Исследование дихотомичных инвариантных многообразий динамических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

* Г Б ОД

З / ПОП "е^Гїіацїоііальііа Академія наук України

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопису

БОДНАРУК Світлана Богданівна

ДОСЛІДЖЕННЯ ДИХОТОМІЧНИХ ІНВАРІАНТНИХ МНОГОВИДІВ ДИНАМІЧНИХ СИСТЕМ

01.91.02 — диференціальні рівняння

Авторефер а т дисертації на здобуття наухопого ступеня кандидата фізнко-математпчпнх nay*

Київ — 1995

Дисертацією с рукопис.

Робота виконана у відділі матемаї ігшпЬ{фшки і теорії нелінійних коливань інституту математики IIАII України

Наукові керівники'. доктор технічних наук,

академік 10.0 МІГ! РОІІОЛЬСЬКИЇІ

доктор фіоико;матсматичних наук, провідний науковий співробітник

В.Л.КУЛИК

Офіційні опонеити: доктор фіоико-математичних наук,

доцент І.О.ИАІ’ЛСЮК

доктор фіоико-математичшіх наук, професор В.П.ЯКОВЕЦЬ

Провідна установа: Чернівецький державний університет

іи. Ю.Федьковича.

Захист дисертації відбудеться ”.¿.1. ".іМ+гї.1995 року

о .{.к?.? годині на оасіданні спеціаліоованої ради Д.01.66.02 при Інсіи туті математики НАН України за адресою: 252601, Київ - 4,МСН, вул Тереіценківська, 3. '

З дисертацією можна оонайомитися в бібліотеці Інституту. Автореферет рооіслано 1995 р.

Вчений секретар л _

спеціаліоовапої ради Л.ЮЛУЧКА

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуалміість теми. В багатьох галуоях науки і техніки оустріча-затьса системи, динамічні колітні процеси в яких описуються овпчаннини диференціальними рівняннями. В ои’яаку а цим виникає оадача вивчешш властивостей роап’яахів таких рііишнь, а саме дослідження пяташід,існу-сання, стійкості та представлення обмежених інваріантній тороїдальних шюгозмдів н т-япмірвому евклідовому просторі ІІт і, зокрема, інваріантних торіа яіуійїіого рооширення динамічної системі! на торі.

В процесі обгрунтування асимптотичних методів нелінійної механіки 1Л.І»І.Криловим та М.М.Боголюбовим були отримані перші глибокі ре~ оультатн про інваріантні тороїдальні ьшогепиди систем неліпішгої механіки „ інтегральні мпоговндп тороїдального взіду. Піоніше ці реоуль-тати онакнілн асесторонній розвиток ц досліджепнях Ю.О.Мптропольсь-еого і вилилися п метод інтегральних шюговпдів нелінійної механіки. Воші мали еєяшшй вплив на характе;. подальших розробок теорії обу-решія тороїдальних многовидів і прні:ели до глибоких реоультатів С.Ділі-берто, Дк.Хеада, Я.Курцвешія. В.Кайнера та ін.

Інший напрямок в теорії інваріаптішх многошідів бере свій початок о робіт Ж.Адамара та О.Пгропа, і одержує широкий розвиток в дослідженнях Д.В.Апосова, І.Купхп, Р.Сакера, В.А.Плісса та іц.

Початком нового циклу досліджень стали праці А.М.Самойлепха, в лг.ях він ввів поняття функції Гріпа (Г^іпа-Самояленка) о а дач і про інваріантні тори лінійного рооширспня динамічної системи па торі. Відбулося ніби повернення до ідей метода інтегральних многовидів в теорії обурення і стійкості інваріантних торів систем нелінійної механіки. Це прЕлело до иоііих реоультатів в ціп теорії о оастосуваишш онаїоошшшх функцій Лянуїіопа.

Ці та деякі інші питання і рооглжпуто в дисертаційній роботі. Проведені дослідженій актуальні як о математичної точкп оору, таз і о точки copy теорії зелінішшх багаточастотпцх холиваяь, радіотехніка, мгханіхд і т.д. ‘

Мета роботи. Дослідеті належність від параметра інваріантного тору лінійного розширеній динамічної системи. Зпайтп умови існування багатьох функцій І'і і і н а- С ам о йлеш а лінійного рооширепш динамітної системи на торі в юрмі пах властивостей роов’яоків системи. Отримати достатні умови неперервності та дпференційовпості а а параметром обмежених ійваріаптппх многовидів автопонних систем диференціальних

рівнянь в раніше не рооглядуваних припущеннях. Знайти нові критерії існувалшії онакопмінних функцій Ляпуиопарлкі гарантують спайку регулярність лінійного рооширення динамічної системи на торі.

