Хопфовы абелевы группы тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

005536497

Кайгородов Евгений Владимирович

ХОПФОВЫ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

3 1 ОКТ 2013

Томск - 2013

005536497

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», на кафедре алгебры.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Крылов Петр Андреевич

Официальные оппоненты:

Левчук Владимир Михайлович, доктор физико-математических наук, профессор, федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Сибирский федеральный университет», кафедра алгебры и математической логики, заведующий кафедрой

Фаустова Инна Леонтьевна, кандидат физико-математических наук, доцент, Северский технологический институт — филиал федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ"», кафедра высшей математики, доцент

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное

Защита состоится 28 ноября 2013 г. в 15 ч. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.21, созданного на базе федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Национальный исследовательский Томский государственный университет», по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, корпус 2, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Национального исследовательского Томского государственного университета.

Автореферат разослан « » октября 2013 г. Ученый секретарь Малютина

учреждение науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук (г. Новосибирск)

диссертационного совета

Александра Николаевна

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Одной из главных задач алгебры является изучение различных алгебраических систем. Важную роль при этом играют отображения таких систем. Понятие отображения является настолько общим, что, вообще говоря, любое алгебраическое построение в явной или неявной форме основывается на понятии отображения. Поэтому любое исследование по алгебре в той или иной степени посвящено изучению отображений множеств.

Не вызывает сомнений, что среди отображений алгебраических систем самое заметное место занимают гомоморфизмы и эндоморфизмы. Достаточно упомянуть, что понятие эндоморфизма алгебраической системы, как и вообще математической структуры, позволяет уточнить смысл «одинаковости» поведения двух элементов системы; а также, что свойства эндоморфизмов алгебраической системы во многом определяют свойства самой системы. В связи с этим представляется весьма интересным изучение алгебраических систем, эндоморфизмы которых удовлетворяют определенным условиям.

Одним из таких условий является свойство хопфовости. Относящееся изначально к группам, оно допускает распространение на кольца, модули, упорядоченные алгебраические системы, топологические и функциональные пространства, решетки и другие типы алгебраических систем. Стоит также заметить, что число алгебраических систем в настоящее время неуклонно растет — некоторые из них зарождаются в самой алгебре, а некоторые возникают в других разделах математики, в частности, в связи с нуждами геометрии или математической логики; нередко новые алгебраические системы приходят из физики, кибернетики и техники.

В последние годы интерес к хопфовым алгебраическим системам все более возрастает. К настоящему времени уже накопилось достаточно много публикаций, посвященных этой тематике. Однако исследования по хопфовым абелевым группам очень немногочисленны и носят незавершенный характер. Тем не менее, результаты этих исследований выразительны и многоценны. Наиболее значительными являются работы Баумслага [8], [9], [10], Корнера [13], Такаши и Ирвина [21], [22], Гол-дсмита и Гонга [15]-[18]. В частности, Корнер построил красивые и, на первый взгляд, совершенно неожиданные примеры хопфовых абелевых групп А, В и С без кручения, таких, что прямые суммы А® В, С фС не являются хопфовыми группами. К числу новейших работ относятся статьи Голдсмита и Гонга, в которых, наряду с хопфовыми и кохопфовы-

ми абелевыми группами, рассматриваются супер (ко) хопфовы и наследственно (ко)хопфовы абелевы группы, а также обсуждаются некоторые прилегающие проблемы.

Другие классы абелевых групп, граничные с классом хопфовых абе-левых групп, освещены в литературе намного лучше. Так, абелевы группы, содержащие собственную подгруппу, изоморфную самой группе (некохопфовы абелевы группы), изучал Бьюмонт [11], он называл их /-группами. В [12], кроме /-групп, рассматривались /Р-группы (абелевы группы, изоморфные собственной сервантной подгруппе) и Ю-группы (абелевы группы, изоморфные собственному прямому слагаемому). С. Я. Гриншпон и М. М. Никольская [1]-[3] ввели понятие /Р-группы (абелевы группы, изоморфные собственной вполне характеристической подгруппе) и изучали /Р-группы в различных классах абелевых групп. Кроули [14] построил пример бесконечной примарной ко-хопфовой абелевой группы без элементов бесконечной высоты. В работе [20] Хилл и Меджиббен дали более общую и простую конструкцию ко-хопфовых примарных абелевых групп, чем Кроули. А. Р. Чехлов в работах [б], [7] рассматривал редуцированные абелевы группы без кручения, в которых ядро всякого эндоморфизма выделяется прямым слагаемым.

Существует довольно много интересных и важных, но до сих пор открытых вопросов, связанных с хопфовыми абелевыми группами. Один из таких вопросов касается описания хопфовых групп в конкретных классах абелевых групп. Поэтому изучение хопфовых абелевых групп и их свойств представляет особый интерес.

