Интегральные уравнения Ляпунова-Шмидта тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

УДК 517.968

13 № юза

ШИРОКАНОВА Наталья Ивановна

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛЯПУНОВА-ШМИДТА

01.01.01. - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МИНСК - 1996

Работа выполнена на кафедре математических методов теории управления Белорусского государственного университета

Научный руководитель - доктор физико-математических наук

профессор Забрейко П.II.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

профессор Какичев В.А.

доктор физико-математических наук профессор Лаптинский В.Н.

Оппонирующая организация - Московский государственный университет

Защита состоится " 1996 г. в 10 часов на заседании

Совета Д.02.01.07 в Белорусском государственном университете (220050, г.Минск, пр.Ф.Скорины, 4, Белгосуниверситет, главный корпус, к.206).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгосуниверситета

Автореферат разослан

ОЦ 1996 г.

Ученый секретарь специализированного Совета доктор физико-математических наук,

профессор (^Х/о) ' Корзюк В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Интегральные уравнения Ляпунова - Шмидта послужили одним из отправных пунктов нелинейного функционального анализа, но к ним современные методы исследования не применялись. Последние работы, связанные с этими уравнениями относятся к 40-50 годам нашего столетия. Начиная с этого времени и до наших дней они встречались в литературе только в качестве примеров. Именно поэтому и возник вопрос о возвращении к их исследованию, а также к необходимости изучения свойств операторов Ляпунова-Шмидта, таких как непрерывность, регулярность, компактность, условия действия в различных пространствах и других.

Современные методы функционального анализа позволяют исследовать данные уравнения более полно. A.M. Ляпуновым были сделаны только грубые оценки по равномерной норме пространства с, в диссертации сделаны более точные оценки и в других пространствах. Этметим, что уравнения Ляпунова-Щмидта исследовались многими авторами: в частности, у М.А. Красносельского. Э.С. Цитланадзе они присутствуют в качестве иллюстративных примеров, а у М.М. Вайн-берга была построена теория ветвления решений уравнений Ляпунова-Лмидта. Исследование интегральных уравнений Ляпунова-Шмидта сводится к анализу соответствующих свойств полилинейных и степенных интегральных операторов вида

А(х ,. . . ,х )(t) = Г ... Г k(t,s ,...,s )х (s )...х (s )(ls ...ds

1 m J J 1 mil rami m

B1 "» (.1)

и

Ax(t) = Г ... Г k(t,s......s )x(s,)...x(s )ds ...ds . (2)

JJ 1 ml ml ra

П П

1 in

Теория интегральных уравнений Ляпунова-Шмидта тесно связана с теорией абстрактных полилинейных и степенных операторов, так как зператор Ляпунова-Шмидта можно рассматривать как конкретный пример ¡толилинейного оператора, поэтому представляет интерес изучение теории полилинейных и степенных операторов.

Цель и задачи работы. Создание единой теории интегральных /равнений Ляпунова - Шмидта на основе абстрактной теории полилинейных и степенных операторов в идеальных пространствах функций.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Иссле-

дования проводились в рамках госбюджетной научной темы: "Линейные и нелинейные проблемы анализа и теории операторных уравнений и их приложения в теории управления и математической экономике", N 19941353 - 27.39 Белорусского государственного университета.

Научная новизна полученных результатов:

получена и доказана теорема Рисса-Торина для полилинейны операторов в идеальных пространствах функций;

построена абстрактная теория полилинейных и степенных операт ров в идеальных пространствах функций;

получены достаточные признаки действия полилинейных и степен ных интегральных операторов в идеальных пространствах функций;

получены новые георемы о разрешимости интегральных уравнений Ляпунова-Шмидта;

получены теоремы о существовании собственных функций операторов Ляпунова-Шмидта.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту:

- построена систематическая теория полилинейных и степенных интегральных операторов в идеальных пространствах функций (теоре мы об условиях их непрерывности и усиленной непрерывности, компак ности и др.); получены различные достаточные признаки действия по лилинейных и степенных интегральных операторов в пространствах Ле бега и других пространствах фуннций;

- получено обобщение интерполяционной теоремы Рисса - Торин для полилинейных операторов в идеальных пространствах функций;

- найдены новые признаки аналитичности, компактности и потен циальности операторов Ляпунова-Шмидта;

- доказаны новые теоремы об условиях разрешимости интеграль ных уравнений Ляпунова - Шмидта и теоремы о существовании собстве ных функций операторов Ляпунова-Шмидта.

