Группы с заданными системами нормальных подгрупп и с ограничениями на нормализаторы некоторых систем подгрупп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

РГ6 ой

Київський університет імені Тараса Шевченка

1 2 ^

На правах рукопису

Лиман Федір Миколайович

ГРУПИ З ЗАДАНИМИ СИСТЕМАМИ НОРМАЛЬНИХ ПІДГРУП ТА З ОБМЕЖЕННЯМИ НА НОРМАЛІЗАТОРИ ДЕЯКИХ СИСТЕМ ПІДГРУП

0i.01.06 — алгебра і теорія чисел

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Київ — 1996

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математики Сумського державного педагогічного інституту імені А.С.Макаренка

Офіційні член-корсспондент АН Бєларусі, .

опоненти - доктор фізико-математичних наук, професор Шеметков Леонід Олександрович; доктор фізико-математачних наук, професор Курдаченко Леонід А ндрійович; доктор фізико-математичних наук, професор Протасов Ігор Володимирович

Провідна організація - Інститут математики НАН України, м.Київ

Захист відбудеться “ЗО” 1996 року о 14 годині

на засіданні спеціалізованої ради Д. 01.01.01 при Київському університеті імені Тараса Шевченка за адресою : 252127, Київ-127

• проспект академіка Глушкова, 6, механіко-математичний факультет, аудиторія 42.

З дисертацією можна ознайомитись в науковій бібліотеці університету (вул. Володимирська, 62).

Уо року

Вчений секретар спеціалізованої ради

С.А.Овсіпіко

Загальна характеристика роботи.

Актуальність дослідження.

Одним з найбільш плідних напрямків досліджень у загальній теорії груп є напрямок, пов'язаний з вивченням груп, у яких ті або інші підгрупи або системи підгруп задовольняють заздалегідь задані умови. Такий підхід до вивчення груп бере свій початок з кінця XIX століття, коли у 1897 році Р.Дедекіндом були описані скінченні неабелеві групи, всі підгрупи яких нормальні. Неабелеві групи, в яких нормальні всі підгрупи, називаються гамільтонови-ми групами. Нескінченні гамільтонопі групи описані Р.Бером у 1933 році. Отже, серед груп, у яких нормальні всі підгрупи, є неабелеві групи. Аналогічно иьому серед груп, у яких всі власні підгрупи абеяеві, теж € неабелеві. Скінченні групи такого виду вивчені у 1903 році Г.Міллером і Г.Морено.

Роботи Р.Дедекінда та Г.Міллера і Г.Морено започаткували важливий напрямок у теорії груп, головною метою якого стало вивчення будови груп із заданими властивостями підгруп. Особливу роль у розвитку ідей і методів цього напрямку зіграли дослідження О.Ю.ІІІмідта та С.М.Чернікова, в роботах яких ідея вивчення груп із заданими обмеженнями на певні системи підгруп набула абсолютно чіткого вираження.

Значний вклад у розвиток ідей і методів цього напрямку теорії груп внесли Б.Амберг, Г.Баумслаг. Р.Бер, Н.Ьлскберн, Х.Віландт, В.Гашюц, В.М.Гяушков, Ю.М.Горчакон, Ф.Джіованні, Д.І.Зайцев, Н.Іто, Л.С.Казарін, М.І.Каріанолов, О.Кегель,

-з-

П.Г.Конторович, М.Ф.Кузенний, Л.А.Курдаченко, О.Г.Куроіп С.С.Левіщенко, В.Д.Мазуров, А.І.Мальцев, Ю.І.Мерзляков Б.Нейман, О.Ю.Ольшанський, Б.І.Плоткін, В.Н.Ремесленніков Д.С.Робінсон, ■ М.Ф.Сссекін, 55.П.Сисак, А.І.Старостін В.І.Сушанський, М.Томкінсон, Т.Хайнекен, Ф.Холл, В.С.Чарін М.С.Черніков, С.А.Чуніхін, Л.А.Шеметков, В.І.Шунков та багате інших алгебраїстів різних країн.

Серед визначальних обмежень, які накладаються на окрем підгрупи або системи підгруп, часто фігурують умова нормаль ності і нормалізаторна умова. Звужуючи систему нормальних під груп, яка визначає клас дедекіндових груп (об'єднання класу абе левих і класу гамільтонових груп), будемо одержувати певні класі груп, близькі до класу дедекіндових груп, а звужуючи систему під груп, яка визначає клас ІУ-груп (груп, у яких кожна власна підгру па відмінна від свого нормалізатора у групі), одержимо класі груп, близькі до класу ІУ-груп. Кожний з таких класів є деяким уза гальненням відповідно або класу дедекіндових груп, або клас; ІУ-груп. Такі класи груп, властивості і будова груп цих класів ста новлять певний науковий інтерес і тому вони вивчались і продо вжують вивчатись багатьма авторами.

Розробці мегодів досліджень груп, близьких до ледекіндо вих груп та до ІУ-груп (у вище зазначеному розумінні), пивченнк властивостей та опису будови таких груп присвячена дана ди сертаційна робота.

Мета і об'єкти дослідження.

Нехай О - і руна, Я -її ніш руна, £ - деяка система иідіруї групи О. Якщо піді рупа Н міститься в нормалізаторі кожно підірупи системи Е, то будемо говорити, що И нормалізує систем; підгруп Е.

Максимальною серед підгруп, що нормалізують систему І, є перетин Л'(І) иормалізаторів всіх підгруп системи 2. Підгрупу //(І) назвемо £-нормою групи О. У випадку, коли система 2 збігається з множиною цсіх підгруп групи, Е-морму коротко називатимемо нормою групи. Поняття норми введено Р.Бером у 1934 році. Норма групи активно вивчалась самим Р.Бером та іншими авторами. Результати, одержані при вивченні норми, узагальнені у 1961 році

В.Каппе на випадок Л-норми, коли систему £ складають всі максимальні абелеві підгрупи групи.

При розгляді поняття Е-норми постає ряд проблем. Одна з них пов’язана з вивченням властивостей груп при заданій системі підіруп £ і певних обмеженнях на Е-норму. Конкретні задачі такого тину розв’язувались багатьма алгебраїстами в залежності від вибору системи підгруп Е та Е-норми Л^Е). Як правило, в ролі іУ{£) а дослідженнях різних авторів виступає вся група б, тобто вивчаються групи з тими чи іншими системами нормальних підгруп.

