просте число, а> О, M = <2>(<£(G)) - 2-максимальна тдгрупа з G;
2) |G| = pq, р i q - необов'язково pi3Hi npoemi числа, M= 1 - 2-максимальна тдгрупа з G;
3) G - група кватершонов, M = Ф(G) - 2-максимальна тдгрупа з G;
4) G - цикл^чна група порядку paq, р i q- pbni npoemi числа, a > 1, M -максимальна тдгрупа з G, \М] —р a_l q;
5) G = <x> X <z>, \x\ = pa,\z\=p, a> 1, [x,z] e <хр° ' >,[ G: G '] > 4, M = <xp>x<z> - максимальна nidzpyna з G;
6) G = Я X <*>, |R| = ra> 2, |*| = qp, ß> 0, a + ß > 2, r i q-puni
npocmi числа, <x> — максимальна nidzpyna з G, M= R\ <xq> — максимальна nidzpyna 3 G.
Теорема 1.1.2. Нехай G - zpyna, що Micmumb нормалът nidzpynu Nx i N2, для яких N\ n N2~ 1, GÎN\ i G/N2 - dedexitidoei групп. Todi G — дедектдова zpyna, якщо в Hiii виконуеться хоча 6 одна з умов:
\) N\ — перюдична група без шволюцш, N2 - група без шволюцш або група, що мктитъ елемент порядку 8;
2) N\ - неперюдична група без шволюцш або з елементами порядку 8, N2 — група без Шволюцш або група, що Micmumb елемент порядку 8.
H а с л i д о к 1.1.3. Якщо група G Micmumb нормальш nidzpynu N\ i N2 mani, що Ni n N2 = 1 i G/Nt - дедектдова zpyna {i e {1,2}), Nj ~ локально ifUKiiHiia zpyna з силовською 2-тдгрупою D, для якоХ \D\ 0 {2,4}, то G-дедектдова група.
Т е о р е м а 1.1.3. Нехай G - група, N- и нормальна nidzpyna i G тдукуе на N групу enympiuinix автоморфтпв, тобто для будь-якого елемента g ¡з G i ecix елементгв x h N в N icnye елемент a такий, що gAxg = a'lxa. Todi G = NCc(N). Зокрема, при Z{N) = / G =Nx Cc{N).
H a с л i д о к 1.1.4. Нехай G - група, N - така ïï 2-породжена нормальна nidzpyna, що G'r\N = N'<Z{N). Todi G = NCc{N).
H a с л i д о к 1,1.5. Нехай G - група з центральним циклгчним комутантом G ' Todi для будь-яко!' 2-породженоХ nidzpynu N зумовою G ' = N'маемо G = NCa(N).
II а с л i д о к 1.1.6. Якщо G - група з комутантом nopяdкy p iN— 6ydb-яка а 2-породжена неабелеваp-nidzpyna, то G = NCq{N).
H а с л i д о к 1.1.7. Bei сктчент 2-групи з трьома шволюцшми i центральним комутантом вичерпуються групами таких munie:
1) G - нецикл1ч)1а метациклгчна 2-група, що не Micmumb груп кватертонов та групи diedpa порядку 8, G '< Z(G);
2) G = U X X, de кожна з nid груп U та Хе цикмчноХ 2-групою чи групою кватертотв, \U\ > 1, \Х\ > l, w(X) < Z(G), [U,X\ < w(U);
3) G = (<a> x <b>)<x>, \a\ = \b\ = 4, a1 =x2, [a, x) = a2b2, [b, x] = b2;
4) G = (<a> x <b>)(<x> x <y>), \a\ = |6|= 4, a2 = J = [a, y], a2b2 = [a, x] = [b,y], Ä2=/ = [Ä. x].
Теорема 1.1.4. Метацикл1чт 2-групи з трьома ¡нволюц1ями мають вuгляà G = <a><b>, |а| = 2". |6| = 2Р, а> 0, ß> 0, b~ lab = аг (г - цме непарне число) i вичерпуються групами таких munie:
1) G = <a> X <b>, r= 1;
2) G = <a> X <b>, a>\,ß>\,r = -\;
3) G = <a> \<b>, a >2, ß> 1, r= -(l+2k), 1 < к < a, ß > a-k;
4) G = <a> X <b>, r = l+2\ 1 < к < oc, ß> a - k;
5) G=<bxd>, <b> n <d>= 1, <a> n <b> = <a2 >, r = l+2k, Kk<l,a<ß, \d\~ 2';
6) G = <axb>, a>2,ß>2, |<û> n <fc>| = 2, r = -1,7) G = <a><b>, |<ö> n <¿>1 = 2, r = - (l+2k),l < jfc < a - 1,
ß> a-k+l.
H а с л i д о к 1.1.9. Неодиничт метацикл1чт 2-групи G з числом шволюцш вгдмтним eid числа 3 вичерпуються групами таких munie:
1) G - неодинична циклгчпа 2-група, в G одна шволющя;
2) G = <a><b> - група кватершотв, |a| = 2а, |i?| = 4, а > 1, а2 =Ьг, b'lab = а1, в G одна тволюцш;
3) G = <а> X <Ь> - група diedpa, |а| = 2а, \Ь\ = 2, а > 1, bAab = а'1, в G не менше 5 тволюцш;
4) G =а<а> X <b> - Kecaidiedpcuibna група, |a| =2a, a > 2, \b\ = 2,
b'lab = a'1+2 , в G не менше 5 тволюцш.
У тдроздш 1.2 "Ochobhî означения i загальш результата" вводиться означення восьми клаав труп з умовами щшьност1 нормальност1 для гадгруп (означення 1.2.3). Теорема 1.2.1 встановлюе замкнен1сть введених joiaciß груп за падгрупами та фактор-групами i включения кожного з цих клаЫв в деякий шший. Bei розглядуван1 класи груп належать класу УЩН[ ]-груп, тобто груп G, у яких для будь-яко!" пари пщгруп A i В таких, що А - власна немаксимальна шдгрупа з В, кнуе нормальна пщгрупа NÏ3GiA<N<B. Теорема 1.2.2 описуе Bei типи ненормальних пщгруп локально ступшчасто'{ УЩН[ ]-групи. Вона е одним з вузлових результата подальших дослщжень. Теорема 1.2.3 присвячена характеризацн локально ступ1нчастих УЩН[ ]-груп.
Означення 1.2.1. Нехай G - група, A i В - iï тдгрупи, А < В. Bidpi3KOM (штервалом) [A;ß] ((А;В)) називаеться множина eeix тих i тшьки тих тдгруп Xh G, для яких А<Х<В(А < X < В).
Шеттервалом (А;В] чи [А;В) називаеться множина eeix тих i тшьки тих тдгруп Xi3 G, для яких А <Х< ВчиА<Х<В.
Пролпжком (A;ß) називаеться eidpi30K, ттервал або твттервал. Означення 1.2.2. Модулем пролпжку |{А;£]| називаеться число його елементгв.
Означення 1.2.3. Нехай у zpyni G для довшьного вгдрЬка [А;В], де А та В- Т-тдгрупи, icHyeнормальна тдгрупа Nh Gтака, що:
1) при \[А;В]\ > 1: 1.1) N s[A;B\,
2) при \[А;В}\ > 1: 2.1 )N е(А;В]; 2.2) N е [А;В); 2.3) N е [А;В];
3) при \[А;В]\ > 2: 3.1) N е (А;В); 3.2) N е (А;В]; 3.3) N е [Л;В); 3.4) N е[А;В\
Todi G називаетъся eidnoeidHo: H- , ЩН(г\- , ЩЩт)- , ЩН[г\- , УЩЩт)-, УЩЩг]-, УЩЩт)-, УЩЩг\-групою.
Якщо г - enacmueicmb бути будъ-якою тдгрупою групи G, то в позначеннях eidnoeiduux tatacie груп буква т опускаешься i в подалъшому ц1 класи груп будемо називати як Н- , ЩН( ]- , ЩН[ )- , ЩН[ ]- , УЩЩ )- , УЩН( ]-, УШН[ )-, УЩЩ ]-групи.
BicÏM Kfiacie визначених тут груп будемо позначати eidnoeiduo через К(Н), К(ЩЩ ]), К{ЩН[ )), К(ЩН[ ]), К(УЩЩ )), К(УЩН( ]), К(УШН[ )), К(УЩЩ ]).
Теорема 1.2.1. Класи К(Н), К(ЩН{ ]), ЦЩН[ )), К(ЩН[ ]), К(УЩН( )), К(УЩН( ]), К(УШН[ )), К(УЩИ[ ]) замкнет за тдгрупами i фактор-групами i незамкнет за прямыми добутками.
Теорема 1.2.2. Недгдектдова локально стутнчаста УЩЩ ]-група с розе 'язною чертковською групою, ненормальна тдгрупа U якоХможе бути лише власною тдгрупою одного з таких munie:
1 ) U - циклЬчна тдгрупа порядку р", а > 0, р - довшъне просте число, Ф{Ф(У)) = M < G;
2) U — група порядку pq, M = 1 <1 G;
3) U-група кватертотв порядку 8, 0(U) = M < G;
4) U-циклгчна тдгрупа порядку paq, а > 1, р i q — pbni npocmi числа, M <U, M < G, \M\ = pa~] q;
5) U = <x> X <y>, |x| = pJ , A > 1, [y| = p, p — довшьне просте число,
„л
p ,
[<r>,<y>] < <л: >, [U:U '] > 4, кожна тдгрупа з U порядку р мктить U <*?> х <у> = M < G;
6) U = R X <л:>, R - елементарна абелева мтшальна нормальна тдгрупа в U порядку гг> 2, |л:| = р^, p i г — pbni npocmi числа, у е {1,2,3 }, Р > 0, у + р > 2, <х> — максимальна тдгрупа з U, U' — R, Rx <хр> = M <G, при у> 1 у+Р< 5.
Теорема 1.2.3. Недедекшдовг локально cmynimacmi УЩЩ ]-групи G мають скшченний комутант, не мають тдгруп, що розкладаються в прямий добуток бтыие >иж тръох неодиничних прямих множнитв i е чертковською дисперсивною групою одного з таких munie:
1) G - сктченна нентъпотентна група;
2) G — сктченна ншьпотентна не бшьше тж бтримарна група;
3) G мае централъну квазщикл1чну р-тдгрупу R, для яко'г G/R - сктченна дедектдоеа група.
