Интегральные представления и граничные задачи для линейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка с сингулярными поверхностями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН Р Г 6 фДЩШКСЖЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

/ 3 МД!! ¡333 Специализированный Совет К.065 01 02

На правах рукописи УДК 517.944.55

Ф 0 3 И Л О В СУЛАЙМОН ТОХИРОВИЧ

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА С СИНГУЛЯРНЫМИ ПОВЕРХНОСТЯМИ.

01.01 02 - дифференциальные уравнения.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учено? степени кандидата физико-математических наук

Д У Ш А Н Б с.I 9 9 2

Работа выполнена в Душанбинском государственном педагогическом университете им.К.Ш.Джураева,

Научные руководители - член-корр. АН Таджикистана, доктор физико-математических наук, профессор Раджа-бов K.P., кандидат физико-математических наук, профессор ГУэметов Э.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук, профессор Бойматов К.Х., доктор физико-математических наук Сатторов A.C.

Ведгцая организация - Ташкентский государственный университет.

Защита состоится " " 02._ISSSr.

в Г? чнс.ЗО ыин. на заседании специализированного совета К. 065. 01.02. по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Таджикском государственном университете /734025, Душанбе, проспект Рудаки, 17/.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Таджикского государственного университета.

Автореферат разослан " 3 " _^ ^_ Т993г.

Учений секретарь специализированного совета

специалязириванн'-л и ииивча / ^

кандидат фиэ.-мат. наук, доцент О.Х.Хосабеков

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.Известно, что дифференциальные уравне-;ия с сингулярными коэффициентами и системы таких уравнений оставляют один из важных разделов современной теории дифферен-иальных уравнений в частных производных. Очень часто изучение ногих физических процессов, известных из курса математической изики, приводят нас к рассмотрению таких уравнений.В частнос-и, к таким уравнениям приводятся многие задачи теории поля, пругости, гидродинамики, дозвуковой и околозвуковой газовой инамики, электрических цепей и т.д. Некоторые частные случаи равнения в частных производных третьего порядка встречаются вопросах распространения нелинейных во$м в слабодиспергиру-цих средах, при распространении волн в холодной плазме, маг-1Тной гидродинамике, задачах нелинейной акустики, гидродина-1ческой теориии космической плазмы. Этим и объясняется повинный интерес к исследованию вышеуказанных уравнений. Иссле-»ваниями этих уравнений занимались многие крупные ученные ма-¡матики как в нашей стране, так и зарубежом.

Фундаментальные результаты исследований в этом направлении случили в своих работах А.В.Бицадзе, И.Н.Векуа, В.Ф.Волкодавов, Н.Врагов, А.Д.Дкураев, Т.Д.Дкураев, Ы.В.Келдыш, М.М.Мередои, Г.Михайлов, А.М.Нахушев, Н.Р.Раджабов, Э.Рузметов, Ы.С.Сала-тдинов, А.С.Сатторов, Ы.М.Смирнов, З.Д.Усманов, А.И.Янушаус-с,/?.р. G-Ugi.il, ,ЯЖСа г

другие.

По гиперболическим уравнениям с сингулярными коэффициента-и вырождениям того или иного порядка фундаментальные резуль-. ты получэны в работах А.В.Бяцадэе, В.&Волкодавоъа, М.М.Мере- " со, ¡1.Р.Рад'«абоЕа, А.С.Сатторова, М. 14. Смирнова и других аг'.'о-

ров.

Исследованию модельных и немодельных систем дифференциальных уравнений б частных производных первого и второго порядков эллиптического и.гиперболического типов с вырождением или сингулярными коэффициентам! посвящены работы А.Д.Д^ураева, Н.Раджа-оова, З.Д.УсманоБй, А.И.Янушаускаса и других.

Имеются работы К.Раджабова и Л.С.Сатторова по многомерным дифференциальным уравнениям в частных производных высших порядков с сингулярными поверхностями.

Теория уравнений третьего порядка составного и.смешанно-составного типа получила сильное развитие в работах А.Д.Джураева, Т.Д.Дкураева, М,С.Салахитдинова к их учеников. Что касается уравнение в частных производных третьего порядка с сингулярными поверхностями в случае трех независимых переменных вопрос остается открытым.

Работа посвящена уравнениям третьего порядка с регулярными и сингулярными коэффициентами. Такие уравнения ранее не были исследованы-

Цель рабо'л ■ состоит в получении интегральных представлений многообразия решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка с одной граничной и внутренней сингулярными поверхностями в случае трех независимых перменных и выяснеяиии постановок краевых задач.

