Интегрируемые системы в дискретномпространстве-времени и неоднородные модели двумерной статистической физики тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Российская Академия Наук Математический институт им. В.Л. Стсклопа Санкт-Петербургское отделение

РГ5 ^д На правах рукописи

- НОЯ 1995

Корепанов Игорь Германович

Интегрируемые системы р. дискретном пространстве-времени и неоднородные модели двумерной статистической'физики

01.01.03 — математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербур г 1995

Работа выполнена в Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор М.А. Семепов-Тян-Шапский, доктор физико-математических наук, профессор М.А. Салль,

доктор физико-математических наук, профессор В.В. Соколов.

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита состоится " " - 1995 г. в __ча-

сов иа заседании специализированного совета Д.002.38.04 при Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук (Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, 27)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения- Математического института им. В. А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан "_" ■ ■■• • " ■• ■ ■ ; 1995 г.

Ученый секретарь Специализированного совета доктор физ.-матем. профессор 1 А. П. Осколков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Диссертация посвящена построению']! исследованию точно решаемых (интегрируемых) динамических систем в дискретном времени, получаемых in некоторых алгебраических действии над матрицами, редукциям этих систем, приводящим к моделям теории поля в 2+1-мерном' полностью дискретном пространстве-времени, и связи этих редукций с точно решаемыми моделями двумерной статистической физики. Актуальность исследования точно'решаемых динамических «гнетем с точки зрения теоретической физики определяется возможностью получения подробной информации об их поведении, что делает эти системы ионными моделями, отражающими различные аспекты поведения реальных систем. При этом системы в дискретном пространстве-времени, будучи при периодических или квазипериодических граничных условиях конечномерными, часто могут быть полностью исследованы чисто алгебраически, без рассмотрения сложных попросив. связанных с непрерывными бесконечномерными моделями. Известно также, что дискретные версии интегрируемых моделей как в классическом, так и в квантовом случае, отличаются простотой и изяществом1.

С математической точки зрения, актуальность интегрируемых систем в дискретном времени видится в их прямой связи с алгебраической геометрией, более простой п непосредственной, чем у моделей с непрерывным временем. Кроме того, при исследовании самих непрерывных интегрируемых систем выясняются их многосторонние связи с дискретными системами. Так, непрерывные системы-обычно обладают богатым набором автопреобразований, и такое преобразование часто можно мыслить ках переход на единицу некоторого дискретного измерения2.

Динамические системы в дискретных измерениях, изучаемые в диссертации, тесно связаны с интегрируемыми моделями двумерной статистической физики: моделью димеров. шестивершинной моделью (случай "свободных фермиовов") и моделью Изинга. Эти

'i.D. Faddeev and A.Yu. Volkov, Hirota equation asan example of integrable symplectic шар, Preprint HEP-TH/9405087. To appear in Lett. Math. Phys.

'A.B. Shabat, Inverse Problems в(1992), 303-3Q8.

модели валены для теоретической фишки, так как можно получить детальную информацию об их термодинамических характеристиках — .свободной энергии, корреляционных функциях критических индексах ц другую. Такая информация известна для пространственно однородных моделей. Актуальным для теоретической физики проблемой является исследование пространственно неоднородных моделей, в частности^ получение формул для удельной свободной энергии в случае неоднородности квазипериодического хар;1к-тера, чему посвящен один из разделов диссертации.

Наконец, актуальность исследования классических интегрируемых систем в 2+1-мерном полностью дискретном пространстве-времени определяется еще ц тем, что эти системы являются классическими аналогами 2+1-мерных квантовополевых систем, связанных с уравнением тетраэдров, изучение которых является естественным, но трудным следующим шагом после изучения 1+1-мерных систем.

Исходя из сказанного, сформулируем цели настоящей работы.

Целв работы.

1. Построение и алгебро-геометрическое исследование интегрируемых систем в дискретном времени, порожденных преобразованиями блочных матриц.

2. Построение редукций алгебраических динамических систем к моделям классической теории поля в 2+1 дискретных измерениям.

3. Демонстрация связей указанных моделей классической теории поля с моделями двумерной статистической физики.