Пщроздш 1.3 "Деяш частинш випадки" присвячений описам деяких пщклаав УЩН[ ]-груп, що мають самостшне значения i використовуються в подальших доеллдженнях. У TeopeMi 1.3.1 описан! bcí локально ступшчаеп УЩН[ ]-групи Шм1дта. Теорема 1.3.2 описуе bcí метациктчш УЩН[ ]-групи, а теорема 1.3.3 - локально ступшчасп мМмалып неметациюпчт групи такого роду. У теорем1 1.3.4 описаш локально CTyniH4acri УЩН[ ]-групи, яи мають ненормальш мпимальш неметациюичш шдгрупи.
Теорема 1.3.1. Локально cmynimacmi УЩН[ ]-групи lllMidma мають
вигляд G = Р X Q, de Р — нормальна в G силовська р-тдгрупа порядку р"> 2, а € {1,2,3}, G'= Р, Q — ненормальна ifujoiinna силовська q-тдгрупа з G порядку cf, р> 0, piq- pi3Hi npoemi числа, Р '= Ф(Р) < Z( Р), |Ф(Р)| = рА, А е {0,1}, а- А — показникр по модулю q, Ф(Р) х Q — максимальна тдгрупа з G, Z(G) = Ф(Р) х Ф(0) та еичерпуються групами таких munie:
1) Р - група кватершоте, q = 3 > /3;
2) ехр(Р) = \Ф(Р)\ = р > 3, q > 2, Р = 1;
3)Р— елементарна абелева група, при а> 1 а + /3< 5. Теорема 1.3.2. Метацикл1чт УЩН[ ]-групи G еичерпуються
групами таких munie:
1) G = <а> х <Ь>;
2) G = <а> X <b>, \а\ = 2a, \b\ = 2P, a e {2,3}, /?> 0, V lab = a
3) G = <a> X <b>, \a\ = 8, \b\ = 2P, p> 0, b~ lab = a3;
k
4) G = <a> X <b>, \a\ = pa, |6| = b' lab = a1+ p , pk > 2, 0 < a-k<3, a-k<k< a, a-k</3;
5) G = <a><b> = <b><d>, \a\ = pa, Jb¿ = pp, \d\ = pa\
<a> n <b> = <(f >,<b>n<d> = l,b^ab = al+p , pa~2 > 2, 2 < a<p,
6)G = <a><b>, |a| = 8, |í>| = 2P P> 1, |<a> n <é>| = 2, V xab = a x;
7) G = <a><b>, \a\ = 16, |¿| = 2P, p e {2,3,4}, |<a> n <Z»| = 2, b'lab = a1;
8) G = <a><b>, |e| = |i| = 16, |<a> n <b>| = 2, b'lab = a3;
9) G = <a><b>, \a\ = 16, \b\ = 2P, |<a> n <2»| = 2, p e {3,4}, b~ xab = a7;
10) G = P x D, P - група кватертонов порядку 8, D - сктченна абелева Memai¿¡umÍ4Ha група;
11) G = P x D, P - силовська р-тдгрупа G, |D| = q, p i q — puni npoemi числа, P - група одного з таких munie розглядуваног теореми: 2, \Р'\ =2; 4, \Р'\ Р< 4;
12) G = <a> X <b>, \a\ = pr, p i r — необ'язково pani npocmi числа, jb| = J3>0,p = 1 (mod q),r= \ (mod q),[<a>,<b>] = <a>, b4 eZ(G);
13) G = (<a> X <b>) x <z>, |o| = p - непарне просте число, |6| = if, P > 0, p = 1 (mod q), [<a>,<6>] = <a>, |z| e {l,r}, r - просте число, Ф(Ф(<Ь>)) < Z(G); при |z¡ = r b" eZ(G); при |z| =p j3< 3;
14) G = <a> X <b>, |a| - p > 5, |¿| = qr, q i r — pbni npocmi числа, p = 1 (mod q), ps 1 (mod r), [<a>,<b>] = <a>, C<b>(<a>) = 1;
15) G - (<a> x <z>)<b>, |a| - p - непарне просте число, <z,b> —група KeamepHioHie порядку 8, b' lab = a '/
16) G = <a> X (<b> X <z>), \a\ - p — непарне просте число, |¿| = (f, N = q, P x > 2, p = 1 (mod q), [<a>,<b>] = <a>, [a,b'] = [a,z] = 1, [b, z)=b" .
Теорема 1.3.3. Локально cmynimacmi мтшалът неметацикл1чт УЩН[ \-групи G мають вигляд G = АХ, de А = <а,Ь> — нормальна в G р-nidzpyna, а 1, X - q-група, pig — npocmi числа i вичерпуютъся групами таких munie:
1) |G| = р\ exp(G)=p:
2)А = <а> х <Ь>,Х= <х>, |я| = |л:| = 9, \Ь\ = 3, [а,х] = Ь, [Ь,х] = аъ =хь;
3) G - А x X, А — група кватернюнов порядку 8, \Х\ = 2;
4) А - група кватернюнов порядку 8, X = <*>, |jc| = 4, <х2> = Ф(А), X = Z(G);
5 )А = <а> x <b>, X = <х>, |й| = |Ь| = |х| = 4, [а,х] = а1, = aV;
6) G = А X X - група UlMidma типу 3 теореми 1.3.1, \А\ = р2,
1*1 * Ы):
I) G = А X X — група Ш.шдта типу 1 теореми 1.3.1, А - група ква-mepHioiiie порядку 8, в {3,9};
5) G = А \ X, А = <а> x <b>, |а| - \b\ = р - непарне число, X = <х>, |л| e {q,q2}, p = 1 (mod q), [<а>,<д:>] = <а>, [<й>,<лг>] = <b>, <Ь"> = Z(G);
9) G = А X X, А = <а> x <b>, \а\ = \Ь\ =р- непарне просте число, X = <х>, |х| = qp,/î>2,p=l (modq), [<а>,<х>] = <а>, [<Z> >,<*>] = <Ь>, <ЬЧ > = Z(G), А- квазщентральна тдгрупа з G;
10) G = А X X, i =р - непарне просте число, X = <jc> X <z>, |д:| = q1, |z| = q - непарне просте число, p = 1 (mod q), [А,<х>] = A, fx,z] = xf, С/Л) = <Г<> x <z>;
II) G — квазщикл1чна р-група.
Теорема 1.3.4. Нехай G - локально стутнчаста УЩН[ ]- група з мшшалъною неметацикл1чною тдгрупою С. Todi в G нормальт eci тдгрупи, що строго мктять С.
Bci локально cmynimacmi групи G з ненормальною тдгрупою С вичер-пуютъся групами таких munie:
1) G = Р X g, Р = <а> x <b>, |а| = |6| = р2, \Q\ =q,piq- phui npocmi числа, Ф(Р) X Q - неншъпотента група Mùmepa-Mopeiio, р #3;
2) G = (R х Р) X Q, I = r, |Р| = р2, \Q\ = q, r, p i q - попарно puni npocmi числа, p * 3, q * 2, r = 1 (modq), R \ Q i P\Q-неншьпотентт групи Мтлера-Морено.
H a с л i д о к 1.3.11. Нехай G -локально ступтчаста УЩН[ ]-група iC-ïi ненормальна мшшалъна неметацикл1чна тдгрупа. Todi С — неныьпотентна група Мшера-Морено порядку p2q з нормальною силовсь-кою р-тдгрупою, piq— pisni npocmi числа.
H а с л ¡д о к 1.3.12. Нехай G-локально ступтчаста УЩН[ ]-група iC-ïï ншъпотентна мшшалъна неметацикл1чна тдгрупа. Todi С < G i G/C — де-декшдова група.
ГПдроздш 1.4 "Будова ЩН[ ]-груп та ïx шдклаив" присвячений опису локально стушнчастих ЩН[ ]-груп та ïx шдкласлв. ЩН[ ]-групою називаеться така група G, у яко'г для будь-яко'1 пари пщтруп A i В таких, що А < В, icHye нормальна в G пщгрупа N i A <N <В. Зауважимо, що ЩЩ_ ]-групи рашше не розглядалиеь. Теорема 1.4.1 дае опис eeix локально стушнчастих ЩН[ ]-груп з видшенням восьми тишв груп такого роду. Теорема 1.4.2 показуе, що Bci видшеш в означенш 1.2.3 пщкласи ЩН[ ]-груп вичерпуються дедеюндовими групами.
Теорема 1.4.1. Локально cmynimacmi nededeiditdoei ЩН[ ]-групи G е чертковськими групами, у яких \G'\ е {р.р2}, [G:Z(G)] е {p2q,pq}, piq- не-обов 'язково pi3Hi npocmi числа та вичерпуються групами таких munie:
1) G = <а> X <b>, \а\ = ра, |Ь| = рР, а> 1, J3> О, [а,Ъ\ = о"" ;
2) G = <а><Ь>, |а| = 8, \Ь\ е{4,8}, |<а> о <Ъ>\ = 2, Ь" lab = а ';
3) G = С х Q, С - неодинична локально цикл1чна 2-група, Q - група ква-mepHioHie порядку 8;
4) G = (С х <а>) X <Ь>, С - локально цикпчна р-група або група ква-тернютв порядку 8, [а,Ь] = с е С, |с| = р, |а| = \b\ =р, [С,<6>] = 1;
5) G = (<а> х <Ь>)<х>, |а| = |х| = 9, |6| = 3, [а,х] = Ъ, [Ь, *] = а3= *6;
6) G = (<а> х <Ъ>)<х>, \а\ = \b\ = |jc| = 4, [a,x] = a\ [b, x] = x2 = a2b2;
7) G = (<a>x<b>)(<x>x<y>), |а|=|6|=4, а2 = x? = [а,у], а2Ь2 = [а,л] = [Ъ,у\ Ь2 = / = [Ь,х];
8 )G = P\Q, Р- силовська р-тдгрупа з G, Q- силовсъка q-тдгрупа з G, piq- pi3Hi npocmi числа, |Р| s {p,p2}, \Q\ = P > 0; при |P| =p p = 1 (mod q); при IPI - p2 p * 3, q > 2, P = 1, 2 — показникp за модулем q.
H a с л i д о к 1.4.2. Нехай G - локально стутнчаста недедектдова група. Todi cnpaeednuei таш твердження:
1) будь-яка ЩН[ ]-група с групою з нормальными нецикп1чними тдгрупами;
2) iснують неперюдичш метациклгчт групи G та сктченна група G з нормальною силовською 2-тдгрупою, що Ьоморфна грут кватершошв порядку 8, у яких нормальт eci нецикл1чт тдгрупи iG-не ЩН[ ]-група;
3) для doeùibHoïр-групи G îtacmymi умови екв1валентт:
a) G - ЩН[ ]-група; б) G - група з нормальними нециклгчними тдгрупами.