Методика исследования. В работе в основном используется ме-с тод представления главной части дифференциального оператора третьего порядка в виде произведения трех динейных операторов первого порядка. Кроме того применяются методы интегральных уравнений, разложений дифференциального оператора второго порядка че-..'.-з дифференциальные операторы первого порядка, разработанный ; работах Н.Р.Ра,адабова /25 4.4./,/¡¿6/.

Научная новизна. В данной работа используя связь решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных третьего порядка и системой уравнений в частных производных первого порядка с сингулярными поверхностями получена формула интегрального представления многообразий решений уравнения третьего порядка через три произвольные функции двух независимых переменных, которая в определенном смысле является обобщением' формулы Дадамбера. Изученосвойство решений на сингулярных поверхностях. Выяснены корректные постановки, некоторых хряевых задач.

Теоретическая и практическая ценность работы. Исследования содержащиеся в диссертации, косят теоретический характер. Ро-зультаты, полученные в диссертации, могут бить предлоконы для дальнейшего развития теории многомерных дифференциальных уравнений с сингулярными поверхностями и некоторых систем таких

V

уравнений.

Разработанный о диссертации способ может бить применен для уравнений с другими сингулярными коэффициента;::!.

Апробация работы. Основные результаты диссертации до гладу-залисо и обсуждались на научно-исследовательских семинарах "Кс-•■•.пл-зкепый анализ и его приложения в теории дифференциальных уравнений с частными производными" кафедры теории функции ¡1 математического анализа ТГУ шл. В.II.Ленина./Руководитель членкору. АН Таджикистана, профессор Н.Р.Радна'.оа/, на семинарах, по дифференциальным уравнениям и система.'! в частных производных, кафмры математического анализа Душанбинского педагогического университета им К.Ш.Д-кураева /руководитель профессор З.Рз.'экр-гор/; на республикански':- научно-практических конференциях молодых ученых и слецлглистоь Тнд«иккст-?.иа /г.ЛеншгаЗад, 1рпотя- 1990г., г.Курган-Тюбе, апрель Х991г /, на реепублпгак-

- б -

ской научной конференции."Дифференциальные уравнения и их приложении", г.Куля'-, октябрь 1591г., на ежегодных апрельских профессорско-преподавательских кон ренцичх ДГПУ им.К.И.Джураеиа в 1987, 1980, Т98У, 1990, 1991гг., на апрельской конференции преподавателей и сотрудников Курган-Тюбинского госуниверситета им. Носира Хисрапа в 1992 году.

Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и спискр литературы. Работа изложена на 103 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 50 наименования.

Содержание диссертации Во введенШ йбхрайяет'сч принятая в диссертации нумерация формул и" Теорем! Во введении к диссертационной работе дается краткий исторические обзор результатов по затрагиваемым проблемам,' обо'снбвйвается актуальность темы. Приводится краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

Перайя Глава состоит из одного параграфа, который делится на двенадцать- пунктов. Глава посвящена исследованию уровненкгяг • вида з ^т

$ <?Лр[(1] г), /1Л7

гдр (¿М-р - Л'йй'еИШК дифференциальный оператор третьего порядка, которул збййе?ся помощи следующей формулы:

а.,(¿,П1,п,с.у*-}Ф * заданные в области

функции от -г^г ,СОлясть я СОЙМ Ярямаутольный параллелепипед:

- ? -

^.^¿л- Осжос, о< у<у», 0< н <

Для уравнения /1.1/ в шести случаях получены интегральные представления решений через три произвольные функции трех независимых переменных.

В частности доказано следующее утверждение.

Теорема 1.1. Пусть в уравнении/1 Л/ функция & (х, £ ) по пременной У непрерывная и по переменным X и ¿5 имеет непрерывные, смешанные производные второго порядка, функции С ,!/, '£ ) € С £ С• Кроме того допустим, что коэффициенты уравнения между собой связаны соотноиениями

ч

л(х,%-г.) - &(*.%£)с*(х,у,г)+ Пл./

4 с(х, )+с(х,ч,1)с{(х,%г_)7 /1.5,/

С(х>у)г)^о.(х, у,г)ё(х, у?). Л- 9./

Тогда любое решение уравнения /1.1/ сс^,1/^) из класса С*(0)ПС( £2) предетавимо в виде

и(х, У.*)- <£(V, ^ )} /1.2.4/

где У* {X, £)/ У/^¿ХУ) - произвольные функции двух независимых переменных, соответственно, из классов

правая часть уравнения /1.1./ <&( V, ?У - интегральный оператор с.'.здушего нкда:

- Ь -

к г, = ехр£. +

£

г£ ' / Г, в;/.

