Интерполяционные методы и интегральные неравенства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. АЛЬ-ФАРАБИ

Г8 ОД РГб ОД

, ./-• о '1 п 'псс;

на правах рукописи УДК 517.5

Сайдахметов Куанышбек

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

01.01.01. — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ад маты — 1996 г.

Работа выполнена в Институте Прикладной Математики Министерства Образования и Национальной Академии Наук Республики Казахстан.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент Е.Д.Нурсултанов

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук Р.О.Ойнаров кандидат физико-математиче ских наук, доцент Б.Е.Кангужин

Ведущая организация: Воронежский Государственный

Университет

Защита диссертации состоится Ж ' _в

_часов на заседании специализированного Совета К 14/А.01.05

при Казахском Национальном Государственном Университете им. Аль-Фараби на механико-математическом факультете: 480012, г.Алматы, ул.Масанчи 39/47.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь специализированного совета К 14/А.01.05 при КаиГУ, кандидат физико-математических (К,

наук, доцент у^СЬ1^ Б.М.Кадыкенов

Актуальность темы. Теория интегральных операторов имеет многочисленные применения в самых различных областях математики и механики. Наибольшее ее приложения в теории интегральных и дифференциальных уравнении. Результаты этой теории используются также в различных областях анализа и теории функции. Укажем, например на результаты С.Л.Соболева об интегральных операторах типа потенциала, послужившего основой для разработанной С. Л .Соболевым теории вложении пространств дифференцируемых функции многих переменных. Большой интерес теория интегральных операторов представляет для функционального анализа. Как отмечают в своей монографии1 П.Халмош и В.Сандер, "Теория интегральных операторов является источником всего современного функционального анализа и остается по настоящее время богатым источником нетривиальных примеров. Так как главным препятствием к прогрессу во многих областях теории операторов является недостаток конкретных примероа, чьи свойства могут быть точно определены, систематическая теория интегральных операторов дает новую надежду для новых открытии".

Исследование общих интегральных операторов, т.е. интегральных операторов с произвольными измеримыми по совокупности переменных ядрами, было начато в 1922 году в диссертации С.Банаха. До середины 60-х годов изучались интегральные операторы с ядрами, удовлетворяющими тем или иным метрическим условиям. Важный вклад в развитие теории ограниченных интегральных операторов на этом этапе сделан в известных работах Э.Хилле, Дж. Неймана, С.Л.Соболева, Л.В.Канторовича, Г.П.Акилова, М.А.Красносельского, П.П.Забрейко и других авторов. В 70-е годы в основном изучались характеристические свойства общих интегральных операторов и теория линейных неограниченных интегральных операторов. В этом направлении можно отметить работы В.Б.Коротхова2. В 80-е годы теория интегральных операторов свертки развивалась в работах В.Б.Корогкова и В .Д. Степанова. В последние годы теория ограниченных интегральных операторов в пространствах Лебега нашла продолжение в работах М.О.Отелбаева, В.Д.Степапова, Т.К.Нурекенова, Р.Ойнарова и др. Также в работах

1Хая«оз1 П., Сандер В, Ограниченные интегральные операторы в пространствах Ьу. // М.:

Наука, 1985.

3Коротков В.В. Интегральные операторы. // Новосибирск: П&ук&, 1983.

Ойнарова Р. исследовались мультипликативные неравенства для интегральных операторов. Одним из способов исследования линейных отображении является интерполяционные методы. Отметим, что с помощью интерполяционных методов были получены наиболее тонкие результаты оценочного характера такие как теоремы Марцинкевича, Михлина о мультипликаторах3, результаты Макенхаупта о весовых неравенствах Харди4, результаты Сгейна, Кокилашвили о сингулярных интегралах5, теорема Зигмунда, об ограниченности частичных сумм (в многомерном случае)8 и другие. Разработка интерполяционных теории для семейств абстрактных гильбертовых и банаховых пространств была начата в 1968 году независимо в ряде стран. Первые публикации принадлежат Лиолсу, Кальдерону, Гальярдо, С.Г.Крейну, Ароншайну (1958-1961 г.г.). В дальнейшем существенную роль сыграли работы Петре. Также интерполяционные методы развивались в работах В.И.Овчинникова, Н.Я.Кругляка, А.А.Седаева, Л.Малигранды и др. авторов7.

