Полугруппы в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Академия Наук Украины /то 0 •*] Институт Математики __

~ ^ ¡¿>1 у.' ; * \ . ^ . •

' ^ ^ "На правах рукописи

Нгуен Ван Минь

ПОЛУГРУППЫ В КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

_ 01.01.02 - дифференциальные уравнения '

' Автореферат днссертвкии на соискание учёной степени доктора ф|Ш;ко-математических наук

\

V 'Киев-1993 • ч

(

Габота выполнена на кафедре математических методов, теории 'управления Белорусского государственного университета

Официальные оппоненты: академик АН Украины Далецкий Ю.Л.

! - ч

• - "доктор физико-математических наук,

профессор Пврестюк H.A.

" 4

л

доктор физико-математических наук, профессор Слюсарчук В.Е.

Ведущая организация: Йститут математики АН Белоруски'

-J/f -' /2-

\

Защита состоится ~ " - /<-' 1993 г. в .16 часов на ч заседаний специализированного ученого совета Д 016.50.02 при'Институте математики АН Украины по адресу: 252601 Киев 4.ГС1 ул.Терещенковская, 3 - _

О--диссертацией можно ознакомиться в библиотеке кнстктуга.

Автореферат разослан ' — 1993 года ,

. >> . ■ • . ' . ' ,. ' ; . :

■Ученый секретарь ' ^ ... 4 .

специализированного * - { >

Ъ> • ученого совета \ ■ , - , А.Ю.Лучка

• / '' - ' . 4 * *

ОЬЫАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОЙ!

Актуллькость тему. Настояаая диссертационая работа иосвяцень исследований асимптотического поведения решений и свойств устсйчи вости такого поведения при возмущениях для различных типов эволв дионных дифференциальных уравнений,

Пусть Ж - некоторое «Занаховое пространство к - Ю,+га> или С-а,+оа) . Опредеяэная на JxJ функция с значениями

в прос транстве ВТ ¡О непрерывных в Я операторов называется эваявцяонным процессом,если эта функция удовлетворяет слэдуэдему принципу суперпозиции ;

1X1,б) = иС1.?>иС?,з) для всех з 5 ; < I , кроме того, при лвбом I е ]

иС1,0 = I.

Естественный образом зволвцмошше процессы возникают в теории эво явционвых дифференциальных уравнений, в той числе, обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с цкпульстя* воздействием, стохастических дифференциальных уравнений, фукк• ционалыю-днфферзнцкаяышх уравнений, уравнений параболического типа и т. д.

С каждым эволйциояным процессом 11(1,5), ь.э е .1 можно спя зать полугруппу операторов сдвига Г » (^.Ь г 0), определеивуп формулой

СТЧкв) = иСв.в-ЬМз-М и-

для всех з р ], где V - элемент некоторого футткчипяяг^мг-''" пространств.

Оказывается, что для схЗшшовеиншг кгфференциальнвд уравкек*дЗ ^ = fCt,x) (2)

нра некотором условии эта полугруппа сально непрерывна, я,далее, ее кнфикитезаиалъным генератором сяуивт оператор X = - dxdr *■ fit, О .

Формально, е этой диссертационной работе предпринимается попытка построить качественную теорию неавтономна уравнений вида (2), распространяя па кеа результаты, известные для аьтонобшыя абстрактных уравнений

^ = £Cv3 £3)

в некоторой §ункцыог>алыгаы пространстве.

Исследования'обратимости дифференциального оператора 2 е случае линейных уравнений, восходящзе к П. Болв н 0. Перовву, позволяют получать разнообразные критерии od экспоненциальной устойчивости решений на полуоси к экспоненциальной дикотоинчности решений на всей оси. Даяьнешев развитие и приложения этих результатов получали Р..Беллман, О.Л. Далецкий, П.П. Забрейко, М.Г. Крейв, . В. Л. Кулик, . Кучер, М.Х. Майзель, X. Массера, Ю.А. Матропольсккй, A.M. Санойленко, H.A. Перествк, S.A. Плисс, X. Веффер, я у.д..

