Интегрируемость струнных сигма-моделей, связанных с калибровочными теориями тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

004616957

Российская Академия Наук Математический институт имени В. А. Стеклова

На правах рукописи

Быков Дмитрий Владимирович

Интегрируемость струнных сигма-моделей, связанных с калибровочными теориями

01.04.02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

- 9 ЛЕН 2010

Москва 2010

004616957

Работа выполнена в отделе Теоретической физики Математическо го института имени В. А. Стеклова РАН.

доктор физико-математических наук, академик РАН Славнов Андрей Алексеевич, доктор физико-математических наук Макеенко Юрий Марленович; доктор физико-математических наук Троицкий Сергей Вадимович. Учреждение Российской Академии На> Санкт-Петербургское Отделение Математического Института им. В.А.Стеклова РАН.

Защита состоится « 16 » декабря 2010 года в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 002.022.02 при Математическом институте им. В. А. Стеклова РАН по адресу: ШШ, Москва, ГСП-1, ул. Губкина, д.8

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан: « {5~» ноября 2010 г.

Научный руководитель —

Официальные оппоненты —

Ведущая организация

Ученый секретарь

диссертационного совета,

доктор физико-математических наук

Ю. Н. Дрожжинов.

Общая характеристика работы

Актуальность темы.

Квантовая теория калибровочных полей служит математическим аппаратом современной физики элементарных частиц и лежит в основе современного понимания фундаментальных законов природы. Тем не менее, основной метод теории поля — теория возмущений по константе связи — оказывается неприменимым для описания динамики неабелевых калибровочных полей, находящихся в фазе конфайнмента при нормальных энергиях. Это означает, что принимаемое ведущее приближение — приближение свободных полей — в данном случае не подходит. Поэтому важнейшая задача состоит в нахождении другого, более подходящего, ведущего приближения, которое позволило бы проводить вычисления различных параметров элементарных частиц в виде теории возмущений вблизи этого главного приближения. Эта задача, известная также как проблема конфайнмента кварков, а также тесно связанная с ней задача о появлении массовой щели в неа-белевой теории Янга-Миллса, являются первостепенными задачами в теории квантовых калибровочных полей уже более 40 лет, однако до сих пор являются нерешенными. Важный новый метод описания неабелевых калибровочных теорий при больших константах связи был предложен в работе Х.Малдасены (J.Maldacena) и получил впоследствии название AdS/CFT соответствия. Развитию этого метода посвящена настоящая диссертация.

Малдасена рассмотрел теорию Янга-Миллса в 3+1 измерениях с максимально возможной суперсимметрией — так называемую теорию ai = 4 супер-Янга-Миллса. Более чем за двадцать лет до работы Мал-дасены Г.'т Хоофт (G.'t Hooft) указал на определенные (по крайней мере качественные) упрощения рядов теории возмущений, которые возникают в пределе N —> оо, д —> 0, А = g2N = const., где д — константа связи, а N — ранг калибровочной группы. С тех пор данный предел называется пределом 'т Хоофта, а константа А — параметром, или константой, 'т Хоофта. Точно такой же предел рассмотрел и Мал-

дасена в своей работе. Неожиданное утверждение Малдасены состо яло в том, что предел 'т Хоофта теории JV = 4 супер-Янга-Миллса i определенном смысле эквивалентен сигма-модели теории IIB супер струн, распространяющихся в пространстве AdS5 х S5 (здесь AdS -пространство анти-деСиттера, a S — сфера с обычной метрикой).

Важная черта AdS/CFT соответствия состоит в том, что констан ты связи теорий на двух сторонах соответствия обратно пропорцио нальны друг другу. Действительно, константой связи струнной сигма модели является квадрат радиуса пространства AdS: R2 ос л/Х. Пре дел слабой связи сигма-модели соответствует большому радиусу, т.е. большим значениям параметра 'т Хоофта. Именно это свойство и поз воляет при помощи AdS/CFT соответствия исследовать область силь ной связи калибровочной теории.

Со времени появления работы Малдасены был достигнут значительный прогресс в изучении AdS/CFT соответствия. Р.Р.Мецаев и А.А.Цейтлин построили действие Грина-Шварца струнной сигма-модели для случая таргет-пространства AdS$ х 55 (напомним, в стандартных учебниках обычно рассматривается случай таргет-пространства К1'9). Предел большой константы 'т Хоофта соответствует классическому пределу в сигма-модели, поэтому знание действия Грина-Шварца позволило, в частности, рассмотреть квазиклассические поправки к различным классическим решениям. В работе Д.Беренстейна (D.Berenstein), X.Малдасены и Г.Настасе (H.Nastase) было предложено в качестве такого решения выбрать светоподобную (нулевую) геодезическую, тогда соответствующий предел называется пределом «плоской волны» — с геометрической точки зрения он отвечает разложению метрики вблизи нулевой геодезической (т.н. предел Пенроуза). В свою очередь, в теории поля такой предел возникает при рассмотрении длинных операторов вида tr(ykzj), где y и z — комплексные скалярные поля, к фиксировано, a j —> 00, А —> 00, j/Vx = const. Другое интересное классическое решение, которому, в частности, уделено большое внимание в диссертации, — это так называемая «вращающаяся струна», рассмотренная в работе С.Габсера

(S.Gubser), И.Р.Клебанова и А.М.Полякова, иными словами струна, вращающаяся в пространстве AdS вокруг своего центра масс. В калибровочной теории такому решению двойственны операторы вида tr(<f)Ds<j)), где S —У оо, т.е. с большим числом производных. Отметим, что ведущая квазиклассическая поправка к энергии такого решения вычислена в работе С.А.Фролова и А.А.Цейтлина.

Однако основное продвижение в исследованиях заключалось в том, что были открыты свойства интегрируемости теории Янга-Миллса с максимальной суперсимметрией, а также сигма-модели теории струн в AdSs х S5. Термин «интегрируемость» в данном случае используется в смысле квантовых интегрируемых систем и означает появление бесконечного набора коммутирующих операторов, в результате чего определенные величины удается вычислить точно при любых значениях константы связи. Тем не менее, интегрируемость проявляется в калибровочной теории и в струнной сигма-модели по-разному. В работе И.Вены (I.Bena), Дж.Полчинского (J.PoIchinski) и Р.Ройбана (R.Roiban) было показано, что классические уравнения движения струнной сигма-модели можно записать в лаксовой форме, или в виде уравнения нулевой кривизны однопараметрического семейства связностей — именно это позволяет найти бесконечное число интегралов движения, находящихся в инволюции. В Л/* = 4 теории Янга-Миллса рассматривают составные калибровочно-инвариантные операторы, т.е. локальные (зависящие от одной точки х пространства Минковского) калибровочно-инвариантные функции от элементарных операторов Ац, ф, -ф (здесь А^ — калибровочное поле, ф — скалярные поля, ф — спинорные поля). Несмотря на то что рассматриваемая теория является конформной1, эти операторы могут иметь ненулевые (зависящие от параметра 'т Хоофта Л) аномальные размерности. Дж.Минахян (J.Minahan) и К.Л.Зарембо заметили, что вычисление этих размерностей (по крайней мере в однопетлевом приближении) сводится к диагонализации гамильтониана определенной спино-

1 Отсюда и название «CFT», т.е. conformai field theory, или конформная теория поля.

вой цепочки. Гамильтониан этой цепочки интегрируем — это озна чает, что существует бесконечное число операторов, действующих i гильбертовом пространстве данной цепочки, коммутирующих междз собой и с этим гамильтонианом. Данное свойство совсем не тривиально, и оно позволяет, в частности, задать спектр гамильтониана i виде решения системы алгебраических уравнений (уравнений Бете). Тем не менее, работа Минахяна и Зарембо посвящена исследованик однопетлевого приближения, и возникающая при этом XXX цепочка Гейзенберга описывает взаимодействие соседних спинов. Однако если учесть, например, двухпетлевые поправки, то возникнет модификация этой цепочки, где взаимодействовать будут уже каждые три соседних спина, в трехпетлевом приближении взаимодействуют четыре соседних спина и т.п. Таким образом, требовалось обобщение уравнений Бете, справедливых в однопетлевом приближении. Окончательный ответ на данный вопрос был дан в работе Н.Байсерта (N.Beisert) и М.Штаудахера (M.Staudacher) — в ней был выписан полный набор уравнений Бете, справедливый во всех порядах теории возмущений при условии, что рассматриваемые составные операторы имеют бесконечную длину. Следует заметить, что несмотря на большой прогресс и некоторые замечательные результаты, многие вопросы, связанные с операторами конечной длины, до сих пор остаются открытыми.

Мы только что описали результаты исследования AdS/CFT соответствия для случая N = 4 теории супер-Янга-Миллса. Со времени появления оригинальной работы Малдасены были предложены и другие варианты AdS/CFT соответствий. В частности, в работе О.Лунина и X.Малдасены рассмотрена так называемая TsT-деформация2 AdS$ х S5 теории, при которой трехпараметрической деформации, определяемой параметрами 71,72,73, подвергается метрика сферы S5. Эта теория предполагается двойственной несуперсим-метричной теории Янга-Миллса с полями материи (если параметры

2В аббревиатуре «TsT» буква Т обозначает Т-дуальность (обладающую свой-

ством Т о Т = 1), as — сдвиг (shift).

деформации совпадают, то в теории имеется Л'" = 1 суперсимметрия). Кроме того, для данных теорий также были найдены некоторые признаки интегрируемости. Например, в работе С.А.Фролова построена лаксова пара для уравнений движения струнной сигма-модели. Изучению TsT-деформированной теории посвящена Глава 2 настоящей диссертации.