В то же время для мультипликативных неравенств интерполяционный аппарат не построен. Такого рода неравенства, берущие начало из неравенства Ландау-Адамара8, были исследованы в работах Арестова В.В.в, Габушина В.Н.10, Купцова Н.П.11, Ойиарова ?Р

Цель работы. В работе рассматриваются следующие задачи: а) Изучение интерполяционных свойств мультипликативных пера-

3Махлаа С.Г. О иуяьтжпджкаторах ждгегралоа Фурье. // Докд. АН СССР, 109, N 4, 1956, стр. 701-703,

4Majcïiikîewica J, Sur l1 interpolation ¿'operator*. //С. r. Acad, .ci, 1838,208, p.1272-1273.

аКоккягшв»л* В.M. О весовых пространствах ЯжзоркжкалТржбел*. Свнгулжрвые жятегралы, иультжжлжкаторы, теоремы вложенжя. //Тр. ММ АН СССР т.161, 1883, с 125-149.

'Зжгиувд А. Тржгонометржтестсже р«ли. Т.1-2. // M.s Мир, 196S.

тБрудаы1 Ю.А., Крейа С.Г., Сеиежоа Е.М. Интерлолядкя лквейаых операторов. // Итога ж&укх я техаккк. Математжческай аналжз. M.: ВИНИТИ, 1986, стр.3-140.

'Хард* Г.Х., Лжгтлвуд Дне. Э.( ПоДа. Д. Неравеаства. // Москва; ИЛ, 1967. стр. 383

в Арестов В.В. О точзых неравевствах между вориаиж фуякцхж я жх прожзводных. // Acta seiest, math. 33 N3-4, 1872, с. 243-267.

10Гш5ушжн В.Н. О жаждучшеы вркбдвжевхж оператора джффережджровавхж да uosyupiuol. // Махеыаттиескже заиеткх, 6, выв. В, 1969, с.573-582. '

"Купцов Н.П. Коаиогороскжеоцевкж дм дрояэводяых в £з[0,оо]. //Труды МИАН СССР, т.138,

187S.

1308варов Р. Об одяом иультхппякалтгвнон весовом неравенстве/ //Доклады HAH PK N3» 1&Ô3,

с. 19-24.

Овнаров Р. Мульгжаакх&гхввые неравенства, дня «нтегр&дьЕых опера, то ров. // Теэжсы докладов жовфер«шщж "Пркмеяегае методов теоржх фуяхлдя к фунгхцдоаальАого ая&лжэА в задачах и&текь-

TXHfCKO* фЯЭЖКЖ*. А.ДЫ8.ТЫ, 1693,102.

велств вида

||Та||е< М||а||^„а|1£, где 0 < а < 1 (1)

б) Получение близких друг к другу двусторонних оценок норм операторов свертки.

Общая методика исследования. Основным методом исследовании данной диссертации является вещественный метод интерполяции.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

1. Доказаны интерполяционные теоремы для мультипликативных неравенств.

2. Получен критерий выполнения "квазислабых" мультипликативных неравенств для интегральных операторов.

3. Получены достаточные условия выполнения слабых и сильных мультипликативных неравенств для интегральных операторов.

4. Получены двусторонние оценки нормы интегрального оператора свертки.

5. Получены необходимые и близкие к ним достаточные условия ограниченности дискретного оператора свертки.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы представляют теоретический интерес и могут быть использованы в различных областях математики и механики, в теории функции, в дифференциальных и интегральных уравнениях, в уравнениях математической физики.

Степень достоверности полученных результатов. Все результаты, полученные в диссертационной работе сопровождены полными доказательствами.

Основные положения, выносимые на защиту.