Теорема 1.4.2. Класи Н-, ЩН[ )-, ЩН{ ]-груп ствпадають з класом дедектдових груп.
У ганщ розд1лу наведено висновки.
Роздш II "Будова локально ступшчастих УЩН[ ]-груп" повшстго присвячений опису локально ступшчастих груп з умовами узагальнено'1 щшьност1 нормальное^ для пщгруп (УЩН[ ]-груп). Спочатку описуються метагамшьтонов1 групи такого роду. Даш, з використанням цього опису, вив-чаються неметагамшьтонов1 УЩН[ ]-групи.
Пщроздщ 2.1 "Деяю корисш результати" присвячений опису локально ступшчастих недедекнщових метагамшьтонових УЩН[ ]-груп. Зауважи-мо, що цей опис сутгево використовуеться в подалыному, зокрема, у пщроздшах 2.2 i 2.3. У теорели 2.1.1 описаш недедекшдов1 УЩН[ ]-групи з комутантом простого порядку з видшенням 7 тишв груп такого роду. Теорема 2.1.2 описуе bcî недедеквдов1 метагамшьтонов1 УЩН[ ]-групи. Отримано 18 тишв таких груп. Наслщок 2.1.3 описуе локально стушичастс немета-гамшьтонов1 УЩН[ ]-групи, що розкладаються в прямий добуток cboïx влас-них пщгруп. Доведено, що icHye 3 типу груп такого роду.
Теорема 2.1.1. Hededemndoei УЩН[ ~\-групи G з комутантом порядку р, р - просте число, мають вигляд G = CF, С -локально цикл1чнар-група чи група кватершошв порядку 8, [C,F\ = 1, F = (Q х <а>) X <b>, [a.b] е <с> - G'- F'< Q = <u,v>, |c| = p ma вичерпуються групами таких munie:
1) G = F = (Q X <b>) x <a>, Q = <c>, |6| = /, j3> 0, \a\ e {1, r}, p i q -pi3Hi npoemi числа, p = 1 (mod q), b4 eZ(G); при |a| ^ 1 b4 eZ(G); при
H ~ p P< 3;
2) G = F = Q X <b>, \Q\ = p, = qr, p, q i r - попарно puni npoemi числа, p = 1 (mod q),p= 1 (mod r), C<b> (Q) = 1 ;
3) G = F = Q x <a>, Q = <u> X <v>, |и| = p4, A > 1, |v| = pr, y> 0,
A-\
[u,v] = с ~ îf , \a\ e {1, r}, r — npoeme число;
4) G = С x F, С - локально цикпЫна 2-група, |С| > 2, F = Q х <а>, Q -група кватертонов порядку 8, |а| е {1, г}, г - просте число;
5) F = Q х <а>, Q = (<с> х <и>) X <v>, [m,v] = с е С, |м| <? {р, р2}, |v| е {р, р2}, |а| е {1, г), г — просте число, \С' |-|«|-|v| #32; при |йг|* 1 |м| = |v| =р;
6) G = F, Q = <и> X <v>, |м| = рЛ, А > 1, |v| = \а\ = |Ь| = р,
Д-1
[u,v] = [а,Ь] = с = t*" , [Q,<í)>] = 1;
7) Q = (<с> х <«>) x <v>, |м| = |v| = |с| = |а| = |А| = р, [и,у] = с = [a,fe], [&<Ь>] = 1.
Теорема 2.1.2. Локально cmynimacmi недедетндовг мета-гамшътонов1 УЩН[ ]-групи G вичерпуються групами таких munie:
1) G - недедектдова УЩН[ ]-група з комутантом порядку р, р - просте число (теорема 2.1.1);
2) G - недедектдова метациклгчна метагамшьтонова УЩН[ ]-група з комутантом непростого порядку (наайдок 1.3.6);
3) G = (Р X <х>) х <z>, Р - елементарна абелева група порядку р2, |х| = cf, Р е {1,2}, р iq- pÍ3HÍ npocmi числа, Р X <х> - нентьпотентна група Мтлера-Морено, \z\ е{1,г}, г—просте число; при \z\ = г /3= 1;
4) G = ((<а>х<Ь>)<х>) х <2>, |а| = )х| = 9, \Ь\ = 3, [а,х] = Ъ, [Ь,х] = а3 = х6, \г\ £ {1,г}, Зфг-просте число;
5) G — група порядку р* з абелевим нецентральним комутантом типу (р,р), р — непарне просте число;
6) G = (<а> х <b>) X <х>, |а| = |х| = р2, |6| = р — непарне просте число, [а,*] = Ъ, [Ь,х] = а!р, 0 < s < р;
7) G = (<а> х <Ь>) X <х>, \а\ = |6| = р2, |х| = р. [а,х] = bp, [Ь,х] = а?рЬ'р, О < s < р. О < t < р; при р > 2 t2 + 4л - неквадратичний лишок за модулем р; при р = 2 í = s = 1;
8) G = А X <х>, А = <а> X <Ь>, |а| = |й| - рг, |х| =р — непарне просте число, [а,6] = а", [а,х] = b", [b,x] = 1;
9) G = А X <х>, А = <а> X <Ь>, \а\ = |А| = р2, \х\ = р, [а,Ь] = а", а,х\ = ¿Л [6,х] = aspb'p, 0 < s < р, 0 < t < р; при р> 2 t2 + 4s - неквадратичний лишок за модулем р ; при р - 2 s = 1;
10) G = ((<а> х <¿»)<x>) х <z>, |а| = |Ь| = \х\ = 4, \z\ е {1, г}, г - просте число, [д,х] = а2, [Ь,х] = х1 = а2Ь2;
11) G = ((<а> х <¿>)(<x> х <у>)) х <z>, |а| = |6| = 4, |а| = |х| = [а,у], a2b2 = [а,х] = [b,y], b2 = у2 - [b,x\ \z\ е {1, г), г - просте число;
12) G = <а>М, М = (<с> х <6>) X <х>, |а| = |6| = р2, |с| = |х| = р - непарне просте число, [а,Ь] = х, [Ь,х] = с, <с> х <У> = Z(G), [а,х] = сЪ'', 0 <е<р,
cf = ci+ab'p, 0 < t < p, eci елементи порядку p з G належать G ' eci мета-ywaii4Hi тдгрупи з G абелевг,
13) G = <а>М, |а| = 4, М= (<а2> х <b>) X <*>, \Ь\ = |х| = 4, [а,Ь\ = je2, [Ь.х] = агЪг eZ(G), [а,х] = bW;
14) G = <а>М, |а| = p2, M = (<а?> х <Ь>) X <х>, |Ь| = \х\ = p2, р - непарне просте число, [b,x] = aspblpxlp, 0 < s < р, О < t < р, О <1 < р, [а,Ь] = х?, [а,х~\ = О </< р, О < к < р, неквадратичними лишками за модулем р с числа: t2 + 4/у, I2 + 4f, k2 + 4s; eci елементи порядку р з G належать G ' eci метацикл1ч1п тдгрупи з G абелевг,
15) G - P X <х> - група UlMidma, P - група кватертотв порядку 8, M ^ {3,9};
16) G = P X <x>-група UlMidma, |P| = p\ exp(P) = p, |.x| = q;
17) G = P X <*>, |P| = pa, a e {2,3}, \x\ = cf, /3 s {2,3}, a + /3 < 6, P X <y?> - неншьпотентна група Мтлера-Морено, a - показник p за модулем q;
18) G = P X <x> - група Фробетуса, P - елементарна абелева група порядку ра, а е {2,3}, |х| = qr, p.qir- попарно pi3Hi npocmi числа, а- показник р за модулем q i dopieiaoe показнику р за модулем г.
H a с л i д о к 2.1.3. Локально cmynimacmi неметагалшьтонов1 УЩН[ ]-групи G, гцо розкладаються в прямий добуток ceo'ùc власних тдгруп, с групою одного з таких munie:
1) С = Q\ х Qi > Si i Qi ~ групи кватертоте порядку 8;
2) G = (<a><b>) x <z>, \a\ = 8, |6| e* {4,8}, |z| = 2, |<a> n <6>| = 2, b~ [ab = a' V
3) G = ((<a> x <é>)<x>) x <z>, \a\ = |x| = 9,\b\ = |z| = 3, [a,x] = b, [6,*] =a3 = x6.
Шдроздш 2.2 "Будова шльпотентних УЩН[ ]-груп" присвячений опису ншьпотентних УЩН[ ]-груп. В лемах 2.2.1 - 2.2.8 встановлюються властивосп неметагамшьтонових названих груп. Опис цих груп даеться в TeopeMi 2.2.3. Доведено, що icHye 28 тишв таких недедекшдових груп.