Существуют также теории, для которых (согласно гипотезе Мал-дасены) существуют AdS-двойственные аналоги, но которые отличаются от AdSs х S5 случая сильнее, чем на простую деформацию. Таргет-пространства всех таких сигма-моделей могут быть записаны в виде AdS[)+\ х М. (плюс фермионы), где М — некоторое компактное пространство. В некоторых случаях эти суперсимметричные пространства допускают достаточно большую группу изомет-рий и суперсимметрий, в результате чего они представляют собой факторпространства этих больших групп (супер)симметрий. В случае, когда соответствующая алгебра симметрии допускает Z\ градуировку, лаксова пара в классической сигма-модели строится стандартным образом (И.Бена, Дж.Полчински, Р.Ройбан). Такие теории (сигма-мод ели с ^-градуировкой, обладающие в однопетле-вом приближении нулевой бета-функцией и центральным зарядом с = 26) были классифицированы в работе К.Л.Зарембо. Одним из таких интересных примеров является сигма-модель для струн, распространяющихся в пространстве AdS$ х CP3, впервые предложенная в работе О.Аарони (O.Aharony), О.Бергмана (O.Bergman), Д.Л.Джаффериса (D.L.Jafferis) и Х.Малдасены. Двойственной ей является теория Черна-Саймонса с J\f = б суперсимметрией в трехмерном пространстве — эта теория, как и N = 4 супер-Янг-Миллс, является конформной. Изучению этого примера AdS/CFT соответствия посвящены Главы 3, 4 и 5 диссертации.

Сама по себе JV = 4 теория супер-Янга-Миллса, будучи конформной, не может претендовать на роль физической теории элементарных частиц. Однако можно надеяться, что более физические теории

могут быть получены из нее с помощью деформаций, или возмущений. До сих пор на данном пути не было значительных продвижений, и, несомненно, прогресс в этом направлении был бы очень желателен. На первый взгляд может казаться, что деформированные теории, г также варианты Асй/СРТ соответствия в других пространственно-временных размерностях являются еще менее физическими. С нашей точки зрения, особый интерес изучение различных вариантов Асй/СРТ соответствия представляет для понимания области применимости этого метода в рамках квантовой теории поля. В частности, единственное известное до сих пор обоснование Асй/СТТ соответствия — это описанное в оригинальной работе Малдасены, основанное на изучении низкоэнергетического действия большого количества параллельных четырехмерных бран в теории струн (эта аргументация приводится в Главе 1 диссертации). Так как в конечном итоге теория Ас13/СРТ сводится к двойственности между двумя квантовыми теориями поля (двумерной теорией мирового листа и, например, четырехмерной или трехмерной теорией поля, хотя возможно рассмотрение калибровочных теорий и в других размерностях), то естественным является вопрос о том, возможно ли «увидеть» появление данной двойственности непосредственно в квантовой теории поля, без какой бы то ни было аппеляции к теории струн. Несмотря на то что на качественном уровне такая аналогия кажется весьма уместной, более того она была предложена еще в 70-х годах в работе Г.'т Хоофта, до сих пор не существует ни одного количественного описания данного явления. Мы надеемся, что изучение разных вариантов Ас[8/СРТ соответствия способствует продвижению в этом направлении.

Цель работы: Исследование 7-деформированной сигма-модели Айв*, х Я® в конечном объеме, получение ведущей поправки на конечный объем к дисперсионному соотношению солитона; изучение алгебры симметрии сигма-модели Айв^ х СР3 в калибровке светового конуса, вычисление центрального расширения при отказе от условия соответствия уровней в пределе декомпактификации мирового листа;

вычисление спектра возбуждений вращающихся струн в пространстве Айв4 х СР3, определение взаимодействий безмассовых мод.

Основные результаты:

1. Получена ведущая поправка на конечный объем дисперсионного соотношения солитонного решения струнной сигма-модели (так называемого «гигантского магнона») в случае 7-деформированного пространства АёБ^ х

2. Получено центральное расширение алгебры симметрии суперструны, распространяющейся в пространстве Ас/^хСР3, в калибровке светового конуса. Это расширение возникает при отказе от «условия соответствия уровней» в пределе бесконечного импульса на световом конусе (что эквивалентно тому, что длина струны эффективно обращается в бесконечность).

3. Получен спектр бозонных и фермионных флуктуаций при разложении действия суперструны вблизи решения, описывающего вращение струны. Найдена однопетлевая поправка к энергии данной конфигурации. Показано, что в пределе, когда один из спинов обращается в бесконечность, некоторые из полей, как бозонных, так и фермионных, становятся безмассовыми. Получен полный лагранжиан, описывающий динамику этих безмассовых мод.

Методы исследования. В диссертации используются методы теории суперсимметрии, теории вполне интегрируемых систем, теории двумерных сигма-моделей.

Научная новизна.

В диссертационной работе исследовано солитонное решение 7-деформированной струнной сигма-модели в конечном объеме; вычислено центральное расширение алгебры симметрии сигма-модели теории струн, распространяющихся в пространстве Айв^ х СР3; найден спектр бозонных и фермионных возбуждений длинной струны, вращающейся в пространстве Айв4 х СР3; показано, что в пределе очень быстрого вращения некоторые из возбуждений являются безмассовыми; найден полный лагранжиан, описывающий взаимодействия без-

массовых мод. Все результаты являются новыми и получены впервые.

Теоретическая и практическая ценность. Настоящая диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в Главе 2 результаты могут быть использованы для изучения свойств интегрируемости 7-деформированной сигма-модели и теории Янга-Миллса, не обладающей суперсимметрией. Результаты глав 3, 4 и 5 могут быть использованы для исследования сигма-модели х

СР3, а также для изучения аномальных размерностей составных операторов в трехмерной суперконформной теории Черна-Саймонса. Результаты диссертации могут быть использованы в работах, проводимых в МИАН, ПОМИ, ФИАН, ИЯИ, ЛТФ ОИЯИ, ИТЭФ, на физическом факультете МГУ.

Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела Теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, на семинарах Факультета Математики Тринити Колледжа, Дублин, Ирландия, на семинарах Института Теоретической Физики Университета Сан-Паулу, Бразилия, а также на следующих международных конференциях:

1. 15-я ирландская конференция по квантовой теории поля, Мэйнут, Ирландия, май 2008 г.

2. 4-я конференция-в рамках программы Европейского Союза ЕИ-ЯТМ, Варна, Болгария, сентябрь 2008 г.

3. 16-я ирландская конференция по квантовой теории поля, Дублин, Ирландия, май 2009 г.

4. Конференция «Калибровочные поля. Вчера. Сегодня. Завтра.», Москва, Россия, январь 2010 г.

5. Конференция «Кварки 2010», Коломна, Россия, июнь 2010 г.

6. Конференция «Интегрируемость в калибровочной теории и теории струн», Стокгольм, Швеция, июнь 2010 г.

Публикации. Основные результаты, перечисленные выше, получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в работах [1, 2, 3, 4, 5].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста, заключения, приложений и списка цитируемой литературы, включающего 109 наименований. Объем диссертации составляет 155 страниц.

Содержание работы

Во введении формулируются мотивации и цели исследования, а также описывается структура диссертационной работы.

Глава 1 представляет собой обзор важнейших идей, которые привели к появлению гипотезы Малдасены, или так называемого Ас13/СРТ соответствия.

В разделе 1.1 приводится описание максимально суперсимметрической теории Янга-Миллса в четырехмерном пространстве-времени.

Раздел 1.2 посвящен изучению метрических и конформных свойств пространства анти-деСиттера.

В разделе 1.3 описываются оригинальные идеи Х.Малдасены, приведшие к открытию Асй/СГТ соответствия.

Глава 2 посвящена изучению 7-деформированных сигма-моделей.

В разделе 2.1 объясняется, каким образом 7-деформированная теория получается из АёЯ^ х 55 сигма-модели при помощи последовательности ТэТ-преобразований, а также описываются основные свойства деформированной теории.

В разделе 2.2 обсуждаются отличительные черты солитонного решения деформированной сигма-модели. Наиболее эффективный способ построения этого решения связан с использованием связи между ТвТ-деформированным пространством и исходной сферой 55. Дело в том, что ТэТ преобразования, отображающие пространство АйБ^ х б*5 в 7г-деформированное пространство, связывают углы ф{ сферы 55 с

углами (р1 в 7-деформированной геометрии. Эти соотношения выглядят проще всего, если их записать в терминах импульсов Р1,щ, сопряженных к !рг, соответственно:

Р1 = я», (1)

р] Ф\ = &{ч>\ ~ Ъп^кЪРк) > г = 1,2,3 , (2)

где в формуле (2) суммирование производится только по Из (1) следует, что {7(1) заряды <7г- = J (1ар{ инвариантны относительно ТвТ преобразования.

Если ни один из «радиусов» р^ не зануляется на струнном решении,

то

ф[ = 4>г - Ък^зкЦРЬ • (3)

Интегрируя уравнения (3) и принимая во внимание, что

Ащ = (Рг(г) - = 2тгщ, щ е Ъ (4)

для замкнутой струны в 7-деформированном пространстве, получим твистованные граничные условия для углов исходной сферы

Aфi = ф({г) - ф{(-г) = 27г(пг - щ), щ = ецкЛзА • (5)

Ясно, что если твисты щ не являются целыми, то замкнутая струна в деформированном пространстве отображается в открытую струну в пространстве Ас^ х Э5.