Практическая значимость. Работа имеет теоретическое значение Полученные результаты могут быть в дальнейшем использованы при чт нии специальных курсов на механико-математическом факультете.

Публикации, апробация работы, личный вклад.

Основные результаты диссертации опубликованы в 4 печатных р ботах, из которых две написаны в соавторстве с Ю. Аппелем и П. Забрейко, а две без соавторов.

Результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафе ры математических методов теории управления Белгосуниверситета (р ководитель профессор П.П. Забрейко), на научной конференции мат

матиков Беларуси (Минск, 1994), а также на международной конференции "Краевые задачи, специальные функции и дробное исчисление", посвященной 90-летию со дня рождения академика Ф.Д. Гахова (Минск, 1996).

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка использованных источников, включающего 122 наименования. Общий объем работы составляет 95 страниц машинописного текста.

В диссертации принята отдельно для каждой главы нумерация параграфов и отдельно для каждой главы нумерация формул, теорем и лемм.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дана оценка современного состояния исследований в области теории полилинейных и степенных операторов, в частности, в области теории интегральных операторов Ляпунова-Шмидта.

Первая глава работы посвящена попытке построить достаточно полную теорию полилинейных и степенных операторов. Она состоит из четырех параграфов. В первом из них собраны необходимые в дальнейшем определения и основные результаты, относящиеся к теории полилинейных операторов в линейных пространствах, в частности, теоремы о непрерывности полилинейных операторов, сзойствах вещественных и комплексных полилинейных операторов и др.

Оставшаяся часть параграфа содержит изложение новых результатов об интерполяции полилинейных операторов з идеальных пространствах функций.

Пусть з - одно из чисел 0, 1, .... и и г , , ... , I - совершенные идеальные пространства функций, определенные соответственно нал, а,х, ...,л - неотрицательные числа,

J О 1 а

удовлетворяющие условию х+х + ... + л =1. Как обычно, че-

0 1 п

Л л л

рез X °г 1 ... I п обозначается идеальное пространство Каль-

0 1 п

дерона измеримых на с^ функций для которых имеет смысл

и конечна норма

XX X

их|ж °г 1 ... г "и =

0 1 г\

Л Л X

= Ш [с: 1X1 5 С2 °г 1...г п: н г I г и з 1. г, г о

О 1 п 11 J

и = о, 1, ... . п)}. (3)

Следующее простое утверждение является распространением на полилинейные операторы в идеальных пространствах классической теоремы о выпуклости М. Рисса - Торина. Это утверждение представляет собой основной результат первого параграфа первой главы диссертации: пусть х 3 (± = 1, ... о = 0,1, ... ,

п) я V3 (з = 0, 1, ... , п) - совершенные идеальные пространства , прочем при каждом 1 = 1, ... , га пересечение пространств и = 0, 1, ... , п) плотно в каждом из пространств х -1. Пусть полилинейный оператор Л(х, ,...д ) при каждом л = 0, 1, ... , п

1 тп

является непрерывным как оператор из пространства к 3 ... к 3

1 га

в пространство у1. Тогда при любых хо, х1, ... , г о, ао +

х + ... + \п = 1 этот оператор является непрерывным и как оператор из пространства к ... к , где

1 га

= (х]0)*°(х11)*1.. . (х^)*" (л = 1,...,ш), в пространство V, где

V = (\г°)А°(^1)Л1...(У1,)Ап, причем (в случае комплексных пространств)

л.

