Характеры представлений квантовой тороидальной алгебры gl1 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Мутафян Георгий Семенович

Характеры представлений квантовой тороидальной алгебры

01.01.06 - Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

о 4 СЕН т

Москва - 2014

005552166

Работа выполнена на факультете математики Национального исследовательского университета «Высшая школа экономики».

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Борис Львович Фейгин Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Института теоретической физики им. Л.Д.Ландау Ярослав Петрович Пугай доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Института теоретической и экспериментальной физики

Юрий Александрович Неретин Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова РАН

Защита состоится 28 октября 2014 г. в 16:00 на заседании диссертационного совета Д002.077.03 при Институте проблем передачи информации им. А.А.Харкевича РАН, расположенном по адресу: 127994, г.Москва, ГСП-4, Большой Каретный переулок, 19, стр.1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института проблем передачи информации им. А.А.Харкевича РАН.

Автореферат разослан « _ 2014 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук

А. Н. Соболевский

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. 1У-алгебры активно изучаются в последние десятилетия в связи с их широким применением во многих физических и геометрических вопросах. Возникли они изначально как попытки построить достаточно широкий класс примеров конформных теорий поля. На современном языке большая часть структуры конформных теорий поля задаётся т.н. вертекс-операторной алгеброй, т.е. алгеброй, снабжённой операторным произведением, и Ж-алгебры, будучи частным случаем вертекс-операторных алгебр, позволяют такие теории строить.

Первоначально Ж-алгебры возникли как результат редукции аффиной алгебры Ли по подалгебре нильпотеатных токов. Большинство известных на сегодняшний день И^-алгебр построены именно так. Самый изученный случай — ТУ-алгебры, ассоциированные с д(п или з1п ([1], [2], [3]).

Квантовая тороидальная алгебра 0[ь характеры которой вычисляются в настоящей работе, может рассматриваться как деформация таких Ж-алгебр. Классификация представлений алгебры д^ является очень сложной задачей. В 2011 г. Б.Л. Фейгину с соавторами в работе [4] удалось выделить класс представлений (названных представлениями Мак-Магона), которые можно явно описать в терминах комбинаторных объектов, известных как плоские разбиения. По сути конструкция этих представлений напоминает реализацию представлений алгебры д(п в терминах базиса Гельфанда-Цетлина. В дальнейшем [5] эта конструкция была обобщена на алгебру д[п и её представления. Возникла естественная задача - вычислить характеры этих представлений как производящие функции соответствующих плоских разбиений. Отметим, что вычисление характеров является первым и важным шагом в изучении представлений в конформной теории поля. Знание характеров позволяет сравнивать конформные теории с теориями, построенными другими способами (скажем, с решётчатыми теориями), поскольку через характер в них выражаются статистические суммы.

Также отметим, что для ТУ-алгебр характер их модуля Верма (получающегося редукцией из модулей Верма для алгебры токов) равен где <3ос = 11^1(1— <7')> и поэтому можно предположить, что искомые характеры будут выражаться в виде ¡д9у,, т.е. в виде разложения по базису из характеров модулей Верма (иначе говоря будут иметь вид, аналогичный формуле Вейля). В диссертации вычисляются характеры некоторых построенных представлений алгебры и тем самым доказывается, что такие формулы действительно имеют место.

Степень разработанности темы исследования. Интерес к квантовым тороидальным алгебрам возрос, когда выяснилось, что они возникают в геометрических вопросах, а также в топологической теории поля. Ввиду этого они активно изучаются последние примерно 10 лет.

В работе [6] алгебра реализована как эллиптическая алгебра Холла. В этой работе она появляется геометрически как алгебра, построенная по категории когерентных пучков эллиптической кривой.

В работе [7] изучается действие алгебры на пространстве когерентных когомологий пучков на А2.

В работе [8] доказано, что квантовые тороидальные алгебры изоморфны двойным БЬиЯе-алгебрам Фейгина-Одесского, что позволило в дальнейшем доказать гипотезу Кузнецова о К-теории.

