Интегральные преобразования с Н-функцией ... в весовых пространствах суммируемых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

БЕЛОРУССИИ ГОСУДАРСТВ ЕЬ'Н^/1 М-Г/.5сРСИТьТ

' Ня прзлзз рукопгса

- Ш.тспг:игз Сзргей Лхзетзэ-гп

î^-itetpaabktz п?ес£рлзсзак:-;я с и - ©м-лез-л ;

В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ суммируемых ЕЯЙШ.

010101 - ШЗГЕиТОЕСКЕЗ /НАСТ

1ССсрт2Ц".:а ул ссзскзкм зпексЛ с:гели " ; îf^T ** G5C3II iisyï»

IS" i

Работа • выполнена на кафедре теории функций Белорусского государственного унгзэрситсте.

Научный руководитель: кандидат физико-штеглатичеоаиг наук,

доцент Анатолий Александрович .Киябас

Офацяальша сшсккпнг доктор физжсо-ыатеаатичаааа наук, еха-

деыик АН Беларуси Иван Васильевич Гвнщга

кандидат физико-матеыатических наук, доцент Сергей Иванрзич Василец

Наддал' организация: Киевский политехнический институт,

г. Киев

Защита состоится «Л->-<Змг$_ 1994 года В 10 ЧЕСОВ

на заседании сшцзшгизировашого совета К Q3S.G3.G5 в Белорусском государственном ■ ушвэрсш'эте (220050,- г. Глнск, просшкг 4>. Скорчш» 4; главный корпус »кодаата 205).

С дассэртацкэй «таят ознакомиться в Озблютоко Белорусского государственного университета.

Авторофзрат разослан 4 СХы-^&еЛлЯ- 1334 года.

УчзншЗ секретарь аюциалазЕровсншго совета, кандидат фгоааю-мэтвиотЕНоенгЕ

наук, доцэнг П.П. 1Снг::

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ -

Актуальность темы.- Исследуемое в настоящей диссертации интегральное-преобразование.

Г Г I ( а .а ) (Н/)(х)= >

ч ч

/ШсП, г>0 - «и

т.гч т.п . (Э ,а ) .

с н- Функцией Фокса Н (г> = н I % I Л является

Р.Ч р-ч ' Ч Ч ' ^

наиболее общим из известных интегральных прообразозванкй. Если «4=.. . = ар= .1, то (1) сводится ■ к интегральному

преобразованию с б - функцией- Мейарэ в- ядра, в -преобразования 'зклалаэт классические преобразования Лапласа и Хшпшля," дробные интегралы Рвманэ-Лиувилля,-- четное и нечетное преобразования Гильберта, гипэргеометричэ'ское преобразование Гаусса и другие интегральные преобразования со специальными функциями в ядрах. -см- и. §536-3? з. Однако существуют жггвгральныо преобразована , которые является н -преобразованиями (1), но не сводятся, к в -■ преобразованиям. Среди них — модифицированные преобразования Хашгаля и Лапласа п. операторы дробного интегрирования типа Эрдэйи-Кобэра С1.5Ш], интегральные преобразования с гишргеокэтрЕчвской функцией Гаусса сг. I и так называемое интегральное преобразование типа Бесселя: ■

1. Сякко С.Г., Килбас А. А.» Марпчев О.й. йетэгралы и производные дробного порядка а некоторые их пршюетшя.- Минск.-1387-- 687с.

V f V

су )(r)= zp( xt ) /( t )dt. x >0. (2)

p

о

с ¡щро~л

iu-l t .

Z f U ) = I t ezp (-% - - т. ■ p :■ s, и с с. (3) р J t

Йнтехралъноэ прасбразоззниз (1 ) с н- футсщюй Фокса Нр <z) в ядре ига H- прообразован® баш введаго Sckcom (c.f.«:) при исслздовании <5 ж H - функций кан сзэ.ыетршнш: ядэр Фурыэ. Эта работа TBKX8 KSK и. статьи Косарваяг (N.P.Kesarvani), Сансзии

(R.K.Ss«end), Гупга (K.C.Supta), МиГГаПЗ (P.K.MittaJ ), СiliCZ, (R.Singh), Наллн (S.L.Kall,?), БуШХИНа (R.G.Buschman ) И СрИЗЭСТайа (H.M.Sovaetava), КумбВХГа (R.KJ'.uraDhat ) Е НВСИМЗ (C.Nasiin )

посвящены шхоздании формул обращения для H -прэобразоааняй (X) ь пространствах l (О.оо)" с си^ео). ДреоОразованзэ Шллана, аналог фэрмулы пробного интегрирования по частям п композеционныо свойства М- преобразования (1) в этих пространствах изучена Каляой (S.L.KaUa ) »Ср2ВаСТ8В0Й (H.M.G.-ivûstava ) П БуЗЕИШИ (R.G.Buschman), сйкс8кой (R.K.Sa/ena ) И КумбаГГСЫ (R.K.Kumbhat).