Цели работы. Целями диссертационной работы являются изучение общих свойств хопфовых групп и описание хопфовых групп в конкретных классах абелевых групп.

Методы исследований. В диссертации используются методы теорий абелевых групп, колец и модулей, некоторые теоретико-множественные и топологические идеи. Техника доказательств представляет тесное переплетение всех этих методов.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. К ним можно отнести следующие.

• Найдены некоторые общие свойства хопфовых абелевых групп, в частности, связанные с прямыми разложениями.

• Получено описание хопфовых делимых групп и на основе этого описания исследование хопфовости произвольных абелевых групп сведено к исследованию хопфовости редуцированных абелевых групп.

• Описаны прямые суммы циклических групп, являющиеся хопфовы-

ми группами.

• Найдено одно достаточное условие хопфовости вполне разложимой группы без кручения и указаны примеры нехопфовых вполне разложимых групп без кручения.

• Получен критерий хопфовости алгебраически компактных абелевых групп и построен пример нехопфовой алгебраически компактной группы.

• Хопфовость 5Р-групп сведена к хопфовости их примарных компонент.

• Описаны хопфовы аддитивные группы артиновых колец. Показано, что аддитивная группа любого -Е-кольца хопфова.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть полезны специалистам, работающим в различных областях теории групп, теорий абелевых групп, колец и модулей. Материалы диссертации могут найти применение в учебном процессе при чтении специальных курсов студентам старших курсов математических направлений университетов и аспирантам.

Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре Томского государственного университета (руководитель — профессор П. А. Крылов), на научно-методическом семинаре физико-математического факультета Горно-Алтайского государственного университета (руководитель — доцент В. Ф. Пуркина), на международной конференции «Алгебра и математическая логика», посвященной столетию со дня рождения профессора В. В. Морозова (Казань, 2011 г.), на Всероссийском симпозиуме «Абелевы группы» (Бийск, 2012 г.). Они были представлены на III Всероссийской молодежной научной конференции «Современные проблемы математики и механики» (Томск, 2012 г.), на Международной алгебраической конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2012 г.). По теме диссертации опубликовано восемь работ [1*]-[8*], из них три в рецензируемых изданиях из списка ВАК [1*], [2*], [3*].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из списка обозначений, введения, трех глав и списка литературы. Первая глава содержит два параграфа, вторая — три параграфа и третья — четыре параграфа. Работа изложена на 83 страницах. Список литературы содержит 140 наименований.

Содержание работы

Нумерация определений, теорем, лемм и следствий в автореферате соответствуют нумерации, используемой в диссертации. Под словом «группа» в работе всюду понимается абелева группа, записанная аддитивно (за исключением первой главы, где данный термин используется в своем обычном смысле).

Результаты диссертации группируются вокруг вопросов нахождения свойств хопфовых абелевых групп и описания хопфовых групп в важнейших классах абелевых групп.

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации (глубже актуальность темы раскрывается в §2), формулировку целей исследования, а также тезисное изложение узловых результатов.

Первая глава является вводной. В ней представляются краткий исторический очерк развития понятия хопфовой группы и обозрение известных результатов о хопфовых алгебраических системах. В первом параграфе основное внимание уделяется происхождению понятия хопфовой группы. Установлено, что хопфовы группы возникли в комбинаторной теории групп, причем возникли как продукт совместного использования и наложения алгебраических и геометрических методов для решения конкретной топологической задачи — описания фундаментальных групп замкнутых двумерных ориентированных поверхностей.

Это обстоятельство в большой степени определило черты первичной характеризации хопфовых групп, поскольку топологическим задачам часто удается придать более простую интерпретацию, переложив их на язык групп, заданных порождающими и определяющими соотношениями. Естественно поэтому, что методы и приемы комбинаторной теории групп послужили базовыми инструментами для начального описания свойств хопфовых групп и связей хопфовых групп с другими классами групп, в частности, — группами, удовлетворяющими тем или иным условиям конечности.

Во втором параграфе представляется развернутая панорама исследований по хопфовым алгебраическим системам, при этом главный акцент делается на хопфовых абелевых группах. Должное место отводится хопфовым кольцам и модулям. Подробнее рассматриваются некоторые крупные результаты, полученные специалистами за последние полвека, и намечаются ключевые вопросы, которые не решены до сих пор.

Вторая глава носит подготовительный характер и необходима для общего знакомства с хопфовыми абелевыми группами и их свойствами.

В §3 получаются некоторые общие факты о хопфовых абелевых группах, служащие основой для последующего изучения хопфовых групп в конкретных классах абелевых групп. В начале параграфа даются два эквивалентных определения хопфовой группы — основного объекта диссертационного исследования.

Определение 3.1. Группа Л называется хопфовой, если она не имеет собственных изоморфных себе факторгрупп.

Определение 3. 2. Группа Л называется хопфовой, если всякий эпиморфизм группы А на себя является автоморфизмом.