4. Вывод формулы для термодинамического предела удельной свободной энергии при специальных граничных условиях для ше-стивершиннод модели "свободных фермпонов" на решетке кагоме с неоднородностями "конечнозонного" тппа.

Научная новизна, в Впервые установлена полная интегрируемость алгебраической динамической системы, порожденной поочередным применением к блочной матрице действий взятия обратной матрицы и "блочного транспонирования".

• Впервые установлена полная интегрируемость алгебраической динамической системы. порожденной факторизацией линейного

оператора, действую!! его в П1>ямой сумме Т1)ех линейных про-< транств, и произведение трех операторов, каждый из которых нетривиально действует только в прямой сумме двух из них, и пос ледующей заменой порядка множителей на обратный.

в Впервые показано, что каждая из двух упомянутых систем допускает редукцию к точно решаемой теории классического поля и 2+1 дискретных измерениях. Редукция первой из этих систем приводит новым путем к известной 2+1-мерной дискретной версии цепочки Тода. Редукц::я второй системы приводит к новой теоретико-полеппй модели, впервые построенной и исследованной автором.

в Впервые обнаружена связь между точно решаемыми моделями классической теории поля в дискретном 2+1-мерном пространстве-времени и моделями двумерной статистической физики, заключающаяся в том, что сохраняющиеся теоретпко-полевые величины есть значения статсуммы неоднородных статфизических моделей при всех значениях двух "спектральных'1 параметров.

в Впервые получена формула для статистической суммы интегрируемых двумерных моделей с неоднородностями "конечнозон-ного" типа. •

Научная значимость. Значение настоящей работы состоит в том, что в ней предложено новое перспективное направление исследовании, основанйое на открытых автором связях между алгебраическими динамическими системами, точно решаемыми моделями классической теории поля, в 2+1 дискретных измерениях, п точно решаемыми моделями двумерной статистической физики, п сделаны первые шаги в этом направлении. Это направление открывает возможность прямого и полного решения задачи Копт для упомянутых моделей теории поля, что после предельного перехода может представлять интерес и для непрерывных моделей. Кроме того, полученные результаты позволяют изучать статистическую физику двумерных моделей с неоднородностями конечнозонного, а в вырожденных случаях — солптонного типа.

Апробация работы. Материалы диссертации доложены и обсуждены на рабочем совещании по геометрическим методам в математической физике на семестре, ^освященном Н.Н. Лобачев-

- о -

скому, и Международном математическом институте имени Эйлера (С.-Петербург, 1992); на семинаре "Интегрируемые системы" в ИнститутеМатематика Башкирского научного центра УНЦ РАН (Уфа, 1994); на Международной конференции по математической физике (Челябинск 1995).

Структура диссертации. Диссертация состоит из Введения и 19 разделов, объединенных в 3 главы. Объем диссертации 161 страница. Библиография содержит 90 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Динамическая система, спязанная с моделью димеров

Первая глава диссертации начинается определением следующей

динамической системы в дискретном времени. Пусть

А В

— блочная матрица, А,..., И — матршгы п х п, составленные из комплексных чисел. Определим бир цнональное отображение / на множестве таких матриц как последовательное применение взятия обратной матрицы и блочного транспонирования:

/(£>) ~ (£~1У,

где

Введем в рассмотрение дискретное время г, принимающее целочисленные значения, и пусть Ь зависит от г следующим образом:

¿(г+1)»/(ад). (1)

Оказывается, динамика (1) сохраняет вакуумную кривую Г оператора Ь, два эквивалентных определения которой таковы.

Определение 1. Рассмотрим соотношение.

Ци®Х) = У®¥, -• (2)

где

40- 40

— двумерные векторы, а X и V — п-мерные векторы. Для матрицы Ь общего положения ненулевые решения (Л/, V, А", К) соотношения (2) параметризуются, с точностью до умножения А' я У на скалярный множитель, точками алгебраической кривой Г роди д = (п - I)2, заданной уравнением вида Р(и, г;) = 0, где Р(и,у) ¡шест степень п по каждой переменной. Кривая Г называется вакуумной кривой оператора Ь.

Определение 2. Вакуумной кривой оператора Ь называется кривая Г п С2, заданная уравнением

Р(и, у) = асЦУ-ЧСГ) = <1с1(иА + В - ииС - и£>) = О, где Vх = (1,-«).