Основна частина дисертаційної роботи також присвячена розгляду задач цієї проблеми, причому у роздГлГ ІтГрозглздається задача, коли ЕфЩЕ) *(}, а систему Е складають всі пліиклічігі підгрупи.

Зрозуміло, що за умови, коли Е-система всіх підіруп групи, а N(1) ■■= в, група О є дедекіндопою. Між дедекіпдовими групами з одного боку і простими неабеленимн і рунами - з іншого, розташовані всі інші групи з більшою або меншою насиченістю нормальними підгрупами.

Складовою частиною дедекіндових груп е гамільтонові групи. Очевидно, що гамільтонові групи можна означити як неабелеві ірупи, в яких нормальні всі абелеві підгрупи, або лише всі циклічні підгрупи. Тому бажаючи одержати розширення (узагальнення)

класу гамільтонояих груп,'треба так звужувати пов’язану з ним визначальну систему підгруп, щоб при цьому з неї випадали всі або деякі циклічні підгрупи. Перш за все таким шляхом виділяється клас П -груп, у яких визначальну систему І складають всі не-циклічні підгрупи, і клас НА-груп, у яких систему 2 складають всі абелеві нециклічні підгрупи, а — О в обох випадках. Обидва класи груп вивчались автором раніше і в цій роботі не розглядаються.

Клас П -груп можна також узагальнити шляхом зпужеиня його визначальної системи всіх нециклічних підгруп до системи всіх неабелевих підгруп. При цьому отримаємо клас груп, у яких нормальні всі неабелеві підгрупи. Ці групи розпочав вивчати Г.М.Ромапіс у 1962 році і він же назвав їх матагамільтоновими. Дослідженнями властивостей матагамільтонових груп, їх описом займались Г.М.Ромаліс, М.Ф.Сесекін, С.М.Черніков, В.Т.ІІагре-бецькмй, О.О.Махньов, М.Ф.Кузепний, М.М.Семко.

При вивченні нескінченних груп природно до визначальної системи підгруп 2 відносити деяку підмножину множини нескінченних підгруп групи. Так, С.М.Черніков вивчав нескінченні неабелеві групи за умови N(1.) = в, а систему 2 складали відповідно: всі нескінченні підгрупи (ШИ-групи); всі абелеві нескінченні підгрупи (///-групи ); всі неабелеві нескінченні підгрупи (1Н -групи ).

Умову нормальності в групі підгруп заданої системи і- можна замінити умовою нормальності підгруп цієї системи в деякю підгрупах групи. На першому кроці це приводить до розі ляду груп, у яких кожна підгрупа системи 2 відмінна від спот йор-малізатора, тобто до розгляду груп ч иормилЬаіорною умовою ,іііу підгруп системи 2. '¡окрема, якщо систему 2 чи таких умов склала-

— ¿Г -

кш» всі власні підгрупи групи, то отримаємо клас Лґ-груп. Звужуючи систему підгруп І або накладаючи певні обмеження на иорг малізатори підгруп системи 2, або реапізуючи водночас те і інше, можна отримувати різні розширення класу ІУ-груп та досліджувати приріст цього розширення. Так, наприклад, С.М.Черніков досліджував нескінченні групи з нормалізаторною умовою для нескінченних підгруп; Ю.А.Корзюков вивчав скінченні групи з нормалізаторною умовою для нециклічних підгруп; К.Ш.Кемхадз<ь вивчав групи з нормалізаторною умовою для непримарних підгруп.

Метою даної роботи є розробка методів дослідження неабс-левих груп, близьких до гамільтонових груп та до ІУ-груп. При цьому досліджувались властивості і будова груп таких класів :

I. Неабелеві групи, в яких нормальні всі підгрупи заданих систем підгруп:

1) розкладних у прямий добуток двох неодиничних підгруп (Л-групи);

2) максимальних абелевих підгруп рангу І непростих порядків ( майже дедекіндові групи );

3) максимальних абелевих підгруп рангу 2 ( а2І-групи );

4) /«/-підгруп для деякого простого числа р є %(<3і) (/»¿/-групи);

5) нециклічних /«/-підгруп ( /»¿//-групи );

6) розкладних у прямий добуток /^/-підгруп ( йіг-групи );

7) абелевих нециклічних /«¿-підгруп ( рсіНА -групи ),

8) нескінченних /?с/-підгруп (ІШР-групи);

9) нескінченних абелевихрФпідгруп (1ИР-групи ).

II. Групи з обмеженнями на нормалЬатори заданих систем

підгруп : _

1) нескінченні групи' з нормалізаторною умовою для не циклічних підгруп;

2) групи з нормалізаторною умовою для /«/-підгруп;

3) нескінченні групи, в яких перетин нормалізаторів всіх не циклічних підгруп (нециклічна норма) має скінченний індекс.

Доцільність вивчення груп з умовою нормальності для пев них систем /«/-підгруп або з нормахгізаторною умовою для таки: систем підгруп пояснюється тим, що при вивченні груп, близьки; до гамільтонових або до Л'-груп, майже завжди ведучу роль у ї: властивостях відіграє деяка нормальна //-підгрупа або деяка си стема нормальних /^-підгруп. Дослідження більш загальних си туацій приводить до різноманітних і багатих за своїми власти

✓

восгами конкретних класів /*/-груп.

Зауважимо також, що в деяких випадках вказані класи груї досліджуються при умові існування у групі підгруп визначальне системи, або ж При деяких загальноприйнятих обмеження (локальна скінченність, локальна розв'язність і т.д.). Це пов'язан перш за все з існуванням нескінченних неабелевих груп ( доведені О.Ю.Ольшанським), у . яких всі нетривіальні підгрупи мают простий порядок. ‘

МетоДи і методика дослідження.

В роботі використовуються загальні методи теорії груп т вже відомі результата про різні класи груп, деякі факти теорії чи сел.

