Интегральное представление субгармонических функций в областях с некомпактными границами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГП од

(

^АКАДЕМИЯ НАУК РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ им. В. И. РОМАНОВСКОГО

На правах рукописи

САТТОРОВ Эрмамаг Норкулович

А

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СУБГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ОБЛАСТЯХ С НЕКОМПАКТНЫМИ ГРАНИЦАМИ

Специальность — 01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ташкент — 1993

Работа выполнена на кафедре математической физики математического факультета Самаркандского Государственного университета им. А. Навои.

Научный руководитель: доктор физико-математических

наук, профессор Ш. Ярмуха-медов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук Г. X. Худайберганов;

кандидат физико-математических наук К. У. Атаханов.

Ведущая организация: Институт математики Сибирского

Отделения Российской Академии Наук.

Защита диссертации состоится «_ ■/3 » I <¥-И г.

в « _» часов на заседании специализированного совета

Д.015.17.21 в Институте математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан по адресу: 700143, г. Ташкент, 143, ул. Ф. Ходжаева, 29.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. В. И. Романовского АН Республики Узбекистан.

Автореферат разослан «. г.

Ученый секретарь специализированного совета доктор физ.-мат. наук

Ш. А. ХАШИЛЮВ

- з - '

ОШАЯ УЛШШШШ РАБОТЫ

Актуальность темы. В теории субгармонических функций одним' пэ фунламеягальнйх результатов является представление Ф.Рисса (1930 г.). Сущность результатов Рисоо состоит в том, что любая-функция 1 сувпзршничесгая в ограниченной области

С пространства Г , нт , в компакте предстзвима

в виде сумма потеншплз и некоторой гарлошческоЛ функций. Это представление является основным энялятятеским аппаратом в теории субгармонических функций.

■ На бесконечную область представление Расса не распространяется, так как потешшэл, вообшэ говоря, но существует, ибо определяющий его интеграл расходится;

М. Брело (1950 г.) представление Рпсса распространил для субгармонических: ЗункилЯ конечного степенного порядка во всем' про- .

1Г)™

странетве К, в виде сумма кеноняч. :с»ого. похешшала ее риссов-скаП меры п гармонгпескога мг'огепл ч о Представление Брело явля-отел аналогом эдзмэровекоЯ факторизация целой функции одного комплексной переценить

Ситуация значительно осложняется при изучении функций, задан--' пнх не во реем пространстве, а п части, пространства.

Ряд результатов о росте суогормогаческих функций в конусе и распределения пх рпссовскях масс (распространение теорем фрагме-пл-Ливделв£а и Альторся-Хайнс! , оценки риссав&;иг масс на ком- . взктинх подувочоствях отярнтогр конуса, ннгогралввов представлен ле Яувкипй о пол они тел якл! гарчонзчесяаЯ мажорантой, интег-ралъгчэ "цанги фуигшш конечного степенного порядка'« асооодпро-ръшг-'ч о ир? г.тр - р!»ссовскоЯ п граничной, каноничзское прадегав-лг:4?.п Яр«гГ.*ГОЛЬ!'ПГО гожлнога стятвннога порядка и др.)

ооцэр?!;тп-' и раЯотчг В.ь.Аг'Врпно, Е.Д.Соломеедсвз, К.А.Берен-

стойма, а.Дош, Я Лелона, Л.Гр,*мани, А.4КРа:л;оьско«о и др.