Строго говоря, вакуумная кривая сохраняется при изменении г на четное число единиц и претерпевает простое преобразование при изменении г на нечетное число. Матрица Ь с точностью до калибровочной эквивалентности

определяется кривой Г. и классом липейной эквивалентности дивизора полюсов вакуумных векторов X на этой кривой. Множество таких классов эквивалентности изоморфно комплексному тору — якобиану кривой Г. Динамика (1) на якобиане линеаризуется, т.е. применение преобразования / соответствует постоянному сдвигу на торе. .

Коэффициенты уравнения вакуумной кривой определены с точностью до общего числового множителя. Их можно нормировать равенством свободного члена единице. Получаются коэффициенты полинома

Щг+иАВ'1 - — тСВ~1). • (3)

Определитель (3) является интегралом движения при любых и, V.

— Б -

Описанная динамическая система допускает интересную редукцию, т.е. специальный выбор матриц Л, согласованный с эволюцией. Для ее описания удобно считать А,..., И линейными операторами, действующими из линейного пространства Н\ в изоморфное ему пространство (базисы фиксированы). Тогда в следующий момент времени Л,..., £> действуют, наоборот, из Н2 в "Н.1 ет.д. .

Пусть каждое пз пространств Н\, Кг есть прямая сумма 1т/2 одинаковых подпространств размерности (1, где /, т — четные числа. Эти подпространства мы будем представлять себе находящимися в вершинах квадратной решетки на торе размера I х т и расположенными в шахматном порядке. На рисунке 1 иезаштри-хованные кружки соответствуют подпространствам пространства И\, заштрихованные — подпространствам Иг.

♦ Ч

€

Ряс. 1.

Пусть теперь операторы А,... ,£) устроены таким образом, что образ каждого из рассматриваемых ¿-мерных подпространств пространства Н\ относительно, скажем, оператора А лежит в том же ¿-мерном подпространстве Нъ, на которое указывает выходящая из первого из этих подпространств стрелка с надписью ".-Г (рис. 1). и

т.п. Таким образом, каждому ребру решетки соответствует d х d-магрица. являющаяся блоком одной in "больших" матриц A,...,D. Иногда мы будем несколько вольно обозначать такие блоки темп же буквами Л_____, D.

Заштрихуем в шахматном порядке половину каас)ратоо решетки. как на рис. 1. Нетрудно проверить, что эволюция системы устоена следующим образом. На первом шаге каждая из 4-х с/ х (/-матриц, соответствующих стрелкам, окружающим каждый заштрихованный квадрат, переходит в матрицу, выражающуюся только через указанные 4 матрицы. Заштрихованные квадраты будем в этой связи называть "активными".

После такого шага направления всех стрелок меняются, и на следующем шаге "работают" (становятся активными) незаштри-хованныо квадраты. Таким образом, эволюция имеет "гиперболический"" характер: любое локальное возмущение распостраняется за шаг эволюции только па соседние ребра решетки.

Примем теперь размерность d пространства в каждом узле решетки равной единице. Каждая пз "маленьких" матриц А, В, С. D, соответствующих ребрам решетки, будет тогда просто числом а, 6. с пли d (своим для каждого ребра решетки). Непосредственное вычисление показывает, что в этой ситуации определитель (3) представляется в виде суммы по наборам замхнутых непересекающихся путей, идущих по стрелкам следующей диаграммы (рис. 2). Точнее говоря, вначале каждому замкнутому пути ставится в соответствие произведение весов ua.—uvc^—vd^b-1 вдоль него. Чтобы получить правильные знаки слагаемых, входящих в определитель, следует каждому пути с четным числом сомножителей Ь~1 дополнительно сопоставить множитель—1.

Оказывается возможным связать определитель (3) со статсум-мой хорошо известной плоской модели димеров3. Поставим в соответствие каждой конфигурации путей, идущих по .стрелкам, конфи-гурапию димеров следующим образом. Отсутствию путей поставим в соответствие "стандартную" конфигурацию димеров, когда

3Э. Монтролл, Лекция по иапеля Изввгз.. В кв.: Ф. Дайсоа, Э. Мовтроял, М. Каи;. .М. Фишер, Устойчивость и фазовые переходи. М.: Map, 1973.