По определению 7-деформированный гигантский магнон обладает лишь одним ненулевым зарядом <7, и можно показать, что он движется в подпространстве С При этом углы ф\ и удовлетворяют твистованным граничным условиям

— ФЛг) - ф\{—г) —р, Аф2 = ф2(г) - ф2(-г) = 6, (б)

где § = 2тт(п2 — 77), 7 = 73 и щ — число намоток в направлении деформированной сферы Стоит отметить, что зависимость от 7 и П2 входит только через их линейную комбинацию 5, которая играет роль параметра деформации.

Параграф 3 посвящен решению уравнений движения на деформи-о з

рованной сфере при помощи разложения по е В1п(р/2). В результате

получено дисперсионное соотношение в пределе большого J, которое

с точностью до первой поправки имеет вид (0 < р < тг):

Е - 3 = ¡1~4 соэФе-5^3 + ... ) , (7)

\ 6 ^ /

где

ф =_5-_= 2<П2 ~ ^ (8)

23/2соз3 2 23/2 СОЗ3 \ ' К)

Данное решение существует в случае, когда П2 — целое число, наиболее близкое к 7</, т.е. \п2 — 7</| < Дисперсионное соотношение в 7-деформированной модели сводится в пределе 5 —> 0 (или Ф —> 0) к полученному в работе Г.Э.Арутюнова, С.А.Фролова и М.Замаклар (М.гатаЫаг).

Глава 3 посвящена изучению алгебры глобальной симметрии сигма-модели пространства АсЬБд х СР3.

В разделе 3.1 приводится описание СР3 как пространства ортогональных комплексных структур в шестимерном евклидовом пространстве К6. Подчеркивается, что такой подход позволяет выбрать наиболее удачную параметризацию косета 50(б)/[/(3).

В разделе 3.2 рассматривается калибровка светового конуса для данной модели. До наложения калибровки в сигма-модели линейно реализована полная группа суперизометрии пространства АйБ^ х СР3, т.е. 05Т(6|4). При помощи непосредственного вычисления мы убеждаемся, что остаточная группа симметрии после наложения калибровки светового конуса суть ^С/(2)2) х ¿7(1), причем отличие от случая АсЬвъ х в5 состоит в появлении дополнительного множителя ^/(1).

В разделе 3.3 мы определяем представления группы симметрии 5£/(2|2) х 17( 1), по которым преобразуются бозонные и фермионные поля сигма-модели.

Раздел 3.4 посвящен нахождению калибровки каппа-симметрии,

не нарушающей симметрию калибровки светового конуса 5С7(2|2) х

17(1).

Наконец, в разделе 3.5 вычислено центральное расширение алгебры симметрии 5и(2|2) фм(1). Генераторы згг(2|2) удобно описывать с помощью двух бесследовых бозонных операторнозначных матриц К^ и Ььа, а также операторнозначной (комплексной) фермионной матрицы <2® . ь и к описывают айв- и СР3-вращения соответственно, а все индексы пробегают значения 1,2 и отвечают стандартному представлению й1х(2) (максимальная бозонная подалгебра $и(2|2) — это ви(2) ф 8и(2): греческие се, /3 и латинские а, Ь индексы различают эти две копии йм(2)). Относительно скобки Пуассона элементы этих матриц образуют следующую алгебру Ли:

[^а, = - ^Ьд,

= + Н, (9)

{<2^, £Ь1з} = ^еаЬРи ШаЛЛ - еаь^Рг.

Здесь Н — центральный элемент алгебры йи(2|2). Очевидно, что генераторы центрального расширения связаны соотношением: р2 = р\. Кроме того, можно проверить, что бозонная часть (первые две строки) есть в точности $и(2) ф ви(2), если сделать следующие отождествления: Я.\ = аз/2, Е^ = а-, В\ = а+.

Прямое вычисление скобок Пуассона дает следующий результат для центрального расширения, входящего в формулы (9):

р1 = \{е~1р - 1), Р2 = Рг = - 1), (10)

где £ — произвольная фаза. Центральное расширение оказывается таким же, как и в случае Айв-, х 515.

Глава 4 посвящена квазиклассическому квантованию описанной в Главе 3 сигма-модели айб^ х СР3 на фоне определенного классиче-

ского решения — так называемой «вращающейся струны». Данное решение было изучено С.Габсером, И.Р.Клебановым и А.М.Поляковым, которые использовали его в одной из первых нетривиальных проверок Асй/СРТ гипотезы — в частности, они показали, что несмотря на то что это решение струнной двумерной сигма-модели, оно по крайней мере качественно хорошо описывает поведение аномальных размерностей операторов «с большим спином» в калибровочной теории, т.е. операторов вида Ьг(фО^_ф), где ф — одно из нолей теории, а 5 —У оо. В так называемых глобальных координатах пространства анти-деСиттера, в которых метрика Айвз имеет вид

= - сЬ2(р)сЙ2 + йр2 + 8*12(р)#2, (И)

«вращающаяся струна» получается при следующей подстановке:

г = кт, ф = и>\т, ф = о>2т, р = р{а), (12)

где ¡р — координата на окружности 51 С СР3.

В общем случае условия Вирасоро и уравнения движения сводятся к следующему уравнению на функцию р{а):

р\а)2 - собИ2^) к2 + 8тЬ2(р) и1 + = 0. (13)

Общее решения р(сг; к, 0)1,2) уравнения (13) может быть выписано через эллиптические функции. Напомним, однако, что решение для замкнутой струны обязано удовлетворять условиям периодичности р{о + 27г; к, со 1,2) — р{сгш,к,ш 1,2), (которым можно удовлетворить в предположении, что струна несколько раз сложена) — это условие связывает к с 0)1,2 ■ Оказывается, что в пределе к —» оо о>1 = к + ... , поэтому решение сильно упрощается:

£ = кт, ф = кт, р = к2 — о>| сг + ро, <р = и>2т (14)

Предел ас —У со называется пределом длинной струны, потому что, как видно из выписанного выше решения, длина струны в пространстве АйБ становится бесконечно большой.

В дальнейшем будет удобно использовать параметр

и==-= 1 гс\' 15)

к д \og(S)

Основная задача Главы 4 — вычисление спектра флуктуаций вблизи вышеописанного решения. Она сводится к разложению действия Грина-Шварца около данного решения и вычисления детерминанта получающейся квадратичной формы. Когда и>2 = 0 , все бозонные поля из СР3 безмассовы, два поля из Айв имеют массы т =

и т — Ак2 , а остальные два поля из Ас13 безмассовые, но их вклад должен сокращаться с вкладом духов (иными словами, они не дают вклад в когомологии БРСТ-оператора). Детерминант фер-мионной части квадратичного действия при произвольном шг имеет вид:

[(2ко - ш2)2 - 4{к\ + х2)]2 [(2*о + - 4^ + х2)] 2х

х - к1(2к\ + х2) + к\{к\-и% + я2)]2. (16)

Отсюда следует, что в рассматриваемой модели фермионные возбуждения таковы (подсчет ведется в единицах комплексных вейлевских фермионов, кроме того, используется введенный ранее параметр и):

• 2 фермиона с частотой \ ик + у/п2 + к2

2 фермиона с частотой — \ и к + \/п2 + к2

2 фермиона с частотой л /п2 + + \/1 + и2п2)

• 2 фермиона с частотой у п2 + у (1 — VI + и2п2)

Спектр флуктуаций вблизи решения, описывающего вращающуюся струны, получится, если устремить и 0 (или шо —> 0), и легко видеть, что спектр становится релятивистским в этом пределе: имеется 6 массивных и 2 безмассовых комплексных фермиона, т.е. 12 массивных и 4 безмассовых вещественных.

В конце Главы 4 нами также вычислена однопетлевая поправка к энергии вращающейся струны, которая имеет такой вид:

2и2 log и2-2 log (8 - 4и2) + и2 log (16(2 - и2)) +

6Е = ^ 4

+2 (-1 + и2 + у/1 - и2 + (и2 - 2) к^ (1 + \/1 - и2)) . (17)

В Главе 5 мы продолжаем изучение безмассовых мод, полученных в Главе 4 при изучении квазиклассического квантования сигма-модели Ас134 х СР3 на фоне вращающейся струны. В частности, в Главе 4 мы ограничились рассмотрением исключительно квадратичных флуктуаций и, таким образом, пренебрегли взаимодействиями. Учет взаимодействий оказывается отнюдь не тривиальной задачей. Дело в том, что квантование действия Грина-Шварца всегда производится на фоне некоторого классического решения, так как в исходной формулировке фермионный кинетический член является вырожденным. Особенность действия для АйБд х СР3 струны, построенного при помощи косета, состоит в том, что допустимое классическое решение, на фоне которого можно производить квантование, обязано содержать движение струны в том числе в пространстве СР3, а не только в Айв4. В частности, наиболее интересное для нас решение (14) при Ш2 = 0 не является допустимым. Путь преодоления данной трудности впервые был описан в работах Д.П.Сорокина и соавторов. Он состоит в следующем. Дело в том, что Айв\ х СР3 представляет собой решение ПА супергравитации, которое может быть получено из максимально суперсимметрического решения Фройнда-Рубина А¿3.1 х одиннадцатимерной супергравитации при помощи специальной компактификации. Данная компактификация основана на расслоении Хопфа З7 —> СР3 и отвечает пределу, когда размер слоя — окружности — становится бесконечно малым. С другой стороны, известно, что действие мировой поверхности для суперструны, распространяющейся в пространстве с таким свойством, может быть получено при помощи размерной редукции трехмерного действия так называемой «М2 браны». Построение действия М2 браны не представ-

ляет проблемы — оно строится стандартным образом при помощи косета 0<S'P(8|4) / 5*0(7) х 50(1,3), — в связи с чем эта программа оказывается реализуемой. Преимущество полученного в результате такой процедуры действия состоит в том, что оно включает в себя 32 фермиона, а не 24, как действие, построенное при помощи косета. Это позволяет выбрать калибровку для каппа-симметрии, недопустимую в косетном описании, которая устраняет вырождение квадратичного действия безмассовых фермионов.

