Инженерные модели плоских статических задач нелинейной упругости

Щукина, Наталья Александровна

Инженерные модели плоских статических задач нелинейной упругости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Щукина, Наталья Александровна АВТОР

кандидата технических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Волгоград МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.02.04 КОД ВАК РФ

Диссертация по механике на тему «Инженерные модели плоских статических задач нелинейной упругости»

Автореферат диссертации на тему "Инженерные модели плоских статических задач нелинейной упругости"

На правах рукописи

Щукина Наталья Александровна

ИНЖЕНЕРНЫЕ МОДЕЛИ ПЛОСКИХ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОСТИ: АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ В СИМВОЛЬНЫХ ПАКЕТАХ

01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

2 О ДЕК 2012

Волгоград - 2012

005047567

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика» Волгоградского государственного технического университета

Научный руководитель доктор технических наук, доцент

Жуков Борис Александрович.

Официальные оппоненты: Брызгалин Геннадий Ильич

доктор физико-математических наук, профессор Волгоградский государственный технический университет кафедра «Высшая математика», профессор

Крысько Вадим Анатольевич доктор технических наук, профессор Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А. кафедра «Математика и моделирование», заведующий кафедрой

Ведущая организация Южный федеральный университет

Защита состоится 25 декабря 2012 года в 10.00 часов на заседании диссертацион нога совета Д 212.028.04 при Волгоградском государственном техническом уни верситете по адресу: 400005, г. Волгоград, пр. Ленина, 28, ауд. 210

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Волгоградской государственного технического университета.

Автореферат разослан «23» ноября 2012 года.

Ученый секретарь

диссертационного совета Водопьянов Валентин Иванович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Одним из важнейших классов изделий, применяемых в современном машиностроении, являются резинотехнические изделия. В настоящее время резинотехнические изделия применяются практически во всех отраслях хозяйственной деятельности человека. Эксплуатация воздушного, водного, автомобильного, железнодорожного транспорта, космических аппаратов и энергетических установок не возможна без надежных резиновых уплотнений. Все шире на транспорте применяются резинометаллические шарниры, обеспечивающие низкие шумы и виброизоляцию гусеничных движителей и других агрегатов. В строительстве, промышленности и горнодобывающей технике широко применяются резинометаллические амортизаторы, опоры, виброизоляторы, надувные пневматические конструкции, резинотканевые рукава, конвейерные ленты и эластичные емкости для жидких грузов. В большинстве случаев надежность и долговечность конструкций определяется надежностью и долговечностью комплектующих резиновых изделий, несмотря на то, что их вклад в вес и стоимость конструкции обычно незначителен. Поэтому к расчету резиновых изделий предъявляются повышенные требования. С точки зрения надежности работы изделий и конструкций в свете современных представлений теории разрушения важнейшей информацией является знание полей напряжений в зоне их концентрации. Одним из распространенных концентраторов, существование которых вызвано конструктивной необходимостью, является отверстие. Поэтому исследование и расчет концентрации напряжений около отверстий в резинотехнических изделиях является актуальной задачей.

В области эксплуатационных нагрузок резина находится в высокоэластичном состоянии, то есть она относится к эластомерам. Поскольку в высокоэластичном состоянии резина является низкомодульным материалом и допускает большие эксплуатационные деформации, то для описания напряженно-деформированного состояния необходимо привлекать нелинейную теорию упругости. Точные нелинейные решения получены для центрально - симметричных задач, задачи Ламе, задачи контролируемого изгиба, для некоторых задач при антиплоской деформации. Для несжимаемого материала точные решения получены в задачах с универсальными деформациями. Тем не менее получение точных решений задач нелинейной теории упругости является сложнейшей проблемой. В силу этого разработаны различные приближенные модели, позволяющие свести решение нелинейной задачи к решению ряда линейных задач. Так в коммерческих пакетах, таких как А^УБ, АВАС^иБ, ЗоНсШогкз, предназначенных для решения задач механики и физики, реализован инкрементальный подход. То есть конечная деформация разбивается на ряд шагов. На каждом шаге полагают деформации малыми и линеаризуют уравнения нелинейной теории упругости. Получаются уравнения линейной теории упругости с переменными коэффициентами (уравнения линейной теории упругости неоднородного материала), зависящими от решений на предыдущих шагах. Соответствующие линейные задачи решаются мето-

дом конечных, элементов. Возникает два вида погрешности: погрешность ограничения конечным числом шагов и погрешность дискретизации. Уменьшение первого вида погрешности в общем случае требует интерактивной связи расчетчика и пакета по вопросу выбора шага, необходимости пересчета на каждом шаге матрицы жесткости и так далее. Уменьшение погрешности второго типа требует увеличения числа конечных элементов в зонах больших градиентов рассчитываемых полей, в частности в зонах концентрации напряжений. Но увеличению количества конечных элементов препятствует ограниченность ресурсов компьютеров. Поэтому возникает практическая невозможность вычисления максимальных значений напряжений в зонах концентрации. Таким образом, метод конечных элементов плохо приспособлен к исследованию концентрации напряжений в зонах с большими градиентами напряжений, например, в окрестностях угловых точек отверстий. В силу вышесказанного возникает актуальная задача разработки метода, сводящего решение нелинейных задач теории упругости к решению последовательности линейных задач и позволяющего точно решать последние. По крайней мере, для определенного класса задач.

В статических задачах предполагается, что эластомер является гиперупругим материалом, то есть существует потенциал энергии упругой деформации. Разнообразие уравнений состояния нелинейной теории гиперупругости в отличие от линейной теории, где всегда выполняется закон Гука, снижает ценность точных постановок задач нелинейной теории упругости. Точные решения, найденные для конкретных потенциалов энергии деформации гиперупругих материалов, удовлетворительно совпадающие с экспериментальными данными для одного уровня деформированного состояния, могут не совпадать с этими данными для других уровней деформированных состояний. Актуальной является разработка приближенной «инженерной» модели нелинейной теории гиперупругости для средних уровней деформации, одинаково удовлетворительно описывающей различные напряженные состояния и позволяющей использовать методы линейной теории для решения конкретных задач. Альтернативой инкрементальному подходу, приводящему к решению задач линейной теории упругости неоднородных тел, служит метод возмущения, так же сводящий решение нелинейной задачи к решению ряда линейных задач, но уже однородных тел. Этот метод, впервые примененный в нелинейной теории упругости А. Синьорини, основан на разложении объектов, описывающих напряженно-деформированное состояние, в ряд по степеням малого параметра. Удерживая один, два или три члена будем получать решение в рамках эффектов первого, второго, третьего порядка. При этом возникает ошибка ограничения. Для нахождения каждого члена разложения получается задача линейной теории упругости однородных тел, но с добавочными «внешними» поверхностными и объемными усилиями, зависящими от решений в рамках эффектов предыдущих порядков. Для точного аналитического решения плоских задач такого типа разработан мощный аппарат, использующий теорию функций комплексной переменной. Разработка этого аппарата связана с именами Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, Ф.Д. Гахова, Д.И. Шермана и других. Такой подход

может быть положен в основу создания приближенной «инженерной» модели нелинейной теории гиперупругости. Вместо оценки погрешности ограничения даются рекомендации по выбору области применимости модели в сравнении с точными решениями и экспериментальными данными. Другими словами, для обоснования достоверности модели в ее рамках по экспериментальным данным при одноосном растяжении находятся константы материала, а потом на экспериментальном материале для двухосного растяжения проверяется приемлемость теоретического описания. Производится сравнение полученных результатов в рамках приближенной модели с точным решением для одного варианта задачи Ламе. Критерием для ограничения величины деформации в области применимости модели можно выбрать 10%-ное отклонение теоретического значения напряжения от экспериментального.

Проблемой, связанной с расчетом резинотехнических изделий, является учет ее несжимаемости. Эксперименты Холта и Макферсона показали, что вплоть до деформаций порядка 400% изменение объема находилось в пределах погрешности эксперимента. Учет малой сжимаемости необходим только при расчете тонкослойных резинометаллических изделий. В отличие от сжимаемых материалов в несжимаемых материалах напряжения не определяются деформациями, по ним напряженное состояние находится только с точностью до гидростатического давления. Вместе с тем условие несжимаемости несет дополнительную информацию о геометрии деформирования, причем прибавляет ли эта информация трудностей в решении или уменьшает их зависит от того, в какой форме условие несжимаемости учитывается. Само по себе уравнение несжимаемости увеличивает количество уравнений в системе на одно уравнение, что усложняет задачу. Оно также увеличивает размерность задачи (на одну независимую переменную) в вариационных методах при учете его с помощью множителей Лагранжа. В численных реализациях обнаружено, что для совместности уравнений Эйлера необходимо, чтобы порядок аппроксимации гидростатического давления был ниже порядка аппроксимации перемещений. Это относится как к методам Ритца и.Канторовича, так и к методу конечных элементов. Такая ситуация трактуется как некорректность постановки задачи с множителем Лагранжа. Актуальной является разработка варианта инженерной модели, в рамках которой условие несжимаемости выполняется автоматически.

В современных конструкторских бюро и лабораториях методы расчетов на прочность по приближенным эмпирическим формулам или «сопроматовским» решениям постепенно вытесняются компьютерными расчетами в рамках более точных постановок с помощью специальных вычислительных пакетов программ. Существует уже значительный выбор коммерческих пакетов, таких как АЫБУБ, АВА(Зи8, 8оН<1'\Уогк5 и других. В рамках всех этих пакетов для решения нелинейных задач реализован инкрементальный подход, особенности которого отмечены выше. В настоящее время научное программирование претерпевает серьезные изменения: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, растет применение универсальных математических систем (Мар1е,

МаЛСАД МаШета^са, МаЛАВ и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и имеют собственные языки программирования. Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов различных профилей. Актуальной задачей является реализация и автоматизация расчетов в рамках предложенной инженерной модели в одной из таких систем. В данной работе выбрана система "Мар1е", которая содержит средства символьной математики, позволяющие реализовать автоматизацию аналитических решений некоторых классов линейных задач.

Цель диссертационного исследования: разработка технической модели нелинейной теории упругости эластомеров в рамках эффектов второго и третьего порядков, пригодной для автоматического получения аналитических решений плоских задач нелинейной теории упругости о концентрации напряжений около отверстий на базе математического пакета Мар1е.

Достижение этой цели связывается с решением следующих задач:

1. представление вектора перемещения, удовлетворяющее разложению уравнения несжимаемости по степеням малого параметра вплоть до третьего порядка включительно;

2. построение приближенной модели нелинейной теории упругости и определение областей ее применимости;

3. разработка алгоритма, позволяющего автоматически получать аналитические выражения для комплексных потенциалов, описывающих напряженно-деформированное состояние около отверстий по заданному конформному отображению области, используя методы теории функций комплексной переменной;

4. реализация предложенного алгоритма в рамках пакета символьной математики Мар1е.

Научная новизна:

1. Предложена форма потенциала энергии деформации Трелоара-Ривлина, удобная для использования в приближенных соотношениях инженерной модели.

2. В рамках предложенной модели на платформе Мар1е созданы символьные блоки, позволяющие автоматически получать аналитические выражения для распределения напряжений на контуре отверстия, свободного от нагрузок.