Приводится доказательство следующего утверждения.

Теорема 3.4. Если А= В © С и А — хопфова группа, то группы В и С хопфовы.

Легко проверить, что данная теорема обобщается на случай, когда количество прямых слагаемых в разложении группы А бесконечно.

Следствие 3.5. Пусть Л* (г € I) — семейство групп, где множество индексов I произвольно, и пусть группа А = ф Л* хопфова. Тогда

Ш

для каждого г € I группа А, хопфова.

Справедлива теорема, указывающая на один из случаев обращения теоремы 3.4.

Теорема 3. Т. Если А = В®С, а прямые слагаемые В и С хопфовы и, кроме того, подгруппа В вполне инвариантна в группе А, то А — хопфова группа.

Следующая теорема представляет собой необходимое и достаточное условие хопфовости прямой суммы произвольного числа групп при одном предположении.

Теорема 3.8. Пусть А = ф Л* и все прямые слагаемые Л* вполне

г€1

инвариантны в группе А. Тогда группа А хопфова, если и только если каждая группа Л; хопфова.

В заключение параграфа 3 доказывается простая теорема о хопфовости групп без кручения конечного ранга.

Теорема 3.9. Группа без кручения конечного ранга хопфова.

В §4 изучается свойство хопфовости в одном из известных классов абелевых групп — делимых группах. Основная теорема параграфа раскрывает строение хопфовых делимых групп.

Теорема 4.3. Делимая группа хопфова тогда и только тогда, когда она является прямой суммой конечного числа копий рациональной группы

Из теорем 3.4, 3.7, 4.3 вытекает такой важный результат.

Следствие 4.4. Произвольная группа является хопфовой тогда и только тогда, когда ее редуцированная часть есть хопфова группа, а

делимая часть есть конечная прямая сумма копий рациональной группы (ф.

Данное следствие сводит проблему описания строения хопфовых абе-левых групп к проблеме описания строения хопфовых редуцированных групп.

В единственной теореме §5 дается характеризация прямых сумм циклических групп, являющихся хопфовыми группами.

Теорема 5.1. Пусть А — прямая сумма циклических групп,

г

где АР{ — прямая сумма циклических р^групп, Ао — прямая сумма циклических групп бесконечного порядка. Тогда группа А хопфова, если и только если все группы Ар( конечны, а группа имеет конечный ранг.

Эта теорема используется в дальнейшем при исследовании хопфовых алгебраически компактных групп и хопфовых аддитивных групп арти-новых колец.

Третья глава является основной в диссертации и опирается на вторую главу. Результаты третьей главы концентрируются вокруг проблемы описания хопфовых групп в таких классах абелевых групп, как алгебраически компактные группы, вполне разложимые группы без кручения, а также 5Р-группы, образующие замечательный класс смешанных абелевых групп, и аддитивные группы некоторых колец.

В §6 дается описание хопфовых алгебраически компактных групп. Прежде эта задача сводится к описанию хопфовых р-адических редуцированных алгебраически компактных групп без кручения и урегулированных р-адических алгебраически компактных групп. Сначала рассматривается случай без кручения.

Теорема 6.1. Пусть А — р-адическая редуцированная алгебраически компактная группа без кручения. Тогда группа А хопфова, если и только если ее р-ранг конечен, и, таким образом, А есть прямая сумма конечного числа копий группы целых р-адических чисел.

Другая теорема отвечает на вопрос: когда урегулированная р-адическая алгебраически компактная группа хопфова?

Теорема 6.3. Урегулированная р-адическая алгебраически компактная группа хопфова в точности тогда, когда она конечна.

С помощью теорем 6.1 и 6.3 устанавливается справедливость центральной теоремы параграфа.

Теорема 6.4. Редуцированная алгебраически компактная группа

А = П.АР р

хопфова тогда и только тогда, когда каждая р-адическая компонента Ар группы А имеет вид Ар= В © С, где В — прямая сумма конечного числа копий группы целых р-адических чисел, а С — конечная р-группа.

Из теоремы 6.4, в частности, следует, что существуют многочисленные примеры нехопфовых алгебраически компактных групп. Один из таких примеров завершает параграф. А именно, пусть А — такая р-адическая алгебраически компактная группа, что группа

В = Z(p) © Z(р2) © ... ® Z(рп) © Z(p"+1) ©...

служит для нее р-базисной подгруппой. Тогда А — нехопфова группа.

Действительно, из теоремы 6. 3 вытекает, что группа А нехопфова. Но приводится и конструктивное доказательство нехопфовости группы, без использования теоремы 6.3.

Предметом исследования в §7 являются хопфовы вполне разложимые группы без кручения. Рассматривается такой вопрос. При каких условиях вполне разложимая группа без кручения является хопфовой? Ключевой результат параграфа дает одно условие хопфовости вполне разложимой группы без кручения, отвечая частично на поставленный вопрос.