В работах Саксаны (н.к.захеп*), Exatca (v.n.Bhxse) и Дягхв

(M.Oighe) Енгагралькыо операторы вида (1) продставлэны esic

композиции. операторов Эрдвйж- Кобара а Енгзгралькш: операторов

(1) с н-фуикцияг.и конышес порядков, Факторизация опэраторов- (1) в

Ф

специальных функциональных пространствах L да!Ш Ву Кам Туаком.

2

1п,0

Свойства н- преобразований (1) с Нтл, функций в ядра исслодозаш

КЕрьЯКОЕОЙ (V.S.Kjryakova ) H k8äioü (S.L.K alla ) в пространство Lp(e. та), 1 < p < со, В СаЗГО (М.Еакзо), РаЙЗО (R.K.Ramä) к A.A.

Килбасом - в пространствах Мак- БраЯдэ Ррм и а. §аз. Мск-

БраДЦ (Д.С.Г1сВггс1е) И Спр.ТТТ (ЫЛ.Эрга«) раССМОТрвЛИ ЧЕСТНЫО

1.0

случаи Н - преобразования (1) с н - функциями Фокса н^« ъ ),

Ъ.1 1,0

Ссылки на работы вышэ перечисленных авторов таю найга в статьях из списка работ, указанного в конце

автореферата.

Интегральное преобразование (3) было введено Кратцелем

(Е.кга1ге1) с 2 ] и названо интегральным преобразованием типа

т2 " т* т "

Басселя в связи с тем. что при р=1 , и= ^ , 21 ( % )= 2( £ )

Ку(х), где К^(х>— модЕЙицированная функция Бессэля третьего рода, или функция Макдональда п.5л. В сгз была найдена формула обращения преобразования (2), построена его свертка и даны приложения к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. Изучение интегрального преобразования типа Бессэля было продолжено в работе родригеса (г.кс^пдиег), Трудшшо (т.т.тгилпо) и Риввро (м.к^его) сз т.где получена форглула композиции оператора (2) с оператором, связанным с оператором лиувилевского двойного дифференцирования (си. (22),(23) далее ). и приведены приложения н решении дифференциальных уравнений дробного порядка бвссеявва типа.

2. Kratzel E. Integral treraforaationa or Beasel-type // General functions and operational calculus (Proc. Conf., Varna, 1975), P.I 48-155. Bulg. Acad. Scl.. Sofia, 1979.

3. Rodriguez J., Trujlllo J.J.,Rlvero SI. Operational fractional calculus of Kratzel Integral transformation. Differential eguatlons (Xanthl,1987).P.6l3-620. Lect. Notes Pure 5dd Appl. tlnth. 118. Dekker, Now Yorft, 1989.

- б -

Цель работы. Изучение свойств н- преобразования (1) в

весовых пространствах г, » « (- «.+ 1 1 г 1 <"» измеримых кожшэкснозначных функций /, заданных ка полуоси к=(0.-ио> и таких, что

а такжз исследование композиции интегрального преобразования типа Бесселя (2) с интегралами и производными дробного порядка и пршюЕэшю полученных результатов к решению обыкновенных дифференциальных уравнений.

Методика исследования. В работа используются метода теории функций и функционального анализа: теория интегрального преобразования Меллина, асимптотические оценки, интегральные прздставлэдая, действие интегральных операторов из одних функциональных пространств в другие, теория дробного ингегродаффэренцирования.

Научная новизна, В диссертации содержатся следувздиэ новые результата.

1. Даны условия »при которых а) н-преобрэзозанио ограниченно действует из весового пространства сугджруешх функций Ц, г, к « I £> < в пространство 1 < з ^

б) справедливы формулы преобразования Меллина и аналог формул дробного.шггегрирования та частям; в) н-преобразование допускает , интегральное и - ингегродаффвренцЕальное представления а Н-функцшшз Фокса в ядрах.

