Инфракрасно безопасные наблюдаемые в N = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Федеральное государственное унитарное предприятие Государственный Научный Центр Российской Федерации Институт Теоретической и Экспериментальной Физики им. А.И.Алиханова

4846723

Борк

Леонид Владимирович

На правах рукописи

Инфракрасно безопасные наблюдаемые в Л/" = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса

Специальность: 01.04.02 — теоретическая физика

1 9 МАЙ 2011

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискаиие ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2011

4846723

УДК 539.12

Работа выполнена в ФГУП ГНЦ РФ — Институте Теоретической и Экспериментальной Физики

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук Д.И. Казаков,

(ГНЦ РФ ИТЭФ, г. Москва)

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук А.С. Горский.

Защита состоится 24 мая 2011 года в И часов на заседании Диссертационного совета Д.201.002.01 по защите кандидатских диссертаций в ФГУП ГНЦ РФ ИТЭФ по адресу: г. Москва, ул. Б. Черемушкинская, д. 25, Конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГНЦ РФ ИТЭФ. Автореферат разослан 22 апреля 2011 г. Ученый секретарь Диссер':----------------------

(ГНЦ РФ ИТЭФ, г. Москва)

доктор физ.-мат. наук В.А. Смирнов, (НИИЯФ МГУ, г. Москва)

Ведущая организация : Объединенный институт

ядерных исследований г. Дубна, Московская обл.

кандидат физ.-мат. наук

В.В.Васильев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Объект исследования и актуальность темы

В последнее десятилетие был достигнут значительный прогресс в понимании структуры N = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса. Этот прогресс связан, в той или иной степени, с выдвинутой в 1998г. Х.Малдацсной [1], А.Поляковым и Э.Виттеном [2] гипотезой о дуальности теории струн типа ПВ на фоне пространства АйБ^ х и N = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса, определенной на границе АйБ5, получившей название АёБ/СРТ соответствия. В дальнейшем эта гипотеза получила обобщения на теории обладающие меньшей (Л[ = 1) суперсимметрией. В частности, было установлено аналогичное соответствие для /3-деформированной [3,4| М = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса и теории струн на фоне пространства АйБъ х 55 (13$ -некоторое многообразие топологически эквивалентное сфере). Аналогичные попытки были предприняты и для более общей деформации Ли-Страслера1 Я = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса (в дальнейшем будет использоваться сокращение ЬБ-деформация), хотя в настоящий момент точное дуальное описание ЬЯ-деформации АГ = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса в терминах какой-либо теории струн остается неизвестным.

Синтез методов теории струн и КТП, мотивированный гипотезой Асй/СРТ соответствия, позволил получить ряд крайне нетривиальных, непертурбативных результатов, как для N = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса, так и для других четырехмерных калибровочных теорий, например, таких как /3-деформированная и ЬЭ-деформированная Я = 4 максимально суперсимметричная теория Янга-Миллса. В планарном пределе ожидается, что N = 4 максимально суперсимметричная теория Янга-Миллса будет интегрируемой на квантовом уровне КТП и ее возможное решение станет примером решения первой нетривиальной КТП в четырехмерном пространстве-времени [5]. Сам термин "точное решение" понимается в зависимости от контекста по-разному и поэтому требует уточнения. Под "точным решением "может пониматься нахождение всех амплитуд теории (ее Э-матрицы) [5].

В последнее десятилетие был достигнут большой прогресс, во многом так же стимулированный гипотезой Ас1Б/СРТ соответствия, в понимании

и ЬЭ-деформации заключаются в добавлении к суперпотенциалу лагранжиана N — 4 максимально суперсимметричной теории Япга-Миллса записанному в терминах М — 1 суперполей дополнительных кпральных операторов наивной массовой размерности А0=3.

структуры амплитуд в суперсимметричных калибровочных теориях, таких как А/' = 4 максимально суперсимметричной и// = 8 супсргравитация [6,7]. В частности, благодаря использованию техники унитарных разрезов [8-10] стали доступны 3-5 петлевые результаты для 4-точечных амплитуд в Аг = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса в планарном пределе [6] и удалось сделать некоторые утверждения о свойствах всего ряда теории возмущений (ТВ) в целом: применение техники унитарных разрезов [8-10] N = 4 БУМ в планарном пределе позволило пронаблюдать итерационную структуру определенного класса, так называемых, МНУ амплитуд и формально просуммировать весь соответствующий ряд ТВ.

Применение этой же техники (техники унитарных разрезов) так же сделало возможным вычисление 3 петлевых 4 точечных амплитуд в N = 8 супергравитации, что позволило вновь поднять вопрос о возможной ультрафиолетовой конечности Я = 8 супергравитации [7,11,12].

Заметим, что все эти результаты было бы затруднительно получить используя обычную диаграмную технику (как компонентную, так и доступную на сегодняшний момент супергголсвую) в связи с чрезвычайной сложностью таких вычислений связанной, в частности, с факториальньш ростом числа диаграмм с ростом порядка ТВ или числа внешних импульсов [11,12].

Амплитуды (Б-матрица) в Л/" = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса и N = 8 су пер гравитации, как было сказано выше, имеют множество нетривиальных и удивительных свойств, и существует надежда, что новые виды симметрий, которыми, как ожидается, обладает N = 4 максимально суперсимметричная теория Янга-Миллса и благодаря которым эта теория может оказаться интегрируемой, позволят полностью или частично зафиксировать ее Б-матрицу [5].

Однако несмотря на отсутствие ультрафиолетовых расходимостей, амплитуды в ЛГ = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса и, может быть, в N = 8 супергравитации, как и в любой безмассовой калибровочной теории, имеют инфракрасные расходимости и, вообще говоря, не определены в физической размерности пространства-времени И — 4 (в отсутствии какого-либо инфракрасного регулятора).

В случае с безмассовыми частицами в калибровочных теориях физический смысл имеют не амплитуды (Э-матрица) сами по себе, а построенные на их основе, инфракрасно безопасные наблюдаемые, которые не содержат зависимости от инфракрасного регулятора и могут быть определены в физической размерности пространства-времени.

Построению подобных наблюдаемых и посвящена данная работа. Несмотря на то, что теорема Киношиты-Ли-Науэнберга [13], в принципе, гарантирует существование подобных наблюдаемых, конкретная их реали-

зация может быть весьма разнообразной и технически сложной. Одна из возможностей это специальным образом построенные "достаточно инклюзивные" сечения рассеяния. Такие наблюдаемые были впервые построены для КЭД [14]. Еще одна возможность это, "функции потока энергии" [15], определяемые как корреляционные функции тензора энергии импульса теории. Такие наблюдаемые были рассмотрены в режиме слабой связи в [16,17] в КХД н недавно в режиме сильной связи [18] в А/* = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса.

В данной работе будут рассмотрены инклюзивные сечения рассеяния [ 19—21 ]. Целью работы является получение конечных, не содержащих зависимости от инфракрасного регулятора, выражений в аналитическом виде. Именно такие выражения и должны в конечном итоге представлять основной физический интерес. Нам представляется важным изучить вопрос о том, сохраняются ли замечательные свойства амплитуд (итерационная структура и т.д.) в таких наблюдаемых, сохраняется ли "простота"ответов для амплитуд в таких физически осмысленных выражениях.

Цель работы

Построение инфракрасно безопасных наблюдаемых в N = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса, которые основанны на амплитудах рассеяния поляризованных глюонов и аналитическое вычисление конечных частей таких наблюдаемых.