- Ю -

k-l

па

— uve

-vd

un_

— uve -vd

k-1

r

na

-cd

1,-1

<У

—uve -vd

-vrr

' - Рис. 2. .

димеры находятся находятся на ребрах, соответствующих операторам В (рпс. 3). Для непустой конфигурации путей изменим на всем протяжении каждого пути стандартную конфигурацию, заменяя занятое димером ребро на свободное и наоборот. Получается , биективное соответствие между конфигурациями путей и днмеров.

Димерам на ребрах, соответствующих операторам В, сопоставим веса —Ь, димерам на ребрах, соответствующих операторам v4,C, D, сопоставим веса соответственно «a, —vd. —uve. Подчеркнем, что речь идет, конечно, о неоднородной модели днмеров, tjí. веса a,b,c,d разные для разных ребер решетки. Определитель (3) и статсумма модели димеров, умноженная на Ппо всем t-pc6pau(~^~l) состоят, как можно проверить, из одинаковых слагаемых, но некоторые из них входят с разными знаками. В тексте диссертации проводятся явные формулы, связывающие их.

Вместо можно ввести новые переменные П, которые

можно назвать "физическими'" в том смысле, что П не меняется при (общих) калибровочных преобразованиях. "Уравнение движения" для П оказывается 2+1-мерным вариантом цепочки Тоды в дискретном времени. Замечательным и заранее не очевидным свойством этого уравнения является полное равноправие трех координат: пространственных г) и временной т.

Сопоставим каждому квадрату решетки число П— "мульти-

1К1

I

• I

—о-

Т~г

Рис. 3

пликативную циркуляцию , составленную как произведение чисел а,Ь,с,4 на ребрах, ограничивающих эту клетку, или обратных к ним, следующим образом: совершаем обход вокруг квадрата против часовой стрелки и берем число на каждом ребре в первой пли минус первой степени в зависимости от того, направлено ли это ребро по или против обхода.

После шага эволюции активные квадраты становятся неактивными и наоборот. Таким образом, при надлежащем выборе начала отсчета целочисленного времени г активные квадраты имеют, скажем, нечетную сумму £ + 7 + г трех своих координат. Оказывается, неактивные квадраты можно совсем исключить из уравнения движения. Получается следующее уравнение, содержащее только циркуляции вокруг активных квадратов:

Здесь "дискретные псевдолапласианы"ДП{ и Д,^, действующие на функции F на кубической решетке, введены формулами типа

(Д^Г) (£, т), г) = г), тV 1) + V, г + 1)-

Рассмотрим теперь эволюцию обшей динамической системы {Ь~х)1 с другой точки зрения. Обозначим

(Ь

Можно проверить, что тогда следующее равенство выполняется при (почти) любом комплексном и:

- (А - иВ)~х(С - иЬ) = (иА + В)(иС + ЯГ1. (4)

Обратно, можно из (4) вывести, что матрица ¿находится в том же классе калибровочной эквивалентности, что и (£"')'.

Напрашивается следующее обобщение формулы (4). Пусть теперь А(ь) и В (и) — матрицы, зависящие от и полиномиально:

Л(и) = Ао + Аги + ... + Лт4м"м,

В{и) = Во + В+и +... + Вт„ига".

Будем искать матрицы Л(и). 5(и), являющиеся полиномами тех же степенен т.\ и тц по н, для которых при любом и выполнено равенство

ВД-'/Ци) = А(и)В(и)-1. (о)

Как объясняется в тексте диссертации, соотношение (5) задает дискретный аналог Ъ, А-пары Лакса.

Уравнение, определяющее собственные значения и обоих частей равенства (5) при данном и, есть

Р{и, V) = с1«*(Л(и) - ьВ(и)) = 0.

Оно определяет алгебраическую кривую Г "^обобщенную вакуумную кривую''.

В диссертации показано, что сдвигу на единицу времени соответствует постоянный сдвиг на якобиане кривой Г, т.е. динамика рассматриваемой системы, как и раньше, линеаризуется.