Методи дослідження. Н роботі пасто сопу ют і,ся методи теорії функцій Ляпунова, методи якісної теорії диференціальних рівнянь, топологічний метод Оажевського, а також методи рооширепня слабко регулярних лінійних систем до регулярних систем.

Наукова новнона. Знайдено нові умови існування багатьох функцій Гріна-Самойленка лінійного рооширения динамічної системи на торі, які сформульовано в термінах властивостей роов’яоків системи. В не ро-оглядувапих раніше припущеннях па праві частини системи досліджено оалежність від параметра обмежених інваріантних мпоговидів автономних систем диференціальпих рівнянь. Досліджено сингулярний випадок оалежності від параметра інваріантного тороїдального миоговпду лінійного рооширеиіш динамічної системи па торі. 11 термінах онакоомінпих функцій Ляпупова онайдепо нові критерії слабкої регулярності автономних систем диференціальних рівнянь.

Теоретична і практична цінність. Отримані в роботі результати можуть бути оастосоваці для дослідження розв’яоків багатьох конкретних систем диференціальних рівнянь, а також в теорії керування і автоматичного регулювання. •

Апробація роботи. Основні реоультати дисертаційної роботи доповідалися на семінарах відділу Теорії овичайних диференціальних рівнянь та відділу математичної фізики і теорії неліпійних коливань Інституту математики НАН України; иа Всеукраїнській конференції молодих вчених (Київ, 1994 р., 1995 р.); на міжнародній конференції, присвяченій пам’яті Г.Гкна (Чернівці, 1994 р.); ца 4 міжнародній конференції ім.М.Кравчука (Київ, 1995 р.); на міжнародній конференції по нелінійних диференціальних рівняннях (Київ, серпень, 1995 р.); паоасіданнях математичної школи

о нелінійних коливань (Чернівці, жовтень, 1935 р.).

Публікації. По темі дисертаційної роботи опубліковано 5 робіт (див. [1*5])-

Структура і об’єм роботи. Дисертаційна робота складається іо вступу, двох розділів і списку літератури, який містить 82 напви. Об’єм роботи - 103 сторінки машинописного тексту.

з

’.ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі аргумептується актуальність теми, дасться огляд досліджень оа тематикою дисертації, формулюється мета роботи і методи досліджень, иопшна отриманих результатів і їх короткий огляд.

В першій главі вивчається ряд важливих питань підносно лінійного роопшрення динамічної системи иа торі Тт: .

— = a(v>). (1) %

де <р Є Тп,х Є Я\( € R,a(<fi) = (а\(ф),...,ат(ч>)) € Сир(Тт),А(<р) =

- п - впміриа кг.адратпа матрица , елементи якої належать простору С°(7п) . Нагадаємо, що черга С°(Тга) поопачасмо простір функцій F(-<p)t пеперерппих оа сукупністю оміиппх <Pj,j = l,m і 2тг- періодичних по кожній оміппій іpj,j - 1,тп, тобто оадалшх па т-вимірпону -горі Тп, а СцТ{Тт)- підпростір С^{Тп) фупкцій, які аадоволі.штють умову Ліпшіщя. Черео С?(Тп,а) прийшіто постачати підпростір С°(Тт) фупкцій F(ip) таких, що суперлоопція F(ip,{‘pa) ira фупкціа оміппої t неперервно дііфереиціііоат по t і лрп цьому

= Ш Є С°(Тп).

Тут ¥><(¥>) - рооп’яоок спстемп рівнянь

1-м .

о початковою умовою ірі('р)|<=о = v’o при кожному фіксованому <*?о Є Л”1*

В теорії обуреппя шшріаптішх торів голспиу роль відіграють властивості лінійного оператора L : С,+!(Тт) н+ С^Тт)

с? '

^ = &ра^ ~ л^'

де(а,А)ЄС‘(Тт), 1 > 0.

В роботах Ю.О.Митроиольського, А.М.СамоГілеша, В.Л.Кулика припускається слабка регулярність оператора L- існування псевдооберненого до оператора L у вигляді, інтегрального оператора, лкпй пігопачасться функцією Гріаа (функцією Гріпа-Самойленка) спстемп (1).

