Интегрируемость нелинейных квантовопольных динамических систем математической физики и их конечновременных осциляторных моделей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

а*'Т ІЧЧ;!

' ' ' ‘ ЧЕРНІВЕЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

за прааак рухоппсу

СамулдЕ Роман Васильович

ШТЕГРОВНІСТЬ НЕЛШІЙНИХ КВАНТОВОПОЛЬОВЙХ

ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ МАТЕМАТИЧНОЇ ФІЗШШ ТА ЇХ СКШЧЕІШОВИМ1РННХ ОСДЩШТОРННХ МОДЕЛЕЙ

(01-01-03 - иатематіпща фіосха)

' • АВТОРЕФЕРАТ , .

днсертадії на адсбуттз наукового ступеза салдндата фтиЕо-матеиатЕчшпс наук

Чераізій - 1925

Дисертацією е рукопис

Робота виконана на кафедрі вищої математики державного університету "Львівська-політехніка*

Науковий керівник: , доктор фізико-математичних наук,

професор А.К.Прикарпатський

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

■ професор A.A.Березовський,

доктор фізико-математичних наук,

-. професор П,І.Каленюк

Провідав установа: Інститут теоретичної фізики

ЩН України

Захист відбудеться Л7- жовтня 1995 року о 15.00 на засіданні спеціалізованої вченої ради К 07.01.04 у Чернівецькому дерганному університеті за адресою: м.ЧернІвці. вул.Університетська, 28„ математичний факультет.

З дисертацією моана ознайомитися у бібліотеці Чернівецького ^рааввого університету (вул.Л.Українки, 23).

Автореферат розіслано Z О вересня 1995р.

Вчений секретар спеціалізованої

вченої рада К 07.01.04 А.н.Садов'як

1 ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність тег.ш. ’

Одиви іо провідних завдань сучасних і;атекатачиих дослідеєнь є епйчєя-їм нелінійних моделей яшяц природ;:. Особливий прогресу цкаму палрпм-5У« о якої пов’гоаа? кшквпсняа поеого рстділу аатсііатачксї фіопзя - тс* . орії солітспіа та методу оберненої оадачі, буз досагяутшї у останні десд-тішіттд на шляху дослідженііз цілїоті Іатегровгагх па Ліузіллем вепнійакх динамічних систем. Роботи у цьому напряму іптенсязпо продовжуються і в паші дні. Слідом са успіхаїш у Епаченні'кл&скчішх інтетровких систем зикне, о&здзхи Л.Д.Фаддсеву, Є.К.Сзягшну та ін., гвалтошіл метод сбер- , неної задачі, що зиагквтлгнбогіїй хзаєноов’егооз дехіяьдос реоріовенкх раніше матгагтячвнх та фізичних Іде:! та д^уядія. р&ваи о тги подадь-И2ІШ рС22ПТС2 МЗТОДУ £І-123ІГЗ ТруДІІОІ.11,2 Ярії П2.СС‘ОСуілЗЛ>1'І гаго ДО Г£22ІПІ тяаів ксдсеєй, яапрпазд неуяьтр’хзгаЕьпнх. Пнгалші регулярної процедура ї:с іаантузгіпи: соякяасться відірятни,- аедигм із їкоїдхзих-еімхіз його рояз’гюаїшл коне гх.чгятїкз квантування депжіічіпес систем па сіін-•ченнозішіракх підїгпогоездзя, "лі І гіппаготоел у дясертаційній роботі. З • Іншого боху’ахтумя,шт е шіталйл дослідження ггзатосопояьових код®, сей, ваЕопівкх о то.чги оору оастосувзла. Однлк Із завдань дисертаційної роботи є 'досадженая татях цкггнд; даз ЗЕаптозої оптнеи то теорії поля моделей, яі моделі Хігса, їдо сгпгсус иехгкіом спонтанного' порушеній * сшіетрії у теорії понй, моделей тшіу нпдзнпронінеїшпш Діхке та деяхкх ІЙ. . . ■. ■ ■ .

Однією із вагаквнх проблем теорії гссзгачешговнмірянх динамічних систем с поблеаа, їх редугчії на інваріантні шдмкоговида. Дослідження у цьому капряьагу, ідо беруть гзтехн із праць Софуса Лі, Ліувіллг, Лагралі-жц Піміяьтска, Пуассонаі та К&ртаиа ігікця минулого століття, у останні десятиліття пшроет розвинуті Марсдером і Вешістсйком, Лаком, Воаїхо-віш та Богоззпєксьїіш. В остаїгсі рохя спостерігається вростання Інтересу до ц:ого ттгаїя, вохрена оаадахи о&стосувашда Ді£.Гарнардом Із М.А/шісси тахпіжя гІдабр,и~еіс:з патенту до доофрхеяня інтегроз-пості аднчешюзшярпях систем. Слід відштпти таюж нові геометричні та свсрьто'рні метода Еваатуааши пах сі:сте»*, розвинуті у роботах А.ПркхарпатсьЕого та ЬМнентезхі. Ціамїрс'-.а.Ш!, 'оохреиа 'реду*дІЇ

на шякэдьш шг-рзгетш підашоговкда, фзрцухзшяа» дафаренціглько-гесметричного підважу до еянсу редугдш/рсзаззгву tcseIse відрбрааешха асмшїту, добудові тадос^дшадв» повях СЕІігшговшіряях вегааійиихда* иашчздгх систем на неглз ашшк інзарзанхшс; вдашопнщдах щкзсйячеаїш одяз із рсадідіи дисертаційної роботи. . , ■ '

Мета і ОЕдаті досаідкешіи.- . . • ' .

