Интегральные представления и граничные задачи для некоторых уравнений эллиптического типа второго порядка с двумя сингулярными линиями тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДШИЕ.

§ I. Различные аналоги формулы Грина для дифференциального оператора Эйлера-Пуассона-Дарбу с двумя сингулярными линиями.

§ 2. Распространение аналогов формулы Грина для уравнения типа Гельмгольца с двумя сингулярными линиями.

§ 3. Фундаментальное решение для уравнений типа

Эйлера-Пуассона-Дарбу и Гельмгольца.

§ 4. Интегральные представления регулярных решений уравнения типа ЭЦЦ.

§ 5. Интегральные представления регулярных решений уравнения типа Гельмгольца.

§ 6. Понятие потенциалов простого и двойного слоя для уравнения типа ЭЦД и их свойства

§ 7. Понятие потенциалов простого и двойного слоя для уравнения типа Гельмгольца.

§ 8. Постановка граничных задач.

§ 9. Сведение граничных задач типа Дирихле и Неймана к интегральным уравнениям типа Фредгольма

§10. Точные теоремы о разрешимости граничных задач.

§11. Исследование интегральных уравнений задач типов Дирихле и Неймана.ИЗ

Актуальность теш. Работа посвящена изучению следующих уравнений: О /тч

JL^veJ^-u-Tiu^o, (2) ко, о) где ju * ^ » X - вещественные числа.

Вырождающиеся дифференциальные уравнения и дифференциальные уравнения с сингулярными коэффициентами являются одним из важных разделов математической физики. К таким уравнениям приводят многие задачи гидродинамики, теории упругости и других разделов математической физики. Исследованием этих уравнений занимались 1фупные ученые как в нашей стране, так и за рубежом. Фундаментальные результаты в данной области были получены М.В.Келдышем, А.В.Бицадзе, М.М.Смирновым,

IP.GidStti J.U)uti$>illn и др.

Исследованию вырождающихся дифференциальных уравнений и дифференциальных уравнений эллиптического типа с сингулярной линией посвящено большое число работ. Достаточно подробная библиография по этой обширной теме имеется в работах и монографиях М.В.Келдыша [э], А.В.Бицадзе , М.М.Смирнова [27] -[29J , Л.Г.Михайлова [l4] , [l5] , Ю.И.Соловьева [зо], А.М.Нахушева [l8] , [l9] , С.А.Терсенова [32] , [зз] , А.Янушаускаса [зб] , В.Ф.Вол-кодавова, В.И.Гребенщикова [б], В.Ф.Волкодавова, Н.Я.Николаева [в], Э.Д.Усманова[34], С.П.Пулькина [20\ , С.П.Пулькина, И.А.Макарова [2l] , О.И.Маричева [il] , [12] , Н. Раджабова [22] -[24], Н.Раджабова, А.С.Саттарова [25] и зарубежных авторов [37j - j40] . Далее ограничимся обзором лишь тех работ,которые непосредственно еоцрикасаются с нашей темой.

В работах М.В.Келдыша, А.В.Бицадзе, М.М.Смирнова, К.И.Ба-бенко были исследованы граничные задачи типов Дирихле и Неймана для общего линейного дифференциального уравнения второго порядка с главными частями fj>»22u . 92v и +

7 Эх* ~ & дх*

Ф.И.Франкль [Зб] обнаружил важные приложения уравнения с сингулярной линией (вырождения на линии) к газовой динамике, а именно к теории установившихся смешанных до и сверхзвуковых течений.

В ряде работ Л.Г.Михайлова [l4[» [l5], [l6] изучены уравнения в частных производных с сингулярными коэффициентами. В частности в [и] задача о нахождении решения эллиптических уравнений видов сведена к решениям нефредгольмовых интегральных уравнений второго рода. Подробно изучены эти интегральные уравнения. На этой основе исследован ряд краевых задач. в[1б] в зависимости отуц для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу получено два аналога формулы Пуассона.

В работах О.И.Маричева [if], J12]построены решения сингулярных задач Неймана и Дирихле для уравнения типа Гельмгольца в полуплоскости 'уУО* квадрате Х>0 » ^>0 » а также задача Дирихле в полугфуге \х.2+ ^ + а^ у>0 j цри •

В наших совместных работах [4l] - |43] Н.Раджабову принадлежит постановка задач, А.С.Саттарову цринадлежит доказательство леммы о поведении фундаментального решения уравнения (I) в отрестности точек о , ^ у >о .

Теория гармонических функций в современной науке имеет важное значение. При построении теории были разработаны различные методы. Одним из важных методов теории, является теория потенциалов. Благодаря этому методу решения многих краевых задач были изучены для цроизвольных конечных и бесконечных областей с гладкой границей. Решения основных краевых задач были сведены к решениям интегральных уравнений Фредгольма второго рода.На этой основе были получены точные результаты о разрешимости паевых задач. В ряде последних работ аналогичные результаты были получены для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу (уравнений с одной сингулярной линией).