Построение инфракрасно безопасных наблюдаемых в N — 8 супергравитации, которые основанны на амплитудах рассеяния поляризованных гравитонов.

Построение класса ультрафиолетово (1Л/) конечных теорий, основанных на Аг = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса, но обладающих меньшей (Л/* = 1) суперсимметрией, однако, сохраняющие привлекательные свойства Я — 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса (такие как, например, 11У конечность, супер-конформная инвариантность и итерационные свойства амплитуд).

Научная новизна и практическая ценность

Впервые было получено семейство инфракрасно безопасных наблюдаемых (дифференциальных по углу инклюзивных сечений рассеяния) в следующим за лидирующим (N10) порядке ТВ в Л^ = 4 максимально суперсим-

метричной теории Янга-Миллса. Эти наблюдаемые основаны на амплитудах рассеяния поляризованных глюонов. Были получены аналитические выражения для конечных (не зависящих от инфракрасного регулятора) частей этих наблюдаемых.

Развитая методика получения аналитических выражений для конечных частей инфракрасно безопасных наблюдаемых (дифференциальных по углу инклюзивных сечений рассеяния) может быть применена без каких-нибудь существенных изменений не только к теориям с расширенной суперсимметрией, но и к КХД, что может позволить получить аналитические выражения в тех случаях, когда, на сегодняшний момент, доступны результаты только численного счета.

Теории, обладающие меньшей супорсиммстрией {Я — 1), но сохраняющие привлекательные свойства N = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса (такие как иУ конечность, итерационные свойства амплитуд, и т.д.) могут быть использованы для построения феноменологических моделей б физике элементарных частиц.

На защиту выносятся следующие результаты:

1. Построено семейство инфракрасно безопасных наблюдаемых (дифференциальных по углу инклюзивных сечений рассеяния) в №0 порядке ТВ в N = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса основанных на амплитудах рассеяния поляризованных глюонов. Было явно продемонстрировано сокращение инфракрасных расходимостей в дифференциальных по углу инклюзивных сечениях рассеяния и были получены анлитическис выражения для конечных частей этих наблюдаемых в N1/3 порядке ТВ.

2. Построено семейство инфракрасно безопасных наблюдаемых (дифференциальных по углу инклюзивных сечений рассеяния) в 1ЧЬ0 порядке ТВ в N — 8 супергравитации. Явно продемонстрировано сокращение инфракрасных расходимостей в рассматриваемых наблюдаемых.

3. Получена, при использовании метода пертурбативной подстройки юка-вовских констант связи в формализме N — \ суперполей, N = 1 калибровочная теория с суперпотенциалом вида

Ю = (1йг\дТг(Ф1 ф2ф3) -

■> д 6

где |/г|2 = д2 и — 1, являющаяся ультрафиолетово конечной и суперконформно инвариантной во всех порядках ТВ в планарном пределе.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались на семинарах ИТЭФ, выездной сессии Отделения ЯФ РАН (декабрь 2007, ИТЭФ, Москва) и следующих международных конференциях: International Workshop Supersyinmetries and Quantum Symmetries, август 2007, ОИЯИ. Дубна; 4 Международной Сахаровскй конференции по физике,май 2009, ФИ АН, Москва; Helmholtz International School - Workshop Calculations for Modern and Future Colliders, июль 2009, ОИЯИ, Дубна; International Workshop Supersymrnetries and Quantum Symmetries, август 2009, ОИЯИ, Дубна.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения и дополнения. Общий объем диссертации 84 страниц машинописного текста, включая 8 рисунков и список литературы из 85 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлен подробный обзор основных работ и результатов по теме инфракрасно безопасные наблюдаемые в JV = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса. Там же кратко описаны основные результаты, составляющие данную диссертацию.

Во второй главе "Вычисление инклюзивного сечения рассеяния в NLO порядке ТВ и инфракрасно безопасные наблюдаемые в Af — 4 SYM" дано обсуждение ¡22,23] общих вопросов, связанных с построением инфракарс-но безопасных наблюдаемых, основанных на инклюзивных сечениях рассеяния в бсзмассовой КТП. В таких инклюзивных сечениях рассеяния часть расходимостей из петлевых интегралов (мягкие и коллинеарно-конечные) сокращается с аналогичными расходимостями из интегрирования по фазовому объему дополнительных частиц в конечном состоянии, а оставшиеся расходимости (коллинеарно-начальные) сокращаются при введении вероятностных распределений q(z) по доли переносимого импульса z для начальных и конечных частиц. Необходимость введения таких вероятностных распределений следует из того, что в безмассовых КТП частица с импульсом р неотличима от набора коллинеарных частиц с такими же суммарными квантовыми числами и импульсом, который называется джетом. В первом

нетривиальном порядке ТВ в размерной регуляризации <7(2) имеет вид

ф$) = + Еед-ь^4). (1)

где - функции расщепления, есть вероятность того, что частица i

испустит кшлинеарную ей частицу ], д - константа связи, - массовый параметр размерной регуляризации. Величина С,обычно называется масштабом факторизации и может быть интерпретирована как ширина джста коллинеарных частиц. Вклады в сечение рассеяния связанные с иногда называют "инфракрасными контр членами".

Схематично класс рассматриваемых инфракрасно конечных наблюдаемых может быть записан в виде

' °° } Я2 } Я2 " } Я2 <-Кь? -{) / ¿г2Чг{г2, ¿ХгФи *

п=2 0 0 ¿=1 0

2

xda2^(zlPuz2p2,...)Sn({z},{x}) = д^ (~) dcr[

где S„({z}, {х}) - функция измерения, которая определяет какое именно (полное, дифференциальное и т.д.) инклюзивное сечение рассеяния рассматривается. Например для дифференциального по углу сечения рассеяния в NLO порядке ТВ S„ должна быть выбрана пропорциональной âD~2(Q — П.с)е(), где ÇÏDet - телесный угол на который рассматривается процесс рассеяния.

Далее дана демонстрация описанной выше техники на примере модельной, в данном контексте, задачи о рассеянии электрона на свободном кварке (который не является партоном в адроне, т.к. в данном случае это не принципиально) в "конформной КЭД". Явно показывается как происходит сокращение инфракрасных расходимостей в инклюзивном сечении рассеяния. Аналитически вычисляются конечные части. В результате ответ для дифференциального по углу сечения рассеяния электрона на свободном кварке в NLO порядке ТВ имеет вид, при выборе масштаба факторизации Q2 — —t,

^Finite

где £ = Ь2г/{{г + 1) - с( 1 - г)) принимает вид:

йа

ЖГ

т

/ ви/е

а2 /С2 + 2С + 5 2Е2

( ^-»Л

\ ¿Пи / В

+ +

(ЙЪ Ув \ ^13 ЛР;

С*-

(1-е)2

(с3 + 5С2-ЗС + 5) 1ое2(1-^)+

1,

+^(7с3 + 19с2

55с-

2тг(1 -с)(1 + с)2 - 3) ) - (1 + с)(3с2 + 21с + 2)

(2)

Здесь и далее с = ссе(^з) - косинус угла рассеяния частицы 3 по отношению к частице 1 ( в данном случае кварка по отношению к электрону ) в системе центра масс (ц.м.). Е - энергия электрона в системе ц.м., СУ - соответствующий оператор Казимира калибровочной группы. Индексы I, В, Бр1 обозначают вклады в процесс от виртуальных частиц, испускания реальных частиц и учета коллинеарных частиц ( функций расщепления ) в начальном/конечном состоянии, соответственно.

