Интегральная геометрия и обратные задачи фотометрии тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ



АКАДЕМИЯ НАУК. СССР

Ордена Ленина Сибирское отделение Институт математики

На правах рукописи УДК 517.95

Шарафутдинов Владимир Альтафович

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ФОТОМЕТРИИ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1989

Работа выполнена в Институте математики Сибирского отделения АН СССР.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ' Лншш Б. Д. доктор-физико-математических наук,

Гиндикин С.Г. доктор физико-математических наук, • профессор Крушкаль С.Л.

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова •

Защита диссертации состоится

198 г.

час. на заседании специализированного совета

Д002.23.02 по защите диссертаций на соискание ученой степзнн доктора наук при Институте математики СО АН СССР (630090, Новосибирск, Университетский.пр., 4).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики СО АН СССР.

Автореферат разослан

198 г.

Ученый секретарь Специализированного совета д.ф.-м.н.

\

В.С.Белоносов

в

т^зЕ'

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

] Актуальность проблемы. Задачи интегральной геометрии состоят ¿¿-определении функции или более слояиой величины (даффзренциаль-ной формы, тензорного поля и т.п.), определенной на некотором многообразии, через ее интегралы по подмногообразиям заданного семейства. Одной из наиболее распространенных ситуаций является такая, в которой это семейство состоит из геодезических заданной римановой метрики. В частности, это могут быть прямые евклидова пространства. Назовем такие задачи одномерными.

В работах М.М.Лаврентьева и В.Р.Кнрейгова, посвященных математическим основаниям фотометрия,. был поставлен ряд обратных задач, заключающихся в определении тех или иных характеристик источников по результатам оптических измерений, произведенных на некотором удаления, от .них. Многие из: зти>; задач имеют форму одномерных задач интегральной геометрии. Их специфика, по сравнений с общими задачами интегральной геометрии, обычно заключается в априорной информации'об этих источниках, их носителях, о весовых функциях, входящих в интегралы и т.п. Даже в тех обратных задачах фотометрии, которые непосредственно не сводятся к задачам интегральной геометрии, интегрально-геометрические аспекты .проблемы обычно играют большую, роль. . Это обстоятельство обусловлено, в конечном счете, лучевой природой света.

Несколько особняком в математической фотокетрии стоит обратная задача определения оптической поверхности по конечному числу ее изображений.^Эта задача имеет.большое прикладное значение для фотограмметрии - технической' досцишопш, за'ни- . мающейся технологией создания топографических.карт и планов по аэроснимкам. С формальной; точки зрения она. мояет. рассматриваться как одномерная задача интегральной,геометрии. Ее специфика состоит в . том,' что .имеется априорная информация'об искомом источнике: его носитель есть некоторая поверхность. Благодаря этому, при переносе информации от источника к приемнику не происходит ее интегрирования. Это обстоятельство совершенно. меняет математический характер задачи по сравнении с -другими задачами интегральной геометрии, в связи с чем ее

исследование требует своих, специфических методов.

Перечислю,! еще некоторые естественно-научные и прикладные математические направления, к которым одномерная интегральная геометрия имеет непосредственное отношение.

Математическая геофизика. Многие .вопросы, связанные с интерпретацией результатов сейсмических измерений, приводят к/ постановкам, имещиад форму одномерных задач интегральной reo-, метрик. Эти вопросы оказали значительное влияние на развитие интегральной геометрии. ,

Томография. Эта дисциплина сейчас бурно развивается как в аппаратурной своей части, так и в части математического основания, быотро растет сфера ее приложений. В последнее время появились разделы томографии, занимающиеся диагностикой анизотропных сред, взаимодействие которых с зондирующим излучением существенно зависит от направления распространения последнего.

Обратные задачи для кинетических уравнений в уравнений переноса. При исследовании таких задач интегрально-геометричес-кце аспекты играют существенную роль. С другой стороны, некоторые HS наиболее результативных методов интегральной геометрии связаны с использованием кинетичеоких уравнений.

: В настоящее,время интегральная.геометрия является обширной областью математического анализа, тесно связанной с функциональным анализом,'математической физикой и другими разделами математики. Подавляющее большинство работ по интегральной геометрии посвящено исследованию задач для скалярных полей. В качества исключения из этого правила отметим несколько работ И.М.Гельфанда, С.Т.Гиндикина, М.И.Грасва, З.Я.Шапиро, Ю.Е.Ани-конова и В.Г.Романова, посвященных интегральной геометрии ко-сосимметричных тензорных долей. До последаего времени совершенно без внимания оставалась интегральная геометрия симметричных тензорных полей. Между тем, подобные задачи возникают при исследовании некоторых геометрических проблем, а также в таких разделах томографии, как интегральная фотоупругость и томография жидких кристаллов.