Теорема 2.2.3. Нтьпотентш недедекшдов1 УЩН[ ]-групи G вичер-пуються групами таких munie:
1) G = (<и> X<v>) x <z>, M =рл, Л > 1, |v| = pr, y > 0, \z\ e {l,r},
A—1
pir-npocmi числа, [i/,v] = if
2) G = С x Q x <z>, С - локально цикл'шна 2-група, \С j >2, Q - група кватернтт порядку 8, |z| e {l,r}, г-просте число;
3) G = ((С х<и>) x <v>) x <z>, С -локально цикл1чнар-група або група KeamepuioHie порядку 8, [и,v] = с е С, |с| = р, |м| e {р.р2}, M е {р,р2},
[C,<v>] = 1, |z| e {l,r} , p i r - npocmi числа, \C ||u||v| Ф 32; при |z| =r |m| = |v| = p;
4) G = ((<«> X <v>) x <a>) X <b>, |и| = pá, Л > 1, |v| = |a| = |i>| = p, [w,v] = [a.b] = , \u,b) = [v,6] = 1;
5) G = CF, С-локально цикл1чнар-група чи група кватершотв порядку 8, [C,F\=1, С n F=<c>, F= (((<с> x<u>)\<v>)x<a>)X<b>, |и|= |v|= |с| = |а|=|6| = р, [и, у] = с = [а,Ъ\ [u.ti\ = [v.¿>] = 1;
6) G = <а> X <b>, \а\ = 8, |¿| = 2fi, p> O, bAab = a1;
7) G = <a> X <b>, ja¡ = 8, |¿| = 2?, J3> O, b'lab = a3;
8) G = <a> X <b>, |a| = p", |Ь| = a > 2, p > 1, pa > 6, b'xab = al+p(X~2;
9) G = <a><b> = <b><d>, |a| = pa, |¿| = /, |</|_= pa~x , p> a> 2, p<z> 6, |<a> n <b>| = <6> n <</> = 1, bAab = a14*
10) G = (<a><¿») X <z>, \a\ = 8, |¿| = p> 1, \<a> n <b>| = 2, b~ lab = a\ |z| éf {l,r}, [b,z] = 1, [a.z] e <a4>; при \z\ = r fi e {2 ,3); при f}= 2 [a.z] = 1;
11) G = (<a> x <b>){<x> x <z>), ja| = M = 9, |b| = 3, [a,x] = b, [b.x] - a3 = ;c6, |z| e {l,r}, г- просте число, [a.z] <?<a3>;
12) G - група порядку p* з абелевим нецентральним комутантом типу (р.р), р - непарне просте число;
13) G = (<а> х <¿>)X <х>, |а| = = р2, |6¡ =р- непарне просте число, [а,х] = Ь, [Ь,х\ = а*р. О <s< р;
14) G = (<а> х <Ь>) X <*>, |а| = |6| = р\ М = р, [а,х] = V, [Ь,х] = aspb'p, 0 < s < р, О < / < р; при р>2 t2 + 4s - неквадратичний лишок за модулем р; при р - 2 t = s = 1;
15) G = А X <х>, А = <а> X |а| = р\ \Ь\ = рР, р> 1, |х| = р - непарне просте число, [a,b] = cf, [а,х~\ = № , [b,x] = 1;
16) G = А X <*>, А = <а> X <Ь>, |а| = |Ь| = р2, Jjc| = р, {а,Ъ\ = cf, [а,х] = tf, = aspb'p, О < í < р, 0 < t < р; при р > 2 ? + 4s- неквадратичний лишок за модулем р; при р - 2 5=1;
17) G = ((<а> х <¿>)<c>) х <z>, \а\ = |6| = \х\ = 4, |z| ^ {l,r}, г - просте число, [а,х\ = a2, [b,x\ -х2= а2Ь2;
18) G = ((<а> х <b>)(<x> х<у>)) х <z>, ja| = |¿| = 4, а2 = х2 = [а,у], а2Ъ2 г), г- просте число; = [а,х] = [¿y], b2 =у2 = [b,x], \z\ е {1,
19) G = <а>М, М = (<с> х <Ь>) X <х>, |а| = |Ь\ = р2, |с| = |*| = р - непарне просте число, [а,Ь] = х, [Ъ,х] = с, <с> х <bp> = Z(G), [а,х] = cV, О <£< р, cf - c[*ab'p, 0<t <р, eci елементи порядку р з G належать G', eci метациклгчт тдгрупи з G абелевi;
20) G = <a>M, \a\ =4,M = (<a2> x <b>) X <*>, \b\ = \x\ = 4, [a,6] = л2, [b,x] = a262 eZ(G), [a,x] = ¿V;
21) G = <a>M, |a| = p2, M = (<a"> x <Ь>) X <*>, |6| = |*| = p, p - непарне просте число, [b,x\ = cfpb'pdp, 0< s <p, 0< t <p, 0<l <p, [a.b] = yf, [д,л] = t/px*p, 0 <f<p, 0 < k< p, неквадратичшши лишками за модулем р е числа: t2 + 4fs, I2 +■ 4/, А2 + 4s; eci елемента порядкурз G належать G' eci метацикл1чт тдгрупи з G абелевг,
22) G = <а><Ь>, \а\ = 16, \Ь\ = 2Р, /3 е {2,3,4}, |<a> п <6>| = 2, b,ab = a\-
23) G = <a><b>, |a| = 16, \b\ = 2Р е {3,4}, \<а> п <¿>1 = 2, Ъ~ xab = а1;
24) G = <а><Ь>, \а\ = |£| = 16, \<а> п <¿»1 = 2, bAab = а3;
25) G = (<a,b>) X <л>, |а| = |Ь| = = 4, <а,Ь> - гдуиа кватертотв, [а,л] = а2, [¿>д] = а;
26) G = U \ X, U — цикл1чпа 2-група або група кватертотв порядку 8, Х-група кватертотв порядку 8, [U,X\ < w(U); при U'*= 1 [U,X\ — w(U);
27) G = (<a> x <b>)<x>, |a| = 8, |x| = 4, |a| = 2,[a,b] = jc2 = я4,[а,л:] = a. [M = 1.
28) G = (<a><b>)<x>, |a| = |b| = 8, |*| = 4,(<a><6>) n <;c> = = <a> n <b> = <a4>, ¿"'аб = a\ [a,x] = b2, [b,x] = a2b\
У тдроздш 2.3 "Будова локально сгупшчастих нешльпотентних УЩН[ ]-rpyn" описаш нешлыютентш локально ступшчасп УЩН[ ]-групи (теорема 2.3.1). Отримано 17 тишв груп такого роду.
Теорема 2.3.1. Нентъпотентт локально cmynumacmi УЩН[ ]-групи G е сктченними дисперсивними групами та вичерпуються групами таких munie:
I. MemaaaMuibmoHoei групи:
i) метациклгчт:
1) G = (<а> X <Ь>) х <z>, \а\ = р - непарне просте число, = cf,
Р> 0, \z\ е {l,r}, q i г - npocmi числа, р = 1 (mod q), [<а>, <6>] = <а>, q2
b eZ(G); npuz*\ Z(G) = <b"> x <z>; при \z\ = p P< 3;
2) G = <a> X <b>, |а| = p - непарне просте число, = qr, q i r-pi3Hi npocmi числа, p = 1 (mod q), p = 1 (mod г), [<a>,<6>] = <a>, Z(G) = 1;
ii) мтталът неметацикл1чш ненадрозв 'язт групи IIlMidma:
3) G = Р X <х> — група Шлпдта, Р - група кватертотв порядку 8, 1*1 * {3,9};
4) G = Р X <v> - нентьпотентна група Мишера-Морено, Р - група типу (р,р), е {q,q2}, Z(G) = <xf>, 2 - показник р за модулем q, р i q — pbni npocmi числа;
iii) групи, що Аастять власш неметациклгчш тдгрупи:
5) G = Р X <х>, Р - елементарна абелева група порядку р", а е {2,3}, |х| = qr, p,q,r— попарно pbni npocmi числа, а— показник р за модулем q, а -показник р за модулем г, Р\ <х?> i Р X <х?> - групи МЫлера-Морено;
6) G = Р X <х>, Р - елементарна абелева група порядку р", а е {2,3}, |х| - cfi ре {2,3}, а- показник р за модулем q, р i q - pbm npocmi числа, Р X <х?> -група Митера-Морено, а + р <6;
7) G = Р X <х> - група Ubtidma, \Р\ = ръ, ехр(Р) = р, |х| = q, р iq-pi3Hi npocmi числа;
8) G = ((<я> х <b>) X <х>) х <z>, |а| = |Ь| = p, |x| = q, \z\ = r, p, q, r-npocmi числа, p Ф q, (<a> x <b>) X <x> - група Митера-Морено, 2 - показник p за модулем q, р*Ъ, q> 2;
II. Неметагам1пьтонов1 групи:
i) Memaijuioii4Hi:
9) G = <a> X <b>, |a| = pr, p i r - необов'язково pi3Hi npocmi числа, \b\=cf, P> 0 ,q — просте число, p = I (mod q),r = I (mod q), [<a>,<6>] = <a>, Z(G) = <b">;
10) G = (<a> x <z>)<x>, /а/ =p — непарне просте число, <z,x> - група кватертотв порядку 8, x"'ax = a'1;
11) G = <a> X (<x> X <z>), |a| - p - непарне просте число, |x| = cf, P > 2, |z| = q - просте число, p = 1 (mod q),[<a>,<x>\ - <a>,
[x,z] =хчР"', [a.xf] = [a ,z] = 1;
ii) надрозв 'язт мшшальш неметацикл1чт групи:
12) G = (<a> х <b>) X <х>, |a| = \b\ = р — непарне просте число, |х| е {q,qV, р = 1 (mod q), [<a>,<6>] = <а>, [<6>,<х>] = <b>, 2(G) = <b"> ;
13) G - (<a> x <b>) X <x>, |a| = \b\ = p - непарне просте число, |x| = cf, p > 2, p = 1 (mod q), [<a>,<x>] = <a>, [<6>,<x>] = <b>, Z(G) = <b4 >, <a> x <b> - квазщентралъна тдгрупаз G;
14) G = <a> X (<x> X <z>), |a| = p - непарне просте число, |x| = q2, \z\ = q - непарне просте число, p = I (mod q), [<a>, <x>] = <a>, [x,z] — xf1, [a,y?] = [a,z] = 1.
iii) групи, що мктять еласт неметацикл1чш тдгрупи:
15) G = (<а> х <b>) X <х>, |а| = |Ь| = р2, р - просте число, р * 3, |х| = q - просте число, 2 — показник р за модулем q, (<ар> х <bp>) X <х> -ненгльпотентна група Митера-Морено;
16) G = {R к. Р)\ <х>, |Л| = г, |Р| = р2, |х| = q, р, q i г - попарно phui npocmi числа, р = 1 (mod q), 2 - показник р за модулем q, q > 2, R X <х> i Р X <х> — нентъпотентш групи Митера-Морено;
17) G = (<a> x <b>) X <x> - ненадрозв'язна група Фробетуса, \a\ = \b\ = p - непарне просте число, = qr, q i r - необов'язково pieni npocmi числа, p = 1 (mod q), p = 1 (mod r), (<a> x <b>) X <x4> ma (<a> x <b>) X <xr> -мтшальт неметацикл1чт групи.
Bei ochobhî результати цього роздшу hobî i e значним узагальненням класу дедекшдових груп i imaciß груп ¡з po6iî А. Манна, М.Ф. Кузенного i B.B. Пилаева. У кшщ роздшу наведено висновки.
У роздЫ III "Будова УЩН( )-груп та локально ступшчастих УЩН( ]- i УЩН[ )-груп" вивчаються групи з певними умовами щшьносп нормаль-HocTi для niдгруп, яи складають значш i самоепйш шдкласи груп класу УЩН[ ]-груп. Серед них класи: УЩН( )-, УЩН( ]-, УЩН[ )-груп.
Пiдpoздiл 3.1 "Будова УЩН( )-груп" присвячений опису УЩН( )-груп (означения 1.2.3). Доведено, що icnye 10 тишв шльпотентних недедекшдових (теорема 3.1.1) та 4 типи нешльпотентних (теорема 3.1.2) УЩН( )-груп.