В работах Накаджимы [9,10] по колчанным многообразиям было показано, что на когомологиях К-теории таких многообразий действуют обёртывающие алгебры разнообразных квантовых групп. В частности многообразия инстанто-нов в топологической теории Янга-Миллса - это частный случай колчанных многообразий, и на их эквивариантных К-теориях действуют квантовые тороидальные алгебры. Поэтому теория представлений тороидальных алгебр нашла свои применения в теории поля и геометрии. С другой стороны геометрия истан-тонных многообразий позволяет понять многое о представлениях. В частности оказывается, что в некоторых представлениях имеются естественные базисы, в которых действия образующих тороидальных алгебр даются явными матрица-

ми. Базисные вектора с геометрической точки зрения - это неподвижные точки действия тора на инстантонных многообразиях. (См. [И], [12], [13], [14]).

Цели и задачи диссертационной работы: Цель работы - вычислить характеры некоторых представлений алгебры д^ как производящие функции плоских разбиений. Описание самих представлений можно найти в главе 1. Здесь мы приведём сразу комбинаторную формулировку задачи в том виде, как она решается в диссертации.

Будем обозначать 21 множество наборов из п нестрого убывающих целых чисел. Т.е если к £ 2™, то к = (кг,... ,кп), к\ > к^ > • ■ ■ > кп, к{ £ Ъ. Подмножество множества 2", состоящее из наборов неотрицательных чисел, будем обозначать

Определение 1. Обобщённым плоским разбиением с граничным условием, к = (к\,..., кп) е называется набор целых неотрицательных чисел Ог^-, г, ] € К, удовлетворяющих условиям:

1. > 0 : а^ > а^+г, а^ > а,+и,

2. а^ > ^ при з > 0, 1 < г < п,

3. |а| < оо,

где величина |а|, называемая весом разбиения, определяется следующим образом:

и = а)

3> 0 \!>1! г=1 /

При заданных целых т, п > 0 и заданном к 6 ^ обозначим множество всех плоских разбиений с граничным условием к и дополнительным условием

ап+1,т+1 = 0- (2)

Множество 21^"*' индексирует базис некоторых представлений алгебры д[: (соответствющих резонансному случаю, см. п. 1.3 диссертации), и характер та-

ких представлений может быть записан как производящая функция

Л) = Е 91"1- (3)

а6<т)

Вычисление этой производящей функции и является целью диссертации. Положения, выносимые на защиту.

Перечислим основные научные положения и результаты диссертации. 1. Получена формула характера для случая к = (0,0,..., 0) (без потери

Т1

общности подразумевается п > тп):

х]Г ц (х-,™-) П и-?™-')

к £2™, \ 1<г <]<т 1 <1<]<п }

(4)

ос

где мы считаем к^ = 0, если ] > т, <5оо = П(1 — Я1)-

1 = 1

2. Получена формула характера для случая произвольного к и п = т:

-£(¿-1)*. /„ /+00 \ Л) = хад?) = ^г Е В8п(в) п Ес-1^^^^

Яб6„ 4.7=1 \г=0 /

(5)

Здесь вп - симметрическая группа.

3. Получена формула характера для произвольных к, п, т:

= ¡^1мт Е 8бп(в)б(к)(?) (6)

где $ - оператор И1 —> Ъп, определённый следующим образом: Уи = (1/ь ...,и„)€ Ъп : (5(1/)),; = 1/,(0 - в(г) + г,

и VI/ = (1/1,...,ип)е Ъп\

¿=1 \?>о

4. Алгоритм сформулирован в виде, отличном от традиционно применяемого в комбинаторике. В новой формулировке алгоритм напрямую применяется к плоским разбиениям и позволяет явно отслеживать изменение плоского разбиения при пошаговом преобразовании в М-матрицу.

