Интегральные представления и граничные задачи для сингулярных и смешанно-сингулярных уравнений второго и четвертого порядков тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ер

к

ЛЕНИНГРАДСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНОД И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗДАШШ ГОСУДАРСГВЙВДЙ УНИВЕРСИТЕТ

Ни Правах рукописи

САТГАРОВ Абдуишон Саттарсвич

ИШЕГРАЛЫШЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ И ГРАНИЧНЫЕ

задачи для синшяшх и аштишушшх

УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО И ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКОВ 01,01.02 - дпйервнциальн«« уравнения

Автореферат дкссерт&цив м соискание ученой степени доктора фявиконштетмгавсхнх наук

Ленинград - 1990

Работ« выполнена в Ленинградском ордена Ленина и ордена Трудового Кпаоного Знамени государственном университете и Таджикском государственном университете им. В.И.Ленина.

Научный консультант - доктор Физико-математических наук, профессор Модест Михайлович Смирнов. Официальные оппоненты:

доктор ^изико-мптематичесюгс наук, профессор Вирченко Нина Афанасьевна;

доктор йизико-матечаткческих наук, профессор Жегалов Валентин Иванович;

доктор Яизико-математичеокЯХ наук, профессор ПламеневокиЕ Борис Алексеевич.

Ведущая оиганизацая - Куйбышевский педагогический институт им. В.В.Куйбышева. <г Защита оостоятся чао мин на заседании Специализированного Совета Д 063.57.30 по зачтите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических паук при Лштнгоадском гооуниверситэте по адшесу: 198904, Ленингшд, Стапый Петергоф. Библиотечная пл. 2, математико-механический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке имени А.М.Горького Ленинградского университета. Автореферат разослан

и1990 г.

Учений секретарь Специализированного Совета

доцент Суиков Я.А.

ОБЦАЯ ХАРАгСГЕРЙСТИКА РАБОТЫ '

Актуилькссть темы. Теория уравнений с ситуллрными линиями, сметанного типа составляет один из вагкых современных разделов теория дифференциальных уравнений с частными производными. Указанная теорий, вообще говоря, относится к обширному классу вырождающихся дифференциальных уравнений. Проблема уравнений смешанного типа и уравнений с сингулярными коэффициентами заяна в связи с ее многочленными приложениями в газовой динамике, теории оболочек, гидродинамике, теории упругости, трансзвуковой газовой динамике к др. Начало многочисленным исследоеанияы в этом направлении положили работы Ф.Трикоил, посэяценине уравнении смешанного типа с нехарзк-тористическин вырождением. Новый этап в развитии уравнений смешанного типа начался с появлением работы Ф.И.Франкля, в которой было показано, что задача истечения сверхзвуковой струи из сосуда с плоскаыи стенками сг дится к задаче Трико-ми для уравнения Чаплыгина. Следующим этапом развития вырождающихся уравнений в частных производных второго порядка является работа М.В.Келдыяы, в которой впервые были указаны случаи, когда при решении задачи Дирихле для уравнений с характеристическими линиям* вырождения часть границы следует освободить от граничных условий.

Дальнейшее развитие теория уравнений сметанного тит. с столярными коэффициентами получила в работах советских с математиков: К.И.Еабенко, А.В.Бицад8в, В.в.Волкодавова, В.Н.Врагова, Т.Д.Джураева, Т.И.Калыюнова, Ю.П.Криоенкова, Б.И.Моисеева, Л.Г.Иихайлова, А.И.Нахупееп, С.И.Поногарева,

С.П.Пулькина, Н.Радшбова, М.С.Салохитдинова, М.М.Смирнова, С.А.Терсенова, Л.И.Чибриковой и др. Сундаментальные результаты в данном направлении получены и в работах иностранных авторов

A Weinsteln, В. Gelierstcdt, R.P. eiUWt, R Herirle

6. Holmgr^.a и др.

С начала 60-х годов теория уравнений с сингулярными линиями, н также уравнения смешанного типа, учитывая их боль-пгую прикладную значимость, интенсивно развивается в исследованиях многих математиков(Н.А.Вирченко, Г.В.Джаиани, В.К.Не-галова, А.Г.Кузьмин,0.И.Маричева, М.М.Ыередова, Г.Ф.Цухлисова, Хе Кан Чср и др.).

Число опубликованных к настоящему времени работ по данной тематике весьма значительна. В этих исследованиях, в основном, рассмотрены уравнения смешанного типа, или уравнения с сингулярными коэффициентами второго порядка. Уравнения четвертого порядка с одной, двумя сингулярными линиями, и линиями вырождения типа и порядка изучены незначительно. Актуальность темы данного исследования объясняются тем, что здесь рассматриваются смешанно-сингулярные уравнения второго порядка, затем изучаются смешанно-сингулярные уравнения четвертого порядка и проводится анализ влияния линии вырождения и син-гулярш "i линии на постановку граничных задач, класс решений и выбор областей.