00

1

(4)

.о

2. Получены условия взаимной одиозначности н-преобразоззння

ИЗ г, 1 < г < га, В а» 1 < 3 < « И дано 0ШС8КЕ9 мвдязства значений Н г) оператора н- прэобразовашя в случаях, когда преобразование Мз длина н- функции «Эокса шотот гостояншй и степенной порядок на бесконечности.

3. Найдены условия взаимной однозначтсти Н- преобразования из ц, г, 1 < г < в, в „. 1 < з < « и дано описание образа

Н г) оператора н- преобразования в случаях, когда преобразование Мишина Н- функции <1окса швет экспоненциальное убывание на бесконечности.

4. Доказаны формулы обращения Н- преобразования аз Ц,

1 " г ж, в случаях, когда преобразование- Мэллина н- функция Фокса имеет постоянный и степенной: порядок на бесконечности.

" 5. Установлены формулы композиции интегрального преобразования типа Бесселя (язлящэгося частным случаем н -преобразования) с операторами дробного итерирования и дкйвронциро-вания Римглана-Лиуналля и полученные результата приаюкены к решению обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

основном носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в теории интегральных преобразовании,- теории интегральных и дифференциальных уравнений, теория дробного шгегродар1эренцирования и при решении задач математической физики, приводящих к интегральным преобразования!» с и- функцией Фокса, и обыкношшшз дифференциальных уравнений второго порядка.

¿пробаиия. Основные результата закладывались на республиканской научш-мзтодаческой кокфзреншз. госвязанша 200-

лэтию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Одесса, сентябрь 1992г.), конфэренцш математиков Беларуси (Гродно, сентябрь 1992г.), моздунэродной матэмэтической конференции, посвященной 200- летаю со дща • ровдэния . НЛ* Лобачевского (Минск,' декабрь 1992г.), конференции- японского' квтаметического общества (Токио, маргг 1993г.), а такие неоднократно на Шнеком городском семинаре по . краевым задачам вд. академика АН БССР -Ф.Д.Гзювэ в Белгосуниверситете (руководитель - профвссор Э.И.Зверович).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включавши в .себя 14 параграфов, и списка лтературы, состоящего из■ 92 наименований. Объем работы —' 15Б страницы машинописного текста. .

. . СОДЕРЖАНКЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении сделан краткий обзор литературы по теме диссертации, привэдэны сведения об апробации, объеме и структуре работы и кратко яаложою ее содерзадаэ.

Первая глава посвящена изучении свойств Н- функции Фокса

*П,Г>

Н ( з ) (см. например {4.58.3 1) и Н- преобразования (1). В §1,косящем вспошгателъвда характер, даны основные определения и утверадэния,-' используемые в дальнейшем. В §2 получено новое

4. Прудников Д.П.. Брачков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и рады. Дошхншггашдаэ плевы.- №>сква.-1в8б.-ес1с.

шггогралыгоо прэдеташвшга для Н- фувкщш Soicca (теорэка 2) и дана йсжлготЕчасквя оценка дзш нов на беснонзчшсти (тоорэгл 3). Результате §§1-2 применены в §3 для построения г - тзорзи интегрального преобразования (1). Потнко,, даны услония. при которых ЕШЭТ г.', с сто слэдугсцгэ утверждения:

а) оператор н- преобразования ограничен из Lu х в Lt.v 2 и осуществляет взгэижю-одкозначжэ отобрагзниз Lv г на xl

б) верна формула преобразования f'эллина si от н-преобрзгования

ТП.Г»

(ан/)(з)=я (з)(п/)(1-з), о)

п Г(Ъ +гз а) П г(1-а 3)

m.n i = i i = i St (3) = - ; (A)

ГП '"(a^-.aïrn Г{1-Ь -(J a)

i. = j = m»i

в) H- преобразование допускает? представления

i -, , 1 ¡M-1

(Н/)(х)=Ьх gg X h X (7)

со

Г m.n*i г j (-x.h), (а .а )».... (а .<* ) 1

. ^ .....