. При вивченні певного класу груп із заданою системою но{ ыальних підгруп, як правило, вивчається ситуація, за умов яке група досліджуваного класу належатиме до раніше вивченої о кл; су груп. У більшості випадків це забсїпечуедься наявністю у труї

-<Р-

абелевих підгруп специфічної конструкції, поп'язаної з умовою нормальності для даного класу груп. Це можуть бути абелеві підгрупи типу (р, р, р), вільні абелеві підгрупи ценного рангу, прямі добутки квазіциклічних груп і т.д.

Після гакого звуження досліджуються окремо періодичні і неперіодичні групи в залежності від наявності у них нормальних підгруп того чи іншого типу із заданого класу.

Особливістю роботи е відпрацювання методики досліджень неперіодичних груп з нескінченними послідовностями нормальних підгруп в поєднанні з властивостями автоморфізміч різних класів абелевих груп та комутаторним рахунком, які приводять до конструктивного опису досліджуваного класу груп.

Аналогічно проводяться дослідження будови Груп, що е узагальненнями іУ-груп.

Наукова новизна досліджень.

Всі результати, сформульовані і доведені в теоремах і лемах дисертації та наслідках з них, е новими. Конкретна база теоріГгруп поповнена 9 класами груп із заданими системами нормальних підгруп і 2 класами груп з нормалізаторною умовою для нециклічних підгруп та для ^¿/-підгруп.

Доведено цілий ряд рівносильностей-умов нормаяьвесті чи нормалізаторної умови для різних систем підгруп у тих іщ інших класах груп.

Введено до розгляду поняття нециклічної норми Групи як перетину нормалізаторів нециклічних підгруп, доведена їкдедекін-довість та встановлена будова нескінченної" групи пра умові локальної ступінчатосгі нециклічної норми та сі-ігйішп її індексу у групі.

Деякі результати дисертації мадеть самостійне значення. Це перш за все теореми 1.1 і 1.5 розділу І дисертації, де дана повна характеристика неабелевих локально скінченних періодичних і локально розв'язних неперіодичних груп, що не містять розкладних підіруп та теореми 1.15-1.17 розділу І дисертації, в яких дана досить детальна характеристика нескінченних 2-груп з трьома ін-волюціями, та нескінченних локально скінченнихр-груп (р>2), у яких рівняння & “ 1 має точно рг розв’язків.

Теоретичне та практичне значення дослідження.

Робота має теоретичний характер. Описані в ній класи груп розширюють конкретну базу теорії груп, особливо в області неперіодичних груп. Вперше детально §ивчені класи груп із заданими системами нормальних рі-підгруп. Розроблена методика досліджень реї-груп з умовою нормальності підгруп різних систем може бути вихористана при вивченні /«/-груп з іншими обмеженнями на певні системи підгруп.

Корисною-є інформація про підклас нескінченних р-груи Чернікоза, в яких рівняння л? = 1 має точно р3 розв'язків.

Сформульовані і нерозв’язані в роботі задачі можуть статі основою новій наукових досліджень, зокрема, і дисертаційних.

Конкретні класи груп, описані в дисертації, можна викорие тонувати При читанні спецкурсів І спецсемінарів та при написанн дипломних робіт і наукових рефератів.

Апробація роботи.

Результати лисергації опубліковані в 22 наукових роботах Список 14 основних робіт наведено в кінці автореферату. Всі ро

боти, крім [5], написані автором. Результати роботи [5], написані у співавторстві, неподільні і отримані за рівною участю авторів.

Результати дисертаційних досліджень доповідались на Всесоюзних алгебраїчних конференціях (Гомель - 1975р.; Ленінград -1981р.; Кишинів - 1985р.; Львів - 1987р.)* на Всесоюзних симпозіумах з теорії груп (Черкаси - 1978р.; Суми - 1982р.; Москва -1984р; Мінськ - 1986р.), на семінарі з теорії груп Інституту математики АН України, на алгебраїчному семінарі при Київському університеті імені Тараса Шевченка, на семінарі з теорії груп при Московському університеті, на семінарі з теорії груп при Гомельському університеті, на конференції математиків вузів Грузії, на науково-методичних конференціях завідуючих математичними кафедрами вузів у Запоріжжі (1976р.), Алма-Аті (1977р.), Москві (1980р.).

Обсяг та структура роботи.

Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, подйкии? на 14 параграфів, переліку основних позначень і означень, які використовуються в дисертації, та списку літератури. На початку кожного розділу дано короткий огляд питань, які в ньому розглядаються, та одержаних результатів. Список літератури містить 169 назп. Загальний обсяг дисертації 212 сторінок.

Зміст роботи.

У вступі проаналізовано ступінь дослідженості гпуп з різними системами нормальних підгруп, обгрунтована актуальність дисертаційного дослідження автора, визначена мета і об'єкти дослідження, подано короткий зміст дисертації з аналізом одержаних результатів, подано інформацію про апробацію та публікацію основних результатів дисертації.

У розділі І "Групи з "деякими.системами нормальних абеяс-вих підгруп" вивчаюігся неабелеві групи, в яких нормальні всі підгрупи таких систем підгруп : .

1) системи всіх розкладних підгруп;

2) систгми всіх максимальних абелевих підгруп рангу 1 непростих порядків;

3) системи всіх максимальних абелевих підгруп рангу 2.

У §1 - 2 розділу І досліджуються властивості неабелевих груп, у яких система нормальних підгруп містить всі абелеві підгрупи, що розкладаються у прямий добуток двох нетривіальних множників. Зрозуміло, що ця умова рівносильна умові нормальності всіх розкладних підгруп. Такі групи названі ¿/-групами. До сіі- груп віднесені також в ¿і неабелеві групи, кожна з яких не містить розкладних підгруп.

Опис Л'-груп без розкладних підгруп у класі локально скінченних груп поданий у теоремі 1.1, а у класі неперіодичних локально розв'язних груп - у теоремі 1.5.

Теорема 1.1. Локально скінченні неабелеві групи, в яких всі підгрупи нерозкладні, вичерпуються групами наступних типів:

1) кватерніонна 2-група;

2) група Фробеніуса. що є напівпрямим добутком О - А А В, де А- локально циклічна р-група, В - циклічна д-гру па і (р- 1, <?) - <7.

Теоремаґ 1.5. Неабелеві локально розп'язні неперіодичні групи, в яких всі підгрупи нерозкладні, вичерпуються групами Фробеніуса, що подаютьсн у вигляді напівпрямого добутку Сі ~ А А В, де А - абелет група без скруту рачгу І, В нескінченна циклічна група або група порядку 2.