Мстозз дкссртаіуйної роботе є дзещдгжша глаекчнш та гвантсізої іп-тстровкссті іаодзлей теорії пояа та кв&зтево? chtess, оокрека ряду не* сйачаагааиидрЕих пшкіЗавх дезш&шг cectcis галу Хігса та Дкгг; ро-окясог дафедйнщашиьгсріЕярнчйоїо форыугэвашш тгзрії редукцій дв-иамітаяа свскм ка csicssBHcsiBdps! ііпйріглїгіі щдміїогсізді:; развитое тскяші йдрбражшш 'Зягнааіу дяг дослідженая іатггрошгзсті сиичсяиа-sauipnBx сисгш; гсЗудожа та івхзіешг аозвх даиааіічшгх састеа тилу • Неймава на ие»гааьак?' fcsapSaatteK сЗдшзогагздах. ,.

Методиаа дослідїхень. . . , . •• . ' ■. •

У роботі вішзристозуюїьса сучасні, ттодя та підходи з теорії іитс-гроапості пааятщхррпаіачщаі.аісю£' иакнатозвдах, ocspeua градієнтно* гоаоиоишгл алгорити М.М.БогояЮ'бста * А.К.ІІрзїі&рл&тсьЕогс, Лі-алгебргїчаі иетсда М.Адпера - Б.Костапта - В.Сидаа їй М.Ю.Рсзіе5Іхідг - Л.Д.Фаддеєза, ssaaToasS метод оберненої сздачі Л.Д.Фаддсєііа - Є.К.Сікгніка, теорія редукції на інваріалтиі івдшгговвді OJ.SorosEseEC5.$oro - С.ІІ.Новксга,

' Негсря дослідженні та адаптування gcaSnifaaat данаиічігах сясяєй. таку . Неішаяа в& аежяааьзагх сиячгяЕовкхірнях 'іфрсюгсаядах,. рсавннені у роботах Ю.Морера, М.Адамса, ДаЛряарда, АіС.Пркзарпатського, та

І.В.Млхвт£>*а.

НйуЕова ноакоиа. , . . ■

1.Побудована математична теорія квантової моделі нздвяврошгшзги-es Діеїє у тркрівневій атомній системі. Доьедсна іитегрошіість оа Ліугіз-2еіі відповідної їласичкої даиаііічної системи. Побудовані жваптовзш ове-

pатор Легса, звалтош інтегргі:! руху та точні одно- та бзгаточгеткнігсізі сЗудакгзі стгла моделі, ідо гіднсвідзгіта ікпуаьсан шдайфоашшмта ■ "зсзгщтогіаг сейтетагі”.. ■ ... . •

2.Дс2€Д2іо, г*> кздка Jíirca кгастшрї'тсорії поля е цідпон інтегрос-шїи oa Tûyzizzz: : гагїігьтснсзки патером,■ псбудояані сатопи'сбереаезня пеапйщсї джгіЛчкої састекн.лігса, ікпззшгпгі пьотерозі оператора, що задоата дві ocnsssi дузшг. Пуассопа та еображеша Лагса. Побздов&ш р*г-■■ дузсsana иодгль тппу Хїгса, допедгна її інтегрсзшсть та егаіазггатететь двоірзнсвій псдзяі Діхге. . ' ' ' ,

•З.Встг:юзлено,.що даваиічгаі система, інверсна врліпійиоуу рівішпш Шрздшггрг, є епдоашятио» >ф?лшш:єяШ нодеаі Діггсг тз доведена її по-Еііа іптегрезність. . ■ ' ■

■і.На ослові теорії Картаяа дафгренцЗальшос ідсадіз алгебр І^гхігапа пгд ccosiäofcarnns да«їг-5когсг:щоа запропозговаязЗ дкфередцізлкга - reo нгтрн'ппгЗ підхід до проблеми р?дугц;ї nscsJunsaiiasmdpHss шаігінннх дшїакі^шік слстеи sa еіячоштс-ііряі Інваріанта! лідшюговидн spnxiri-іпіх то’гег їх ІятегразЬ руту. Ян едя:? із ротультатіз їстаггозггпо,-що руду, resani дщгаггггі еяеткст'и: і їх ошстрІЇ генерують ншідьтовові потохк на сгілчеднойимірпкх яідткшгоакдгя ічдносло жанояічпої сяшгезтэтпоТ стругтурн. Пі результате уоггаяьяеяо дга зипсідау даференцігяш» - pfo-

яіщеатяс CSSTCK Кі ДїІСГОСТВЕХ ПССЗІЇГЇСПЕОКПІЙРЙЗЬІ ПІ^ШІОГОСЛДаХ.