1 —— X-t-1

(НЛ(Х) = -ЙХ X " X ' IQ)

СО

f*"*.* Г I (a .c» ),...w(a a ), (-Х.Ь) ]

О

г)спрзводляв отлог фэрглулз пробного хштегрирсван^я тю частая

J /( X )( Н8 )(- х )<й: = |. ( н/ X XX )йх <■?>

о о

Сначала в §3 доказано вспомогательное утверждение (лэша 1), данное 2- теорию интегрального преобразования вида (7) с произвольным ядром. Затем построена а- тзоркя Нчтреобразования (теорема 4) и даны условия существования н-преобразовакия вида (1) (теорема 5).

Вторая глава посвящена исследованию', свойств н~ преобразования (1) в пространствах Ц, г(» е к, 1 < г <. о> ) при условии, что параметра с^,..., '^....,/э . удовлетворяет

соотношениям:

в л р П) Ч

(14))

-а 0

. . р I. ч 3 •

<5 н п <\ П ^ = 1

В §§4-7 построена - теория н- преобразования. Именно, даны условия, при которых нмеиг место следупдие утверждения:

а) оператор Н- преобразования. определенный на 1_и г, « «К, шгэт быть лродол&ен на Г (1 < - < « ) до. огоратора, ограниченно дейСтвупаего ¡з ^ ( в „» 1 < а '< ю) и . о сутцз станшцо го взаимно однозначное отобрази нив 'на ;

б) верна формула (5) преобразования Иэллина;

в) н- преобразовании допускает представление (7) и (8);

г) справедлива формула (9).

Кроиэ того даю описание образа Н(1_„ ) опврэторз н, который отзывается ргздтвдм в 9 случаях:

1) аж=л=а Re я=0; 2) a ~д=0. я® ikO; 3) а =0„ л>0;

4) а*=0. л<0; 5) а*>0, а*>0, а*>0; 6) а*>0. а*>а

7) а">С. а*=0, а*>0; 8) а*>0. а*>0, a*<G; 9) а*>0, а*<а п*>0. Здс-сь

I * I i P-q

д= 1 <*> - I V ^ I ь, - 1 + — ï - <ш

3-Í. i = 1 j = l L=1 '

m p r» q

<" i"*' l <= i "i - i ßJ • (12)

j = l i=rt«-l 1 = 1 J=m«-1

йюлзстпо значений H (Ly r ) оператора H в уясзагайз случаях

описывается в таргганэх операторов тлю Эрдейз-Кобврэ

а * a-t crrrcr-l

———--Jí^-t0') t . /(t)dt, -(13) ;

f (c) 0 I > 0, O « c, fe a > 0,.

a>

¡I T /4ï)= - j(t£r-3er> t y(t)ílt, (14)

Г > 0. a e C. a > 0, шдЕг&щярованного преобразования Хаяпеля

cu i i i

ÍHk_0/)(xHj<xt)k V^lKltt+M/mdt. 2>0,/a» 7)>-l.Ktííí\{0}, ns> о

футсхгл Бессвлч первого рада Ш) з мэдафидарованкого

преобразования Лаплася

" ехр^ккх-ь^/шс», :Х>0, аеС, КеКУСО), (16)

о

смЛ1, §§18,23,39], а также в терминах элементарного преобразования

(м? /)(х)= х?/(х), ге с. (17)

В §§4-5 рассмотрен случай а =0, когда функция яе(з)=ж <а> в

ТП.П

(6), являющаяся преобразованием Меллина н- функции Фбксв нpq(z), имеет постоянный и степенной- порядок на бесконечности. В §4 построена г- теория Н- преобразования и охарактеризовано множество его значений Н(Ц, ) для а*=д=0. р=0 (теорема 7) и для а*=д=0, ко р<о (теорема 8). При этом в последнем случав образ г> описывается в терминах операторов' типа Эрдейя- Кобэра (13) или (14). В §5 получены аналогичные результаты в случаях а"=0, д>0 (теорема 9) з а*=0, д<0 (теорема 10); при этом образ Н(1_„ г) охарактеризован в терминах шдифвдированшго преобразования Ханкеля (15) и елэконгарного преобразования (17).