В своїй теорії Ю.Мооер і Р.Сакер вимагають, а крайньому випадку, ко-ершітивніеть оператора SL, де 5 = 5 (</>)- деяка пезироджепа симетрична матриця зо С'(Тт):

(SLu, u) > 7||u||q Vu ЄС/Щ

до (и, і>)-скалярний добуток ц 1?{Тт).

В спільній частині обох теорій під І, вимагахті.ся скспонелпіальиадихотомія системи рівнянь (1), а саме: Є X, простір ¡1" можна представити

у вигляді прямої .суми иідиросторік Ь'+ = ії+(ч>) і і',~ = Е~(<р) ДОПОВЕЯДЬ-них розмірностей П| і п - >і| = я2 так, що роов’яоок у>(, х{ — £і(<р,х:) — По(ір)х системи (1) ири х Є Е+ задовольняє нерівність •

для довільних т є Л, ^ Є Тп і довільних К > 1 і 7, не оалежігах від <р,г,£, т. 1\т позначено черсо Гї{,(<р) ыатрицант лінійної системи рівнянь

Граничний випадок експоненціальної дихотомії, коли пі = п, наливають експоненціальною стійкістю системи (І).

Умови, що оабеоисчують днхютоиію, в термінах властивостей квадратичної по х форми Ляпунова були вперше наведені я роботах А .М.Оамой-ленка та В.Л.Кулцха. Піопіше А.М.Самойленко отримав критерій експоненціальної дихотомії, який виражався череп'властивості регсв’яоків системи (1).

З дазнш инталиям тісно нов’япаиі такі об’єкти теорії обурення, як поняття функції Г)рша-Сацойлевка, про яке вгадувалось вшце, та поняття інваріантного тору лінійного розширення дігпамічвої системи. Нагадаємо їх оопаченця.

Означення. Нехай існує п х п- вимірна матрична функція <7<ір) € С°(Тт) така, що для функції

< К ехр(-7(1 - г))||гг(р,х)Ц VI > т,

при х Є Е - нерівність

»

< К схр(т(і - т))||хт(¥>,х)Ц VI < г

нри г < 0, при т > 0

(2)

виховується оцінка

1К»о(т,¥>)Ц 1 Коехр(-7о]г() Ут Є К

(3)

о додатними сталими Ко, То, які не належать від <р € її”', тоді фупкцію (2) наливають функцією І^іна (Г^іна-Самойлсіпа) оадачі про інваріантні тори для системи (1).

Означення. Говорять, що система рівнянь

= «(V>). ~£Г = АМ* + Z(V’). /(v) Є C°(Tm)

мас Інваріантний тор» що вионачається рівністю

л: = u(<¿>), ір Є Тт,

якщо

u(<¿>) Є С'{Тт\ а)

і виконується тотожність

du&tjip))

di

для всіх í Є Тп.

Очевидно, що іспуваппя функції Гріна-Самойленка (2) оабеопечуе існування інваріантного тору спстеми (Г) при кожній пентор-фунхці) /(ір) Є

Навпаки не савждп справедннво, тобто система (Г) може мати інваріантний тор при кожній вектор-фунхції f(ip) Є С°(ТГО) і прп цьому функції Гріна-Самояяепха (2) не існує .

«Заоначтго, що уиопн Існування багатьох функцій Гр і п а,- Сам о шіенк а вивчені ще не достатньо. В пзршоиу параграфі даної робота пдалося отримати наступне твердженая.

Теорема 1.1.1. Нехай існує п - вимірна матриця С(<р) Є С°(Тт) така, що д-чя деяких сталих Ті > 0, Т% > 0 і ¿i > 0, dj > 0 тпопуються оцінки

і прп цьому

ТЬді снетеїіа (}) має хоЧа бп одну функцію Гріна - Сгшонленха С?о(г, <р) оадачЗ про інваріантні торн.

В настунннх параграфах першого рооділу рсогявдаютьсл питання гладкості фунгції Гріпа-Самойнеїжа са р, а тагож її оалежпосгі від параметрів.

€*(%>):

||П0-ГЧ¥5)(/, - C(<fi))\\ < d¡

Розглянемо систему рівшшь о параметром р:

<Г

^ ^ =,А(<р,р)х, (4)

де ifi Є Тп,х Є Rn,t Є Я,р Є |0,ро], а(¥>,р)»л(ір.р) ~ відповідно векторна

і матрична функції, які при кожному фіксованому р належать простору

С°(Тга). Припускається виконання таких умов гладкості:

IWv.P) - о(?.Р)ІІ < oillv» - <Р\\ + «МІР - РІ).