Основные результаты, выносимые на защиту.

1. Приближенные соотношения нелинейной теории упругости и их экспериментальное обоснование.

2. Постановки граничных задач и алгоритмы их решения, позволяющие автоматически получать аналитические выражения для комплексных потенциалов по степеням малого параметра вплоть до второго порядка включительно, описывающих напряженно деформированное состояние около отверстий, свободных от напряжений, по заданному конформному отображению области на внешность круга единичного радиуса и заданным граничным условиям на бесконечности..

3. Созданные в рамках математического пакета Maple символьные блоки, предназначенные для автоматического получения аналитических решений задач о концентрации напряжений около отверстий, реализующих предложенный алгоритм.

Практическая ценность заключается в создании алгоритмов и символьных блоков для аналитического нахождения коэффициентов концентрации напряжений, применяемых в расчетах на прочность. Созданные символьные блоки являются готовым элементом для интерактивных спецкурсов по теме «Концентрация напряжений на контуре отверстий».

Достоверность полученных результатов подтверждается тем, что область применимости предложенных соотношений непосредственно определялась с обеспечением 10%-ого отклонения полученных решений от литературных экспериментальных данных; полученные аналитические решения при стремлении малого параметра к нулю сводятся к известным линейным соотношениям.

Методы исследования. Использовались фундаментальные понятия и методы механики сплошных сред, нелинейной теории упругости и математической физики. Экспериментальная обработка данных проводилась методами математической статистики.

Публикации. По теме диссертации опубликовано шесть работ, из них три -в рецензируемых изданиях, рекомендованных ВАК.

но-технической конференции «Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии» (г. Тула, 2010 г.), V международной научно-практической конференции «Техника и технология: новые перспективы развития» (г. Москва, 2012), а также регулярно докладывались на научно-технических конференциях ВолгГТУ в 2008-2012гг.

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Волгоградского государственного технического университета.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы. Объем основной части, включая 3 таблицы и 9 рисунков, а также список литературы из 212 наименований, составляет 127 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы основные цели и задачи исследования. Дано краткое описание содержания всех глав, а так же обзор существующих подходов к решению задач нелинейной теории упругости.

В первой главе диссертации приведено экспериментально-аналитическое обоснование построения приближенной модели нелинейной теории гиперупругости, построенной методом возмущения линейной теории с учетом эффектов третьего порядка. Приведена постановка задач при конечной плоской деформации несжимаемого гиперупругого тела. Описан вариант учета эффектов третьего порядка, при котором условие несжимаемости удовлетворяется тождественно. Проведено сравнение решений в рамках приближенной модели с известными решениями в точной постановке для некоторых типов задач.

разнообразие уравнений состояния нелинейной теории гиперупругости в отличие от линейной теории, где всегда выполняется закон Гука, снижает ценность точных постановок задач нелинейной теории упругости. Точные решения, найденные для конкретных потенциалов энергии деформации гиперупругих материалов, удовлетворительно совпадающие с экспериментальными данными для одного уровня деформированного состояния, могут не совпадать с этими данными для других уровней деформированных состояний.

Целью первого раздела является обоснование приближенной «инженерной» модели нелинейной теории гиперупругости для средних уровней деформации, одинаково удовлетворительно описывающей различные напряженные состояния и позволяющей использовать методы линейной теории для решения конкретных задач. Идея обоснования заключается в том, что по экспериментальным данным

при одноосном растяжении находятся константы материала для предлагаемой модели, а потом на экспериментальном материале для двухосного растяжения проверяется приемлемость теоретического описания в рамках этой модели и сравнение с точными решениями для потенциалов Муни и Трелоара. В качестве метода построения такой модели применяется метод возмущений, использующий разложение в степенные ряды по малому параметру объекты, описывающие напряженно-деформированное состояние.

Для изотропного несжимаемого материала функция удельной потенциальной энергии деформации (потенциал энергии деформации) может быть представлена в виде И^и^/,^'),/-,^")], где /*(с) - главные инварианты меры деформации Коши Є*. Пусть Х1,Х2,Х}- главные кратности удлинения, а,,ст2,а3-главные истинные напряжения, тогда

Для несжимаемого материала = 1. При одноосном растяжении имеем

следующие соотношения а, = а, ст2 = а, = 0 и л, = Х,Х2 = = Vпоэтому:

/ "V X

Из общих соотношений нелинейной гиперупругости для несжимаемого изотропного материала получается известное соотношение, связывающее истинное

напряжение с кратностью удлинения а = 2

Зіс П дк Л 1

Для потенциала Трелоара = получаема = ц^Л2

Для потенциала Мунит^ = 1(і^(і + р)(/1(с')-з) + (і-|3)(72(с,)-з)], где (3

— константа, будем иметь выражение:а =

Для положительности данных потенциалов энергии деформации необходимо и достаточно, чтобы ц>0,-1<р<1.

Для изотропного несжимаемого материала в работе Ривлина и Сондерса показано, что потенциал w линейно зависит от инварианта /,(С) и нелинейно

от инварианта 72(с): w = c,[/,(G*)-3] + /[/2(g')], поэтому предполагается, что он допускает полиномиальную аппроксимацию вида

W[/1(G-),/1(G-)] = c„[/1(G')-3] + Ieb.[/1(G')-3j.

Разлагая результат в ряд по параметру е = Х-1 и удерживая члены до

третьего порядка, получаем ст = Зц(Я.-1) + ц,(А.-1) + ц2(л-1) ,

где ст ею + са = + -Ц).

Остальные константы не влияют на эффекты третьего порядка при любом виде напряженно-деформированного состояния, поэтому в рамках рассматриваемой модели можно ограничиться выражением для потенциала энергии деформации в виде

»-^^^.(во^-ц.с/.и-з^ь^с/.ссо-з]'}. (I)

Здесь константы, причем ц - модуль сдвига линейной теории.

Для анализа предлагаемой модели были использованы экспериментальные данные, приведенные в диссертации В.П. Никифорова. В. рассмотренной работе, в частности, проведены эксперименты по одноосному и двухосному растяжению для пяти видов ненаполненных резин и натурального каучуков. Исследования проводились в режиме постоянной деформации. Время релаксации напряжений составляло 20 часов при 20°С. Эксперименты проводились на образцах типа «крест» размером 50x50x1 мм. В результате эксперимента вычислялись истинные напряжения и кратности удлинений. По оценке В.П. Никифорова среднеквадратичные ошибки при вычислении истинных напряжений и кратностей удлинений не превышали величин 0.106 кг/см2 и 0.0103 соответственно.

Модуль сдвига ц линейной теории, входящий во все выражения, был использован из работы Никифорова. По данным для одноосного растяжения методом наименьших квадратов определялись константы 0, ц,, ц2 в потенциале Му-

ни и кубическом потенциале (1).

Для реализации метода наименьших квадратов использовалась программа нелинейного программирования NLPSolve из пакета расширений Optimization системы символьной математики Maple.

Теоретические значения истинных напряжений, вычисленные при всех видах деформаций, были использованы для сравнения с соответствующими значениями, полученными экспериментальным путем. На основании этих результатов при рассматриваемых видах деформаций для всех видов резин составлена таблица 1, в которой показаны интервалы применимости рассматриваемых потенциалов (цифра 1 - соответствует потенциалу Трелоара, 2 - потенциалу Муни, 3 - кубической модели). Критерием для ограничения применимости потенциалов было выбрано 10%-ное отклонение теоретического значения напряжения от экспериментального. Максимальное значение кратности удлинения в эксперименте для резин на основе синтетического каучука составило 3.03, для резины из натурального каучука - 3.585 при одноосном растяжении.

Из таблицы 1 видно, что при умеренных значениях деформации предлагаемая кубическая модель потенциала описывает напряженно-деформированное состояние рассматриваемых видов резин не хуже остальных моделей. Но в рамках этой теории получаем три краевые задачи линейной теории упругости для эффектов первого, второго и третьего порядков, что позволяет использовать для их решения хорошо разработанные аналитические методы линейной теории упругости. Этот аспект является важным, поскольку численные методы нуждаются в аналитических решениях для проверки на пригодность, кроме того аналитические решения делают возможным анализ и оптимизацию влияния силовых и геометрических параметров на поведение решения. Численные методы требуют для решения такой задачи проводить обширную программу расчетов с последующим приближенным восстановлением зависимостей.

Таблица 1

« я S 5 Б Я Одноосное растяжение Двухосное несимметричное растяжение Двухосное симметричное растяжение Чистый сдвиг

и 0-, с Е X шах ^Imax X max X max

1 1.41 1.12 1.5 1.81 1.495

1 2 3.03 1.12 1.34 1.14 1.495

3 3.03 1.44 1.88 1.14 1.91

1 1.39 1.21 1.505 1.33 1.34

3 2 1.485 1.21 1.505 1.215 1.34

3 2.78 1.14 1.405 1.215 1.45

1 1.66 1.055 1.27 2.07 1.765

5 2 3.585 1.535 2.035 1.445 1.765

3 2.98 1.315 1.715 1.655 1.655 |

Рассматривается краевая задача внапряжениях для плоской деформации И - г = [X (х,у) -х] I + [Г (ж, у) - у] ], где И и г - радиус-векторы точек в плоскости, ортогональной оси ОХ, в текущей и отсчетной конфигурациях соответственно, (Х,У) - декартовы координаты точек в плоскости ХОУ текущей конфигурации, а (х,у) - координаты тех же точек в отсчетной.

Задача в нелинейной постановке для изотропного несжимаемого материала с функцией удельной потенциальной энергии деформации (потенциалом энергии деформации) в виде (1) сводится к трем краевым задачам линейной теории упругости. Это позволяет использовать для их решения хорошо разработанные аналитические методы линейной теории, в частности, метод комплексных потенциалов Колосова - Мусхелишвили. Эти задачи выделяются при ограничении разложений для радиус-вектора частиц в текущей конфигурации И и функции гидростатического давления р членами разложения по малому параметру г) до второго порядка.

Полагая К = г + т^'+ г|21Г, (2)

из общих соотношений нелинейной теории упругости получаем разложения для тензора-градиента УК и меры деформации Коши в с точностью до 0(г]3) в виде:

. У11 = Е + г|^11' + т12У11\ С = Е + 2е'г| + ^2е" + VЯ'• V^л2.

где е^-^УН' + УЫ'7^, е'^^УК' + УК"7^, /,(С) = 2 + 2Е'--е'г12 - главный инвариант меры деформации Коши. Поскольку свойством находиться в высокоэластичном состоянии, требующим для расчета средства нелинейной теории упругости, обладают резиноподобные материалы, а они ведут себя как несжимаемые, то разложение для радиус-вектора (2) должно удовлетворять условию несжимаемости для эффектов первого и второго порядка:

Разложение для функции гидростатического давления принимает вид ( 1

= "- + Р.Л + ЛЛ

Разложение «плоской» части выражения тензора напряжений Коши принимает вид

где

8 = ол + 8"Л2+8"Л3 >

о = 2ц[^,Е + е'], 8" = 2ц

р2—+

Е + е' + У^.Е'

' Р}-ЬЮ. + 2ае'~£"

V ^

8" = 2ц

+V • е" + V1ГГ • б' + 2а7, (е'2 ) е'

Е + е™ — -^7, (е")уя'г

Уравнения равновесия в отсутствие массовых сил приводятся к трем уравнениям равновесия для эффектов первого, второго и третьего порядков:

2V (р3 + 2(хе' • •£") + ДЯ'" + ДЯ" • УЫ'Г + ДЯ' • V1ГГ + 4а V- [(е' • •£')£'] = 0. (4) Условия интегрируемости можно записать в виде системы

(5)

д у. И™ + V ■ • Д V Я" + V ■ • Д V Я' + 4а V V- •[/, (е'2 ) е'] =

о Л 5 • д . „ ' ц2 + ц - а

Здесь V =—1--1 - симплектическии оператор, а = —————.