5. Предложен подход к вычислению производящих функций, основанный на частичном преобразовании плоского разбиения: в отличие от традиционного алгоритма В£К, последнее приводится не к нулю, а к паре (плоское разбиение, Л^-матрица), что позволяет разложить искомую производящую функцию в произведение двух других производящих функций (формула (9)), одна из которых является хорошо известной, а другая может быть найдена методами теории представлений.

Отдельно следует прокомментировать три формулы для производящих функций (4), (5), (6). При подстановке к = (0,... ,0) в формулу (6) получается выражение, отличное от (4), хотя обе формулы задают производящие функции одного и того же множества. Точно так же при подстановке т = пв формулу (6) получается выражение, отличное от (о). По-видимому, совпадение этих формул, которое можно проверить прямым раскрытием скобок, является нетривиальным комбинаторным фактом даже при малых значениях индексов. Автору неизвестно прямое арифметическое доказательство этого факта. Научная новизна.

• Формула (4) была высказана в [4] в качестве гипотезы, однако её доказательство не было известно. Оно было получено в работе [15] сочетанием комбинаторно-алгебраических методов.

т + Ь- 1 т — 1

• Формула (5) впервые в явном виде получена в работе [16], хотя идеи её получения и доказательства излагались в той же работе [4]. В этом случае (при т = п) искомая производящая функция может быть вычислена только методами теории представлений, без вмешательства комбинаторики.

• Формула (6) впервые получена и доказана в работе [16]. В доказательстве используется обобщение комбинаторного подхода, применявшегося при доказательстве (4), и методов теории представлений, применявшихся при доказательстве (5).

Теоретическая значимость. Полученные в диссертации результаты имеют теоретическое значение. Они могут найти применение в теории представлений, топологической теории поля и в геометрии пространств модулей.

Методология и методы исследования. В диссертации используются методы перечислительной комбинаторики (алгоритм ЯБК) и теории представлений (представления алгебры 0[то и д[п, двойственность Хау и др.)

Для получения формулы (5) достаточно методов теории представлений: искомая производящая функция выражается как характер некоторого представления алгебры д!^,, затем с помощью двойственности Хау это представление выражается как пространство старших векторов веса к некоторого представления алгебры д[п, затем используется формула, выражающая кратность вхождения старшего вектора веса к как знакопеременную сумму коэффициентов характера.

Для доказательства формул (4) и (6) был разработан комбинаторно-алгебраический подход (методов только теории представлений оказалось недостаточно).

Вначале с помощью комбинаторного алгоритма ИБК доказывается вспомогательная формула (9), сводящая вычисление требуемой производящей функции к вычислению другой производящей функции (д). Затем функция д^^д)

выражается как характер представления алгебры gl^ в неглавной градуировке и вычисляется методами теории представлений.

Отдельно следует сказать о попытках решения задачи чисто комбинаторными методами. При взгляде на формулу (4) видно, что комбинаторно она представляет собой формулу включений-исключений. Явное комбинаторное доказательство этой формулы позволило бы яснее понять структуру представлений алгебры Попытки найти такое доказательство предпринимались и нужную формулу удалось получить для частого случая представления Л/^'д д. Поскольку результат является слишком частным, он не был опубликован. Однако применявшиеся там рассуждения представляют интерес и оставляют надежду на возможность обобщения для т > 1, поэтому они приведены в приложении. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались:

• на семинаре русско-янонской школы по математике, Киото, 2011 г.;

• на семинаре факультета математики НИУ ВШЭ, Москва, 2013 г.;

• на семинаре «Интегрируемые структуры в статистических и полевых моделях» ИППИ РАН (руководители семинара: д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН A.A. Белавин, д.ф.-м.н. А.Б. Замолодчиков), 2014 г.;

• на международной конференции «Комбинаторика пространств модулей, кластерные алгебры и топологическая рекурсия», Москва, 2014 г.