Далее вычисляется N1^0 поправка для сечения рассеяния МНУ глюонов

(т.е. глюонов со спиральной конфигурацией (---Н-)) в Л/" = 4 максимально

суперсимметричной теории Янга-Миллса в системе ц.м.

¿672

■2->2\(-~++1_ ^4(3 +С2) /¡¿у

^13 / (¡гее) Я2 (1-е2)2 Ы '

(3)

Она включает в себя следующие объекты: однопетлевую поправку к рассеянию 2 —2 глюонов

V сйЬ 5 - 2с + с2 , .

4а2ЛГ2 *

Е2 1 + сч

а 4тг

16 3 + с2 4/5 + 2 с + с2 Ь 'е2(1-с2)2+ е (1-е2)2 ^

+

16

16(3 + с?)тг2__

3(1 - с2)2 (1 - с2);

1

с Д + С,

—) 1ое(——)

(4)

Древесный вклад 2 3 рассеяния глюонов различных спиральных конфигураций (МНУ и ап^-МНУ), с интегрированием по фазовому пространству дополнительного глюона

Мт2->з\ V ) Цеа1

(5)

где ¿03 - трехчастичный фазовый объем

*Фз = (2^ 1 (У"1 (2,)^ {2П) 6 ^ + Р2 ~ Р3 ~ ~Р5)' (6)

3 - плотность потока частиц и ¿>3 - функция измерения, которая определяет, какую именно наблюдаемую мы рассматриваем. Для рассматриваемых нами спиральных конфигураций квадраты матричного элемента \М%гее\2 и функции измерения ¿>3 имеют вид:

1) 12 = <лт2 -1) Е-----.

= 6+,нМр1 > Р1МР1 > - П,з), (8)

что соответствует детектированию третьей частицы с наибольшей энергией.

что соответствует тому, что мы требуем что бы в конечном состоянии было два глюона с положительной спиральностью упорядоченные по энергии и мы детектируем "самый быстрый"из них.

2) \М(^е){-~++-)\2 = д^Ж - 1) У--->(10)

<^4«1а(1)5(7(1)17(2)5ст(2)<т(3)5ст(3)а(4)51г(4)1

= 5+ме(р°3 > рЧ)5°-2(Пм - 0,3), (11)

что соответствует детектрованию третьей частицы с наибольшей энергией.

= ё+м6+1Ъф)8п-2{ПВе( - П13), (12)

что соответствует тому, что мы требуем что бы в конечном состоянии было два глюона с положительной спиральностью упорядоченные но энергии и мы детектируем "самый быстрый"из них. Также рассматриваются вклады от дополнительных частиц из N = 4 супермультиплета2 в конечном состоянии (фермионы щ и скаляры ЛЛ):

3) \М^е]{'-+т]\2 = зЧ3(м2 - 1) V-+ -_ (13)

^4в1а(1)в,7(1)(Г(2)8<г(2У(3)5<7(3)1т(4)«<7(4)1

2Д/" = 4 супермулътиплет состоит из глюона, д, 4 фертгонов ("кварков") и 6 действительных ска-

ляров \АВ] А и В являются 5[/(4)д индексами, Л антисимметричный Б и (4) я тензор. Подразумевается,

что все ответы усреднены по ££/(4)д индексам.

В данном случае мы имеем только оду возможную функцию измерения

= ¿+,Лз<5с-2(Пш - П13). (14)

4) «Х-+ЛЛ)|2 = 56лгЗ(ЛГ2 _ 1} у -'4Л- (15)

В данном случае функция измерения совпадает с предыдущей. На практике технически удобнее работать с функцией измерения вида

З3(р3,р4,р5) = е(р1-]~^Е)50-2(П-П3), (16)

где 6 - произвольный параметр, а потом зафиксировать значение 6 из требования того, что наблюдаемая частица самая "быстрая"(это соответствует 5 = 1/3). В дальнейшем мы оставим значение <5 произвольным, так как мы увидим, что сокращение инфракрасных полюсов происходит при произвольных <5.

Учет вкладов от функций расщепления в начальном и конечном состоянии, который схематично можно представить в виде

/ <1г£Уд1{г)(1а2^2{т,

Р,;Рз,Р4)^ш(г), (17)

¿С2-*2(Р1,Р2,Р3,Р4) (18)

Jo ,

В заключении главы получен набор величин, из которых могут быть получены инфракрасно конечные инклюзивные дифференциальные сечения рассеяния в ]\Г = 4 максимально супсрсимметричной теории Янга-Миллса. А именно, может быть составлено три набора величин в которых происходит полное сокращение инфракрасных расходимостей, из которых могут быть составлены различные физические наблюдаемые: МНУ вклад глюонов Амну равный

1 Г^л1"^ Л^У"-^

2 V ^13 и«1зАы 1^13 ) ШрШ 1^13 )рп8рШ

ап^-МНУ вклад глюонов Вапи~МИУ равный

V ^13 / уы ) Ша1 V ^13 )1п5рШ 4^13 ) РпБрШ

ап1л-МНУ вклад от фермионов и скаляров из Ы — 4 супермультиплета в конечном состоянии СММет равный

( dcr;

2->3

(--+, 99+ДД)

(--+, qq+AA)

+ ■ (21) КЛПп)^ \dQ.i3 ) шт

Для полного аШл-МНУ вклада (Вапи~МНУ+СМаиег) при выборе масштаба факторизации С}2 = Е2 и 5 = 1 ответ может быть записан в относительно простой аналитической форме

йа \ 4а2ЛГ2 Г 3 + с2

\dQi3/ anti~MHV 2

Е2

(1 -- с2)2

(22)

а

47Г

(с4+2с3+4С2+6С+19) log2(i^)

(1-е)2(1+е)4

+ 2

(с4-2с3+4с2-6с+19) log2(^) (1 - с)4( 1 + с)2

(c2 + l)log(^)log(bi) б^Зс2 + 13) - 5(61с2 + 99)

(1 - с2)2

+ •

-2

(11с3 —31с2— 47с—133) log(^) (11е3+31е2-47е+133) log(^)

9(1 - с2)2

3(1 + с)3(1 - с)2

■ + 2-

3(1-с)3(1+с)2

В третьей главе "Вычисление инклюзивного сечения рассеяния в ИЬО порядке ТВ и инфракрасно безопасные наблюдаемые в N = 8 супергравитации" , используя алгоритм вычислений представленный в предыдущих главах, явно демонстрируется сокращение инфракрасных расходимостей в инклюзивных дифференциальных сечениях рассеяния поляризованных гравитонов для N = 8 супергравитации в ]МШ порядке ТВ в МНУ секторе [23]. А именно, сингулярные части для виртуального вклада, вклада от дополнительных реальных частиц в конечном состоянии и от функций расщепления в начальном и конечном состоянии имеют, соответственно вид:

da\

(acrE2)3

7Г Е2

+(1 - с) log

2\2{

128

Д'

8 J (1-С2)2

1-С

(l + c)logi^+ (23)

1 + с, 1-е + 2 log —— log ——

da _У~+++)

(aGrE2)3

с?П13/

Real

тгЕ2

2\

64

(1 - с2)2

+(1 - с) log

1-е

+ Finite part (5, с)

(1 + с) log —(24)

(—)

\dQnJ

'"+++» (agrE2)3 128

ms*« ' W d-c2)2

l—2<5

-2 log - (1 - c) log i—— - (1 + c) log + Finite part(J, c)

da (aGrE2Y fii2\2t 128

2й" — 1 1-J'

t + 2 log —j—

■ (26)

^13 Jpnsm ^ w (l-c2)H(ä-l)5

Здесь aar = IGttGn/Att (Gjv - гравитационная постоянная).