-/Л~

Зауважимо, що у випадку 2-груп висновки теореми 1.1 мають місце для довільних періодичних 2-груп, бо, як відомо, нескінченна 2-група з умовою мінімальності для абелевих підгруп є 2-групою Чернікова.

У теоремах 1.2 - 1.4 і 1.6 встановлені необхідні і достатні умови при виконанні яких група, що містить розкладну підгрупу, належить до класу сй-груп. При цьому подано детальний опис будови таких груп.

Цей опис засвідчує, що ¿/(-групи, що містять розкладну підгрупу, розв'язні. Крім того, для груп без скруту з розкладними підгрупами умова нормальності всіх розкладних підгруп рівносильна умові комутативності групи.

Клас дедекіндових груп можна означити ях клас груп, у яких нормальні всі максимальні абелев| підгрупи рангу 1 ( в розумінні А.І.Мальцева ). Звужуючи цю визначальну систему підгруп до системи всіх максимальних абелевих підгруп крім тих з них, що мають певний порядок, і залишаючи нормальність як визначальне обмеження, одержимо певне розширення класу дедекіндових груп.

Опису недедекіндових іруп, у яких нормальні всі максимальні абелепі підгрупи рангу 1 непростих порядків> присвячений §3 розділу І. Для періодичних груп названа умова нормальності рівносильна умові нормальності всіх циклічних підгруп складених порядків. Для неперіодичних іруп аналогічне питання розглядається у теоремі 1.10. Недедекіндову групу, в якої множина циклічних підгруп непростих порядків непорожня і ск-.адається лише з нормальних підіруп, назвемо майже дедекіндовою групою.

Теорема 1.7. Довільна р-група О тоді і тільки тоді буде

майже дедекіндовою групою, коли вона є грітою одного з типів :

-Я- '

1)p = 2 і G = A A (b), 'де A - абелева група з елементами складених порядків, відмінна від групи виду ф) х А\, де | h | = 4, А, - елементарна абелева група або Ai-Ei\b[ = \ab\-2 для будь-якого елемента ас А; '

2)р-група G недедекіндова, її комутант має простий порядок і збігається з перетином всіх циклічних підгруп складених порядків.

■ Отже, у випадку р-груп (р / 2 ), експонента яких більша р, майже дедекіїщові групи мають комутант простого порядку, який є перегином всіх циклічних підгруп складених порядків. Клас майже дедекіндових 2-груп значно ширший і включає ще один тип груп, які є напівпрямими добутками абелевих груп і циклічної груші порядку 2. Тому дляр-груп (р?2 ), що містять абелеву підгрупу типу (рг, рг), умова нормальності циклічних підгруп скла, Ф

Дешіх порядків рівносильна умові комутативності групи.

Теорема 1.9. Періодична непримарна група G тоді і тільки тоді с майже дедекіндовою, коли G- А Л (Ь), де |4| = |аЬ| = р - просте число для будь-якого елемента а є А і А- абелева р '-група, яка містить елементи складених порядків і всі її підгрупи нормальні вО. '

Теорема 1.10. В неперіодичній групі G тоді і тільки тоді нормальні всі максимальні абелеві підгрупи рангу І непростих порядків, коли вонй майже дедекіндова і G - А Л ф), де А неперіодична абелева група і | b | ** | ab | ■» 2 для будь-якого елемента а є А.

Таким чином, періодичні непримарні і неперіодичні майже дедекіндові групи аналогічно майже дедєкіндовим 2-ірунам першого типу теж с напівпрямими добутками абелевих груп і іруа порядкур. При цьому виявляється, що у класі неперіодичних Груп без інволіоцій умова нормальності максимальних абелевих підгруп

рангу 1 непростих порядків рівносильна умопі комутативносг^ групи. '

Можливий ще один варіант звуження визначальної системи підгруп класу дедекіндових груп при збереженні нормальності підгруп як визначальної умопи, а саме: досліджувати будову груп, у яких нормальні максимальні абелеві підгрупи рангу п, де п к 2.

Результативність такого підходу при вивченні груп, близьких за визначальним обмеженням до класу дедекіндових груп, під-гверджуєіііся у §4 розділу І, де вивчаються неабелеві групи, кожна з яких місппь абелеву підгрупу рангу 2 і всі максимальні підгрупи ришу 2 нормальні у групі. Такі ірупи коротко названі, ¿^/-групами і а3ір-групами у випадку /»-груп. Доведено ( теорема

1.11), що ірупа буде ЇЇ -групою, якщо в ній рівняння х? ~ 1 має більше ніж рх роїп'ячкіп. Якщо в ау,-групі рівняння х? — І має не більшер2 розв'язків і вона с розширенням квазіциклічної групи, то р ~ 2 ( лема 1.9 ). У теоремі 1.12 дано повний опис нескінченних агір-груп, які е розширеннями квазіциклічних груп і мають 3 інволюції, а в і соромі 1.13 аналогічна задача розв'язана для нескінченних я2ір-груп, у яких рівняння у? = 1 має рг розв'язків і група не міетигь нормальної квазіциклічної підгрупи.

Теорема 1.12. Нехай агір-група й є розширенням квазіциклічної підгрупи Р і мас лише і інволюції. Тоді в - група одного з Овох типів:

1)0 = Рф), | Ь | = 2". п> 2, І)1* еР, Ь~'аЬ = а*1 для кожного елемента а є Р:

2) О = Р х де Р - квазіцикпінна група, ¡3 * група ква-терніонів.

Теорема 1.13. Якщо в нескінченній а^-грут О рівняння

хр - 1 мас ¡і1 роїв’мзків і (і не містить нормальної ква.пцимічної під-

- /£-

групи, то р ■* 3 і tí - Аф), 'де А - прямий добуток двох квазіцикііч-них 3-груп, І b І = 9. Ь3 є А і підгрупа А породжується елементами комутарної сходини елемента Ь.

Теорема 1.14 містить необхідні і достатні умови, при виконанні яких нескінченна /7-група належить до класу я^-груп і не належить до класу НА-груп. Існує лише 2 типи таких груп. Один з них складають 2-групи типу 1) теореми 1.12, а другий - 3-група теореми 1.13. Таким чином, у класі Нескінченних р-груп при р > З кожна ад^-група є НА -грурою.