Основной результат Главы 5 — следующий низкоэнергетический эффективный лагранжиан, описывающий динамику безмассовых полей на мировом листе струны3:

С = r)a/3VQz3Vpzj + гФ7аРа Ф + ^(Ф7аФ)2, (18)

где индекс j пробегает значения от 1 до 4, Va = да — i Ла , Т>а — да+ 2 г Ла и Ла — калибровочное U( 1) поле без кинетического члена — по нему можно проинтегрировать, при этом действие примет каноническую форму Фубини-Штуди. Кроме того, в (18) поля г-7 лежат 4

на сфере S7 С С4 : £ И2 = 1.

3=1

В заключении перечисляются главные результаты диссертации. В приложениях приведены обозначения, а также детали вычислений, использованных в основной части диссертации.

Публикации автора по теме диссертации

[1] D.V.Bykov, S.A.Frolov, Giant magnons in TsT-transformed AdS$ x S5, JHEP0807:071 (2008)

[2] L.F.Alday, G.E.Arutyunov, D.V.Bykov, Semiclassical Quantization of Spinning Strings in AdS4 x CP3, JHEP0811:089 (2008)

З3десь 7 -матрицы — это двумерные гамма-матрицы, например, в наших обо-

значениях 7° = — iff2,71 = ai, 75 = сгз и Т>± =V0±Vi. Сопряжение определяется

как Ф = Ф*71 .

[3] Д. В. Быков, Алгебра симметрии суперструны в AcLS^xCP3, ТМФ, 2010, 163:1, 114-131 (англ. D.V.Bykov, Off-shell symmetry algebra of the AdS4 x CP3 superstring, Theor.Math.Phys. Vol:163, Issue:l, Pages:114-131)

[4] D.V.Bykov, The worldsheet low-energy limit of the AdS± x CP3 superstring, Nuclear Physics, Section В 838 (2010), pp. 47-74

[5] L. F. Alday, G. Arutyunov and D. Bykov, Spinning strings in AdS{A) x CP3 and quantum corrections, Fortsch. Phys. 57 (2009) 472 (сборник трудов 4-й конференции в рамках программы EU RTN, Варна, Болгария, 11-17 сентября 2008 г.)

Введение

1 Основы АсШ/СГТ

1.1 Л/" = 4 теория Янга-Миллса.

1.1.1 N = 1 суперпространство.

1.1.2 Лагранжиан в терминах компонентных полей

1.1.3 Суперконформная инвариантность.

1.2 Пространство анти-деСиттера АйБ.

1.2.1 Плоскость Лобачевского.

1.2.2 Айвг.

1.2.3 А(133.

1.2.4 Аавъ.

1.3 Супергравитационное описание параллельных бран в теории струн.

2 7-деформация

2.1 7-деформированные теории.

2.2 Гигантский магнон в 7-деформированной теории.

2.3 Дисперсионное соотношение при конечном 3.

3 Алгебра симметрии

3.1 Фактор-пространство

3.2 Калибровка светового конуса.

3.3 Свойства преобразования полей

3.3.1 Бозоны.

3.3.2 Фермионы.,.

3.4 Калибровка ^-симметрии.

3.5 Центральное расширение.

4 Спектр вращающейся струны

4.1 Действие струны.

4.2 (5,</)-струна.

4.3 Лагранжиан квадратичных флуктуаций.

4.3.1 Спектр бозонных флуктуаций

4.3.2 Спектр фермионных флуктуаций.

4.4 Однопетлевой сдвиг энергии

5 Динамика безмассовых мод

5.1 Вращающаяся струна.

5.1.1 Решение с двумя спинами.

5.2 Косет 05Р(6|4) / 17(3) х 50(1,3)

5.2.1 Разложение вблизи решения с двумя спинами

5.3 Низкоэнергетический предел суперструны в АйБ^ х

5.4 Полное действие НА суперструны в пространстве АйБ^ х СР

5.4.1 Действие М2 браны и косет 05Р(8|4) / 50(7) х 50(1,3).

5.4.2 Расслоение Хопфа Б1 —У СР3 и размерная редукция

5.5 Квантовые поправки к вращающейся струне.

5.5.1 Декомпактификация.

5.5.2 Элемент косета, параметризующий "вращающуюся струну"

5.5.3 Разложение.

5.6 Низкоэнергетический предел на мировой поверхности

5.7 Открытые проблемы.

Квантовая теория калибровочных полей служит математическим аппаратом современной физики элементарных частиц и потому лежит в основе современного понимания фундаментальных законов природы. Классическая электродинамическая теория Максвелла, а затем и ее квантовый аналог, построенный Фейнманом, Швингером и др., описывается калибровочной теорией с простейшей абелевой калибровочной группой 17( 1). Математическая структура этой теории хорошо изучена, а вычисления дают потрясающе точные экспериментальные предсказания благодаря тому, что так называемая константа связи в этой теории, характеризующая силу взаимодействия электронов и позитронов с электромагнитным полем, невелика (как известно, постоянная тонкой структуры при нормальных энергиях равна примерно 1/137). Помимо электродинамики, стандартная модель физики элементарных частиц также описывает слабые и сильные взаимодействия, причем слабые и электромагнитные взаимодействия объединены неабелевой калибровочной группой 5£/(2) х 11(1), в то время как сильные взаимодействия описываются также неабелевой группой 5£/(3) (часто называемой группой "цвета")

Иными словами, физические явления, связанные со слабыми и сильными взаимодействиями, описываются при помощи неабелевой калиб

1Теория сильных взаимодействии, основанная на калибровочной группе 5С/(3), называется квантовой хромодинамикой. ровочной симметрии. Несмотря на такое сходство, существует принципиальная разница между теориями сильных и слабых взаимодействий. В соответствии с названиями, константа связи в слабых процессах мала, а в сильных велика. Это означает, что теория возмущений по константе связи неприменима для описания сильных взаимодействий при нормальных энергиях. Существует и физическое подтверждение неприменимости теории возмущений в реальной ситуации, а именно несовпадение асимптотического спектра частиц в теории с нулевой константой связи и в реальном мире. Действительно, квантовая хромодинамика при нулевой константе связи предсказывает наличие безмассовых глюонов и — безмассовых либо массивных — свободных кварков. Однако ни те, ни другие, в природе не наблюдаются. Наблюдаются лишь связанные состояния кварков (мезоны в случае двух кварков и барионы в случае трех), а гипотетические связанные состояния глюонов — глюболлы — вообще до сих пор не открыты. Как должно быть ясно из предшествующего обсуждения, данное несогласие теории и эксперимента обычно относят на счет большой константы связи, или, другими словами, на счет неприменимости обычной теории возмущений. Это означает, что принимаемое в обычной теории возмущений ведущее приближение — приближение свободных полей — в данном случае не подходит. Поэтому важнейшая задача состоит в нахождении другого, более подходящего, ведущего приближения, которое позволило бы проводить вычисления различных параметров элементарных частиц в виде теории возмущений вблизи этого главного приближения. Эта задача, известная также как проблема кон-файнмента кварков, а также тесно связанная с ней задача о появлении массовой щели в неабелевой теории Янга-Миллса, являются первостепенными задачами в теории квантовых калибровочных полей уже более

40 лет, однако до сих пор являются нерешенными 2. Заметим, что решение этих задач, скорее всего, будет тесно связано с математически стройным построением полной теории квантовых калибровочных полей (что также называется "задачей о существовании теории Янга-Миллса в четырехмерном пространстве-времени"). В частности, необходимо будет указать математически корректное правило работы с расходящимися рядами теории возмущений. Тем не менее, несмотря на то что до сих пор нет удовлетворительного описания "из первых принципов" неабелевой теории Янга-Миллса при нормальных энергиях, существует приемлемая качественная картина.

Важный новый метод описания неабелевых калибровочных теорий ^ - при больших константах связи был предложен в работе Х.Малдасены [80]. Малдасена рассмотрел теорию Янга-Миллса в 3+1 измерениях с максимально возможной суперсимметрией — так называемую теорию J\f = 4 супер-Янга-Миллса. В Главе 1 мы дадим более полное описание данной теории, а пока достаточно заметить, что лагранжиан теории инвариантен относительно четырех майорановских суперзарядов. Теория с таким количеством суперсимметрий единственна (в отличие от теорий с меньшим количеством суперсимметрий), или, более точно, существует двухпараметрическое семейство таких теорий, параметризуемое константой связи д и "рангом" калибровочной группы N (например, в случае группы U(M) имеем N — М). Более чем за двадцать лет до работы Х.Малдасены Г.'т Хоофт указал на определенные (по крайней мере качественные) упрощения рядов теории возмущений, которые возникают в пределе N —У оо, д —> 0, А = g2N = const. С тех пор данный предел

23адача о массовой щели в теории Янга-Миллса является одной из "задач тысячелетия", предложенных Институтом Клэя в США и за решение каждой из которых обещана награда в 1 миллион долларов. называется пределом 'т Хоофта, а константа Л — параметром, или константой, 'т Хоофта. Точно такой же предел рассмотрел и Х.Малдасена в своей работе. Неожиданное утверждение Х.Малдасены состояло в том, что предел 'т Хоофта теории Äf = 4 супер-Янга-Миллса в определенном смысле эквивалентен сигма-модели теории IIB суперструн, распространяющихся в пространстве AdS$ х S5 (здесь AdS — пространство анти-деСиттера, а S — сфера с обычной метрикой). Более подробно данная эквивалентность была разъяснена в работе Э.Виттена [103]. В частности, в данной работе показано, что четырехмерное пространство Мин-ковского возникает на проективной "бесконечности" пространства AdS. Открытая в работе [80] эквивалентность получила название AdS/CFT соответствия.