Цель работы. Дисоертавдя посвящена постановке и исследовании некоторых одномерных задач интегральной геометрии и обратных задач фотометрии. Основные из рассмотренных в диссертации

проблем следующие:

задача определения источника, находящегося в однородной поглощающей среде, его изображениям;

задача интегральной -.'еомегрии для симметричного тензорного поля вдоль геодезически. римэновой метрики;

задача интегральной геометрии дош симметричного тензорного поля вдоль прямых евклидова пространства; .

задача определения ло^бертовой оптической поверхности по конечному числу еа изображений.

Научная новизна и практическая ценность работы. Получеьы новые, существенно усиливающие ранее известные, результаты по обратным задачам фотометрии. Предложены новыэ постановка задач интегральной геометрии и обратных задач фотометрии. В связи с исследованием этих а^дач построена теория лучевсго преобразования симметричных тензорных полей. Продемонстрировано , что она является содержательной математической теорией, связанной о алгеброй, рймановой .геометрией, функшо. элышм анализом н уравнениями с частными производными. Тем самим заложено новое направление .интегральной геометрии - интегрзль-ная геометрия сньметретнах тензорных полей. .

Результаты и методы работы могут быть жслользованы в таких прикладных областях, как геофизика, томография,; фотограмметрия. Практическую' ценность- имеют предлояэшша численный методы решения задачи шие^альной фотоупругости п. эдачи определения ламбе, :овой оптичеокой кривой по даум изображениям.

Апробация работы. Основные результата диссертации докладывалась на Ï (Новосибирск, 1533), П (КуЙбыгев, 1985) к Ш (Киев,

1987) Всесоюзных.симпозиумах по,вычислительной томографии, на двух Всесоюзных школах-семинарах , по . некорректно, пос^авлешмм задачам (Самарканд, 1983 я Саратов, 1935), ка УШ Всесоюзной конференции по, современшал проблемам дафференгдеальной геометр :зд ( Одесса, 1984),.' на Всесоюзной конференции. по, Геометрии

"з цело?/" (Новосибирск, i9s7), на i k F Сибирски:.. катек-ати-чзских школах "Алгебра, и анализ" (Кемерс 198? и Томск,

1988), на -школё-сешнйре; "Современные,проблемы теории функций" ('Лркутск, 1987) , на/Всесоюзном семинаре ао оптической -томографии (Таилщг 1988), на семинарах академша А.С.Алексеева (БЦ СО АН СССР), академика7 М.М.Лаврзнтьева КМ СО л!' СССР,: .'

члена-корреспондента АН СССР С К.Годунова (Ш СО АН СССР), профессора А.В.Гончарского (МГУ), профессора В.П.Паламодова (МГУ), профессора Н.Г.Преображенского (ИТШ СО АН СССР).

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, шести глгз и списка литературы из 89 наименований. Главы разбиты на параграфы и снабжены вводными разделами. Объем работы 339 страниц машинописного текста, 3 рисунка. -

Личный вклад автора. Все результаты диссертации, за исключением изложенных в главе 3, получены автором самостоятельно. Результаты третьей главы получены совместно с Л.Н.Пестовым.

КРАТКОЕ СОДрЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении и вводных частях каждой из глав содержится краткое изложение современного состояния рассматриваемых вопросов, приводится мотивировка формальных шт<*матических постановок, краткий обзор полученных результатов и обсуждается т. связь о результатами других авторов. _

Глава I посвящена задаче определения источника, находящегося в однородной поглощающей среде, по его изображениям.

Зафиксируем гладкую функцию £ на единичной сфере О. пространства К* , которую будем называть поглощением. Функцию . В(Х) = €ХР[-1Х1£(Х/1Х})] назовем ослаблением. Пусть7е£'(!Кп} - финитное распределение, зирр! . Изображением источ-

ника .7 в точке сГ называется распределение , определяемое равенством

Q

изображением ^ в несобственной точке называется юеделшие I* Т на = {Х( ¡Кп I $> = 0} ', определяемое равенством

Пусть

оо " компактификация • Основным

результатом глазы Г является

Теорема I.I. Пусть J"£ Sr(iRn) - ненулевое распределение. Длл любой окрестности ¡1 выпуклой оболочки носителя J множество точек о1КПу*Ц , для которых 1*7=0, конечно.