ду дх 12ц

Используя представления Г = Гг| + Г"г(2 + {"г)3 для плотностей внешних поверхностных усилий в деформированной конфигурации, граничные.условия в напряжениях получим в форме:

п-(е' + дЕ) = £,,

р ЛИ+аЕ'..е' Уг 2

= Г2 + р,п-УЬГ,

(6)

е" +

+п ■ (V, V И"7" + р2 V К'г - ас' • е'V Я'

- г. г , г

I, = —, Г, =--П ' Е п —

2ц 2ц 2ц

= Гз +

г, =--п •£'■ п--

2Ц

2ц

п ■ Г е' +1УИ' • У - 2е'2) • п + 1(п • е' • п)2

2ц

Если плотность внешних сил { = Г]Г + т] Г* + т) {" задана в отсчетной конфигурации, а нагружение "мертвое ", то Г. = —, Г, = —, Г, = —.

2ц 2ц 2ц

В разработанной системе разложение для радиус-вектора частиц в текущей конфигурации (2) представляется в виде:

Я = г + У/1] + % \У/-УУ/ + УИ т12 +

5 0 ( У 1 ! 5 Л 5

I "

У/-У У/-УУ/ + ЗУЙ +У£

Уравнения равновесия приводятся к системе уравнений для эффектов первого, второго и третьего порядков

У(А-/|(В) + а£1--е,) + -УМ + -УД/-УУ/ + У-(в + Вг) = 0,

V(й - ■/1 (•А) - /, (с) + 2/7,/, (в) + 4ссе, ■ -В + ас, • е3 ) +—VД^ -

0 50 г I 5 0 ^ 0. 'о

+У-(А+А7'+С+С7') = О,

i 0 5 л 1^05 05 0 0 5 л

где А=-У! У/-УУЛ1 = -1 УУ/.уУА + У/.УУУ/г ,

I «Л 0 5 N 1 /" 0 5 05 4 005

Ы Т7 /■ г,т-7 у . „ . " —

О 5

е,--е,УУ/

в=-у^у/.уу^ = ^уу/.уу/ + у/.ууу^)

1 0 1 ^ 0 5 0 5 \

С=-у(^/-В^-[^У/.В + УВ7^У/1.

При этом условие несжимаемости (3) удовлетворится тождественно для произвольных функций /(х,у), И{х,у) и е(х,у), а уравнения (5) превратятся в бигармонические

ДА/ = 0, ДДй = 0,

1 50 50 50 / 1 5 О Л

—ДД^ = УУЙ--УУ/-УУР1..|2ВГ+^УУА +

5 0

0 5

е,.-е,уу/

+2 VV--Вг - V V-(А + С) - а V V

Силовые граничные условия переходят в п-(е|+дЕ) = Г„

п-[|Е2+(р2-7,(В) + аЕ'--Е')Е) = Г2-п-Гв + Вг-^,УУ/

(7)

"' ( 6 ®3 + ^~ 7| (АЬ А (С)+ 2р'7' (В)+ 4аЕ'''В+ а£'1')Е) = +

а 2ВГ +1ууй)-(А + Ат + С + Сг)-а£, --е.УУ/

+п-

Приводится сравнение решений задачи о концентрации напряжений около круглого отверстия при равномерном растяжении на бесконечности, полученных на основе инженерной теории с точными решениями для потенциала вида (1). Показано, что разложение точного решения по малому параметру до третьего поряд-

ка включительно совпадает с решением, полученным в рамках инженерной теории третьего порядка. В отличие от классического результата линейной теории упругости, в которой коэффициент концентрации постоянен (к = 2), в нелинейном решении он растет с ростом внешней нагрузки. При = 0.7 поправка к линейному решению достигает 25%.

Во второй главе приводится комплексное представление перемещений и напряжений для эффектов первого и второго порядка. С помощью стандартной процедуры граничные задачи линейной теории упругости для эффектов первого и второго порядков сводятся к интегральным уравнениям теории функций комплексной переменной. Рассматриваются только области, которые можно конформно отобразить на внешность окружности единичного радиуса с центром в начале координат с помощью функции вида

*=о ь

Для этих областей интегральные уравнения теории функций комплексной переменной приводятся к алгебраическим уравнениям с помощью интегралов типа Копта. Предложен алгоритм точного вычисления интегралов типа Коши для «добавочных» слагаемых в уравнениях эффектов второго порядка. Приведен обзор методов приближенного вычисления интегралов типа Коши в случае невозможности их точного вычисления. Представлена методика определения малого параметра и выражения для коэффициента концентрации напряжений около отверстий. _

Переходя к комплексным переменным г = х + />, г=х-ху и вводя комплексные потенциалы по формуле Гурса: ^

/(2,1) = гв(г) + Щг) + ОД + х(Ю> А(г»*) = ) + + VИ +

получим, что уравнения (7) выполнятся тождественно, а решением системы (4) являются функции:

.Л(*,*) = 2,'(ОД-ОД), _ р2 (2,1) = -2аа(4а +1) - 266'(г) - 2йОД + /(ОД - ОД),

где а=¥д"{г) + %"{г), а = гб"(?) + Х"(Ю> Ъ = 2ОД + 9(г) + ОД, Ь = гОД + 0(г) + ОД.

В двусвязной области комплексные потенциалы для разложения по малому параметру до первого и второго порядков представляются в общем случае в виде

е(2)=1Лг1ОД+(д„+/д12)1ОД+ё(2), ОД = (Сп + /с,2>1п(г) + (А, + юп)\п{х) + ОД, ф) = гЛ2\п(2) + (Вп+Ш2г) 1п(г) + С(г),

¥(г) = (С21+/Са)2Іп(г) + (Лї1+И5а)1п(г) + чУ(г).

Константы 2?,, , ВІ2, В2] и В22 выражаются через компоненты главного вектора на контуре:

Ви+іВ]2=і-

16|_171

Ви-іВ[2

Ібця

И потенциалы для первого и второго приближения можно записать в форме:

8)І7І

+ £>

-2_1 + 0

8цл

Далее искомые потенциалы аппроксимируются разложением в ряды Лорана, а коэффициенты находятся из условия удовлетворения граничным условиям (6) на бесконечности и на контуре отверстия. На бесконечности с помощью предельного перехода получаем конечную систему линейных алгебраических уравнений для части коэффициентов разложения. Получение уравнений для оставшихся коэффициентов требует вычисления интегралов типа Коши на контуре отверстия. Тангенциальные напряжения на контуре, необходимые для вычисления коэффициента концентрации вычисляются в виде инварианта = °пп + °тт = аи + ст22 = МР| > поскольку на свободном от нагрузки контуре нормальные напряжения равны нулю.

Для первого приближения при вычислении тангенциальных напряжений на контуре применяется инвариант ат1 =стяя+ст„ =ст„+0,,, =8гц|в'(г)-6'(2)|, по-

скольку на свободном контуре а„„ = 0. Для эффектов второго порядка для вычис-

ления тангенциальных напряжений на контуре применяется инвариант S = S +S =S +S .

тт т тт хх уу

Получаем а„ = 8/ц(ф, (а) - Ф, (о) - 2 iFn),

S„= 4/м

Ф2(а)-Ф2(а)-2^и+2

о '(а) и'(ст)

Показано, что несмотря на использование потенциала энергии деформации в виде (1) константы ц, и ц2 в окончательные выражения для эффектов второго порядка, такие как выражения для напряжений и коэффициента концентрации, не входят. То есть подтверждается утверждение о том, что эффекты второго порядка описывают только влияние геометрической нелинейности.

В третьей главе описывается комплекс программ, созданный на базе пакета символьной математики Maple и предназначенный для автоматизации символьных вычислений при решении задач о концентрации напряжений около отверстий. Конфигурация предлагаемой программы представлена в виде библиотеки программ BiblA, подгружаемой в Maple пользователем. Структура интерфейса имеет вид рабочего листа Maple, что упрощает освоение символьных блоков «Концентрация напряжений» для механика, знакомого с Maple. Для правильной работы команд этой библиотеки необходимо подгрузить такие пакеты Maple как linaig, PDEtooIs, plots и powseries.

Основная идея, положенная в основу создания символьных блоков, повышающая ее практическую ценность, состоит в том, что она не вычисляет объекты по готовым формулам предыдущей главы, а начинает вычислять разложения этих объектов, начиная с разложения вектора перемещения, автоматически удовлетворяющего условию несжимаемости. Все формулы предыдущей главы, полученные в ручном режиме на бумаге, были проверены следующим образом. Брался результат работы программы и сравнивался с результатом, полученным по формулам предыдущей главы. Формулы предыдущей главы необходимы лишь для компактной записи, ибо программа выдает результаты в компонентной форме в декартовой системе координат, которые уже для эффектов второго порядка очень громоздки и необозримы, но именно по ним можно вычислять значения тех или иных величин, строить графики, находить экстремумы и т.д. Это лишний раз подчеркивает необходимость созданной программы в нелинейной теории упругости.

Все процедуры данной библиотеки программ делятся на три группы. К первой группе относятся 16 процедур первого уровня. Это самодостаточные процедуры, которые не обращаются к другим процедурам библиотеки. Процедуры первого уровня носят вспомогательный характер и к ним непосредственно нет необходимости обращаться для решения задач о концентрации напряжений около от-

верстий. Исключение составляет программа АррЩп.^в), используемая для численного вычисления интегралов типа Коши. В качестве описания действия этих программ приводится рабочий лист Мар1е.

Процедуры второго уровня тоже носят вспомогательный характер, но они ссылаются на процедуры первого уровня. Таких процедур 6 и они обеспечивают вычисление объектов, описывающих напряженно-деформированное состояние тел. Обращение к процедурам и результаты их выполнения также приведены в диссертации.

Процедуры третьего уровня ссылаются на процедуры второго уровня и составляют библиотеку «Концентрация напряжений на контуре отверстия». Обращение только к ним достаточно для аналитического решения задач как в линейном, так и в квадратичном (по малому параметру) приближении. Таких процедур 10. Следует отметить жесткий порядок следования процедур, так как последующие используют результат действия предыдущих.

В качестве примера исследуется зависимость характера монотонности коэффициента концентрации от формы эллиптического отверстия и внешней нагрузки. Рассматривается контур отверстия, заданный уравнением г = е"" + те'"", фе[0,2л]. Здесь т - коэффициент формы. Коэффициент концентрации линейно

растет с ростом Приведены поверхности = для различных

значений коэффициента формы т.