Паль гдботы. Целью работы является получение новых интегральных представлений решений сингулярных и смешанно-сингулярных уравнений второго и четвертого порядков через произвольные функции, а также применение полученных интег-

ральных представлений для решений различных граничных задач, развитие теории потенциала для этого класса уравнений.

Общая методика исследования. 3 работе использовано: аппарат специальных функций, теория потенциалов, теория интегральных уравнений Фредгольт и Абеля, методы математической физики, теории аналитических функции и др.

Научная навизна. В работе достигнуты следующие основные результаты:

1) Для уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу при отрицательном коэффициенте методом теории функций в явном виде решены задачи типа Дирихле и Неймана.

2) Для уравнения второго порядка с двумя сингулярными линиями даны интегральные представления и исследованы основные граничные задачи, и новые задачи.

3) Для уравнения типа Гельмгольца с одной, двумя сингулярными линиями найдены условия излучения типа Зоммерфольда и исследованы внешние краевые задачи типа Дирихле и Неймана.

4) Получены интегральные представления решений уравнения четвертого порядка с одной, двумя сингулярными линиями, которые применяются для решение граничных задач типа Рикье, типа В и др.

5) Для смешанно-сингулярных уравнений второго порядка получены интегральные представления через произвольные функций, которые применяются для решения различных граничных задач в эллиптической и гиперболической части области.

6) Для вырождающихся уравнений четвертого порядка с одной, двумя сингулярными линиями найдены новые интеграль-

- б -

ние представления решений через произвольные функции, которые приценяются к решению задачи типа Кош в гиперболической части области.

7) Для некоторых смешанно-сингулярных уравнении второго порядка дпю-ся интегральные представления через произвольные Функции и на этой основе решаются задачи типа Трикоми в смешанной области.

Ь) Для сменанно-сингулярных уравнений четвертого порядка первого и второго рода, найдены интегральные представления чорез произвольные функции, а такг;е и решаются задачи типа Рикье-Трикоми о смененной области.

Теогргячоская к практическая значимость. Полученные в работе результаты являются новыми и носят теоретический характер. Они могут быть использованы для дальнейшей разработки теории краевых задач для уравнений смешанного типа с сингулярными линиями второго и четвертого порядков, а та к,ко при решении прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям. 11айден:ше интегральные представления дают возможность решать но£<ыс клевке задачи для смешанно-сии гулярных уравнений второго и четвертого порядков.

Апробация гдботы. Основные результаты диссертации номере их пол; !ения обсуждалосьна семинарах: отдела математической физики ¡^тематического института СБЦ АН Тадж. ССР (I970-I97b г., руководитель академик АН Тадж. СО3 Л.Г.Михайлов), на семинаре кафедры теории функции и математического анализа ТГУ им. В.И.Ленина (I279-ISb9 г., руководитель чл.корр. АН Тадж;. ССР, Н.Р.Раджабов), отдела уравнений с частными проиэ-

водннка математического института км. З.А.Стекяоза АН СССР (19'ЛЗ, руководитель чл.коэр. АН ССР А.В.Бвдакзе), по уразне-шу^л смешанного типа в Ленинградском госулиэер'ситете (13671990 г., руководитель профессор М.М.Смираоз)-, на апрельских научных конференциях ТГУ им. В.Д.Лешша (1374-197? г., 19811986 г.), на городском семинаре кафедры теории функции БГУ им. В.ИЛенина (Минск, 1978 г., руководитель академик АН БССР, ¿.Д. Гахов), на Республиканской конфаренции молоди ученых и специалистов ТздиикскоЗ ССР (Душанбе 1974 г., 1977 г., 1084 г.), на Республиканской научной конференции ао уравиенллм математической физдки (¿¿гаш;бе 1983 г.) , на 8-ой научко-технпчеокой конференции факультета матем. знаний (Куйбкизв, 1982 г.), на областном междувузовском научном совацаалн семинаре (Куйбкшов, 1984 г.), на Всесоюзной научной кон&еренциа (йуйбнлэз, 19Ь7 г.) , на Всесоюзной научной конференции (.Гуаанбе, 1967 г.).

Основные результаты дксаертздал в целом доклаинвалисъ на

- областном семинаре пединститута гм. В.З.Куйбшева (1990 г., руководитель профессор В.Ф.Волкадавов),

- семинаре кафедры дифференциальных'уравнений хСазанского гос-уняверситета им. В,И.Ульянова-Ленина (Казань 1990 г., руководатель профессор Л.й.Чибрикова).