По аналогии с предыдущим разделом для МНУ вклада гравитонов AMHV равного

1 (da,

2

\А£113/лтг V ^13 Лп5/>ш \ ^13 ) РпЗрШ.

происходит полное сокращение инфракрасных расходимостей.

В четвертой главе "Другие суперконформные теории" обсуждается вопрос о построении теорий, основанных на Я = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса, но обладающих меньшей суперсимметрией, однако, сохраняющих ее привлекательные свойства, такие как ультрафиолетовая конечность и супер-конформная инвариантность [24,25].

Рассматриваются такие деформации Я = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса, которые заключаются в добавлении к лагранжиану исходной теории операторов маргинальной массовой размерности и которые сохраняют Я — 1 суперсимметрию и не меняют калибровочный сектор теории. Действие для А'" = 4 БУМ в Я = 1 супер полях принимает вид:

Б^ = I ¿*гТг (е-дуфг<?у&) + / ^гТт{Ша\Уп) +

+ I díizW(Ф) + h.c., (28)

где \Уа = Б2{е~9УОаедУ), V = УаТа - векторное суперполе, ф,г = Ф?Га, г = 1...3 - киральное суперполе, Та - матрицы фундаментального представления калибровочной группы Би(ЛУ и супсрпотенциал УУ имеет вид:

>У = 1г(Гг(Ф1Ф2Фз)-Тг(Ф1ФзФ2)). (29)

В пространстве-времени размерности оператор является маргинальным, если его массовая размерность До = 3, и следовательно единственными маргинальными операторами, обладющими данным свойством, являются:

Ог = Тг^Фг.Фз]), (30)

02 - ТКФ^Фз.Фз}), (31)

Оз = £Тг(Ф*). (32)

г=1

Деформация N = 4 БУМ вида

Яьз = + Е / ^Ок + Л-с. (33)

называется деформацией Ли-Страслера (ЬБ-деформацией). Она может быть записана в виде следующей модификации суперпотенциала исходной Л/* = 4 БУМ теории:

И^яум = г5-[Гг(Ф1Ф2Фз)-Тг(Ф1ФзФ2)](34)

. з

тззум = г[/г1Тг(Ф1Ф2Ф3)-/г2Тг(Ф1Ф3Ф2) + ^Е:Гг^)Ь

6 ¿=1

где ,к2,кз - комплексные "юкавовские"константы взаимодействия.

Полученная теория помимо очевидной Я — 1 суперсимметрии инвариантна относительно циклических перестановок полей (Фь Фг, Фз) и замены -Н- —/¿2- В случае Лз = 0 говорят о /3-деформации и обычно используют немного другую параметризацию оставшихся двух констант:

к, = кд, Л2 = Л/9, 9 = е"",

где Л и /3 в общем случае комплексны.

В планарном пределе, при использовании размерной регуляризации (редукции) полученная N — 1 суперсимметричная калибровочная теория является ультрафиолетово конечной и супер-конформно инвариантной до 4 петель в случае когда перенормированные параметры деформации Л, параметризуются калибровочной константой связи д в виде

ы = + + +

г = 1,2,3; (35)

и удовлетворяют условию

где имеет вид

= {(озйз)4 4 (а!Й1 - а2а2)4 + 6(а3а3)2(а1гг1 + а2а2)2 +

+ 24а1а1а2а2взаз(гг1«1 + аг^г) + 8а3(а2а2«3 — а\а\а\) + + 8аз(ага2а1 — а^а^) — 8а3а3(а^а,2 + я3«3) -- 4са3а3(а1а1 + а2а2)3 - 4(азаз)3(а1а1 + агаг)}- (37)

Условие 4-петлевой ультрафиолетовой конечности и сунер-конформной инвариантности не получает петлевых поправок (т.е. сводится к однопетле-вому условию ¡/г,|2 + ¡/г2|2 |^з|2 = 2^) в двух случаях: когда параметры деформации выбраны в виде

/11 = кд, ¡12 = /г/9, д = , /13 = О,

где /г, Р - действительны, что соответствует /3-деформации и суперпотенциалу вида

\У = г%7У(Ф1Ф2Фз) - ^(Ф^зФг)],

а так же при выборе параметров деформации в виде

/г! = кд, Из = к/д, д = е^, к2 = О, где к, Р - действительны, что соответствует суперпотенциалу вида

1 ^ т (д 3 \

= ¿Л[дТг(ФДФ2Ф3) - - £ • (38)

^ г=1

Известно, что для /3-деформации, при действительном параметре деформации /3, однопетлевое условие ультрафиолетовой конечности и суперконформной инвариантности не получает петлевых поправок во всех порядках ТВ. Вообще говоря не было получено строгого доказательства того, что второе найденное решение является точным во всех порядках ТВ, но косвенные данные основанные на анализе свойств интегрируемости теории и

дальнейшие исследования условия конечности, которые позволяют отодвинуть границу появления поправок до 7 петель (!), говорят в пользу такого предположения.

Для амплитуд рассеяния в рассмотренных выше теориях, соответствующих найденным решениям, выделенные свойства амплитуд .V = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса, по крайней мере частично, сохраняются. Развитая в предыдущих главах методика построения инфракрасно безопасных наблюдаемых может быть применена к полученным теориям без каких либо существенных изменений.

В заключении кратко сформулированы полученные в диссертации результаты, которые и выносятся на защиту.

В дополнении представлено подробное описание вычислительных приемов, использовавшихся в работе, и приведены аналитические выражения для конечных частей инфракрасно безопасных наблюдаемых (инклюзивных дифференциальных сечений рассеяния) в Л/" = 4 максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса.

Публикации автора по теме диссертации

1. Construction of Infrared Finite Observables in N = 4 Super Yang-Mills Theory. L.V. Bork, (Moscow, ITEP) , D.I. Kazakov, (Dubna, JINR; Moscow, ITEP) , G.S. Vartanov, (Dubna, JINR; Potsdam, Max Planck Inst.), A.V. Zhibocdov, (Dubna, JINR; Princeton U.). Phys.Rcv.D81:105028,2010.

2. Infrared Safe Observables in N = 4 Super Yang-Mills Theory. L.V. Bork, (Moscow, ITEP) , D.I. Kazakov, (Dubna, JINR; Moscow, ITEP) , G.S. Vartanov, (Dubna, JINR) , A.V. Zhiboedov, (Dubna, JINR ; Moscow State U.). Phys.Lett.B681:296-303,2009.

3. Conformai Invariance in the Lcigh-Strassler deformed N=4 SYM Theory. L.V. Bork, (Moscow, ITEP; Moscow Phys. Eng. Inst.) , D.I. Kazakov, (Dubna, JINR; Moscow, ITEP) , G.S. Vartanov, A.V. Zhiboedov, (Dubna, JINR). JHEP 0804:003,2008.

4. Conformai invariance = finiteness and beta deformed N=4 SYM theory. D.I. Kazakov, (Dubna, JINR; Moscow, ITEP) , L.V. Bork, (Moscow, ITEP; Moscow Phys. Eng. Inst.). JHEP 0708:071,2007.

5. Conformai Invariance in Deformed N=4 SYM Theory. D.I. Kazakov, (Dubna, JINR; Moscow, ITEP) , L.V. Bork, (Moscow, ITEP; Moscow Phys. Eng. Inst.). Contribution to special volume "Problems of Modern Theoretical Physics"in honor of Professor I.L. Buchbinder in the occasion of his 60th birthday.