Из анализа этих поверхностей следует, что в промежутке 0<т <0.2678 максимальные значения лежат в вершинах эллипса и растут с ростом ^

(рисунок 1). При яг«0.2678 коэффициент концентрации не зависит от внешней нагрузки (рисунок 2). В диапазоне 0.2678 <т <0.3783 максимальные значения

продолжают лежать в вершинах эллипса, но убывают с ростом (рисунок 3). В промежутке 0.3783 <от<1 один экстремум с некоторого значения

у расщепляется на три. Один остается в вершине и его значение продолжает / М-

уменьшаться, а два других располагаются симметрично относительно вершины и «расходятся» с ростом . Эти кривые строятся как линии уровня

= 0. Значение этих экстремумов растет с ростом у и, начиная с

/ №

некоторого значения, Р/ начинают превышать значение в вершине (рисунок 4).

/ п

В заключении приводятся основные результаты работы.

ОБЩЕЕ ЗАКЛЮЧЕНИЕ И ВЫВОДЫ

1. Построена приближенная нелинейная модель плоской деформации несжимаемого однородного изотропного материала в рамках эффектов третьего порядка. Проведен вычислительный анализ (по литературным экспериментальным данным) области применимости предложенной модели. Результаты сравнивались с точным решением задачи о концентрации напряжений на контуре окружности при равномерном растяжении на бесконечности для потенциала применяемой приближенной модели

2. Показано, что для эффектов первого и второго порядка основные уравнения краевой задачи с неизвестными функциями /(х,у) и И(х,у) являются бигармоническими, в отличие от задачи для эффектов третьего порядка. Этот факт позволяет автоматизировать аналитическое решение краевых задач для эффектов первого и второго порядка единым образом. В эффектах третьего порядка аналогичное уравнение является неоднородным бигармоническим уравнением с правой частью, зависящей от решений для эффектов первого и второго порядка, что не позволяет воспользоваться теми же подходами. Однако записанный выше потенциал, константы которого получены в рамках эффектов третьего порядка, предлагается использовать и в модели с эффектами второго порядка, в рамках которой разрабатывается автоматизация аналитических расчетов.

3. Представлены вычислительные формулы для эффектов первого и второго порядка, позволяющие получить аналитическое выражение для коэффициента концентрации напряжений около отверстия для различных видов отверстий и различных граничных условий на бесконечности. Показано, что, несмотря на использование предложенного потенциала энергии деформации, содержащего три константы величины ц, и в окончательные выражения напряжений и коэффициента концентрации для эффектов второго порядка не входят. Тем самым подтверждается вывод о том, что для несжимаемого материала эффекты второго порядка описывают только влияние геометрической нелинейности. Приведена методика выбора малого параметра по граничным условиям и выражения для коэффициента концентрации.

4. Представлено описание и инструкция по применению символьных блоков для решения задач о концентрации напряжений на контуре отверстия.

5. На примере эллиптического контура исследован нелинейный'эффект зависимости коэффициента концентрации напряжений от уровня внешней нагрузки и формы контура.

Результаты диссертационной работы отражены в шести публикациях.

Статьи в ведущих рецензируемых научных журналах и изданиях, определенных Высшей Аттестационной Комиссией России:

1. Щукина, H.A. Выделение эффектов второго порядка в тензоре кратности удлинения и логарифмической мере деформации / Б.А. Жуков, H.A. Щукина // Изв. ВолгГТУ. Серия "Реология, процессы и аппараты химической технологии". Вып. 1 : межвуз. сб. науч. ст. / ВолгГТУ. - Волгоград, 2007. - № 11. - С. 62-64.

2. Щукина, H.A. Модель эффектов третьего порядка в статических задачах расчётов резинотехнических изделий / Б.А. Жуков, H.A. Щукина // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. - 2010. - № 3. - С. 24-27.

3. Щукина, H.A. Эффекты третьего порядка в исследовании концентрации напряжений около отверстий / Б.А. Жуков, H.A. Щукина // Изв. ВолгГТУ. Серия «Реология, процессы и аппараты химической технологии». Вып. 3 : межвуз. сб. науч. ст. / ВолгГТУ. - Волгоград, 2010. - № 1. - С. 113-118.

Публикации в других изданиях:

1. Щукина, H.A. Моделирование решения плоских задач о концентрации напряжений около отверстий в системе Maple / H.A. Щукина, Ю.Ю. Андреева // Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии : докл. VIII всерос. науч.-техн. конф. / Тульский гос. ун-т [и др.]. - Тула, 2011. - С. 44-46.

2. Щукина, H.A. Некоторые модели эффектов второго порядка для гиперупругих изотропных несжимаемых сред / Б.А. Жуков, H.A. Щукина // Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-21 : сб. тр. XXI междунар. науч. конф., 27-30 мая 2008 г. / Саратовский гос. техн. ун-т [и др.]. - Саратов, 2008. -Т. 3.-С. 151-154.

3. Щукина, H.A. Создание символьных блоков для решения задач нелинейной теории упругости / Б.А. Жуков, H.A. Щукина // Техника и технология: новые перспективы развития: матер. V междунар. науч.-практ. конф. (18.04.2012) / Науч. журнал "Естеств. и техн. науки", Изд-во "Спутник+". - М., 2012. - С. 7780

Подписано в печать 22.11.2012. Заказ № 727. Тираж 100 экз. Печ. л. 1.0 Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.

Отпечатано в типографии ИУНЛ Волгоградского государственного технического университета. 400005, Волгоград, просп. им. В.И.Ленина, 28, корп. №7.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата технических наук, Щукина, Наталья Александровна

ВВЕДЕНИЕ. ОБЗОР ИСТОЧНИКОВ.

ГЛАВА 1. ИНЖЕНЕРНАЯ МОДЕЛЬ НЕЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

1.1. Обоснование инженерных моделей второго и третьего порядков.

1.1.1. Основные соотношения.

1.1.2. Экспериментальная проверка.

1.2. Плоская деформация в несжимаемом материале.

1.2.1. Уравнения равновесия в перемещениях при плоской деформации.

1.3. Построение инженерных моделей нелинейной теории упругости для плоской деформации по степеням малого параметра.

1.3.1. Формулировка граничных задач для плоского деформированного состояния.

1.3.2. Необходимое условие разрешимости граничной задачи в напряжениях по степеням малого параметра.

1.3.3. Необходимое условие разрешимости граничной задачи в перемещениях по степеням малого параметра.

1.4. Исключение условия несжимаемости по степеням малого параметра

1.4.1. Описание перемещений, сохраняющих объем при плоской деформации.

1.4.2. Постановка граничных задач.

1.5. Сравнение решений в рамках инженерной теории с решением в точной постановке для круглого отверстия, равномерно растягиваемого на бесконечности.

1.5.1. Решение задачи о концентрации напряжений около круглого отверстия при равномерном растяжении на бесконечности в рамках инженерной теории.

1.5.2. Задача о концентрации напряжений около круглого отверстия при равномерном растяжении на бесконечности. Точное решение.

ГЛАВА 2. РАЗЛОЖЕНИЕ ОБЪЕКТОВ ПО СТЕПЕНЯМ МАЛОГО

ПАРАМЕТРА ДО ПЕРВОГО И ВТОРОГО ПОРЯДКОВ ЧЕРЕЗ КОМПЛЕКСНЫЕ ПОТЕНЦИАЛЫ.

2.1. Комплексные потенциалы в разложении по малому параметру до первого порядка.

2.1.1. Основные соотношения, выражающие перемещения и напряжения первого порядка через комплексные потенциалы.

2.1.2. Представление потенциалов в двусвязной области.

2.1.3. Условие однозначности смещений.

2.1.4. Физический смысл констант Ви и Вп.

2.1.5. Ограниченность напряжений на бесконечности.

2.1.6. Отсутствие вращения на бесконечности.

2.1.7. Изменение выражений при конформном отображении.

2.1.8. Приведение граничных задач к интегральным уравнениям.

2.2. Комплексные потенциалы в разложении по малому параметру до второго порядка.

2.2.1. Основные соотношения, выражающие перемещения и напряжения второго порядка через комплексные потенциалы.

2.2.2. Представление потенциалов в двусвязной области.

2.2.3. Условие однозначности смещений.

2.2.4. Физический смысл констант В2] и В22.

2.2.5. Ограниченность напряжений на бесконечности.

2.2.6. Отсутствие вращения на бесконечности.

2.2.7. Изменение выражений при конформном отображении.

2.2.8. Приведение граничных задач к интегральным уравнениям.

2.2.9. Точное вычисление интеграла типа Коши в рамках разложения по малому параметру до второго порядка.

2.2.10. Приближенное вычисление интеграла типа Коши в разложении по малому параметру до второго порядка.

2.2.11. Выбор малого параметра. Представление силовых граничных условий и коэффициента концентрации.

ГЛАВА 3. СИМВОЛЬНЫЕ БЛОКИ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ ПЛОСКИХ ЗАДАЧ О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ НА КОНТУРЕ ОТВЕРСТИЙ.

3.1. Библиотека В1ЫА.

3.2. Нелинейный эффект зависимости коэффициента концентрации от внешнего усилия.

Введение диссертация по механике, на тему "Инженерные модели плоских статических задач нелинейной упругости"

Актуальность работы. Одним из важнейших классов изделий, применяемых в современном машиностроении, являются резинотехнические изделия. В настоящее время резинотехнические изделия применяются практически во всех отраслях хозяйственной деятельности человека [1, 7, 31, 90, 109, 111, 112, 113, 117, 169]. Эксплуатация воздушного, водного, автомобильного, железнодорожного транспорта, космических аппаратов и энергетических установок не возможна без надежных резиновых уплотнений. Все шире на транспорте применяются резинометаллические шарниры, обеспечивающие низкие шумы и виброизоляцию гусеничных движителей и других агрегатов. В строительстве, промышленности и горнодобывающей технике широко применяются резинометаллические амортизаторы, опоры, виброизоляторы, надувные пневматические конструкции, резинотканевые рукава, конвейерные ленты и эластичные емкости для жидких грузов [117]. В большинстве случаев надежность и долговечность конструкций определяется надежностью и долговечностью комплектующих резиновых изделий, несмотря на то, что их вклад в вес и стоимость конструкции обычно незначителен. Поэтому к расчету резиновых изделий предъявляются повышенные требования [117]. С точки зрения надежности работы изделий и конструкций в свете современных представлений теории разрушения важнейшей информацией является знание полей напряжений в зоне их концентрации. Одним из распространенных концентраторов, существование которых вызвано конструктивной необходимостью, является отверстие. Поэтому исследование и расчет концентрации напряжений около отверстий в резинотехнических изделиях является актуальной задачей.

