Интегральные преобразования с Н-функцией .. в весовых пространствах суммируемых функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

п „ белоруссия государственна У. Г.'БЕРСИЕТ

РГв ОН

На празаз рунопгса

- ОЬгспзлсз СергаД Агзетзесэт

5:-1Т£грааьны£ преобразования с н - ©уианет

В ВЕСОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ СЖМКРУШЫХ СОУИШИЛ.

01.01.01 - 11А.та&ТЗ!ЧЕ£ЖШ ЛйШЗ

дассартзцся из ссзскакгв утеясЛ стссжз-фзззжо-гмтсидтотессгг ::зутс

ÎEEIS iS3i

Работа наполнена на квфодре теории функций Белорусского государственного унгвэрсзтета.

Научный рунсзодзтелъ: кандидат физико-цатегдатнчеосях' кз:-.:.

доцеет Акатолай Александрович Килбас

Сфланалынз оппоненты: доктор физико-катематических кзук,. ека-

дешлс АН Беларуси Иван Васильевич Гайшун

кандидат физико-математических доцент Сергей Иванович Вэсилец

наук,

Еэдсдая ' оргаэазаадя: •-Киевский политехнический

г. Киев ,

институт,

Защита состоится 4 ^ «лл-с<-й. 1Эд4 рода в чвсоа

ка заседании спэвдалвзяровашого совета К C5fi.03.05 в Белорусском .государственном университета. (220050,- г. Кшсхг, проспэет Ф. Скорины, 4;- главный корпус ,1со;лката 2Св).

С'.диссертацией ишв ознакомиться в байшотокэ Белорусского государств'} ншго уншваретгата.

Азторзфорэт разослан

<4 % <х^\.1иисЛ 1934 года.

УчэнкыЗ сзнрэтврь сгазциадшЕроваккого совзта, кандидат фгзако-кэтвматачэс:. наук, дэцкгг

Н.Н. ШЕЗЗ!

ОБЩАЯ" ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ .

Актуальность темы. Иссдэдувжв в нэстоящэй диссортзцяи жтг9гральное ■ преобразование

неийолее общим жз известных штгогральшх преобрязовзаний. Если

а^...-- ар= ТО . (1) СВОДЯТСЯ к ИНТвГраЛЬНОМУ

прообразован™ с в - функцией Мейэра- в-ядре. 6 -преобразования включаззг классические преобразования Лапласа и Ханкеля,"дробкыэ интегралы Римано-Лиувилля,- четное я нечетное преобразования Гильберта, ГЕпертеометрлческое преобразование Гаусса и другие интегральные преобразования со специальными функциями в ядрах. -см- С!.§§36-39 з. Однако существует интегральные преобразования . которые являетгся н -преобразованиями (1). но не сводятся- к о -

преобразованиям. Среда них - модифгщированныэ преобразования

Ханкеля и Лапласа операторы дробного шггегрирозаргЕя типа

ЗрдэГй-Кобора а.§133, интегральные преобразования с гипергеокзтрзггоской функцией Гаусса ! и так называемое

интегральнее преобразована тшя Босса ля: ■ .

1. Саксо С.Г., Кнлбяс A.A.. Иарячев О.й. Интегралы и производим дробного торядаа и нэкоторкв их прилегания.- йенск.-1987.- 687с.

' со

га

l> Г v

С 5<р/ У X 1 = \ Zp ( Xt > Я t ПХ. X >o, (2)

о

с ядроы

го

i> Г v-t р

Z i U > = t еЗр (-t - - >Üt, • Р U С С- . (3) J t о

rrt.n

Интегральное прообрззсвэнЕЗ (1> с н- функцией Фокса Н <а> В ядре ЕЖХ н- ПрОобраЗОЗЯКИО было ВЙЭДЭНО Фкссси (C.Fo-;) ГфИ исслздовэниа geh- Фзнкцай как стявтрязнаа ядер Фуръэ. Эта работа такие как и статьи Нвсарванп: (N.p.Kesarvam), Саксоны