Однако класс субгариоьических ¿ункццц, рийгуедх бистрее, чьи со стспоннш ростом, не раси'хатриналса. Ъ диссертации рассматривается класс субгармонических (¿уикций. растущих экспоненциальна я дзагцщ зкспсвбшишльио шесте и ассоциированной ыерш и ойласти тана слад. Яолучеы. дли этих кльссои функций интегральные иредставлсщл, а такхе необходимо оиаики для риссоь-сках и х'ргшачшх ыс-р, ¡¡ри кссдедоа&ниа ьтих задач г,и нсисльзуо! конструкции еоьо?о тапа нотопциала, нргллзаешюго Ш.лрмуханьди 'ш.м, которая основана, в очередь, на поехчшошгв М.МЛав--

рьнтььва. Затем эта конструкцги асиользсы>г(ась в яьйом ввде дл> построения рьтуллризованного решения ааьачи Коки для уравнение Лапласа и представления растуькх гариюничесх-нх 4ункш 3, определенных в неограниченном облаем, делыцеЛ в пслупространл&е и в слое в виде потенциала простого и двойного слоя (¿орц/ла Грй-•на). Поэтому получение интегральшх хфкдетиЪЛоИхй, оценки рио-совскнх и граниэдых мор су&'арконаческих ^ункнп:! в области таги слоя, когда суси-армоничесгал ¿уш&см ши:;* с ассоциированной ыероарастет оистрес, чш степенно.! рост, представляет значи-телыгЛ эдуип! г.Ц'эриС в теории сусгарциинесках лунгцал.

XIель работы. Целы) рабсил лвляелсл:

- получошш интех'ралышх сцепок р^сваЬеьыХ и х-раиичьих мер в областях сипа слоя;

. ■ - построение интеграяьшх аредохашеа,;,! дм класса с^гарис вических функций, растущих шасто с цсссщшриьашшй иераЛ зколс

ненцнально и двакда экспонишшалыхо в областях мша слоя. /

. Методика «ерледованиа. В работп всиольаувхся методы теории потенциалов, функционального анализ^, а теории озобдоннпх гункд:.

• Научная иоалзва. Получено интегральное представление субгэр-отвичё<5!ш* функцйй, растувдх: вместо с ассоциированной мерой быстрее^ чем. сб (яёйёядам.росёсм», й .неограниченных областях о яеко^гаэктвыкя грарц&Ц* лёяв.вдШй ■ внутри, 'слоя. '■ •

цетнйдп. Полученные результаты носят тоорётач.оеккй характер. Они могут бнть применены при изучения субгармонических <|уншгай.

АябаЗдои работы:. Основные результата работа доклалпшлксь на регдатрЙх й Йкататуто .матегатикй "СОРА!!; на. семинара по комп-лбкенойу авзлйзу' пра ''уатем^й'чеокоЫ анализа Тв.шГУ,- на

сешигард по теории З'ункцяй я математической фазв'ки СамГУ, .на секягнврв сто гаорш 3 у й гаи 11 ^'рг внч с к о гр Государственного университета в на совеТеко-лгельяйскЫ! симпозиуме"Нввяв'ссйческив а . векбрректяо.йос?йвявншв•.задача• мв* ематвче^юЗ|и?аки и анализа" . (Самарканд, 2-6 екгяс;р;| 1ЭЭ0 г.), рй'ВсёсЬюэяой: нон$.ере1Щйя "ХслоЬ'аЬ-кЬррёя1,Ш8 ¡зажато иа&юНч овей йэикя и алаляза" {Новбоябярск,, 1.-6. встй Ш2 ,

. •Дублвквряя* Оснрвшв резувдётн двС'сертэцйя содержатся в работах- автора

СгруктУР^ а обьса Диссертация состоят из вве-

деиияя дёух глав,.кморав делятся на сеть параграфов (§§ 1.1.-•1.3. й'тлЛ, .§§ 2.Л.' - 2,4. 0 гл»2). Нуяерэция формул, ■ теорем, и. т.д. состоят-яз-двух ня|р, раэлеловтх точкой -(ящера главд и: номера форМзглй,; тчоре^ п. т.д,. в .даййой". главе)-. Обьем работа ,машиноппеннх страниц, Зибдпогр!3|ия - 37 наимецовапий' .;..'

• ■ оешваой солшАН5|Е-рщ)та •

. В первой .главе•'сбой'ээтся кл&ссйч'еисая '. пёотрягазенйыг областях'типе., ¿лая -для- суйгврлояячеркйх'. фукйфиЯг.