В области эксплуатационных нагрузок резина находится в высокоэластичном состоянии, то есть она относится к эластомерам [11]. Поскольку в высокоэластичном состоянии резина является низкомодульным материалом и допускает большие эксплуатационные деформации, то для описания напряженно-деформированного состояния необходимо привлекать нелинейную теорию упругости. К настоящему времени нелинейной теории упругости посвящена обширная литература. Существо проблемы изложено в монографиях и обзорах [38, 32, 62, 67, 68, 84, 88, 89, 106, 114, 125, 133, 134, 139, 142,153, 160, 162, 198, 212]. В этих монографиях можно найти подробные ссылки на работы отечественных и зарубежных ученых до 1992 года. Основополагающие экспериментальные работы приведены в [152] и подробно изложены в [13]. Вклад зарубежных ученых в создание и развитие нелинейной теории упругости связан с именами Р. Ривлина, Д. Сондерса, Ф. Мурнагана, А. Грина, Дж. Ад-кинса, В. Прагера, Дж. Эриксена, К. Трусделла и других. Вклад отечественных ученых в создание теории нелинейной упругости в первой половине прошлого века отмечен в [94] и связан, в первую очередь, с именами Д.И Кутилина, В. В. Новожилова [102], Н. В.Зволинского, П. М. Риза [55], А. Я. Горгидзе, А. К. Рухадзе [34-37]. Начиная с середины прошлого века дальнейшее развитие нелинейная теория упругости получила в трудах В. В. Новожилова, Л. И. Седова, Л. А. Толоконникова, Г.Н. Савина, А. И. Лурье, В. Л. Бидермана, В.В. Болотина, К.Ф. Черных, С.И. Дымникова и их учеников. Этими учеными были созданы научные школы и их ученики сейчас сами возглавляют научные коллективы. В настоящее время развитие теории нелинейной упругости в России связано с научными школами, возглавляемыми Л. М. Зубовым, Б. Е. Победрей, И.М. Дунаевым, В.А. Пальмовым, Н.Ф. Морозовым и других. Известны работы Г.С.Тарасьева и В.А. Левина в области наложения конечных деформаций на конечные, В. Д. Клюшникова в области определяющих соотношений при конечных деформациях, И. А. Бригаднова в области математической теории нелинейной упругости. Нелинейным эффектам посвящены работы [9, 107]. Точные нелинейные решения получены для центрально - симметричных задач, задачи Ламе, задачи контролируемого изгиба [38, 88, 153], для некоторых задач при антиплоской деформации [160]. Для несжимаемого материала точные решения получены в задачах с универсальными деформациями. Некоторые точные решения для материала Трелоара приведены в [192]. Появились работы и монографии [40, 57, 211, 212], в которых приводятся решения важных классов 6 задач. Тем не менее получение точных решений задач нелинейной теории упругости является сложнейшей проблемой. В силу этого разработаны различные приближенные модели, позволяющие свести решение нелинейной задачи к решению ряда линейных задач. Так в коммерческих пакетах, таких как А№У8, АВАС>и8, ЗоНс^огкБ, предназначенных для решения задач механики и физики, реализован инкрементальный подход [3, 12, 173]. То есть конечная деформация разбивается на ряд шагов. На каждом шаге полагают деформации малыми и линеаризуют уравнения нелинейной теории упругости. Получаются уравнения линейной теории упругости с переменными коэффициентами (уравнения линейной теории упругости неоднородного материала), зависящими от решений на предыдущих шагах. Соответствующие линейные задачи решаются методом конечных элементов. Возникает два вида погрешности: погрешность ограничения конечным числом шагов и погрешность дискретизации. Уменьшение первого вида погрешности в общем случае требует интерактивной связи расчетчика и пакета по вопросу выбора шага, необходимости пересчета на каждом шаге матрицы жесткости и так далее. Уменьшение погрешности второго типа требует увеличение числа конечных элементов в зонах больших градиентов рассчитываемых полей, в частности в зонах концентрации напряжений. Но увеличению количества конечных элементов препятствует ограниченность ресурсов компьютеров. Поэтому возникает практическая невозможность вычисления максимальных значений напряжений в зонах концентрации. Таким образом метод конечных элементов плохо приспособлен к исследованию концентрации напряжений в зонах с большими градиентами напряжений, например в окрестностях угловых точек отверстий. В силу вышесказанного возникает актуальная задача разработки метода, сводящего решение нелинейных задач теории упругости к решению линейных задач и позволяющего точно решать последние. По крайней мере для определенного класса задач.

В статических задачах предполагается, что эластомер является гиперупругим материалом, то есть существует потенциал энергии упругой деформации. Существенный разброс в уравнениях состояния нелинейной теории гиперупру7 гости в отличие от линейной теории, где всегда выполняется закон Гука, снижает ценность точных постановок задач нелинейной теории упругости. Точные решения, найденные для конкретных потенциалов энергии деформации гиперупругих материалов, удовлетворительно совпадающие с экспериментальными данными для одного вида деформированного состояния, могут не совпадать с этими данными для других деформированных состояний. Актуальной является разработка приближенной «инженерной» модели нелинейной теории гиперупругости для средних уровней деформации, одинаково удовлетворительно описывающей различные напряженные состояния и позволяющей использовать методы линейной теории для решения конкретных задач. Альтернативой инкрементальному подходу, приводящему к решению задач линейной теории упругости неоднородных тел, служит метод возмущения, так же сводящий решение нелинейной задачи к решению ряда линейных задач, но уже однородных тел. Этот метод, впервые примененный в нелинейной теории упругости А. Синьорини [204], основан на разложении объектов, описывающих напряженно-деформированное состояние, в ряд по степеням малого параметра. Удерживая один, два или три члена будем получать решение в рамках эффектов первого, второго, третьего порядка. При этом возникает ошибка ограничения. Для нахождения каждого члена разложения получается задача линейной теории упругости однородных тел, но с добавочными «внешними» поверхностными и объемными усилиями, зависящими от решений в рамках эффектов предыдущих порядков. Методом возмущений построено решение плоской задачи теории упругости для композита пленка-основание при слабом искривлении поверхности пленки [21]. Для точного аналитического решения плоских задач такого типа разработан мощный аппарат, использующий теорию функций комплексной переменной. Разработка этого аппарата связана с именами Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, Ф.Д. Гахова, Д.И. Шермана и других. Такой подход может быть положен в основу создания приближенной «инженерной» модели нелинейной теории гиперупругости. Вместо оценки погрешности ограничения даются рекомендации по выбору области применимости модели в сравнении с 8 точными решениями и экспериментальными данными. Другими словами, для обоснования достоверности модели в ее рамках по экспериментальным данным при одноосном растяжении находятся константы материала, а потом на экспериментальном материале для двухосного растяжения проверяется приемлемость теоретического описания. Производится сравнение полученных результатов в рамках приближенной модели с точным решением для одного варианта задачи Ламе. Критерием для ограничения величины деформации в области применимости модели можно выбрать 10%-ное отклонение теоретического значения напряжения от экспериментального.

Проблемой, связанной с расчетом резинотехнических изделий, является учет ее несжимаемости. Эксперименты Холта и Макферсона [152] показали, что вплоть до деформаций порядка 400% изменение объема находилось в пределах погрешности эксперимента. Учет малой сжимаемости необходим только при расчете тонкослойных резинометаллических изделий. В отличие от сжимаемых материалов в несжимаемых материалах напряжения не определяются деформациями, по ним напряженное состояние находится только с точностью до гидростатического давления. Вместе с тем условие несжимаемости несет дополнительную информацию о геометрии деформирования, причем прибавляет ли эта информация трудностей в решении или уменьшает их зависит от того, в какой форме условие несжимаемости учитывается. Само по себе уравнение несжимаемости увеличивает количество уравнений в системе на одно уравнение, что усложняет задачу. Оно так же увеличивает размерность задачи (на одну независимую переменную) в вариационных методах при учете его с помощью множителей Лагранжа. В численных реализациях обнаружено, что для совместности уравнений Эйлера необходимо, чтобы порядок аппроксимации гидростатического давления был ниже порядка аппроксимации перемещений [81]. Это относится как к методам Ритца и Канторовича, так и к методу конечных элементов [29, 30]. Такая ситуация трактуется как некорректность постановки задачи с множителем Лагранжа [33]. Актуальной является разработка варианта инженерной модели, в рамках которой условие несжимаемости выполняется автоматически.

В современных конструкторских бюро и лабораториях методы расчетов на прочность по приближенным эмпирическим формулам или «сопроматов-ским» решениям постепенно вытесняются компьютерными расчетами в рамках более точных постановок с помощью специальных вычислительных пакетов программ. Существует уже значительный выбор коммерческих пакетов, таких как ANSYS, ABAQUS, SolidWorks и других. В рамках всех этих пакетов для решения нелинейных задач реализован инкрементальный подход, особенности которого отмечены выше. В настоящее время научное программирование претерпевает серьезные изменения: развиваются интегрированные среды, основанные на алгоритмических языках, растет применение универсальных математических систем (Maple, MathCAD, Mathematica, MatLAB и др.). Эти системы имеют дружественный интерфейс, реализуют множество стандартных и специальных математических операций, снабжены мощными графическими средствами и имеют собственные языки программирования. Все это предоставляет широкие возможности для эффективной работы специалистов различных профилей. Актуальной задачей является реализация и автоматизация расчетов в рамках предложенной инженерной модели в одной из таких систем. В данной работе выбрана система "Maple", которая содержит средства символьной математики, позволяющие реализовать автоматизацию аналитических решений некоторых классов линейных задач.

Цель работы и задачи исследования. Целью работы является разработка технической модели нелинейной теории упругости эластомеров в рамках эффектов второго и третьего порядков, пригодной для автоматического получения аналитических решений плоских задач нелинейной теории упругости о концентрации напряжений около отверстий на базе математического пакета Maple.

Достижение этой цели связывается с решением следующих задач:

2. построение приближенной модели нелинейной теории упругости и определение областей ее применимости;

4. реализация предложенного алгоритма в рамках пакета символьной математики Maple.

Автор защищает следующие результаты.

1. Приближенные соотношения нелинейной теории упругости и их экспериментальное обоснование.

Научная новизна и практическая значимость.

2. В рамках предложенной модели на платформе Maple созданы символьные блоки, позволяющие автоматически получать аналитические выражения для распределения напряжений на контуре отверстия, свободного от нагрузок.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены на VII всероссийской научно-технической конференции «Проблемы информатики в образовании, управлении, экономике и технике» (г. Пенза, 2007 г.), XXI международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях. ММТТ-21» (г. Саратов, 2008 г.), VIII всероссийской научно-технической конференции «Информационные системы и модели в научных исследованиях, промышленности, образовании и экологии» (г. Тула, 2010 г.), V международной научно-практической конференции «Техника и технология: новые перспективы развития» (г. Москва, 2012) и регулярно докладывались на научно-технических конференциях ВолгГТУ в 2008- 2012гг.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка используемой литературы и приложения. Объем основной части, включая таблицы и рисунки, а также список литературы из 212 наименований, составляет 127 страниц.

Заключение диссертации по теме "Механика деформируемого твердого тела"

Выводы по главе

• Представлено описание и инструкция по применению библиотеки программ «Концентрация напряжений на контуре отверстия». Листинг библиотеки приведен в виде текстового файла в приложении.

• На примере эллиптического контура исследован нелинейный эффект зависимости коэффициента концентрации напряжений от уровня внешней нагрузки и формы контура.

заключение

• Построена приближенная нелинейная модель плоской деформации несжимаемого однородного изотропного материала в рамках эффектов третьего порядка. Проведено экспериментальное исследование области применимости предложенной модели. Результаты сравнивались с точным решением задачи о концетрации напряжений на контуре окружности при равномерном растяжении на бесконечности для потенциала приближенной модели 4{(3ц + ц,)[/, (с-) - з] - ц, [д (с*) - з] + (с-) - 31}.