иА|£(х ,...,» ;\Ои з п »А|г(к X 1;*)п 1 (4)

1 та 1 1 т

I — О

или (в случае вещественных пространств)

п

вАцеС*.....,х ;у)л ^ 2" тт иА|ж(х '....д 1;*)и 1. (5)

1т 11 1 т

1 =о

Здесь, как обычно, через г(х ,...,х обозначено простран-

1 га

ство непрерывных гп-линейных операторов, действующих из X ... х

1 Л)

В V.

Во втором параграфе рассматриваются степенные операторы и операторные полиномы в линейных пространствах, свойства их непрерывности, также рассматриваются вещественные и комплексные степенные операторы и специальные свойства их непрерывности.

В третьем параграфе исследуются общие свойства полилинейных и степенных интегральных операторов в идеальных пространствах функций, в частности свойства непрерывности, регулярности, слабой непрерывности, потенциальности и компактности. Основные результаты этого параграфа можно сформулировать в виде следующих утверждений. Свойство непрерывности: если полилинейный интегральный оператор А действует из пространства х ... * х , где , ... - идеальные пространства, в идеальное пространство V, то он непрерывен

(теорема 1.3). Пусть

1А[(х ,...х )(t) = f ... f|k(t,s.....s )|x (s )...x (s )ds ...ds

1 m J J 1 mil m m I m

ni

Если этот полилинейный интегральный оператор действует из пространства я х ... к х , где я , ... ,'я - идеальные пространства, в

1 п» 1 m

идеальное пространтво' ч, то полилинейный интегральный оператор А-регулярен как оператор из *'...* к в ч .(теорема 1.4).

• Кроме того, оператор (1) является компактным, если .выполняется следующее условие: пусть идеальные пространства я^..-., к^ к ? правильные, и полилинейный интегральный оператор А действует из пространства я * ... * я в пространство tf. Тогда он компактен в

1 те

том и только' том случае, когда для него справедливы равенства lim "АРо3,|'Х „ ... X Я ^ = 0 U = 1.....

Mj(D>-»0 1 m

lira иР Anv w v, = 0,

D Л x ... x Я ->и M( D)-»0 1 га

где через Ро обозначается оператор умножения на характеристическую функцию множества D, "а через P^J) (j = l,...,m) - оператор, который ставит в соответствие набору функций (xt,...х ) набор функций (х ,.:.,• х ,F х ,х ,.:.,х ) (теорема 1.7).

1 j-l О } J 1 m

Пусть теперь

л(х) = f Г ..f k(t,s......s )x(s )...x(s )x(t)ds ...ds dt.

J J J 1 ml m 1 m

n n n

Действующий из идеального пространства я в идеальное пространство я степенной интегральный оператор А с симметричным по s......s ядром k(t,s......s ) является потенциальным в том

1 m 1 га

и только том случае, когда его ядро k(t,si.....s^) является симметричным по всей переменным t, s , ..., s * при этом справедли-

1 m

во равенство

(grad л(х),Ю = (ш + l)(A(x),h).

8 общем случае функционал л(х) является потенциалом симметризации оператора А (теорема 1.8).

В последнем четвертом параграфе изучаются достаточные признаки действия полилинейных и степенных интегральных операторов в идеальных пространствах функций. Для- этого вводятся некоторые специальные пространства функций, в терминах которых формулируются достаточные признаки действия полилинейных и степенных операторов.

Пусть х - идеальное пространство функций, определенных на а Ж - идеальное пространство функций, определенных на

1 Ш

Пи, V - идеальное пространство функций, определенных на п. Через з(х ,...,» Д) ниже обозначается пространство измеримых по

1 га

совокупности переменных на по х п х ... х п^ вещественных функций г(з ,б ,...,з ), для которых имеет смысл и конечна норма

0 1 Ш

II 2 (И ,3 , . . . ) I 3 С Я Л Д)» =

О 1 т 1 т

= Бир {[...[ 1 ,8...... Б )х (в )...Х (б )у(Ъ)| ЙБ . . . ¿Б 1 :