Теорема 3.1.1. Ншьпотентт iiededexindoei УЩН( )-групи G вичер-пуютъея групами таких munie:
1) G = (<и> X<v>) x <z>, |м| = pà, A > 1, |v| = p\ y> 0, |z| £ {l,r}, p ir- npocmi числа, [u,v\ = uf
2) G = С x Q x <z>, С - локально циЫчна 2-група, \С \> 2, Q - група кватертотв порядку 8, |г| £ {l,r}, г-просте число;
3) G = ((С x <и>) X <v>) x <z>, С-локально ifumiinnaр-група чи група кватертотв порядку 8, [и, v] = с е С, |с| = р, |г/| e {р,р2}, | v | £ {р,р2}, [C,<v>] = 1, |г| e {1 ,r}, p i r-npocmi числа, \С' \ • | и | • |v| ^ 32; при \z\ = г
I м I ' I v I = Р2>'
4) G = (<axb>) x <z>, |a| = 8, \b\ e {4,8}, |<a> n <b>\ = 2, b~ lab = a'1, |z| £ {1 ,r}, r - просте число;
5) G = ((<a> x <b>)<x>) x <z>, |a| = \x\ = 9, \b\ = 3, [a,x\ = b, [b,x] = a3 = x6, |z| £ {1,r}, r - просте число;
6) G = A X <x>, A = <a> X = P2, \b\ = pß, ß > 1, = p - просте число, p ß > 4, [a,b\ = <f, [a,x] = f , {b,x\ = 1;
7) G = ((<a> x <b>)<x>) x <г>, |a| = |b| = = 4, |z| £ {1, r}, r - просте число, [a,x] = a2, [b,x] = x2 = a2b2;
8) G = ((<a> x <b>)(<x> x <y>)) x <z>, |o| = = 4, a2 = x2 = [a,y], azb2 = [a,x] = [b,y], b2 = y2 = [b,x], |z| £ {1 ,r},r- просте число;
9) G = U X X, U - цикл1чна 2-група чи група кватернюнов порядка 8, |£/| > 2, Х- група кватертонов порядку 8, [U.X] = Ф(Ц), \C^U)\ - 4;
10) G = (<а> X <b>)<х>, \а\ = 8, \х\ = 4, \Ь\ = 2, [a,b] = х2 = а4, [а,;с] = b, [b,x] = 1.
Теорема 3.1.2. Неншьпотентш УЩН( )-групи G е стнченними надрезе 'язними групами та вичерпуютъся групами munie:
1) G - (<а> X <b>) х <z>, |а| = p - непарне просте число, = cf, (3> 0, \z\ e {1,/*}, q i r - npocmi числа, p = 1 (mod q), [<a>,<£>] = <a>, Z{G) = <b"> x <z>; при \z\=p fl< 3;
2) G = (<a> x <z>)<x>, |a| = p - непарне просте число, <z,x> - група кватернюшв порядку 8, x'xax = a"1;
3) G = <a> X (<x> X <z>), \a\ — p — непарне просте число, |x| = q^, A > 2, |z| = q - просте число, p = 1 (mod q), [<a>,<x>] = <a>, [x,z] = Xя
[а,Xя] = [a,z] = 1;
4) G = <a> X (<x> X <z>), \a\ = p — непарне просте число, |x| = q2, \z\ = q - непарне просте число, p = 1 (mod q), [<û>,<x>] = <a>, [x,z] = x4, [a.x'] = [a.z] = 1.
У пщрозд1л1 3.2 "Будова локально стушнчастих УЩН( ]-груп" опи-саш локально ступ1нчаст1 УЩН( ]-групи (означення 1.2.3). Одержано 13 тигив ншьпотентних недедек1ндових (теорема 3.2.1) та 9 тишв неншьпотентних (теорема 3.2.2) груп такого роду.
Теорема 3.2.1. Ншьпотентт недедектдов1 УЩН( ]-групи G вичерпуютъся групами таких munie:
1) G - ныьпотентна недедектдова УЩН( )-група, тобто група G одного з munie 1-10 теореми 3.1.1;
2) G = <а> X <Ь>, \а\ = 8, |Ь| = 2fi, /3< 4, ЬЛаЬ = а1;
3) G = <а> X <Ь>, \а\ = 8, \Ь\ = 2Р, /?< 4, b lab = а3;
4) G = (<а> x <b>) X <х>, |а| = p2, |х| = \b\ = р - непарне просте число, [а,х] = Ь, [b.x] =asp,d<s< р;
5) G = (<а> x <b>) X <х>, |а| = |х| =р2, \Ь\ =р- непарне просте число, [а,х] = Ь, [Ь,х\ = asp, 0< s <р; '
6) G = (<а> x <b>) X <х>, |а| = \b\ = p2, |х| = р - просте число, [а,х\ = ЬР, [è,x] = aspb'p, 0 < s < p, 0 < t < р; при р> 212 + 4s - неквадратичний лишок за модулем р; при p = 2 t = s = 1;
7) G = (<a> X <b>) X <x>, \a\ ~ |è| = p2, |x| = p - просте число, [a,b] = cf, [a,x] = b", [b,x] = aspb'p, 0 < s < p,0 < t <p; при p> 2 t2 + 4s-неквадратичний лишок за модулем р; при p = 2 s = 1;
8) G = <a>M, M = (<c> x <b>) X <x>, |a| = \b\ = p2, |c| = |x| =p- непарне просте число, [a,b\ = x, [6,x] = с, <c> x <bp> = Z{G), [a,x\ = cV, 0 < s < p, ap = ci+ab'p, 0 < t < p, eci елементи порядку p з G належать G ' eci метацикл1чш nidzpynu з G aôeneei;
9 )G = <a>M, |a| = 4, M = (<a2> x <b>) X <x>, \b\ = |x| = 4, [a, b] = x2, [b.x] = a2b2 e Z(G), [a,x] = b4;
10) G = <a>M, \a\ = p2, M = (<cf> x <¿») X <x>, |6| = |x| =p,p- непарне простe число, [b,x] = a*pb'px!p, 0 < s < p, 0 < t < p, 0 < l < p, [a,b] = yf, [a, x] = f/px?p, 0<f<p, 0<k<p, неквадратичними лишками за модулем p с числа: t2 + 4fs, I2 + 4f, к2 + 4л; eci елементи порядку р з G належать G eci метацикл1чт тдгрупи з G а белев!;
11) G =<a><b>, \а\= 16, \b\ = 2Р, P e {2,3}, \<а> n<b>|= 2, ЪлаЪ = а1;
12) G = <a><b>, И = 16, |Ь| = 8, |<а> п <Ь>\ = 2, ЪлаЪ = а1;
13) G = (<a,b>) X <х>, |<з| = |А| = |х| = 4, <а,Ъ> - група кватертошв, [iа,х] = а2, [Ь,х\ = а.
Теорема 3.2.2. Нентъпотентш локально cmyniH4acmi УЩН( ]-групи G вичерпуються групами munie:
1 ) G - неншьпотентпа УЩН{ )-група, тобто група G одного з munie 1 - 4 теореми 3.1.2;
2) G = P X <х> - група Шм1дта, Р - група кватертошв порядку 8, M ^ {3,9};
3 )G = P X <х> - нентьпотентна група Мтлера-Морено, \Р\ = р2, \х\ e {q,q2}, Z[G) = <xf>, 2 - показникр за модулем q, p * 3, q > 2;
4) G = P X <x> - група lUMidma, \P\ = p\ exp(P) = \P'\ =p - npocme число, p > 3, |jc| = q - непарне npocme число, 2 - показник p за модулем q;
5) G = (P X <x>) x <z>, P X <x> - нентьпотентна група Мтлера-Морено, P\ = p2, |x| = q, p ^3, q > 2, \z\ = r-npocme число, r ^p, 2 - показник p за модулем q;
6) G = <a> X <x>, |a| = pr, p i r — необов 'язково pÍ3H¡ непарт npocmi числа, \х\ = cf, p > 0, p = I (mod q), r = 1 (mod q), [<a>, <x>] = <a>, Z(G) = <xg>;
7) G = (<a> x <b>) X <x>, \a\ = \b\ = p — непарне npocme число, \x\ e {q,q2}, p = 1 (mod q), [<a>,<x>] = <a>, [<b>,<x>] = <b>, Z(G) = <b">;
8) G = (<a> x <b>) X <x>, |a| = [Ь| = p — непарне npocme число, |дг| = qp, P > 2, p = 1 (mod q), [<a>,<ô>] = <a>, [<b>, <*>] = <b>, Z(G) = <bq>, <a> x <b> — квазщентрстьна тдгрупа з G;
9) G = (R x P) x <x>, \R\ = r, |P| = p2, |jc| = q, p, q i r - попарно pi3Hi npocmi числа, r = 1 (mod q), 2 — показник p за модулем q, p * 3, q > 2, R X <x> i P X <x>- нентъпотентш групи Мтлера-Морено .
Щцроздш 3.3 "Будова локально ступшчастих УЩН[ )-груп" присвя-чений опису УЩН[ )-груп (означения 1.2.3). Доведено, що iciiye 6 thiiíb ншьпотентних недедеиндових (теорема 3.3.1) та 6 raniB неншьпотентних (теорема 3.3.2) УЩН[ )-груп.
Теорема 3.3.1. Нтъпотентт недедекшдовг УЩН[ )-групи G вичер-пуються групами munie:
1) G - нтьпотентна недедектдова УЩН( )-група, тобто G — група одного з munie 1-10 теореми 3.1.1;
2) G = ((<и> X <v>) х <а>) X <Ь>, |и| = р\ А > 1, |v| = |а| = = р, [u,v] = [a,b] = t/A"' , [u,b] = [v,b] = 1;
3) G = CF, С-локально ifuwiimia р-група або група кватершошв порядку 8, [C,F\ = 1, С n F = <с>, F = (((<с> х <и>) X <v>) х <а>) X <Ь>, M = M = |с| = N = |й| = p, [w,v] = с = [а,Ы [u,b] = [v,b] = 1;
4) G = (<a><b>) X <z>, |a| = |i| = 8, \<a> n <è>| = |z| = 2, ЬЛаЪ = a1, [b,z] = 1, [a,z] = <a4>;
5) G = (<a> x <è>)(<;c> x <z>), |a| = |x| = 9, |6| = |z| = 3, [a.x] = b, [a.z] = [b,x] = a3 = л:6, [b.z] = 1;
6 ) G = UxX, Ui X— групи кватершошв порядку 8.