• Показано, что для эффектов первого и второго порядка уравнения для отыскания неизвестных функций /(х,у) и И[х,у) являются бигармоническими, в отличие от эффектов третьего порядка. Этот факт позволяет автоматизировать аналитическое решение краевых задач для эффектов первого и второго порядка единым образом. В эффектах третьего порядка аналогичное уравнение является неоднородным бигармоническим уравнением с правой частью, зависящей от решений для эффектов первого и второго порядка, что не позволяет применять те же подходы, что для эффектов первого и второго порядка. Потенциал, константы которого получены в рамках эффектов третьего порядка, предлагается использовать и в модели с эффектами второго порядка, в рамках которой будет разрабатываться автоматизация аналитических расчетов.

• Представлены вычислительные формулы для эффектов первого и второго порядка, позволяющие получить аналитическое выражение для коэффициента концентрации напряжений около отверстия для различных видов отвергай и различных граничных условий на бесконечности. Показано, что несмотря на использование потенциала энергии деформации, содержащий три константы величины и ц2 в окончательные выражения для эффектов второго порядка, такие как выражения для напряжений и коэффициента концентрации, не входят. То есть подтверждается утверждение о том, что эффекты второго порядка описывают только влияние геометрической нелинейности. Приведена методика выбора малого параметра по граничным условиям и выражения для коэффициента концентрации.

Список источников диссертации и автореферата по механике, кандидата технических наук, Щукина, Наталья Александровна, Волгоград

1. Аврущенко Б. X. Резиновые уплотнители. Л.: Химия, 1978. 136 с.

2. Актуальные проблемы нелинейной механики сплошных сред. Вопросы механики и процессов управления. Вып. 1. Сб. статей под ред. акад. В.В.Новожилова. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. 180 с.

3. Алямовский A.A. и др. Solid Works. Компьютерное моделирование в инженерной практике. СПб.: БХВ Петербург, 2005.800 с.

4. Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике // Материалы международного совещания. Дубна: ОИЯИ, 1980. 187 с.

5. Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике // Материалы международного совещания. Дубна: ОИЯИ, 1983. 260 с.

6. Аналитические вычисления на ЭВМ и их применение в теоретической физике // Материалы международного совещания. Дубна: ОИЯИ, 1985. 420 с.

7. Арсеньев Л.Б., Поляков В.П. Пневматические сооружения. М.: Знание, 1981. 64 с.

8. Астафьев В.И., Крутов А.Н. Распределение напряжений вблизи вершины наклонной трещины в нелинейной механике разрушения. // Изв. РАН. МТТ. 2001. №5. С. 125-133.

9. Ю.Бакушев C.B. К вопросу о замыкающих уравнениях при центрально- и осе-симметричных деформациях геометрически нелинейной сплошной среды. //Изв. вузов. Строительство. 1997. №12. С. 30-35.

10. П.Бартенев Г.М., Зеленев Ю.В. Курс физики полимеров. Л.: Химия, 1976. 288 с.

11. Басов К.А. ANS YS: справочник пользователя. М.: ДЬК Пресс, 2005. 640с.

12. З.Белл Дж.Ф. Экспериментальные основы механики деформируемых твердых тел. М.: Наука, 1984. 4.1. Малые деформации. 597 с. 4.2. Конечные деформации. 432 с.

13. М.Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. М.: Наука, 1985. 252 с.

14. Бондарь В. Д. Метод Колосова Мусхелишвили в нелинейной упругости при плоской деформации. // Тезисы докладов 2 Всесоюзной конференции по нелинейной теории упругости. Фрунзе. 1985. С. 35-36.

15. Бондарь В.Д. Плоская деформация в геометрически нелинейной теории упругости. // ПМТФ. 1994. 8, №1. С. 99 -114.

16. Бондарь В.Д. Метод комплексных потенциалов в нелинейной теории упругости. //ПМТФ. 2000. 41, №1. С. 133-143.

17. Бойков И. В. Об одном прямом методе решения сингулярных интегральных уравнений // Журн. выч. мат. и матем. физики. 1972. Т. 12, № 6. С. 13811390.

18. Бригаднов И.А. О математической корректности краевых задач эластоста-тики для гиперупругих материалов. // Изв. РАН. МТТ. 1996. № 6. С. 37-46.

19. Васильев В. В. Задача геометрической теории упругости о концентрации напряжений в пластине с круговым отверстием / В. В. Васильев, Л. В. Федоров // Известия РАН. Механика твердого тела. 2008. - № 4: Июль-август. - С. 618.

20. Викулина Ю. И. Модель пленочного покрытия со слабо искривленной поверхностью / Ю. И. Викулина, М. А. Греков, С. А. Костырко// Известия РАН. Механика твердого тела. 2010. - № 6: Ноябрь-декабрь. - С. 16-28.

21. Вихренко Д. В. Расчетно-экспериментальный метод оценки долговечности деталей сложной конфигурации с концентраторами напряжений / Д. В. Вих-ренко// Вестник машиностроения. 2008. - № 3. - С. 27-30.

22. Волокитин Г. И. Эффекты второго порядка в задаче Ламе для термоупругого цилиндра. // Ростов. н/Д. ун. т. Ростов н/Д. 1984. 20 с. ( Рук. деп. ВИНИТИ 5.6.1984. №3655 -84).

23. Габдулахаев Г.Б. Конечномерные аппроксимации сингулярных интегралов и прямые методы решения особых интегральных и интегро дифференциальных уравнений. //Итоги науки и техники. Математический анализ. 1980. Т.18. С. 251-303.

24. Гандель Ю. В., Лифанов И. К., Матвеев А. Ф. Численное решение сингулярных краевых задач математической физики, сводящихся к сингулярному интегральному уравнению на системе отрезков. М.: ИТЭФ, 1984. № 174. 55 с.

25. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: ГИФМЛ, 1963. 693 с.

26. Говорухин В.Н., Цибулин И.Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. М.: Мир, 1997. 208 с.

27. Глухих С.А. Обжатие резиновой трубы гидростатическим давлением. // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне, 1982, Вып. 40. С. 58-61.

28. Гозман Е.А. Особенности расчетов эластомерных конструкций на основе пошаговой линеаризации многоконстантного потенциала. // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне, 1984. Вып. 40. С. 29-43.

29. Голод Б. И., Кошевой Ф.Л. Эластичные емкости для транспортировки и хранения жидких грузов. Л.: Судостроение, 1963. 142 с.

30. Гольденблат И.И. Нелинейные проблемы теории упругости. М.: Наука, 1969. 336 с.

31. Гонца В.Ф. Пример решения задачи теории упругости для несжимаемого материала как некорректной задачи. // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне, 1982, Вып. 40. С. 68-72.

32. Горгидзе А. Я. Вторичные эффекты в задаче растяжения бруса, составленного из различных материалов. //Сообщения АН Груз. ССР. 1943. Т. IV. № 2. С.111-114.

33. Горгидзе А. Я. Вторичные эффекты кручения составного бруса. //Сообщения АН Груз. ССР. 1946. Т. VI1. № 8. С. 515-519.

34. Горгидзе А. Я., Рухадзе А.К. О вторичных эффектах при кручении армированного кругового цилиндра. //Сообщения АН Груз. ССР. 1942. Т. 111. № 8. С. 759-766.

35. Горгидзе А. Я., Рухадзе А.К. Вторичные эффекты в задаче растяжения и изгиба парой бруса, составленного из различных материалов. //Труды Тбилисского математич. ин-та. 1943. Т. XI1. С. 79-94.

36. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 455 с.

37. Грошева М.В., Ефимов Г.Б., Самсонов В.А. История использования аналитических вычислений в задачах механики. М.: Изд. ИПМ РАН, 2005. 88с.

38. Доборджгинидзе Л. Г. Задача о давлении жесткого штампа на границу нелинейно-упругой полуплоскости при конечных деформациях. // ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 5. С. 811-815.

39. Дунаев И.М. Нелинейная теория термовязкоупругости структурно-неоднородных слабосжимаемых эластомеров. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. Регион. Естеств. науки. 1999. №1. С.57-61

40. Дьяконов В.П. Математическая система Maple v. R3/R4/R5. М.: "Солон", 1998.400 с.

41. Еремеев В.А., Зубов Л.М., Карякин М.И., Чернега Н.Я.// Образование полостей в нелинейно-упругих телах с дислокациями и дисклинациями. // Докл. АН. 1992. Т.326, №6. С. 968-971.

42. Жуков Б. А. Описание конечных деформаций, сохраняющих объем. Волгоград, 1986. 17 с. / Деп. в ВИНИТИ 13.2. 1986. 1469-В86

43. Жуков Б. А. Эффекты второго порядка в плоской задаче теории упругости несжимаемого материала. Волгоград, 1993. 16с. / Деп. в ВИНИТИ 28.20.93. 2683-В93.

44. Жуков Б. А. Влияние эффектов второго порядка на концентрацию напряжений в несжимаемом материале // Современные проблемы механики сплошной среды Тр. 5-ой Междунар. конф. Ростов н/Д.: Изд. СКНЦ ВШ. 1999. Т. 2. С. 101-106.

45. Жуков Б.А. Один вариант метода Синьорини при плоской деформации несжимаемого материала. Изв. РАН. МТТ. 2001. № 4. С. 59-67

46. Жуков Б.А. Эффекты второго порядка при совместном действии плоской и антиплоской деформаций. //Металловедение и прочность материалов. Волгоград: 2001. С. 98-103.

47. Жуков Б. А. Нелинейные эффекты при исследовании концентрации напряжений около треугольного отверстия. // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Математическое моделирование. Спецвыпуск. 2001г. С. 70-71.

48. Жуков, Б.А. Модель эффектов третьего порядка в статических задачах расчётов резинотехнических изделий / Б.А. Жуков, H.A. Щукина // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2010. - № 3. - С. 24-27.

49. Зубов Л.М. Вариационные принципы нелинейной теории упругости. // ПММ.1971. Т. 35, № 3. С. 406-410.

50. Иванов В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1968. 288 с.

51. Илюшин A.A. Механика сплошной среды. М.: Изд. МГУ, 1978. 287 с.

52. Информационные технологии в процессе обучения в техническом вузе : монография / Б.А. Жуков, В.М. Волчков, И.Э. Симонова и др.; под ред. Б.А. Жукова ; ВолгГТУ. Волгоград, 2010. - 76 с.

53. Кадашевич Ю. И. Описание эффектов второго порядка в рамках эндохрон-ной теории неупругости для больших деформаций / Ю. И. Кадашевич, С. П. Помыткин // Известия РАН. Механика твердого тела. 2010. - № 6: Ноябрь-декабрь. - С. 123-136.

54. Карнаухов В.Г., Гуменюк Б.П. Термомеханика предварительно деформированных вязкоупругих тел. Киев: Наукова думка, 1990. 304 с.

55. Клюшников В.Д. Физико-математические основы прочности и пластичности. М.: Изд. МГУ, 1994. 190 с.

56. Койфман Ю. Н. Большие деформации цилиндрического изгиба прямоугольных пластин//Прикл. механика. 1968. №5. С. 101-108.