I Л J 01 ' т 1 1 т га " 1 т

п П

1т, ,

их ix ii 3 1, ... их |к ii 2 1, 11у1уи £ iv; (6)

11 от ]

как нетрудно видеть, пространство з(х д) также является

1 Ш

идеальным банаховым пространством; в действительности элементами этого пространства являются ядра регулярных полилинейных интегральных операторов, действующих из х х ... х я в V. Таким образом,

1 ш

условия действия полилинейного интегрального оператора (1) из пространства х х ... х X в пространство V можно описывать

1 ш

как включение

к(Б .б,,...^ ) е з(х ....,» д); (7)

О 1 га 1 л

при этом оператор (1) оказывается непрерывным и, более того,

«А|2(Х Х...Х» д)|| £ 11к(б ,...,з )} з( л ,...,» ,у)||. (8)

1 га О 1 № 1 го

Аналогично, условие (7) в случае х = х =...=* достаточ-

1 ш

но и для действия степенного оператора (1) из х в У; при этом выполняется неравенство

иА|«(хд)и 5 ик(з .б......Б ) |з(х,...,к,V)и. (9)

0 1 го

Более того, в этом случае справедливо и более сильное утвервдение: если справедливо включение

к(Б .Б,.....Й ) е з.(кд); (10)

О 1 10

то степенной интегральный оператор (1) действует из х в V и

иАик(хд)|| г иШ , б )|3 (хд)в; (11)

' О 1 т * '

здесь з„(кд) - пространство измеримых по совокупности переменных функций г(б ,...,б ), для которых имеет смысл и конечна

О 1 №

норма

|12(Бо,Б1 , . . . ,Бв) ) 3. (х , V) II =

= эир / Г... Г.....)х(з)...хСб )у(Ь)| <±з ...ёэ |:

I J J 0 1 л»1 га 1 га

п п

1га ,

11X12! II Я 1, иу|\П1 £ 1|. (12)

В действительности, пространства з(»,...,х,V) и з,(хд) как нормированные линейные пространства совпадают, однако нормы в них, вообще говоря, различны. Однако они эквивалентны:

игСя .б ,...,з ) |3 (хд)« * «кСв ,з ,..., б )|з(к, ... дд)и *

О 1 ' т » О 1 т ' '

й ®Т II%(Я , Э____,3 )|3(ХД)|| . (13)

ш ! О 1 га *

Константа т^/т! для конкретных пространств может быть существенно улучшена. В частности, для случая, когда к = в.^ или у = ц, обе нормы совпадают. Кроме рассмотренных норм на пространствах мы будем использовать в дальнейшем и другие нормы

вгСв .... ,з ) | з(«тд)п(к> =

О 1 та

»вир/Г... ПгСв .в .. . . )х(э )х(б ).. .хСэ )Ь(б , )...Ь(б)|

^ J 01 т о 1 га-к га-к>1 т

а п ,

* с!з ёг . . .сЗэ с1Ъ |: нх.Ых я з Н,

О 1 т I

которые эквивалентны обычной норне на пространстве ш-линейных операторов .

Введем еще одно пространство функций, которое нам будем необходимо в дальнейшем. Говорят, что функция г(зо,з ) принадлежит пространству з°(х,х,...хд ) если

гСЭд , . . . ) е 3 (*,»,.. .ХД')

lim sup [ Г ••• f Iz(s ,s ,...,s )x(s )x(s )...x(s )|

mes D 0 nx|X п s 1 J J 3 01 ° 1

n n П

*(s.s .. . . ,s ) dsds .. .ds = 0.

О О 1 ' m О 1 m

Основные результаты четвертого параграфа составляют следующие теоремы (предварительно введем необходимое нам пространство функций) .