6. Conformai invariance in Beta-deformed N=4 SYM theory. D.I. Kazakov, (Dubna, JINR; Moscow, ITEP) , L.V. Bork, (Moscow, ITEP; Moscow Phys. Eng. Inst.). Proceedings of international Workshop "Supersimrnetries and Quatum Symmetries"(SQS 07) Dubna 2008. Proceedings of international Workshop.

Список литературы

[1] J.M. Maldacena, The Large N limit of superconformai field theories and supergravity, Adv.Theor.Math.Phys. 2 (1998) 231; Int.J.Theor.Phys. 38 (1999) 1131.

[2] S.S. Gubser, I.R. Klebanov and A.M. Polyakov, Gauge theory correlators from noncritical string theory, Phys.Lett. B428 (1998) 105;

E. Witten, Anti-de Sitter space and holography, Adv.Theor.Math.Phys. 2 (1998) 253.

[3] 0. Lunin and J. Maldacena, Deforming field theories with U(l) x U(l) global symmetry and their gravity duals, JHEP 0505 (2005) 033.

[4] D.Z.Freedman and U.Gursoy, Comments on the beta-deformed N = 4 SYM theory, JHEP 0511 (2005) 042, hep-th/0506128.

[5] N. Beisert, On Yangian Symmetry in Planar A/" = 4 SYM, [arXiv: 1004.5423v2 [hep-th]].

[6] Z. Bern, M. Czakon, L.J. Dixon, D.A. Kosower and V.A. Smirnov, The Four-Loop Planar Amplitude and Cusp Anomalous Dimension in Maximally Supersymmetric Yang-Mills Theory, Phys. Rev. D 75 (2007) 085010, [arXiv:hep-th/0610248];

F. Cacliazo, M. Spradlin and A. Volovich, Four-Loop Cusp Anomalous Dimension From Obstructions, Phys. Rev. D 75 (2007) 105011, [arXiv:hep-th/0612309].

[7] Z. Bern, L. J. Dixon, M. Perelstein and J. S. Rozowsky, Multi-leg one-loop gravity amplitudes from gauge theory, Nucl. Phys. B 546, 423 (1999) [arXiv:hep-th/9811140].

[8] Z. Bern, L. J. Dixon, D. C. Dunbar and D. A. Kosower, One-Loop n-Point Gauge Theory Amplitudes, Unitarity and Collinear Limits, Nucl. Phys. B 425 (1994) 217, [arXiv:hep-ph/9403226].

[9] Z. Bern, L. J. Dixon, D. C. Dunbar and D. A. Kosower, Fusing gauge theory tree amplitudes into loop amplitudes, Nucl. Phys. B 435 (1995) 59, [arXiv:hep-ph/9409265].

[10] Z. Bern. L. J. Dixon and D. A. Kosower, Progress in one-loop QCD computations, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 46 (1996) 109, [arXiv:hep-ph/9602280],

[11] Z. Bern, Lance J. Dixon,R. Roiban, IsM = 8 supergravity ultraviolet finite?, Phys. Lett. B644 (2007) 265-271, [hep-th/0611086].

[12] Z. Bern, J.J.M. Carrasco, H. Johansson, Progress on Ultraviolet Finiteness of Supergravity, [arXiv:0902.3765 [hep-th]]

[13j T. Kinoshita, Mass singularities of Feynman amplitudes, J. Math.Phys. 3 (1962) 6-50;

T. D. Lec, M. Nauenberg, Degenerate Systems and Mass Singularities, Phys. Rev. 133 (1964) B1549.

[14] S. Weinberg, Infrared photons and gravitons, Phys. Rev. 140 (1965) B516.

[15] C. L. Basham, L. S. Brown. S. D. Ellis and S. T. Love, Energy Correlations In Electron - Positron Annihilation: Testing QCD, Phys. Rev. Lett. 41 (1978) 1585.

C. L. Basham, L. S. Brown, S. D. Ellis and S. T. Love, Energy Correlations In Electron-Positron Annihilation In Quantum Chrornodynamics: Asymptotically Free Perturbation Theory, Phys. Rev. D 19 (1979) 2018.

[16] N. A. Sveshnikov and F. V. Tkachov, Jets and quantum field theory, Phys. Lett. B 382 (1996) 403, ]arXiv:hep-ph/9512370].

M. Testa, Exploring the light-cone through semi-inclusive hadronic distributions, JHEP 9809 (1998) 006, [arXiv:hep-ph/9807204],

[17] G. P. Korchemsky, G. Oderda and G. Sterman, Power corrections and nonlocal operators, arXiv:hep-ph/9708346.

G. P. Korchemsky and G. Sterman, Power corrections to event shapes and factorization, Nucl. Phys. B 555 (1999) 335, [arXiv:hep-ph/9902341]. A. V. Belitsky, G. P. Korchemsky and G. Sterman, Energy flow in QCD and event shape functions, Phys. Lett. B 515 (2001) 297, [arXiv:hep-ph/0106308],

[18] D. M. Ilofman and J. Maldacena, Conformal collider physics: Energy and charge correlations, JHEP 0805 (2008) 012, [arXiv:0803.1467 [hep-th]].

[19] S. D. Ellis, Z. Kunszt, D. E. Soper, The One Jet Inclusive Cross-Section at a3.- Gluons Only. Phys. Rev. D 40 (1989) 2188.

[20] S. D. Ellis, Z. Kunszt, D. E. Soper, The one-jet inclusive cross-section at order a3: Quarks and gluons. Phys. Rev. Lett. 64 (1990) 2121.

[21] Z. Kunszt, D. E. Soper, Calculation of jet cross-sections in hadron collisions at order a3, Phys. Rev. D 46 (1992) 192.

[22] L. V. Bork, D. I. Kazakov, G. S. Vartanov and A. V. Zhiboedov, Infrared Safe Observables in N = 4 Super Yang-Mills Theory, Phys. Lett. B 681 (2009) 296, [arXiv:0908.0387 [hep-th]]; Construction of Infrared Finite Observables

to

in A/" = 4 Super Yang-Mills Theory, Phys. Rev. D 81 (2010) 105028, arXiv:0911.1617 [hcp-th].

[23] L. V. Bork, D. I. Kazakov, G. S. Vartanov and A. V. Zhibocdov, Infrared Finite Observables in M = 8 Supergravity, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 272 (2011), arXiv:1008.2302 [hep-thj.

[24] D.I.Kazakov and L.V.Bork, Conformai invariance = finiteness and beta deformed Af = 4 SYM theory, JHEP 0708 (2007) 071, arXiv:0706.4245.

[25] L.V. Bork, D.I. Kazakov, G.S. Vartanov, A.V. Zhiboedov, Conformai Invariance in the Leigh-Strassler deformed Ai = 4 SYM Theory JHEP 0804 (2008) 003, arXiv:0712.4132.

th

Подписано к печати 13.04.11 г. Формат 60x90 1/6

Усл. печ. 1,25 Уч.-изд. л. 0,9 Тираж 100 экз. Заказ 573

Отпечатано в ИТЭФ, 117218, Москва, Б.Черемушкинская, 25

1 Введение

1.1 Амплитуды рассеяния в А/* = 4 ЭУМ в режиме слабой связи.

1.2 Амплитуды в сильной связи, дуальная конформная инвариантность и дуальность между Вильсоновскими петлями и амплитудами.

1.3 Инфракрасно безопасные наблюдаемые.