Получена также аналогичная теорема, относящаяся к случаю, когда изображения заданы лишь на некоторой области Ш <= . В § I.I приводятся формулировки основных определений и результатов, обсуждается их связь с задачами интегральной геометрии и результатами других авторов. § 1.2 содержит некоторые понятия теории распределений, необходимых для доказательства этих теорем, а § 1.3 -..сами доказательства.

Главы 2-5 посвящены,интегральной геометрии сгаядетрячнях тензорных полей.

Глава 2 в своей вводной чячти содержит формулировку нескольких проблем и обсуждение их связей. Мы начинаем с одной нелинейной геометрической проблемы - задачи определе: и рика-новой метрики по годографу. Годографом простой ршановой метрики ^ на компактном многообразии М с краем называется функция на дМ*дМ , сопоставляющая паре точек края расстояние меаду ними в метрике cj. . .

Проблема 2.1. Верно-ли, что простая риманова метрика определяется своим годографом, о точностью до изокетрш, тождественной на краю?

Проводится линеаризация этой проблемы, приводящая к задаче интегральной геометрии для симметричного теньоряого поля степени 2. Ызе приведено обобщение этой проблемы на случай полей произвольной степени. Пусть ) - расслоение ко—

вариантных симметричных тензоров степени fit . В процессе этой линеаризации естественным образом возникает оператор d = =<ЗТ: r(SmT{A)-+ C~(Smlt'M) , где 7 - ковариактксе даффэ-ренщфование, О' -.симметрирование.-Мы называем.d. оператором внутреннего дифференцирования.

Проблема 2.2. Пусть - компактное,- рассеи-

вающее (i.e. не содержащее геодезических бесконечной длины) рп.ганово многообразие. В какой степени поло f с- C°*(SmF^ ) определяется интегралам!

1ИУ) = Ц' г U!Xil...Xl"lcU , . (I)

■j у лт

заданнши для всех максимальных геодезических / ? Верно ли, в частности, что из равенства +/ -0 вытекает существование такого V6 C^iS^'h ^ ). . что и f = ¿V ?

Определенный равенством (I) оператор J назовем лучевым преобразование!.;. Приводится вариант этой проблемы для открытых -многообразий и его фотометрическая интерпретация. Пока?ы-вается, что э.га проблема эквивалентна задаче описания невидимых извне источников, полиномиально зависящих от направления.

ПустьQН Ix'fM', TxMt fijWt^i}" .многообразие

единичных касательных векторов, Н - \- 'ib/dli -геодезическая пульверизации Уравнение Hvcx,}) - J(x,f) на

И называется кинетическим.уравнением метрики д- . Оно имеет простой фотометрический смысл:.- плотность потока излечения, J - плотность источников. В терминах кинетического уравнения; проблема 2.2 допускает следующую эквивалентную формулировку. . ;

П р о о л е м а 2,6. Пусть (Mfa) открытое (т.е. некомпактное, без жрая) рвманово многообразие. Верно ли, что любо^ финитное решение кинетического уравнения

: . Ну(х,Г) « W'1.-?'" *■:'-. (2)

с финитной, правой частью является однородным полиномом степени т-1 по £ , ? •'/ ;'

. Основным результатом глава 2 является следующее утверждение (теорема 2.1), являющееся весьма ослабленным вариантом проблемы 2.6,; если уравнение (2) имеет решение, полиномиально. зависящее от £ и обращающееся в нуль на некотором открыв тем множестве, то в действительности это. решение есть однородный полином степени /7l-i по £ . Это утверждение, по мнению автора, является косвенным аргументом в, пользу правомерности постановки! приведенных проблем; Кроме того, этот результат может иметь значение; с точки арания теории переноса, поскольку один из основных методов этой теории - метод сферических гармоник -состоит в построении полиномиальных по £ ашхроксима-гий решений различных краевых задач для линейного уравнения пзреноса. Определенный интерес представляет также полученная попутно новая инвариантная форма уравнений метода сферических гармошке.