(К.У.Захепа), ГуПГШ (K.C.Gupta), ИШТОДЭ (P.K.Mxttal), CjSHTSß (R.Sjngh), КаДШ (S.L.Kalli ), БуШКЭНа (R.G.Bu*ch/nar.) Е СртааСТЕВЫ (H.«.Srivaetava), КрЙЗГРв (R.K.Ku<r.ohat) ß НОСИМО (C.Nasim)

посвядзш нохоздэшбо форл/л обращают дая н -прэобразовпщй (1) о пространствам Lt®,cor п l2w.«>). Прообразована Моллаиз, аналог фордои дробного икгегрзроважш по частям и коетозшглоншг свойства 'н- преобразования (1) в отсн пространствах кзучаны КаШОЙ (S.L.Kalla),CpZEaCTaEOfl (HJ1.S.-jvastava) В БУШКЭКОИ (R.G.Suschman). CaKCOHOÜ (R.I-'.Sayena ) и КукбЭПШ .Kumbhat ).

В работах Саховнн (R.K.Saxena), EsMca (V.H.Bh!3e) и Дигха (H.oiaue) ингограяьшо сшраггорн вяда (1) предотавдош кск композиции опзрзтороз Эрдзйа- Кобэря и штвгрэльнщ операторов

(1) с н-ФунЕсциямг мшшшх порядков, ©нсторкзашя ошштороз- (1) в

ф

сшцзальшх функциональных пространствах L дона Ву Ким Туавом.

г

■ЗТ1.0

Свойства И- праоСразований (1) с Нпа функцзэй в ядро псслодэзош

Кирькковой (V.S.Kiryilkovil) и КШКОЙ (P.L.Kalla) В ЩХХТГрШСТЕЗ м), -1 < р < «в, с Сгйго '^.згизо), poiiaa (н.к.кгшэ) е A.A.

Килбасом - в пространствах Иан- БраДдз Гр ^ и С1,§в]. Цшс-

Бра2д (Д.С.МсВг»с|£?) и СпрЗТТ (МЛ.Брга^) раССКОТрШЩ ч8стнкв

».о

случаи Н - преобразования (1) с н - функциями Фокса 110_1< z ).

41 «.о

Н,.о( а ) и Н«« В ).

Ссылки на работа выязэ перечисленных авторов моя-ю найти в статьях [4],[5],сш] из списка работ, указанного в конца автореферата.

Интегральнее преобразование (2) боло веодзно Кратцзлэм

) с 2 ] п названо интегральным преобразованием типа

т2 и т* т "

Бесселя в связи с тем, что при р= 1 , и= % , % )= 2( £ >

Х„(х), где модифицированная функция Бессэля третьего рода,

нлп функция Макдональда п.§п. В С2] была найдена формула обращения преобразования 12), построена его свертка и даны приложения к решении обыкновенных даф$8ренциаль;мх уравнений. Кзучэниэ интегрального прообразовав тала Бессэля было продольно в работе Родригаса (г.Роапдиег), Трудилло (т.т.тп-ишо) и Рпвдро (м.к^его) [з ],гдэ получена формула композиции оператора (2) с оператором, связанным с оператором лиувилэвекого дробного дшйэренцярования (см. (22), (23) далее ), я приведены прилогиэнил к рвЕонпв даНоренциальных уравнений дробного порядка босселевз типа.

2. Kratzel B. Integral transformations of Beaael-type // General functions and operational calculus (Proc. Conf., Varna, 1975), P.148-155, Bulg. Acad. Scl.. Sofia, 1979. •

3. Rodriguez J., trujlllo J.J.,Hlvero a. Operational fractional calculu3 of Kratzel Integral transformation. Differential eguatlons (Xanthi,1967).P.613-620- Lect. Motea Pure and Appl. ilath. 118. Deftker, Hew York. 1989.