БЛобдаозаяі ноз! нелікшш'і дтшаїучза сисгещ тасу.Нейкала sa сгін-«еттохшірапх яід'шегоЕкдах; созретга тспу Діпс-Неншна та еястеив, асоційогазії із'модзіфігжзкіш рІзїетшан^ЩредІЕтера.. Дозгдепр їх Іпто-' грссі.асть, олайдсд! Ієрархії оаголіп еберокеипз» сампгагтігчні стругтури яз. • ящкзгагшидзх та по дг.а суттсго г&^ізгтаптшіх ообра&еввг Л asea. ГГсхаз.гно, що г.і дгоангаа скстснл допусгаЬт» іитер-

згрстацЬэ' ггі&тьто-швлх пстз гкі вгдзлтье: ЕІдо’бразжпші моменту X : ЛГ (£T?{r)'*')'so к^р;гт”?га ¿щогсзяду —'/./*,» х Äir.r. у дугльїпгй' ' простір (р/(г)+)* до замшяихї тпдржев'зп дегісї азгеоря тготсте з/(г). ■ Даїїкй ніхід деззозге сш:сатя го єдиної точен пор;/ іспуваїта дг'.сх сут-TC2Ó ріагевз крс^схаз.’гспг. Лама сгІЕЧ’егюашіЗрксї.'дпігаизчпої скстоим. Ааакзгічзз Ія?срзрст?л!х 2Ідсч.вг: paateß ссСрапепь Лагса днлаїїїчкаї си-стег?и Нйсїзпг-Бсгоззгбрва та Неямайа- - Расскатіуеа пдшепеяа щлахом

■ pooBKTSf 'гйп.і]~з зісоСпагенЕЗ гмгіетту і пбСудсзн сзсційг»ггої деформо

ваао? азтебри Лі струиіп.

Празз'ггша і теоретична цшшсогь. Дисертація мас теоретичний харагтер. ОтрЕнаяі разуЕ&т&тн с пагакн, і можуть онайти оастосуваи- _ нз з теорії пешніагок фіозгпетс йсдіе, у нелінійній та Еваптоаій оптиці, * каханіці, а тщхож в іиптшс ггцуоях сучасної теоретично! та математичної фізшн.: .. ’л ; V ■"■■■ ' ■ . ■ ' ' .

Апробаій$ робота. . . _• ■ \

Оазаглі результате робото дмісзідогпсь ка: :

- щцлародзоку :гсстресі ІСІАМ - 95 (Tha Tbird Intonations! Congress oa Industrial and Applied Matbamatica, Hamburg, Germany, July 3-7,1985).

- иігахарсдаЬІ иау&звій воЕфереації яНешшйні щіфгршціальні рівнлн-наи, Кшв, 21-27 серпка, Ш5.

- Уїфаїнсьго-Фраяцушдоііу сашюоіумі "Совdenied matter: Science and Industiy", Львів, шотка,1993р;

- Науковій конференції "Еешнійиі нро5лгми диференціальних рівнянь та матеиаткчної фЬихя - другі богояюЙБСЬ« читання”, вересень, 1992р.

- Міжнародаій нау&овш кшфсрсиції "Нелпинш гранові оадачі матема-тачвей фіпіпш та їх озстосуванни*, Тернопіль, вересень, 19S4p.

- Ш МіжнародкШ asysoaiS гзаферсіщії прксагчгііій паа’яті азадеміїа М-КразчуЕа, Київ, травень, 1994р.

- IV Міжнародній иауювіи хояференції присагченін пам'яті аіадеміжа М.Краачука, Київ» травень, 1995р.

- науюзозау семінарі Іиг.тзтуту теоретичної фіозян ВАН Уграїии, при-

емчеиому 70-річчзо від дні вародкеня? та 45-річчза каухової діальності ьїадеміїа О.СЛарасюїа, Київ, ISSlp. .

• нзуїогих сехшарах відділу ведішкного ьгатематичнорго аналіоу ЇППММ НАН Уїраїяи, Львів.

- наукових семінарах жафедр» ьещш математми дершшного університету “Льаівсьга голітеиіігв", Львів.

/

Публікація реоуя&татіз доюу^зазьї ' '

За штеріадаїш дисертації слубггігегаяо'б. наугсгих статей. та одян-препрнпт, в ди кашадено основні іюмякяп* дксгртгції. Рсзузатата дослідлєгь увійшла газмз у маяерЗгвя ссмп т^гозях гспфсрепціЗ.

2 СТРУКТУРА І ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ

Сб’ем дисертаційно? роботи ■ . .

Дисертаційна робота сигадасться Ь вступу, рооділу ”Псітераткі відомості*, трьох основних розділів і пуяхту "Висговхн9, шгхяздепнх ка /¿2 стор. шшакошіспого теїсту та сшхзгу літературнихдзгерея, ахяй містять 103 панмепувгпь.

У негусі подало обгрунтували азгуальпості і важгавесгі вауіоЕах проблем, реза'іюаткз ахпх прясвачеяа дзсертаціЗиз робота, визначена їх мета, горотго зигяадгпз оіаст роботі; тл.ссяовгі рсоуя&татгг.

У рсодіпі 3 Попередні еідсмостІ” їіоротгз ■виїяадслі суть нетедв та ослоеп тгсрП' даспідхешніптегроотссті нейвійщсс дкиаиічіпвс скстаи за ЕссхкгчгвЕошсйрзяк фузкіройгзьалх ігпсгсзгдах та оаюмі гсаятсгого методу обериевої еадекК •

Розділ 2. Квантування паяІпШяпх днпахачпж: систем теорії полЛ га ггсс^га'ісгі^ОЕПлпршпе шіоговлда^ ссяадасгьсз а трьох параграфів з присвзпошій теорії трмріїшслої «юдолі яадзяпроміяхяаппя ДІс-

не. У параграфі 2.1 лулізадзпа побудоза хвалтешої тгліодно.’лірпоТ нодс-лі кзддаирошїшсаїшя Дігга у багахорізиаБІЗ атоїшіи аг стелі ті апайдеиі яастута гааятоЕІ сгояацііші ріишгая .

і{д$у{дІ Ч- двії/дз) — х(* --І)%Рг/* *\І ~ 1»*Ь і ф і, .

П * .. _

і£р^/5і ~ -г ^ $»к£тк?й$/г* 4і *5 /> **4 ** ~ ^

' - п*=1.. ’ .