Г. Флоке и А. Пуанкаре в своих исследованиях оÖ асииптотичес-ком поведении решение обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами впервые использовала оператор сдвига по траектории на период Соператор кокодромин, отображение Пуанкаре). H.H. Красовский (1959) впервые предлоаю? для исследования свойств устойчивости решений уравнений с запаздыванием использовать отображения сдвига. 8 простейших случает ишеуказак-нал ¡полугруппа встречается в теории полугрупп линейньк оязраторов

-Ч-

как классический пример, в которой справедлива теорема об отобра кении спектра. В теории дифференциальных динамических систем Лд. Йеэер доказал изьестнуо теорему о ха^актеризацни диффеоморфизмов Аносова, в которой явно использовалась идея оператора сдвига. Ойобаение этой теоремы получили А. Б. Аятсневич, Р. И. Бронштейн, К Чикон, Р. К. Свасон.

Отметим, что' для некоторых классов пянейних обыкновенных дифференциальных уравнений на всей оси существует переход от их рассмотрения к рассмотрение асеоцированных с ними линейньгх расширений с компактной базой. Эта процедура требует от правых частей рассматриваемых уравнений выполнения специальных условий, которые,п ; -видимому, являются очень жесткими. Отметим еще, что эволюционные процесса можно рассматривать как расширения потоков с некомпактной да зой. К сожаланип, до сих пор на этом пути не было получено сущест венных результатов.

Отметим, что классический метод исследования асимптотического поведения решений, основанный на обратимости линейного дифференциального оператора, является универсальным, позволяющим исследовать .не только линейные уравнения, но и их разнообразные возмущения. Од нако внимательный анализ этого метода показывает, что его применение требует громодзких дополнительных построений для конкрепшх ти пов воамуцений и уравнений. Более того, отметим, что этот метод не применим для некоторых типов уравнений. С другой стороны, котя идея использования оператора сдвига давно известна, ее применение к исследована») асимптотического поведения решений еаолюдиошшх ди* ференциальных уравнений еще не распространено на линейное и нелинейные уравнения; отметим лишь недавни« результат« I) Латувкмга » А М. Гт^пига, птно«««к»вея к в--»яхотоничяоаг» рмечм* ня »-«•

Естественно было попытаться для иселвдовА ^ 1 асимптотического поведения решений эволюционных дифференциальных уравнений, в первую очередь, обыкновенных дифференциальных уравнений С2), использовать полугруппу (1) и абстрактные уравнения (3). В настоящей диссертационной работе предпринимается попытка продвинуться в этом направлении.

Цель работы: состоит в построении качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами С2) через исследование абстрактных уравнений с постоянными коэффициентами СЗЭ в рамках теории полугрупп линейных и нелинейных операторов и конкретизации некоторых из полученных результатов для различных типов эволюционных дифференциальных уравнений.

Методика исследования. В этой работе используются систематически методы функционального анализа, в том числе теорема Банаха о существования обратных операторов, принцип Банаха о ежимающих отображениях, теорема о спектральном радиусе, теория возмущения линейных операторов, спектральная теория полугрупп линейных операторов, теорема од производящих операторах полугрупп нелинейных операторов и метод отображения графика и лемма Морса из дифференциальной топологии.

Научная новизна. В диссертации получено дальнейшее развит}» подхода к построению качественной теории эволвционных дифференциальных уравнений, основанного на исследовании ассоцированных с рассматриваемым уравнением операторов сдвига и дифференциального оператора в подходящих функциональных пространствах. Здесь впервые рассматриваются эти оператора в рамках теории полугрупп нелинейных операторов. Основными результатами диссертации являются:

- Построение теории устойчивости и дихотомии решений линейных

уравнений с переменншш коэффициентами в терминах спектральных свойств абстрактных уравнений с постоянными коэффициентами, ассо цированных с этими уравнениями, в частности, новые критерии о раь номерной устойчивости, экспоненциальной устойчивости, экспоненциальной устойчивости отдельных решений, экспоненциальной дихотоыич ности решений на всей оси и новые теоремы об устойчивости рассыат риааемых свойств при различных возмущениях.