- б -

Цель работы, Изучешз свойств Н- преобразования (1) в

ВЗСОЗК2 Пространствах г, ^ е (-©.-)- »}, 1 < г <(0, измеримых'

коиплвЕснозначншс функций /, заданных на полуоси к=(0.-к») и таких, что

СО 1

Ц/И«,- [ ||^/(*>Г££]Г< 11Г<®. (4)

о

а танхэ исследование композиции интегрального преобразования типа Бесселя (2) с ингегралЕги и производными дробного порядка и пршиюнав полученных результатов к рэяению обыкновэнных дифференциальных уравнений.

Методика исследования. В работа используются юотоды теории функций и функционального анализа: теория интегрального преобразования Мэллина, асимптотические оценка, интегральные представления, действие интегральных операторов- из одни* функциональных пространств в другие, теория дробного иягвгродифференцированил.

Научная новизна. В диссертации содержатся слэдуэдие говно результаты.

1. Даш условия,при которых а) н-преобразование ограниченно действует из весового пространства суммируемых функций

В пространство ^„у а. 1 1 з Д о»; б) справедливы формулы преобразования Мэлгана и аналог формул дробяохчэ.шгагрирдвания по частям; в) Н-прэобразованиз допускает интегральное и еют гро дк£форо ншшльшэ прэдетавлэгая в Н-фуккцзямз Фохса в ядрах.

1. Получены условия взааююй одаозначгостн Н-преобразования

из^-уг» 1£г<<», в 1 < з < о» и дано описание глкогвства

значений н г) оператора н- преобразования в случаях, когда преобразование (Лелстна н- функции Фокса емээт постоянный и степенной порядок на бесконечности.

3. Найдены условия взашдюй однозначности н- преобразования зз г, 1 < г < со, в о, 1 1 з < ® и дано ошсзниэ образа

Н г) оператора н- преобразования в случаях, когда преобразование Моллина н- функции Фокса екззт экспоненциальное убыва-129 на бесконечности.

4. Доказаны фориулы обращения Н- преобразования из ц, г,, 1 • г : ж, в случаях, когда преобразование Мэллина н- функции

Фокса имеет постоянный и стшвнноа порядок на бэсконечшста.

5. Установлены формулы композиции янгогрзльного преобразования типа Бессвля (являкцегося частным случаем Н-прооб-разования) с операторами дробного шггогрврованил и диЗфэрснциро-ваняя Рш/мана-Ллувшия и полученные результата прамэнзны к реиекиэ обыкновенных даффэрднциальныг уравнений второго порядка.

Теоретическая я практическая ценность. Диссертация в основном носзат тэоретичесхиЗ гаршгтор. Ее результата могут быть использованы в тоорал интегральных преобразований,- теории шшэгральниг и дкМоронцяальип уравнений, теории дробного ингегродайэронцирования и при решении задач математической физика, приводящих к интегральным преобразованиям с н- функцией. Фокса, я обыкновенных двйвртнцнальных уравнений второго порядка.

Дпробзтая. Осгавнш рззультапз доклздывалнсь на республгасанскоЭ научпо-?;этодзч9ско2 кок£эрошпз» посвлцакюЗ 200-

летаю со дня рождения Н.И.Лобачевского (Одесса, сентябрь 1992г.), конференции математиков Беларуси (Гродно, сентябрь 1992г.), международной математической конференции, посвященной 200- летит со дня. - ровдевдя Н.И.Лобачевского (Минск, декабрь 1992г.), конференции японского математического общества (Токио, март 1993г.), а такш неоднократно на Минском городском семинаре го краевым задачам им. академика АН БССР Ф.Д.Гахова в Белгосунизерситетэ (руководитель - профессор Э.Й.Зверович).

Публикации. Основные. результаты диссертации опубликованы в 10 статьях, список которых приведен в конце аягорефврата.

Структурэ и объен работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, вклотавзцих в себя 14 параграфов, и списка литературы, состоящего из 92 наименований. Объем работы — 155 страницы машинописного текста. '■■■•■:.

СОДЕРХАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении сделан краткий обзор- литературы по теме диссертации, приведены сведения об апробации, объеме и структуре работа и кратко изложено ее. содержание.