2 Вычисление инклюзивного сечения рассеяния в ГчГЬО порядке ТВ и инфракрасно безопасные наблюдаемые в ЛГ = 4 SYM

2.1 Построение инфракрасно безопасных наблюдаемых в безмассовых КТП

2.2 Конформная КЭД.

2.3 Вычисление инклюзивного сечения рассеяния в N = 4 БУМ, древест-нын вклад вклад.

2.4 Виртуальный вклад.

2 5 Испускание реальных частиц.

2.6 Коллинеарные контрчлены.

2.7 Инфракрасно безопасные наблюдаемые в А/ = 4 БУМ.

3 Вычисление инклюзивного сечения рассеяния в N1^0 порядке ТВ и инфракрасно безопасные наблюдаемые вЛ/" = 8 супергравитации

3.1 Виртуальный вклад.

3.2 Реальное испускание

3.3 Коллинеарные контрчлены.

3.4 Инфракрасно безопасные наблюдаемые в N = 8 супергравитации

4 Другие суперконформные теории

4.1 Маргинальные деформации N — 4 БУМ, деформация Ли-Страслера

4.2 Конформная инвариантность на квантовом уровне и ИУ конечность

ЬБ - деформированного Я = 4 ЭУМ

4.3 Однопетлевое условие конечности.

4.4 Четырехпетлевое условие конечности (планарный предел).

4.5 Унитарные преобразования.

4.6 Исследование условий конечности.

4.7 Новая (супер)конформная теория ?.

В последнее десятилетие был достигнут значительный прогресс в понимании структуры максимально суперсимметричной теории Янга-Миллса (в дальнейшем, иногда, для краткости мы б}-дем использовать сокращение N = 4 БУМ). Этот прогресс связан, в той или иной степени, с выдвинутой в 1998г. Х.Малдаценой [1], А.Поляковым и Э.Виттсном [2] гипотезой о дуальности теории струн типа ПВ на фоне пространства Ав.Бг, х £5 и теории N — 4 БУМ живущей на границе Ad.Sc,, получившей название Ас1Б/СРТ соответствия. В дальнейшем эта гипотеза получила обобщения на бэкграунды обладающие меньшей суперспмметрией, в частности, было установлено аналогичное соответствие для /3-деформированной [3, 4] М — 4 БУМ теории и теории струн на фоне пространства АйБ^ х 65 (65 - некоторое многообразие топологически эквивалентное сфере). Аналогичные попытки [5, 6] были предприняты и для более общей деформации Ли-Страслера (в дальнейшем для краткости будет использоваться сокращение ЬБ-деформация) N = 4 БУМ теории, хотя в настоящий момент точное дуальное описание в терминах какой либо теории струн остается неизвестным.

Для самосогласованности исходной Ас1Б/СРТ гипотезы и ее обобщении [1, 2, 3] необходимо, чтобы соответствующие теории поля обладали (супер)конформной инвариантностью. Необходимым условием этого является отсутствие конформной аномалии [7|, что, в свою очередь, означает равенство 0 бета функций теории [8]. Равенство 0 бета функции тесно связано со свойством ультрафиолетовой (1ГУ) конечности теории, те. тривиальности всех констант перенормировки [8]. В случае Л/* = 4 БУМ ее ультрафиолетовая конечность и (супер)конформная инвариантность была доказана в серии работ [9, 10]. В случае калибровочных теорий, обладающих меньшей чем Л/" = 4 БУМ суперсимметрией, вопрос о (супер)конформной инвариантности и конечности является до настоящего времени предметом интенсивного исследования [11], [12], несмотря на то, что был сформулирован ряд достаточно общих утверждений [13, 14, 15, 7] о возможности построения конформно инвариантных и конечных калибровочных теорий, обладающих меньшей чем N = 4 БУМ суперсимметрией.

Синтез методов теории струн и КТП мотивированный гипотезой Ас1Б/СРТ соответствия позволил получить ряд крайне нетривиальных, непертурбативных результатов как для Л/* = 4 БУМ так и, вообще говоря, для других четырехмерных калибровочных суперсиммегричных теорий: ожидается, что в планарном пределе1 М = 4 БУМ будет интегрируемой и ее возможное решение станет примером решения первой нетривиальной КТП в четырехмерном пространстве времени [16]. Сами

1Под планариым пределом понимается случай когда калибровочная константа связи ц -4 0, ранг калибровочной группы Агс —»■ оо, так, что т'Хофтовская константа связи Л = д2Мс остается фиксированной. термины "точное решенне"и "интегрируемость"понимаетются в зависимости от контекста по-разному и поэтому требует уточнения.

В одном из возможных вариантов под "решением теории "понимается нахождение всего спектра аномальных размерностей {До} локальных операторов О, который определяет свойства их корреляционных функций. Локальные операторы О, а точнее спектр их аномальных размерностей {До}! находились в центре внимания с момента открытия Ас1Б /СРТ соответствия и в задаче о вычислении спектра аномальных размерностей {До} были достигнуты большие успехи. В режиме слабой связи эти успехи [17, 16] были достигнуты, частично методами теории поля, частично методами развитыми в теории интегрируемых систем. В режиме сильной связи использовались методы теории струн [18, 19] и теории интегрируемых систем, где аномальные размерности вычислялись как квазиклассические уровни энергии струны в распространяющейся в геометрии А<18$ х 65. Результаты этих вычислений хорошо согласуются друг с другом и позволили в конечном итоге сформулировать сначала интегральные уравнения на некоторые из аномальных размерностей, а затем позволили предположить вид системы функциональных уравнений (У-система) которая, как предполагается, определит весь спектр аномальных размерностей всех локальных операторов в N = 4 БУМ [20]. Ожидается, что /3 и ЬЭ деформации Л/* = 4 БУМ так-же будут точно решаемыми в указанном смысле, по крайней мерс, для определенных значений параметров деформации.

Точное решение"может пониматься так-же и в другом, непосредственно не связанным с предыдущем обсуждением, смысле, а именно, под "точным решением" может пониматься нахождение всех амплитуд теории (ее Б-матрицы [16]). В последнее десятилетие был так-же достигнут большой прогресс, во многом тоже мотивированный гипотезой Ас18/СРТ соответствия, в понимании структуры амплитуд в калибровочных теориях с расширенной суперсимметрией [17, 21], таких как Л/" = 4 БУМ и N = 8 супергравитация. В частности, благодаря использованию, техники унитарных разрезов [22, 23, 24] стали доступны 3-4 и 5 петлевые результаты для 4 точечных амплитуд в N = 4 ЭУМ в планарном пределе [17]. Отметим так же, что благодаря использованию идеологически близких методов, таких как рекуррентные соотношения и разложение по МНУ вертексам, удалось вычислить все древестные амплитуды в ЛГ = 4 БУМ, так что можно считать, что древестная Э-матрица теории известна. Применение же техники унитарных разрезов к амплитудам в А' = 8 супергравитации сделало возможным вычисление 3 петлевых 4 точечных амплитуд [21, 25, 26]. Заметим, что все эти результаты было бы затруднительно получить используя обычную диаграмную технику (как компонентную, так и доступную на сегодняшний момент суперполевую) в связи с чрезвычайной сложностью таких вычислений связанную, в частности, с факотриальным ростом числа диаграмм с ростом порядка теории возмущений (ТВ) или числа внешних импульсов. Эти результаты позволили вновь поднять вопрос о возможной ультрафиолетовой конечности N = 8 супергравитации [25, 26].