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 2 печатных работах в рецензируемых журналах, рекомендованных ВАК: [15, 16].

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают личный вклад автора в опубликованные работы. Подготовка результатов к публикации производилась совместно с научным руководителем Б.Л.Фейгиным, причем вклад диссертанта был определяющим.

Содержание работы

Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка обозначений, библиографии и двух приложений. Общий объем диссертации 79 страниц, из них 66 страниц текста, включая 14 рисунков. Библиография включает 27 наименований на 2 страницах.

Во Введении обоснована актуальность диссертационной работы, сформулирована задача и аргументирована научная новизна исследований, показана теоретическая значимость полученных результатов, представлены выносимые на защиту результаты.

Глава 1 является продолжением введения. Она содержит краткий исторический обзор, точное определение алгебры и подробное описание представлений Мак-Магона, построенных в [4]. Показано, каким образом образующие алгебры действуют в базисе плоских разбиений, каким значениям параметров соответствуют резонансные случаи.

В главе 2 излагается вся комбинаторная часть доказательства.

Определение 2. М-матрицей веса N (или для краткости просто матрицей веса И) будем называть набор целых неотрицательных чисел г,у =

1,2,3..., такой, что ^ (г + у — 1 = N. Так оке, как для разбиений, вес

матрицы будем обозначать |Ь|, т.е. |6| = ^ + 3 ~ Матрицу, все

элементы которой равны 0, будем обозначать 0.

т.е. удовлетворяющих условию Ь,^ = 0 при ] > т. Производящая функция таких матриц может быть легко найдена:

ос

Множество 93('") определим как множество всех М-матриц «ширины» т,

где Мт = П(1 - д'-)т111(,:'т).

Для к € Z"| определим транспонированный набор к как набор чисел в! > • • • > > 0, где ц = ki, и число Sj показывает количество чисел в наборе к, не меньших г. К примеру если к = (5,3,2,2,0,0), то к = (4,4,2,1,1). Если к = (0,0,... ,0), то к = 0.

Множество определим как множество обобщённых плоских разбиений с граничным условием к и дополнительными условиями

Cj,i = Ciii+t, t = 1... m, С1д < п.

Обозначим производя1цую функцию таких разбиений:

Л) = Е ^ (8)

Основным результатом данной главы является доказательство теоремы: Теорема 1. Существует биекция

ip : <га) -> S(m) х 4m), такая, что если tp(a) = (Ъ, с), а 6 21<.т), Ъ € Q3(m), с G то |а| = \Ъ\ + |с|.

Следствием этой теоремы является соотношение

/¿га)ы = дГ^Ы- (9)

Доказательство теоремы 1 проводится прямым биективным методом с помощью алгоритма RSK. Традиционно [17] алгоритм RSK формулируется для пары обратных полустандартных таблиц Юнга, но такое описание неудобно для применения к плоским разбиениям. Для наших целей удобно переформулировать алгоритм непосредственно в терминах плоских разбиений (минуя промежуточный шаг — таблицы Юнга). В п. 2.1 мы осуществляем такую переформулировку алгоритма и перечисляем его основные свойства.

Затем в п. 2.2 с помощью описанного алгоритма мы строим явные отображения (р : <4т) 93 И х <4"° и ф : «В^ х 4"° которые взаимно обратны (и, следовательно, являются биекциями), и сохраняют вес, что доказывает теорему 1.

Глава 3 описывает основные необходимые факты из теории представлений алгебры д!^. В п. 3.1 для наглядности рассматривается конечномерный пример — представления алгебры д[п. Показывается, что при определённых значениях старшего веса соотвествующий базис индексируется плоскими разбиениями ограниченного размера.

В п. 3.2 рассматривается предел этой конструкции при п —> оо. Функция

(?) выражается как характер в неглавной градуировке некоторого представления алгебры дГ^.