Останній §5 розділу І є логічним продовженням попереднього §4. Проте результати нього параграфа мають самостійне значення в теорії нескінченний р-груп. В ньому описані нескінченні неабелеві локально скінченні /»-групи (р > 2 ), а яких рівняння X? = 1 має точно /^розв'язків ( теорейа 1.15 ) та нескінченні неабелеві 2-групи з трьома інволюціями ( теореми 1.16- 1.17).

Теорема 1.15. При непарному р єдиною нескінченною неабелевою локально скітенною р-групою, в якій рівняти з? - 1 має точно р* розв'язків, е 3-група G - Аф), де А - прямий добуток двох кеазіциклічних 3-груп. І b | *= 9/ Ь3 є А і підгрупа А пороожується елементами комутаторної сходини елемента Ь.

Теорема 1.16. Неабелева 2-група G з нескінченним центром тоді і тільки тоді містить точно 3 інволюції, кили < і = /’ х Q, де Р - квазіцикіічна 2-група, Q - скінченна або нескінченнії ква-терніонна 2-група.

Тсорема 1.17. Єдиною нескінченною l-групою з трьома інволюціями. яка ие містиш, норлі&іьної к&иіциіиіічної підгрупи, є

група G - А(І:і) де А ~ поший Зпвушак двох: хвазіциллічних 2-груп.

' . ■ ‘ - 16 '

| 6 | = 8. Ь2 £Л. Ь* є Л і підгрупа А породжується елементами комутаторної сходини елемента Ь.

Ліацо неабелева 2-група Б з трьома інволюціями мас скінченний центр і містить нормальну квазіииклічну підгрупу Р, то Є містить підгрупу індекса 2, яка є прямим добутком підгрупи Р і локально циклічної групи або кватерніонної групи.

Отже, нескінченна локально скінченна р-гругіа, в якій рівняння ^ - 1 має точно р2 розв'язків, абелева при р> 3.

При вивченні гр>*і з умовою нормальності для підгруп певної визначальної системи підгруп майже завжди ведучу роль у властивостях таких груп відіграє деяка нормальна /»-підгрупа, або деяка множина нормальних р-підгруп, а в більш загальних випадках - деяка множина нормальній /«/-підгруп. Тому природно ви-никар. чаляча нинчрння будови груп з тією чи іншою системою нормальних /»¿/-підгруп для деякого простого числа р. Вивченню таких груп і присвячений розділ II "Групи з деякими системами нормальних /»¿/-підгруп".

ІІерш ла все треба дослідити будову і властивості неабеле-внх р<1-груп, у яких нормальні всі /»¿-підгрупи для деякого простою числа р є д(О). Такі групи названі /»¿/-групами і описані в теоремах 2.1 і 2.2 і §1 розділу II.

І еорема 2.1. Періодична недедекіпдова група О тоді і тільки тоаі буде ¡кіі-групою, коли її можна подати нетривіальним напіяпримим добутком О = {а) Л Д де {а) - силовська р-підгрупа групи С> порядку р £ 2. О - дсдекіпдова періодична група.

Теорема 2.2. Неперіодична неабелева група О тоді і тіїьки ігоді буде ргії-групою. коли вона має комутант порядку р,

який є єаюю'о підгрупою порядіп' р гргті О,

' - '

Тут же вивчаються неабелеві групи, кожна з яких містить нециклічну /»¿-підгрупу для деякого простого числа р і всі таю підгрупи нормальні у групі ( рШ-групи ).

Основною для локально скінченних рШ-груп с теорема 2.5, в якій описані групи, що не мають нормальної силовської /^-підгрупи.

Теорема 2.5. Локально скінченна група С, яка містить ненормальну циклічну силовську р-підгрупу тоді і тільки тоді є рШ -групою, що не належить до класу Н -груп, коли вона с групою одного з двох типів:

^ 1)6= А(х), де {х) з Сір, Ся ~ скінченна силовська немета-

циклічна ц-піогрупа, яка є розширенням циклічної підгрупи N^[0^ за допомогою елементарної абеяевої групи і кожний неодиничний р-елемент фактор-групи П - О / Лг^(р^ діє незвідно на Оч;

2) й = Л (а), де (х) :э Ср, - елементарна абелева силовська ^'¡-шоі'.рупа порядку с/2. ІУ^Ор) - (х). кожний неодиничний р-елемент групи О діє незвідно на в, і О містить ненормальну неабе-леау підгрупу з циклічними силоаськими підгрупами.

Зіставляючи одержані у цьому параграфі результати, приходимо до таких висновків :

1) для нескінченних локально скінченних ненільпотентних /¿-груп і неперіодичних локально розв'язних р<і-груп умова нормальності всіх нециклічних ^¿-підіруїі забезпечує нормальність всіх /’¿-нідіруи;

2) для періодичних локально нільпотенгних рсі-і руи умова нормальності всіх нециклічних /»¿-підгруп забезпечує нормальність всіх нециклічних підгруп.

-п-

У §2-3 розділу II вивчаються неабелеві роГ-групи, в яких множина розкладних /»¿-підгруп непорожня і складається лише з нормальних підгруп (¿/^-групи ). Властивості <Ир-груп суттєво за-лежаїь від наявності у групі яепримарних циклічних /«/-підгруп. Іокрема. якщо центр періодичної сіір-групи містить неодиничні /і-елемеїпи, то вона належатиме класу ¿/-груп (лемма 2.12 ). Якщо Ж центр періодичної ¿/р-групи не містить неодиничних р-елементів, але група містить непримарну циклічну ./»¿-підгрупу, то вона є циклічним розширенням групи, всі підгрупи якої нормальні в усій групі ( теорема 2.!!). Якщо всі циклічні p¿-підгрупи періодичної не локально нільпотентної ¿/¿-групи примарні, тЬ вона е групою Фробеніуса, будова якої повністю описана у теоремі 2.9. Цей тип сИр-груп на відміну від ¿/-груп містить і нерозв'язні групі!. Кожна нерозв’язна ¿ір-група скінченна і’е групою Фробеніуса, ядро якої -мінімальна нормальна елементарна абелева підгрупа порядку рг. Існування таких ¿^,-груп підтверджено прикладом 2.6.