Теорема 7.1. Пусть А — вполне разложимая группа без кручения, причем все ее однородные компоненты имеют конечный ранг, а множество типов прямых слагаемых ранга один группы А удовлетворяет условию минимальности. Тогда А — хопфова группа.

Теорема 7.1 позволяет утверждать, что существуют разнообразные нехопфовы вполне разложимые группы без кручения. В оставшейся части параграфа строится серия примеров таких групп.

В §8 изучаются хопфовы SP-группы. Основным результатом параграфа является теорема 8.2. Она показывает, что хопфовость ¿"Р-гругшы эквивалентна хопфовости каждой из ее р-компонент.

Теорема 8. 2. SP-группа А хопфова тогда и только тогда, когда каждая ее р-компонента Ар хопфова.

Цель §9 — привести некоторые примеры колец, аддитивные группы которых хопфовы. Доказывается, что аддитивная группа ^-кольца хопфова и описывается строение хопфовых аддитивных групп артино-вых колец.

Аддитивные группы .Е-колец называются Е-группами. Абелева группа А является ^-группой тогда и только тогда, когда А = End А и кольцо

эндоморфизмов Е(А) коммутативное [4]. Для Е-групп получается такой результат.

Теорема 9.1. Любая Е-группа хопфова.

Структурная теорема для аддитивных групп артиновых колец [5, теорема 122.4] предоставляет возможность дать характеризацию хопфовых аддитивных групп артиновых колец.

Теорема 9.3. Для того чтобы аддитивная группа А некоторого артинова кольца была хопфовой, необходимо и достаточно, чтобы она имела вид: А = В ф Т, где Б — прямая сумма конечного числа копий рациональной группы С}, а Т — конечная группа.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору П. А. Крылову за постановку задач, внимание к работе и помощь в оформлении научных статей и диссертации; искренне благодарит профессоров С. Я. Гриншпона и А. Р. Чехлова, доцентов В. М. Мисякова и Е. А. Тимошенко за полезные замечания, сделанные во время его выступлений на алгебраическом семинаре Томского государственного университета, а также доцентов Горно-Алтайского государственного университета В. Ф. Пуркину, Н. А. Пахаеву и Е. А. Самылкину (Раенко) за неоценимую всестороннюю помощь при написании диссертации.

Список литературы

[1] Гриншпон С. Я., Никольская (Савинкова) М. М. /F-группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2010. - № 1(9). - С. 5-14.

[2] Гриншпон С. Я., Никольская (Савинкова) М. М. Примарные IF-группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. — 2011. — № 3(15). — С. 25-31.

[3] Гриншпон С. Я., Никольская (Савинкова) М. М. Собственные вполне характеристические подгруппы групп без кручения, изоморфные самой группе // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. — 2012. — № 1(17). — С. 25-30.

[4] Гришин А. В., Царев А. В. ^-замкнутые группы и модули // Фунд. и прикл. матем. - 2011/2012. - Т. 17, № 2. - С. 97-106.

[5] Фукс Л. Бесконечные абелевы группы: в 2 т. — М.: Мир, 1977. — Т. 2. - 417 с.

[6] Чехлов А. Р. Об абелевых CS-группах без кручения // Изв. вузов. Матем. - 1990. - № 3. - С. 84-87.

[7] Чехлов А. Р. О прямых произведениях и прямых суммах абелевых QCPI-rpynn без кручения // Изв. вузов. Матем. — 1990. - № 4. -С. 58-67.

[8] Baumslag G. Hopficity and Abelian groups // Topics in Abelian groups, Proceedings of the New Mexico Symposium on Abelian Groups. — Scott-Foresman-Chicago: New Mexico State Univ., 1962. — P. 331-335.

[9] Baumslag G. On Abelian Hopfian groups. I. // Math. Z. — 1962. — Vol. 78, № 1. - P. 53-54.

[10] Baumslag G. Products of abelian hopfian groups //J. Austral. Math. Soc. - 1968. - Vol. 8. - P. 322-326.

[11] Beaumont R. A. Groups with isomorphic proper subgroups // Bull. Amer. Math. Soc. - 1945. - Vol. 51. - P. 381-387.

[12] Beaumont R. A. and Pierce R. S. Isomorphic direct summands of abelian groups // Math. Annal. - 1964. - Vol. 153. - P. 21-37.

[13] Corner A. L. S. Three examples on Hopficity in torsion-free Abelian groups // Acta math. Acad. Sci. Hung. - 1965. — Vol. 16, № 3-4. -P. 303-310.

[14] Crawley P. An infinite primary Abelian group without proper isomorphic subgroups // Bull. Amer. Math. Soc. - 1962. — Vol. 68. — P. 463-467.