Первая тлава посвящена изучению свойств Н- функции Фокса

т,п 1

Н ( ъ ' (см. например С4.58.3 ]) и Н- преобразования (1). В &1,носяшвм вспомогательный характер, даш основные'определения и утверждения,- используеше в дальнейшем, В §2 получено новое

4. Прудников А.П.. Брычков Ю.А., Маричаз О.И. Интегралы а ряда, ^¡опалнигелыше главы.- Москва.-1986.-801с. .

шггогралыюэ прэдстзвгашо для Н- Фтпяцгз Соксо (тссржа 2) п дана ас53штотлч0с;сЕя оценка для шэ на бэсионэчгостп (тоорзг.э 3). Результаты §51-2 прзмзкетщ в §3 для шстроаЕЕЯ ц, г - теории Еигэгралыюго преобразования (1). йзлю, - донн у слогом. прп которых ЕКеЭТ г,»сто слэдущшз УТЕЗОРЗДВНЗЯ:

а) оператор н- прсобразопвнея ограничен из Ц, 2 в 2 И осущзствляот ВЗЕИ?!ПО-ОДНОЗ:1аЧГОЭ отобрагэяЕЭ Ц, 2 из

б) сорнз формула прзобраоовапзя Мзллпш п от Н-пресбрззовзнпп

( а Н/)(з)= я ' (ш(ну)(1-я), О)

к (3) =

Р.ч

п Г(Ь +/3,3) П г(1-а -о 3)

Г ! па^с^з)! | г(1-ь -и я)

I = г»-» я J = т-г 1

(6)

в) н- преобразования допуска от' шггогродгзМэрэкцггалызю представления

(Н/)(г)=Ьх

1-тг-

ей х

(7)

К .

р-1.п-

II

f-x.ii). (а1-«1),..., (а„.<*„) ■(Ь,^ >.....(Ь,.^)

^•"о) 1

(Н/)(х)= -Ьх

х-ы

Зх

(О)

Н

(а. •»«).....(-v.il)

/Сй)с1и

(-v-i.il), (Ь4 ./5,).....

г)слравздлзв аналог форяулн дробного пяггвгрзреванпя ш частез

и

х

Л х )( )( х )ах = I" ( Н/ х.)8( х )йх 19)

о о

Сначала в §3 доказано вспомогательное) утверздение (лвяиа'1), дввдее 2- теорию интегрального преобразования взда (7) с произвольным ядром. Затем построена теория н-преобразования

(теорема 4) и дана условия существования н-преобразования вида (1) (теорема 5).

Вторая глава посвящена исследовании свойств н-преобразовашш (1) в пространствах в р, 1 < г £ ® ) при

условии, что параметры с^,..., <хр, г^,...,^ удовлетворят1 соотношениям:

„ п р г» ч

I -VI 'V >

(10)

'-О- А

Р ^ Ч ! '

« = П « П Р-. = 1

1 = 1 3=1

В §§4-7 построена - теория Н- преобразования. Именно, даны условия, при которых шеюг юсто следующие утверждения:

а) оператор н-преобразования, определенный на ^ г, V < ?„ И329Т быть продсийон но Г (1 < г < » ) до. оператора, ограничвшю действующего « ц ( в в, 1 < з < ») и осущзствляхщэго взатако однозначное отобразинш на I. о:

б) верш формула (5) преобразования Ыэллина;

в) н- преобразование допускает представление (7) и (8);

г) справа дотва формула (9).

Крсга того дано описание образа н ) оператора н, геэторый оказывается рззлзчнш в 9 случаях:

1) а"=л=а fe й=0; 2) а*=л=а я? а*<0; 3) а*=0, л>0; 4) ал=0, л<0; 5) а*>0. а*>а а*>0; б) а*>0. а">0- а*=0;

7) а">0, а*=0. а*>0; 8) а">0. а*>0. а*<0; 9) а*>0. а*<а а*>0.