Теорема 3.3.2. НенЫьпотентш локально ступтчаспп УЩН[ )-групи G вичерпуютъся групами munie:
1) G — нентъпотентна УЩН( )-група, тобто група G одного з munie 1 - 4 теореми 3.1.2;
2) G = <а> X <х>, |a| —р — непарне просте число, |х| = qr, qir— pbni npocmi числа, p = \(mod q), p = \(modr), [<a>, <x>] = <a>, Z(G) = 1;
3) G = P X <x> - нентьпотентна група Мтлера-Морено, P - група типу (Р.Р). M ^ fWA Z(G) = <х?>, p#3,q>2;
4) G = P X <x>, P - група типу (p,p), \x\ = qr, P X <xg> i P X <xi> -нентьпотентш групи Мтлера-Морено;
5) G = P X <x>, P - група типу (p,p), |x| <r {q2,q3}, P X <x4> -нентьпотентна група Мтлера-Морено;
6) G = (P X <x>) x <z>, P - група типу (p,p), P X <x> -нентьпотентна група Мтлера-Морено, |x| = q, /z/ = r, p
У пщроздш 3.4 "Деяк1 наслщки" встановлено структурш властивоеп введених клаав груп. Зокрема, в теорегш 3.4.1 описаний клас груп, який на-лежить перетину KnaciB локально стушнчастих УЩН[ )- та УЩН( ]-груп. Теорема 3.4.2 описуе локально ступшчасп УЩН[ ]-групи, що не належать об'сднанню KnaciB локально стушнчастих УЩН[ )- та УЩН( ]-груп.
Теорема 3.4.1. Bci не УЩН{ )-групи, як/ належать перетину miacie локально стушнчастих УЩН[ )- та УЩН( J-груп, вичерпуютъся групами munie:
1) G = P X <х> - нентьпотентна група МЫлера-Морено, Р — група типу (р,р), \х\ e{q, q1};
2) G - (P X <x>) x <z>, P X <jc> - неншьпотентна група Мтлера-Морено, P - група типу (р,р), |х| = q, Ы = г, г Ф р.
Теорема 3.4.2. Клас УЩН[ ]-груп лйстить об'еднання клаЫв УЩН[ )- та УЩН( ]-груп, але ним не вичерпуеться.
Локально cmynimacmi УЩН[ ]-групи, що не належать об'еднанню unacie локально стутнчастих УЩН[ )- i УЩН( ]-груп, вичерпуються грушами munie:
I. Ншьпотентт групи:
1) G = <а> X <b>, |а| = ра, \Ь\ = р0, а> 2, 1, ра> 6, [a,b] = cf*'1 ;
2) G = <axb> = <bxd>, |a| = pa, = |d|_= pa~l , ¡3 > a > 2, pa > 6, |<a> n <Z»| = p, <b> n <d> = 1, [a, £] = ap , <a> < G;
3) G = <axb> = <bxd>, |a| = 8, \b\ = 2P, P > 3, \d\ = 4, | <a> n <b> | = 2, <b> n <d> = 1, b'lab = a'1;
4) G = (<c> X <b> x <a>) X <x>, \c\ = |£| = |o| = |x| =p,p> 3, [a,b] = b, [b,x] = c, [c,x] = 1;
5) G = (<a> X <b>) X <x>, |a| = p2, \b\ = [x| - p, p - непарне npocme число, [a,b] = asp, 0 < s < p, [a,b] = b, [b,x] = 1;
6) G = <axb>, |a| = 16 = \b\, |<a> n <b>\ = 2, ЬлаЬ = a'1;
7) G = <axb>, \a\ = 16 = \b\, \<a> n <b>| = 2, b'lab = a7;
8) G = <axb>, |fl| = 16 = \b\, |<a> n <b>\ = 2, bAab - a3;
9) G = (<axb>)<x>, |а|=|й|=8, |x|=4, (<axb>) n <x> = <a>n<b> = = <a4>, bAab = a \ [a,x] = b2, [b,x] = a2b2.
II. Неншьпотентт групи:
10) G = P X <x>, P - група типу (p,p,p), |x| = qr, p, q, r - попарно pi3iti npocmi числа, P X <xq> i P X <xr> - групп Мишера-Морено;
11) G = P X <x>, P - група типу (p,p,p), |x| = q2, p i q - pi3td npocmi числа, P X <хч> - група Мишера-Морено;
12) G = P X <x> - неншъпотентна група Miwepa-Mopeuo, P - група типу (p,p,p), |x| = q;
13) G = (P X <x>) x <z>, P X <x> - неншьпотентна група Мишера-Морено, P - група типу (р,р), |х| = q, |z| = r;
14) G = (<а> x <b>) X <х>, |а| = = p2, |х| = q, (<ар> \ <№>) X <х> - неншьпотентна група Мишера-Морено;
15) G = (<а> x <b>) X <х> - ненадрозв'язна група Фробетуса, Р -група типу (р,р), |х| = qr, p s 1 (mod q), p = I (mod r), P X <хч> ma P X <xr> - мтшальт неметациклгчш групи.
Результата опису скшченних неншыготентних УЩН( )-груп сшвпадають з результатами ¡з po6iT А. Манна, М.Ф. Кузенного i В.В. Пи-лаева. Результата опису ecix ншьпотентних та неншьпотентних локально ступшчастих УЩН( ]- i УЩН[ )-груп е новими. У кшщ роздшу наводиться наслщки.
Значш розширення класу дедеюндових груп виникають при переход! в1д умови нормальное™ до деяких и узагальнень. Одним 13 таких узагальнень е поняття майже нормальное^ пщгрупи групи. Роздш IV "Групп з умовами щ1льносп майже нормальности для пщгруп" присвячений опису локально майже розв'язних груп з умовами щшьност! майже нормальное™ для р1зних систем пщгруп.
У шдроздЫ 4.1 "Попередш результата" приведен! результата, ям мають самостшне значения 1 використовуються в подальшому. Зокрема, тео-реми 4.1.1 1 4.1.2 описують локально майже розв'язш групи з нескшченними майже нормальними шд групами, а теорема 4.1.3 - неперюдичш групи з не-перюдичними майже нормальними падгрупами.
Означен н я 4.1.2. Шдгрупа Н групи Б називаеться майже нормальною тдгрупою групи й (МН-тдгрупою), якщо тдекс [С:Ис(Н)\ сктченний.
Означен ня 4.1.4. Група С називаеться МН[г\-групою, якщо довигьний в1др1зок [А;В] групи б, де тдгрупи А г В мають еластивхсть т, мктить МН-тдгрупу. Клас таких груп будемо позначати через К(МН[ г]).
Якщо г - властивкть бути будь-яко1' тдгрупою групи О, то й називаеться МН[ ]-групою.
Якщо т= В1, тобто \В\ = со, то С називаеться МН\В1\-групою.
Якщо г = I, тобто \А\=<я,тоС називаеться МН[Ц-групою.
Якщо г = Т, тобто А - неперюдична тдгрупа, то в називаеться МН[ Т ]-групою.
Якщо г = ВТ, тобто В - неперюдична тдгрупа, то й називаеться МН[В Т \-групою.
Теорема 4.1.1. Неперюдичш нескшченш над центром МН[Г\-групи вичерпуються групами наступних титв:
1) й = А X <Ь>, |6| - р - просте число, А - вигьна абелева група рангу р-1, СА(<Ь>) = 1 ,Ь тдукуе на А рац'юнально незв1дний автоморфЬм;
2) й - А<Ь>, \Ь\ = рР, Р> 0, р — просте число, А = А,А2... А/. . . Ар.,, де А, = С X <а,> < в, \А\ = С < в, \С\ < оо, А п <Ь> = С п <Ь> = <&>, А/С = Ах/С х ... х А/С х ... х А^¡/С - втьна абелева група рангу р-1, ас - група типу 1.
Теорема 4.1.2. Перюдичш локально майже розе 'язш нескшченш над центром МН[Г\-групи вичерпуються групами наступних титв:
1) й - майже квазщикл1чна група з нецентральною квазщикл1чною тдгрупою;
2) й = К X </> - чершковська група з не локально цикл1чною поеною частиною К, що е силовською р-тдгрупою з С, р - просте число,
Cg(K) = К, кожний неодиничний елемент Ь </> тдукуе на К р-адичпо He3eidHuîi автоморфизм, ранг К не перевищуе q-1 для будь-якого q е л(</>);
3) G = R<b> - чертковська група з поеною частиною К, \b\ = рР, ]3> О, р-непарне просте число, К - р-група рангу p-l,R гл<Ь> = К r\<b> = <bp>, Ъ
тдукуе на К р-адично незв1дтш автоморфизм, R = К X <f> < G, при f Ф 1 R - група типу 2;
4) G = KF - чертковска група з поеною частиною К, F мктить таку нормалъну в G тдгрупу С, що G/C - група типу 2;
5) G = R<b> - чертковська група з поеною частиною К, R < G, \b\ = рР, р> 0, р - непарне просте число, R п <Ь> = К n <b> = <ff>, R = KF, |F| <oo, F Micmumb сктченну нормалъну тдгрупу С з G, що G/C - група типу 3.
Теорема 4.1.3. Неперюдичт несктченш над центром МН[ Т ]-групи еичерпуютъся групами наступних munie:
1 ) G - А X <b>, \Ь\=р- просте число, А - втьна абелева група рангу р-1, CA(<b>) = 1 ,Ъ тдукуе на А рацюнально иезв1дний автоморфгзм;
2) G = ((((К X <ai>) X <а2>) ^ -)х <Ор.!>)<Ь>, К - нормальна в G перюдична тдгрупа, яка е спнченним розширенням центральноХ тдгрупи групи G, а, - елемент нескшченного порядку, i е {1,... , р-1}, У еК i G/K — група типу 1.
Пщроздц] 4.2 "Будова локально мамже розв'язних груп з умовами iHuibiiocTÎ майже нормальносп для pi3iinx систем nwrpyn" присвячений опису локально майже розв'язних груп з щшьними системами: Bcix, неск1нченних та непер1одичних майже нормальних пщгруп. Це теореми 4.2.1 - 4.2.3 вщповщно.
Означения 4.2.1. Група G називаетъся УЩМН(т)-, УЩМН(г]-, УЩМН[г)-, УЩМН[т\-групою, якщо для довшъного в1др1зка тдгруп [А;В] такого, що \[А;В]\ > 2 i тдгрупи А та В мають властивють те G icuye така МН-тдгрупа С, що буде eipmm eidnoeidw одне i3 ствв1дношень: (А;В) э С, (А;В] э С, [А;В)эС, [А;В] э С.