[15] Goldsmith B. and Gong K. On super and hereditarily Hopfian and co-Hopfian Abelian groups // Arch. Math. - 2012. - Vol. 99, № 1. — P. 1-8.

[16] Goldsmith B. and Gong K. On adjoint entropy of Abelian groups // Comm. Algebra. - 2012. - Vol. 40. - P. 972-987.

[17] Goldsmith B. and Gong K. A note on Hopfian and co-Hopfian Abelian Groups. — Dublin: AMS forthcoming, 2012. - P. 1-9.

[18] Goldsmith B. and Gong K. On some generalizations of Hopfian and co-Hopfian Abelian groups // Acta Math. Hung. — 2013. — Vol. 139, № 4. - P. 393-398.

[19] Goldsmith В., Ohogain, S. and Wallutis S. Quasi-minimal groups // Proc. Amer. Math. Soc. - 2004. - Vol. 132, № 8. - P. 2185-2195.

[20] Hill P. and Megibben Ch. On primary groups with countable basic subgroups // Trans. Amer. Math. Soc. - 1966. - Vol. 124, № 1. - P. 49-59.

[21] Irwin J. M., Takashi J. A quasi-decomposable Abelian group without proper isomorphic quotient groups and proper isomorphic subgroups // Pacif. J. Math. - 1969. - Vol. 29, № 1. - P. 151-160.

[22] Takashi J., Irwin J. M. A quasi-decomposable Abelian group without proper isomorphic quotient groups and proper isomorphic subgroups, 2 // J. Fac. Sci. Hokkaido Univ. - 1969. - Vol. 20, № 4. - P. 194-203.

Работы автора по теме диссертации

Статьи, опубликованные в журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций:

[1*] Кайгородов Е. В. Хопфовы абелсвы группы // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. — 2012. — № 2(18). - С. 5-12. - 0,49 п.л.

[2*] Кайгородов Е. В. О двух классах хопфовых абелевых групп // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2013. - № 2(22). - С. 22-33. - 0,85 п.л.

[3*] Кайгородов Е. В. Хопфовы вполне разложимые группы без кручения // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. - 2013. - № 4(24). - С. 24-28. - 0,43 п.л.

Статьи в других научных изданиях:

[4*] Кайгородов Е. В. О хопфовых абелевых группах // Алгебра и математическая логика: материалы международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения профессора В. В. Морозова, и молодежной школы-конференции «Современные проблемы алгебры и математической логики», 25-30 сентября 2011 г. — Казань: КФУ, 2011. — С. 98-100. — 0,05 п.л.

[5*] Кайгородов Е. В. О некоторых классах хопфовых абелевых групп // Фунд. и прикл. матем. - 2011-2012. - Т. 17, № 8. - С. 59-61. -0,1 п.л.

[6*] Кайгородов Е. В. О хопфовости аддитивных групп некоторых колец // Современные проблемы математики и механики. III Всероссийская молодежная научная конференция: сборник трудов конференции, 23-25 апреля 2012 г. — Томск: Томский государственный университет, 2012. - С. 19-22. — 0,17 п.л.

[7*] Кайгородов Е. В. О некоторых классах хопфовых абелевых групп // Абелевы группы: материалы Всероссийского симпозиума, 20-25 августа 2012 г. — Бийск: АГАО им. В. М. Шукшина, 2012. — С. 25-27.-0,1 п.л.

[8*] Кайгородов Е. В. Некоторые примеры хопфовых абелевых групп / / Международная конференция «Мальцевские чтения», посвященная 80-летию со дня рождения В. П. Шункова: тезисы докладов. — Новосибирск: Институт математики им. С. J1. Соболева СО РАН, 2012. [Электронный ресурс] — URL: http://www.math.nsc.ru/conference/malmeet/12/malmeet_2012.pdf (дата обращения: 12.08.2013). — 0,06 п.л.

Тираж 100 экз. Заказ 1014. Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники. 634050, г. Томск, пр. Ленина, 40. Тел. (3822) 533018.