IH(V’.P) - Л№.Р)ІІ < /Зііііо - РІІ + /Зг^(|р - РІ) (5) -

при всіх Є Я”\р Є [0, ре]. Тут а, Р = const > 0,ы(г)- деяка неперервна,

неопадна скалярна функція, яка визначена на проміжку [0,ро) і w(0) = 0.

Нехай при кожному оначепні параметра р є [0,ро1 система рівнянь (4) має функцію Гріна - Самойлепка оадачі про інпаріантні тори Go(r,ip,p), яка оадовольняє оцінку

||Go(r,v>,p)|| < /Гехр(-7|т|), (б)

де К, у - додатні константи, що ве оалежать від г,ір,р Є [0,poJ. Тоді справедливе наступне твердження.

Теорема 1.2.1. Нехай 1) при кожному фіксованому опаченні параметра р Є (0,ро] система рівнянь (4) має єдину функцію І^ріна- Самойленка оадачі про інваріантні тори, для якої справедлива оцінка (6), 2) для функцій а{<р,р),А{<р,р) виконуються умови гладкості (5). Тоді функція Гріна-Самоёленяа Go(r,<p,p) неперервна оа сукупністю омінних (<р,р), більше того, виконується оцінка:

1І<?о(т,ір,р) - G0(r,v,p)|| <

< 2iî^Üjf»(2||A||o)*(A||v> - ЙІ+

0і 0г

(7- ¡^Ц-) |Г|>;

при цьому сталу V > 0 можна вибирати довільною, лише щоб виконувалась нерівність

¿»і „

1-------г > 0

^+1 .

В припущенні, що умова (5) не виконуються, а тільки функції а(ір,р), А(ір,р) неперервні оа сукупністю омінвих (<р,р),<р Є іГ'.р € [0,ро) і 2тг-

____ ? ч

періодичні по (pj,j = 1,ги, отримало умовп неперервності функції Гріпа-Саноііпеняа аа параметром р.

Теорема 1.2.2. Нехай викопуються умовп: 1) при кожному опа-чеіші параметра р Є [0, ро] система ріпшшь (4) має єдину функцію Пзіпа-Самойленха, яка оадовольпяє оціпху (6) іо сталими К, 7 , що не оалежать від параметра р Є [0,р0}; 2) інтеграл '

/ da J+o^M'

де фулхція и»і(сг) пшпачастьсл іо нерівпості

l|o(v) “ а(^)ІІ < widlv - Vil).

рообіжпий. Тоді фупкція І'ріпа - Самойленка С0(т,(р,р) неперервна оа параметром р Є [0,ро].

В даному параграфі досліджено також питаппя диферепційо гшості функції Гріпа-Самойлепхаоаі^, j — 1,fri і оа параметром р.

В третьому параграфі першого рдадІлу вивчається сяпгулярппп ппип-док оалежпості від параметра іпваріаптпого тору лінійного роопшреппя динамічної системи.

Роогмдаетьсз система рівшпгь: *

■ ^Г = °Ы. ^ =-%>,?)*, (7)

де ір = (¥>і,-,¥>.п) Є Т„, а(у>) = (ei(v»),...,an(y)) € Сир{Т„),г = {а,у),я - (as»,...,аг») Є Дп,{/ = (уі,...,у») Є Д\1 Є Я, параметр р належить деякій компактній мпожіші М С Іі (оокрема р Є (0,1]). У випадку, коли матриця Я(<р,р) має вигляд

л(<лр) - \рвІу% -Л*(^Р)] ’

де А*{ір,р) - транспонована матриця, А(<р,р),В(<р,р) Є С°(Тта х [0,1J), (С5(Тт х [0, lj) - простір функцій F(ipy р), пеперервних по сукупності омін-пих [(fitP) і 2тг-пяріодіппих по кожній оміинід <pj,i = 1 ,m) система (7) при деяких дс^аткових умовах па А(<р,р) та В(<р,р) для р б (0,1] має єдину функцію Гріпа-С^.юйлепка, а якщо р = 0, То функції Г^іна-Самойленіа не існує.

В припущенні, що для в(ч>,р) Є С’ЧЗт X (о, 1}) викопується умова додатної вігоначеності

{В(ір,р)х,х) > 7|W|} Rn,V<pG7mt Vp Є [0,Ц,7 = соп*і>0,

доведено наступне твердження.