нывщих вепрерывны а честные производные до второго. порядка. В 5 IЛ дрйвадктся основные понятая й обобщение §ормули Грива ' В § 1.2-5.1,3 йолучена интегральная формула.Грина со спецааль нш ядром в областях., лёкввдх внутри полосы и слоя с нёкоипакт-ной границей, .'..'■'; ""

Во второй главе строится интегральное представление для-более • общих классов- субгармонических 4Ункцйй в области зиапа-.-слоя',Черва обозначаете^ пере, ассоциированная по, Риссу субгармо--нцческоЛ $унвди М-О^) .

В'§- 2.1 дается, обоснование используемых пределдшх переходов , и-доказывается существование заряда на границе области, г.е, Граничного звачйнйя. субгармонической 'функции. В § 2.2 бгрслхсл слойшй и гранцчшй нотеншалп

: з - ^ з

. где . "• , V* . - . .

о» . -1 /. . :

Ч:с|11

Ь Л и окп.г-.т л

Б^РМиТ-Х,)

Ц"

а . % I . .ЦГ-ЗСг -1 ^

(1)

51

Ол о<X1г; Ц » р>0, сх >о;

^ . , С* . íUS** I I ом

Ds»H1 l йкЩМ-Ху»)

di (Г

со

^ClctíL^CUJ-ct^)'

<2)

ir-

V ' (

Л : Ô0-V1 ' rp-fl^iC^^Kvi"31^!

P iu-пгЛг-.:---Ъп — ------------

t «

Ъ , Я С ^Hf-{ т~ >

■8

J

Ж --Л , .

и ~

-.в - •' •

м

<2>т- площадь, единичной'©¿еры' в пространстве 2-

Поквзана, что'функции '■■■',' .субгарыоничнц

в Е . Меры/. ассффировеи^Йе'-нм до' Йгёоу, .-совйар.Ь^ -с 'сдавдем

кори на . функции; , ЭДф гармоничны. в £ , и их.

граничные зньчьши на <1)Е совпадают с-зарядом .

Б § .2.3 рассматривается область. Е - часть пространства . , закдюч'еинш! ыеаду гиперплоскос-'ши . .

^«^о; .--р .

1 Е-0 Р £ М А I. Пусть субгармоническая' в Е функция -^(^у^-0® удовлетворяет условию, роста ■; '

• 1 "' ' -!>м' 1

Мера в области Е „удовлетворяет условию

ЗГ ч •

ё-'-'йилЪл10« . '■ .. (5)

где

а 'заряд ^ яа Т)^ удовлетворяет условию

< 00 ' \ (6:

где

(7)

Тогдасправедливо следующее представление:

; х-бЕ •

Т В О Р Б Ы А 2. Пусть-субгармоническая в £ функция удовлетворяет условию роста

.Пера JM, в'области £ удовлетворяет условию .

: ^Лгос^Gocp ^^Ct))d jTCt) <9)

ce)

o

где

jí (-t) ef .gatfetf ^ ~

V S^yC-eYÚ-éJcim)^.

п^ттлфрппйтша '.'■'-

'tío

Тогда справедливо прйдставдение

(ID)

■ - -'ГО Л'

В § 2Л /рожушт ана логичные гнтвградыие лредставленкя' для субгврмояи'ческях обла-стя ' . , граница которой

ссстов? из .гладких нёцерасейа'ющих поверхностей'Ляпунова ' 8 ; иросТйра^гцихед. до басКонечноств и'лёазщвх в слов' .

. , ро:

Двтар вдрагшег благодарность .своему яеучвему руководители профессору- Ш.Ярмухшёксву за постановку зздеч, иостоякнеа, юнге, а также. дчкгору $йй.-мвг,яаук, профессору Ы.А.Евграфов; эа" полезные севеты,- '■.'•'"'

- II - .. . литература'

1. Сатторов Э.Н. Интегральное представление еубгармонических-Функций в бесконечной области .//]к1слаосиЧескив: н. некорректна поставленные задачи.математической физика ж'анализа: ТаЗ'.дркд. советско-итальянского симпозиума,- Самарканд. 1990, С.37,' .