Пусть к = {к\,..., кп) 6 Рассмотрим представление алгебры д!^ со старшим вектором V, на котором задано действие образующих

Еиу — Ецу = 0 при г < (10)

где

= в при < г < к3, э = 0,... ,п.

(Здесь мы считаем ко = +оо, кп+1 = —оо.)

Обозначим это представление Аналогично конечномерному случаю в таком представлении можно выделить базис, индексируемый плоскими разбиениями из множества С^0'.

Определим операторы

¡>0 ¿<0 ¿>0

(И)

Для произвольного плоского разбиения с € прямое вычисление показывает

£т\с) = I \с\ + т ^ ал + С I х,

V ¿>о / 10

где С = | 2 ks(k3 — 1). Осталось заметить, что кратная диагональ, присутствуем

ющая в определении множества и функции эквивалентна одинарной диагонали, взятой т раз, с поправочным слагаемым m|k| = m^li Таким образом, получаем следующее равенство, выражающее функцию как характер (в неглавной градуировке) на представлении:

<Ш = q-(-mWtv(Qm) о+. (12)

"к

В п. 3.3 описывается конструкция двойственности Хау для пары (gl^, g[„). Определим алгебру Ф как алгебру с образующими ф\а\ ф*\а\ г € Z, а = 1... п и соотношениями:

[4a\ = rfu = о- bpf\ rfu = (13)

Здесь [•, •]+ обозначает антикоммутатор, т.е. [а, Ь]+ = ab + Ьа.

Построим представление алгебры Ф. Выберем порождающий вектор v и положим

Г ipla)v = 0 г > 0,

J 1 ПЛЛ

= 0 г > 0,

а остальные элементы действуют свободно с учётом соотношений алгебры. Обозначим V = Фи.

Алгебра Ф содержит две коммутирующие подалгебры Jin gt^ и g[n, базисы которых явно указаны в тексте диссертации. Таким образом V может рассматриваться как представление каждой из этих двух подалгебр.

Теорема 2. Относительно действия gt^ + gi„ имеет место разложение

У=0П+®рк. (15)

kez;

Отсюда в частности следует, что подпространство g1{п)-инвариантов в V образует представление Qq относительно действия gi^. И вообще, множество всех старших векторов относительно gln с весолг к образует неприводимое представление а множество всех старших векторов относительно gl^ с весом образует неприводимое представление р^.

В главе 4 доказывается формула (4). Согласно предыдущей главе требуется вычислить М<2га)п+, где Пц — подпространство д1га-1швариантов в V.

4.1. Определим оператор «сдвига» 7Г следующим образом: =

при г < О, а на остальных ф и ф* ж действует тождественно. Положим = 7г(Пц). Доказывается, что О! инвариантно относительно 2, причём

4.2. Рассмотрим алгебру 0 с образующими в\а\ в*\а\ г = 0... т — 1, а = 1... п и соотношениями

в{р) = Иа), в*?)] = 0, 61*}«] = (16)

Построим представление этой алгебры. Выберем порождающий вектор и и положим в*\а\ь = 0 при всех г, а, а остальные элементы действуют свободно с учётом соотношений алгебры. Обозначим Ы = Ои, ¿4 С — подпространство, порождённое из и действием в множителей Очевидно имеет место разложение

Ы = (&ия, (17)

а>0

На представлении Ы формулируется двойственность Хау для пары (д[гп, д(„):

и= ф р*.,.....кт.о,...,о® Рь.....кт- (18)

kez™l

При этом градуировка (17) согласована с разложением (18):

¿"4 = ф Рк,.....1:т,0,...,0 ® Рки...,кт- (19)

Далее рассматривается тензорное произведение Ф®0 и его представление Действие алгебры Ли д[„ и оператора О. (определённых на пространстве V ~ V ® Щ определяется на всём V ®Ы, причём так, что каждое V ® Иа инвариантно относительно обоих операторов.