Пусть 2q, zi, ... , Жт - совершенные идеальные пространства функций, определенных соответственно на fiQ, п, ... , п , и х = (т(0),т(1),...,г(ш)) - некоторая перестановка символов {О, 1, ... , га}. Обозначим через [z ,Z ,...,Z ;т] идеальное пространство измеримых на множестве п = п х п х ... х п функций z

О 1 га

= z(s ,s ,. ..,s ), для которых имеет смысл и конечна норма

0 1 m

и

nzi [zo,z1,... =

= II. . . IlllzCs „,Б . . . . ,S )|Z , ll|Z , , II... IZ , II.

Если r - некоторая перестановка стволов {0, 1, ... , m}, причем -с(к) = 0 и пусть } = X при j * к и = \г. Тогда [z z ,...,z ;т] s з(х !•J•, и

OI Di 1 ТП

liZUU , . . . ,K , V) 11 £ IIZ1 [ z ,z ,...,z ; г ] II.

1 ni 0 1 ш

Непосредственным следствием этого утверждения и общих теорем из пункта 1.3 является следующий признак действия оператора (1): пусть ядро k(s ,s ,...,sm) m-линейного интегрального оператора (1) удовлетворяет условию

iiki tzo,2i,.. . ;-с]и < ш,

где 2 = я (j * к) и z , = V, т(к) = 0. Тогда оператор (1)

" х < J ) J -elk) с '

действует из пространства я х ... х х в пространство V, непре-

1 m

рывен и регулярен, причем

«A|jt(x х...хК ,v)n s «k(s .s ,...,s )l[z .z . . .. ,z ;z]II.

1 m 01 n 01 m

Более того, этот оператор компактен, если пространства к' (j = 1.....m) и V правильные.

Рассмотрев условие на ядро не с одной перестановкой, а с набором перестановок, приходим к следующему признаку действия оператора (1) в идеальных пространствах: пусть ядро k(t,s .....s )

1 in

m-лянейного интегрального оператора удовлетворяет условию k(t,s ,...,s ) 6 U [z ,z ,...,z ;т],

' l' ' m 0,x' 1 ,-r' ' m,x '

re?

где z^ (j =0,1.....m; те?) - набор совершенных пространств, ? - некоторый набор перестановок символов {О, 1, ... , ш}. Пусть идеальные пространства х ... , и V = sq я числа д(т), г(т), с}(т) (те?) (j = О, 1, ... , т) удовлетворяют соотношениям

Е u(x) =1, £ у(г) = 1, те? те?

Е CjW = 1 (j = О, 1, ... , m) те?

И

гг(х>/д(т) . х с Lj (j = о, 1, ... , m; те ?).

Тогда этот оператор действует из пространства х ... хи в пространство V, непрерывен и регулярен, причем

пАие(я ;V)» ^ п и21[г ,2 ,...,2 ;т]

1 га 11 О, XI, -г т,т

хеУ

Приведенные признаки действия, в частности, детально рассмотрены для га-линейных операторов в пространствах Лебега 1 .

р

Вторая глава посвящена изучению операторов Ляпунова - Шмидта. Так называются операторы следующего вида

со

А(х) = £ Г . .. Г к СЪ.я .... ) х(б ). . ,х(в ) ds . (14)

J .) п ' 1 п 1 II 1 п

п = 1 П О

1 т

где к (t)s ,. ...б ) (п = 1, 2, ...) последовательность измери-

п 1 п

мых по совокупности переменных ^ э , ... , е п и симметричных по переменным б , ... , в (вещественных или комплекснозначных)

1 п

функций. Формально операторы Ляпунова - Шмидта представляют из себя степенные ряды в пространствах функций. Для того, чтобы такие операторы можно было рассматривать как операторы, действующие из одного конкретного пространства функций ж в другое ч?, необходимо, чтобы каждый член соответствующего ряда был степенным интегральным оператором, действующим из х в V и, кроме того, чтобы соответствующий степенной ряд был сходящимся в подходящем смысле.