где :

.У

ГУ, = У а(*9 Г, с/г

Остальные случаи аналогичные.

Глава II состоит из двух параграфов, второй из которых делится ьа два пункта. Глава является непосредственным продолжением результатов '¡¿рвой 'главы, т.е. в настояаей главе выделяются чйКоток»ые свойства интегральных представлений многобразий реае-1.'.- .-мигай« /1.1./, которые были получены в первой главе, и . .,•>•• . ¡¡с. потюошеш этих »'итегральных представлена.'! и их :«..-, урдьненил /1.1/ стсбнтся и рохоьтся ряд гракич.кис

В первом параграфе изучаются некоторые свойства полученных интегральных представлений, на основе которых ео втором параграфе исследуются граничные задачи. В частности, рассмотрены следующие задачи.

Задача I. Б области требуется найти решения уравнения /1.1./ Мз класса которое удовлетворяет следующим ■

условиям:

/2.1.1/

/гл. г/

и(х, -- Угг {9, г;; /2.1.3/

/х

где х ? ^ и /V. , - заданные вомэстзенныо функции двух независим«: переменных.

,—\

Задача 2. В области ¿¡с!. найти ранение СЦх/у^) уравнения/!. I/ из классаС(£2)/1С(0), удовлствсряшсе следующим гранич-

ным условиям:

/2.1.5/

'. я-1-6-/

' /2.1.7./

/2 С у;/ = о ~

= ¿л Ас*.

в у / г-«.»

где ) ^ } т некоторые наперед заданные фун-

кции двух независимых переменных. Задача 3 . В области

требуется найти решение ¿¿(хр.Ъ) уравнения /1.1/ из класса СЧО)ПС(О) которое удовлетворяет

следующим граничным условиям:

¿im

Х-+-Х

i'im [ду(Щос,y/t) S <4у,ijj7 = /j/у, zj, /2Л-9/

■Ilm. U(x,i/ q (x.g. ) • /2.1.Ю/

¿im..U(x,</t*) = Äb(x,yj* /2III/

/г-г. „ / 2 ■=.

где iiiy,i)" /¿¿(■xtv- некоторые наперед заданные

функции двух независимых переменных.

Глав. III состоит из четырех параграфов, которые делятся

¡«а четырнадцать пунктов. В этой главе в областях, содержащих

сингулярные поверхности

5?L> ~ 5t ) = 9, Oiо-'. , Oi Viji, Z ~ О}, T- Ж'у)" [(***>*): f/^o, о* в< (Г1

г-отгзт: тленно рассматриваются уравнения с;: едущих ;:.оь:

+ 3.1.1/

¥) и+a(x,)(X-и-г ¿{X,у,г*

+ fr*ty>£;f /З.ЗЛ./

не Q.i&yct,rntn,Cy", - известные функции от Х,У, г£ .

Для уравнений видов /3.1.1/ и /3.3.1/, соответственно, в 5сти и четырех случаях получены представления многообразий эшений.

В § 3.1. /глава III, § Г/ осуществляется сведете уравнения З.1.1./ к эквивалентной системе уравнений первого порядка, на :ноое этого вписывается решение уравнения /3.1.1/. Имеет место юдующее утверждение.

Теорема 3.1. Пусть в уравнении /3.1.1/ (¿¿зс^ по пере-знной Z непрерывная и по переменным X. и У имеет непрерывные, ¿ешанкые производные второго порядка; функции ¿(x,y,z) л!г(х,9,1) ■> перченной У имеют непрерывные производные первого порядка, -по остальным переменным непрерывны. Кроме того допустим, что

y;ö) > i,

,'н'сц::я Ci(x-,y,2) в окрестностях точек поверхности удо1.-углсань Гель дера:

' / .-/, ~ X. Г: } -- Ht 25/ %

пусть коэффициенты уравнения между собой связаны условиями /3.1.2./, т-е.

дус/(х, у, ■£) + сх(эс, ) с/(х>¡/г з /3.1.2./

£

(ГС, у, £ ; = а (х, у, г у,£)-*-<Эуа ( х, ^ г;}

+ . /3.1.б./

Тогда любое решение уравнения /3.1.1/ из класса представило в виде /3.1.12/, т.е.

„ С >х'^У,¿Л* Г цуи/ Ь , +

£ ВЧйГ*'**'0'

х.