Здось

р 4 р p-q

л= 1 »i - I V 1 Ч " 1 Ъ * -Т- í (Ш

j=51 V = i 1 i = 4

m p n q

<= l <v а> I av - 2 ft> - (12'

j = i l=r»i-l = 1

Множество значений H (Lt> .) оператора н в уквзашак случаях оппсываотся в терминах операторов тепа Эрдзйз-Кобера

,-с{а+п) * cc-t ct?7.<7-Í

ся o¿ р • •

К+-0-Г, /кж= --t /(t)tít, (13)

o+.tr.rj Г (о,)

1 ' о

I > О, О 6 с, to О > о,

а>

ct cf% г cii-ot-r.'-i

<1 - J(tCT-TCT) t. y(t)dt. im)

r(„) ;

X > 0, а е с. Re « > О, можфисгоованного преобразования Ханколя

СО 1 1 1

ÍH^/XsbjW Vn(|Ki(zí)k)/(t)dt. X>0,í^ Г)>-1Д«Ж\{0),

о

{(з)- функция Бесевля первого рода 113) а »»дгфВДфоваизюго преобразования Лапласа

(£ка/)(х)=|(х1;) ° ехр^-|К|(хг)к]/(г)«, х>0, сеС. КеКУСО), (16)

о

см. (1,§§18,23,39], а также в терминах элементарного преобразования

/)(Х)= //(Х). С- (17)

т,г>

В §§4-5 рассмотрен случай е*=0, когда функция а?(з)=«р (з> в

т,п

(6), являжщаяся преобразованием Ывллина н- функции Фбкса Нрч(а>, имеет постоянный и степенной порядок на бесконечности. В §4 построена ц, р- теория н- преобразования и охарактеризовано множество его значений Н (1_у ) для а*=д=0. ^=0 (теорема 7) и для а*=д=0. я? р<0 (теорема 8). При этом в последнем случае образ Н(1_„ г) описывается в терминах операторов типа Эрдейи- Кобера (13) или (14). В §5 получены аналогичные результата в случаях а*~0, д>0 (теорема 9) а а*=0, д<0 (теорема 10); при этом образ Н (Ц, г) охарактеризован в терминах шдифязировашюго преобразования Ханкеля (15) и алгшзнгарного преобразования (17).

ж т,п

В §§6-7 изучен случай а >0, когда ж <з) вкоэт

р.ч

эксшненциалыюе поведение на бесконечности. Сначала в §6 построена ц, г- теория Н- преобразования (теорема 11). Затем даны условия взаимной однозначности н- преобразования и описание шоаэства его значений н(Ц, г) при а°>0, а*>0- а*>0 (теорем 12), а*>0, а*>0, а*=0 (теорема 13) к а*>0. а*=0, а*>0 (теорема 14). Следует отет-ггь, что образ Н (!.„ ) характеризуется шш в тершшах иодв^шфзрованного преобразования Лашшса ¿'к опрадоленного в (16), или не оператора операторов тша

Эрдайи-Кобера (13) пли (14). В §7 найдены условия взаимной однэ-

значгостя H- преобразования и дано списанго H(LV г) прл а >0, а*>0. а"<0 (теорема 15) и прл ая>0, а*<0. а*>0 (тоорзмэ 16); при этом образ H (Lu ) выразается в тзркянах шла!::.:! урованшго преобразования Ханкзля (15) и Лапласа (16) и элементарного преобразования (17).

§8 посвящен обращению н- преобразования в пространствах г ( 1 - г œ ) в случае 6=1, а*=0- Найдены условия, при которых И- преобразование тазэт слэдущиэ форглулн обращения Л+1

1-.