2. Сатторов Э.Н. Интегральное. представление' субгармоническм ■ функций в слое //' Условно корректные задачи математической ■ ' -Физики ц анализа: Гбз.да1а.ко1^.,посЕЯЩенноа'60~детив академика'

■ М.М.Лаврентьева.- Новосибирск, 1-5 ишя 1992 г.- С.214-215.' • '

3. Сатторов Э.Ц. Интегральное представление субгармонических функций в слое // Математически.'} 'аиадйз. И д»:£ф«ренццу'дыще уравнения.- Маквуз.сб.под ред.Брагова В.Н,- Новосибирск. -1992.. с.Ю5-109. . ■" • ,

4. Сатторов Э.Н. Интегральное Представление.субгармонач&ских функций в бесконечной области /.' В- просы математического анили- ' за. и вго-прилокецил.- Самарканд, С,64-67.

5. Сатторов Э.Н. Интегральная.формула для субгармонических: функций в бесконочной области // СамГУ. Самарканд.-1992. 13 с, Деп.-з' ГФНТИ, ГКНТ РУз. 7.12.92, Л. 1?55. .

6. Сатторов Э.Н. -Чексиз соода 'усиш тартиби икки нарта эксцонента-дан ошмаган субгармояик функциялырнинг интеграл куриниша-// Физика-матенатака фанларинвчг долзарб муаммолари: . Процессор-ун^Тувчиларнинг 5()-кав£ерв1 дцяси мвьрузалари тазНслар!,. СамДД, Самару ид. 1993.-Б.50. '

Субгярмонлк г|ун1щйяла£нднг йокомпакт ч.егаралн ' •''/•' • со^аля]У?а ввхеграЛ тасвзрз / • ; '•

,Ущбу дпссёртацйяда у ерш тертибй экспонеИтадай ва.иквд Марта • энспонв^тадбй- • ййт'егрэл. тасвйрй'

- ыасадасв |^81Й1^йН»-%'йвсаА8Ю!; ягайвйяа й..%мухвмвдой томонп-дая *авсщ флангам яй® тапдати; по'тей'ци.алдан: фойд&лавилгэн.

Барннчи Ообда типадаги чексиз' совддз иккинчи тзртвбга-

чв узлуксиз хусусий адсййага зга Султан суйгйрмовяк фуйкдйяяар--.. учуй Грйнййкг кадссяк 1$армудасн ^мутллаитйрялган. '

Икйивчя бобда, всэ л^атрм 'йшидаги со^зДа внча\умумйй булга)?* субгарйоник.фуякцйядар:_сив|й учуй лнтеграл.таопяр хр'рялгад.' -

id

th J1<I£UH.U. Mifrtii&EI,'t'tïlCrt ut' SsJi Ui.lil-.OiilC M)UC'iIOiii> .II» ïiiîi ntOICIiS V.'IMi MOJv-COÏil-hOÏ BOUMCAUIE&

ii.8 tHs>~<.i ta tic« j-rbSfcntB tne p^ctlsu cf obtaining an iiuc-gri»i rcptesentuti or. for a duns of suohArmcuic iur.cti cr.e ii:ereut:ài.z iiot œcre rapidly .than e-xpcnsntially and twice tie cxpctieutial-ly. «hiIt inveutigating thia probles w= uce construe titri of a r,c7i -tyjfc of potential pr^pcssâ by Sh.iar.iulie.rr.edov.

Ctiajitcr 1 as ¿«Bèialiusd tt)6 Green* b classical foruule on ui»--br.miàci r;s;icul? of the layer type, for euUiarncxiic funetient having conticuoua particle derivatives of xb«> -second order.

lu chapter llhL integral i-eprt-sehtution ior acre general i-lnoSciJ 0/ swkbarEcniR iujiétions in the region of the Ipyec type ia ccnetrtw te>3.