Отметим, что, несмотря на то что внешне лагранжиан теории с АГ = 4 суперсимметриями кажется лишь малым усложнением обычной калибровочной теории, связанным с наличием "полей материи", на самом деле, максимально симметричная теория обладает одной важной особенностью, отличающей ее от менее симметричных аналогов. Дело в том, что эта теория является инвариантной относительно конформных преобразований на квантовом уровне. На классическом уровне любая калибровочная теория является конформно-инвариантной, если поля материи безмассовы, однако на квантовом уровне в абсолютном большинстве случаев это уже не так вследствие необходимости перенормировки поля, массы и заряда. Однако именно в максимально симметрической теории бета-функция константы связи оказывается равной нулю. Отрицательное следствие данного наблюдения состоит в том, что конформная теория не может претендовать на роль теории элементарных частиц, так как в ней все явления выглядят одинаково на всех пространственно-временных масштабах, в частности, невозможно определить состояния рассеяния (формально это проявляется в появлении инфракрасных рас-ходимостей).

Следует заметить, что важная черта AdS/CFT соответствия состоит в том, что константы связи двух теорий на разных сторонах соответствия обратно пропорциональны друг другу. Действительно, константой связи струнной сигма-модели является квадрат радиуса пространства AdS: R ос л/А. Предел слабой связи сигма-модели соответствует большому радиусу, т.е. большим значениям параметра 'т Хоофта. Именно это свойство и позволяет при помощи AdS/CFT соответствия исследовать область сильной связи калибровочной теории.

Со времени появления работы [80] был достигнут значительный прогресс в изучении AdS/CFT соответствия. Во-первых, было построено действие Грина-Шварца струнной сигма-модели для случая таргет-пространства AdS^xS5 [86] (напомним, в стандартных учебниках обычно рассматривается случай таргет-пространства R10). Предел большой константы 'т Хоофта соответствует классическому пределу в сигма-модели, поэтому знание действия Грина-Шварца позволило, в частности, рассмотреть квазиклассические поправки в струнной сигма-модели к различным классическим решениям. В качестве такого решения можно выбрать, например, светоподобную (нулевую) геодезическую [33], тогда соответствующий предел называется пределом "плоской волны" — с геометрической точки зрения он отвечает разложению метрики вблизи нулевой геодезической (т.н. предел Пенроуза).В свою очередь, в теории поля такой предел возникает при рассмотрении длинных операторов вида tr(YkZJ), где Y и Z — комплексные скалярные поля, к фиксировано, a J -4 оо,А —> оо, J/лД = const. Другое интересное классическое решение, которому, в частности, уделено большое внимание в диссертации, — это так называемая "вращающаяся струна" [64], иными словами струна, вращающаяся в пространстве А<18 вокруг своего центра масс. В калибровочной теории такому решению двойственны операторы вида Ьг(ф03ф)7 где 5 —оо, т.е. с большим числом производных. Отметим, что ведущая квазиклассическая поправка к энергии такого решения вычислена в [51].

Однако основное продвижение в исследованиях заключалось в том, что были открыты свойства интегрируемости теории Янга-Миллса с максимальной суперсимметрией, а также сигма-модели теории струн в Ас18$ х 55. Термин "интегрируемость" в данном случае используется в смысле квантовых интегрируемых систем и означает появление бесконечного набора коммутирующих операторов, в результате чего определенные величины удается вычислить точно при любых значениях константы связи. Тем не менее, интегрируемость проявляется в калибровочной теории и в струнной сигма-модели по-разному. Было показано [32], что классические уравнения движения струнной сигма-модели можно записать в лаксовой форме, или в виде уравнения нулевой кривизны од-нопараметрического семейства связностей. С точки зрения классической механики данной системы именно это приводит к тому, что существует бесконечное число интегралов движения, находящихся в инволюции. В N = 4 теории Янга-Миллса рассматривают составные калибровочно-инвариаптные операторы, т.е. локальные (зависящие от одной точки х пространства Минковского) калибровочно-инвариантные функции от элементарных операторов А^, ф, ф (здесь А^ — калибровочное поле, ф — скалярные поля, ф — спинорные поля). Несмотря на то что, как говорилось выше, рассматриваемая теория является конформной, эти операторы могут иметь ненулевые (зависящие от параметра 'т Хоофта А) аномальные размерности. Оказывается [88], вычисление этих размерностей (по крайней мере в однопетлевом приближении) сводится к диагонализации гамильтониана определенной спиновой цепочки. Гамильтониан этой цепочки интегрируем — это означает, что существует бесконечное число операторов, действующих в гильбертовом пространстве данной цепочки, коммутирующих между собой и с этим гамильтонианом. Данное свойство совсем не тривиально, и оно позволяет, в частности, задать спектр гамильтониана как решение системы алгебраических уравнений (уравнений Бете). Тем не менее, работа [88] посвящена исследованию однопетле-вого приближения, и возникающая при этом XXX цепочка Гейзенберга описывает взаимодействие соседних спинов. Однако если учесть, например, двухпетлевые поправки, то возникнет модификация этой цепочки, где взаимодействовать будут уже каждые три соседних спина, в трех-петлевом приближении взаимодействуют четыре соседних спина и т.п. Таким ¿бразом, требовалось обобщение уравнений Бете, справедливых в однопетлевом приближении. Окончательный ответ на данный вопрос был дан в работе [31] — в ней был выписан полный набор уравнений Бете, справедливый во всех порядах теории возмущений при условии, что рассматриваемые составные операторы имеют бесконечную длину. Данный результат получил название в литературе "асимптотического всепетлево-го анзаца Бете" (ААБ). Здесь слово "асимптотический" указывает как раз на то, что операторы, аномальные размерности которых задаются этими уравнениями, имеют бесконечную длину. Как было впервые показано в работе [7], в случае операторов конечной длины в определенном порядке теории возмущений возникают поправки к решению уравнений ААБ. Неточность ААБ связана с тем, что в некотором порядке теории возмущений радиус взаимодействия спинов в спиновой цепочке начинает превышать длину спиновой цепочки. Такие "дальние" взаимодействия получили название обертывающих. Следует отметить, что до сих пор не существует последовательного метода их учета с помощью методов интегрируемых спиновых цепочек. Тем не менее, с точки зрения струнной сигма-модели эти "обертывающие" поправки можно учесть — оказывается, они совпадают с поправками на конечную длину мирового листа струны (операторы бесконечной длины в калибровочной теории соответствуют бесконечной длине струны, или, как говорят, декомпак-тифицированному мировому листу). В принципе существует [79] общий метод (Люшера) подсчета ведущей поправки на конечный объем в произвольной релятивистской теории (теория струн в калибровке светового конуса не является лоренц-инвариантной на мировой поверхности, поэтому для рассмотрения этого случая потребовалось обобщение метода Люшера [72]). В частности, вычисление уже этой ведущей поправки в струнной сигма-модели дало возможность вычислить четырехпетлевую аномальную размерность так называемого "оператора Кониши" — наиболее короткого нетривиального оператора в N = 4 теории супер-Янга-Миллса [24]. Для сравнения, вычисление этой величины обычными методами потребовало рассмотрения сотен диаграмм Фейнмана [43]. Однако метод Люшера дает лишь ведущую поправку, и встает естественный вопрос о возможности вычисления высших поправок, или, иными словами, о возможности получения спектра теории в конечном объеме при помощи имеющихся сведений о теории в бесконечном объеме (Б-матрице, спектре и т.п.). В случае интегрируемой теории это оказывается возможным. Для изучения релятивистских двумерных интегрируемых теорий в конечном объеме в конце 80-х — начале 90-х годов был построен метод, получивший название "термодинамического анзаца Бете" [105]- [106]. Согласно этому методу, изучение интегрируемой теории в конечном объеме эквивалентно изучению той же теории при конечной температуре, но в бесконечном объеме. Решение последней задачи не представляет больших проблем, если известен спектр гамильтониана

Н теории в бесконечном объеме (т.к. решение сводится к вычислению статсуммы Ьт(е~Рн)). В случае нерелятивистской теории, т.е. в рассматриваемом нами случае, для вычисления спектра гамильтониана в конечном объеме необходимо вычислить статсумму при конечной температуре двойственной теории с гамильтонианом Н, однозначным образом определяемым по гамильтониану Н. Этому посвящены работы [12]- [18], и до конца данная задача пока не решена.

Выше мы описали результаты, связанные с изучением Ас18/СРТ соответствия для случая N = 4 теории супер-Янга-Миллса. Со времени появления исходной работы [80] были предложены и другие варианты АёБ/СГТ соответствий. В частности, в работе [78] рассмотрена так называемая ТбТ-деформация Ас13$ х б"5 теории, а именно метрика сферы ¿>5 подвергается деформации, определяемой параметрами 71,72,73. Эта теория предполагается двойственной несуперсимметричной теории Янга-Миллса с полями материи в й = 3 + 1 (если параметры деформации совпадают, то в теории имеется N = 1 суперсимметрия). Кроме того, для данных теорий также были найдены некоторые признаки интегрируемости. Например, была построена лаксова пара для уравнений движения струнной сигма-модели [45]. Изучению ТбТ-деформированной теории посвящена Глава 2 настоящей диссертации.