- Некоторые достаточные условия существования ограниченных < экспоненциально дихотомическим расслоением решений для нелинейных возмущений линейных уравнений.

- Аналог теоремы Гробмана-Хартмана для уравнений с перемени« ми коэффициентами для различных типов эволюционных уравнений.

- Новые условия существования интегральных многообразий.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в диссертации теоремы об устойчивости и дихотомии приводят к новым признакам различных типов устойчивости и дихотоыичностя решений на всей оси. Они могут быть использованы в научных исследованиях и для чтения специальных курсов по кз чественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами студентам в университетах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинаре по функциальному анализу и дифференциальным уравнениям в БГУ под руководством профессоров А. В. Антоневнча, П. П. Забрейко, Н.А. Лукашевича, Я. В. Радыиа, Н. И. Орчука, на семинаре по дифференциальным уравнениям в Институте математики АН Беларуси под руко водствоы академика И. В. Гайьуча, на семинаре по диффереяпяалыюм уравнениям в РГУ под руководством члена-корреспондента АН Язяаруся И. А. ^гИгля . соуицзр? 17« пифферечциальчум уряяр°т»/П< и К|У пое

"Г -

руководством члена-корреспондента АН Украины A.M. Самойленко и Профессора й. А. Перестюка, на семинаре по обыкновенным дифференциальным уравнениям отдела обыкновенных дифференциальных уравнений в Институте математики АН Украины под руководством члена-корреспон-дэата АН Украины A.M. Самойленко, на семинаре по нелинейным колебаниям в ВГУ под руководством профессора А.И. Перова, на международных конференциях по дифференциальным уравнениям в Венгрии (1988), в Болгарии (1991), на конгрессе вьетнамских математиков (1990) к конференции беларусских математиков (1992).

Публикации. На эадату вынесены полученные лично автором результаты, опубликованные в работах tl-HJ.

Структура и оЗьвм работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глаз и списка литературы. Она изложена на 293 страницах машинописные текста Список литература содержит 204 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дастся положения и краткий очерк гссторна по задаче ограниченных решений, экспоненциальной устойчивости к экспоненциальной дихотомичности решений. Здесь же излагаются основные результаты работы.

¡Первая глава посвядена спек теории лине уравнений,

заданных на всей оси. Она состоит кз 4 параграфов.

П. 1.1 посвящен спектральной теории характеристических операторов , ассоцированных с рассматриваемыми уравнениями, действующих в пространстве

И = (v.R sup llv(t)ll < ®> Н в его подпространстве С,/Я), состоит из равномерно непрерывных

- В -

функций. В этой параграфе установлены взаимосвязи между свойствами уравнения

$ = АШх . х е К . t € R . С4)

где Ж - некоторое банахово пространство, ь том числе равномерная устойчивость, экспоненциальная устойчивость, экспоненциальная дихотомичность решений, и соответствующими свойствами операторов сдвига Т1' , называемых нами характеристическими. Более конкретно, доказано, что уравнение (4) равномерно устойчиво на всей оси ь том случае и только в том , когда справедливо

sup IIThll < оо h>0

и что (4) экспоненциально дихотомично на всей оси тогда и только тогда, когда для некоторого положительного h оператор Т*1 гиперболичен. В частности, экспоненциальная устойчивость решений С4) на всей оси эквивалентна тому, что спектральный радиус оператора Th (h > О J меньше чем единица. В случае линейных уравнений с периодическими коэффициентами показано, что из полученных выше результатов следуют известные утверждения для этих уравнений в терминах спектральных свойств оператора монодромии. Иными словами, можно рассмотреть характеристические оператора как распространение понятия оператора монодромии на уравнения с непериодическими коэффициентами.

В п. 1.2 исследуются характеристические оператора в рамках теории полугрупп линейных операторов. Для этого рассматривается полугруппа Т » , h et 0> в пространстве (МЮ и его подпро странстве С^СЮ , состоящем из тех функций v , что

Ив уШ - 0 .