У(х)=Ьх

Ш

Х+1 _ h

Îq-m,l

H

p+l.-

.q-fi

xt

(-x.h),(i-ai-ai.ù.i ),(l=n+1,.,p;1,...n)

(10)

!H/)(t)iit

или

1-

X + i

/(x)=-hx

K4-1

_ к

Г .p-ni X H

Xt

(i-a-^.^), (l=n+1, — ,p;1 ,.n), (-x.h) (->.-1.h)(i-b.-/3j.,?j),(J=i!H-1,- ,q;1,....ш)

(M/)(t)dt

Сначала рассмотрены случаи пространства х пря л (î-u)-i-+■ /г<? » = о, а .< 1-й < о (теорема 17) и для пространства ( 1 < г Cv). при v^G (теорема 19), а затем - пространства

r (1 < г < а> ). при ¿>0 (теорема 19) а д<0 (теорема 20). Результаты §§4-В обобгшот.результата Руня (P.G.Roouey) Г5 3 дня . G- преобразования.

5. Rooney P.G. On intégral tranafoiràtlons nlth G- functlon kernels. // Proc. Roy. Soc. Sainburg. 1S83.v.â.93„N3-4.p.265-29T-

В §9 лрадученныэ результаты прошшгастрироваш на примерах интегральных преобразований с функцией Струве и обобщенной функцией типа Миттаг-Леффлера.

Третья глава посвящена изучению частного случая н-преобразования (1)- интегрального преобразования типа Бвссэля

В §10 дани условия существования этого интегрального

1

преобразования (теоремы 21 и 21 ), получена формула

и

преобразования Маллина К>/ (теорема 22) и. найдены условия

и

ограниченности оператора Кр из пространства 2, опроделенного в (4), в пространство г (теорема 23).

В и 12 изучены композиции интегрального преобразования типа Бессэля (2) с операторами дробного интегрирования Ртаана-Лиувияля

а-1

Я

а 1 »

ал./)(Х)= - 1(Х-1) /(Ъ)с11;, 0«=С,Ке а>0,0<Х<®, (23)

Г(а)

1

а | г

<1 /)(»=-Ш -х ) / (г^аг, о.>о,о<х<<» ¡21>

Г (а) .

4 X

н опэрягораж лгаувшшэвекого дробного жффэренцирования

С1 ^ » " П-1-

(£> />Ш= --Г(Х-1) /(1;)сН,П=[Кг> с]+1,0<3-<со, (22)

ТЩ-ч») Ы „

(В /)(23= --\it-x) /(г)(1г,П={й? а]+1,0<х<®. (23)

^ " Г (П—си) Ы .

на полуоси (□,.») [1,55.1]. В §11 дохазоны тсггдаотзо

01 Ъ> 1> + С»

I. КР / = кр I " /, - (24)

С* V 1>-ГХ

Кр / = Кр Iй* / <25)

(тоорсиз 24 и 25-26 соответственно), устзневливавдзо связь кагду

и

операторами Кр с разлнчн^л. гзщэксакз посредством операторов (21) и (23). Аналогичные тождества

и а р-ка

\ 1« ' = ^ Кр t (26)

1> 01 и —

посредством операторов (20) и (22; подучена в §12 (теорэгл! 29 и »

30, 30 соответственно). Отг.гатиа, т?о условия справадлиэоетя

формул (25) п (27) при нэтуральккг а упрощается - си. теоремы 27, »

'23 И теорем! 31 И 31 СОСГГЕПТСТВЭННО.

5 " "б

В <?13 исслэдовзггы композиция 1_а ? ж* / ^ х !_а ^ / огорэтсров типа Бессиля (2) с дп££ерэгапк1льккм оператором второго порядка

(• -Л(х)* [—г + ^ 4- + 2-]/(х)=а. В|/] « С. СВ)

№ X Лг X3}

(тсорэка 3?, и 33). На основания этого установлена у еловая . шлюлкЕяоста тождества

Iй К / / = К х5 1. я / от

Я./} <3 р

сЕязивакзрго дЕйервнгаильныв спэроторы (28) с различны«®!

параметрами агр и а ,Р с тгающьв интегрального оператора (2) (теоремы 34 и 35>. Последнее соотношение позволяет находить решение / уравнения (28) при одних значениях параметров а и /и если извзстш решение этого уравнения при других значениях <* и р (теорема 36).