Существуют также теории, для которых (согласно гипотезе Малда-сены) существуют Ас18-двойственные аналоги, но которые отличаются от А(18$ х б15 случая сильнее, чем на простую деформацию. Таргет-пространства всех таких сигма-моделей могут быть записаны в виде Лс?5,£»+1 х М. (плюс фермионы), где М — некоторое компактное пространство. В некоторых случаях эти суперсимметричные пространства допускают достаточно большую группу изометрий и суперсимметрий, в результате чего они представляют собой факторпространства этих больших групп (супер)симметрий. В случае, когда соответствующая алгебра симметрии допускает Z4 градуировку, лаксова пара в классической сигма-модели строится стандартным образом [32]. Все такие теории (сигма-модели с /^-градуировкой и центральным зарядом с = 26) были классифицированы в работе [108]. Одним из таких интересных примеров является сигма-модель для струн, распространяющихся в пространстве AcLSa х CP3 [1]. Двойственной ей является теория Черна-Саймонса с J\f — 6 суперсимметрией в трехмерном пространстве — эта теория, как и N — 4 супер-Янг-Миллс, является конформной. Изучению этого примера AdS/CFT соответствия посвящены главы 3, 4 и 5 диссертации.

Как обсуждалось выше, сама по себе ÁÍ = 4 теория супер-Янга-Миллса не может претендовать на роль физической теории элементарных частиц. Однако можно надеяться, что более физические теории могут быть получены из нее с помощью деформаций, или возмущений. До сих пор на данном пути не было значительных продвижений, и, несомненно, прогресс в этом направлении был бы очень желателен. На первый взгляд может казаться, что деформированные теории, а также варианты AdS/CFT соответствия в других пространственно-временных размерностях являются еще менее физическими. С нашей точки зрения, особый интерес изучение различных вариантов AdS/CFT соответствия представляет для понимания области применимости этой теории в рамках квантовой теории поля. В частности, единственное известное до сих пор обоснование AdS/CFT соответствия — это описанное в оригинальной работе [80], основанное на изучении низкоэнергетического действия большого количества параллельных четырехмерных бран в теории струн (эта аргументация приводится в Главе 1 диссертации). Так как в конечном итоге теория AdS/CFT сводится к двойственности между двумя квантовыми теориями поля (двумерной теорией мирового листа и, например, четырехмерной или трехмерной теорией поля, хотя возможно рассмотрение калибровочных теорий и в других размерностях), то естественным является вопрос о том, возможно ли "увидеть" появление данной двойственности непосредственно в квантовой теории поля, без какой бы то ни было аппеляции к теории струн. Несмотря на то что на качественном уровне такая аналогия кажется весьма уместной, более того она была предложена еще в 70-х годах [69], до сих пор не существует ни одного количественного описания данного явления. Мы надеемся, что изучение разных вариантов АсШ/СГТ соответствия может способствовать продвижению в этом направлении.

Диссертация состоит из пяти глав.

Заключение

Перечислим основные результаты работы, выдвигаемые на защиту:

1. Получена ведущая поправка на конечный объем дисперсионного соотношения солитонного решения струнной сигма-модели (так называемого "гигантского магнона") в случае 7-деформированного пространства AdSb х Sbr

2. Получено центральное расширение алгебры симметрии суперструны, распространяющейся в пространстве AdS4 х CP3, в калибровке светового конуса. Это расширение возникает при отказе от "условия соответствия уровней" в пределе бесконечного импульса на световом конусе (что эквивалентно тому, что длина струны эффективно обращается в бесконечность).

3. Получен спектр бозонных и фермионных флуктуаций при разложении действия суперструны вблизи решения с двумя спинами. Показано, что в пределе, когда один из спинов обращается в бесконечность, некоторые из полей, как бозонных, так и фермионных, становятся безмассовыми.

4. Получен полный лагранжиан, описывающий динамику полученных в п.З безмассовых мод.

Все выдвигаемые на защиту результаты получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в следующих работах:

1. D.V.Bykov, S.A.Frolov, Giant magnons in TsT-transformedAdS5xS5,

113

JHEP0807:071 (2008), arXiv:0805.1070

2. L.F.Alday, G.E.Arutyunov, D.V.Bykov, Semiclassical Quantization of Spinning Strings in AdS4 x CP3, JHEP0811:089 (2008), arXiv:0807.4400

3. Д. В. Быков, Алгебра симметрии суперструны в AdS± х CP3, ТМФ, 2010, 163:1, 114-131 (англ. D.V.Bykov, Off-shell symmetry algebra of the AdS4 x CP3 superstring, Theor.Math.Phys. Vol:163, Issue: 1, Pages:114-131), arXiv:0904.0208

4. D.V.Bykov, The worldsheet low-energy limit of the AdS4 x CP3 super-string, Nuclear Physics, Section В 838 (2010), pp. 47-74, arXiv:1003.2199

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела Теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, на семинарах Факультета Математики Трини-ти Колледжа, Дублин, Ирландия, на семинарах Института Теоретической Физики Университета Сан-Паулу, Бразилия, а также на следующих международных конференциях:

1. 15-я ирландская конференция по квантовой теории поля, Мэйнут, Ирландия, май 2008 г.

2. 4-я конференция в рамках программы Европейского Союза EU-RTN, Варна, Болгария, сентябрь 2008 г.

3. 16-я ирландская конференция по квантовой теории поля, Дублин, Ирландия, май 2009 г.

4. Конференция "Калибровочные поля. Вчера. Сегодня. Завтра.", Москва, Россия, январь 2010 г.

5. Конференция "Кварки 2010", Коломна, Россия, июнь 2010 г.

6. Конференция "Интегрируемость в калибровочной теории и теории струн", Стокгольм, Швеция, июнь 2010 г.

Автор выражает признательность всем сотрудникам отдела Теоретической физики Математического института им. В.А. Стеклова за полезные обсуждения и создание благоприятных условий для работы. Я особенно благодарен своему руководителю академику А.А.Славнову за постоянное научное руководство и поддержку во время моего обучения в аспирантуре и при написании работы. Также я хочу выразить благодарность профессору С.А.Фролову за многочисленные полезные обсуждения и сотрудничество, без которых представленная работа не могла бы быть выполнена. Кроме того, я хочу поблагодарить К.Л.Зарембо, П.П.Кулиша, И.Я.Арефьеву, Г.Э.Арутюнова, Р.Сузуки, О.Квинна, С.Ко-вача, Н.Берковица, А.К.Погребкова, С.Черкиса, Д.П.Сорокина за многочисленные полезные обсуждения различных вопросов, связанных с моим исследованием. Помимо этого, я благодарен своим оппонентам Ю.М.Макеенко и С.В.Троицкому за внимание к моей работе.

1. 0. Aharony, 0. Bergman, D. L. Jafferis and J. Maldacena, "N=6 superconformal Chern-Simons-matter theories, M2-branes and their gravity duals," JHEP 0810 (2008) 091 arXiv:0806.1218 [hep-th]].

2. O. Aharony, S. S. Gubser, J. M. Maldacena, H. Ooguri and Y. Oz, "Large N field theories, string theory and gravity," Phys. Rept. 323 (2000) 183 arXiv:hep-th/9905111].

3. C. Ahn and R. I. Nepomechie, "N=6 super Chern-Simons theory S-matrix and allloop Bethe ansatz equations," JHEP 0809 (2008) 010 arXiv:0807.1924].

4. L. F. Alday, G. Arutyunov and D. Bykov, "Semiclassical Quantization of Spinning Strings in AdS4 x CP3," JHEP 0811, 089 (2008) arXiv.080T.4400 [hep-th]].

5. L. F. Alday, G. Arutyunov and S. Frolov, "Green-Schwarz strings in TsT-transformed backgrounds," JHEP 0606 (2006) 018 arXiv:hep-th/0512253],

6. L. F. Alday and J. M. Maldacena, "Comments on operators with large spin," JHEP 0711 (2007) 019 arXiv:0708.0672 [hep-th]].

7. J. Ambjorn, R. A. Janik and C. Kristjansen, "Wrapping interactions and a new source of corrections to the spin-chain / string duality," Nucl. Phys. B 736 (2006) 288 arXiv:hep-th/0510171].

8. S. Ananth, S. Kovacs and H. Shimada, "Proof of all-order finiteness for planar beta-deformed Yang-Mills," JHEP 0701 (2007) 046 arXiv:hep-th/0609149].

9. Proof of ultra-violet finiteness for a planar non-supersymmetric Yang-Mills theory," Nucl. Phys. B 783 (2007) 227 arXiv:hep-th/0702020.

10. G. Arutyunov and S. Frolov, "Integrable Hamiltonian for classical strings on AdS5 x S5," J HEP 0502 (2005) 059, hep-th/0411089.

11. G. Arutyunov and S. Frolov, "Foundations of the AdS5 x 5s Superstring. Part I," J Phys. A 42, 254003 (2009) arXiv:0901.4937 [hep-th]].

12. G. Arutyunov and S. Frolov, "Superstrings on AdSA x CP3 as a Coset Sigma-model," JHEP 0809, 129 (2008) arXiv:0806.4940 [hep-th]].

13. G. Arutyunov and S. Frolov, "Thermodynamic Bethe Ansatz for the AdS5 x S5 Mirror Model," JHEP 0905 (2009) 068 arXiv:0903.0141 [hep-th]].

14. G. Arutyunov and S. Frolov, "The Dressing Factor and Crossing Equations," J. Phys A 42 (2009) 425401 arXiv:0904.4575 [hep-th]].

15. G. Arutyunov and S. Frolov, "Simplified TBA equations of the AdS5 x S5 mirror model," JHEP 0911 (2009) 019 arXiv:0907.2647 [hep-th]].

16. G. Arutyunov, S. Frolov, J. Plefka and M. Zamaklar, "The off-shell symmetry algebra of the light-cone AdS(5) x S5 superstring", J. Phys. A 40 (2007) 3583 arXiv:hep-th/0609157].