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

04201450847 На правах рукописи

Кайгородов Евгений Владимирович

ХОПФОВЫ АБЕЛЕВЫ ГРУППЫ

01.01.06 — Математическая логика, алгебра и теория чисел

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Крылов Петр Андреевич

Томск - 2013

Оглавление

Список обозначений 3

Введение 5

Глава 1. Генезис и развитие понятия хопфовости 12

§1. Проблема Хопфа и комбинаторная теория групп....................13

§2. Обзор современных исследований ....................................21

Глава 2. Общие свойства хопфовых абелевых групп 28

§3. Общие результаты о хопфовых абелевых группах..................29

§4. Хопфовы делимые группы ............................................37

§5. Хоифовость прямых сумм циклических групп ......................40

Глава 3. Некоторые классы хопфовых абелевых групп 42

§6. Случай алгебраически компактных групп............................43

§7. Вполне разложимые группы без кручения............................55

§8. Хопфовы 5Р-группы....................................................62

§9. Хопфовость аддитивных групп некоторых колец....................65

Литература 69

Список обозначений

IN — множество натуральных чисел

Z — кольцо (группа) целых чисел

Q — поле (группа) рациональных чисел

Z(т) — циклическая группа порядка т

Z(p°°) — квазициклическая группа

Q* — кольцо целых р-адических чисел

Jp — группа целых р-адических чисел

Нот (А, В) — группа гомоморфизмов из группы А в группу В

End А — группа эндоморфизмов группы А

Е(А) — кольцо эндоморфизмов группы А

Ker ip — ядро гомоморфизма <р

1т (р — образ гомоморфизма (р

(р\л — ограничение гомоморфизма (р на подгруппу А

id,A — тождественное отображение А А

R+ — аддитивная группа кольца R

1д — единица кольца R

.хч»

А — р-адическое пополнение группы А

А® В, ф Лг — прямая сумма групп (модулей) ш

]~] Ai — прямое произведение групп (модулей) Ш

г (А) — ранг группы А

го (Л) — ранг без кручения группы А

гр(А) — р-ранг группы А

Т(А) — периодическая часть группы А

(М) — подгруппа, порожденная множеством М

{М)* — подгруппа, сервантно порожденная множеством М

о(а) — порядок элемента а

А[п] — подмножество {а € А \ па = 0} группы А

U(M) — первый ульмовский подмодуль модуля М

Q(A) — множество типов ненулевых однородных компонент вполне разложимой группы без кручения А

Введение

Актуальность темы. Одной из главных задач алгебры является изучение различных алгебраических систем. Важную роль при этом играют отображения таких систем. Понятие отображения является настолько общим, что, вообще говоря, любое алгебраическое построение в явной или неявной форме основывается на понятии отображения. Поэтому любое исследование ио алгебре в той или иной степени посвящено изучению определенных отображений множеств.

Отображения алгебраических систем позволяют строить новые системы различного рода, называемые производными алгебраическими системами. Сюда относятся группы автоморфизмов, полугруппы полных и частичных эндоморфизмов, различные алгебры эндоморфизмов (например, кольца эндоморфизмов абелевых групп, кольца преобразований векторных пространств и др.). Наряду с группами автоморфизмов алгебраических систем, которые изучены довольно подробно, внимание привлекают и другие множества отображений, в частности полугруппы полных и частичных эндоморфизмов [1].

Не вызывает сомнений, что среди отображений алгебраических систем самое заметное место занимают гомоморфизмы и эндоморфизмы. Достаточно упомянуть, что понятие эндоморфизма алгебраической системы, как и вообще математической структуры, позволяет уточнить смысл «одинаковости» поведения двух элементов системы; а также, что свойства эндоморфизмов алгебраической

системы во многом определяют свойства самой системы. В связи с этим представляется весьма интересным изучение алгебраических систем, эндоморфизмы которых удовлетворяют определенным условиям.

Одним из таких условий является свойство хопфовости. Относящееся изначально к группам, оно допускает распространение на кольца, модули, упорядоченные алгебраические системы, топологические и функциональные пространства, решетки и другие типы алгебраических систем. Стоит также заметить, что число алгебраических систем в настоящее время неуклонно растет — некоторые из них зарождаются в самой алгебре, а некоторые возникают из других разделов математики, в частности, в связи с нуждами геометрии или математической логики; нередко новые алгебраические системы приходят из физики, кибернетики и техники.

В последние годы интерес к хопфовым алгебраическим системам все более возрастает. К настоящему времени уже накопилось достаточно много публикаций, посвященных этой тематике. Однако исследования по хопфовым абелевым группам представлены лишь единичными работами (см. подробнее §2 диссертации). Естественно поэтому, что существует довольно много интересных и важных, но до сих пор открытых вопросов, связанных с хопфовыми абелевыми группами. Один из таких вопросов касается описания хопфовых групп в конкретных классах абелевых групп. Поэтому изучение хопфовых абелевых групп и их свойств представляет особый интерес.

Цели работы. Целями диссертационной работы являются изучение общих свойств хопфовых групп и описание хопфовых групп в конкретных классах абелевых групп.

Методы исследований. В диссертации используются методы теорий абе-

левых групп, колец, модулей, некоторые теоретико-множественные и топологические идеи. Техника доказательств представляет тесное переплетение всех этих методов.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. К ним можно отнести следующие.

• Найдены некоторые общие свойства хопфовых абелевых групп, в частности, связанные с прямыми разложениями.

• Получено описание хопфовых делимых групп. На основе этого описания исследование хопфовости произвольных абелевых групп сведено к исследованию хопфовости редуцированных абелевых групп.

• Описаны прямые суммы циклических групп, являющиеся хопфовыми группами.