Якщо г - це macmueicmb бути довшьною тдгрупою з G, то G називаетъся eidnoeidno УЩМН( )-, УЩМН{ ]-, УЩМН[ )-, УЩМН[ ]-групою.
Якщо г -це властивктъ I, тобто \А\ - <х>, то G називаетъся eidnoeidno УЩМЩГ)-, УЩМН(1]-, УЩМН[1)-, УЩМЩД-групою.
Якщо т = Т, тобто А - неперюдична тдгрупа, то G називаетъся eidnoeidno УЩМН( Г )-, УЩМН( Г ]-, УЩМН[ Т )-, УЩМН[ Т ]-групою.
H а с л i д о к 4.2.1. В нижче наееденш таблшfi pomipoM 3x4, елементами якоХ е 12 введених в означент 4.2.1 Knacie груп, строками вказано, який 1з Knacie е тдкласом тшого.
К(УЩМН()) ->К{УЩМН( ]) К(УЩМН[)) ->К(УЩМН[ ])
ф ф I ф ф К(УЩМН(1)) —>К(УЩМНЩ) К(УЩМН[1)) ->К(УЩМН[1])
^ _ ^ Г-3-~-Ъ _
К{УЩМН{Т)) К{УЩМН{Т ]) К(УЩМН[Т )) —*К(УЩМН[Т ])
Теорема 4.2.1. Локально майже розв'язш нескшченш над центром УЩМН[ ]-групи розв'язш, маютъ вигляд G = D<b>, |й| = рР, р > О,
р - просте число, D = Д Di ... Д... Д,./ X G, Д = С < <ai>, |а,| = со, С - стнченна нормальна тдгрупа з G, D n <Ь> = С n <è> = <ôp>, Д/С = £>i/C х Д2/С х ... х Dp.j/C - вшьна абелева група рангу р-1 ига вичерпуються групами munie:
1 )С=1, G=D \ <b>, \b\ = р, D - вшьна абелева група рангу р-1, CD(<b>) = 1, Ындукуе на D ращонально незв1дний автоморфизм;
2) С = <с> х |с| е {1,л*}( г - просте число, G/C -група типу 1, С<Ь> — абелева група або неабелева група порядку гр, або р-група Mùuiepa-Морено, яка не ¡зоморфна zpyni diedpa порядку 8;
3) С = <с>, <с><Ь> - група кватершотв порядку 8, G/C - нестнченна diedpanbHa група;
4) С = Q х <У>, Q X <Ь> - стнченна неншъпотентна група Митера-Морено, Q - елементарна абелева q-група, q Ф р, G/C - група типу 1, 161|Ь| >РЯ-
Означения 4.2.2. Шдгрупа А групи G називаеться стандартним
добутком тдгруп А,- = С X X,-, i б I, якщо Xi - локально циклгчна група, С < А, А/С - прямий добуток А/С, при |/| = О А = С.
Теорема 4.2.2. Класи перюдичних локально майже розв'язних УЩМН[1\- та МН[1]-груп ствпадають мiж собою.
Неперюдичт УЩМЩД-групи, що не е МНЩ-групами, мають вигляд G = (RA)<b> = R(A<b>) = A F, de R- центральна в G квазщикл1чна r-група,
\b\= pP, P> 0, A < G, A- стандартный добуток тдгруп Aj = К \ <a,>, |a,| = oo, i e {1, ... , p - 1}, r i p — npocmi числа, К < G, < со, A n <b> = К n <b> = <bp>, RK = С = P(G) - максимальна перюдична нормальна тдгрупа з G, F = C<b> = 71[G) - максимальна перюдична тдгрупа з G, R n <b> = 1, F /R - група одного з munie 1 - 6 теореми 1.1.1 ma вичерпуються групами, у яких G/R — група одного з munie 1 - 4 теореми 4.2.1, а сама група Сможе бути групою одного з munie:
1) G = R х (А X <b>), К = 1, P = 1, А - вшьна абелева група рангу p-1, CA(<b>) = 1, b тдукуенаА ращонально незвгдний автоморф¿зм;
2) G = R X (A<b>), К = <c> x <У>, |c| e {1, q], q - просте число, K<b> - абелева чи груш Мйтера-Морено, G не ластить nidzpyn diedpa порядку 8, G/K-група типу 1,3) G = R X (A<b>), К = Q X <bp>, ¡Q\ = qr, q - просте число, y > 1, b тдукуе на Q незвгдний автоморфизм, Ф(0) = 1, G/K- група типу 1;
4) G = R x (A<b>), A = К x <a,>, p = 2, K<b> - група кватертотв порядку 8, b'lab = a"1;
5) G = R(A<b>), RnK=T< Z(G), G/T-група одного з munie 1 - 4.
Теорема 4.2.3. Класи неперюдичних УЩМН[ Т ]- i МН[ Т ]-груп
ствпадають м1ж собою.
Bei результата цього роздшу, oKpiM теореми 4.2.1, е новими. У кшщ роздшу наводяться висновки.
висновки
Дослщження узагальнень дедек1ндових груп активно зд1йсшосться вже б1лып ста poKÎB. Зазначимо, що KÙibKicTb таких дослщжень невпинно зростае. На ïx ochobî виникають iiobî перспектив1п i самостшш напрямки в Teopiï труп. Один з таких напрямюв визначаеться за допомогою поняггя щ1льност1 для р1зних систем пщгруп. В дисертацшнш робой зд1йснено узагальнення дедек{ндових груп, яке базуеться на понятп щшьносп нормальност1 та майже нормальност1 для pi3HHX систем пщгруп.
В дисертаци вперше введено в розгляд таю класи груп: ЩН[ ]-групи та ïx пщкласи (Н-, ЩН[ )-, ЩН( ]-групи); УЩН[ ]-групи та ïx пщкласи (УЩН( )-, УЩН[ )-, УЩН( ]-групи); МН[ 1]-групи; УЩМЩЦ-групи та ïx пщкласи (УЩМЩ1)-, УЩМН(I]-, УЯ(Л/Я[1)-групи); УЩМН[ Т ]-групи та ïx пщкласи (УЩМЩ Т )-, УЩМЩ Т ]-, УЩМН[ Т )-групи).
Вивчено до TßipHiix елеменив i визначальних сп1вв1дношснь i подано конструкщю побудови локально ступ1нчастих ЩН[ ]-груп та ïx niflKnaciB (теореми 1.4.1 i 1.4.2).
Аналопчно охарактеризовано локально стушнчасгп УЩН[ ]-групи та ïx пщкласи (теореми 2.2.3,2.3.1, 3.1.1, 3.1.2, 3.2.1, 3.2.2, 3 .3.1, 3.3.2).
Встановлено 15 тишв локально ступшчастих УЩН[ ]-груп, що не належать об'еднанню miacÎB локально ступ1нчастих УЩН( ]- i УЩН[ )-груп (теорема 3.4.2).
Встановлено 2 типи груп, що належать перетину icnaciB локально ступшчастих УЩН( ]- i УЩН[ )-груп i не належать класу УЩН( )-груп (теорема 3.4.1 ).
Знайдено конструкцп побудови в термшах прямих, нашвпрямих до-6yTKiß та скшченних розширень локально майже розв'язних Л/#[1]-груп (теоремн 4.1.1 i 4.1.2).
Знайдено конструкцн побудови в термшах прямих, нашвпрямих до-бутюв та розширень МН[ Г]-труп (теорема 4.1.3).
Аналопчно охарактеризовано локально майже розв'язш УЩМЩ1]-групи (теореми 4.1.2 i 4.2.2).
Аналопчно охарактеризовано УЩМН[ Т ]-групи та ix шдкласи (теорема 4.2.3).
Допом1жними новими результатами, що мають i самостшне значения, можна вважати:
• опис до тв1рних елемента i визначальних сшввщношень локально ступшчастих труп, що не породжуються cboimh власними немаксималь-ними пщгрупами (теорема 1.1.1);
• такий же опис метациктчних 2-груп ¡з трьома ¡нволющями (теорема 1.1.4).
Проблема А. Манна для скшченних труп узагальнена i розв'язана для локально ступшчастих труп.
Розвинут1 inei С.М. Чернжова вивчення труп з умовами щшьносп влас-THBoeri К пщгруп групи для р1зних систем пщгруп.
Поняття щшьносп властивосгп V пщгруп групи дае можливкть сформу-лювати багато нових перспективних задач в теорй' груп. Зокрема, це сто-суеться властивост1 нормальное™ i майже нормальное™ для р1зних систем пщгруп. Наприклад, щшьнос™ нормальное™ можна розглядати для систем: циюпчних, нециюичних, абелевих, неабелевих, шльпотентних, неншьпотентних, скшченних, нескшченних, нескшченних абелевих, нескшченних неабелевих та шших систем пщгруп.
Аналопчш задач! для нескшченних груп можна сформулювати для щшьностей майже нормальное™.
Основн1 результата дисертацшно1 робота можуть бути вщправними в розв'язанш згаданих нових задач.
Bei результати дисертацшноТ робота мають строге доведения i базую-ться на класичних теоретико-групових методах.
Результати дисертацй' можуть використовуватися в багатьох теоретико-групових дослщженнях, при читашн спецкурсов i спецсемшар1в та при написанш дипломних po6iT i наукових рефера™в.
РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦП
1. Семко М.М. Групи з умовами щшьносп нормальносп та и узагальнень для деяких систем шдгруп. - К.: 1и-т математики HAH Укра'ши, 1998. - 285 с.
2. Кузенний М.Ф., Семко М.М. Метагамшьтонов1 групи та ix узагальнення. - К.: 1н-т математики HAH Укра'ши, 1996. - 232 с.
3. Семко М.М. Про будову груп з деякими умовами щшьносп нормальносп для пщгруп. - К.: 1н-т математики HAH УкраГни, 1997.-90 с.
4. Семко М.М. Будова груп з узагальненою щшьшстю нормальносп для шдгруп. - К.: 1н-т математики HAH Укра\'ни, 1997. - 63 с.
5. Семко М.М. Класи груп з деякими умовами щшьност1 нормальносп для шдгруп. - К.: 1н-т математики HAH УкраУни, 1997. - 62 с.
6. Семко H.H., Левищенко С. С., Курдачепко Л.А. О группах с бесконечными почти нормальными подгруппами// Изв. вузов. Математика. - 1983. -N 10. - С. 57-63.