17. G. Arutyunov, S. Frolov, J. Russo and A. A. Tseytlin, "Spinning strings in AdS(5) x S**5 and integrable systems," Nucl. Phys. B 671 (2003) 3 arXiv:hep-th/0307191],

18. G. Arutyunov, S. Frolov and M. Staudacher, "Bethe ansatz for quantum strings " JHEP 0410, 016 (2004), hep-th/0406256.

19. G. Arutyunov, S. Frolov and R. Suzuki, "Exploring the mirror TBA," JHEP 1005 (2010) 031 arXiv:0911.2224 [hep-th]].

20. G. Arutyunov, S. Frolov and M. Zamaklar, "Finite-size effects from giant magnons " Nucl. Phys. B 778 (2007) 1 arXiv:hep-th/0606126].

21. G. Arutyunov. S. Frolov and M. Zamaklar, "The Zamolodchikov-Faddeev algebra for AdS(5) x S**5 superstring," JHEP 0704 (2007) 002 arXiv:hep-th/0612229],

22. G. Arutyunov, J. Russo and A. A. Tseytlin, "Spinning strings in AdS(5) x S**5: New integrable system relations," Phys. Rev. D 69 (2004) 086009 arXiv:hep-th/0311004]

23. J. A. de Azcarraga and J. Lukierski, "Supersymmetric Particles With Internal Symmetries And Central Charges," Phys. Lett. B 113 (1982) 170.

24. A. Babichenko, B. Stefanski and K. Zarembo, "Integrability and the AdS(3)/CFT(2) correspondence," arXiv:0912.1723 hep-th].

25. Z. Bajnok and R. A. Janik, "Four-loop perturbative Konishi from strings and finite size effects for multiparticle states," Nucl. Phys. B 807 (2009) 625 arXiv:0807.0399 [hep-th]].

26. N. Beisert, "The su(2|2) dynamic S-matrix," arXiv:hep-th/0511082.

27. N. Beisert, "The Analytic Bethe Ansatz for a Chain with Centrally Extended su(2|2) Symmetry", J. Stat. Mech. 0701 (2007) P017 arXiv:nlin/0610017],

28. N. Beisert, V. Dippel and M. Staudacher, "A novel long range spin chain and planar N = 4 super Yang-Mills," JHEP 0407 (2004) 075 arXiv:hep-th/0405001].

29. N. Beisert, B. Eden and M. Staudacher, "Transcendentality and crossing," J. Stat. Mech. 0701 (2007) P021 arXiv:hep-th/0610251].

30. N. Beisert, R. Hernandez and E. Lopez, "A crossing-symmetric phase for AdS(5) x S**5 strings," JHEP 0611 (2006) 070 arXiv:hep-th/0609044].

31. N. Beisert and R. Roiban, "Beauty and the twist: The Bethe ansatz for twisted N = 4 SYM," JHEP 0508 (2005) 039, hep-th/0505187.

32. N. Beisert and M. Staudacher, "Long-range PSU(2,2(4) Bethe ansaetze for gauge theory and strings," Nucl. Phys. B 727 (2005) 1 arXiv:hep-th/0504190],

33. I. Bena, J. Polchinski and R. Roiban, "Hidden symmetries of the AdS5 x S5 superstring," Phys. Rev. D 69 (2004) 046002, hep-th/0305116.

34. D. Berenstein, J. M. Maldacena and H. Nastase, "Strings in flat space and pp waves from N = 4 super Yang Mills," JHEP 0204 (2002) 013, hep-th/0202021.

35. D. Berenstein and S. A. Cherkis, "Deformations of N = 4 SYM and integrable spin chain models," Nucl. Phys. B 702, 49 (2004), hep-th/0405215.

36. E. Bergshoeff, E. Sezgin and P. K. Townsend, "Supermembranes and eleven-dimensional supergravity," Phys. Lett. B 189, 75 (1987).

37. N. P. Bobev and R. C. Rashkov, "Multispin giant magnons," Phys. Rev. D 74 (2006) 046011 arXiv:hep-th/0607018].

38. G. Bonelli, P. A. Grassi and H. Safaai, "Exploring Pure Spinor String Theory on AdS4 x CP3," JHEP 0810 (2008) 085 arXiv:0808.1051 [hep-th]].

39. D. Bykov, "Off-shell symmetry algebra of the AdS4 x CP3 superstring," arXiv:0904.0208 hep-th].

40. A. Cagnazzo, D. Sorokin and L. Wulff, "String instanton in AdS (A) x CP(3)," arXiv:0911.5228 hep-th].

41. B. Chen and J. B. Wu, "Semi-classical strings in AdSA x CP3," JHEP 0809 (2008) 096 arXiv:0807.0802 [hep-th]].

42. C. S. Chu, G. Georgiou and V. V. Khoze, "Magnons, classical strings and beta-deformations," JHEP 0611 (2006) 093 arXiv:hep-th/0606220].

43. M. J. Duff, P. S. Howe, T. Inami and K. S. Stelle, "Superstrings in D = 10 from supermembranes in D = 11," Phys. Lett. B 191, 70 (1987).

44. F. Fiamberti, A. Santambrogio, C. Sieg and D. Zanon, "Wrapping at four loops in N=4 SYM," Phys. Lett. B 666 (2008) 100 arXiv:0712.3522 [hep-th]].

45. L. Freyhult, A. Rej and M. Staudacher, "A Generalized Scaling Function for AdS/CFT," J. Stat. Mech. 0807 (2008) P07015 arXiv:0712.2743 [hep-th]].

46. S. Frolov, "Lax pair for strings in Lunin-Maldacena background," JHEP 0505 (2005) 069, hep-th/0503201.

47. S. Frolov, J. Plefka and M. Zamaklar, 'The AdS superstring in light-cone gauge and its Bethe equations," J. Phys. A 39 (2006) 13037, hep-th/0603008],

48. S. A. Frolov, R. Roiban and A. A. Tseytlin, "Gauge string duality for superconformal deformations of N = 4 super Yang-Mills theory," JHEP 0507 (2005) 045 arXiv:hep-th/0503192].

49. S. A. Frolov, R. Roiban and A. A. Tseytlin, "Gauge-string duality for (non)supersymmetric deformations of N = 4 super Yang-Mills theory," Nucl. Phys. B 731 (2005) 1 arXiv:hep-th/0507021].

50. S. Fiolov and R. Suzuki, "Temperature quantization from the TBA equations," Phys. Lett. B 679 (2009) 60 arXiv:0906.0499 [hep-th]].

51. S. Frolov, A. Tirziu and A. A. Tseytlin, "Logarithmic corrections to higher twist scaling at strong coupling from AdS/CFT," Nucl. Phys. B 766, 232 (2007) arXiv:hep-th/0611269].

52. S. Frolov and A. A. Tseytlin, "Semiclassical quantization of rotating superstring in AdS(5) x S(5)," JHEP 0206, 007 (2002) arXiv:hep-th/0204226].

53. S. Frolov and A. A. Tseytlin, "Multi-spin string solutions in AdS5 x S5," Nucl. Phys. B 668 (2003) 77, liep-th/0304255;

54. J. Gomis, D. Sorokin and L. Wulff, "The complete AdS(4) x CP(3) superspace for the type IIA superstring and D-branes," JHEP 0903, 015 (2009) arXiv:0811.1566 [hep-th]].

55. P. A. Grassi, D. Sorokin and L. Wulff, "Simplifying superstring and D-brane actions in AdS(4) x CP(3) superbackground," JHEP 0908, 060 (2009) arXiv:0903.5407 [hep-th]].

56. M. B. Green and J. H. Schwarz, "Covariant Description Of Super strings," Phys. Lett. B 136, 367 (1984).

57. M. B. Green, J. H. Schwarz and E. Witten, "SUPERSTRING THEORY. VOL. 1: INTRODUCTION", Cambridge, Uk: Univ. Pr. ( 1987) 469 P. ( Cambridge Monographs On Mathematical Physics)

58. G. Grignani, T. Harmark and M. Orselli, "The SU(2) x SU(2) sector in the string dual of N=6 superconformal Chern-Simons theory," Nucl. Phys. B 810 (2009) 115 arXiv:0806.4959 [hep-th]].

59. G. Grignani, T. Harmark, M. Oiselli and G. W. Semenoff, "Finite size Giant Magnons in the string dual of N=6 superconformal Chern-Simons theory," JHEP 0812 (2008) 008 arXiv:0807.0205 [hep-th.].

60. D. Astolfi, V. G. M. Puletti, G. Grignani, T. Harmark and M. Orselli, "Finite-size corrections in the SU(2) x SU(2) sector of type IIA string theory on AdS4 x CP3," Nucl. Phys. B 810 (2009) 150 arXiv:0807.1527 [hep-th.].

61. D. Astolfi, V. G. M. Puletti, G. Grignani, T. Harmark and M. Orselli, "Rill Lagrangian and Hamiltonian for quantum strings on AdS4 x CP3 in a near plane wave limit," arXiv:0912.2257 hep-th.

62. N. Gromov, "Generalized Scaling Function at Strong Coupling," JHEP 0811, 0852008) arXiv:0805.4615 [hep-th.].

63. N. Gromov, S. Schafer-Nameki and P. Vieira, "Quantum Wrapped Giant Magnon," arXiv:0801.3671 hep-th].

64. N. Gromov and P. Vieira, "The all loop AdS4/CFT3 Bethe ansatz", JHEP 09012009) 016 arXiv:0807.0777.

65. N. Gromov and P. Vieira, "The AdS4/CFT3 algebraic curve", JHEP 0902 (2009) 040 arXiv:0807.0437].

66. D. J. Gross and F. Wilczek, "Asymptotically free gauge theories. 2," Phys. Rev. D 9, 980 (1974).

67. S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, "Gauge theory correlators from non-critical string theory", Phys. Lett. B 428 (1998) 105 arXiv:hep-th/9802109].