Знайдеш вкрав а хвалтсакх Іятограшв руху та комутаційні співвідношення ївантоЕопояьовії;; операторів. Зонреиа, оператор пасла частиною та 'гаиільтоаіал мають вягаад:-

/+«©

-<ы

■оо

Т, £.;(з)£,-і(г) + )2р»(ї)

•¿¿'¿З І“! .

-}*С®

я [Т <Ь. . ^ Єі^д^ііг) - Ґ Лх . </Щъ{з)рф)~ *■'-«>.. ч=1,Ш --У» і.*¥> '

Педальний авакго грунтуєтьсії-патргфівкевін моделі, осїільїи трирів- ■ иеі& атомна, система відповідав ігразткчио використовуваним пгяерякм аїтквшш серадовкщан.. У параграфі 2.2 побудована відповідна .класична трізріввевг. кедфь Діхгг та доведаю,' вдо воііа с ціягем изтсгроашш оа Ліуві&ши гаиілітояовим иотоюн. Знайдені оагоїш сберекеиаа, імпезг-тачзі. ньотвраві оператори »а еобрааеиня Лдхсз. Зяглгдекі • рсоуяьта-•ти стазювллть вміст-Тсзремг 2.2.•• Параграф 2.3-прЕсвячскка лвгяту-ваяаго'досліджуваної моделі.:Для. Евамтукшнг Б&гдєне ссикляторне представленая польових операторів переходу..та населеності рівнів, ідо оабс;:-печус відповідність Еггіітовкх 2са;утацшгах співвідношень для польових операторів і хдасичшіх дуког Пу&ссспа польовкх фупгцій, знайдених Лі-Едхебраїчшш методам, гкіормстака процедура, .лаконічного хвантуваннг Діраха в'рзшах 'статкстяхи Бсое, віховсьгс впорддгувааш' операторів-та квантовий изтед оберненої задачі роосізнкя. Побудовано квантовий £-опер&тор осбр&жешія Лахса моделі, що пае наступила 'вкгягд'

' , / А у/іпсі (г) т/іБєй(х)\

Х(х,Д) — — — і К/чГс^х) 0 ^^(х) -

^ Х^Нх) ^Ль4{х) -А ) ■

- / Ф(г)&(*) Чі1#(*)&(*) %0і'(я)0і(*)\

[%№{*)№*)■■' Ф}{г)Фі{х) гьФ}(х)ііь{х) .

л ъФг(х)М*) Й+(ї)^(ї) /

і с ослоглгкы об’сітсіг подальшого роогазду. Діа нього будується допо-мізша слеітральна оздача, отримуються внраои для елементів івантової

матриці переходу, що оадовільняють фундаментальні хсмутаційні співвід-їїошеннаогідно рівняній Янга - Бахстера - Фаддєєва і е операторами паро-дзкенна ташіищешш точних одно- табагаточастіШЕовах сбудзсешос етапів моделі. В рамхах алгебраїчного "аноатцу" Бете анайдено яшглй влглад яі станів еільпих гваш'частішої, перехода іо ггях описують спонтанне випромінюваній атомів, так і станів вв’язаних ївшзічгстиної - "гвантознх созітоніз”, ідо відповідають імпульсам нздвипрошнювалня. Встановлено, ідо існування в .■¡гості гласних стгяів йоде лі багатьох ріономзяітялх станів ов’яоалнх квглічгхтиноз уогоздуєтьея іо спостерегхуванпм сїсіїс-римепталыш оецпляторшім рехішом годвкпропінговашія.

Розділ 3. Класична іізтегрсЕЕІсть ¡іоактологгольопих дняа?.;іч= ппх систем математичної фіопкц схладастьсл за двох парг-графіп. Перший □ ігих присвячений дослідженню інтегрсвності моделі типу Хіг-са, що описує механіои слолтаїшого порушення Еглібрсвочяої симетрії у теорії поля, і у випадку класичної 1+1- вимірної теорії ікт ообразаеться у фориі яеліяійпої дішаиічної системи па фужціоцальяому періодичному мпоговиді М ~ С; (її; С‘ х II) {е-,/5 Є Л- гонстанти (зв'язку, К Э I-

період, ИЗ і- еволюційний параметр): .

" Фіі — г’гх 'Г &Ф ~

- • ~(0„ + Щф\\ . .

• .% = фіг -таф"'— 20^|Ч'.*.+ '

Встапозлено, ідо .ці динамічна система с канонічно гамільтоповою (при розширенні фасового простору шляхом введешм фунжцін ф — -Іфи Ф‘ — іф;, х ~ і тому с цікавим об’єхтом для побудови квантової теорії. Доізсденпа гашльтоповості 'салада^р омісг Тсоремя 3.1. Побудовані оажо-іш сбережения моделі ХІгсп., перші члени ієрархії, що мають оміст "числа частино*:” та гамільтонїалу даютьса настуїтакия виразами:

N^1 <Ь(фф' + ф'ф+хІ 2) ' .