- сетакаре лаборатории теории упругости НИК®, ЛГУ ("1990 г., руководитель профессор Н.У.Морозов],

Публикации. По теме диссертации опубликовано 32 ра& -к.

Структура и объем работ».' Диссертация объемом из 332 ма-и шинопясннх страниц, состоит из введения, шести глав, разбитый на 22 параграфа, и библиографии, содержащей 149 наименований.

- ь -

СОДГРЙАН-Ж РАБОТЫ

Во введении дается обзор работ по теме диссертации,'актуальной ь избранной томы исследования и излагается краткое содержание работы.

Первая главл посвящена исследованию дифференциальных уравнений второго порядка с одной сингулярной линиоП.

В § I для уравнения

^О. ^и >1 _

В«* ^ (1)

при - 1 < О , используя интегральное представление

1-уи 4.+ Ы/

аСх и} = -ь »а| у

где ^(¿У и У(й^) -аналитические функции в выпуклой области В . в линем виде решается задачи типа Дирихле и Неймана. Задача с0 , Требуется паГсги вещественную функцияЦ^у), непрерывную в В . удовлстворлгсцуи в ВС^/о) уравнению (15, а на к> гранично.чу у слое ко

ц| , -ЗГ^в^,,

-С N

где -заданная непрерывная функция на единичной окруж-

ности ^

Задача . Требуется найти вещественную функцию (ДС2^), непрерывную вместе со своими производными первого порядка в В и удовлетворяющую в уравнению (I) го гранич-

ному условию

•do.

=4 (о) >

где ift -внешняя нормаль к U 3 (б) -заданная на U непрерывная функция.

Используя представление (2), решение задачи

& в

единичном круге сводится к следующим задачам Риьана-Гильберта теории аналитических функции

Ra[eleMCe1®)] -^С®,

где ^CQ) и £ (е) -известные функции.

Решение полученных задач даётся при помощи следупцих формул

ф лл я Ci^)"^ Г

TW Oil

" ч>ггл - а^У1 f ifeea* <k

3ti ¿a+^cc-^

Аналогично для задачи

■yf

получим

Re Ct^N'Ct)]

При выполнении условий разрешимости

5Г

5 (сой^У <

Реьо!'У.л последних задач ;'дютсл формулами:

-Ас п

) ал 4 (^-з) -1 -3 1

° и

Ф^- г Г с1г 1 ¿с .

^ 1 яс Ч С*--с*)

С и

Б конце этого параграфа интегральное представление

(2) распространяется на правую полуплоскость и даётся обращена? этого представления. ¡Га отой основе найдено явное' решение задачи Дирихле в правой полуплоскости, когда граничное условие гадало на лнимой оси. В 5 2 для уравнения

<3>

комплексное число, найдено условие излучения типа Зошер-йельда следующего вида:

1ХР - ^^

-^-¿Ди.= е й ) при 3»пЛ>о,

-1Хр

^ + 2 ) „р, ^о,

где= \/ссЧ . На этой основе для уравнения (3), ис-

следованы внутренние и внешние граничные задачи типа Дирихле и Неймана методом теории потенциала. 3 5 3 для уравнения

J « 0 s

где ^nvi = -> А -в общем

комплексное число, найдено фундаментальное решение вида (Г 1-rt-JU ^

о а

(A) JU-1

& И r<vju-j- CAR4)] Sin. oldot^ Д^* const,

—VlTT-1

-V^Cp^-?^^ , а также условия излучения типа Зошерфельда следукцег j вида:

-SiL - iAu. = e o ( p а ) при cip

, -CXJ> -ULE

= e o(j> * ^ при

На основе найденных фундаментальных решений и условий излучения исследованы внешние граничные задачи типа Дирихле , Неймана. Решение этих задач для уравнения (4) сводится к ре-иенип интегральных уравнений Фредгольма второго рода,

Во второй главе изучаются уравнения второго порядка е двумя сингулярными линиями

— ~ * А и (5)

где -положительные вещественные числа.

УравнеЬкС (5) а основном гачали изучать, в начале 70-х годов. В гастояцэе время имеется ряд работ, посвященных ис-следочануя) уравнения (5).

В [б - для уравнения (5) при \=0 построило фундаментальное реиокис вида

131

_

' Ск ^ с1|, ^ £ А сол^

Изучаются основные своГстга отого фундаментального ранения, патем используя фундаментальное ранение строятся аналоги потенциалов простого и двойного слоев. Построенные потенциалы применяются для решении задач типа Дирихле и Неймана для уравнения (5) при А =»0 , а также при различных значениях ЬХ. л Ь , Репейке этих задач сводится к решению интегральных уравнений Средголыл второго рода. Результаты, полученные в указанных работах, существенно используются для дальнейших исследования.