ж т.п

В §§6-7 изучен случай а >0, когда еср ч<з) икает экспоненциальное поведение на бесконечности. Сначала в §6 построена Ц, г- теория н- преобразования (теорема 11). Затем даны условия взаимной однозначности н- преобразования и описание множества его значений н(1_и г) при а">0. а*>а а">0 (теорема 12), а*>а в*>0. а*=0 (теорзма 13) п а*>0, а*=0, а*>0 (теорема 14). Следует откатить, что образ Н(Ц, г) характеризуется шш в тершгнях модЕфацпровадаого преобразования Лапласа xVa, опрэдэлзнгого в (16), шш ео оператора ^„ .и операторов типа Зрдейн-Кобера (13) шш (14). В §7 найдены условия взаимной одно-

значности Н- преобразования и даю описание Н (Ц, _, ) при а >0, а*>0. а*<0 (теорема 15) и при а*>0. а*<0. а*>0 (теорема." 16); прз этом образ Н(1_и т) вырапоется в терминах 1®да£ицированшгс> преобразования Ханко ля (15) и Лапласа (16) и элвмэнгаршго преобразования (17),

§8 посвящен обращении н- преобразования- в пространствах г ( 1 ч г < а, ) в случае ¿=1, а*=0. Найдены условия, при которых н- преобразование имеет следутакэ формулы обращения / '

1 Х±!

/(х)=Ьх х (Ш).

03

. Г (-к.Ь),(1-а1-«1 .л. ),(1=ш-1,..р;1,_..п) Т

или

/»)-ЬХ ^ X ь х (191.

Íq-mí , р-г» 1 Г

(*-а."г<»1 .а1),(1=п+1.....р;1 ,.п), (-x.il)

(->.-1 .ь) (<-ъг/з) ) лз=вн-1.. —,ш)

(н/) шаг

Сначала рассмотрена случаи пространства ^ , при д (1-й )+-+ к» м = 0, а < 1-й < о (теорема 17) а для пространства (!<.<-< «>). при (теорема Ш), а затем - пространства

Г(1 < г- < <» ), при д>0 (теорема 19) и л<0 (теорема 20). Результаты «§4-В обобщает результаты. Руни (Р.С.Ноопеу) Г5 1 для в- преобразования.

5. Ноопеу Р.С. Оп Шедта!. ШтэГогг-аиапв я1гЬ О- ГипсШп кетпе1з. // Ргос. Ноу. Бос. КНпЮТ^. 1983.7.Д93,НЗ-4-Р.265-29Т-

В §9 пролучонкш результаты проиллюстрированы на примерах шгегральнкх преобразований с функцкэй Струво . и обобщенной функцией типа Лйттаг-ЛафЬлэра-

Третья глава посвящена изучению частного случая н-преобразовашя (1)~ интегрального преобразования типа Бвсселя (2). . • ' . .

В §10 даны условия существования этого интегрального преобразования (теоревд 21 и 21 ), получена формула

и

преобразования Ыеллина Кр/ (теорема 22) и найдены условия

> и

ограниченности оператора Кр из пространства |_м 2, определенного в (4), в пространство и.,.^ 2 (теорема 23).

В §§11 и 12 изучены композивди интегрального преобразования типа Бесселя (2) с операторами дробного интегрирования Ришна-Лиувшаш

х

^ а-1

1/11« _ Ггт

. а-1 а 'Г ÎIû+./KD- - J (2Z —t ) /(t)dt, ceC.Rfi' а>0,0<Ксо, (20)

По.)

а 1 г

tl /)(»= - J (t -I ) У (t )Ût, aeC.Re oOO.QOX® {21)

и операторами лиувшшевсхого дробного даффоренцировашш

а 1 Г гч—i—a

iV№ -— — Ju-t) /(t)dt,n=lRe с,]+1 ,а<Х<ш. (22)

: г (п-а) idlj „

(Л /)Ш= L11— [â_! f(t-x) /(t)dt,n=[Re а 1+1 ,0<I<®, (23> Г(п-а)

на полуоси (О,®) [1.55ЛК В §11 доказаны тогда сиза

I. %р / = Кр /, • С24)

2) К / = К Xх / 125)

- Р Р

(теорокн 24 и 25-26 соответственно), устанавливапщаэ связь таззду

и

операторами Хр с различными индексами посредством операторов (21) и (23). Аналогичные тождества

и а 1>.е<

Кр 1-е / = Х"" Кр / (26)

-го / = 2 кР / (27>

госродством операторов (20) и (22) получены в *?12 (тес-реш 29 и »

30» 30 соответственно). Отметим, чть условия справедливости формул (25) и (27) при натуральных « упрсщаится - см. теорем» 27, 28 и теореш 31 и 31 соответственно.