В первом параграфе этой главы приведены общие свойства формальных степенных рядов, условия их сходимости, основные определения теории дифференцируемых и аналитических функций, приведен ряд иллюстрирующих примеров. Второй параграф посвящен интегральным операторам Ляпунова-Шмидта; основное внимание уделяется условиям на ядра к (Ь.б ,...) (п = 1, 2, ...), при которых порожденный

п 1 п

ими оператор Ляпунова - Шмидта является аналитическим оператором, действующим из одного идеального пространства в другое, и обладает такими свойствами, как непрерывность, слабая или усиленная непрерывность, компактность, потенциальность и др.

Пусть к и V - идеальные пространства функций. Общие условия аналитичности такого оператора выглядят следующим образом: если

к и.Б ,...,з ) £ з(х,...дд') (п — 1, 2, ...)

и.

~ТТШ~ 11кп(ь181,...,8п)|3(х,...,х,\г )л1/'п >0, (15)

то оператор (14) является аналитическим внутри шара В(0,Ю (теорема 2.5). Этот оператор усиленно непрерывен и компактен внутри шара В(0,РО, если, кроме того,

к (t,s ,... ,s ) 6 з°(к,...,s,v') (n = 1, 2, ...).

n 1 n '

Достаточным условием потенциальности оператора Ляпунова-Шмидта (14) является условие симметричности каждого ядра kn(t,s,... (n = 1,2,...) по всем переменным.

В третьей главе данной диссертации изучаются условия разрешимости интегральных уравнений Ляпунова-Шмидта и условия существования собственных функций операторов Ляпунова-Шмидта. Основные результаты о существовании и единственности решения уравнения

ю

x(t) = f(t) + £ f...[k(t,s.....,s ) x(s,)...x(s ) ds ...ds ;

JJnl n 1 nl n

n=1 °1 °n (16)

собраны в ; 1. Они получены применением принципа последовательных приблюкений, принципа мажорируемых отображений Л.В. Канторовича, теорем о сходимости приближений Ньютона-Кантороровича и принципа Шаудера неподвижной точки.

Оба метода основаны на выборе некоторого пространства х функций на п, в котором определенный правой частью уравнения (16) оператор А обладает достаточно "хорошими" свойствами.

Применив принцип последовательных приближений к уравнению (16) приходим к следуицнму результату: если скалярное уравнение

03

Г = £ Ilk |3(xn,x)ll<l) rn (17)

w n

n-0

имеет на отрезке [0,R] единственное решение и

09

I uk: |Л(ХП,Х)|[11) Rn s R , (18)

n

n = О

то уравнение (16) имеет в шаре BtO.r,) единственное решение х.; это решение единственно в шаре B(0,R) и является пределом последо-

довательных приближений = Ах^, причем справедливы неравенет ва

их - х Ii s г - г (п = 0, 1, . ..), (19)

п ♦ 1 п п+1 п

их - х II £ г. - г (п = О, 1, ...); (20)

п * * п

здесь числа г (п = 0, 1, ...) определены рекурентными равенствами г = d(r ) (г = 0. п = 0, 1, ...) (теорема 3.1).

Г\ +• 1 XI О

Отметим, что ранее для анализа интегрального уравнения Ляпу-нова-Шмядта при близких предположениях применялся принцип сжимающих отображений Банаха-Каччиопполи.Так в работах М.М. Вайнберга

ранее уже применялся принцип сжинающих отображений для исследования разрешимости уравнения типа (16). Последняя теорема является более общей посравнению с теоремами из вышеупомянутых работ тем, что она охватывает идеальные пространства функций и позволяет существенно уменьшить ограничения на ядра.

Кроме того, в данной работе показано, что для уравнения (16) в некоторых отношениях более естественным является использование иных принципов: предложенного П.П. Забрейко варианта принципа Л.В. Канторовича мажорируемых отображений, теорем о сходимости метода Ньютона-Канторовича и др. Применение метода Ньютона-Канторовича дает следующий результат: если уравнение

аз

а + Ь г пк |з(яп,х)||12) г11

п

п = 2

имеет на отрезке [0,Н3 единственное решение тт и

со

а + Ь г «к |з(хп,2?)и(3> Я" з Я ,

л

п-г

то уравнение (16) имеет в шаре В(0,г#) единственное решение; это решение единственно и в шаре В(0,Ю и является пределом приближений Ньютона-Канторовича с нулевым начальным условием, причем справедливы неравенства (19)-(20) (теорема 3.2).