В связи с этим цредставляет большой интерес построение потенциалов для модельных уравнений с двумя сингулярными линиями (IM3).

Цель работы. Основная задача состоит в получении интегральных цредставлений многообразия решений уравнений (1)-(3) через значения искомого решения и его первых производных на всей или на части границы. На этой основе построены интегральные операторы, подобные потенциалам простого и двойного слоев. Выяснить корректные постановки краевых задач для уравнений (1)-(3). Сведение решений краевых задач, к решениям интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Получение точных результатов о разрешимости поставленных 1фаевых задач.

Научная новизна. В зависимости от JU , У и Я. для урав-внений (1)-(3) получены интегральные представления регулярных решений, построены интегральные операторы подобные потенциалам простого и двойного слоев, выяснена корректная постановка ряда внутренних и внешних граничных задач типов Дирихле, Неймана и смешанных задач. Решение поставленных граничных задач сведены к решениям интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Получены точные теоремы о разрешимости поставленных задач.

Все полученные результаты являются новыми.

Практическая ценность. Полученные в работе результаты могут быть применены при исследовании цространственных осесимметриче-ских задач теории упругости, гидродинамики и газовой динамики, они также дают возможность исследовать некоторые уравнения высших порядков со многими сингулярными поверхностями. Результаты работы частично были использованы при чтении спецкурсов и написании дипломных работ.

Методика исследования. В работе используется метод подобный теории потенциалов. Этим методом удается свести исследования рассматриваемых краевых задач к исследованию Фредгольмовых интегральных уравнений второго рода. Кроме того применяются условия излучения при решении внешних краевых задач дая уравнения (3).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре отдела уравнения математической физики Института математики с ВЦ АН Тадж.ССР, руководимом член-корреспондентом АН Тадж.ССР, профессором Л.Г.Михайловым (1976-1979), на научном семинаре кафедры теории функций и математического анализа ТГУ им.В.И.Ленина, руководимом профессором Н.Радаабовым (1980-1983), на республиканской конференции молодых ученых, посвященной 60-летию Великого Октября, Душанбе (апрель 1977), на апрельских конференциях, посвященных ленинским дням ТГУ имени В.И.Ленина (1980,1982,1983), на городском семинаре Куйбышевского пединститута им.В.В.Куйбышева, руководимом профессором

В.Ф.Волкодавовым, г.Куйбышев (декабрь 1982), на республиканской конференции по уравнениям математической физики г.Душанбе (сентябрь 1983), на университетской конференции, посвященной 35-летию ТГУ им.В.И.Ленина (декабрь 1983 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации, опубликованы в шести печатных работах (см.список).

Объем работы. Диссертация состоит из введения и одиннадцати параграфов. Содержит 127 страниц машинописного текста. Список используемой литературы содержит 46 наименований.

1. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. -М.:Наука, 1.8I.-448 с.

2. Бицадзе А.В. Об одной краевой задаче для уравнения Гельмгольца.-Докл.АН СССР, 1978, т.239, М, с.1273-1275.

3. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики.-М. :Наука, 1982.-336 с.

4. Векуа И.Н. О метагармонических функциях.- Труды Тбилисского математ.ин-та. 1943, т.14, с.105-166.

5. Владимиров B.C. Уравнения математической физики.-ГЛ.: Наука, 1976.-511 с.

6. Волкодавов В.Ф.,Гребенщикова В.И. Построение элементарных решений для трех пространственных уравнений.- В кн.: Дифф. уравнения. Рязань, 1976, вып.8, с.10-14.

7. Волкодавов В.Ф. О единственности решения задачидля одного уравнения смешанного типа.- В кн.: Волжский математический сборник. Куйбышев, 1970, вып.II, с.55-65.

8. Волкодавов В.Ф., Николаев Н.Я. Существование решения задачи IV Т для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу с сильным вырождением.- В кн. Дифф.уравнения, Рязань, 1981, с.18-20.

9. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области.- Докл. АН СССР, 1951, т.77, J&2, с.181-183.

10. Кривенков Ю.П. Представления решений уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу при отрицательном коэффициенте.-Докл.АН СССР, 1958, т.123, №2, с.239-242.

11. Маричев О.И. Интегральное представление решений обобщенного двуосессимметрического уравнения Гельмгольца и формулы егообращения.- Дифф.уравнения, 1978, т.14, МО, с.1825-1831.

12. Маричев О.И. Сингулярные краевые задачи для обобщенного двуосессимметрического уравнения Гельмгольца.-Докл.АН СССР, 1976, т.230, 1KB, с.523-526.

13. Михлин С.М. Курс математической физики,- М. :Наука, 1968, 574 с.

14. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнения с сингулярными коэффициентами.- Душанбе, 1963. 182 с.

15. Михайлов Л.Г. Эллиптические уравнения с сингулярными коэффициентами.- Изв. АН СССР, 1962, т.26, сер.мат.с.293-311.

16. Михайлов Л.Г., Раджабов Н. Аналог формулы Пуассона для некоторых уравнений второго порядка с сингулярной линией.-Докл.АН Тадж.ССР, 1972, т.15, Ш, с.6-9.

17. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.-М.: Наука, 1968.- 511 с.

18. Нахушев A.M. К теории краевых задач для уравнения смешанного гиперболо-параболического типа.-Докл.АН СССР, 1977,т.235, Ш, с.273-276.

19. Нахушев A.M. Об одной смешанной задаче для вырождающихся эллиптических уравнений.-Дифф.уравнения.1975, т.II, Щ,с.192-195.

20. Пулькин С.П. Некоторые краевые задачи для уравненийliYic £ tCyy + -jf U'у — О .-Учен.зап.Куйбышев, пед.ин-та1958, т.21, с.3-55.

21. Пулькин С.П., Макаров И.А. О существовании и единственности некоторых краевых задач для уравнения с двумя линиями вырождения.- В кн.: Волжский математический сборник, Куйбышев, 1970, вып.II, с.91-98.

22. Раджабов Н. Аналоги формулы Пуассона для одного класса уравнений второго порядка с двумя и тремя сингулярными плоскостями.- В кн. Дифференциальные и интегральные уравнения. Душанбе, 1977, с.34-41.

23. Радаабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых уравнений эллиптического типа с сингулярной гиперплоскостью.-Дифф.уравнения,1970, т.12, с.2251-2264.

24. Радаабов Н. Интегральные представления и граничные задачи для некоторых дифференциальных уравнений с сингулярной линией или сингулярными поверхностями.- Учеб.пособие по спецкурсу. -Душанбе, ч.1, 1980.- 127 е.; ч.2, 1981,- 170 е.; ч.З, 1982. 170 с.

25. Радаабов Н., Саттаров А.С. Исследование внешних граничных задач типа Дирихле и Неймана для основного уравнения осе-симметрической теории поля методом потенциала.-Докл. АН Тадж-ССР, 1974, т.17, №, с.7-11.

26. Саттаров А.С. Условия излучения для дифференциального уравнения типа Гельмгольца с двумя сингулярными линиями. Изв. АН ТаджССР, отд -ние физ-мат. хим. и геолог.наук, 1983, 161(87), с.П-15.

27. Смирнов М.М. Вырождающие эллиптические и гиперболические уравнения. М.: Наука, 1966. - 292 с.

28. Смирнов М.М. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка.- Минску 1974. 232 с.

29. Смирнов М.М. Уравнения смешанного типа.- М.: Наука, 1970. -295 с.

30. Соловьева Ю.И. Решение пространственной осессимметри-ческой задачи теории упругости для многосвязных тел вращения при помощи аналитических функций.- Докл.АН СССР, 1966, т.169, В2, с.310-313.

31. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнение математической физики.- М.:Наука,1977. 735 с.

32. Терсенов С.А. К теории уравнений эллиптического типа, вырождающихся на границе области.- Сиб.мат.фурн., 1965, т.6,125, C.II20-II40.

33. Терсенов С.А. Об одном уравнении эллиптического типа, вырождающемся на границе области. Докл.АН СССР, 1957, т.115, № 4, с.670-673.

34. Усманов З.Д. Первая краевая задача для одного класса систем дифференциальных уравнений с сингулярной линией. В кн.: Дифференциальные и интегральные уравнения с сингулярными коэффициентами, Душанбе.: Дониш, 1969, с.92-101.

35. Франкль Ф.И. К теории уравнений + = О Изв. АН СССР, 1946, т.10, сер.мат. с.293-311.

36. Раджабов H., Саттаров А.С., Джабиров Д.К. Фундаментальное решение и интегральные представления для одного уравнения эллиптического типа с двумя сингулярными линиями.- Докл. АНТадж.ССР, 1977, т.20, №9, с.13-16.

37. Раджабов Н., Саттаров А.С., Джабиров Д.К. Построениепотешдаалов для одного модельного уравнения эллиптического типа с двумя сингулярными линиями.- Докл. АН ТаджССР, 1977, т.20, Ш, с.7-10.

38. Раджабов Н., Саттаров А.С., Джабиров Д.К. Аналог формулы Пуассона для одного уравнения второго порядка эллиптического типа с двумя сингулярными линиями.- Докл. АН ТаджССР, 1977, т.20, Н2, с.3-6.

39. Раджабов Н., Джабиров Д.К. Потенциалы и их применение к исследованию граничных задач для одного модельного эллиптического уравнения второго порядка с двумя сингулярными линиями.-В кн.: Дифф. и интегр.уравнения, Душанбе, 1980, вып.З, с.56-71.

40. Джабиров Д.К. Постановка граничных задач и теоремы единственности для уравнения Гельмгольца с двумя сингулярными линиями.- В кн.: Тезисы республ. конф.по уравн.матем.физики, Душанбе, 1983, с.60-62.

41. Джабиров Д.К. К теории уравнения типа Гельмгольцас двумя сингулярными линиями.- Душанбе, 1983.- 27 с. Рукопись Деп. в Таджик НИИНТИ 13.06.83 $ 32(237), ТА-Д83.