Теорема 1.3.1. Нехай існує симетрична п—вимірна матриця S(tp) є С'(7т;о) така, що _

<[S(v>) - 8(<р)А'(Ф,р) - A{tp,p)S{tf)\) > Hi/Ц3 ^еТт,УуЄ Лп,УрЄ[0,1}

та

detS{tp) = 0 .

при деякому ip = v?q Є ftm. Тоді функція Гріпа-Самойленка системи (7) має вигляд

G<¡(r,<p,p) =

де матричні функції Gij(r,ip,p), i,j = 1,2 неперервні оа сукупністю змінних (<р,р) Є Тт у (0,1J. ’

Використовуючи даний реоультат, отримало, що інваріантний тор системи (7) сингулярним чином оапежить від параметра.

В останньому, четвертому, параграфі першого рооділу рооглядасться система (4) в припущенні, що параметр р належить деякій одіїоов’яоиій множиш D С Я1. Нагадаємо деякі «значення.

Означення 1.4.1. Система (4) напивається регулярною при кожному фіксованому оначснні параметра р — р Є О, якщо існує рівпо одпа функція Г^ша-Сацоіілепка Ga(r,<p;p) оадачі про інваріантні тори

Ооначення 1.4.2. Назвемо систему (4) слабко регулярною при р-р, якщо при оначеяні параметра р = р Є D існує принаймні одна функція Гріна-Самойленка <70(г,^;р).

Крім цього введемо таке ооначення.

Означення 1.4.3. Будемо наливати систему (4) строго слабко регулярною при р = р’, якщо при оначенні параметра р = р Є D існує при--ваймш дві ріові функції Гї>іпа-Самонленка оадачі про інваріантні тори. Виявляється, що має місце таке твердження.

Теорема 1.4.1. Нехай система (4) при p-poGDc регулярною, а при р = J> Є D с строго слабко регулярною. Тоді обов’язково існує р = р є D, для якої система (4) не має жодної функції І'ріпа-Самойленка.

Другий рооділ дисертаційної роботи присвячений вивченню обмежених інваріантних мпоговндів автономиях систем диференціальних рівнянь.

Фі (г,ір,р) pGji {т,ір,р)

fGn{r,ifi,p)

Gn{T,tp,p)

■

(8)

В першому параграфі розглядається система диференціальних рівнянь

0 параметром р:

^ = ^{Ф,р), = А{ф,р)х + /(t/>,p), (9)

де Є ft"\x € й",* Є R, р Є (0,1), функція и(ф,р) иеперервна аа сукупністю оміішііх (ф,р) і и(ф,р) Є С’ьф(Лт), тобто при довільному фіксова-иому р € [0,1) в кожній обмеженій фіксованій області D С Rm виконується

ІМ0.Р) - и(Ф,р)II < LII0 - ^11,

де L - констапта, оалежпа від вибору D. Крім того, вимагається виконання такої нерівності

ІИ0>р)ІІ < «іІМІ + «з. ei.aj > 0- const, (10)

тобто припускається, що функція и(Ф,р) може і не бутн обмеженою. Пооначимо черео C°(Rm х [0,1]) простір функцій F(t/»,p) (векторплх чи патричних), неперервних оа сукупністю оміїших (ф,р) і таких, що

. IIW,p)|| < aup^ij-je^jllFi^.p)!! s ||F||o < 00,

а черео Cf{Rm,а») - простір , утворений тими функціями F(t/>, р), які непе-' рервпі оа ф прп кожному фіксованому р і для яких функція F(t^(0),p) пе-с перервно диферепційовиа по t при всіх t Є Я, ф Є Я™, фіксованих р Є [0,1)

1 при цьому , ,

^F(tiW,p)|.-о = Р(ф,р) Є С°(Я" х [0,1J).

Тут - це роов’яоок системи рівнянь ^ = ш(ф,р) о початковою умовою V’j’Mli-o = Ф-

Нехай функції А(ф,р) та /(ф,р) належать C°(Rm х ¡0,1)). Припускається, що при деяких [(Ф,р) система (9) має обмежений інваріантний многовид х — и(ф,р) , тобто u(t/i,p) Є d(Rm,(jj) і для всіх ф Є Ят, фіксованих г € [0,1) справедлива тотожність :

«(\&,р) з А(ф,р)и(ф,р) + /(V’.p) , « = ^Іі-о-

Виявляється, що, незважаючи на пеперервиу оалежиість правих частин системи (9) від параметра р, фупкція и(ф,р) неоавжди пеперервно залежить від параметра р. Які ж додаткові умови на систему (9) треба накласти, щоб и(ф,р) иеперервио оаяежала від р ? Достатні умови отримано у вигляді такого твердження.