- Изучение интерполяционных свойств мультипликативных неравенств вида (1)

- Выявление условия выполнения базовых неравенств для полученных интерполяционных теорем.

- Получение близких друг к другу двусторонних оценок норм операторов свертки.

Апробация работы. Основные результаты работы апробированы на межвузовской научной конференции "Теория приближения и вложения функциональных пространств" (Караганда 1991, 1994

гг.), на конкурсе научных работ студентов вузов СНГ (отмечен Дипломом ВСНТО), па международной студенческой конференции в г.Новосибирске, где был отмечен дипломом II степени, на республиканской конференции "Применение методов теории функции и функционального анализа к задачам математической физики" (Алматы, 1993 г.), на международной конференции "Теория приближении, нелинейный анализ", посвященной 90-летию С.М.Никольского (Москва, 1995), на республиканской конференции "Актуальные вопросы математики и методики преподавания математики" посвященной 60-летию профессора К.Ж.Наурызбаева (Алматы, 1994), на международной конференции посвященной 50-летию разнития математики в Казахстане и 30-летию ИПТМ (Алматы, 1995), на семинарах член-корреспондента НАН РК, профессора М.О.Отелбаева, член-корреспондента НАН РК, профессора А.А.Женсыкбаева, профессора Е.С.Смаилова, профессора Н.Т.ТемиргалиеБа, профессора Р.Ойнарова, на общем научном семинаре ИПМ АН РК.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, где дается краткое содержание ри-оты, двух глав, разбитых на семь параграфов. Нумерация утверждении двойная: Первая цифра указывает параграф, вторая - номер утверждения. \

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведены постановки рассматриваемых задач, обоснована актуальность темы и кратко изложено содержание диссертации.

Первая глава называется «Интерполяция мультипликативных неравенств». Она состоит из четырех параграфов и посвящена изучению мультипликативных неравенств вида (1).

В первом параграфе диссертации приводятся основные определения, некоторые известные теоремы и результаты вспомогательного характера.

Во втором параграфе доказывается интерполяционная теорема для мультипликативных неравенств. Вск5ду в дальнейшем, если не оговорено иначе, через {' обозначим сопряженное к £ число: = Пусть Ао и А\ подпространства некоторого хаусдорфового пространства А . Функционал вида

K(t,a, Аь,Ах) = K(t, a) - , jnf {||a<,|k + *INU}

aoGAo

называется функционалом Петре. Пусть 0 < (7 < 1, 1 < <7 < +оо. Через (Ло, А\)9q — А^д обозначим множество, состоящее из элементов Ао + Ai для которых конечна норма

/+«> i/A5

IWk = ( / fl))? 7) при 1 < 9 < +СХ)

и =8ирГ'й"(*,а) при д = +оо. «>о

Пусть Хо^иУоМ - интерполяционные пространства относительно пары А0 и Л/3. Тогда верна следющая теорема

Теорема 2.1 Пусть 0 < щ < щ < 1, 0 < 0О < < 1,

0<л==^<1, о<*<1, +

А - А> Г2 г2 9

— Агючо> — У0 = А/з0р0, У1 = •

Если для полулинейного оператора Т вьшолняюгся неравенства

||Га)|С1 < МИ^НаЦу,.

то верно соотношение

Г«Ис„ < смГлт^М^п?^

где = (9/г, 1 — = (1 — #)/», С - константа, не зависящая от а и Т.

В частности, при X; — »" = 0,1 получается классическая интерполяционная теорема14.'

Теорема 2.2 Пусть 0 < щ < 1, 0 < Д0 < 1,

1 - А) ~ 5-1 т2 ч

Хо — Ло, = Ат1, Уо = -Лу9оРо, У, = Ль

13Берг Й., Лефсгрем Й. Иитерполиотгоште пространства. Введение. // М,: Мгр, 1080.