57. Койфман Ю. Н. Напряженно-деформированное состояние труб и кольцевых дисков из высокоэластичных нелинейно-упругих материалов // Динамика и прочность машин. 1966. Вып. 3. С. 75-81.

58. Койфман Ю. Н. Составные трубы и кольцевые диски из высокоэластичных нелинейно упругих материалов // Динамика и прочность машин. 1966. Вып. 4. С. 37-43.

59. Койфман Ю. Н. Кручение высокоэластичных цилиндров скрепленных с жесткой обоймой //Механ. полимеров. 1968. № 3 . С. 551-553.

60. Койфман Ю. Н. Плоские нелинейные задачи упругого равновесия многосвязных тел // Прикл. механика. 1970. №2. С.58-65.

61. Койфман Ю. Н., Ланглейбен А. Ш. Большие упругие деформации двухслойного цилиндра. //Прикл. механика. 1966. № 9. С.71-89.

62. Койфман Ю. Н., Ланглейбен А. Ш. Большие упругие деформации плоского изгиба консольной пластины. // Вестн. Львовского политехи, ин-та. 1967. № 19. С. 173-188.

63. Койфман Ю. Н., Ланглейбен А. Ш. Плоские нелинейные задачи теории упругости для многосвязных тел // 3-й Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике: Сб. статей. М. 1968. 165 с.

64. Койфман Ю. Н., Ланглейбен А. Ш. Геометрически нелинейные эффекты концентрации напряжений около отверстий в тонких пластинках // Прикл. механика. 1967. № 2. С. 40- 46.

65. Койфман Ю. Н., Ланглейбен А. Ш. Напряженно- деформированное состояние пластин с двумя равными отверстиями при высокоэластичной деформации // Механ. полимеров. 1969. № 4. С. 687-692.

66. Корнейчук А. А. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов // В сб. Численные методы решения дифференциальных уравнений и квадратурные формулы. М.: Наука, 1964. Т. 4, № 4. С. 64-74.

67. Кузнецов В.Г., Роговой A.A. Эффект учета слабой сжимаемости. Осесим-метричная задача. //Изв. РАНМТТ. 2000. № 6. С. 25-37.

68. Лавендел Э.Э., Сниегс М.И. Применение конечных элементов в плоской задаче. // Вопросы динамики и прочности. Рига: Зинатне, 1974. Вып. 29. С. 181-187.

69. Лаврентьев М. А. О построении потока, обтекающего дугу заданной формы // Тр. ЦАГИ. 1932. вып. 118. С. 3-56.

70. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1958. 678 с.

71. Левин В.А. Многократное наложение больших деформаций в упругих и вязкоупругих телах. М.: НАУКА. Физматлит, 1999. 224 с.

72. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО Янус, 1995. 520 с.

73. Лурье А. И. Некоторые задачи нелинейной теории упругости. // В кн. Третий Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. М. 1968. С. 199.

74. Лурье А. И. Критерий эллиптичности уравнений равновесия нелинейной теории упругости. // Изв. АН СССР. МТТ. 1979. № 2. С. 23-34.

75. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.

76. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

77. Магула В. Э. Судовые эластичные конструкции. Л.: Судостроение, 1978. 263 с.

78. Мальков В.М. Нелинейный закон упругости для тензора условных напряжений. // Изв. РАН. МТТ. 1998. № 1. С. 91-98.

79. Манзон Б.М. Maple V power edition. М.: "Филинъ", 1998. 240 с.

80. Машков А.В. К расчету резиновых элементов строительных конструкций методами нелинейной теории упругости. Кандидатская диссертация. Саратов, 1981. 144 с.

81. Механика в СССР за 50 лет. / Под ред. Л.И. Седова и др. М.: Наука, 1972. Т.З. 478 с.

82. Методы компьютерного конструирования моделей механики систем твердых тел. Материалы Всесоюзн. рабочего совещания. Ленинград, 1989. № 6. 32 с. (Препринт / Ленингр. фил. Ин-та машиновед. АН СССР).

83. Михлин С Г. Интегральные уравнения.-М.-Л.: Физматгиз, 1949.-380 с.

84. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. 5-е изд. М.: Наука, 1966. 707 с.

85. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 512 с.

86. Мухин А. Д. Автоматизация расчета и анализа динамических характеристик конструкций ракет-носителей / А.Д. Мухин, А.Н. Темнов// Вестник МГТУ им. Н. Э. Баумана. Сер.: Приборостроение. 2008. - № 1. - С. 91-106.

87. Никифоров В. П. Деформационные свойства сшитых каучуков и технических резин в различных видах напряженного состояния: Дис. . канд. тех. наук. Л., 1973. 181 с.

88. Новожилов В. В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948.211 с.

89. Новожилов В.В. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейно-упругой среде. //ПММ. 1952. 15, №2. С. 183-194.

90. Новожилов В. В. Теория упругости. Л.: Судпромгиз, 1958. 372 с.

91. Овчинников И. Г., Салиханов Ф. Ю. Нелинейный анализ толстостенного цилиндра методом последовательных возмущений параметров // Строит, мех. и расчет coop. 1982. № 1. С. 15 19.

92. Оден Дж. Конечные элементы в механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. 464с.

93. Панов, А. Д. Нелинейные эффекты при осесимметричном деформировании цилиндрического тела. Эффект Пойнтинга/А.Д. Панов// Известия РАН. Механика твердого тела. 2004. - № 5. - С. 27-43.

94. Пивень В. Ф. Теория и приложения математических моделей фильтрационных течений жидкости.- 0рел.-2006. 506 с.

95. Пневматические строительные конструкции. / Под ред. Ермолова B.B. М.: Стройиздат, 1983. 439 с.

96. Победря Б. Е. Численные методы теории упругости и пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995. 366 с.

97. Пономарев С. Д. и др. Расчеты на прочность в машиностроении. М.: Машгиз, 1956. Т. 2. С. 82-98.

98. Потураев В. Н. Резиновые и резинометаллические детали машин. М.: Машиностроение, 1966. 299 с.

99. Потураев В. Н., Дырда В. И., Круш И. И. Прикладная механика резины. Киев: Наук, думка, 1980. 260 с.

100. Прагер В. Введение в механику сплошных сред. М.: Изд. иностранной литературы, 1963. 312 с.

101. Пресдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М.: Наука, 1979. 494 с.

102. Прикладные методы расчета изделий из высокоэластичных материалов. Под ред. Э.Э. Лавендела. Рига: Зинатне, 1980. 239 с.

103. Применение резиновых технических изделий в народном хозяйстве. Справочное пособие. Под. ред. Д.Л. Федюкина. М.: Химия, 1986 .- 240 с.

104. Притыкин А. И. Концентрация напряжений во флорах с круглыми и овальными вырезами / А. И. Притыкин// Вестник Астраханского государственного технического университета. Сер.: Морская техника и технология. -2009. -№ 1.-С. 76-81.

105. Прусова И.В. О концентрации напряжений вблизи эллиптического отверстия в бесконечной пластине при нелинейных деформациях. Ред. ж. Изв. Ан БССР. Сер. физ.-мат. н. Минск, 1991. 11 с. Деп. ВИНИТИ 26.11.91. 4417-И91.

106. Пыхтеев Г. Н. Точные методы вычисления интегралов типа Коши. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1980. 118 с.

107. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

108. Роговой A.A. Эффект учета слабой сжимаемости материала в задачах с конечными деформациями. // Изв. РАН. МТТ. 1999. № 4 С. 47-77.

109. Рухадзе А. И., Долидзе Д. Н. Вторые эффекты в задаче изгиба поперечной силой однородного призматического бруса // Тр. Груз, политехи, ин-та. 1957. 52. №4. С. 49-62.

110. Савин Г. Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наук, думка, 1968. 888с.

111. Савин Г. Н., Койфман Ю. И. Общая нелинейная теория упругости (обзор) // Прикл. механика. 1970. № 12. С. 3-26.

112. Савин Г.Н., Койфман Ю.И. Нелинейные эффекты в задачах о концентрации напряжений около отверстий с подкрепленным краем. // Прикл. Мех. 1965. 1, № 9. С. 1-13.

113. Савченко В.П. Об использовании САВ в механике твердого тела // Системы аналитических вычислений (методы компьютерной алгебры) в механике твердого тела. Киев: УкрНИИ НТИ, 1990. С. 1-8.

114. Савченко В.И., Анисимова В.Б. и др. Использование машинных аналитических преобразований в механике оболочек // Пакеты прикладных программ. Аналитические преобразования. М.: Наука, 1988. С. 63-73.

115. Саникидзе Д. Г. О некоторых линейных процессах аппроксимации сингулярных интегралов в смысле главного значения // Тезисы докл. третьей научной сессии ин-та прикл. мат. Тбилисского гос. ун-та.-Тбилиси, 1971. С. 50.

116. Саникидзе Д. Г. О порядке приближения некоторых сингулярных операторов квадратурными суммами // Изв. АН АрмССР. Мат. 1970. Т. 5, № 4. С. 371-384.

117. Саникидзе Д. Г., Нинидзе К. Р. Метод свободных параметров в приближенном вычислении интегралов типа Коши // Тр. X международного симпозиума, Харьков Херсон, 29 мая-5 июня 2001г. С. 299-302.

118. Саникидзе Д. Г., Хубежты Ш. С. К вопросу применения внешних узлов в модифицированных схемах дискретных вихрей // Тр. IX международного симпозиума (29 мая-2 июля 2000г). Орел, 2000. С. 395-397

119. Седов JI. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1973. 536 с. Т. 2. М.: Наука, 1973. 584с.

120. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. 284 с.

121. Сейчук В. H. On direct methods of solving nonlinear singular integral equations and theirs sistems given on closed smooth contours // Тр. IX международного симпозиума «МДОЗМФ-2000». Орел, 2000. С. 406-409.

122. Системы для аналитических преобразований в механике // Тезисы докладов Всесоюзн. совещания. Горький: ГГУ, 1984. 147 с.

123. Смирнов Л.Г., Пиймак C.B., Федин И.М. Геометрически нелинейное растяжение плоскости с эллиптическим отверстием. // Мат. методы и физ.-мех. поля. 1990. №51. С. 89-95.

124. Смирнова Т.Н. Полиномиальный прораб и проведение аналитических выкладок на ЭВМ // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. М.-Л., 1962.

125. Снеддон И.Н., Берри Д.С. Классическая теория упругости. М.: Физмат-гиз, 1961.220 с.

126. Степнов, M. Н. Новый подход к расчету коэффициента запаса прочности при циклическом нагружении / M. Н. Степнов// Вестник машиностроения. -2004.-№ 11.-С. 14-17.

127. Стогний А.А. Решение на ЦВМ одной задачи, связанной с дифференцированием функций // Проблемы кибернетики. 1962. № 7. С. 189-200.

128. Сьярле Ф. Математическая теория упругости. М.: Мир, 1992, 472 с.

129. Тарасьев Г. С. Плоские задачи при конечных упругих деформациях. // В кн. Третий Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. М. 1968. С. 290.

130. Теодосиу К. Упругие модели дефектов в кристаллах. М: Мир, 1985. 352 с.

131. Титаев В.А. Атоматизация расчёта строительных конструкций на примере ЛИРА-подобных программных комплексов: Учебное пособие. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2001. 161 е.: ил.