Динамическая система, связанная с перестановкой трех матриц

Во второй главе рассматривается еще одна динамическая система, порождаемая рациональным преобразованием матриц. Пусть

( А В С \

О Г С Н 3 к

(б)

блочная матрица, действуют;« в линейном пространстве комплексных векторов-столбцов .размерности т'+п + тутак что, к примеру, .1, /•' и К есть квадратные матрицы размеров т х гп, п х ?>. г х г соответственно. Разложим матрицу А в произведение следующего пила:

А — Л} Л? Аз,

(7)

где

■А, =

■41 -Вх С, о1 0 0

Аз

0\ О 1,

/1

л2. о в-. \ -4г=} о 1 о с2 о и2

о

о Лз О.Сз

О \

В, Оу)

(8)

Жирными цифрами 0 и 1 обозначены нулевые и единичные матрицы нужных размеров.

Построим теперь новую матрицу В следующим образом:

В = Л>/М,. (9)

Матрица В определена с точностью до преобразований вида

( МГ1 0 0 '

В

М\ 0 0 О М-г О О О М3

В

\

О О

о

о

Мз1

(10)

Такие преобразования в применении к рассматриваемым здесь блочным матрицам будем называть калибровочными. Имеет место следующее простое наблюдение: если подвергнуть калибровочному преобразованию саму матрицу А, то это никак не скажется на множестве матриц В, получаемых по формуле (9).

Определим следующим образом динамическую систему, связанную с преобразованием А —* В. "Фазовым пространством" будет множество М блочных матриц вида (6), рассматриваемых с точностью до калибровочных преобразований (10). Из предыдущего видно, что определено преобразование / множества М., являющееся бираштональным отображением, сопоставляющее матрице А, разлагающейся в произведение (7). матрицу В, разлагающуюся в

произведение (9). Будем считать, что преобразование / соответствует переходу на единицу "дискретного времени" т.

Аналогом вакуумной кривой для рассматриваемой системы является инвариантная алгебраическая кривая матрицы.А.

Определение 3. Инвариантной кривой Г.оператора А видя (6) называется алгебраическая кривая-п пространстве СРХ х С/7' х С/71, т.е. в пространстве трех комплексных переменных и, V, т. каждая из которых может принимать значение со, определяемая равенствами

( О О

с1с»<.А- О 1>1„ О ) = 0, (11)

\ О О и>1г

■,■.■■■ ' V — Пи). ■ ■

Равенство (11), очевидно, означает существование такого нену-

' X

левого вектора-столбца X —

размерностей т,п и г, что

У 2

(X) /

А У 1гг

Ш

, где X, К, Z:~~ векторы-столбцы

(12)

Векторы X образуют одномерное голоморфное расслоение над Г.

Инвариантная кривая оправдывает свое название: она не меняется под действием эволюции. Кроме того, в алгебро-геометричеекпх терминах эволюция описывается как линейное по дискретному времени изменение класса линейной эквивалентности расслоения векторов X.

Интересной редукцией рассматриваемой динамической системы является ее ограничение на ортогональные или симплектические матрицы Л. При этом инвариантная кривая Г матрицы А обладает инволюцией

I: (и,г,ьв)<—> («~1,1;~,,ц!"1),

а сумма дивизора ТУ расслоения векторов X н его образа V' при инволюции /■ эквивалентна фиксированному дивизору на Г, выражающемуся через канонически!! дивизор этой кривой, а также нули и полюса функций «.г,«.'.

Неоднородная шестяверштшая модель

В третьей главе изучается редукция системы, связанной с разложением матрицы в произведение трех сомножителей, к динамической системе в 2+1-мерной полностью дискретном пространстве-времеш!. Пусть линейное пространство, в котором действует матрица А вида (6). имеет базис, пронумерованный ребрами треугольной решетки на торе (рис. 4), причем из компонент вектора

Рпс. 4 г

X -

вектор X образуют компоненты, соответствующие го-

ризонтальным ребрам, вектор У — соответствующие наклонным, а вектор Z — вертикальным ребрам. Наложим на матрицу А следующее условие "локальности": пусть вектор, соответствующий любому данному ребру решеткп, переводится под действие.^ А обязательно в линейную комбинацию трех векторов, соответствующих

ребрам, идущим направо, вверх и на северо-восток от вершины, являющейся правым, верхним или северо-восточным концом рассматриваемого "входного" ребра (рис. 5). •

"входные

"выходные" ребра

Рис. 5

Разложение "локальной4 матрицы А в 'Произведение (7) соответствуют тому, что каждая вершина, изображенная кружком на рис. 4, превращается в треугольник, так что решетка превращается в решетку кагомс (рис. С). Треугольники, в которые преврати-

Рис. 6.