• Найдено одно достаточное условие хопфовости вполне разложимой группы без кручения и указаны примеры нехонфовых вполне разложимых групп без кручения.

• Получен критерий хопфовости алгебраически компактных абелевых групп и построен пример нехонфовой алгебраически компактной группы.

• Хопфовость 5Р-грунп сведена к хопфовости их примарных компонент.

• Описаны хопфовы аддитивные группы артиновых колец. Показано, что аддитивная группа любого Е'-кольца хопфова.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Методы и результаты работы могут быть полезны

специалистам, работающим в различных областях теории групп, теорий абеле-вых групп, колец и модулей. Материалы диссертации могут найти применение в учебном процессе при чтении специальных курсов студентам старших курсов математических направлений университетов и аспирантам.

Апробация результатов. Результаты диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре Томского государственного университета (руководитель — профессор П. А. Крылов), на научно-методическом семинаре физико-математического факультета Горно-Алтайского государственного университета (руководитель — доцент В. Ф. Пуркина), на международной конференции «Алгебра и математическая логика», посвященной столетию со дня рождения профессора В. В. Морозова (Казань, 2011 г.), на Всероссийском симпозиуме «Абелевы группы» (Бийск, 2012 г.). Они были представлены на III Всероссийской молодежной научной конференции «Современные проблемы математики и механики» (Томск, 2012 г.), на Международной алгебраической конференции «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2012 г.). По теме диссертации опубликовано восемь работ [133]—[140], из них три в рецензируемых изданиях из списка ВАК [135], [139], [140].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из списка обозначений, введения, трех глав и списка литературы. Первая глава содержит два параграфа, вторая — три параграфа и третья — четыре параграфа. Работа изложена на 83 страницах. Список литературы содержит 140 наименований.

Содержание работы. Результаты диссертации группируются вокруг вопросов характеризации свойств хопфовых абелевых групп и описания хопфовых групп в важнейших классах абелевых групп.

Введение содержит обоснование актуальности темы диссертации (глубже ак-

туальность темы раскрывается в §2), формулировку целей исследования, а также тезисное изложение узловых результатов.

Первая глава является вводной. В ней представляются краткий исторический очерк развития понятия хопфовой группы и обозрение известных результатов о хопфовых алгебраических системах. В первом параграфе основное внимание уделяется происхождению понятия хопфовой группы. Установлено, что понятие хопфовой группы зародилось внутри комбинаторной теории групп и идеи этой теории весьма плодотворно влияли на ход исследований по хоифовым группам. Во втором параграфе производится аналитический срез состояния современных исследований по хопфовым группам, абелевым группам, кольцам, модулям и решеткам.

Вторая глава носит подготовительный характер и необходима для общего знакомства с хопфовыми абелевыми группами и их свойствами. В §3 двумя разными способами вводится основной объект диссертационного исследования — хопфовы абелевы группы (определения 3.1 и 3.2). Там же приведены общие свойства хопфовых абелевых групп, в частности, связанные с прямыми разложениями. Теорема 3.4 и следствие 3.5 устанавливают, что прямое слагаемое хопфовой группы есть хопфова группа. Этот факт очень важен и будет многократно применяться при доказательстве других теорем. В теореме 3. 7 указано одно условие, при котором теорема 3.4 допускает обращение. В последней теореме параграфа (теорема 3.9) утверждается, что группа без кручения конечного ранга хопфова.

В §4 рассматриваются хопфовы делимые группы. С помощью лемм 4.1 и 4.2 доказывается главный результат параграфа — теорема 4.3, дающая полное описание хопфовых делимых групп. На основе этого описания исследование

хопфовости произвольных абелевых групп сводится к исследованию хопфовости редуцированных групп (следствие 4.4).

В единственной теореме §5 (теорема 5.1) дана характеризация прямых сумм циклических групп, являющихся хоифовыми группами. Данная теорема будет использоваться в дальнейшем при исследовании хопфовых алгебраически компактных групп и хопфовых аддитивных групп артиновых колец.

Третья глава является основной в диссертации и опирается на вторую главу. Результаты третьей главы концентрируются вокруг проблемы описания хопфовых групп в таких классах абелевых групп, как алгебраически компактные группы (§6), вполне разложимые группы без кручения (§7), а также 5Р-группы (§8), образующие один замечательный класс смешанных абелевых групп, и аддитивные группы некоторых колец (§9). Наиболее полные результаты получены для алгебраически компактных групп и ¿>Р-групп. В §6 отвечаем на вопрос: когда алгебраически компактная абелева группа хопфова (теоремы 6.1, 6.3 и, окончательно, теорема 6.4)? Завершает параграф пример нехопфовой алгебраически компактной группы. В §7 получен результат, обозначивший одно условие хопфовости вполне разложимой группы без кручения (теорема 7.1) и построены примеры нехопфовых вполне разложимых групп без кручения.