4.3. Обозначим Inv(s) - подпространство g[„-инвариантов в Опре-

771—1 П

делим оператор d = Y1 Ф-j^j- В диссертации доказываются следующие

j=0 а=1

утверждения:

• d(Inv(s)) С Inv(s — 1),

• последовательность отображений

О lnv{0) <-i- Inv( 1) Д- Inv(2) ... образует комплекс f,

• гомологии этого комплекса Я^(б') = 0 при к > 0, и = Г2'. Отсюда следует

tr(2) 0, = £(-I)ms) г , , (20)

S] л—' Ini'(s)

4.4. Для нахождения Inv(s) мы используем следующее утверждение:

Теорема 3. Пусть W\ и ИГ2 - представления gl(n), каждое из которых раскладывается в прямую сумму неприводимых. Тогда подпространство инвариантов д[(тг) в тензорном произведении Wi ® W2 изоморфно прямой сумме

Inv Й ф Hom(p, т) ® Нот(р% \-V2), (21)

р

где сумма берётся по всем конечномерным неприводилтм, представлениям р алгебры fll(n), р* - представление, двойственное к р. Нот(р, Wj) - npocmpa7i-ство гомоморфизмов из р в W{.

Из этого утверждения и из разложений (15), (19) следует явный вид Inv(s), после чего получаем окончательный результат. В главе 5 получена формула (6).

5.1. В этом параграфе мы формулируем и доказываем вспомогательную теорему, выражающую размерность подпространства старших векторов веса к в конечномерном представлении алгебры gln.

Пусть U - конечномерное представление алгебры Ли раскладывающееся в прямую сумму неприводимых:

U = 0 Uk ® рк. kezj

Здесь Uk можно рассматривать как множество старших векторов веса к в U (являющееся подпространством в U). Пусть Vf € Z" : - размерность весового пространства веса и в представлении U. Иначе говоря, £„ — коэффициенты характера представления U:

Хи = tr(Z)|y = Z = f[zf'\ z" = П(22)

veZ" i=l i=i

Теорема 4. Размерность dim Uy, выражается как сумма по группе Вейля W коэффициентов

dim[/k = ^(-l)^6(k). (23)

seW

Здесь s - оператор симметрии относительно точки —5, т.е. s(k) = s(k+ 5) — J, где 5 - полусумма положительных корней.

5.2. Согласно теореме 2, пространство есть пространство старших векторов д[„ с весом к, следовательно можно для нахождения характера tr(Qm)n+ применить теорему 4 (где вместо размерности ищется g-размерность). Для этого запишем характер

tr(QmZ)\v=J2^>", (24)

ve Z»

где оператор Z определён по формуле (22), а оператор Qm — по формуле (11). Согласно формуле (23)

tr{Qm) Бёп(3)Ыя)- (25)

see„

Далее мы вычисляем Вначале мы доказываем, что при т = 0ип=1:

tr(Qo2)|v = П(1 + <?*) Ш + 1jz~l)

i>0 j>О Woo) veZ

14

Формула для произвольного гп получается путём умножения этого выражения на

1

т—1 /

П (1 +

1=0

m + t-l í

■А

Я

после чего ответ для произвольного п получается путём перемножения получившихся выражений, в которых вместо 2 стоят г\, 22,..., гп.

В главе 6 получена формула (5). При т — п функция может быть сразу (без комбинаторных преобразований) выражена как характер некоторого представления 0[1ЭС, после чего рассуждения аналогичны главе 5.

В Заключении подводятся итоги и обсуждаются возможные направления дальнейших исследований.

Для удобства читателя в диссертации приводится список сокращений и условных обозначений.

Приложение А содержит подробные примеры применения алгоритма Fi.SK и является дополнением к главе 2.

Приложение Б содержит комбинаторное доказательств формулы (4) (не использующее теорию представлений) в частном случае т = 1. Как сказано выше, такое доказательство в общем виде позволило бы лучше понять структуру представления. Случай т — 1 даёт надежду, что такое доказательство может быть найдено.