лись вершины-кружки, на рисунке 6 заштрихованы. Определитель

1(и, ги) = <1е1

1-А

1-й-1-О О

О О

О О

,„-1

л

(13)

является интегралом движения при любых и, и\ так как равенство /(«, у;) — О определяет инвариантную кривую, а возможная мультипликативная константа фиксирована равенством свободного члена в (13) единице. Этот определитель оказывается связан со стат-суммой неоднородной шестивсршинной модели, удовлетворяющей

\

условию "свободных ферпионоа на.решетке кагдме, вполне аналогично-тому как вакуумная кривая модели Ь -+ (£,"•')' была связана со сТатсуммой модели димеров.

Выше подразумевалось, что решетка кагоме находится на торе, т.е., в частности, конечна. Эволюция была в действительности "локальной", т.е. на веса в данной точке, в момент в])еМени г влияли только веса в нескольких соседних точках в момент т — 1. Естественна идея описывать эту эволюцию в локальных терминах, причем такое "локальное" описание должно быть пригодно и для бесконечной по обоим пространственным измерениям решетки.

Для перехода к "локальному" ;глгебро-геометрическому описанию эволюции рассмотрим сначала следующую абстрактную эволюцию дивизоров на бесконечной по обоим, пространственным измерениям решетке, понимая пока под словом "дивизоры" просто элементы некоторой абелевой группы 0. Пусть в этой группе фиксированы шесть элементов VI,...,2?в.

Пусть к началу шага эволюция дивизоров каждому ребру треугольной решетки рисунка 4 сопоставлен дивизор, причем выполнено следующее условие: для каждой вершины решетки (кружка па рис. 4) можно указать такой элемент V € {?, что дивизоры, сопоставленные ребрам, примыкающим к этой вершине, таковы, как показало на рис. 7.

Рис. 7.

Таким образом, V линейно зависит от координат вершины, возрастая на Т>1+Т>2 ~Т>4при переходе вправо на период решетки

и па Р.) + 2>4 — Х>5 — Т>ч — при переходе спор::..

Начинается ш;и эволюции дншпороп с того, что каждый кружок разлагается в треугольник вида, изображенного на рис. 8, где

Рис. 8.

цифры около каждого ребра служат кратким обозначением сопоставленного ему дивизора, например, "12'1 обозначает V -Т>\-Т>2 и т.п. Таким образом пз треугольной решетки получается решетка кагомс, после чего в этой получившейся решетке мы "схлопыва-

ем уже треугольники впда

Ж

в кружки — вершины иовои

/

треугольной решетка. На этом шаг эволюций днвпзоров закончен.

Пусть теперь задала алгебраическая кривая Го рода <70, а Мелева группа б является группой всех дивизоров на Г0. Пусть Т>\,..., Х>б дивизоры на Го, -состоящие каждый пз одной точки. Дивизоры Х>, сопоставленные вершинам треугольной решетки (рис. 7), пусть будут степени <7о + 2. Еслп все эти аягебро-геометрические объекты находятся в общем положении, то теорема Римана - Роха показывает, что каждому ребру решетки треугольной (рис. 7) апи кагоме (рис. 8) соответствует одномерное пространство мероморфных функций / таких, что ,

(/) + 2>-Р,-1>*<0, (н)

если дивизор V — V) - Т>к сопоставлен данному ребру.

Матрицы, соответствующие вершинам наших двух решеток, строятся так. Фиксируем для каждых данных 3 и к ненулевую

функцию '/, удовлетворяющую (1-1), и обозначим се /д.. Тогда, скажем, матрица .Дь^, соответствующая вершине на рис. 7, определяется из соотношения

Леса! Аз — /г.О < / . ■ ('5}

\/з»/ Д /52 / ' которое должно выполняться в каждой точке кривой Го.