В § 2.1 вводятся основные алгебраические операции над симметричны?,® тензорами. Особое внимание уделано оператору симметричного умножения на метрический тензср. Этот оператор порождает разложение пространства тензоров, которое тесно связано с разложением фун?"щй на сфере по сферическим гармоникам. В § 2.2 вводятся оператор внутреннего дифференцирования d и сопряженный к нему оператор дивергенции S" . Приводятся коммутационные формулы, связывающие эти операторы с установленным в § 2.1 разложением пространства тензоров. Здесь же приводится формулировка теоремы 2.1. § 2.3 посвящен выводу уравнений мзтода сферических гармоник для кинетического уравнения и линейного уравнения переноса, в § 2.4 вводится лапласиан на симметричных тензорных полях и доказываются формул« коммутации операторов d и (Г . В г 2.5 теорема 2.1 доказывается ь случае drnMzJ , а в § 2.6 - в случае dim M~Z .В § 2.7 подробно обсуждается проблема определения рим-новой метрики ш годографу. Показано, что она эквивалентна некоторой обратной задаче для системы кинетических уравнений. Проведена линеаризация отой проблемы, приводят?" к задаче интегральной геометрии для симметричного тензорного поля степени 2. Показано, что положительное решение этой линейной задачи приводит к некоторым частным результатам и для исходной ке.;ди«,Й-ной проблемы.

В главе 3 приведено решение проблемы 2.2 для метрик неположительно'4 секционной кривизны. 3 связи с нетривиальностью ядра лучевого преобразования! вопросы, связанные с его обращением, не могут пониматься буквально и нуждаются в уточнении. Здесь возможны различные подходы, один из которых состоит п следующем: коль скоро образ tl лежит в ядра I , то в качестве претендента на роль пространства, на котором Г обратим, выступает ядро оператора ¿Г . В с. зязи с этил изложение главы начинается с доказательства возможности разложения тензорного поля в сумму бездивергентного и потенциального полей, которому посвящен § 3.1. В § 3.2 доказывается ограниченность оператора I на соболевских пространствах Hs( S"'Г^} и формулируется основной результат главы:

Теорема 3.3. 1^сть - компактное односвязкое

риманово -лногообразие со строго выпуклым краем, имеющее нег.о-

ложителыше секционное кривизны. Для любого f б-бездивергентная часть Г пол. ? однозначно восстанавливаете по лучевому преобразованию 1$ и справедлива следующая оденка устойчивости НИ* ^ С+ И1Ш7)

§ 3.3 посвящен созданию аппарата, необходимого для доказательства '¿еоремы 3.3. На пространстве касательного расслоения вводятся так называемые по^,'базисные тензорные поля, на эйхх полях определяются два оператора - вертикальное и горизонтальное ковариантное дифференцирование, для последних устанавливаются формулы тша Гаусса - Острогррдского. В § 3.4 доказывается одно квадратичное дифференциальное тождество дая геодезической пульверизации, играющее основную роль в доказательстве теоремы 3.3. § 3.5 содержит доказательство атой теоремы. В § 3.6 приведены следствия теоремы 3.3, касающиеся нелинейной задачи определения метрики по годографу.

В главе 4 приведено решение проблемы 2.2 ^.л близких к евклидовой метрик. Основной результат-этой главы - теорема 4.1 - формулируется аналогично теореме 3.3, только условие неположительности кривизны заменяется на С1- близость метрики к евклидовой. Несмотря на аналогию в формулировках этих теорем, их доказательства существенно различны. § 4.1 содержит формулировки теоремы 4.1 и ее следствий, касающихся задачи определения метрики по годографу. В § 4.2 устанавливается необходимый для доказательства этой теоремы риманово-евклидов вариант разложения тензорного поля на бездивергентную и потенциальную части. В § 4.3 строится некоторая специальная система координат на ТМ , используемая в этом доказательстве. В § 4.4 приводится интегральное тождество Мухометова, играющее основную роль в доказательстве теоремы 4.1. § 4.5 содержит это доказательство.

Глава 5 посвящена теории лучевого преобразования симметричных тензорных шлей на евклидовом пространстве, которое в этом случае определяется формулой

Эта теория во мног-и- аналогична классической теории преобразован?' " -дона, с тем однако существенным отличием, что оператор 1 яч пространстве симметричных тензорных полей степени

до при щ>0 имеет ненулевое ядро. Это обстоятельство накладывает отпечаток на все аспекты теории.