Благодарности

Автор выражает благодарность научному руководителю Борису Львовичу Фейгину за неоценимую поддержку и помощь в выполнении работы, а так же факультету математики НИУ ВШЭ за поддержку и создание творческой атмосферы, способствовавшей научной работе.

Работа была выполнена при поддержке Лаборатории алгебраической геометрии НИУ-ВШЭ, грант правительства РФ дог. 11.034.31.0023.

Список литературы

1. Замолодчиков А. Б. Бесконечные дополнительные симметрии в двумерной конформной квантовой теории поля // ТМФ 1985. Т. 65(3). С. 347-359.

2. Fateev V. A., Lukyanov S. L. The models of two-dimensional conformal quantum field theory with Zn symmetry // Int. J. Mod. Phys. A. 1988. Vol. 3. P. 507-520.

3. Feigin B. L., Frenkel E. Quantum W-algebras and elliptic algebras // Comm. Math. Phys. 1996. Vol. 178. P. 653-678.

4. Feigin B. L., Jimbo M., Miwa Т., Mukhin E. Quantum toroidal glj algebra: plane partitions // Kyoto Journal of Mathematics. 2012. Vol. 52. P. 621-659.

5. Feigin B. L., Jimbo M., Miwa Т., Mukhin E. Representations of quantum toroidal 0i„ // J. Algebra. 2013. Vol. 380. P. 78-108.

6. Schiffmann O., Vasserot E. The elliptic Hall algebra and the K-theory of the Hilbert scheme of A2 // Duke Mathematical Journal. 2013. Vol. 162. P. 279-366.

7. Schiffmann O., Vasserot E. Cherednik algebras and the equivariant coliomology of the moduli space of instantons on A2 // arXiv:1202.2756v2.

8. Negut A. An isomorphism between the quantum toroidal and shuffle algebras, and a conjecture of Kuznetsov // arXiv: 1302.6202.

9. Nakajima H. Instantons on ALE spaces, quiver varieties, and Kac-Moody algebras // Duke Math. J. 1994. Vol. 76. P. 365-416.

10. Nakajima H. Quiver varieties and Kac-Moody algebras // Duke Math. J. 1998. Vol. 91. P. 515-560.

11. Feigin B. L., Tsymbaliuk A. Equivariant K-theory of hilbert schemes via shuffle algebra // Kyoto J. Math. 2011. Vol. 51. P. 831-854.

12. Carlsson E., Nekrasov N., Okounkov A. Five dimensional gauge theories and Vertex operators // arXiv:1308.2465.

13. Nekrasov N., Okounkov A. Seiberg-Witten Theory and Random Partitions // arxiv.org/abs/hep-th/0306238.

14. Nekrasov N., Shatashvili S. Quantization of Integrable Systems and Four Dimensional Gauge Theories // arXiv: 0908.4052.

15. Мутафян Г. С., Фейпш Б. JT. Квантовая тороидальная алгебра д^: вычисление характеров некоторых представлений как производящих функций плоских разбиений // Функц. анализ и его прил. 2013. Т. 47:1. С. 62-76.

16. Мутафян Г. С., Фейгин Б. JL Характеры представлений квантовой тороидальной алгебры glt: плоские разбиения с трибуной // Функц. анализ и его прил. 2014. Т. 48:1. С. 46-60.

17. Стэнли Р. Перечислительная комбинаторика, том 2. М.: Мир, 2005.

18. Кас V., Radul A. Representation theory of the vertex algebra Wi+00 // Transf. Groups. 1996. Vol. 1. P. 41-70.

Заказ № 67-Р/08/2014 Подписано в печать 25.08.14 Тираж 100 экз. Усл. п.л. 1,0

ООО "Цифровичок", г. Москва, Большой Чудов пер., д.5 ¿—л, тел. (495)649-83-30

Us Л www.cfr.ru; e-mail: zakpark@cfr.ru