В § I рассматриваются уравнения (5). Для уравнения (&), найдено фундаментальное решение вида

>0 ;

Sí Oí _ w

+ & W Oíd}] sln^'a. sin. p dj,.

где • -функции Ханкеля, JWcnst.

•ар ^

Учитывая асимптотические представления функции Ханкеля для решения уравнения <5) найдены следующие условия излучения на бесконечности

i * \ о

i -l\j>

cía . ¡Ли = р. 0( р а \ при ¿)rrj,A<o.

Доказаны теореш единственности задач типа Дирихле и Неймана с использованием полученных условий излучений. Затем исследуются внешние краевые задачи типа Дирихле и Неймана методом теории потенциалов.

В § 2 изучаются уравнения типа Гельыгольца со многими сингулярными гиперплоскостями т.е. уравнения

O — d_

где X ~в о^чем комплексное число.

Для уравнения (6) также найдено фундаментальное решение

га. 5f

О о

t &Н?Ъо] Л

0=L

^ _I

.-Vii^f A- AY

Далее аналогично вьгаюизлояеночу найдены условия излучения типа Зок№$ельда 11 методе?/ потенциалов исследованы внешние граничные задачи типа Дирихле и Неймана. Доказаны теорему единственности этих задач с использование)-! найденых условий

излучения.

3 § 3 рассматривается уравнение

jAl "0VU v "Эй, t a") _ Q (?)

'Э'Х* 'Dtl.2' ¿p

где JUj'u' -зещественныо числа.

В отличие от предыдущих параграфов, здесь ддются интегральные представления многообразия решений уравнения (7) через произвольные функции одного аргумента. Затем формула обращения полученных интегральных представлений в симметричной области.

В § 4 устанавливается связь между решениями уравнения (7) "и уравнения Э-Е-Д

r -- - _ Q

-0cc* ^ a -o^ Т20РЕГА 2.1. Если VC^1^ является решением уравнения

Э-П-Д в области гхТ , то функция

Г О" ■* а-) Г УСах^ ск _ Т \г (Ь)

У ~ 1 будет решением уравнения (7) и

Теорема доказывается непосредственно. Затем даются боркулы обращения для (Ь) п зависимости от принимаемых значении уч . Полученные интегральные представления применяются для решения граничных задач. Приведем одну из них. Задача

. Требуется найти в полукруге оЭ ,, регулярное решение уравнения (7), представимое в виде (Ь), непрерывное в £Ь иДи , удовлетворяющее следующим граничным условиям:

, -4-

«при ju = n. , СТ~ и)^

2) при С^д"1^)^ = ^(Ч^)

3) при ^ > ± ^ ( = & Сас^

где С*,С Ь - -заданные непрерывные функции

на ^ £«(-1,1) л

о

> а ^ Г(г) ^ '

т-^- -1_

ООХЗ

\cdcc-J Сз^Ъ*

гшение задачи ЗУ для какого случая найдено в яв-

РЛ1П<

ном виде.

В третьей главе изучаются уравнения четвертого порядка с одной, двумя сингулярными линиями. В § I рассматривается уравнение

а + Яа Ц и + = о , (9) у* у

где +

Известно, что уравнения (9) в зависимости от корней мрактеристического уравнения, мо*.но записать в виде

где X* э -корни характеристического уравнения. Для

уравнения (9) найдены фундаментальные решения и изучены основные их свойства в окрестности точки х = О .

а ттаю строится аналоги потенциалов простого и двойного слоев. Построенные потенциалыприменявтея для решения задачи типа

На основе найденного условия излучения доказывается теорема единственности задачи О . в области

. Далее в этом

же параграфе для уравнения (9) решается задача типа Рикье по вышеизложеноцу методу.

В § 2 даётся интегральное представление решения уравнения

Ч+'Ъул

Ь/и Ци)^ (ю)

через произвольные функции. Доказан ряд теорем. Приведем некоторые из них.

ТЕОРЕМА 3.1. Пусть ии=0 , 1Лй=0 . Тогда регулярное решение уравнения (10) при О в области представимо в виде

Ц-О,^ = гц>0а#>+ едп^ ^ 1 ^ .

ТЕОРЕМА 3.2. Регулярное решение уравнения (10) в области представимо в виде

1) при йда > а> 1.

2) при

3) при о ^ а!) -л 1 , о < 1..

- 1Ь -

и-<Ь#> = Т4.» Н>А -V ^ %

4) при - 1 О-г -¿4.

где 1

Ч^ -произвольные функции одного аргумента.

Полученные интегральные представления применяются для решения краевых задач.