Теорема 2.1.1. Нехай система (9) при кожному фіксованому оначеіші р € [0,1} мае обмежений інваріантний мпоговид

X = u(t/>,p)

та іспуе симетрична матриця Sv{i¡>) Є d(Лт,и>) тажа, що

([S,ІФ) + 3Р(Ф)А{Ф,Р) + Л*{ф,р)Зр(ф)]х,х)} > ||*||1 (11)

VрЄ [0,1],W Є Ят,УгЄ Л*.

прп цьому

¿«P*eír»j>€[o,iil|Si>№)!| = № < (52)

Тоді фупхція х = и(ф,р) неперервна оа параметром р.

Природніш иаступшш крохом е вивчення умов гладкості, оа параметром фунжції х - uІФ,р). Росгшздастьса система диференціальних рівпяпь (9) в црішущешп, що фупхції w(t/>,p), Л(ф,р),/(ф,р) пеперершш дпфереіщійовш по V,,І — І.іи і ио параметру р. Вважається, що для похідних фунхції и(ф,р) викопуються прл 'іф Є Rm та р Є [0.1] такі оцінка:

И^т^й < МІМІ). (13)

-И < 3 = а - consi, (14)

Opj

а для А(ф,р) і ЛФ,р) маємо :

11^^11 < МІМІ). < МІМІ). і = Хїї,

и^^іі < мімі), < мш, (í5)

де L>i{s), і — М - Дєекі неперервні додати? фунїдїї скалярно» омшної в —

IWI- - __

Вишка* пзтааиа : прп яких умовах па фупїції L,(s), і ~ 0,4 обмеж світі! іпваріавтпЕв шгоговад х = и(Ф,р) системи (9) буде неперервно

дзфєреичівозЕшг по параметру р . Доведено наступне тверджепия.

Ткор&яла 2.2.2. Нехай система (9) прп хожному фіксованому ояачепві р Є [Э,1| маг обмежений інваріантний мпоговид х = u(V>,р) і при цьому вигонувэтвсг уиовп :

ї) існує п - вимірна симетрична матриця Бр(ф) Є d(Rm,w) така, що ([SP№) + 5p(V-)A(0,p) + A'{it,,p)SfW)x,x) > ||*||*

Ухе/г\^є ят,уРє[о, і|

і

■’“Р^€Я-,Ге[о,1111^(0)11 г ||5||о < 00,

2) фупіції ш(ф,р),А(ф,р),/(ф,р) неперервна диферепційавш аа сукупністю омінннх (ф,р) і виконуються оцінки (13) , (14) , (15) та (10). ТЬді при умові обіжності інтегралів

/^*СО Т-**4^І Г ^ <*-*-<*!

Л,(А)Л" *і у Ьо(г)г~ *і іг<і\, * = 1,2,

^ йі^Г^іІг, і=3,4 функція * = и(ф,р) буде неперервно диференційовною аа параметром р.

В наступному параграфі вивчається питати структури деяких регулярних лінійних розширень динамічних систем на многовидах. Роогяя-дається система диференціальних рівнянь -

де д Є Я"*, А Є IVх, І Є Л,ы(д) Є Сц^ІГ1), Н(д) Є С’°(Лт)', яка є слабко регулярною, тобто мас хоча б одну функцію Г^іпа-Самойленка оадачі про обмежений інваріантний мпоговидС^т.р). Відомо, що тоді якщо г Є Я*

і Н'{д) - транспонована матряця, то система

_! = «(*). ^ = Я(5)Ь,

± = Н-Н‘(д)*

буде регулярною, тобто буде мати єдину функцію І^іна-Самовленка,

У випадку двох слабко регулярних систем

Ті=ш{9)' §=Яі^л' <=1’2’

де 9 Є Лга,А € Я\1 Є Д,ш(з) Є С'іір(йт),Я,(д) є С°(Я™) можна скопстру-юватн таку матрицю

/ [Яі + !(//, + Я}) - /п) (Я,- + //,] о \

Ш = І-Я, + і(Яз - Щ) + А) -яг 0 ,

\ [Ні + і(Яі-Яі) +/.1 -(н» + я;і -я,*/

зцэ система

¿9 , ,

Л ="<»)•

¿г

її

= Р(д)г, 2 Є Я3“

буде регулярною. .