Основным результатом §8 является теорема 8.2. Она показывает, что хопфо-вость 5Р-группы эквивалентна хопфовости каждой из ее р-компонент. Цель §9 — привести некоторые примеры колец, аддитивные группы которых хопфо-вы. А именно, рассматриваются аддитивные группы Е-колец и артиновых колец. Теорема 9.1 утверждает, что аддитивная группа любого ^-кольца хопфова. Наконец, получается удовлетворительное описание хопфовых аддитивных групп артиновых колец (теорема 9.3).

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю профессору П. А. Крылову за постановку задач, внимание к работе и помощь в оформлении научных статей и диссертации; искренне благодарит профессоров С. Я. Гриншпона, А. Р. Чехлова, доцентов В. М. Мисякова, Е. А. Тимошенко за полезные замечания, сделанные во время его выступлений на алгебраическом семинаре Томского государственного университета, а также доцентов Горно-Алтайского государственного университета В. Ф. Пуркину, H.A. Пахаеву и Е. А. Самылкину (Раенко) за неоценимую всестороннюю помощь при написании диссертации.

Глава 1

Генезис и развитие понятия хопфовости

Глава состоит из двух параграфов. В §1 исследуются истоки понятия хопфо-вой группы. Проводится анализ одной из работ датского математика Якоба Нильсена, в которой впервые (правда, в неявном виде) появляются хопфовы группы. Далее выясняется, что изучение хопфовых групп было тесно связано с задачами топологии и проводилось продолжительное время с использованием методов комбинаторной теории групп.

В §2 представляется развернутая картина исследований по хопфовым алгебраическим системам, при этом главный акцент делается на хопфовых абелевых группах. Подробнее рассматриваются некоторые крупные результаты, полученные специалистами за последние полвека, и намечаются ключевые вопросы, которые не решены до сих пор.

§1. Проблема Хопфа и комбинаторная теория групп

На рубеже XIX и XX столетий алгебра претерпела важное качественное изменение, которое можно назвать переходом к изучению абстрактных систем объектов. До этого момента основное внимание в алгебре уделялось конкретным системам, таким как различные числовые системы, системы матриц, перестановок и т. п. Новый этап в развитии алгебры охарактеризовался полным отвлечением от природы и способов построения объектов системы, и единственным предметом изучения стали отношения между этими объектами. Алгебра стала иметь дело просто с системами объектов, для которых определены некоторые операции и отношения, удовлетворяющие тем или иным требованиям; что именно стоит за объектами системы — матрицы, уравнения, числа и т. д. — для алгебры безразлично, важно только, чтобы заданные операции и отношения были определены и заданные требования для этих операций и отношений выполнялись [2].

Первым и одновременно важнейшим примером такой системы является группа. И именно в рассматриваемый период изучение групп, без каких бы то ни было предположений о природе их элементов, оформилось в отдельную область алгебры. Выдающуюся роль в создании отечественной школы по теории групп сыграл известный отечественный математик О. Ю. Шмидт. Его фундаментальный труд «Абстрактная теория групп» послужил отправной точкой работ многих алгебраистов в дальнейшем.

Примерно в то же время внутри только что зародившейся теории групп возникает направление исследований, предметом которых стали группы, заданные множествами образующих элементов и соответствующих определяющих соотношений. Способ задания группы с помощью образующих и определяющих соотно-

шений уходит корнями в топологию: он применялся вначале для фундаментальных групп многообразий. Такое задание группы имеет свои не очень приятные особенности — по нему, как правило, мало что можно сказать об абстрактном строении группы, и даже вопрос, не задают ли два множества определяющих соотношений одну и ту же группу, часто оказывается безнадежно трудным. Однако полвека исследований не прошли даром — из этого круга вопросов выросла новая теория с оригинальными методами и интересными результатами — комбинаторная теория групп.

Истоки комбинаторной теории групп находятся в работах Шварца, Клейна, Фукса, Пуанкаре и Шоттки, в которых группы возникали как дискретные группы геометрических преобразований. Продолжительное время комбинаторная теория групп развивалась под влиянием топологии, геометрии, ряда классических разделов алгебры и дифференциальных уравнений. Многие вопросы, рассматриваемые в комбинаторной теории групп, имеют топологические аналоги. Это относится к алгоритмическим проблемам, теоремам о вложении, свободным конструкциям и т. д.

Решающим пунктом в становлении комбинаторной теории групп как самостоятельной науки со своей проблематикой является статья Дэна 1911 года, где сформулированы основные алгоритмические проблемы теории групп: проблема распознавания равенства (эквивалентности) слов, проблема сопряженности и проблема изоморфизма. Решение этих проблем было получено позднее, благодаря проникновению в комбинаторную теорию групп идей и методов математической логики. Глубокая связь комбинаторной теории груни с математической логикой обусловлена тем, что зада