Первые шесть параграфов главы посвящены исследованию ядра оператора I на пространстве финитных тензорных полей. При этом вознивает важный для всзй этой теории дифференциальный оператор 1А/ , который мы называем оператором Сон-Венана в связи с тем, что в случае полей степени 2 он фигурирует в известном условии совместности деформаций, полученном Сен-Вена-ном. Основной результат здесь формулируется следующим образом.

Теорема 5.4. Дня обойденного симметричного тензорного поля £ 6 8 ($пХ) с компактным носителем на следующие три утверждения эквивалентны:

1) и =0 ; „ я.£

2) существует такое полз 1/6 о (5 ' ) , носитель которого содержатся в выпуклой оболочке носителя $ , что }

3) =0 .

Эга теорема дает ответ на вопрос: насколько однозначно финитное поле £ степени т. ' определяется совокупностью своих интегралов вдоль всех прямых. Соответственно последним двум утверждениям теоремы ответ дается в двух формах. Во-перзнх, данная информация опреде.мет f с точностью до слагаемого вида ¿V , где V - произвольное финитное поле степени /п~1 . Во-вторых, можно указать систему локальных линейных функционалов поля $ , которые однозначно определяются данной интегральной информацией. Л именно, такой'системой является набор компонент шля IV£ * Более того, этот набор является полной системой локальных линейных функционалов, восстанавливаемых по интегралам 7£ . .

Аналогичный результат получен для операторов I" , отличающихся от I тем, что в по—гл^егральное выражение из (3) , в} есен множитель' I ^ . ...

Как и преобразование Радона, лучевое преобразование тесно связано с преобразованием Фурье..Эта связь обсуядается-в § 5.7.

В вопросах, связанных с обращением лучевого преобразования, большую роль играет ззможность разложения тензорного поля на пс-енциальн^ю и бездаверге'нтнуи части. В случае - полей на ¡Кг' при этом разло-'^наи существенно поведение "лагаешх

на бесконечности. Два варианта таких разложений приводятся в § 5.8.

§ 5.9-5.12 посвящены описанию образа лучевого преобразования. Пусть ¿4 Т.£2) - пространство гладких функций на многообразии 10. - {(Х,\)£ <Х, = 1 / , быстро убывающих по первому аргументу.

Теорема 5.10. Для тог--, чтобы функция

была нредссавима в виде У = 1{ для гладкого, быстро убывающего симметричного тензорного поля { на (7/?3], необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла следующим трем услозиям:

1) т.х?) = лтЯГ*г(х,Г)

2) 6 ;

3) для всех 1 5 11, ^ , 1тн , ¡пн * п

Уравнения (4) называются условиями Иена, который получил их б случае И ~ 3, т-0. В работах Й.М.Гельфанда, С.Г.Гинди-кина, М.И.Граева и З.Я.Шапиро они были обобщены на случай интонирования функций по р-мерным плоскостям (р^п-Л) , был выяснен геометрический и топологический смысл этих условий. Наше доказательство достаточности условий Иона начинается по той же схеме, что у К.&Гелъфавда с соавторами, но при этом быстро возникают новые аспекты проблемы, обусловленные нетривиальностью ядра I . Эти аспекты сгруппированы в двух теоремах - о тангенциальной компоненте и о сопряженных тензорных полях на сфере, - представляющих и самостоятельный интерес. При доказательстве последней теоремы автор столкнулся с одной алгебраической проблемой, которая 'была затем решена И.В.Львовым. Эта алгебраическая теорема сфор^лировзш в §5.11.

§ 5.13-5.16 посвящены формулам обращения лучегюго преобразования. Получены две формулы, одна из которых по восстанавливает бездивергентную часть поля ? , а вторая - значение VI/,с оператора Сен-Венаиа. Приведем первую из этих формул.

Теорема ^5.13. Для * 6 ¿/Г$т) +8г($т) безди-вергентнаг часть í поля ( восстанавливается по 1} соглас-

но формуле

Г«/г7

в_ которой Ск = СК(«,Л) - действительные коэффициенты, / и ^ - операторы симметричного умножения на тензор Кронекера к свертки с ним.^и'*- - оператор, сопоставляющий функши ее интегральные моменты порядка Ш. по второй переменной:

- в I •

Ю.Г.Решетняк получил формулу, выражающую II через норму И Я£ 11ц преобразования Радона функции £ , где II'1-некоторая специальная норма на пространстве функций, опреде-лешых на множестве гиперплоскостей. Эта формула, получившая в дальнейшем название формулы Планшереля для преобразования Радона, позволяет распространить Я на () . В § 5.1? аналогичные результаты получены для лучевого преобразования.