Результаты $13 проаллзхтгрированы в §14 на двух операторах вида (28): операторе Бесселя

(вунх>= Ä 1/(х)= х— 3- х "" (ЗВ)

^ [dx^ х dx j dx dx

) [cK эре yr.

(LjHzim (-£ - И^П ]/(x)= f<L _ £

^ Idx* x2 dx . [to x.

и операторе углового шканта

й

+

dx х.

/(X). (31)

Автор выражает свои глубокую признательность и благодарность доценту А.А.Килбасу за постановку задач, обсуждение полученных результатов и научное руководство работой, а также профессору Э.И.Зверовичу за ценные советы и постоянное внимание.

СПИСОК. РАБОТ, ОШВЛЖОВАННЫХ ПО ТЕ«Е ДИССЕРТАЦИИ

1. Килбас A.A., Шлапаков С.А. Об одном интегральном преобразовании с обобщенной функцией Бесселя в ящзв // Тез. докл. республиканской научно - католической конференции, посвя -щзнной 200 - лэтню со дня роздвния Н.И.Лобачевского. Одесса. 1992. Часть I» с. 40.

2. Килбас A.A., Шяашков O.A. Об интегральном преобразовании типа Бесселя // Таз. докл. конференции матам. Беларуси. Гродно.

1992. Часть 2, с. 53.

3. Шишков С. А. Иэтегральное пвсбразование с Н-функциэй фокса в

пространстве сушируешх функций // Тез.докл. иевдунар.катем.

icoiäJopoiTsa, пссвглдэн::с:1 200 - лоте:з со дач розлзлзл H.H. Л-х^лчоеского. !,!п:с'с. 1992. Часть П. с. 1G.

4. Клятас Л-л., тдепаяоз С.А. Сб ггггогрзльвоа пр&сбрззозгнзз тз-in Бсссзля л его кег.ттез-л!™ а шл'сгра.шзлп а дгйСорзвцааль-нг*д сп-рйтсрзгз /7 Дохл. вкгдашя наук ВалБрусз. 1933. т.37, .3 4. С. 10-14.

5. ¡tejitoo A.A., Жлоттскоз G.A. Сб тсгтогрзльнс.'л прзебрзвозшза с л- Г'Л'Г:nr-:o¿i Coitca // Докл. аяаггют каук Бэлзруот. 1S34. т.ЕВ, :-1. С. 12-15.

G. Кплйзс A.A., Er.aiisicon O.A. О ноттюзпцка зотвгралч'Яого старо -тори тага Еосселя с опзраторест .пробного ихггагро-дгф^р-жагрэвгкот з роЕшпга да^форвидашлао: ургггжгкЕй // ^-г^эронпгалыиэ уравнения. 1994. т.30, Ч 2. С. 25S-268.

7. Eilfcaa A.A., Salgo н., SMapaKov S.A. Integral transir, газ «Ith i'ox'n H-fi?r.otion In r- spacca. PiÄuo'3 University Seiende Hcporto. 15ЯЗ. 7.23, !i!. ?. 9-31.

('•. Silban A.A., Salgo II., Elilepnkov S.A. • Integral trenafonsa with ?oz's H-functlGn in spacea oí smzable Гилс£1спз. Пглс-чгса Institute o' "athoratical Sclenccs, Kyoto University. 1ГСЗ- 1-Г2. p. 70-?6; Integrad tranaíorosand Special Functiona. 1903. 7.1, ?.'?. P. B7-103.

9. КИЪаз A.A., Saí¿o ii.. Shlopaltov S.A. On Integral transfora r;ith Роп'з Й-function as a ire л1, el. Mathematical Society of Jар?л (Proe.. oí. Ccnf., Cbuo University. Hatch 26-29). Toledo. 1093. P. 5-6.

10. ШЬия A.A., Saisp У., SUlapaírov S.a. Integral trnnsfonaa rrlth Por'a íí-füncíiona In \ г-зресез. Ii. Pulcuoka University Sclenn» px-pcrt3. 1941. 7.21.. Hl. P. 13-30.