Сформулируем, наконец, результат, вытекающий из классического принципа Иаудера неподвижной точки: если справедливы включения

к (Ъ,э _____й ) е з°(яп,й) (п = 1, 2, ...). (21)

п 1 п

я если выполняется условие:

со

и £ I я и + Е «к |з(япд)|| й" 5 Н . (22)

п

П = 1

то уравнение (16) имеет по крайней мере одно решение хф в шаре В(0,г,), где г. - наименьший корень уравнения г =й^°Чг) на промежутке [0,Н]. Это решение единственно в шаре В(0,М, если й11)'(Ю < 1 (теорема 3.3).

Во втором параграфе третьей главы рассматриваются теоремы существования собственных функций операторов Ляпунова-Шмидта. Первое направление исследований в этой области восходит к Л.Лихтенштейну, впоследствии оно было развито и дополнено М.А. Красносельским.

Рассмотрим следующее уравнение

Лх(Ъ) = АхШ, где оператор А определен равенством

Ах(Ь) = + Е | ••• | М^а_____а„>

X

п а ' п

п=1 п .а

1 " X х(э )•...•х(Б ) ds ... С!Б . (24)

I п 1 п

Теорема Лихтенштейна-Красносельского для операторов Ляпунова-Шмидта выглядит следующим образом: если выполнены следующие уело-■ бия:

а), каждое из ядер к(^Б.Б,...,Б) (п = 1, 2, ...) сим-

г\ 1 2 п

мегрично и, кроме того,

к ,,б,,...,б ) е з*а х.....ц,) (п = 1, 2, ...). (25)

П 1 2 . . П 2 2 , с

б), справедливо неравенство

(■ __1/П

ТТпГ мк ,,5,.....Б )|з(и,д . .". . д )|| > 0, (26)

И 12 п 2 2 2 I

п оо '

то для каждого числа г е (О,В] оператор А имеет в шаре в(0,г) пространства 1_г континуум собственных функций (теорема 3.4).

Второе направление в исследовании существования собственных функций восходит к Л.А. Люстернику, позднее оно получило развитие в работах М.А. Красносельского. В нашем случае теорема Люстерника-Красносельского выглядит следующим образом: если выполнены условия (25)-(26) и, кроме того, условия:

а). кп(Ь,Б1,Бг,...,Бп) = 0 (п = 2, 4, ...) и каждое из ядер

к (Ь,Б1,Бг,.. ) (п = 1, 3, ...) симметрично, неотрицательно определено и выполняется включение:

б).к (г,б,,в,.....б ) е з"(в. „д,, . .. д,) (п = 1, 3, ...). (27)

П 12 п 2 2 2

со

в).£ Г Г ... Г к СЪ.б,.....б ) х(Ь)х(б ) ... х(б ) х

J J J а 1 2 п 1 п

п =1 п п п

х <1Ь с!б ... сЗб >0 (х <= 1 , О < 11X11 II < И), (28)

1 п 2 2

где Е из формулы (26), то для каждого числа числа г <= (0,К] оператор А имеет на сфере 5(0,г) пространства ц не менее счет-го числа собственных функций (теорема 3.5).

Приведем, наконец, обобщение теоремы Красносельского о собственных неотрицательных функциях для интегрального оператора Ляпунова-Шмидта: пусть К идеальное пространство и выполнены следующие

условия:

а). каждое из ядер к ,б .... ) (л = 1, 2, ...) неот-

п 12 л

рицательно

к (Ь,Я ,....Б ) ь 0 (п = 1, 2, ...)

п 1 2 л

и, кроме того,

ММ^а.....8Л) € з'(я,...,х;я') Си = 1, 2, ...). (29)

б), справедливо неравенство (15).

в). Спектральный радиус линейного интегрального оператора В с ядром кг СЪ,б ) положителен.