же

Если для полулинейного оператора Т выполняются неравенства 1!Га|[Со < ЛГоЦаЦ^ЦсЦ^, \\Ta\\Cl < Afillall^-Hall?,,

то верно соотношение

-\\Та\\е>ч < CMtsMtW^\\a\\%it^3

где (?i = Oh, 1 — 6% = (1 — 8)h, С- константа, не зависящая от а и Т.

В третьем параграфе исследуются слабые мультипликативные неравенства в пространствах Лоренца Ln для интегрального оператора

Af{x) = / K(x,y)f(y)dy, с

где К(х,у) - измеримая функция, определенная на F х G С Rn х Rn.

Определение. Будем говорить, что нормированное функциональное пространство X — {Х,р) удовлетворяют условию Фату, если из того, что функциональная последовательность {/„(г)} сходится почти всюду к функции j{z) и для некотор -о К < +оо такого, что ll/nllx < Л", V», следует выполнение неравенства ||/||х < К.

В силу теоремы Фату пространство Лебега Lp и пространство Лоренца ЬРд удовлетворяют условию Фату. Также заметим, что если ю-некоторое измеримое по Лебегу подмножество R", то через символы |w| или rn(w) обозначим меру Лебега этого множества.

Теорема 3.1. Пусть 1 < р,г < +оо, 0 < si,sj < 1, 0 < а < 1, X-некоторое линейное нормированное пространство, удовлетворяющее условию Фа.?у, || • Цх •- норма в пространстве X. G,F - измеримые подмножества It", К(х,у) измеримая функция, заданная на множестве FxG,

Af(x) = J K(x,y)f(y)dy. a

Тогда V/ e Lf,,(G) П Lr^(G) мультипликативное неравенство

\\Afh < cll/li^ll/H^ (2)

выполняется тогда и только тогда, когда

М - sup , ¿, / К(-,уЩ < +оо,

где точная верхняя грань берется по всем компактным подмножествам множества б, причем с ~ М, где с - наименьшая константа, при которой верна (2 ) V/ € ¿Р„(С) Л

Через обозначим функцию множеств, заданной на компактах

е С Р, и> С О положительной меры (0 < ¡е|, |ц)| < +оо, 0 < а < 1) и определенной равенством

1 1

î -r> , a i

M ? + r lel?

/ / K(x,y)dydx

Впервые фукция F(e,cj) при а = О введена Нур султановым Е.Д.15

Теорема 3.2. Пусть 1 < p,r,g < +оо,0 < < 1, 0 < а < 1, 1 < s < +оо. G,F - измеримые подмножества R", К(х,у) измеримая функция, заданная на множестве F х G, j £ Lpil(G)П Lrti(G),

Af(x) = / h'(x,у),f(y)dy.

G

Тогда для выполнения мультипликативного неравенства

\Whu{F) < c||/||i-ell/ll?„ (3)

необходимо и достаточно, чтобы

= sup (J(supF(e,w)) N>o\ä \M=t / г J

M = sup j j ( sup F(e,u) J — I < +oo при 3 < +00 и

M = sup sup F(e,u>) < +oo H>o|c|>o

при s — +oo. Причем с ~ M, где с- наименьшая константа, при которой верна (3) V/ S LfSi(G) П LrlJ(C).

В случае, когда а = 0 получается критерий квазисл&бон ограниченности интегрального оператора16.

Теорема 3.3. Пусть 0<a<l,l-i = + —,

---S Ji 32

1 < -si,52,-3 < +оо, 1 < p,q,r < +оо, G,F - измеримые подмножества

"Нурсултанов Е.Д. Спабая к сляьнал (p,q) ограниченность яятегр&лышх операторов. // Теэюц докладов конференция "Прнцеаенаенетсщов теория фупкцкЕ ä функционального анализа к задачам нзт?ма.тячес*оа фй5вкки. Адынты, 1993.

"Тли

R*, К(х,у) измеримая функция, заданная на множестве Fx G, / € Lpii(G)nLr,3{G). Если

L

М — sup I / I sup F(e,w) I — I < +00 M>o U

в

то имеет место неравенство

supF(e,w>) ^ j

М-« / * J

Af(x) = fK(x,V)f{y)dy,

UJ\\LMF) < сВД&ПШ!?-

В четвертом параграфе получены достаточные условия выполнения , мультипликативных неравенств вида (1) в пространствах Лоренца и Лебега Ьр.