З = Г*.¿г(|0«|г + івЦ2 +• |$* + хЧ2 - а|01* +■ - 2$\ф\ггсг). '

**3—1 .

' Зншікеиї • весіиЩс! сервтвсрагиа поаьоїш:' фуша$5, ssi пршздш» до схвіагззгтки издеа ’еду' Кітсг-, дяа ssoï вдакога CTgisssra осбраакзшз. Jíasca. ' . ■ ■ ; ' ' ’. ' . ■ ■ . ... ■

Доаедаїа; Tsapmâ ЗЛі 'НелЬшша psnrnihaа снстсіїа тику Яігса (2) сїзівгленгта скератсриоиу рішщпз (сзЗрааеша Лагса): [I,Mj « 0 дз

оу.а3 ./ с ї^Іх/й-> ■ ißp V

Pf..■£ +Л сЛ£д / -о ^“£г+Ло -¿Jas ‘VW g J-

Шзгдаз завоза ззерзксрезга Зе.азщ£*’Д5з давмічаої сістєіш.пшу Хітса всЗудошаяа дузгіа üÿscesoa вг к^егсгкй Af» ЕР ішзга-іадаса на-ступкии Ьдагаззгазш ню?еразгш о^сфаторзіп • .

/ 0 . Ö ■ о ■ • G . í/2 0 \

6 0 -ißh'ff 2 0 ' 0 1/2

0 і0*’Ф/2 0 ß28 -ißH'li D

0 Û ■ /i’ô 0 G ß

-s/2 0 ■' ■W/2- 0 0 0

Ö -і/2 ü 0 0 o ;

Внзсркстоьуючи Лі>&пгє5ргд'яшй метод та схсиу ргдухцій на підкпогоавд оа Діраааа оааіідзпа друга душа Пуассона дае систем тш<у Xirca. Tassm чїшон, робиться їіескозоі про її інтегроваіеть ва Ліувіглгії. .

Ції&зим рсоуаьт&тса е гстацозггігаа еггязаггяткссті (при вєяінііших псретворегпіях вояіовза фуиа^й та зоордаа&т) всаяяа чаном редуїозаної кодеді Хігса та дворіааезої 'мода!- вадптраыДтавалнд Дізхе. .

В рамхах яробзеив. icaysaaus, гашльтоиавссті та Знтегрозкості інверсних динаедчнкх систем, -у .йараграфі 3.2 побудована увагашіена модель Дікїє '&погаоана її еіьівзазптність ш&ерс&оыу ііеяікійкоцу рівшшш ІИредіагера. Доведеш наступні теореми:

Теорема Э.2» Уоагьдьаеза модель Діїеє мас стандартне оображенна Лаіса io L- операторам гшду

' Тг«Егг?.гп 5.-1. ■ Усгг&йлста дякааНяз сг-стсна Дкгэ їолдіг дгсрх::. рурхгап Пуалсопл п.теодгшу.кгЧ’гсго етау Пузсесйа Дубрсгл'п;.

- Нозі£с:а), псрсргетппгя И - етрузтуроо ил гизхЗ?« струкЬ, глацЕак :.п::П із лсгс5ро:о Лі г/(2) ‘о :гі:т??ЗїП:;м р05пг5фзлг:гг: ’ТгугрглК^тгсз, г, тглаз кесгІЕ^гггпс'л сг.:сг!з с5л?ггсгяп2,' 3» пзрсйуглгз'гь а ІП-

гаазоції щдгосго сбгдаг^-ду.т::': Пу~'їо::а. Лшгтз гзкод цях Дупй” йу?-с-сс«п схт- :т:ся дді доїїк::\;г \: ууг^кг"“'^;; апд;:а Ь £ср:-5угзп {. ($ГЯгі-,5«Т«?*) ЯГвгуЯПС» ;.::і' *гї І'ГКГ

і->-Ь

*гп'~ :;ъ-с'И:дс:;?:х с^срлгорй;

■! ■■-•

О

О

2ге

0

~г

—2ія О 9-І 5*

О

і

О

~2?г*

О

О

0'>

!

а

о

а/

7°

І з

! 8 5 Й

о

0

г2;>

3 -!• 1г>

0

а

і»

-Яр»

С

О

О — гп 2«р*

■ -З

а

¿\

.а

Рсздгл 4. ОсцплггрраІ !.шдея! сгс^г;г:-п=с-гг.і:рл..:п Ьггс^оэ-.тнз двігамічагв: сзстем за с”іи’г:сязокі.ш!г » '■• * • , * пт ид-*

гггагсга-идаз «аздастье: о.^отарьсх язжгрлф«. і£-*:"М л;исвачд-:шй рссвнтху ддфергздаяьпо- гсокгтрнчкіго гфрзду до ггярії рщу&$&' '

' кесгіачашокагірюсс деяшійпяк дряанічкях скстел на еаіз'гаййемгніряі іляпрізлтзі яідмзгзгоЗ :їд-і. Методвзгоркстсаус.гдфгрсадізліло-іхзі^трз’іиу теорію Каутаяа дяферетэдзяьнш: ідеззІз алгебр' Г^сссм&йа аад гесдШо-гаяті дг:ет-пт?агсв:ідз;? Ел), гші є ггзглькз ікіар^аги Оун>

Д!о;га.”Ы!от,;у мтгогозиду дя^аугшсі с*ст-гг; е???/Й а» 2У[:■], Б!ядс-зідаіст& гсгторяях поліз ка ягк їїйогсз;^!Л кагоіг сглткаїя ггсїуяшпі «взген:

. (лг. э в -*/ф]) ¿4 да,»м,...,^а+1>) і- .

(а; в,в«,. .., вИ) е-^(а*Ета».'' •'

ПохгзЕло вергватз розгляду ггаторзт патів тада:е>ютгс?.зд« дзя снп-су рсдуїЦІН 5!СОЕІІггО!ВОВ2а1риН2 ДПЯ-ШІ’ЇШЇХ систем па ікззрізиггзі яід-’геогозддя. Заграма, яраргуфЬтОДвои пс'%?ктодозодзака гідаксї раліста теореми про редуїці?:. .