Ответы для амплитуд, получаемые с помощью техники унитарных разрезов для фиксированного порядка ТВ, записываются в виде суммы базисных скалярных интегралов, определенных в произвольной размерности пространства времени £), с определенными коэффициентами, зависящими от кинематических инвариантов внешних импульсов. Анализ свойств этих ответов позволил пронаблюдать новые неожиданные и нетривиальные свойства амплитуд. Рассмотрим эти свойства подробнее.

1. J.M. Maldacena, The Large N limit of superconformai field theories and supergravity, Adv.Theor.Math.Phys. 2 (1998) 231; 1.t.J.Theor.Pliys. 38 (1999) 1131.

2. D.Z.Freedman and U.Gursoy, Comments on the beta-deformed Af = 4 SYM theory, JHEP 0511 (2005) 042, hep-th/0506128.

3. M.Kulaxizi, Marginal Deformations of M = 4 SYM and Open vs. Closed String Parameters, hep-th/0612160, hep-th/0610310.

4. R.G. Leigh and M.J. Strassler, Exactly marginal operators and duality in four-dimensional Af = 1 supersymmetrie gauge theory, Nucl.Phys. B447 (1995) 95.

5. M.K. Sohnius, P.C. West Conformai invariance inAf = A supersymmetrie Yang-Mils theory Nucl.Phys. B100 (1981) 245.

6. F.Elmetti, A.Mauri, M.Pin one, Conformal invariance and finiteness theorems for non-planar beta-deformed Я = 4 SYM theory, arXiv:0710.4864 hep-th].

7. A J.Parkes, Three Loop Finiteness Conditions In Я = 1 Superyang-Mills, Phys.Lett.B156 (1985) 73; A.J.Parkes and P.C.West,Finiteness in Rigid Supersymmetric Theories, Nucl.Phys. B256 (1985) 340.

8. I.Jack, D.R T.Jones and C.G.North, Я = 1 svpersymmetry and the three loop anomalous dimension for the chiral superfield., Nucl.Phys. B473 (1996) 308.

9. D.I. Kazakov, Finite Я — 1 Susy Field Theories And Dimensional Regularization, Phys.Lett. B179 (1986) 352; Mod.Phys.Lett. A2 (1987) 663.

10. N. Beisert, On Yangian Symmetry in Planar j\f — 4 SYM, arXiv:1004.5423v2 [hep-th]].

11. S.S. Gubser, I.R. Klebanov and A.M. Polyalcov, A semi-classical limit of the gauge/string correspondence, Nucl. Phys. В 636 (2002) 99, arXiv:hep-th/0204051].

12. S. Frolov and A.A. Tseytlin, Semiclassical quantization of rotating superstring in AdS5 x 5s, JHEP 0206 (2002) 007, arXiv:hep-th/0204226].

13. A. Kuniba, T. Nakanishi, J. Suzuki T-systems and Y-systems in integrable systems, arXiv: 1010.1344vl hep-th].

14. Z. Bern, L. J. Dixon, M. Perelstein and J. S. Rozowsky, Multi-leg one-loop gravity amplitudes from gauge theory, Nucl. Phys. В 546, 423 (1999) arXiv:hep-th/9811140].

15. Z. Bern, L. J. Dixon, D. C. Dunbar and D. A. Kosower, One-Loop n-Point Gauge Theory Amplitudes, Unitarity and Collinear Limits, Nucl. Phys. В 425 (1994) 217, arXiv:hep-ph/9403226].

16. Z. Bern, L. J. Dixon, D. C. Dunbar and D. A. Kosower, Fusing gauge theory tree amplitudes into loop amplitudes, Nucl. Phys. В 435 (1995) 59, arXiv:hep-ph/9409265].

17. Z. Bern, L. J. Dixon and D. A. Kosower, Progress in one-loop QCD computations, Ann. Rev. Nucl. Part. Sci. 46 (199C) 109, arXiv:hep-ph/9C02280].

18. Z. Bern, Lance J. Dixon,R. Roiban, Is J\f = 8 supergravity ultraviolet finite?, Phys. Lett. B644 (2007) 265-271, hep-th/0611086],

19. Z. Bern, J.J.M. Carrasco, H. Johansson, Progress on Ultraviolet Finiteness of Supergravity, arXiv:0902.37G5 [hep-thj]

20. S. J. Parke and T. R. Taylor, An Amplitude for n Glvon Scattering, Phys. Rev. Lett. 56(1986) 2459;F. A. Berends and W. T. Giele, Recursive Calcidations for Processes with n Gluons, Nucl. Phys. B 306 (1988) 759.

21. C. Anastasiou, Z. Bern, L. J. Dixon and D. A. Kosower, Planar amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory, Phys. Rev. Lett. 91 (2003) 251602, arXiv.hep-th/0309040],

22. Z. Bern, L. J. Dixon and V. A. Smirnov, Iteration of planar amplitudes in maximally supersymmetric Yang-Mills theory at three loops and beyond, Phys. Rev. D 72 (2005) 085001, arXiv:hep-th/0505205].

23. Magnea and G. Sterman, Analytic continuation of the Sudakov form-factor in QCD, Phys. Rev. D 42 (1990) 4222;G. P. Korchemsky, Sudakov Form-Factor In QCD, Phys. Lett. B 220 (1989) 629.

24. R. Roiban and A. A. Tseytlin, Strong-coupling expansion of cusp anomaly from quantum superstring, JHEP 0711 (2007) 016, arXiv:0709.0681 [hep-th]].

25. B. Eden and M. Staudacher, Integrability and transcendentahty, J. Stat. Mech. 0611 (2006) P014, arXiv:hep-th/0603157].N. Beisert, B. Eden and M. Staudacher, Transcendentality and crossing, J. Stat. Mech. 0701 (2007) P021, arXiv:hep-th/0610251.

26. B. Basso, G. P. Korchemsky, J. Kotanski, Cusp anomalous dimension in maximally supersymmetric Yang-Mills theory at strong coupling, Phys. Rev. Lett. 100 (2008) 091601, arXiv:0708.3933 [hep-t,h]].

27. F. Cachazo, M. Spradlin and A. Volovich, Four-Loop Collinear Anomalous Dimension inM = 4 Yang-Mills Theory, Phys. Rev. D 76, 106004 (2007) arXiv:0707.1903 [hep-th]]

28. M. Spradlin, A. Volovich and C. Wen, Three-Loop Leading Singularities and BDS Ansatz for Five Particles, Phj's. Rev. D 78, 085025 (2008) arXiv:0808.1054 [hep-th]].

29. L. F. Alday and J. Maldacena, Comments on gluon scattering amplitudes via AdS/CFT, JHEP 0711 (2007) 068, arXiv:0710.1060 [hep-th]].

30. L. F. Alday and J. M. Maldacena, Gluon scattering amplitudes at strong coupling, JHEP 0706 (2007) 064, arXiv:0705.0303 [liep-th]].

31. J. M. Drummond, G. P. Korchemsky and E. Sokatchev, Conform.al properties of four-gluon planar amplitudes and Wilson loops, Nucl. Phys. B 795 (2008) 385 arXiv:0707.0243 [hep-th]].

32. L. F. Alday, R. Roiban Scattering Amplitudes, Wilson Loops and the String/Gauge Theory Correspondence, Phys. Rept. 468 (2008) 153.

33. J. M. Drummond, J. M. Henn and J. Plefka, Yangian symmetry of scattering amplitudes in fS = 4 super Yang-Mills theory, arXiv:0902.2987 [hep-th]].