Теорема 4.1 Пусть 0 < а < 1, 1 < р,д, г < +оо,

1— -——+ —— - >0. <7,^-измеримые подмножества 11", К(х, у)

в р г Я измеримая функция, заданная на множествг Р х С?, / € £Р(0)П

1

)) <+оо,

М0 = sup if (sup F(e,w)| ^} M>o • \|e|=t ) t )

M\ — sup I ( sup F(e,w) 1 W>oVo \M-« /

т] <+00'

Л/(*) = ( К(х,у)/(у)<1у. Если М = тах(М0) М\) < +оо, то имеет место неравенство

где С -константа. Из этой теоремы, в частности, при а = Д можно вывести следующее -

Слеястрис 4.2 Пусть 1 < р < д < +оо, 1 <а,Ь < +оо и

- - (-) - = 1 --,£?, Р - измеримые подмножества К", К(х,у) иэие-р \aJ ц а

римая функция, заданная на множестве ^хС, /6 £Г(СУ). Если

sup sup . „ , , хе?И>о М1/а

fK(x,y)dy

< +00,

Вх = sup sup.T-TiTp уес и>о '

f K(x,y)dx

< +00,

где точние верхние грани вычисляются по всевозможным компактам шССиеС Р. .

А/(х) = / К(х,у)/(у)Лу,. а

А

то имеет место неравенство ||А/||51^ < С ■ В0 ' • В*||/||Р,с, где С-копстанта, не зависящая от / и К. Данное следствие является более тонким утверждением чем неравенство Юнга из монографии Эдвардса1 для интегральных операторов. При а ~ Ь и К(х,у) = К(х — у) получается

< +00,

где точная верхняя грань вычисляется по всевозможным компактам е С F-G = {z = ж - у\х € F, у 6 G}, и :

1И/11» < C-B||/||p.

В этом же параграфе рассматриваются достаточные условия выполнения мультипликативных неравенств вида

\\r<f\\,r<c-\\Gf\\i-°m°T,

в пространствах Лоренца. Пусть К(х,у) и G(x,y), F(x,y) измеримые функции, определенные на И." х R", Kf \iGJ интегральные операторы

Kf(y)= f К(х,у)J(y)dy, в*

GJ(y) = J G(x, y)f{y)dy. и»

Также предположим, что К(х,у) представима в виде . К{х,у) — J F(x,z)G(s,y)dz.

и»

1 Эдварде Р. Фуххщсяиьный &SUU3. Teopi* а прщожелн. // M.i Mip, 1969. стр. 902

Теорема 4.4 Пусть 1 < р,9,з,г,г),г2 < +оо, 0 < а < 1. Если конечна величина

, 1/т

Л = < / I вир : 1

и И1"

1)1—с IIа \ГлП /г

[ Р{Х,-Щ\ [ К{Х,Щ\ 1-1 <+00

где точная верхняя грань вычисляется по всем компактам е С 1*.", то имеет место неравенство

}\к/\\,т<с-А-\\с}\\]-ат;^

здесь С - константа, не зависящая от И, /.

Вторая глава называется «Оценки норы операторов типа свертки в пространствах Лебега». Основным объектом изучения во второй главе является интегральный оператор свертки А : ¿Р(К.") —+ Ья(Кп) вида

А/(х) = | К(х - ц)!(у)йу = #*/. 1<Р<?< +оо, к»

где К : (И") —► К- измеримая функция.

Норма интегрального оператора свертки А : ЬР(Т1Л) —+■ ¿5(К") при р = 1 п д = +оо вычислен Л.В.Канторовичем и Г.П.Лкиловым1, при р = д, для положительных ядер вычислен В.Д.Степановым3.