У теоремі 2.10 подано повний опис неперіодичних ¿г^-груп. При ньому виділено 6 типів таких груп і лише один з них - це групи, п яких нормальні всі /»¿-підгрупи. Доведення теореми 2.10 )

складається з доведень лем 2ЛЗ—2.22 і є основним при вивченні (Іір-груп. З цієї теореми випливає, що у класі неперіодичних неабе-левих груп з елементарного абелевою підгрупою порядку р Ф 4 з умови нормальності розкладних /»¿-груп випливає нормальність усіх нескінченних абелевих підгруп групи.

V’ §4 розділу II вивчаються неабелеві групи, в яких множина абелевих нениклічних /»¿-підгруп для деякого простого числа р непорожня і складається лише з нормальних підгруп ( /к//М-групи ). Опис рсІНА-груп складають теореми 2.11—2.14. Й них теоремах, зокрема, вказані умови, при яких рсІНА-група ис

-

належить ні до класу груп, у яких нормальні всі абелеві нециклічні підгрупи, ні до класу груп, у яких .нормальні всі pd-підгрупи. Основною у цьому параграфі е характеристика неперіодичних pdHA-груп, які розподілені на 7 типів (теорема 2.14 ), причому один з них складають групи, всі /^-підгрупи яких нормальні, а другий - групи, в яких нормальні всі абелеві нециклічні підгрупи, а решту типів складають неперіодичні pdHA -групи, які містять або ненормальну /¿-підгрупу, або ненормальну абелеву нециклічну підгрупу.

Теорема 2.14. Неперіодична неабепева група G, яка місгїшть абелеву нециклічну pd-nidzpyny, тоді і тільки буде pdHA -групою, коли вона є групою одного з наступних типів:

1) G - неперіодична pdl-epyna;

2) р = 2 і G =_ C(by, де С — неперіодична абелева група, І b І ="4 і b'lcb = с'1 для кожного елемента с є С, Ь2 - єдина інволюція групи G;

3)р ■* 2 / G = де С - неперіодична група, всі 2d-nidzpynu

якої нормальні в G, | Ь | = 8, (Ь2) - силовська 2-підгрупа групи С і у фактор-групі G — G/(b*) b'hrF = ?_l для кожного елемента с eü; -

4)p 2 i G = (a) x C\{b), de | a | = | Gp | = p. С, - абелева неперіодична група, б4 - 1, b~lcb = с'1 для кожного елемента с е Cj / при | 6 | = 2 група Ct не має інволюцій, а при | Ь | ** 4 інволюція b2 єдина в G;

5)р f2 і G = C(b), de \ Gp\ ~ p, С - неабелева неперіодична pdl-zpyna, b4 *= 1, b"*cF = ?'1 для кожного елемента с €¿7 y фактор-групі ü -G/Gp. Якщо | b | = 2, то С не містить інволюцій, а якщо І b І = 4, то Ь1 - єдина інволюція в G. Ііри цьому С містить

-ло- '

будь-яку абелеву нециклічну підгрупу групи О і кожна р<1-підгрупа з С ' нормальна в в:

б) р / 2 і О — С(Ь), де С - абелева неперіодична рй-підгрупа, Ь* ** І і Ь~1сЬ = с"1 для кожного елемента с е С;

1)рФ2, О = {а) Л Сі(Ь), де | я І = | Ор | = /, Сі - неперіодична абелева група, (а) Л С\(4) - рсІІ-група, яка с централізатором будь-якої нескінченної циклічної нормальної підгрупи групи О, —\, п'¿І

і Ь2 є Сі. При цьому будь-яка абелева нециклічна рсі-підгрупа групи О міститься в Со( а, х ), Зс | * | •• оо і (х) < О / кожна р<і-підгрупа з Сд{а, х) нормальна в О. ' ■ . '

Нескінченні неаб елеві групи, в шейх нормальні всі нескінченні /¿-підгрупи для деякого простого числа р при умові існування таких підгруп у групі (ШіҐр-групи), досліджуються у §5 розділу

II. У теоремі 2.15 вказані необхідні і достатні умови належності до класу /Л7/?-іруп нескінченної неабелевої локально скінченної групи з нормальною силовською /-підгрупою. За цією теоремою крім нескінченних гамільтонових реї-груп, /¿/-груп та /МГ-груп

С.М.Чернікова до названого класу груп включаються такох «групи. що є розширеннями силовської /-підгрупи Порядку рф 2 за допомогою негамільтонової локально скінченної,ІЛ7/-групи.

Теорема 2.15. Нескінченна локально скінченна рй-група

О, силовська р-підгрупа Орякої нормальна в С, тоді і тільки тоді є ШНр-групою, коли вона одного з типів:

1) нескінченна гамільтонова р<і-група;

2) негамільтонова локально скінченна ШН-група, силовська р-підгрупа якої неодинична і нормальна у групі;

3) нескінченна періодична недедекіндова рсО-група;

-лі-

4) група О, у якої силовська р-підгрупа Ор має порядок рї 2 1 нормальна в й, а фактор-група й / - негамільтопова локально

скінченна ШН-група.

У теоремі 2.16 описані періодичні локально розв'язні /ЛТ/^-групи із скінченною і ненормальною силовською /»-підгрупою. Якщо гака група не належить класу ШН-груп, то вона є розширенням прямого добуїку скінченного числа п > 1 квазіциклічних <7-груп ( цФр ) за допомогою скінченної абеяеної /«/-підгрупи або скінченної/*//-іруии.

Теорема 2.1 Ь. Нескінченна періодична локально розв'язна група О, яка містить скінченну ненормальну силовську р-підгрупу Ор, тоді і тільки тоді є Ш1Гр-групою, коли вона одного з типів :

1) негамільтопова локально скінченна ШІІ-група О, силовська

р-підгрупа Єр якої скінченна і /і в;

2) група в, яка є розширенням прямого добутку 0 скінченного числа п > 1 квазіциклічних (¡-груп ( # ^р) за допомогою скінченної абелевоїрсі-групи або скінченноїрШ-групи. При цьому Q - мінімальна повна нескінченна х-допустима підгрупа для будь-якого неодиничного елемента х є <Зр і підгрупа Ор циклічна.