В § 5.18 приведено приложение лучевого преобразования к одной задаче интегральной фотоупругости. Если в

Г

имеется

напряженная среда, характеризуемая тензором напряжений О" , то в случае слабой оптической анизотропия метод интегральной фотоупрутости позволяет вдоль любой прямой Ж измерить два интеграла

1((Г,Я) = |с, , (5)

Ж ° ж

где - прямоугольная система координат, относительно

которой Ж задается уравнениями ¡[ = ^-0 . Технич^.сие условия проведения измерений накладывают определенные ограничения на семейство прямых Ж , вдоль которых можно измерить интегралы (5). Наиболее удобной с точка зрения технической реализации является ситуация, когда измерение этих интегралов производится вдоль горизонтальных прямых, тех, которые в некоторой (лабораторной) системе координат Ху~с параллельны плоскости 1-0 .В связи с этим мы рассматриваем следу»-

щую постановку. ?

В цилиндрической области £ -0*(а,!) сг ¡К рассматривается тензор напряжений (Г , удовлетворяющий в (г уравнениям равновесия, а на боковой поверхности краевым условиям, соответствующим отсутствию внешних нагрузок. Пусть ХЫ,Р,гс) - горизонтальная прямая, задаваемая уравнениями ¡положим

Спрашивается, насколько однозначно поле (Г определяется функциями (¿,р,1) и

¿'о-КМ) ?

Но этой задаче получены следующие основные результаты:

1) функции I¡г и $5* зависимы, а именно, ^Ы,р,г) выражается через "¿у Ы,Р,£) и Р,го)

2) Компонента однозначно определяется функциями

и . Приведен метод численного определения (Г^ , ос- . нованный на формуле обращения лучевого преобразования. .

3) Никакой другой, кроме , информации о поле напряжений по функциям и определить нельзя. Точнее говоря, справедливо следующее утверждение: если дез поля

и удовлетворяют уравнениям равновесия и краевым условиям и (ГД 2 . .» то = 5 .

Глава 6 посвящена задаче определения ламбертовой оптической поверхности по конечному набору ъь изображений.

В § 6.1 приведены основные определения и постановка задачи. Ла;.'бертовой оптической поверхностью (сокращенно ЛОП) ц 0?п называется пара (М, А) V где 'М с - гиперповерхность, А - определенная на М функция, называемая яркостью. Проекционной системой (ПС) называется тройка г = { у,, Е} IV¡- , где - объектив ПС Р ; г с -гиперплос-

кость, не содержащая . у, , именуемая экраном Р ; И^.с £ -выпуклая область, именуемая эффективной областью. Говорят, что ПС р . нормально расположена относительно ЛОП (М,А) , если для любой точки У/С- V/ поямая пересекает п в единственной, точке Рр (IV) . в этом случае Р - изображением ЛОП (М,А) называется функция 2р определенная на И/ ■ равенством, 1р(№) = Д^РрОЮ) ;. Задача формулируется с. эдующкм образом. '

Пусть {¡''¿ (¿-^ к .,- конечный набор ПС, нормально

расположенных относительно ЛОП (И,к) • Требуется определить поверхность М по заданным изображениям 1р, и некоторому подмножеству Ме с М 1

В параграфе 6.2 подробно исследуется эта задача в случае К.-1 . Сначала мы показываем, что если Мр является (>х-1) -мерной поверхностью, расположенной общим образом по . отношению к проекционным системам, то задача может быть сведена к своему двумерному варианту, который называем задачей определения ламбертовой оптической кривой по двум изображениям. Затем устанавливаем, что последняя задача эквивалентна следующей, которую называем задачей идентификации изображений:

Пуоть , - заданные на [0,11 функции. Требуется

найти пару" непрерывных функций «ч,^ : удовле-т-

ворянщах условиям:

«I^я ¿1 ; . (6)

. ' (8)

Эта задача тлеет то преимущество, что в ее формулировке • не участвуют проекционные системы. Доказывается, что в случае непрерывных изображений ^ на тех участках, где ^ непостоянны, решение этой задачи единственно с точностью до параметризации. Выясняется характер неоднозначности решения на участках постоянства $1 . Вводится понятие максимального решения задачи (6-8). Приводится численный метод нахождения максимального рецения, доказывается его устойчивость по отношению к равномерно малым шумам, внесенным в изображения.