Уоагальнюючи дану оадачу, рооглядасыо к систем диференціальних рівшшь

Ті=ш{9)' ~ії"Ні(д)Н' і = ї’1, (16)

де д Є Ят,/і Є Я®, і Є Я,а>{д) Є Сцр{Лт), Я,•(</). б С°(Я,П), кожиа о яких € слабго регулярною, тобто мас хоча §н одну функцію Г^іпа-Самойлепка оадачЗ про обмежений інваріантний мпоговнд Єц(г, д). Впливав савдашія; опайти при к > 3 таку матрицю

Р(д) = Р(Нг.....Нк)

роомірів {к + 1)п х (& + 1)п, щоб система

(17)

була регулярною, тобто мала єдану функцію І'ріиа-Самойлецка.

Даиу оадачу ровв'штю, сварена, дня & = Зі для оагальйого шшадху отримано ішглзд матриці Р(д), а «ше, доведено теорему.

Теорема 2.2.1. Нехай к систем диферепціальшга рівнянь (16) к > \ слабхо регулярні, тода система рівняні (27) буде регулярною у вцнадїу , холи иатрігця Р(д) иає впгпяд:

/%) = -

і

і

( По(д)

-м;м -м;3{д)

Г І !

~{к~1)ї ї

1 -(*-»3

! /

Мп{д) М13(д)

0 Міа (<?)

~Щ3(д) 0

1)1

\

М(і+і)(й) \ Мцш){д) М$(ь+\){д)

да я х п - вшїрт матраці Мц впопачаються рівпостяив

ьЫ9)*-Ща\

Af«(i) = AfM(fl)=-H5(s),

Mn(g) = M35(g) = Afn(g) = -Я,*(9),

^j(i+i)(s) = ^3(tc+i){g) - = • • • = Mt(i+i)(g) = -Hl(g).

it

Wu(s)= -w/fto) - £>••(*)•

i=»2

fc

МІЗ(5)=-<*-1)ВД-^Яі(?),

¿«3

k

Mh{g) = -(fe - p + 2)//J(^) - 53

»»P

а матриця So(g) задовольняє умову:

|(Йо(з)*,*)І > 0oll*H2. 0a = conat > 0.

Третій параграф присвячений вивчєпшо деяких критеріїв існували оиаіовпппачецих функцій Ляпунова, які гарантують слабіу регулярність системи диференціальних рівшшь

~ = ш{\!>), ^ = Р(Ф)х, (18)

де ф Є Rn,x Є Я",* Є Л,а>(^) - вектор-фупкція, виплачена при всіх V» Є ії”\ неперервна па сукупністю омінипх 4>j, j - І,тл і така, що оадача Коші

^ = ш(0), 0|(_о = 00

at

пря кожному фіксованому ’/’о t Я"1 мас єдиний роов’яоок ФііФо), виплачений при всіх t Є Я = (-00,+оо). Як відомо, система (18) буде регулярною тоді і тільки годі, коли іспус пепнроджепа квадратична форма

• У(ф,х) = {S(r/>)x,x),

(де S(xf>) Є C’(R"')- симетрична матриця, тобто Я'(ф) - 5fv’i і, крім

того, detS(ifi) ф 0 ) така, що її похідна в салу системи (18) буде додатно ввшіаченою:

У(ф,х) = <(5{0) + S(*)P(*)+ -P40)<SC0))*.*> > 11*11*. (18)

і слабко регулярном, коди існує квадратична форма

У(Ф,у) = (ЖФ)у,у),

у якої, можливо, матрица коефіцієнтів S(V>) уже вироджується в деяких точках ф Є /¿т, і лка нас додатпо визначену похідну в силу системи, спряженої до (18):

. § = -?'№»,

■тобто має місце нерівність

У(Ф,х) = ЩФ)^{Ф)~ Р ЖФ)\у>у) > Паї!5-

Отже, для тоги, ¡цоб дослідити систему (18) на регулярність, потрібко оііайтіі певну квадратичну форму. Тобто кшшїае оадаяа он^ходжеини ївадратичшіх форм еба хоча б шіаходжешш їоефіцієп-

тного критерій їх існування.

Зауважимо очевидність того факту, що якщо в нерівності (19) огшість правої частили ||s||* помасти Цг^р, да Sj- дазка частина шлівшіх е, то система (18) уже може і на буты регулярною. Алз, шіавлаєтьег, еправедяиве наступне твердження.