Доказана тедрруз об отображения спектра лях полуругчм

характеристических операторов, т.е. равенство

cCTh) = expfhо«)) ,

где Т*1 , Z действует в пространствах С^Ш, , а

пространство J? конечномерно, отсюда получены новые критерии об экспоненциальной дихотомичности решений на всей оси в терминах обратимости разностного оператора ^ , определенного формулой

C^vHU = vCt) - XCt,t-h)vCL-h) , t € R

в одном из пространств Сц(Ю , СЮСЮ . Следует отметить, что наши построения в случае СшШ применимы для широкого класса уравнений с непрерывными коэффициентами, имеювдх ограниченный рост, т.е. справедлива

HXCt-.s)!! 6 К expCL|t-s|) , t,s е R .

В случае dim ¡Я < m показано, что спектр дифференциального оператора X = - d/dt + АШ , являвшегося инфинитезинальным генератором полугруппы Т , состоит из конечного числа параллельных мнимой оси полос и что существует минимальное единственное экспоненциальное расцепление с люксами генеральных показателей, соответствутадх этим полосам.

П. 1.3 посвящен теории устойчивости решений уравнений в банаховом пространстве. Построен аналог известных утверждений об устойчивости решений уравнений с постоянными коэффициентами для абстрактных уравнений

$ = Jtv . V €Си(» , СЮСЙ) .

Отсюда получаются новые признаки различных типов . устойчивости решений в терминах спектральных свойств дифференциального оператора t . Более конкретно, в этом параграфе доказано, что

- (О -

уравнение (4) равномерно устойчиво в том и только в том случае, когда существует CI - rv' йГ1 для каждого n = 1, 2, ... и справедлива

HCl - п-л£Га\\ < с

для п, m = 1, 2, ...; с - некоторая положительная постоянная, зависящая только от £ . Для экспоненциальной устойчивости решений на полуоси получена следующие критерии :

1) sup ÍRe X, к е сгШ) < 0,

2) rCTh) < 1 , (h > 0),

3) обратим в Со или Со ю ,

здесь оператора действуют в Со , состоящем из функций v б СуСЮ таких, что vCt) = 0 для t í 0 , или его подпространстве Со ю , состоящем из функций v таких, что lim vCt) = 0 при í-t-co Все эти утверждения доказаны с помощью теоремы о спектральном радиусе и спектральной теории линейных операторов. Здесь показано, что справедлива теорема об отображении спектра

orCTh) = expChrt*}} .

где Th , X. действуют в пространствах с0 Я> m • 8 фазовое пространство Ж - произвольное комплексное пространство. Для экспоненциальной устойчивости группы переменных Сили отдельны* решений) справедливо утверждение, что если имеет место условие

а СХ) л Ш = и„

«р »

то каждое ограниченное решение хС•) уравнения С 4) подчиняется оценке

ИхСШ < Ме~т-""|1х(5)1! , Ct i s) для чекоторых положительных постоонних Н , 01 . НО ЯЯЧИСТОИ* It

- К

решения хС•) .

В п.1.4 распространены построения в предыдущих параграфах на пространства Ьр (1 5 р < оо) и на дискретные уравнения. Доказана эквивалентность экспоненциальной дихотомичности решений на всей оси уравнения С 4) и гиперболичности оператора Ть СЬ > 0}. Отметим, что для уравнений на всей оси справедлива теорема об отображении спектра и для пространств . Отсюда следует

эквивалентность эяспоненииалысй дихотомичности решений на всей оси и обратимости разностного оператора 4ц • Отметим здесь, что хотя давно известно утверждение о том, что обратимость дифференциального оператора £ в влечет за собой

экспоненциальную дихотомичность решений на всей оси, обратное к этому еще не даказано. В этом параграфе это доказано в рамках теории полугрупп линейных операторов. Аналогичные результаты также доказаны С. Латушкином и А. Степином для пространства Ц>СЮ с гильбертовым Я . Для устойчивости решений на полуоси отметим, что здесь впервые рассмотрен аналог для пространств Ьр известного утверждения, принадлежащего Болю, о том, что уравнение С 4) экспоненциально устойчиво .в том и только -в том случае, когда задача Коти

Г & = АС О*

I хСО) = О

имеет ограниченное решение на !0,ой. Здесь показано преимущество рассмотрения дифференциального оператора £ в рамках теории полугрупп линейных операторов. Отсюда показано, что аналог утверждений параграфа п.1.3 справедлив и для пространств Ьр и что без труда можно распространять некоторые вышеизложенные построения на

-/г-

дися^етные системы.