68. S. S. Gubser, I. R. Klebanov and A. M. Polyakov, "A semi-classical limit of the gauge/string correspondence," Nucl. Phys. B 636, 99 (2002) arXiv:hep-th/0204051].

69. Y. Hatsuda and R. Suzuki, "Finite-Size Effects for Dyonic Giant Magnons," arXiv:0801.0747 hep-thl

70. M. P. Heller, R. A. Janik and T. Lukowski, "A new derivation of Luscher F-term and fluctuations around the giant magnon," arXiv:0801.4463 hep-th].

71. R. Hernandez and E. Lopez, "Quantum corrections to the string Bethe ansatz," JHEP 0607 (2006) 004 arXiv:hep-th/0603204],

72. D. M. Hofman and J. M. Maldacena, "Giant magnons", J. Phys. A 39 (2006) 13095 arXiv:hep-th/0604135].

73. G. 't Hooft, "A planar diagram theory for strong interactions," Nucl. Phys. B 72 (1974) 461.

74. G. T. Horowitz and A. Strominger, "Black strings and P-branes," Nucl. Phys. B 360 (1991) 197.

75. P. S. Howe and E. Sezgin, "The supermembrane revisited," Class. Quant. Grav. 22, 2167 (2005) arXiv:hep-th/0412245].

76. R. A. Janik and T. Lukowski, "Wrapping interactions at strong coupling the giant magnon," Phys. Rev. D 76 (2007) 126008 arXiv:0708.2208 [hep-th]].

77. V. G. Kac, "A Sketch Of Lie Superalgebra Theory," Commun. Math. Phys. 53, 31 (1977).

78. V. A. Kazakov, A. Marshakov, J. A. Minahan and K. Zarembo, "Classical / quantum integrability in AdS/CFT," JHEP 0405 (2004) 024 arXiv:hep-th/0402207].

79. T. Klose and T. McLoughlin, "Interacting finite-size magnons," arXiv:0803.2324 hep-th].

80. C. Krishnan, "AdS4/CFT3 at One Loop," JHEP 0809 (2008) 092 arXiv:0807.4561 [hep-th]].

81. R. G. Leigh and M. J. Strassler, "Exactly marginal operators and duality in four-dimensional N=1 supersymmetric gauge theory," Nucl. Phys. B 447, 95 (1995), hep-th/9503121.

82. O. Lunin and J. Maldacena, "Deforming field theories with U(l) x U(l) global symmetry and their gravity duals," JHEP 0505 (2005) 033, hep-th/0502086.

83. M. Liischer, "Volume Dependence Of The Energy Spectrum In Massive Quantum Field Theories. 1. Stable Particle States," Commun. Math. Phys. 104 (1986) 177.

84. J. M. Maldacena, "The large N limit of superconformal field theories and supergravity," Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 231 Int. J. Theor. Phys. 38 (1999) 1113] [arXiv:hep-th/9711200].

85. J. M. Maldacena, "Lectures on AdS/CFT," Prepared for Theoretical Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics (TASI 2002): Particle Physics and Cosmology: The Quest for Physics Beyond the Standard Model(s), Boulder, Colorado, 2-28 Jun 2002

86. T. Mateos, "Marginal deformation of N = 4 SYM and Penrose limits with continuum spectrum," JHEP 0508 (2005) 026, hep-th/0505243.

87. T. McLoughlin and R. Roiban, "Spinning strings at one-loop in AdS4 x P3," JHEP 0812, 101 (2008) arXiv:0807.3965 [hep-th]].

88. T. McLoughlin, R. Roiban and A. A. Tseytlin, "Quantum spinning strings in AdS4 x CP3: testing the Bethe Ansatz proposal", JHEP 0811 (2008) 069 arXiv:0809.4038].

89. R. de Mello Koch, J. Murugan, J. Smolic and M. Smolic, "Deformed PP-waves from the Lunin-Maldacena background," JHEP 0508 (2005) 072, liep-th/0505227.

90. R. R. Metsaev and A. A. Tseytlin, "Type IIB superstring action in AdS(5) x S(5) background," Nucl. Phys. B 533, 109 (1998) arXiv:hep-th/9805028[.

91. J. A. Minahan and O. Ohlsson Sax, "Finite size effects for giant magnons on physical strings," arXiv:0801.2064 hep-th].

92. J. A. Minahan and K. Zarembo, "The Bethe-ansatz for N = 4 super Yang-Mills," JHEP 0303, 013 (2003), hep-th/0212208.

93. J. A. Minahan and K. Zarembo, "The Bethe ansatz for superconformal Chern-Simons," JHEP 0809 (2008) 040 arXiv:0806.3951 [hep-th]].

94. D. Bak and S. J. Rey, "Integrable Spin Chain in Superconformal Chern-Simons Theory," JHEP 0810 (2008) 053 arXiv:0807.2063 [hep-th.].

95. J. A. Minahan, W. Schulgin and K. Zarembo, "Two loop integrability for Chern-Simons theories with N=6 supersymmetry," JHEP 0903 (2009) 057 arXiv:0901.1142 [hep-th]].

96. D. Bak, H. Min and S. J. Rey, "Generalized Dynamical Spin Chain and 4-Loop Integrability in N=6 Superconformal Chern-Simons Theory," Nucl. Phys. B 827 (2010) 381 arXiv:0904.4677 [hep-th.].

97. D. Bak, H. Min and S. J. Rey, "Integrability of N=6 Chern-Simons Theory at Six Loops and Beyond," arXiv:09il.0689 hep-th.

98. V. Niarchos and N. Prezas, "BMN operators for N = 1 superconformal Yang-Mills theories and associated string backgrounds," JHEP 0306, 015 (2003), hep-th/0212111.

99. T. Nishioka and T. Takayanagi, "On Type IIA Penrose Limit and N=6 Chern-Simons Theories," JHEP 0808 (2008) 001 arXiv:0806.3391],

100. R. Roiban, "On spin chains and field theories," JHEP 0409, 023 (2004), hep-th/0312218.

101. R. Roiban and A. A. Tseytlin, "Spinning superstrings at two loops: strong-coupling corrections to dimensions of large-twist SYM operators," Phys. Rev. D 77, 066006 (2008) arXiv:0712.2479 [hep-th]].

102. W. Siegel, "Hidden Local Supersyinmetry In The Supersymmetric Particle Action," Phys. Lett. B 128, 397 (1983).

103. D. P. Sorokin. V. I. Tkach and D. V. Volkov, "Kaluza-Klein Theories And Spontaneous Compactification Mechanisms Of Extra Space Dimensions," In *Moscow 1984, Proceedings, Quantum Gravity*, 376-392

104. D. P. Sorokin, V. I. Tkach and D. V. Volkov, "On The Relationship Between Compactified Vacua Of D = 11 And D = 10 Supergravities," Phys. Lett. B 161 (1985) 301.

105. B. E. W. Nilsson and C. N. Pope, "Hopf Fibration Of Eleven-Dimensional Supergravity," Class. Quant. Grav. 1, 499 (1984).

106. M. Staudacher, 'The factorized S-matrix of CFT/AdS," JHEP 0505 (2005) 054 arXiv:hep-th/0412188].

107. P. Sundin, "The AdSA x CP3 string and its Bethe equations in the near plane wave limit," JHEP 0902, 046 (2009) arXiv:0811.2775 [hep-th]].

108. P. Sundin, "On the worldsheet theory of the type IIA AdS\ x CP3 superstring," arXiv:0909.0697 hep-th.

109. D. V. Uvarov, uAdS4 х CP3 superstring in the light-cone gauge", Nucí. Phys. В 826 (2010) 294 arXiv:0906.4699 [hep-th]].

110. D. V. Uvarov, "Light-cone gauge Hamiltonian for AdS4 x CP3 superstring", arXiv:0912.1044 hep-th.,

111. P. Di Vecchia and S. Ferrara, "Classical Solutions In Two-Dimensional Supersymmetric Field Theories," Nucl. Phys. В 130 (1977) 93.

112. S. Weinberg, "The quantum theory of fields. Vol. 3: Supersymmetry," Cambridge, UK: Univ. Pr. (2000) 419 p

113. B. de Wit and D. Z. Freedman, "On Combined Supersymmetric And Gauge Invariant Field Theories", Phys. Rev. D 12 (1975) 2286.

114. E. Witten, "Anti-de Sitter space and holography", Adv. Theor. Math. Phys. 2 (1998) 253 arXiv:hep-th/9802150].

115. E. Witten, "A Supersymmetric Form Of The Nonlinear Sigma Model In Tvvo-Dimensions," Phys. Rev. D 16 (1977) 2991. ■

116. A. B. Zamolodchikov, "Thermodynamic bethe ansatz in relativistic models. Scaling three state Potts and Lee-Yang models," Nucl. Phys. В 342, 695 (1990).

117. A. B. Zamolodchikov, "Thermodynamic Bethe ansatz for RSOS scattering theories," Nucl. Phys. В 358, 497 (1991).

118. К. Zarembo, "Worldsheet spectrum in AdS(4)/CFT(3) correspondence", arXiv:0903.1747.

119. K. Zarembo, "Strings on Semisymmetric Superspaces," JHEP 1005 (2010) 002 arXiv:1003.0465 [hep-th]].

120. B. Zumino, "Supersymmetry And Kahler Manifolds," Phys. Lett. В 87 (1979) 203.