ТЬорегла 4.1. КратачзаЗ т^іпсто2щ Ми С М, оетаэтевяй дея са$>' кого везароагюяего гаадаого фуішкояяау й 5 В(М) С 0(№*1>(1?Ц Е**)).

ІІ

Ai« = {u 6 А/ : grad£\u\ — 0}

■маг іанснічну сншілектичиу струг туру, відносно яіого ііуіуїоваие исктор-не поло d/dx на с гаиіпьтоновим. .

Теорема 4.2. Дннамічві системи d/di і dfdx> редуковані на інваріантний підшіогогкд Ms С А/, є гймільтоновимн іо гамш.тоніанами, побудо-ваиямн ЕІДПОЕІДНО BS ДОПОМОГОЮ рІВІШІНЬ

de ¿/,0)

_ 8 0 ■-.=> <^rad£[u],A’(u)) = ,

^ п / J I

_ = о {ffrûd£M,__> = ___.

Аналогічні результати отримані дії симетрій динамічних систем; вони уи&гаяьиені тажож даа вішадіу дифсрснціально-ріотіцевнх систем на дкс-ігретнкх несіііічоннозимірних шюговидах і сформульовані-у Теоремах 4.3, 4Л та у Лемі 4.2« .

Розгггиута проблема редуїції на нслркальні лаграішеві шдмігаговиди. Зоїрсма, роогоядастка інтегроБиа динамічна система du/dl — if {и], на шюговиді М Э и, роошнрена наступними співвідношеннями для власних фугкцін и оператора Лакса:

. • • ' df/dt = p(l)J,

-4Г/Л = Р*(0Г,

де, оа оаїтезшш '

/(«]/ = */, П«1Г = А/*, ,

дз j[tijдеанш скашркий псевдодиферснцігльиий оператор. Для ііої вивчається проблема редукції на нсиоіапьний підьтоговид M'N С W х Af х H>-iUjvr := {(/,«,/“) Є И'' X Af ж И7 : 0raAC'w[u] = 0} іо лагранжіанон,

ЕнбранЕ1£ у формі '

. N<7) N(A>

• ù'n := 5- +]C b*Äfc>

• У«<0 /«0 .

де функціонали 7;- := tri’ Є V(M),j Є Z+, <г(.) /Rrfgre^Po(.), -

йоїйльні саїонн сбережения, і функціонали А, Є V(M),j = 0, //(А) - :;сго-їельлп оакоин сбережения - власні онзченнз оператора Jlazca.

Па панершешш параграфу внзчастьсз їеніретнз дакаиічпа. скстегга описаного вище типу із функцією Гамільтона 7 Ч V{Q') у формі:

■ ¡—ГИ*», , • '

де к Є Q - делге раціонально чяссз, і Є Î?* - оператор'Лагса, що садаєтьса

внрзяом . •. .

*« ' - - . . '

. /> — 0:3 ’ ' ’

Доведена Теорема ,4.0. Д}*яг:*ічаа cüc'tcï's-, '

dlfdt = [i?rc(i7{i)+,i] - Î5rcii7{i),/1«., ,

.dfldt = l\f, dr/dt = ~(nyr.

на. фаповому просторі G" ф W2 є гаміаьтоксгоя зідносно Пуассопсгої струїтури, наданої оператором

h/SI Y /[¿7/i/+,/] - [¿7/5/, i]+ - /r'{i7/i/) -!• (п/бГ^-Ч-

SlfSf - (5'r/Sl.f)+ + 61l&f‘

sy/sr) \ . -{№№№+- W

■ У'вастушшх трьох параграф» побудовано рзд нових îÿsasîix езізчгп-іюзиміріпіх динамічних систем 'тняу Поймана та дссзідкеяа їх коші-і іп-тегрог.ність. Досліджена динамічна система Діхте-їїеимана, отримала рэ-духцісю іїодеяі типу Діїїє на інваріантний шдшіогоеид хріютшах точех локальних та исяохашіях'оахоціа сбередсепиз. Доведені наступні теорема;

Теорема 4.12. Схінченноаииіриа нелінійна динамічна сясхеиа Діхже-НєГшана е гамільтоневою іо гашльтоніалом V

W(A) . Щ\) N(1) -,.«(>) tf(A)

11 = » È + ч 2 ш)хі І2'Уі + n È w] L =1-: І»І - ;=1 . . І«І . /-1 • <«» .

”2 §.«**/ If ^ 2\§«/гд7 .

, Еїдазоьа дэ шгошчкм еишоешгчвої структури • . ’ . . .

t/*'» dÿ/A¿¿/

Tespss¿a '4.1S. Редас££35 sa ¡¡¡жлрщтіїглі іщшіототщ Мц{1У) катряда ша^фмій S.v(c,v;A) Еідггрйе pbss. опе^атсрй.Лакг. система Дїїю-Hcft-шаа sa мас.вйа^пшгй вдазд:'--' •. '•'•'•• - ■ . • • ■

’

fisaaiii^ms. сьетсіїа Дк»е»Не£мга& сейвздсатва рпсраторясау рістшв (oaöfÄtssj Лаа): . . ' ' . ’ .V ' • '

. ■ ■ •■ ■ &Т ...