Глава 2 посвядена теории вооружения. Она состоит из трех параграфов.

В п.2.1 исследуется задача возмуаения экспоненциально дихотомичных и экспоненциальо устойчивых уравнения. При применении теории возмуления линейных операторов показано, что можно рассмотреть задачу возмуденяя экспоненциально дяхотомичных уравнений в рамках теории возмущения линейных операторов по стандартной схем®. В результате этого перехода получено новое условие на возмучение. Здесь показано, что полученное условие, т.е. условие на малость величины

sup HXa.t-h) - rct,t-h)!i. t

где Y(t,s) - эволюционный оператор возхуженного уравнения,

^ = rACt) + BCt))x С 5)

является луч::- часто встречающейся в теории экспоненциальной дихотомии решений условия воамуиения по малости по интегралу. Для исследоваиэт задачи возмужения экспоненциально устойчивы! уравнений на полуоси доказано следувяее: уравнение (4) экспоненциально устойчиво в том и только в том случае, когда спектральный радиус оператора Т1 меньше чем единица для некоторого s Ъ 0 » где Т^ определяется формулой

ct'vku = xa,t-i)va-i) , v <= и , « ' «

Ne = <v: Is,«) sup «vtt>» < oa> . Отсюда получено новое условие на возмуиение для того, чтобк

иоэмудеиное уравнение также было вкспоненциалыю устойчиво. Без труда можно показать, что это условие удовлетворяется, всяк достаточно мало одно из следующих : til

sup / ilBCs)lids , sup 11В(Ш.

1 t t

Здесь приведен пример, показывающий, что не верно обратное. Отметки также, что можно распространять эти утверждения на различные типы уравнений, в том числе дифференциальные уравнения с воздействием.

П.2.2 посвящен исследованию структурной устойчивости линейных уравнений с переменным» коэффициентами, в том числе обыкновенных дифференциальных уравнения и дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. Для этого понятие топологической эквивалентности распространяется ва эти уравнения. Пусть ми инеем дело с следующими уравнениями :

^ « AjCDx , 1 » 1,2 . (6,1)

где A{(t) непрерывные на всей оси. Будем говорить, что (6,1) топологически эквивалентно (6,2) если существует гомеоморфизм И из КхХ на себя такой, что Н имеет вид H(t,x) « (t,ht(x)) для каждого t , а bt - гомеоморфизм фазового пространства, обладающий свойствами

а) Если x(t) - некоторое решение уравнения (6,1), то Ь^(хШ) - решение уравнения (6,2). Гомеоморфизм К^ обладает тем же свойством.

б) Существует неубывающая неотрицательная функция I, и* (О.оО такая, что

sup с»ь.с*)ч,ти'-(»'»и) < кнхю

для всех х е X .

Доказано следующее утверждение: если уравнение СО на всея ос* экспоненциально дихотомично, то оно топологически эквивалента« стандартному уравнение

В случае, когда фазовое пространство К конечномерно, обратное утверждение также верно. Отсюда, используя теорию возмущения, развитую в предыдущем параграфе для гильбертова пространства, доказана структурная устойчивость экспоненциальных дихотомнчных уравнений на всей оси с гильбертовым фазовым пространством. Рассмотрен также аналог для дифференциальных уравнений с импульсным воздействием.