В § 3 даются интегральные представления решений уравнения

где

он. • У

. и 0 -вещес.'иенные числа, через произволь-

ные функции. В зависимости от принимаемых значений коэффициентов с£- , , доказано несколько теорем. Приведем одну из них.

в симмет-

- 19 -

ТЕОРЕМА 3.3. Регулярное решение уравнения (II) ричной области £> 0*4/о} представимо в виде: I) при а^я, 2.1, ; р>1>

"<*■*> - V

р.) при ,

+ ^тгос ^ ¡х, Т ко

о 'г> у

• Т „ <ьг-т А-1)

+

X

ф. ^ -з -проигволькые функции одного аргумента и ** 1 I

Г Ф -Д ск\ ^ ^(Г1"а<г> ^ с*- ^

о о

Далее полученные интегральные представления применяются для решения различных граничных задач для уравнения (II).

3 § 4 для уравнения

Ъос "ЗосЗ ^ даётся интегральные представление рссенкя в симметричной области оО" » через произвольные функции, затем находятся формулы обращения полученных интегральных представлений через решени уравнения (12).

В четвертой главе, для ряда вырождающихся уравнений второго порядка с одной, двумя сингулярными линиями даются интегральные представления решений в эллиптической, гиперболической части области . Затеи найденные интегральные представления применяются для решения различных граничных задач. В отличие от предыдущих глав здесь рассматриваются

уравнения смешанного типа. В § I для уравнения

Ъ*и. .и'Р*а i-yP Du. t ju -OiL q (13) •Эх* оъу* а ъу. х. ъос

в эллиптической части области ставятся основные

краевые задачи и доказывается их единственность. Затем строится фундаментальное решение уравнения (I) в

ч /1двтся

интегральные представления решений э виде потенциалов простого И двойного слоев. Отметим, чао интегральные представления решений уравнения (13) существенно зависят от принимаемых значений коэффициентов уравнения ju и Ь . Кроме того в гиперболической части области сВ" С^О даётся интегральное представление решений уравнений (13), через произвольные функции. На основе найденного интегрального представления в

решается задача Коши. Реиение задачи Коши найдено в явном виде.

В § с по аналогии 5 I, для уравнения

•f)aU- t T)*U t 3V>-1 0 (14)

ставится ряд граничных задач в <*7 и доказывается их единственность. В зависимости от коеффициента уравнения (14) получены интегральные представления решений типа потенциалов простого и двойного слоев в эллиптической части области .

в гиперболической области найдены интегральный представления решений через произвольные функции, которые при--меняются для решения задачи типа Кови в .

В 5 3 рассматривается уравнение

Ц + cc^ + ib- JL^=0(I5)

где JU , Р -действительные числа.

В данноы параграфе даётся постановка различных граничных задач, доказана их единственность. Найдено фундаментальное решение уравнения (15) в

, затем рдются

интегральные представления решений уравнения (15), в зависимости от принимаемых значений ja и у) . Далее прово-/^тся анализ влияния коэффициентов уравнений jn и D и постановку задач и их единственность.

В { Л изучается ряд смешанно-сингулярных уравнений второго порядка, т.е. ^

у v CP-I T>u ц DU п

#-©х* ^р" ос о ъх ~ ?

^tfu, tt -оУ . iva^u , í-vsijM J»0-ÍY,

y

где ja ,1) -Евтцественные числа.

o

Для этих уравнений в зависимости от коэффициентов ^ ( ¡) получен ряд интегральных представлений решений через произвольные функции. Некоторые из отгх интегральных представлений применяются для решения задачи типа Кони в гиперболической части области . Решение задачи типа Коши найдено в явном виде.

В пятой главе для некоторых рырсзгдапцихся уравнений четвертого порядка первого и второго рода, с одной, двумя сингулярными линиями даются интегральные представления через произвольные функции, затем в явном виде режется ряд задач типа Коши в характеристической области. В дальнейшем некоторые результаты главы 1У обещаютеч длл уравнения четвертого порядка.

В 5 I, для уравнения.

(16)

а

с»

где 1=4^ + . в области

¡> О Ъис? '

- Д)< о) в зависимости от принимаемых значений коэффициентов а. и ^ даются интегральные представления через произвольные функции. Эти интегральные представления применяются для решения задачи типа Коши в характеристической области. Приведем одну из задач.

Задача К. . Требуется найти регулярное решение уравнения (16) в характеристической области при О 1 ^ , а>^> удовлетворящее начальным условиям:

иСилГ) (Ф а

Ц-У-О О 1 у-^-о о

& + 3|)-3а.