Методы, развитые в § 6,2, непосредственно не применимы в практической фотограмметрии, поскольку шумы, имеющиеся в изображениях, здесь нельзя считать равномерно малыми. Дело тут не столько в погрешностях измерений, сколько в отклонениях от лембертовости, которыми могут обладать яркости резльш : оптических поверхностей и которые при использовании этого 7 метода мы вынуждены включать в иголы. Уровень .ослздних плохо контролируем и они вряд ли могут считаться равномерно малыми.

Более приемлемым представляется предположение об их малости в смысле какой-либо интегральной нормы. В связи с этим в §6.3 предпринята попытка исследования устойчивости решения задачи (6-8) по отношению к пумам, малым в смысле Ьр .

3 § 6.4 рассмотрена задача определения ДОП в К5 по трем изображениям и одной известкой точке. Доказана единственность решения при условии, что поверхность является С'2-гладкой, а яркость - непрерывной и не постоянной ни на какой двумерной области.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

I» Доказано, что расположенный в однородной поглощающей сроде источник однозначно определяется счетным числом свою: изображений.

2. Сформулирована задача интегральной геометрии для симметричного тензорного поля вдоль геодезических римановой ...ет-ркки, Установлена эквивалентность этой задачи с обратной задачей фотометрии по определению источника, полиномиально зависящего от направления, и с одной '"(ратной задачей для кинетического уравнения. Описана структура решений кинетического уравнения на римановом многообразии, полиномиально зависящих от направления. Доказана единственность и получена оценка устойчивости решения задачи интегральной геоме- они тензорного поля для метрик неположительной кривизны и для

С1~бшзтх к евклидовой метрик.

3. Создана достаточно полная теория лучевого преобразования симметричных тензорных полей на евклидовом пространстве, включающая описание ядра и образа этого преобразования, формулы обращения и формулу типа План^-реяя. В качестве приложения этой теории рассмотрена одна конкретная рчдача интегральной фотоупругости, выяснена степень однозначности и предложен чигленный метод ее решения.

4. Получены новые результат*' по единственности, устойчивости и методам численного решения, задачи об определении ламбертовой оптической поверхности по двум или трем ее изображениям.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Стахеев A.B., Шарафутдинов В.А. О восстановлении лембер-товой оптической кривой по двум ее изображениям //. /словно корректные задачи математической фташш в г-териретациа геофизических наблюдений. - Новосибирск, 1978. - С.728-150.

2. Шарафутдинов В.А. О геометрическом расхождении // Математические метода интерпретации геофизических наблюдений. -Новосибирск, 1979. - C.I6I-I74. .

3. Шарафутдинов В.А. О восстановлении ламбертовсй оптической „ кривой по двум ее изображениям // Докл. АН СССР. - 1979.

- Т.249, ß 3. - С.565-568.

4. Лаврентьев М.М., Деревцов Е.Ю., Шарафутдинов В.А. Об определении оптичеокого тела, находящегося в однородной среде, по его изображениям // Докл. АН СССР. - I98X. - Т.260, А I. - С.799-803. _ :

5. Шарафутдинов В, А., Задача интегральной геометрии для тензорных полей и уравнение Сен-Венана // Докл. АН СССР. -1981. - Т.261, й 5. - С.1066-1069.

6. Романов М.Е., Шарафутдинов В.А. Локальное определение годографа и некоторые соотношения в кинематических задачах сейсмики // Неклассические проблемы математической физик..

- Новосибирск, 1981. - С Л33-143.

?. Шарафутдинов В.А. Об определении оптического тела, находящегося в однородной среде, по его изображениям // тематические метода решения прямых л обратных задач геофизики. : , .

- Новоса<5ирск, 1981.. - С. 123-148. г" •-, 4 L

8. Романов М. Е., Шарафутдинов В.А. О ^некоторых соотношениях

между ОКОРОО!'// ЙЗВ. АН СССР. ■"'•,,'-й!зика Оемлп. - 1982. - # 10; C.I7-IC. , •

9. Ечрафутдаоа В»А. Условная корректность задачиЛ*' Чтифш<а- /г. > ции //}шоды гщфровой обработки изображений: 1&*азузовс!е., .',•■[ сб.научн. тр. / №ш-во выси, и ср. спец. обр-ния РСФСР. !; НЭТИ. - Новосибирск, 1983. - C.I2-22. ' \ .