132. Тихоненко Н. Я. Методы приближенного решения сингулярных интегральных уравнений на вещественной оси и уравнений типа свертки // Тр. IX международного симпозиума «МДОЗМФ-2000». Орел, 2000. С. 440-444.

133. Толок В.А., Шапар В.В. Моделирование решения задач теории упругости операторно-символьными рядами в системе Maple // Проблемы машиностроения. 2009. 12, № 1, С. 86-91.

134. Толоконников Л.А. О связи между напряжениями и деформациями в нелинейной теории упругости // ПММ. 1956. Т.20. Вып. 3. С. 439-444.

135. Толоконников Л. А. Уравнения нелинейной теории упругости в перемещениях. // ПММ. 1957. 21, № 6.

136. Толоконников Л. А. Конечные плоские деформации несжимаемого материала.//ПММ. 1959. 13, № 1.С. 146-158.

137. Толоконников Л.А. Задачи теории упругости с учетом геометрической и физической нелинейности. // В кн. Третий Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Аннотации докладов. М. 1968. С. 293.

138. Трелоар Л. Физика упругости каучука. М.: Инлит, 1953. 369 с.

139. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. М.: Наука, 1975. 832 с.

140. Флейшман Н. П., Койфман Ю. И. Большие упругие деформации плоского изгиба прямоугольной пластинки моментами на концах. // Прикл. механика. 1966. №2. С. 22-28.

141. Хубежты Ш. С. О квадратурных формулах для сингулярных интегралов, содержащих наперед заданные узлы // Диф. уравнения. 2001.-Т. 12. С. 17081710.

142. Хубежты Ш. С. Вычисление интегралов типа Коши в задачах плоской теории упругости // Вютник Харшвского ушверситета. 2003. Т. 590, вып. 1. С. 235-239.

143. Хубежты Ш. С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов повышенной точности // Исследования по математического анализу, математического моделированию и информатике. Владикавказ: ВНЦ РАН, 2007. С. 174-182.

144. Хубежты Ш. С. Об аппроксимации некоторых сингулярных операторов и приближенном решении сингулярных интегральных уравнений // Исследования по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию. Владикавказ: ВНЦ РАН, 2008. С. 336-348.

145. Хубежты Ш. С. Сингулярные интегральные уравнения в моделировании и численном решении задач математической физики и теории упругости, диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. Владикавказ. 2004. 292 с.

146. Черных К. Ф., Литвиненкова 3. Н. Теория больших упругих деформаций. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1988. 254 с.

147. Черных К. Ф., Шубина И. М. Законы упругости для изотропных несжимаемых материалов, феноменологический подход. // Механика эластомеров. Краснодар. 1978. Т. 2. Вып. 268. С. 56-62.

148. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Л.: Машиностроение, 1986. 335с.

149. Черных К.Ф. Нелинейная плоская теория упругости и ее приложение к физически и геометрически нелинейной механике трещин. // Успехи мех. 1989. 12, №4. С. 51-75.

150. Черных К.Ф. Введение в физически и геометрически нелинейную теорию трещин. М.: Наука, 1996. 285 с.

151. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. 4.1. Теория. С.П.6., 1999. 276 с.

152. Черных К.Ф. Нелинейная сингулярная упругость. 4.2. Практика. С.П.6., 1998. 194 с.

153. Черных К.Ф. Некоторые законы нелинейной теории упругости. // Докл. РАН 1998. 359, №3. С.337-339

154. Черных К.Ф. Комплексные инвариантные интегралы в плоской задаче нелинейной упругости. // Изв. РАН. МТТ. 1999. №4. С. 164-169.

155. Шахтмейстер Л. Г., Дмитриев В. Г. Теория и расчет ленточных конвейеров. М.: Машиностроение, 1978. 391 с.

156. Шешко М. А. Сингулярные интегральные уравнения с ядром Коши и Гильберта и их приближенное решение. Люблин: Научное общество Католического университета в Люблине. 2003. 288 с.

157. Шурыгин В.А., Яненко Н.Н. О реализации на ЭВМ алгебраических дифференциальных алгоритмов // Проблемы кибернетики. 1961. № 6. С. 33-43.

158. ABAQUS. Пособие для начинающих. Пошаговая инструкция. http://www.tesis.com.ru/software/abaqus/applian.php. (20.2.2012).

159. Adkins J. Е., Green А. Е. Plane problems in second-order elasticity theory. //Proc. Roy. Soc. London, 1958. V.A239. P. 157-275.

160. Adkins J. E., Green A. E., Nicholas G. C. Two dimensional Theory of Elasticity for finite Deformations.// Phlos. Trans. Roy. Soc. London. 1954. A247. 1 929. P. 279 - 306.

161. Adkins J. E., Green A. E., Shield R. T. Finite plan strain. // Phlos. Trans. Roy. Soc. London. 1953. A246. 1 910. P. 181 213.

162. Bharatha S., Levinson M. Signorini's perturbation scheme for a general reference configuration in finite elastostatics. // Arch. Ration. Mech. and Anal. 1978. 67 1 4. P. 365 394.

163. Bharatha S., Levinson M. Extension of Signorini's perturbation scheme in finite elasticity // CANCAM 77. Proc. 6 ,h. Can. Conge. Appl Mech. Vancuver. 1977. V. l.P. 13-14.

164. Bhargava R. D., Gupta P. K. Second order torsion problem of a homogeneous isotropic compressible multiply - connected elastic cylinder // Int. J. Non - Linear Vech. 1976. 11. '4. P 233 - 250.

165. Blackburn W. S. Green A. E. Second order torsion and bending of isotropic elastic cylinders. // Proc. Roy. Soc. 1957. A 240. 1 1222. P. 408 - 422.

166. Blackburn W. S. Second order effects in the flexure of isotropic incompressible elastic cylinders. // Philos. Soc. 1957. 53. 1 4. P. 907 - 921.

167. Capriz G., Podio-Guidigli P. On Signorini's in perturbation method finite elasticity. // Arch. Rational Mech. Anal. 1974. 57. P. 1-30.

168. Capriz G., Podio-Guidigli P. The role of Fredgolm conditions in Signorini's perturbation method. II Arch. Rational Mech. Anal. 1979. 70. P. 261-288.

169. Capriz G., Podio-Guidigli P. A generalization of in Signorini's perturbation method suggested by two problems of Grioli. // Rend. Sem. Mat. Padova. 1982. 68. P. 149-162.

170. Carlson D. E., Shield R. T. Second and higher order effect in a class of problems in plane finite elasticity. // Arch, for Rat. Mech. and Andlysis 1965. 17, № 4. P. 189-214.

171. Choi I., Shield R. T. Second order effects in problems for a class of elastic materials//Z. andew. Math. And Phys. 1981. 32. 1 4. P. 361 - 381.

172. Elliot D. Orthogonal polinomialle associated with singular integral equations having a Couchy kernel // SIAM J. Numer. Anal.-1982. V. 13, № 6. P. 1041-1052.

173. Green A. E., Spratt E. B. Second order effects in the deformations of elastic bodies. // Proc. Roy Soc. 1954. Ser. A. J224. P. 347- 361.

174. Green A. E., Wilkes E. W. A note on finite extension and torsion of a circular cylinder of compressible elastic isotropic material. Quart. J. Mech. and Appl. Math. 1953. 6. 1 2. C. 240-249.

175. Grioli S. Mathematical problems in elastic equilibrium with finite deformation. Applicable Analysis. 1983. 15. P. 171-186.

176. Guo J., Kaloni P. N. Second order effects in an elastic half - space acted upon by a non - uniform chear load // Acta mech. 1994. 104. 104. 1 3 - 4. P. 173 - 200.

177. Haughton D. M., Lindsay R. A. The second order Deformation of a finite incompressible isotropic elastic annulus subjected to circular shearing // Acta mech. 1994. 104. 1 3 - 4. P. 123 - 141.

178. Karwowski A. J. Asymptotic models for a long elastic cylinder // J. Elast. 1990. 24. 1 1-3. P. 229-287.

179. Multhopp H. Die Berechnung der Auftriebsverteilung von tragflugeln // Luftfahrtforschung. 1938. V. 15, №4. P. 153-169.

180. Liu Y., Guo J. Second order effects in an elastic half - space acted upon by a non - uniform normal load // Appl. Mach. and Mech. 1994. 15. 1 12. C. 1091 -1110.

181. Liu Y., Guo J. The illustration calculations of second-order effect in elastic half-space acted upon by a uniform shear load. // Appl. Math, and Mech. Engl. Ed. 1997. 18, №6. P. 563-570.

182. Lav M. Second order elastic effects in a triangular hole with rounded corners under uniform normal pressure // An. Sci. Univer. Iasi. 1981. la. 27. 1 1. P. 195 -199.

183. Murnaghan F. D. Finite deformation of elastic solid. New York, 1961.

184. Pande D., Lav M. Seconde order elastic effects in a square hole under uniform tangential pressure // Proc. Nat. Acad. Sci. India 1978 A48. 11 P. 55 - 60.

185. Rivlin R. S. The solution of problems in second-order elasticity theory. // J. Rational Mech. and Anal., 1953. V.2. P. 53-81.

186. Rivlin R. S, and Saunders D. W. Large elastic deformations of isotropic materials. VI1. Experiments on the deformation of rubber. /Trans. Roy. Soc. London. 1951, Ser. A, No.865. P. 243,251-288.

187. Rivlin R. S., Thomas A.G. Rupture of rubber I. Characteristic energy for tearing. //J. Polym. Sci. 1953. 1 10. P. 291-318.

188. Rivlin R. S., Topakoglu C. A. A theorem in the theory of finite elastic deformation. //J. Rat. Mech. and Anal. 1954. V.2. P. 53-81.

189. Signorini A. Transformazioni termoelastiche finite. // Mem. la. Ann. di Mat. (4), 1943. V. 22. P. 33-143.

190. Signorini A. Transformazioni termoelastiche finite. // Mem. 2a. Ann. di Mat. (4), 1949. V. 30. P. 1-72.

191. Sikarwar R. S., Lav M. Second order elastic effects in a hipocykloidal hole under unform normal pressure // Proc. Indian Nat. Sci. Acad. 1984. 4. P. 312 -319.

192. Stoppelli F. Sulla svilluppabilita in serie di potenzedi un parametro delle solu-zioni dell elastostatica isoterma. // Ricerche Mat. 1955. 1 4. P. 58-73.

193. Trusdell C. General and exact theory of waves in finite elastic strain. // Arch. Rational Mech. Anal. 1961. V. 8. C.263-296.

194. Truesdell C. Second-order effects in the mechanics of materials. Proc. Int. Symp. Second-Order Effects. Haifa, 1962. P. 1-47.

195. Truesdell C., Noll W. // The non linear field theories of mechanics. Encyclopedia of Fhysics. 111/3. Springer - Verlag, 1965. P. 1 - 602.

196. Varley E., Cumberbath E. The finite deformation of an elastic material surrounding an elliptical hole // Fin. Elast. Winter Annu. Meet. Amer. Soc. Mech. Eng. Atlanta Ga 1977. N. Y. 1977. P. 41 44.

197. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Disclinations in Elastic Bodies. Springer-Verlag. Berlin-Heidelberg-New York, 1997. 205p