Ль

Уо-'

* / ЙЧ (а), (^Т, £ )) ¿Г^^ё } ~

/о •

где Т^д:,1 ^УУ, с-/, ) ~ произвольные вещественные функ-

ции, соответственно из классов

cd,, и),, и), имеют вид и>* (х, у. (tf

ешение /3.1.12/ в окрестности имеет бесконечность вше

ервого порядка

UM^Ofw'^'0*). /3.1.13/

Во втором параграфе главы III для уравнения /3.1.1/ стаятся и исследуются граничнне задачи, в частности рассмотрена ледующая задача.

Задача Aj . ß области найти решение уравнения /3.1.1/ з класса С3( ) удовлетворяющее следующим условиям:

( y,zje;

де ^ /с - заданные вещественные функция двух переменных.

Б третьем параграфе главы III для уравнения /З.З.1./ в етырех случаях получены представления многообразий решений ■срез три произвольные функции двух независимых пере.мэниых. ркгегьяс результаты, полученные s первой случай. Результат;; по-г apyi случаях - аналогичные.

Теорема 3.6. Пусть в уравнении /3.3.1/

1) функция ¿Цх^г) по переменной г имеет непрерывные производные парного порядка, п окрестности любой точки поверхности

Ус^по перменной У удовлетворяет условию Гельдера и по переменной X ."эпрерь'вная;

2) функция ¿¡'х,У,ж)по переменным У, 2. имеет непрерывные смешанные производные второго порядка, в окрестности каждой точки повер-

. хности удовлетворяет условию Гельдера;

3) функция С(х,УЛ/по переменной г имеет непрерывные производные перзого порядка, а по остальным переменным непрерывная;

4) в окрестности Ис(^) выполнены условия:

- ¿(9,9, < 1+ Ъ) 4 О;

5) функции с1)т,п„уи,? по всем переменным непрерывны;

Кроме того допустим, что коэффициенты уравнения /3.3.1/ между собой связаны при помоаи соотношений /З.З.З./ и /3.3.4/, т.е.

'т (-х а (х, 9,£)с{(эс,у,г)+дга (эс, У, г) ,

/3.3.3/ „

их, у,¿)-[а(ос, ^у.г)Т(х-У)д* 2

Тогда любое решение уравнения /3.3.1/ из класса прсдстаьг.мо в /3.3.11/, т.е.

Cxexp(us±ti,y,£))c't

. (e V/v, r, •

* /3.3.11/

где произвольные фикции двух независимых пере-

менных, причем соответственно на кле -Л. С ((ß, У )) t

о „аераторы а),

имеют следующий вид:

г

г:

У*} Шф ~ С

-- «Г* ,

х0

в этих интегральных операторах

¿г, (х, у, г j - 1 + а/ус, у,zy,

Решение /3.3.11/ в окрестности^^ имеет бесконечность следующего порядка J,

В четвертом параграфе главы III для уравнения /3.3.1/ ставится и решается следующая задача:

Задача Г. Требуется найти решение уравнения /3.3.1/ из

класса С3( удовлетворяющее следующим условиям:

2) ¿яи, /3.4.2/

где г X } , А £ ~ заданные ве&ственнь/е функции независимых

переменных ( Ч,г), (х.,2.), (х,У

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих

работах:

I. Раджабов П., Рузметов Э., Фозилов С.Т. К тоории линейных дифференциальных уравнений с частными производными третьего порядка в пространстве.// Сборник научных трудов: "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения".-Душанбе,1991 с. ьО-Ьб.

2 Фозилов С.Т. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных третьего порядка и системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка с сингулярными коэффициентами в пространстве.//Тыл «;е с. 143-14?

3.Фозилов С.Т. Сведение уравнения третьего порядка с одной граничной сингулярной поверхностью к сингулярной систем дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в трехмерном пространстве.// изтериалы республиканской научно-

■ практической конференции уолодох ученых и специалистов Таджикистана, ¡\урган-Тобе, 16-21 апреля 1591 г., Kypr.iH-T.oCfe, 1991. с. 146- 149.

4. Фозилов С.Т. О решении-уравнения третьего порядка с одной гра-яичи«,*!. сингулярной поверхнес-гыз //Тем ко . с 149-1Ы.

¡3. : в С.Т. О связях уравнений третьего порядка с системами дифференциальных уравнений в частота производных первого порядка в е..учае трех незавпег'лхх переменных./Лак '..е.-с. 152-1 К*.

В заключении автор выражает глубокую благодарность своим научным руководителям - доктору физи^-математических наук, профессору, члену-корреспонденту Академии Наук республики Тадашки-стан Раджабову Н.Р. и кандидату физико-математических наук, профессору Рузметову Э. за постановку задачи и постоянное внимание х работе.

Подписана в печать 13.12.92.Заказ №

_Тираж 100 пкз.Объем Ц) п.л._

Типография "Начет".