Эволюция матриц при "локальном" описании порождается вышеописанной эволюцией дивизоров с помощью формул тина (15).

Коль скоро мы начали рассматривать неоднородную шсстивер-шннную модель на бесконечной решетке, больпмановекпе веса которой строятся по алгебраической кривой небольшого рода и Некоторым дивизорам на ней и зависят от координат квазиперио-дично, естественно поставить вопрос о термодинамическом пределе удельной свободной энергии, т.е. пределе отношения логарифма статистической суммы к площади решетки.

Оказывается, при некоторых технических ограничениях существует изящное интегральное представление для вещественной части предела отношения логарифма детерминанта (13) к площади решетки при стремлении обоих "'измерений решетки к бесконечности. С физической точки зрения важно, что этот детерминант может рассматриваться как статсумма при некоторых граничных условиях. Ключевую роль в формуле для указанного предела приведенной, в диссертации, играют мероморфные дифференциалы третьего рода на кривой Го, все периоды которых чисто мнимы.

Известно, что преобразование "звезда - треугольник" Онзагера, которое можно графически изобразить в виде

А Д, (16)

переводит статфнзическую модель Изшгга на плоской шестиугольной решетке в модель Изинга па треугольной решетке. Если полученную треугольную решетку представить состоящей из треугольников вида и применить к ним преобразование треугольник -звезда

V - Г, (17)

придем снопа к шестиугольной решетке. Для неоднородной .модели Изннга поочередное применение преобразований (16) и (17) приводит к некоторой эволюции коэффициентов взаимодействия на чередующихся шестиугольной и треугольной решетках. 13 заключительном разделе диссертации эта эволюция сводится к уже изученной эволюции ортогональных матриц в узлах треугольной решетки.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] I.G. Korepanov, A Dynamical system connected with ¡¡¡homogeneous 6'- vertex model, Записки научных семинаров ПОМИ 215 (1994), 178-196.

[2] й.Г. Корепанои. Динамическая система, связанная с неоднородной шгетивершшшой моделью. II. Эволюция ортогональных и симплгктичсскнх матриц, Загшски научных семинаров ПОМИ, 224 (1995), 225-239.

[3] I.G. Korepanov, Vacuum Curves, Classical hitegrable Systems in Discrete Space-Time and Statistical Physics, Proceedings of the Lobachevsky International Workshop in 1992 at EIMI, 'Vorld Scientific, 1995; also preprint liep-tb/9312197.

[4] И.Г. Корепано Точно решаемая динамическая система с 2+1 дискретными измерениями. Челябинск, 1993. 8с. Деп. в ВИНИТИ No. 263-В93.

[5] И.Г. Корепанов, Метод вакуумных векторов в теории уравнения Янга- Бакстсра. В кн.: Прикладные задачи математического анализа. Челябинск: ЧПй, 1986. 39-48.

{6] I.G. Korepanov, TefcraheÜraJ Zamolbdchikov algebra and the two-layer flat mode! in statistical mechanics, Mod. Phys. Let. В 3:3 (1989), 201-206.

[7] I.G. Korcpanov, Tctmhcdrnl Znmoiodchiknv ulgohras corresponding to Baxter's L-opcrators. Commun. Math. Phys. 154 (1993), 85-97.

[S] И.Г. Корепаноп. Вакуумные кривые C-oncpiTopoa, еояншаых с шсстнпершшшой моделью, Алгебра и анализ, 6:2 (1994), 17С 194.

[9| И.Г. Корспапои, Скрытые симметрии а шсстпаершпнпои мо-jiemi статистической физики, Записки научных семинаров ПО-МИ, 215 (1994), 163 177.

* И.Г. Кбрепанов

Издательство Челябинского государственного технического университета

ЛР 020364 от 20.01.92, Подписано в печать 16.10.95, Формат 60x64 1/16. Печать офсетная. Усл.печ. л. 1,16,Уч.-изд. л.0,95. Тираж 100 экз. Заказ 294/442.

У0Л издательства. 454080, г.Челябинск, пр. им.В.й.Ленина, 76.