В пятом параграфе рассматривается интегральный оператор свертки с положительным ядром. Через (¿{С) обозначим множество всех измеримых множеств о, удовлетворяющих условию т(а + о) < С • та при некоторой фиксированной константе С. Например, множество всех выпуклых множеств является подмножеством множества ¿3(2"). Через Е обозначим множество всех компактов из Кл.

Теорема 5.1. Пусть 1 < р < q < +оо, К(х) - неотрицательная измеримая функция.

1°. Если ^

то оператор

А! = / К{х - у)/ШУ (1)

к»

ограниченно действует из Ьг(И.а) в /у?(Кп)

5Ка.аторовяч Л.В, Акаиов Г.Г1. Фупкцасчалыш! ппллт. // М.: Наука, 1977.

1си. Короткой С.1>. Интм'ральвые операторы. // Ноиосабкрск: Наука^ 1983.

2°. Если оператор (4) ограниченно действует из в //9(К.П),

то

.«дсс)!^'-

Также существуют константы С\ и Сг, не зависящие от К(х), что для нормы оператора (4) действующего из в /^(П'1) имеет место

неравенства

1 г..............1

С*! вир

/ ВД^х < ||Л|| < С2 • «р ^^ / ВДА

Из данной теоремы в частности следует оценка нормы оператора типа потенциала. В шестом параграфе исследуется оператор свертки с незнакоопределенным измеримым ядром.

Теорема Р.4 Пусть 1 </><<?< +оо, Л"(г)-измеримая функция, 1°. Если

1

вир

то оператор

А/= / К(х-у)/(у)Лу

< +оо

(5)

ограниченно действует из ¿р(Ип) в £,(НП)

2°. Если оператор (5) ограниченно действует из Ьр{II") в Ья{Ип),

то

1

вир

7 Пу/'-Чя

/ К{х)4з

< +00

где точная верхняя грань берется по всевозможным параллелепипедам. Более того, существуют константы С\ и Сг, не зависящие от К(х), такие что для нормы оператора свертки (5) действующего из Ьр(Кп) в £?(К.Я) имеют место соотношения

С\ вир

] К{х)йа

< 1И|| < С3-5ир

,7е |еГ/я-./?

/ К{х)<1г

Также отметим следующее

Следствие 6.0. Пусть R,it),i — 1,... ,тп ~ функции, невозраста-ющие на (0,+оо)'.

= £ Л,-(|г - а,|), 1-1

л

Тогда для ограниченности оператора свертки А/ = / К(х - у)Цу)Лу

II»

из £Р(11Л) в необходимо и достаточно выполнение соотношения

1

эир

^ \Q\Uv-U,

»

< +00

где точняя верхняя грань берется по всем шарам из К".

Седьмой параграф посвящен оператору свертки в дискретном пространстве.

Теорема 7.4 Пусть 1 < р < д < +оо, А9р - пространство ограниченных операторов свертки с положлтельнымн ядрами, действующих

изЕсли!-¿•=1-^,1 = 1

-, тогда имеет место вложения

1т, а <-♦ /ГЗОО

Теорема 7.5. Если 1 < р <: д < +оо, то для нормы оператора свертки

+00

Г +со 1+00

>16 = а * 6 = < 2 ат-кЬк |

С] Бир

¿ГпЧр-'Й

1+4-1 I 1

Г < < с2 вир

действующего из 1Р в ¡я справедливы неравенства:

1 __

I /я _

*=»

где С\ и Сг зависят только от параметров ри д, - произвольный

неповторяющийся набор индексов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основные результаты, полученные в диссертации сводится к следующему:

- доказаны интерполяционные теоремы для мультипликативных неравенств.

- получен критерий выполнения "квазмслабых" мультипликативных .неравенств для интегральных операторов.

- получены достаточные условия выполнения слабых и сильных мультипликативных неравенств для интегральных операторов.

- получены двусторонние опенки нормы интегрального оператора свертки.

- получены необходимые и близкие к ним достаточные условия ограниченности дискретного оператора свертки.