П. 2.3 посвящен вопросам о стохастическом возмущения экспоненциально дихотомичных уравнений на полуоси. Здесь рассматриваются уравнения вида

dxCU = tACt) ♦ BCUJxCUdt + f C.CUxCOdw.CU, (73

k=. k *

где Cw Ct3.....wdШ) - стандартный d-мэрный винеровскиЯ процесс

выходящий из нуля. На эти уравнения распространяется понятие экспоненциальной дихотомичности решений. Так, получаем два варианта. Первый соответствует разложению начальных условий в Ef на прямую сумму, а второй - разложению начальных условий в L ,Р) ■ , где через- LaCO,fe,P)' обозначается пространство f -измеримых функций со значениями в К1 тагах, что

JlIfCw)HaP(do3 < а .

а

- ib'-

Для первого варианта распрастранения понятия экспоненциальной дихотомичиости справедливо следующее утверждение: если уравнение С4) экспоненциально дихотомично с ограниченной и непрерывной катричнозначноЯ функцией АС 13 , то для достаточно малых возмущений BCD, pkCt> возмущенное уравнение С7) также экспоненциально дихотомично. Главная идея в доказательстве этого утверждения состоит в использовании неравенства, обобщающе:, о известную лемму Гронуола и принадлежаи,е:'оВ. Коипелу. А для второго варианта полезно вводить понятие спектральной дихотомичности. Будем говорить, что уравнение С7) спектрально дихотомично,если не пересекается с мнимой оаи спектр комплесификации оператора Т , определенного формулой

(tv)Ct) = XCt,t-l)vCt-l) . при t > 1 CTvKt) » 0 , при Oil < 1

Здесь V - элемент пространства К , состоящего из таких функций у из tO,со) со значениями vCs) из L^Cfl.J^P) , что

sup HvCsH < со , s

a XCL.s) - отображение из L/0.2F ,Р) в ,Р5 ,

определенное из существования и единственности решений уравнения С 7). Показано, что если уравнение С 4) спектрально и экспоненциально дихотомично, то для достаточно малых возмущений уравнение С7) также дихотомично в смысле второго варианта.

Третья глава посвящена нелинейным уравнениям. В П. 3.1 рассматриваются характеристические оператор«, ассоцировэнны» с уравнениями

{jjj - fCt,x) Г Я)

й reoрт полугрупп ролттйнт ог^ртороч Л/м аго^о

- <

введено понятие допустимости отображений f Будем говорить, что

отображение f из RxX со значениями в комплексном банаховом

пространстве Ж является допустимым,если выполняется следующие условия ;

а) f непрерывно по (t,x) ,

б) f удовлетворяет условию Липшица по х равномерно по

в) существует положительная постоянная H такая, что

ilfCt.x)II < N<1 ♦ Их»)

для всех t , х .

Допустимое отобраяенне f удовлетворяет условие H если выполняется условие: равномерно непрерывно отображение, сопоставлявшее в соответствии каждому t значение fCt.uCt)) . где иСО - некоторая равномерно непрерывная функция из R со значенями в Я . Доказано, что при допустимости f полугруппа 7 характеристических операторов, ассоцированная с уравнением (Й). сильно непрерывна и что ее инфиинит езималъным генератором служат нелинейный дифференциальный оператор t = -d/dt * fCL, •} . Далее, если f удовлетворяет условии Н, то область определения 8 как кяфинитезимальный генератор полугруппы Т является СЧЖ, состоянии из функций вместе с их производными в С CJO. С помоаьи теоремы об обцем порождении, принадлежащей Крандаллу я Яшгетту» доказано, что если f , g удовлетворяют условно H я суаествуе-? а е О? такое, что al - 2 аккретивен, причем, для вскксюдостаточно малого К > 0 имеет место ЯС1 - = Ç СЮ , то оператор yl -% аккретивен с г = a + /3 , где 5Г = -d/dt * fCt, О g(t, •)» р -коэффтиент Липшица no х отображения g . Отсюда следует утверждение, что если О S /3 < - a , то возмуиенное уравнение

-/г-

^ - fCt.x) + g(t,x)

имевт единственное глобально экспоненциально устойчивое решение. В случае линейных уравнений показано, что если оператор Коши уравнения С 4) подчиняется оценке

IIX(t,s)II S eaCt"s} , t > sv

то оператор al - t аккретивен.