[Ф

Са-1

ЗЛЗ»>-За_

о _

г? ~ С^ - -заданные непрерывные функции

Решение задачи даётся формулой

а. (а-»

игосцл__1_Т го 3(-У)* гп о

^ ^ 1 -ЗС^-сх) ВСа.а)

+

Тл£

где

гр п _ Г 5] , -

Во втором параграфе рассматривается уравнение

(17)

где а. , % , 1) ,

Г

■вещественные числи,

^ 0 "д'ос* З.Ц. ^ ос. ^

ргосл = х __I__

' 3 А (>£) С&ЛОуЭ> 9 Са и)- ос3"

Для различных вариантов значений О. , & , ^ , ^ получен ряд интегральных представлений решений уравнения (17). Полученные интегральные представления применяются для решение задач типа Коши в гиперболической *асти области <$У . Доказано несколько теорем. Приведем одну из них. ТЕОРЕМА 5.1. Пусть о о^Зцк

, СХ> О . Тогда регулярное роненио уравнения (17) а од представимо в виде

•Т Н> Лч^^Г ^¿^Т т-

'1-0,6 £ ^ к,,.еЧ (-<3)

где С \ - {Д) -произвольные непрерывные функции и

- -¿Ь -

1 1

В § 3 для уравнсний

1 г ал >)•-<*- ,

(IЬ)

(19)

где

I - . о * =1

сУх* Г ОЪ^' О щ > 4)1" ос. ^гх '

даются интегральные представления решений через произвольные функции одного аргумента. Некоторые из этих интегральных представлений приценяются для явного решения задачи типа Коши для уравнений (1Ь) и (19) в гиперболической части области Приведем одну из этих задач.

Задача "К. • Требуется н&йти регулярное решение уравнения (16) в характеристической области

при О <

« СХ>^ . удовлетворящее начальным условиям &ГО. Сад) =

- ?л -

-сг.

%

ан>-а

Ъ

1+Яои

с-Ф * 4

сс

а "да

гдо<£ (х}

"О

заданные непрерывные функции на интервале

ос^ 1 •

Решение задачи К- даётся формулой

а-м)

+

. 1-1>-(Х.

4 с-¡»у

_т1 с ,

8 С Я) %

где

а-ас^а-^-^ 1-ад.О) 'оРб

ТЧ - С^-ау^-^З ^ ° Г • ТТЛ.

= ) [^иг и .

Легко мокно проверить, что равенство (20) удовлетворяет уравнению (1В) и начальным условиям (^К-) •

Шестая глава посвящена получению интегральных представлений решений смешанно-сингулярных уравнений второго и чет-вертогопэрядков. Затеи решается задача типа Трикомн для некоторых смешанно-сингулярных уравнений второго и четвертого

- 2Ь -

порядков в смешанно области. Здесь также решается задача типа Трикоми для некоторых сингулярных уравнений четвертого порядка с одной, двумя линиями вырождения в смешаной области Я . Ниже приведем некоторые результаты главы У1.

В § I аналогично § 5, гл. П, устанавливается связь между решениями смешанно-сингулярного уравнения второго порядка .

Ъ ос о "с^

и решениями уравнения Трикоми

Используя эту связь решается задача типа Трикоми для уравнения (21) в смешанно^области.

В § 2 для одного смешанно-сингулярного уравнения второго порядка с двумя линиями вырождения

«^ + + ^«^.о «и

^^ а ас (Гдос ^

даются интегральные представления решений через произвольные функции одного аргумента. Далее эти интегральные представления применяются для решения задачи типа Трикоми в смешаннойобласти. Доказан ряд теорем. Приведем одну из них.

ТЕОРЕМА 6.1. Регулярное решение уравнения (22) в области представимо в виде

о*»,»<4,

где

Т Ф - Г 'Ь [з>Ц-а(-1'уУ-й-?А1 Лг' ЕбС-ь^З^

Б § 3 для уравнения » 1 т

к/

■■ ■■■ т.

[1а1 * к"-]

- о,

(23)

где

1 т. <■ к 5 *

г ъ*1 .

дх* ^ИЙ

+ а

(П. -натуральное число, ^ ^ СС < даются интег-

ральиые представления реиеииЯ через произвольные функции одного аргумента. Полученные интегральные представления применяются для решения задачи типа Коки, Трикомн соответственно в гиперболической области

и смешанной области

Приведем одну из этих задач.

Пусть 3)~гп_ область, ограниченная дугой нормальной кривой б".

т.

С-«/

4

лежацая в полуплоскости ^ > О с концами в точках В и характеристиками

Л с. :

уравнения (23), пересекающимися в точке

'Л т V

г?:

-1

о

- 30 я -1

Задача Тт . Требуется найти решение уравнения (23)

< £ 1 , & > О. ,

1-ат.

при -—- ¿.О-^ 1

2

1т.