Теорема 2.3.1. Нехай існують дзі к к и- виміре! иатраці Sjty) € d(Rm), 1 = 1,2 талі, що: ■

<{5,№)+ Si(0)P(^)+ > РШМі\

<&№) + + Р'І№Ш!>МФ)*, Wj W*> > РШМІ*, (20)

де АІі(ф) Є C°(12n)t і — ї,2 - де2гхі матриці о такими йл&стивостяии! ¿гі\Мі(ф) + &ЫФ)] ? 0 Щ Є JT, ■

¡t[j’fi(?/i) ММ]~‘Ц < К — Const < оо,

Мі(Ф)Мз(ф) = М,(Ф)Мі{Ф) VtІ> Є 7Г\

7ед? гвадратичла форма

У(ф,х) ='А{5і(і/’)*,г) + <Sj(v'’)i,*>

15 •

буде мати при досить великих оначепнях параметра А додатно визначену похідпу в силу системи (IR).

Знайдено також вигляд квадратичної форми, похідна якої в сплу системи ( 18) г. додатно вигшачсиа, при припущенпі, що існує к пхп- вимірних симетричпих матриць 5',(*/') € (* ( ft"1), що задовольняють умови, аналогічні (20).

Основні положения дисертації опубліковані в наступних роботах:

1. Боднарук С.Б. До питання про біфургаційні властивості функції IY>ina лінійного рошнирення динамічної системи па торі // Конструктивні методи досліджень диференціальних рівнянь. -Київ: Іп-т математики Аії України, 1993. -С. 114-121.

2. Бодпарук С.Б. Залежність під параметра функції Гріпа лінійного рооширеши динамічної системи на торі // Укр. мат. журн. -1995. -47, 3. С. 419-421.

3. Боднарук С.Б. Залежність від параметра функції П)іца-Самойлепха лінійного рооширеиия динамічної системи на торі // Міжпар. копф. ім. І’.Гкна, Чернівці, 1994 р. Чернівці, 1994. -С.15.

4. Воднарук С.Б. Про належність від параметрів обмежених інваріантних многоввдів автономних систем диференціальних рівнянь // 4 Міжпар. конф. ім. академіка М.Кравчука, Київ, 1995 р. -Київ, 1995. -С.45.

5. Bodijaruk S.B. On parameter dependence for bounded invariant талі-fold of autonomous differential equations // International Conference ” Nonlinear differential equations",Kiev, 1995 j. -Kiev, 1995. -P.23.

Бодпарук С.Б. Исследование дихотомнчных шівариалтньгх многообразий динамических систем. Рукопись. Диссертация па соискание учепой степени кандидата фшико-матеыатпческих паук по специальности 01.01.02-дяфференциальпые уравнения. Институт математики НАН Украины. Киев, 1995.

Защищается диссертация, в которой содержатся реоультаты 5 работ по теории дихотомнчных инвариаптпых многообрапий динамических систем. Исследована оависимость от параметра ппвариаптпого тора линейного расширения динамической системы. Найдены новые условия существования многих функций Грипа-Саыойлепка. в терминах свойств решений системы. Получены достаточные условия непрерывности и дифференцируемости по параметру ограниченных инвариан тных многообраоий автономных систем дифференциальных уравнений в не рассматриваемых ранее предположениях.

16 ;;

Bodnaruk S.В, Investigation of the dociiotonik invariant manifolds of dynamic systems. Manuscript. Thesis for a degree of Candidate of a Sciences in Physics and Mathematics, the speciality 01.01.02 - differential equations. Institute of Mathematics. National Academy of Sciences of Ukraine. Kiev, 1995.

Thesis containing the results of five works on the theory of dichotomik invariant manifolds of dynamic systems is defended. The dependence of a parameter for invariant torus of linear extension of a dynamic system is investigated. Found in this work are new conditions of the existence of many Green-Srunoylanko functions of a linear extension in terms of a property of solutions to the system. The sufficient conditions of continuity and differentiability with reaped to the parameter of bounded invariant manifold of autonomous systems of differential equations are obtained under new assumptions.

Ключові слова: лінійне розширення дошамічної системи па торі,функція Грша-Сацойяеша, регулярність і слабка регулярність лінійного рооши-раяян, іішаріалтшш тйр, обие:«епиіі інваріантний unoroisiyj аитономш« спстси дафарепцггільшЕС рівнянь.