34. T. Kinoshita, Mass singularities of Feynman amplitudes, J. Math.Phys. 3 (1962) 650; T. D. Lee, M. Nauenberg, Degenerate Systems and Mass Singularities, Phys. Rev. 133 (1964) B1549.

35. S. Weinberg, Infrared photons and gravitons, Phys. Rev. 140 (1965) B516.

36. N. A. Sveshnikov and F. V. Tkachov, Jets and quantum field theory, Phys. Lett. B 382 (1996) 403, (arXiv:hep-ph/9512370].M. Testa, Exploring the light-cone through semi-inclusive hadronic distributions, JHEP 9809 (1998) 006, arXiv:hep-ph/9807204.

37. D. M. Hofman and J. Maldacena, Conformal collider physics: Energy and charge correlations, JHEP 0805 (2008) 012, arXiv:0803.1467 [hep-th]].

38. W. L. van Neerven, Infrared Behavior Of On-Shell Form-Factors In A Af = 4 Supersymmetric Yang-Mills Field Theory, Z. Phys. C 30 (1986) 595.

39. S. D. Ellis, Z. Kunszt, D. E. Soper, The One Jet Inclusive Cross-Section at a3: Gluons Only. Phys. Rev. D 40 (1989) 2188.

40. S. D. Ellis, Z. Kunszt, D. E. Soper, The one-jet inclusive cross-section at order a^: Quarks and gluons. Phys. Rev. Lett. 64 (1990) 2121.

41. Z. Kunszt, D. E. Soper, Calculation of jet cross-sections in hadron collisions at order a3s, Phys. Rev. D 46 (1992) 192.

42. S. Frixione, Z. Kunszt, A. Signer, Three-jet cross sections to next-to-leading order, Nucl. Phys. B 467 (1996 ) 399, hep-ph/9703305].

43. S. Catani, M. H. Seymour," A General algorithm for calculating jet cross-sections in NLO QCD, Nucl. Phys. B485 (1997) 291, hep-ph/9605323].

44. V. N. Gribov and L. N. Lipatov, Deep Inelastic E P Scattering In Perturbation Theory, Sov. J. Nucl. Phys. 15 (1972) 438; Yad. Fiz. 15 (1972) 781].

45. G. Altarelli and G. Parisi, Asymptotic Freedom In Parton Language, Nucl. Phys. B 126 (1977) 298.

46. T. Muta, "Foundations Of Quantum Chromodynamics: An Introduction To Perturbative Methods In Gauge Theories/' World Sci. Lect. Notes Phys. 5 (1987) 1.

47. G. Altarelli, R. K. Ellis and G. Martinelli, Large Perturbative Correcticms To The Drell-Yan Process In QCD, Nucl. Phys. B 157 (1979) 461.

48. Z. Bern, D. A. Ivosower, The Computation of loop amplitudes in gauge theories, Nucl. Phys. B 379 (1992) 451,

49. M. L. Mangano and S. J. Parke, Multiparton amplitudes in gauge theories, Phys. Rept. 200, 301 (1991), arXiv:hcp-th/0509223],

50. A. V. Kotikov and L. N. Lipatov, On the highest transcendentality in Af — 4 SUSY, Nucl. Phys. B 769 (2007) 217, arXiv:hep-th/0611204].

51. Z. Kunszt, A. Signer and Z. Trocsanyi, One Loop Helicity Amplitudes For All 2 —» 2 Processes In QCD And N = 1 Supersymmetric Yang-Mills Theory, Nucl. Phys. B 411 (1994) 397, arXiv:hep-ph/9305239],

52. L. V. Bork, D. I. Kazakov, G. S. Vartanov and A. V. Zhiboedov, Infrared Finite Observables in Af = 8 Supergravity, Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, to appear 273 (2011), arXiv: 1008.2302 hep-th],

53. L. J. Dixon, Calculating scattering amplitudes efficiently, arXiv:hep-ph/'9601359].

54. Z. Bern, J. J. Carrasco, L. J. Dixon, H. Johansson, D. A. Kosower and R. Roiban, Three-Loop Superfiniteness of A' = 8 Supergravity, Phys. Rev. Lett. 98 (2007) 161303, arXiv:hep-th/0702112].

55. L. V. Bork, D. I. Kazakov, G. S. Vartanov and A. V. Zhiboedov, Infrared Safe Observables in Af = 4 Super Yang-Mills Theory, Phys. Lett. B 681 (2009) 296, arXiv:0908.0387 [hep-th]].

56. L. V. Bork, D. I. Kazakov, G. S. Vartanov and A. V. Zhiboedov, Construction of Infrared Finite Observables in Af = 4 Super Yang-Mills Theory, Phys. Rev. D 81 (2010) 105028, arXiv:0911.1617 hep-th],

57. M.T. Grisaru and W. Siegel, Supergraphity. 2. Manifestly Covariant Rules and Higher Loop Finiteness, NucI.Phys. B201 (1982) 292.

58. M.T. Grisaru, B. Milewski and D. Zanon, The Structure Of Uv Divergences In Ssym Theories, Phys.Lett. B155 (1985) 357.

59. W. Siegel, Supersymmetric Dimensional Regularization via Dimensional Reduction, Phys.Lett. B84 (1079) 193.

60. L.V. Avdeev and A.A. Vladimirov, Dimensional Regularization And Super symmetry, Nucl.Phys. B219 (1983) 262.

61. D.I.Kazakov and L.V.Bork, Conformal invariance = finiteness and beta deformed N = 4 SYM theory, JHEP 0708 (2007) 071, arXiv:0706.4245.

62. L.V. Bork, D.I. Kazakov, G.S. Vartanov, A.V. Zhiboedov, Conformal Invariance in the Leigh-Strassler deform,ed Af = 4 SYM Theory JHEP 0804 (2008) 003, arXiv:0712.4132.

63. A.F.Ferrari http://fma.if.usp.br/ alysson/SusyMath76. http://www.feyncalc.org/

64. David Berenstein, Vishnu Jejjala, Robert G. Leigh, Marginal and relevant deformations of A/" = 4 field theories and noncommutative moduli spaces of vacua, Nucl.Phys. B589 (2000) 196-248, hep-th/0005087vl.

65. P.H.Ginsparg and S.L.Glashow, Top Quark Mass and Bottom Quark Decay, Phys.Rev.Lett. 50 (1983) 1415;

66. L.Chau and W-Y.Keung. Comments on the Parametrization of the Kobayashi-Maskawa Matrix, Phys.Rev.Lett. 53 (1984) 1802.

67. D. Bundzik, T. Mansson, The General Leigh-Strassler deformation and integrability, JHEP 0601 (2006) 116, hep-th/0512093v2;T. Mansson, The Leigh-Strassler Deformation and the Quest for Integrability, JHEP 06 (2007) 010, hep-th/0703150v2.

68. N. Arkani-Hamed, F. Cachazo, J. Kaplan, What is the Simplest Quantum Field Theory?, arXiv:0808.1446 [hep-th]]

69. Z. Xu, D. H. Zhang and L. Chang, Helicity Amplitudes for Multiple Bremsstrahlung in Massless Nonabelian Gauge Theories, Nucl. Phys. B 291 (1987) 392.

70. J. F. Gunion and Z. Kunszt, Improved Analytic Techniques For Tree Graph Calculations And The G G Q Anti-Q Lepton Anti-Lepton Subprocess, Phys. Lett. B 161 (1985) 333.

71. V. P. Nair, A current algebra for some gauge theory amplitudes, Phys. Lett. B 214 (1988) 215.