в области > непрерывное в , удовлетворяющее

граничным условиям:

т_

, пг. _

а также на линии параболического вырождения условиям склеивания

„ & а + сх

&пг. (-Л"

% Ь

% ЬиМ

п -х г Б > /■

= Ц, -а

^ + 0

а

Вл (-и-) ^»-о 0 "гч I. <г

6

! ^ I и

си

у^о 3 ^ и ^ У ^ ^

9

где Н^ (V) ,(V) -заданные непрерывные функции,$ &) ,21 (сс\-vn.ro- 'га m. ^

дважды непрорызно-ди'ференцируекке заданные действительные

функции, причем прокзеодныэ второго гюрядка удовлетворяют условию Гельдера. Допускается, что функции V Дас} и 0 (х) могут обратится в бесконечность порядка ниже единицы на концах интервала O^acci..

Четвертый параграф данной главы посеяпсн изучению уравнения

Lju ^4)

где ?„t~i)-Ju

к (хлЛ = »^t " * ,

(г,- + 3 ü^ а 'ч öa- ту. ) •

3 данном параграфе для уравнения (24), даются интегральные представления решений через произвольные функции в гиперболических частях области, <ЛУ . Найденные интегральные представления применяются для явного решения задачи типа Коии в гиперболических частях области , далее решается задача типа Трикоми в сметанкой области cÖ' . Заметим, что здесь получены довольно сложные условия склеивания на линиях параболических вырождений области /v .

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАН! В СЛЕДУИЦИХ РАБОТАХ

I. Саттаров A.C. Ресение некоторых краевых задач для уравнения Зйлера-Пуассона-Дарбу при -J ¿у/ < О . Изв. АН Та да.

ССР, отд. физ-мат и геол. хим. наук, 1973, № 1(47) с. 9-19,

2. Саттаров A.C. Решение иадачи типа Рикье для некоторых уравнений высшего порядка с сингулярной линией методой • потенциала. В кн: Тезисы докл. респуб. коиф. молодых ученых и специалистов посвящ. 50-летию оброэованш? Тадж. ССР, Душанбе - 1974, с. 3-4.

3. Саттаров A.C. Решение задачи типа Рикье для некоторых уравнений высшего порядка с сингулярной линией методом потенциала. Изв. АН Тадд, ССР, отд. физ-мат. и геол. хим. наук, 1975, № 1(55) с. 12-19.

4. Саттаров A.C. Исследование граничной задачи типа б для модельного уравнения четвертого порядка с сингулярной линией. Докл. АН Тад^. ССР, 1976, т.19, № Ь, с. 3-7*.

5. Радл&бов Н., Саттаров A.C. Исследование внешних граничных задач типа Дирихле и Неймана для основного уравнения осе-симметрический теории поля методом потенциала,-Докл. АН Тадж. ССР, 1974, т.17, №5, с. 7-11.

6. Раджабов Н., Саттаров A.C., Джабиров Д.К. фундаментальное решение и интегральные представления для одного уравнения эллиптического типа с двумя сингулярными линиями.-Докл. АН Тадж. ССР, 1977, т.20, » 9, с. 13-17.

7. Раджабов Н., Саттаров A.C., Джабиров Д.К. Построение потенциалов для одного уравнения эллиптического типа с двумя сингулярными линиями. Докл. АН Тадж. ССР, 1977, т.20, »II, о. 7-10. о

6. Раджабов Н., Саттаров A.C., Джабиров Д.К. Аналог формулы Пуассона для одного уравнения второго порядка эллиптического типа с двумя сингулярными линиями. Докл. АН Тадж.

ССР, 1977, т.20, !? 12, с. 3-7.

9. Радтабов И., Саттаров A.C., Джабиров Д.К. К теории одного уравнения второго порядка оллиптич:ского типа с двумя сингулярными линиями. В кн: Тезисы докл. респ. кон|>. молодых ученых. Тад;к. CCF, Душанбе 1977, с. G.

10. Саттаров A.C. Потенциалы для уравнения четвертого псрчдка с сингулярной линией. В кн: Тезисы докл. респ. науч. кон^. молодых ученых и спец., Дусанбе - 1977, с. 4В-49.

11. Саттаров A.C. Условия излучения для дифференциального уравнения типа Гельмгольца с дьуыя сингулярными линиями. Изв. ЛИ Тадз*. ССР, отд. физ. мат. и геол." хим. наук, I9B3, !"■ I(Ь7), с. II-I&.

12. Саттаров A.C. Условия излучения для дифференциального уравнения типа Гельмгольца с одной сингулярной гиперплоскостью в многомерном случае. Докл. АН Тадт>. ССР, ISb3, т.26, 5 6, с. 345-349.