7. Семко H.H. Непериодические группы с почти нормальными непериодическими подгруппами // Группы и системы их подгрупп. -К.: Ин-т математики АН УССР. - 1983. - С. 79-86.
8. Курдачепко Л.А., Кузенний М.Ф., Сшко М.М. Групи з щшьною системою нескшченних шдгруп // Доп. АН УРСР. - 1985.- N 3. -С. 7-9.
9. Курдачепко Л.А., Кузенный Н.Ф., Семко H.H. Группы с плотной системой бесконечных почти нормальных подгрупп // Укр. мат. журн. - 1991. - Т.43, N 7, 8. - С. 969-973.
10. Кузенний М.Ф., Семко М.М. Про групи, близью до метациюичних // Укр. мат. журн. - 1996. - Т. 48, N 6. - С. 782-790.
11. Семко М.М. Будова локально ступшчастих ЩН[ ]-груп // 1нтегралып перетворення та Ух застосування до крайових задач. - К.: 1н-т математики HAH Укра'ши. - 1996. -Вип. 12. - С. 181-186.
12. Семко М.М. Про будову УЩН[ ]-груп // 1нтегральш перетворення та Ух застосування до крайових задач. - К.: 1н-т математики HAH Укра'ши. - 1996. - Вип. 13. - С. 196-203.
13. Семко М.М. Будова ншьпотентних УЩН[ ]-груп// Класи груп з обмеженнями для шдгруп. - К.: 1н-т математики HAH УкраУни. -1997.- С. 27-41.
14. Семко М.М. Будова локально ступшчастих нешльпотентних УЩН[ ]-груп // Укр. мат. журн. - 1997. - Т. 49, N 6. - С. 789 - 798.
15. Семко М.М. Неншьпотентш групи з узагальненою щшьшстю нормальносп для шдгруп // Гнтегральш перетворення та Ух
застосування до крайових задач. - К.: 1н-т математики HAH Украши. -1997.-Вип. 15.-С. 175-187.
16. Семко М.М. Про групи з умовами щшьносп нормальносп для пщгруп // 1нтегральш перетворення та ïx застосування до крайових задач. - К.: 1н-т математики HAH Украши. - 1997. - Вип. 16. -С. 255-263.
17. Семко М.М. Будова одного класу груп з умовами щшьносп нормальное^ для пщгруп// Укр. мат. журн. - 1997. - Т. 49, N 8. -С. 1148-1151.
18. Семко М.М. Про будову УЩН[ ]-груп з елементарним комутантом рангу два // Укр. мат. журн. - 1997. - Т. 49, N 10. - С. 1396-1403.
19. Семко М.М. Будова груп з деякою умовою щшьносп нормальносп для пщгруп // Доп. HAH Украши. - 1997. - N 9. - С. 49-53.
20. Семко М.М. Будова груп з деякими умовами щшьносп нормальносп для пщгруп // Доп. HAH Украши. - 1997. - N 10. - С. 43-46.
21. Семко М.М. Про будову УЩН[ ]-груп // Укр. мат. журн. - 1998. -Т.50, N9.-С. 1250-1261.
22. Семко М.М. Будова метациюпчних i мнпмальних неметациюнчних УЩН[ ]-груп // Kpaftoßi задач i для диференщальних р1внянь. - К.: 1н-т математики HAH Украши. - 1998. - Вип. 1 (17). - С. 230-237.
23. Семко М.М. Будова локально ступшчастих УЩН( ]-груп // Укр. мат. журн. - 1998. - Т.50, N11.-С. 1532-1536.
24. Семко М.М. Будова локально ступшчастих УЩН[ )-груп // Укр. мат. журн.- 1999.-Т.51, N3.-С. 383-388.
АНОТАЦП
Семко М.М. Групи з умовами щшьносп нормальносп та ïï узагальиеиь для деяких систем пщгруп. - Рукоиис.
Дисертащя на здобуггя наукового ступеня доктора ф1зико-математичних наук за спещальшстю 01.01.06 - алгебра i теор1я чисел. -Кшвський нацюнальний ушверситет iMeni Тараса Шевченка, Khï'b, 2000.
Дисертац1я присвячена дослщженню узагальнень дедеюндових груп, що здшснюеться завдяки р1зним умовам щшьносп нормальносп та майже нормальносп для деяких систем пщгруп. 1ншими словами, дослщжуються групи G, що мають нормальну (майже нормальну) пщгрупу N, роз.чпщену м1ж довшьними двома пщгрупами A i В групи G, де А - гадгрупа з В i А та В - пщгрупи деяко'1 системи пщгруп X дослщжувано'Г групи. PÏ3Hi умови щшьносп визначаються сшввщношеннями: А < N < В; А < N < В; А < N < В; А < N < В, а також властивостями: А - пщгрупа групи В; А - власна пщгрупа групи В, А- власна немаксимальна пщгрупа групи В.
Вивчено як скшченш так 1 нескшченш локально ступшчасп (локально майже розв'язш) групп з умовами р1зних щшьностей нормальности (майже нормальности) для певних систем пщгруп.
Клгочов1 слова: дедекшдова група, нормальна тдгрупа, майже нормальна тдгрупа, метагамигьтонова група, щтьшсть нормальности щшыйсть майже нормальности власна тдгрупа, власна немаксимальна тдгрупа.
Семко Н.Н. Группы с условиями плотности нормальности и её обобщений для некоторых систем подгрупп. - Рукопись.
Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. -Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.
Диссертация посвящена исследованию обобщений дедекиндовых групп. Оно осуществляется с помощью условий плотности нормальности и почти нормальности для некоторых систем подгрупп. Другими словами, исследуются группы С, которые имеют нормальную (почти нормальную) подгруппу /V, расположенную между произвольными двумя подгруппами А к В группы С, где А - подгруппа из В и А и В - подгруппы некоторой
системы подгрупп X исследуемой группы. Подгруппа N называется расположенной между подгруппами А и В группы й, если А - подгруппа из В и А < N < В . Различные условия плотности определяются соотношениями: А < N < В\ А < N < В; А < N < В; А < Ы< В, а также свойствами : А -подгруппа из В; А - собственная подгруппа из В; А - собственная немаксимальная подгруппа из В. Подгруппа А группы В называется собственной подгруппой группы В, если она отлична от В, т.е. А < В.
Множество {,¥} подгрупп X исследуемой группы й, для которых А < X < В называется отрезком подгрупп из (7 и обозначается [А; В]. Мощность подгрупп этого отрезка называется его модулем и обозначается |[А; 5]|. Понятно, что |[А; В]| >1. При |[А; 2?]| > 1 А - подгруппа из В, при \[А; 5]| > 1 А - собственная подгруппа из В, при |[А; В]| > 2 А - собственная немаксимальная подгруппа из В.
Изучено до образующих элементов и определяющих соотношений и приведена конструкция строения класса локально ступенчатых групп С, у которых |[А; В]| > 1, [А; В] Э N < С и некоторых его подклассов. Среди них классы групп, у которых \[А; й]| > 1 и соответственно: (А; В) Э N < О;
[А; В) Э N < С; (А; В] Э N < й.
Аналогично охарактеризован класс локально ступенчатых групп С, у которых | [А; > 2, [А; В] Э N < С и некоторые его подклассы. Среди них
классы групп, у которых |[А; В]| > 2 и соответственно: (А; В) э N < G; [А; В) Э N <G; (А; В] 3N<G.
Определены конструкции строения в терминах прямых, полупрямых произведений и конечных расширений класса локально почти разрешимых групп G, у которых |[А; Б]| > 1, А - бесконечная подгруппа, [А; В] Э N -почти нормальная подгруппа из G.
Определены конструкции строения в терминах прямых, полупрямых произведений и расширений класса групп G, у которых \[А; В]\ > 1, А - непериодическая подгруппа, [А; В] Э N - почти нормальная подгруппа из G и некоторые его подклассы.
Аналогично охарактеризован класс локально почти разрешимых групп G, у которых | [А; В]| >2, А- бесконечная подгруппа, [А; В] э N - почти нормальная подгруппа из G и некоторые его подклассы. Среди них классы групп, у которых |[А; В]\ >2, А - бесконечная подгруппа и соответственно: СА; В) э - почти нормальная подгруппа из G; [А; В) э N - почти нормальная подгруппа из G; (А; В] э N - почти нормальная подгруппа из G.
Аналогично охарактеризован класс групп G, у которых |[А; В]\> 2, А -непериодическая подгруппа, [А; В] э N — почти нормальная подгруппа из G и некоторые его подклассы. Среди них классы групп, у которых |[А; £]] > 2, А - непериодическая подгруппа и соответственно: (А; В) э N - почти нормальная подгруппа из G; [А; В) э N - почти нормальная подгруппа из G; (А; В] э N - почти нормальная подгруппа из G.
Вспомогательными новыми результатами, которые имеют самостоятельное значение, являются:
• описание до образующих элементов и определяющих соотношений локально ступенчатых групп, которые не порождаются своими собственными немаксимальными подгруппами;
• такое же описание метациклических 2-групп с тремя инволюциями.
Ключевые слова: дедекиндовая группа, нормальная подгруппа, почти нормальная подгруппа, плотность нормальности, плотность почти нормальности, собственная подгруппа, собственная немаксимальная подгруппа, отрезок подгрупп, модуль отрезка подгрупп.
Semko M. M. Groups with the denseness conditions of normality and its generalization for certain systems of subgroups. Manuscript.
Thesis of the dissertation for obtaining of the degree of doctor of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 - algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2000.
The dissertation is written to investigate generalizations of dedekind's groups through different denseness conditions of normality and almost-normality
for certain systems of subgroups. In other words, the groups G are investigated, which have a normal (almost normal) subgroup N located between two arbitrary subgroups A and B of the group G, where A is a subgroup from B; A and B are subgroups of a system of subgroups 2 of the investigated group. Different denseness conditions are distinguished by the following correlations: A < N < B; A < N < B; A< N < B; A < N < B, and by the properties: A is a subgroup of the group B; A is a proper subgroup of the group B; A is a proper nonmaximal subgroup of the group B.
Both finite and infinite locally graded (locally almost solvable) groups with different denseness conditions of normality (almost normality) for certain systems of subgroups are studied.
Key words: dedekind's group, a normal subgroup, an almost normal subgroup, meta-Hamiltonian group, denseness of normality, denseness of almost-normality, a proper subgroup, a proper nonmaximal subgroup.