10.Шарафутдинов В.А. Задача"интегральной геометрии для тен- . зорных полей я уравнение Сен-Венана // Скб.мат;" журн.

• 1983. - Т.24, Ä 6. - C.I76-: 37. . ; / v v.,-.'

П.Шарафутдинов В.А. Задача идентификации изображений // Теория и методы решения некорректно поставленных задач и их приложения. Всесоюз. школа-семинар, Самарканд, 1983. : Тез. докл. - Новосибирск, 1983. - С.235.

:2.Деревцов Е.Ю., Шарафугдинов В.Л. Проблема единственности в математической томографии // Всесоюз. симп. по вычислительной томографии, Новосибирск, 19-23 дек. 1983.: Тез. докл. - Новосибирск, 1983. - С.(53.

13.Шэрафутдинов В.А.,Рефлектография лаыбертовых оптических-поверхностей // Всесоюз. симп. по вычислительной томографии, Новосибирск, 19-23 дек. 1983., Тез.докл. - Новосибирск, 1933. - С.203.

14.Шарафутдинов В.А. Задача интегральной геометрии для тензорных полей.на евклидовом пространстве // Методы решения не- . корректных задач и проблемы геофизики. - Новосибирск, 1984.

- С.135-148. ■

ЗЗ.Шарафутдинов В.А. О симметричных тензорных полях на рпма-

' новом многообразии. - Новосибирск, 1984 - 46с. (Препринт / АН CCCPj . Сиб.отд-ние. Вычислит.центр; JS 539).

16.Кирейтов В.Р., Шарафутданов В.А. Обратный задачи фотометрия // Некорректные задачи матом, физики п анализа. - Новосибирск, 1984. - С. 60-67. V

17.Шарафугдинов В.А. Задача интегральной геометрии для обобщенных тензорных полей на . • . //-.Методы исследования не- . классических задач математической физики. - Новосибирск, 1985. - C.I22-I3I.

18.Шарафугдинов В.А. Математические вопросы томографии анизотропных сред // Всесоюз. симп. по вычислительной хомо- , графии, Куйбышев, 4-7 июля 1985: Тез.докл. - Куйбышев, 1985. - С.159.

19.Шарафутдинов В.А. Задача интегральной геометрии для обобщенных тензорных полей на // Докл. АН ССС '. - 1986,

- Т.286, й 2. - С.305-307.

20.Еарафутг,инов В.А. Об определении ламберто: ^Й оптической , поверхности по трем ее изображениям // Вопросы корректности задач математической физики и анализа. - Новосибирск, 1986 . - С .151-166. ■ '. ? .

21.Пест ь Л.Н., ¡Нарафутдинов В.А. Интегральная геометрия тен-

зорных полей на многообразии отрицательной кривизны // Докл. АН-СССР. - 1987. - Т.295, Й 6. - C.I3I8-I320.

22.Шарафутдинов В.А. Задача определения римановой метрики по годографу и ее линеаризация // Всесоюз.конф. го геометрии " в целом". Новосибирск, 28-30 сент. 1987: Тез.докл. -Новосибирск, 1987. - C.I33.

23.Шарафутдинов В.А. Интегральная геометрия квадратично!. дифференциальной формы для двумерных метрик, близких к евклидовой // Докл. АН СССР. - 1988. - Т.ЗОО, ЯЗ. - С.551-554.

24.Шарафутданов В.А. Формула обращения лучевого преобразования симметричных тензорных полей // Всесоюэ. сем. по оптической томографии, Таллин, апрель 1988: Тез. докл. - Тбл-лин, 1988. - С.160.

25.Пестов Д.Н., Шарафутданоь В.А..Интегральная геометрия тензорных полей на многообразии отрицательной кривизны // Сиб.мат.йурн. - 1988. - Т.29, Ш 3. - C.II4-I30.

23. ¡Парафу тдешов В.А. Формула Планшереля для лучевого преобразования // Условно-корректные задачи. - Новосибирск, 1988. - С.

Подписано в печать 12,05.89 .1 **Н 10194 Формат бумав: 60x84 1/16; Объем 1,2 п.л.1; 1тизд,л. Заказ ,1В? л ; ' Тирад 100 экз. , ■ ■

Отпечатано на ротапринте Института математики 00 АН. СССР 630090, Новосибйрок-90, Университетский проспект,4. ■