Вся работа над диссертацией была проведена под руководством кандидата физико-математических наук, доцента Ерлана Даутбековича НУРСУЛТАНОВА. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю за постановку задач и постоянное внимание к работе.

Основные положения диссертации опубликованы п следующих работах:

1. Сайдахметов К. Операторы свертки в пространствах последовательностей. // Теория приближении и вложения функциональных пространств. Караганда, 1994,148-154.

2. Сайдахметов К. Об условиях ограниченности и компактности интегрального оператора свертки. // Тезисы докладов республиканской научной конференции "Теория приближении и вложения функциональных пространств"/ Караганда, 1991,с.103.

3. Сайдахметов К.С. Об ограниченности и компактности интегрального оператора свертки. // Современные вопросы функционального анализа. Караганда, 1992,с. 95-100.

4. Сайдахметов К.'С. Двусторонние оценки нормы оператора свертки. // Тезисы докладов конференции, посвященной 90-летию С.М.Никольского. М.:, 1Э95,с. 240.

5. Сайдахметов К.С., Нурсултанов Е.Д. Мультипликативные неравенства для интегральных операторов, // Теория приближении и вложения функциональных пространств. Караганда, 1994,с. 119-121.

6. Сайдахметов К.С., Нурсултанов Е.Д. Об оценках нормы интегрального оператора свертки. // Тезисы докладов конференции "Применение методов теории функции и функционального анализа к задачам математической физики". Алматы, 1993.

7. Сайдахметов К.С., Нурсултанов Е.Д. Об интерполяции мультипликативных неравенств. // Актуальные вопросы математики и методики преподавания математики. Алматы, 1994,с.44-51.

В работах [5] ,[6] ,[7] постановка и выбор методики принадлежит Е.Д.Нурсултанову, результаты получены соискателем самостоятельно.

Сайдахмегулы Куаншлбек «Интёрполяциялык здЮтер мен интвгралдак т0нс1зд1ктер» ■гакирибьшан 01.0!.01. «Магематикалик анализ» мамандагы бойынша физика-математика гылымынын кандидаты дэрежэ-с!н коргау диссертациясы.

Диссертациялнк жумыста мульташикативт1к тецс1зд1ктердШ интерполяциялык касиеттер! мен орам операторларынын шенелгекд1П зерттелген.

ЦГаЦх < С.Ца||[-а||а|12. 0&41 турвдег! мультипликативт! тедс1зд1ктер уш!н штерполяциялнк теоремалар дэлелденд!. Интвгралдак отараторлар уш1н Лоренц кен!с-т!гшде мультипликативт!к тецс1зд1ктерд1д орындалушшн ядрога ко-йнлатцн шарттары алындн. /<р«?<-к» Оолганда I кеШсттгПшн ка-И1ст1г1не эсер етвт1н, ядросыныц тадбасы анщталмаган интегралдак орам операторынын шенеул! болуыша кажетт! жанв оган жакын жеткШкт! шарттары дзлвлденИ!, оператор мелшер!н когарвдан жэне .теменнен шектейтШ ернвктер керсвт1лд1. Сондай ак 1р кен1ст1г1нен 1 кен1ст1г1не эсер етвт!н айырымдак орам операторы уипн дв осы тектес нэтижелвр'дэлелденд!.

SAIDAKHMETOV KUANSHBEK "INTERPOLATION METHODS AND INTEGRAI INEQUALITIES" 01.Of.Oil MATHEMATICAL ANALYSIS abstract oi thesis for a candidate degree In physical and mathematical sciences.

The interpolation method for multiplicative Inequalities and boundedness conditions for convolution mapping are considered. Interpolation theorems for multiplicative inequalities

Is proved.

Sufficient conditions for multiplicative Inequalities for integral operators are found. Two-sided estimates are given for norms of Integral convolution operators acting from Lp to L^, with i<p<q<+-a>. Analogous result Is established for dlscret convolution operators.

The results may be used In the functional analysis,, theory of Integral and differential equations, probability theory, ets.