л и и 6

В §13 ясслэдоваш композиции [_а э х Х0 / % Хр х 1.а „ ;

операторов типа Бесселя (2) с ДЕЙервкцязльшм оператором второго

порядаа ,

+ 2 + ДГ* х йх хг}

+ 2 У_ + '^/(х)=0, а,/3 е С. 1=9)

(теортмп 32 и 33). На основания этого установлены условия выполнимости тождества

л " ' ' и ч

1_ ЗГ К £ / = К г' „ /. (29)

а. Г» Р

связывагЕего дайэренциалькыв операторы (26) с различными

параметрами a,(i и 5 с помощью интегрального оператора (2) (тэореш 34 и 35). Последнее соотношение позволяет находить решение / уравнения (28) при одних значениях параметров ä и ß, если известно решение этого уравнения при других значениях а и ft (теорема 36).

Результаты 613 проиллюстрированы в §14 на двух операторах вида (28): операторе Бесселя

ш /И1)5 U^i W x"2M_1 i- х2"1 3L M Idx2 x dx J dx dx

и операторе углового момента

СЦ Л (Х)Э - üi^ll <L ]/(х)= fi- - ül (iL + ф (s). (3D " Ictt* x2 dx J № xj [dx xj

Автор выражает свою глубокую признательность а благодарность доценту А.А.Килбасу за постановку задач, обсуздеше полученных результатов и научное руководство работой, а такжэ профессору Э.И.Зверовичу за ценные советы и постоянное внимание.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Килбас A.A., Шлапаков С.А. Об одном интегральном преобразовании с обобщенной функцией Бесселя в ядре // Тез. докл. республиканской научно - методической конференции, посвя -щзнжй 200 - летав со дня рождения Н.И.Лобачевского. Одэсса. 1992. Часть I, с. 40.

2. Килбас A.A., Шлапаков С.А. Об интегральном преобразования типа Бассаля // Тез- докл. конференции матвм. Беларуси. Гродно.

1992. Часть 2. с. 53.

3. Шлапаков С. А. Интегральное пвобразованае с Н-функцией фокса в

пространстве суммируема функций // Тез.докл. кевдунар.матем.

КОПфсрЗШЯ, ШСВЯЦЗШСЙ 200 - Л8Т2Э СО дая рСЭДЗЗКЕЯ Н.И. Лобачевского. Игнсн. 1992. Часть II, с. 16.

4. Кгибес А.А., Шяапянов С.А. Сб интегральном преобразовании типа Еоссаля и ого ксотоЕицпя.о иктзгрзлыгжи: и дгйФЗрбкциаль-тзя сазроторБИ! // Докл. акадэмяи наук Бэлвруса. 1993. т.37, 'Л 4. С. 10-14.

5. Килб-те А.А., Шдагопов С.А. Об интегральном преобразовании с

Фокса // Докл. шадвкиз наук Беларуси. 1994. т.гз, .'.U. С. 12-15.

6. Кил&с А.А., Иязпзйов С.А. 0 композиции гагтегралыюго опзрз -тора типа Еоссэля с операторами дробного ингвгро-дп'ШорехщЕрсвпккя и решении дюффрвнщвлъшк уразноний // Диф{»ре1щпальк11э уравнения. 1994. т.30, А 2. С. 256-2S8.

7. hllbc.3 A.A., Salgo íí., Shlapakov 5.A. Integral transforms '.71 th Poz's Я-íunctlon In I^ - spaces. Jukuoka University Science Raports. 1S93. 7.23, 111. P. 9-31.

S. Xllbas A.A., Salgo a.. ShlapaKov S.A. Integral transieras ' with Pox's H-fur.ctlcn In spaces oí зипзаЫе functions. Research Institute of tinthearrtical Sciences, Kyoto University. 1533. F2. p. 70-85; Integral 'Trans formsand Special Functions. 1993. 7.1, •'?. ?. 87-103.

3. К11Ьл.з A.A.. Salgo ii.. Shlnpakov S.A. Cn Integral transform with Pos* a H-function as a kernel. íJatheratlcai Scc.lety of Japan (Proc. of. Conf., Chuo University. Hatch 26-2-9'. Tokyo. 1393. P. 5-6.

10. К libas \ A., Salgo И., Shlaptóov S.A. Integral transform rrlth Pox's H-funciloris In r-spaces. II. FultuoJia University Science Repcrt3. 1994.. 7.24.. И1. P. 13-38.