Тогда интегральный оператор Ляпунова-Шмидта А с ядрами к и,б .я .... ) (п = 1, 2, -..)

и 12 п

имеет собственные функции на границе каждой области о е Кн, для которой 0 является внутренней точкой, (теорема 3.6).

ВЫВОДЫ

1. Построена теория полилинейных и степенных интегральных операторов (теоремы об общих свойствах полилинейныхи степенных интегральных операторов в пространствах функций).

2. Доказана интерполяционная теорема Рисса-Торина для полилинейных операторов в пространствах функций

3. Доказаны теоремы о достаточных признаках .действия полилинейных и степенных интегральных операторов в лространствах функций.

4. Доказаны теоремы об условиях разрешимости интегральных уравнений Ляпунова-Шмидта и теоремы о существовании собственных функций операторов Ляпунова-Шмидта.

Список печатных работ автора, выполненных по теме диссертации

1. Аппель Ю., Забрейко П.П., Широканова Н.И. Общие свойства полилинейных и степенных интегральных операторов в идеальных пространствах функций. // ' Доклады АН Беларуси - 1992, т. 36, N 3-4, с. 197-201.

2. Аппель Ю., Забрейко П.П., Широканова Н.И. Достаточные признаки действия полилинейных и степенных интегральных операторов в идеальных пространствах функций. // Доклады АН Беларуси - 1994, т. 38, N 2, с. 9-13.

3. Широканова Н.И. Условия разрешимости интегральных уравнений Ляпунова-Шмидта. // Доклады АН Беларуси - 1995, т. 39, N 1, с. 24-29.

4. Широканова Н.И. Об одной интерполяционной теореме для полилинейных операторов. // Весщ АН Беларус! - 1995, т.З, с. 29-35.

РЕЗЮМЕ

Иироканова Наталья Ивановна Интегральные уравнения Ляпунова-Шмидта

Ключевые слова: полилинейные операторы, степенные операторы, пространство Заанена, интегральные операторы Ляпунова-Шмидта.

Создана единая теория интегральных уравнений Лкпунова-Имидта на основе абстрактной теории полилинейных и степенных операторов в идеальных пространствах функций.

Получено обобщение интерполяционной теоремы Рисса-Торина для полилинейных операторов в идеальных пространствах функций.

Доказаны новые теоремы об условиях разрешимости интегральных уравнений Ляпунова-Шмидта и теоремы о существовании собственных функций операторов Ляпунова-Шмидта.

РЭЗЮМЭ

Шыраканава Наталля 1ванауна

1нтэгральныя раунанн1 Ляпунова-ПШдта

Ключавыя словы: пол!л1нейныя апяратары, сцепянныя апяратары, прастор Заанена, днтэгральныя апяратары Ляпунова-ЕШдта.

Пабудавана адзз.ная тэор1я гнтэгральных раунанняу Ляпунова-IIlMi-дта на аснове абстрактней тэорьи пол1л1нейных i сцепянных апярата-рау у 1дэальных прасторах функцый.

Палучана абагульненне штэрпаляцыйнай тэарэмы Рыса-Торына для тошлхнейных апяратарау у здэальных прасторах функцый.

Даказаны новыя тэарэмы аб умовах разрашымасц1 ¿нтэгральных раунанняу Ляпунова-НЫдта i тэарэмы аб icHaBamu уласных функций апяратарау ЛяпуноваЧйедта.

SUMMARY

Shirokanova Nataliya Ivanovna Lyapunov-Slmidt integral equations

Key words: multilinear operators, power operators, Zaanen space, Lyapunov-Shmidt integral equations.

United theory of Lyapunov-Shmidt integral equations on the base of abstract theory of multilinear and power operators are deve-

loped.

Generalization of Riess-Torin interpolation theorem for multilinear operators in the ideal spaces of functions are derived.

New theorems on solvability conditions of Lyapunov-Shmidt integral equations and theorems about own functions existance of Lyapunov-Shmidt operators are proved.