Нарешті, теорема 2.17 стверджує, що для неперіодичних локально розв’язних рй-груп умова нормальності нескінченних /»¿-підгруп рівносильна умові нормальності всіх /»¿-підгруп.

Теорема 2,17. Неперіодична локально розв'язна ІШр-груПа (ї є рсіі-групою.

У §6 розділу II вивчаються нескінченні нсабелеці групи, в

яких нормальні всі нескінченні абелеві /«/-підгрупи для деякого

простого числа р при умові існування таких підгруп у групі ~ЛА-

(Шр-групи). Теорема 2.18 дає необхідні і достатні умови належ-'пості періодичної групи до теоретико-множинної різниці класу 7Яр-груп і класу ///-груп. Зокрема такі 1НР-групи є циклічними розширеннями абелевих груп або ///-груп, що задовольняють пепні умови, які сформульовані в теоремі 2.18.

Теорема 2.18. Неабепева періодична група п, яка містить нескінченну абелеву pd-nidzpyny, тоді і тільки тоді є ІІГр-групсю, що не належить класу Ш-груп, коли еона містить таку істинну нормальну підгрупу С, яка задовольняє наступні вимоги:

\) С - абелева група, або Ш-група; \

2) С = Сс(а), де І а | =р і {а) 4 G;

3) С містить кожну нескінченну абелеву pd-nidzpyny групи О;

4) кожна нескінченна абелева підгрупа з С нормальна в G;

5) група О має нескінченну абелеву р'-підгрупу, яка не

міститься в С. ■

Як і в §4 тут тек головним є дослідження будови неперіодичних ///p-груп. У теоремі 2.19 подано повний опис неперіодичний ///,-грул шляхом виділення 7 топів груп, з якил лише 2 типи І

стслядаготь раніше вивчені III-групи таpdJ-групп.

Розділ III "Групи з обмеженнями на кормалізптерп деяких систем підгруп" присв ячений дослідженню груп із заданими властивостями нормапізаторів деяких систем підгруп.

У §1 цього розділу вивчаються нескінченні групи з нормалізаторною умовою для нециклічних підгруп. У теоремі 3.1 доведено, що для нескінченних локально скінченних груп нормалізаторна умова для нецшигічних підгруп рівносильна нормалізаторніЙ умові для всіх підгруп. Клас неперіодичних ло-ь-зльио розв'язних груп з нормалізаторною умовою для нецикліч-иид підгруп розширює клас N-rpyn.

-Л.З-

Теорема 3.2. Неперіодична локально розв'язна група G тоді і тільки тоді задовольняє нормалізаторну умову оля нецикліч-нил підгруп і не належить до класу N-груп, коли G =■ А Л (х), де А -скінченна елементарна абелева р-група, (х) - нескінченна циклічна група, центр £(G) * (х*) для деякого натурального числа k> І і кожний иеценіпральтй елемент підгрупи (х) індукує на підгрупі А незгідний автоморфізм.

Таким чином, кожна локально розв'язна група без скруту з нормалізаторною умовою для нсциклічних підгруп е /V-групою.

У §2 розділу Ш вивчаються групи з нормалізаторною умо-воюГдля /»¿-підгруп (pdN-t-pyim ) дім деякого простого числа р з множини простих дільників порядків елементів ірупи. Доведено (лема 3.6 ), що періодичнаpciN-ipyuü локально скінченна.

Теорема 3.3 стверджує, що локально нільнотешна pdN-іру-па є jV-групою. У класі періодичних pciN-ipyn приріст класу iV-rpyn описаний в теоремі 3.4.

Теорема, 3.4. Періодична група G тоді і тільки тоді є pdN-групою, яка не належить класу N-груп, коли ії можна подати напіепрямим добуткам G » Gf А Я, де G, - скінченна елементарніі абелева силовська р-підгрупа, Н е N-групою і фактор-група G/Сц(Ор] ізоморфна групі Фробеніуса G(p, т) для деякого натурального числі т.

' Група G( р, т ) - це група Фробеніуса виду А А (Ь), де А -елементарна абелева р-група, bm — 1 і кожний неодиничний елемент підгрупи (Ь) індукує на підгрупі А незвідний автоморфізм.

Періодична частина неперіодичної /«¿/Y-групи завжди е підгрупою і н будова суттєво впливає на властивості і будову всієї групи (теореми 3.5—3.9 ). Зауважимо, що в неперіодичних групах

-Z4-

властивість "кожна ^-підгрупа відмінна від свого нормалізатора" •не переноситься па pd-фагсгор-групіг ( приклад і. 1 ).

У §3 розділу III вивчаються нескінченні групи, нециклічна норма яких має скінченний індекс. Нециклічна норма розглядається лише в нециклічних групах і с перетином нормалізагорів усі* нециклічних підгруп групи. Клас груп з пециклічноіо нормою скінченного індексу роїтиркк клас груп, у яких нормальні псі не-ішклічні підгрупи. Доведено ( теорема 3.10 ), ідо нескінченна група є скінченним розширенням центру, якщо ЇЇ нециклічна Норма локально ступінчата і має скінченний індекс у групі. Відповідь на питання про будову самої иециклічної норми в таких групах дано в теоремах J.I3—3.14. Тут доведено, що в неабслевих групах э названими пише обмеженнями нециклічна норма дедекіндояа, якщо вона не збігається з усією групою. Приклад 3.5 показує, що В періодичному випадку нециклічна норма може бути гамільтоно-вою групою. .

Пр икдад 3.5. G = S Y D н С, de S - група кеатерніонів, D - група dieôpa порядку 8, S y D - склеювання S і D по підгрупі центру поряоку 2. С - нескінченна періодична абелева група без елементів порядку 4. '

У иій групі No - Sx.С - гамільтонова група. Справді, оскільки |G'|=2 і комутант G' міститься п кожній циклічній підгрупі порядку 4к, де k - непарне натуральне число, то в G нормальні всі неабелеві підгрупи, всі циклічні підгрупи порядку 4k, всі 2'-підгрупи.. Крім того підгрупа S міститься у нейтралізаторі будь-якої іиволюиії. Неценіральні інволюції підгрупи D Не містяться ій Ng. Огле. yVo = S х С.