до

ve -іj+A-tfguM- о ;т ±(ïfà?brW;

J,

Побудована, kpspxb о^шіЬ.о5ерек«ш- кщай t& друге її собрадагшл Jbsca, c6sssîB3Emac. хіщз. Прод^моастрозбло сфсїт-нгвість

йдаоду відо5раг;кш£ ка'ігзту, s pssjsas .sxoro 'дга' ticessisaxamií і о рг«г.аі суттєво, ріошап мгхсдама coSpascims Лагсй спи^слкданмірг.ої ¿çaaÆsrajœ atemos- игдагь. qçcîy і прнродста іптсагіретглуга es рсаудьтат ЕЇдг<»раг;скаі ноіігзту X : if -+ (sí(r}*}* нргмї та шваї аашаагтачио? д5" груц Лі евхеш» ка 'fiaœray- шяргчі«5«>*. иьогозжд? .М « £í,1(!> >: ЛГ*,, у дуггузш простір (ßlj[r)4)* до воояшккя cfeareSps гягебри потеяь.' s?>). .: АнзаагічаІ ршуютагк Бстанокето дяг дешамічаої cecscíjb, ішгршз от-

pamscä р-гдрздезз иадфіхогсисго нсаікйкого рй»шшж Шрздкгєра ка

' ' '■ :М ' '

сїінчетшсзігаїріши пгоарігуїтшш підїшогозид гритэтшсх точоз соеальнях та невэхгяышх інтегралів руху. Ця сястема с прикладом сяіичеявознмір-ної осцияаторної моделі иеузгьтрагохаяьаоТ.дапаїїічиої система теорії пояя і цгс вагляае ояачеияя дда проблеми х&антутява зсультразяальяах гго-дсле:ї. Вона нас внгозд езетегія дяфереяцізльїшх pisnsin»

• ' Г,> « іMjZj+ujVjq :

tu.

з

І З,

ЩУі + WjZjp

q,. = iq-iifp-Y'bíjsl ■>

■ ' - ' • . ■ /**1 - ' '

■ ' ■ ■ ' . ' . ' . * N ■ . ■ ■ '

Pr — -ip + i?2<l-'$2vjX,j

• . ' ' ■ ’ ■ y«al .• '

io з’отяия ’

N !í 1 . .»? J

T.sjyj + qp-1, E-.3/ + щ = о. Z-a?-2*pwc- 0)

>™l J«el

Матрица моподромії, що відіграє р<ш. її оператора Лака «ге яастуїпггй вигляд: ч '

є)

Показано, що гамільтаносі потоки на ріояях ігсаріаятапх пспззагьгасс підмяогоЕйдах модифковаг.сго веавІ8ЛогорЬв£пва'Шр«¥9Нгф&седгап>ь> са одним відображеним коиепту.V ' ' • - . .

Встаяогяеїш, що ссдиляторні динаміті оїстанз Нєййаяа - Богсяабоза та Неішзла - Россхатіуса допусхазгть інтерпретацій гашзьтспоплх еото-зі», що аиояачаютьса відображенням моменту сяшпїгхтіРшо? д» агеціага-:іих деформованих груп Лі петель. Шляхам зяіориствйій теорймз Адлера

- Кссталта - Симоа побудогаяз австуоте собрапегая Лаго езетегіа їїсз-іаіа - Боголюбова

1Г = [«? + i. {~^(дГ"« + *»>}

(3)

дэ ■ ■:

т>

X . /«¿>

* - %vrbr>(~-$

(i 2)

У «ушг! ’’BECsoasix’’; одШсвево хороикй акм 5з отриыаиих 'ргоуль-*Ыг, c&rcsopssois взвшдаа’азег ¡а е&сюшк раайве та керсЕсгтхБшсть. ггдрр дезъшэго рсозяиту.-' . ’ . 1 " ■ . ■ .• . ■

Gcsossr pcoyc&saxis' дссертади .оиз’ба^акавз я наетугашх ро* богахг • ■ ' ' ^ ' ■

l^J*iyb&n>at8ky,.E-Saaijlla!:, MJXopych, OJIeatosh. 'Кешвахш- Bogoliubov-Eosochatiiis csdlbtory dynamical eystems. год their fartesrabffity via darl ш> meai «saps. Pari I. // Ксайоеаг M&tbematiccl Physics, 1835, v.2, N 2, .p.03-113. ■ . . ■ ' '■ ;

2.E.V^aciuBaL EaxalUoiiiar, aaalyils of exact iategrabiliiy pi the quaatasi 3-leve! supezxidiance Dicks moddL // 'Уср. иат. жури., 1522, 44, N 9, p.1256-1234.. - . '

S.P.B.Cauy«is. Уоагашгвва кодель fflzto sx квгрсна ргаашйиску pisatsa-ss> Шредаггера Ьгтстрс&аа ршта caewais- // Yps.' mssv azyps., 1S35, 14?,N1,0.125-128. ... > ' • "

.*1.АЖ.Прл£арайтсЬл1к1, Р.В«Сацуз£г. М.адзл.ь Xircaxi: штегроак* би-ашк^-тояоаа дкиашчаа ехсхедт ивиагока теора воьг. // Доз. НАН Украиш, .3.395, N 2, c.S-i-3T.' t ' . - ’ - ; • • • ..