В а. 3.2 рассматривается существование интегральных многообразий для полулинейных уравнений вида

АШх + f(t,x) (9)

ори предположении, что линейная часть (9) экспоненциально дихотомична. В этом параграфе без ограничения общности предположим, что A(t> коммутативен с проектором Р , определенным из экспоненциальной дахотомичности линейной части. Введено полное метрическое пространство

©dCr) - <g:RxBaCr)-»B,Cr)|gCtfO) = 0, LipCgCt, О) < 6 >,

где 0 (г) , В* (г) - замкнутые шары в IraP и КегР , соответственно, и dCh.g) = sup llgCt.x) - h(t,x)li . В атом пространстве определим действие операторв Т*1 формулой

grt(Tng)Ct, )1 = YCt,t-nKgrtgCt.-n, JJ3 п ВСг), (10)

где ВСг) - замкнутый шар радиуса г в К , а через gr(f()l обозначаете« График отобракеия Г , YCt.s) - оператор Коши возмущенного уравнения. Если возмуаение f в (9) удовлетворяет условиям, которые гарантирует существование оператора Kow« YCt.s) дй» ю^йуцеяяого урвинеяи* с достаточно, малым

slip llX(t.t.-l) - Ya,t.-1)H , (Ш

то (10) корректно определит действие оператора Т*1 с достаточно большим h . Показано, что в этом случае сунествуетец.:.. ственная неподвижная точка для , которая определяет так называемое

интегральное многообразие. Легко видеть, что малость по интегралу возмущения f влечет за собой малость величины (11). Однако, обратное не верно. Здесь все результаты относятся к уравнениям с гильбертовым фазовым пространством. Однако, без труда можно показать, что они справедливы и для уравнений в банаховом пространстве при добавочном предположении, что ACt) коммутативен с проектором Р . В этом параграфе пок^яИ§, ЧТО эти построения применимы а для donne общих эрэяВДйОТВД процессов, в том числе процессы, определеннее диффвреини^ЛвНЬпа уравнениями с импульсным воздействием.

Ç тыоаьр ийлоханных в предыдущем параграфе результатов в параграфах П.З.з и п. 3. ¿рассматривается асимптотическое поведение решений эволюционных процессов. Доказан принцип сведения для Теории устойчивости. Рассматривается задача топологической классификации полулинейных уравнений. Доказано, что уравнение О) экспоненциально дихотомично , линейной части и достаточно малым возмущения , топологически эквивалентно стандартному уравнению. Доказан также аналог для дифференциальных уравнений с импульсным воздействием и разностных уравнений. Главная идея в доказательстве состоит в использовании леммы Морса в случае, хогда возмущение достаточно гладко.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ Таким образом, основные результаты диссертации являются:

-Щ -

Построение спектраньной теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений на всей оси. Получение различных типов характернаацна равномерной устойчивости, экспоненциальной устойчивости, экспоненциальной дихотомичностн в терминах спектральных свойств полугрупп,бссодадрованных с рассматриваемыми уравнениями. Распространение некоторых из этих на различные типы эволюционных дифференциальных уравнений.

Новые критерии различных типов устойчивости решений одыкновенньсс дифференциальных уравнений на полуоси, в том числе критерии об экспоненциальной устойчивости решений на полуоси в терминах обратимости разностного оператора Д в пространствах Со . Со(а,1ор и дифференциального оператора 2 в пространстве 1о р , признаки экспоненциальной устойчивости некоторой группы переменных С или отдельных решений), критерия равномерной устойчивости решений.

Построение теории возмущения с общим возмущением, позволяющее использовать систематически хорошо развитую теорию возмущения линейных операторов. Исследование стохастического возмущения экспоненциально дихотошчкых обыкновенных дифференциальных уравнений. Исследование задачи структурной устойчивости линейных уравнений с переменным) коэффициентами.