-Л S-

Основні положення дисертації опубліковані в наступних роботах: •

1.Лилшн Ф.М. Групи, всі розкладні підгрупи яких інваріанті II Укр. мат. журн. - 1970. - 22, Ко 6. - С. 725-733.

2. Лиман Ф.Н. Об одном классе бесконечных р-груші // Исследование групп по заданным свойствам подгрупп. ■ Киев: Ин-т математики АН УССР. 1974. - С. 250-259.

■ 2

Лиман Ф.П. бесконечные р-группы, содержащие точно \> решений уравнения ^**=1 И Матем. заметай. - 1976. - 20, № 1.-С. 11-18. А. Лиман Ф.Н. О бесконечных группах с нормализаторньш условием для нециклических подгрупп // Группы, определяемые свойствами системы подгрупп. - Киев: Ин-т математики АН УССР, 1979. - С.9&-105.

5. Лиман Ф.ІІ., Делечгико Т.Г. Группы с инвариантными максимальными абелевыми подіруппами ранга 1 непростых порядков // Подгрупповая характеризация групп. - Киев: Ин-г математики АН УССР, 1982.-С. 85-92. .

6. Лиман Ф.Н. Периодические группы с н о р мал из а ю р н ы м условием для ¿«йіодгрупи // Матем. аамеїки.- 1983 - 34, № З.-С.ЗЗЗ-ЗЗб.

7. Лиман Ф.Н. Группы с некоторыми системами инвариантных

р4-подгрупп // Группы и системы их подгрупп. - Киев: Ин-і маїе-латики АН УССР, 1983. - С. 100-118. . ,

8.Лиман Ф.Н. О группах с нормализаторньш условием длярсі-подгрупп II X Всесоюз. симпозиум по теории групп: Тез. сооощ. -Минск. 1986.-С.| 40.

9. Лиман Ф.Н. О периодических группах, все разложимые р^-подгруппы которых нормальны II Укр. мат. журн. • 1988. -■ 40, МЬ 1. - С.58-61.

-Л6-

10. Лиман Ф.Н. Непериодические группы, все разложимые рФ

подгруппы которых нормальны II Укр. мат. журн.- 1988,- 40, .Yff3.-C.330-.335. .

11. Лиман Ф.Н. О бесконечных группах, все бесконечные рй-

нодгрунпы которых нормальны // Изв. вузов. Математика. -1990 - Ко 3 - С.75-78. .

М. Лиман Ф.Н. О группах, все абелепы нециклические рА-подгрунлы которых нормальны // Укр. мат. журн. - 1991. - 43, .Ко 7-8. - С.974-980.

13. Лиман Ф.Н. О группах, псе бесконечные абелевы ¿»¿-подгруппы которых нормальны //У1ф. мат. журн.- 1992.- 44;№6,- С.796-800. 14 Лиман Ф.Н. О бесконечных группах, нециклическая норма которых имеет конечный индекс IIIII Междунар. конф. По алгебре /Памяти М.И.Каргаполова/: Тез. докл.- Красноярск, I993.-C.207.

Лиман Ф.Н.

Группы с Заданными системами нормативных подгруп ц с ограничениями на нормализаторы некоторых систем подгруп

Диссертация на соискание ученой степени док-юра фи шко-MuICMüUHcckhx наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чИйбй, Киевский университет имени Тараса Шевченко, Киев, 1996.

В работе описаны 9 классов групп, близких к.гамильтона-Шы, в которых соответственно нормальны все подгруппы следующих систем подтупп : 1) разложимых в прямое произведение двух нетривиальных множителей; 2) максимальных абелевых подгрупп ранга 1 непростых порядков; 3) максимальных абелевых подгрупп ранга 2; 4)¿»¿-подгрупп для некоторого простого числа р е n(G); 5) нециклических pd-подгрупп; 6) разложимых од-групп; 7) абелевых нециклических pdf-подгрупн; 8) бесконечных pef-подгрупп; 9) бесконечных абедеаихptf-подтупп.

Изучаются также бесконечные группы с нормализаторньш Условием для нециклических подгрупп и группы с нормалта-Тарным условием дляpd-ttourpynn. Описано строение бесконечной Группы И ее НеНИКЛИЧеской нормы в случае, когда она локально ступенчатая и имеем конечный индекс в t руппе. Классифицирований бесКонгинЫе p-tpynnu Черникова, и которых уравнение х? — 1

tmeetp4 paitemta.

Liman fc.N.

Gtolips with the ■given systems »f formal subgroups and to with restriction timmalizeis of some systems of subqroupz

Dissertation for the Doctor Degree oi Physical ami Mathemuli-cal sciences in speciality ¡ .tífí - algebra and munix-r theory. Kiev University naintd alterTárasSlieYchenko. Kiev. 1996.

-zf ■

In the dissertatatio'n there are described 9 classeq of groups similar to hamiltonian in which respectively all subgroups of such systems of subgroups are normal : 1) decomposable to direct product of two nontrivial factors: 2) maximum abelian subgroups of the rank і of nonprime orders; 3) maximum abelian subgroups of the rank 2;

4) prf-subgroups for some prime number p є n(G); 5) non-cycllc /«/-subgroups; 6) decomposable /«/-subgroups; 7) abelian, non-cyclic /»/-subgroups; 8) infinite prf-subgroups; 9) infinite abelian pd-subgroups.

Vho infinite groups with normalizing condition on non-cyclic groups, groups with normalizing on /«/-subgroups ?re studied. The structure of the infinite group and it non-cyclic norm when it is locally graded and has finite index in the group are described. There are classified the infinite Cernicov p-groups In which the equation xf = 1 has pi solutions.

Ключові слова : дедекіїГдопа група, система

нормальних підгруп, нормалізаі-ор, нормалізаторна умова, ранг групи./кУ-підгрупа розкпадна підгрупа, непишіічна норма.

Підп. до друку 30.0-1.96, Формат 60x84/16, Папір друге» Офс* Ум. друк, арх# 1,86, Ум• фарбо-відб* 1,86. Обл.-вид* арк, 1і6* Тираж 100 пр. Зам. 2414. Безкоштовно,

Віддруковано в Сумській обласній друкарні.

Суми, Кірова, 215.