. ЬЛЖJ^bapadcyj lLVrSainBl!^!:, D.Blacbeaots, W.Strwnpp, YaSidoreab. Scgas гсш&ги on Lsgiangian and Haiailtoaiaa IcnaaHsaja, related to ¡oftaitc,-

dûassshnsl dysaraical 8jr3tecM-wîth synœstrics. // Cosdaascà Matter Phjn.,

îsss.ua. ' - ■ ; ■ ■ ■ '

SJLLfoaazia, А.К.Пріяараатсьгаи* РДЗ.Сшугз; Иеріааевагша erara-стячяа мсхгяіга багагатасталхозах csctcíí у е5їіелгиі3 .сбзасгі o ноггрх-ПЄВКМИ ОСОбЯйБОСГЗНЧ ТИ Г’'" ’"V ?-t,сорбції» ЛїйІЗ, Ш2, '*2с. (їїрепр./ АН Ужраїна, Ізст. прагя. щсіїлі шхк&л J ï^r&^ïtisn, Я 1-33).

7.IUSamu!Sa?:, А.РгуЬирзМ>г. ?is!t3 ¿fcasarJoaal dysffjdæi systems г'ззсі-atcdr/Hh the sscdISeá equatîea saJ qaaatirr-tioa psxb’m. fc:

Froc, cf Interactional Ссаіег-гаьз eíícaii2csr düSssr-ticl сяаайсвз®, р»Ш, Kiev, Aapist 21-27, 1S3S. ■ . - *

3.A.Pfyferpatsky, E^aaslblr. Solitary ?r&xs la Psierb »sacarais. la: Рго«. ci Ukrsiaba - Srsach Зуізрезіваї ’’Csaàsaîcd' M^cn.Sdrsaî cad Iafetry“, Lviv, 1023, p.171. ' • . .. .

3.ILSanm!s?L Piaiîa dlmenske*! Blcbs-Ncitrt'^u ^Tti d:'s?a5wl «ptísa caá its iategrsbiilîy via the üu&î ягет*. аз,?. Ma.-rq?k;r<ä Vf ?«iіиз?г.редасї ягугэ-2ої гснферсаци, пркслачетсГ пзл’дті гїпдеіїі'га М.ГГргз-їуг?-, Юш, îp-reoas 1535, с.- " ’ " . "

Ю.А.К.Дрвїарпатсїяй, РЛЗ.Сгмуд»; Кзассэтесзза îs,гв?ато.злз кктсгрї^ ■руемость aeærae&mx дииамглсехзх сзсгснгзяа Дали»; Ызтарйаш шыф. "Нелинейные проблем даффереїщя&ааїлх урзааеязЗ з .иагемэтзчэсгой фгавхз - зтери«.öoToasöopcsae.nteöse**,. 14-13 сеаізЗря, 1534, е.124.

Сгмуязх Р.В. Иятегрярусмосї» Ееазвепзщх asasmæeiiozsBses 'Дякйегсэ- . csax сїстгм натенатачесхой фнажш а ах хазатшнерзкх ссдаяазтораих

r Р Г^ДО в і ■ ■ ■ • ■ • ■

Руіошїсь.' Диссертация на сонсзагшо учгнон вгегеяп 'кададата фззаго -математических nays по сасдзальпостя 01.01.03 - їїатейатїггеез&а фяггшц ’ Чериогецвш госздарствазвыЗ уапг-ерезтет, Чфяовци, Д833.

Построена иатеи&тнчесгаг теория трехуровневой кегинешшй Еван-гоаоа кодеин свсрхколучеша Дилю. • Дожеоапа полная интегрируемость пеанксансш ьмдсла Ккгса классической теории попа и обобщенной моде-пи Диие 1ЕЛ ДЯНаМПЧеагоЗ СЕСТС5Ш, инверсной нелинейному уравнению Шредянгера. На ссвоке двфференцвааьЕо - тзметрггчесгой теории Картала дк<|фФреидва2Ь5гьЕ; здвд&зз алгебр Грассы&на над ассоциированными дкег..- шгогообршщшЕ развит обгдяй подход к проблеме редукций бес-кзкечвомерннх гцггсгрЕрутагьп: дяиамлчссхкх систем на юнечпомерные гщгзря&гпгсс (в тси’ часла в исЕаг.аяыше) подшюгообрбаня. Построен рэд .кошх 'БсггчЕоиерашс 'дзивдшчесзях систем ка нелокальных подмно-гсэбргзаах и а пвдзвде дуздъкого отображения момента исслвдовааа пх сздв&а ггатсгрсрусгюсгь по Лиущшт. ' . '. ..;

Бьш’ліуаі; R.V. Intestability of tbs поаііпайг quantum field dynamical systems of mathematical physics and their finite dimensional oscillator models.

НгузсйклрІ. Dis^tstica for a dejres of Candidate of Sciences (Ph.D.) in Physics.sad Mathematics, with speciality 01.01.03 - mathematical physics. Cberahrtsl Steie University, Chsraivtsi, 1S2S.

МаіЬгга&ІісаІ theory cf the nonlinear quantnm З-level sunciradiaucc Die!»: model is constructed. Complete mtsgrability of the nonlinear Higgs model of classical £dd theory is proved and generalised Dicks model is investigated «5 the dynamical system, ¡averse to the nonlinear Schrodinger equation. The general approach, for the problem o£ reductions of infinite dimensional in-tsgrabls’dynamical Бугіезаз upoa ths finite dimensional invariant submanifolds (iackdlag гггзиІзсйЗ оагз) is developed basing CB the Cartaa’s differential - ge-cs&atric theory of differential ideals ia Grascmaa algebra over the associated jet- maaifold. A number of pew finite dimensional dynamical systems on ths ■nonlocal stjbmanifolcb is constructed sad -their integrabffity in approach of the ¿oal'mcmeat тгр in studied.

Кдочааі cedes; івтегроані дккгайчкі скстєіііі, ooSpasemns Лак», си-стека Неакаяа, обернена вваптаЕа оадача.