Рассмотрение полугрупп характеристических операторов б рамках теории 'полугрупп нелинейных операторов. Получение условия для ч./чествования глобально экспоненциального решения возмущенного уравнения. Исследование существования интегральных многообразий с использованием характеристических операторов, позволяющее получить новые ободе условия на возмущение и распространять построения на другие огН?кты. Доказательство общего принципа лчр теории

-20-

устойчивости. Локамгетьсгчоаналога теоремы Гробчгана-ХарткакА для рагигчпых типов эволюционных л иф<{>е реи ir f f ал ы t ы х урап неннн с переменными колффшшентамм.

В заключение автор выражает глубокую благоларность профессору ГШ. Забрсйко w постоянное внимание и летальное обсуждение результатов работы.

Основные результаты лнссерташш опубликованы к слепуюши* . работах

!. Забреико ПЛ., Нгуен Ван Минь, Группа характеристических операторов ч ее приложении « теории линейны г обыкновенно,t дифференцнильныл уравнетй//Л\И, т.324 (1992), N.1, с. 24 - 28.

2. Забреико И.II., Нгуен Ван Минь, Экспоненциальная пилотами-, и интегральные многооорашп « теории потоыт и их применения// ДАН, т.324 (1992), N.3, с. 515 - 518.

3. Забреико П.П., Нгуен Ван Минь, Стохастическое ногмущение линейных з-Оихптоличных счете.щ'ДЛИ Беларуси, т. 360992), N.9-I0, С. 790 -793.

4. Нгуен Ван Минь, О топологической классификации неоднородных Ошрфсрепцшиьных уравнений//Укр. мат. ж., т. 42(1990), N.3. с Л23-426.

5. Нгуен Ван Минь, Полугруппы и линейные неавтономные обыкновенные дифференциальные ураннетш/ЦАН Беларуси, т.37 (1993), N. Í, е. 19 - 22.

6. Нгуен Ван Минь, Нелинейные полугруппы и нелинейные неаппшномные обыкновенные дифференцимьнне уравнения/ДАН Беларуси, т.37 ( 1093), N. 2, с. 113 -117.

?. Nguyen Van Minh, Sentui groups and .\labtliry of mmautonomous differential equations in Harwell space, accepted for publication m Transactions of the Ames*. Math. Soc. Тема докладывалась на яошрсссе (клпр\сскм& математиков, Гродно, 24 сентября - 2 октября 89W, Тез. дом., чаоь 2, с. 113.

8. Nguyen Van Minh, On a topological classification of noiuiuumomous differential equations, Colloqula Malhematica Societatk Jur.os Rolyal, v. 53, Norili Holland, Amsterdam, 1990, p. 421 -426.

Nguyen Van Ntinh, Л reduction principle for topological classification of nonautontmnms differential equations. Proceedings of the Royal Socicty of Edinburgh, I23A0993) , N.3 , p.62! -632.

Ю. Nguyen Van Minh, Spectral theory fur linear nonautonomous differential equations, J.Math. Anal. Appl. (в печати).

11. Appel J. .Laksmikantham V., Nguyen Van Minh, Zabreiko P.P. A general model of evolutionary processes, Exponential dichotomy I. Nonlinear Anal, v. 21(1993), N.3, p. 207 - 217.

12. Appel J., Laksmikamham V., Nguyen Van Minh, Zabteiko P.P., A general model of evolutionary processes. Exponential dichotomy II. Nonlinear Anal., v.21(1993), N. 3, p. 219 -225.

13. Aulbach В., Nguyen Van Minh, Zabteiko P.P., Integral manifolds of a general model of evolutionary processes with impulse effect. Final publication to appear in Nonlinear Anal., Preprint series of Institute of Mathematics, Univ. of Augsburg, Report N. 260, July 1992, 22 pp.

14.Aulbacli В., Nguyen Van Minh, Zabreiko P.P., Pie concept of spectral dichotomy for difference equations. Final publication to appear in J. Math. Anal. Appl., Preprint scries of Instil tit e of MnHiitnHtic«.

of Augsburg, Report N. 274. jiine (9??. H pr

•> ?