13. Саттаров A.C. Постановка основных краевых задач и теоремы единственности для смешанно-сингулярных уравнений.

В кн: Тезисы респ. науч. кспф. по ур, мат. физики, Душанбе, ЮЬЗ, с. 30-32. О

14. Саттаров A.C. Постановка краевых задач и теоремы единственности для одного сингулярного уравнения, вырождаще-^ гсся на осях координат. В кн: Тезисы докл. участников Куйбциевского обл. ыеавуз. науч. совещания семинара, Куйбышев I9K4, с. 99-100.

15. Саттаров A.C. Постановка основных краевых задач и теоремы единственности для вырождающихся эллиптических уравнений. с сингулярными линиями. Докл. АН Тядж. ССР, 19Ь4,

т.27, Р 6, с. 202-307.

16. Саттаров А.Г.. Интегральные представление решения одного смешанно-сингулярного уравнения первого рода. В кн: То-висы респ. кок£. молодых ученых., Душанбе 19Ь4, с. 109110.

17. Саттаров A.C. Постановка основных краевых задач и теоремы единственности для смешанно-сингулярных уравнений второго родд. Докл. АН Тадж. ССР, 19Ь4, т.27, № 12,

с. 69В-702.

1Ь. Саттаров A.C. Граничные задачи и интегральные представления для одного смешанно-сингулярного уравнения, ж. "Дифференциальные уравнения", Минск, I9fc4, с. 20. (рукопись деп. в ВИНИТИ, I2.lI.I9b4, !,' 7236-Ь4 деп.).

19. Саттаров A.C. 06 од!Йм модельном смесанно-сингулярном уравнении. ИЗв. АН Тада. ССР, I9ö4, f? 4(94), с. 15-23.

20. Саттаров A.C. фундаментальное решение и интегральное представление для одного смешанно-сингулярного уравнения. Изв. АН Тадж. ССР, 19ЫЗ, № 2(96), с. Ь-16.

21. Саттаров A.C. Интегральные представления решения одного смешанно-сингулярного уравнения второго рода. Докл. АН Тадк. ССР, 19Ь5, т.2В, № 4, с. 197-201.

22. Саттаров A.C. Условия излучения для дифференциального уравнения типа Гельмгольца со многими сингулярными гиперплоскостями. Труды Ь-ой научно-технической конференции факультета матсм, знаний, деп. ВИНИТИ, )? 2357-0?.

о

деп.

23. Саттаров A.C. Интегральные представления решения одного сингулярного уравнения вырождающегося на осях коорди-

- 35 -

¡шт. В кн.:Тоздоы докл. всесоюзной науч. коиф. Куйбьзгев, 1937, о. 101-102.

24. Саттаров A.C. Интегральные представления решения одного смешанно-сангулярного уравнения. В ин.гТизксы дом, всесоюзной науч. конф., Душанбе, 1987, ч. 2, с. 95-%.

25. Саттаров A.C. Интегральные представления решения некоторых выроздапцихся уравнений с сингулярной линчей. Изв. АН Тадк. ССР, отд. физ-мат. п геол.-х-ьм. наук, 199U,

в 2 (не).

26. Саттаров А.О. Решение некоторщ. граничных задач для одного уравнения с двумя сингуля^ни-лл линиями. Вест. JUT, сер. 1, 1990, зш. 2 (jib), с. 35-40.

27. Саттаров A.C. Пнт-егральнно представления и граничные задачи задачи для некоторых вырождающихся уравизиий четвертого порядит с сингулярной линией. Изв. АН Tan«. ССР, отд.. фаз-глат. и геол. хим. паук 1990, !'е 3 (117).

28. Саттаров A.C. Решение задачи тила Коти .для вырогдавде1'ООя уравнения четвертого порядка с одной сингулярной линией. АО ja. А1Г Тадж. ССР, 199Ü, т. 33, И 3.

29. Саттаров A.C. Решение задачи тиа Триком:г)для одного смешанного уравнения четвертого порядка. Вест. .'ГГУ, 1990, сер. 1, вш. 2 (lé 9).

30. Саттаров A.C. ¡штегральные представления н граничные задачи для одаого дифференциального уравнения четвертого порядка с одной сингулярной линией. Изв. АН Таи. ССР, 1990, й 4 (118).

31\ Саттаров A.C. Решенле задачи тйпа Коти для вырожяаотего-ся уравнения четвертого порядка с двумя сингудариша линиями. Дом. АН Тадж. ССР, 1990, т. 33, Л 2.

32. Смирнов М.Ы., Саттаров A.Ö. Интегральные представления и граничьте задачи типа Трзкоми для одного смешанио-сангу-лярного уравнения четвертого порядка. Докл. АН Тада.ССР, 1990, Т. 33, JÉ 7.