Исследование граничных свойств функций, аналитических по Дуглису тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

НИКОЛАЕВ ВЛАДИМИР ГЕННАДЬЕВИЧ

ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАНИЧНЫХ СВОЙСТВ ФУНКЦИЙ, АНАЛИТИЧЕСКИХ ПО ДУГЛИСУ

01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 У АПР 2015

Ростов-на-Дону - 2015

005568316

Работа выполнена в федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования "Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого" в г. Великом Новгороде, на кафедре алгебры и геометрии.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Панов Евгений Юрьевич

Официальные оппоненты:

Тюриков Евгений Владимирович доктор физико-математических наук, доцент ФГАОУ ВО "Южный федеральный университет", доцент кафедры геометрии и

Жура Николай Андреевич

кандидат физико-математических наук,

старший научный сотрудник

ФГБ УН "Физический институт

им. П.Н. Лебедева" РАН,

сектор теоретической радиофизики,

старший научный сотрудник

Ведущая организация:

ФГАОУ ВПО "Белгородский государственный национальный исследовательский университет"

Защита состоится 19 мая 2015 г. в 16 час 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.208.29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-а.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке им. Ю. А. Жданова при ФГАОУ ВО "Южный федеральный университет" (344103, г. Ростов-на-Дону, ул. Р. Зорге, 21-ж) и в сети Интернет по адресу: Шр://hub.sfedu.ru / сПБя/аппоигюете^ / £2503пэ1>46е5-43а^а90с-63£235а3а5с1е / Автореферат разослан " -(- " 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного *

совета Д 212.208.29 /К&Ъ Кряквин В. Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию граничных свойств вектор-функпий, аналитических по Дуглису (J-аналитических функций). Основные результаты относятся к исследованию задачи Шварца для J-аналитическнх функций. Отметим, что к этой задаче сводятся краевые задачи для многих интересных эллиптических систем дифференциальных уравнений в частных производных первого и второго порядков.

Впервые J-аналитические функции были рассмотрены А. Дуглисом (А. Douglis), который назвал их гипсраналитическимн. В дальнейшем это направление развивалось Д. Паскали, Д. Хорватцем, Б. Боярским, Р. Гильбертом, Д. Хайлом, А.П. Солдатовым и др. В частности, для них был построен аналог теории аналитических функций, поэтому теперь эти функции мы называем аналитическими по Дуглису.

Хорошо известно, что решения уравнения Лапласа

д д2и д2и дх2 ду2

описываются как вещественная часть аналитических функций. Через аналитические функции выражаются и решения более общих эллиптических уравнений с вещественно аналитическими коэффициентами.

Единый подход к изучению этих представлений был предложен И.Н. Ве-куа. В дальнейшем A.B. Бицадзе было получено представление через аналитические вектор-функции и их производные общего решения эллиптических систем.

Сравнительно недавно (А.П. Солдатов, Р. Иех) было обнаружено, что с помощью функций, аналитических по Дуглису, представление Бицадзе существенно упрощается. Можно сказать, что по отношению к эллиптическим уравнениям и системам с постоянными (и только старшими) коэффициентами эти функции играют ту же роль, что и аналитические функции по отношению к уравнению Лапласа. Аналогичные свойства выявлены (H.A. Жура) и для систем, эллиптических по Дуглпсу-Нирепбергу.

В этой связй на настоящий момент актуальным является исследование различных граничных задач для функций, аналитических по Дуглису. Рассмотренная в диссертации задача Шварца — одна из них.

Цель работы: 1) доказательство теорем существования и единственности решения задачи Шварца для специальных типов матриц и областей; 2) разработка общих методов построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм; 3) доказательство нарушения принципа максимума модуля для ./-аналитических функций.

Объект исследования: граничные свойства ./-аналитических функций. Эти вектор-функции определяются как решения некоторой комплексной эллиптической системы линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Для этой системы ставится специальная краевая задача Шварца. Диссертация посвящена в основном проблеме единственности решения данной задачи, а также разработке методов построения нетривиальных решений однородной задачи Шварца.

Методы исследования. В §1.3 главы 1 применена комбинация методов линейной алгебры и скалярного комплексного анализа ( см. теоремы 1.3.2 и 1.3.3 ). Затем в § 1.4-1.7 проведена редукция задачи Шварца для матриц ,/ € Спхп к граничным задачам для скалярных комплексных дифференциальных уравнений и вещественных эллиптических систем в частных производных второго порядка. Такой подход дает возможность доказать существование и единственность решения задачи Шварца для широкого класса структурных матриц.

В §2.1 главы 2 для матриц 7 £ С2х2 с кратным собственным числом проведена редукция однородной задачи Шварца к равносильному скалярному функциональному уравнению. Этот метод дает возможность в §2.2 доказать единственность решения задачи Шварца в двумерном случае для специальных областей.

Другой аспект исследования это получение общих методов построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца. Такой подход реализован в § 2.4 с помощью доказанного в § 2.3 соотношения между вещественными и голоморфными функциями.

Результаты § 2.3 применены в главе 3 при доказательстве нарушения принципа максимума модуля для ./-аналитических функций.

Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, являются новыми. Таковым, в частности, является метод прямой и обратной редукции задачи Шварца к задаче Дирихле для вещественных эллиптических систем.

Новой является идея о применении методов скалярного комплексного анализа для изучения специальных типов таких систем. Оригинальным результатом является одно соотношение между вещественными и голоморфными функциями, а также основанный на нем общий метод построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца для матриц 3 € Спхп.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе результатов обусловлены строгостью доказательств, применением апробированных методов исследования, сравнением с известными результатами, а также обсуждениями на научных конференциях и семинарах.

Теоретическая и практическая значимость. Результаты диссертации носят теоретический характер. По качественным свойствам они охватывают широкие классы матриц и соответствующих им ./-аналитических функций. Полученные в диссертации условия являются конструктивными и сформулированы в терминах исходных данных.

Материалы диссертации могут быть использованы при разработке спецкурсов для студентов-математиков, а также при написании курсовых и дипломных работ, магистерских диссертаций.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. В соответствии с паспортом специальности "01.01.02 — Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление" в диссертации проведено теоретическое исследование краевой задачи Шварца для одного типа систем линейных однородных комплексных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Шварца для специальных случаев. Получен метод построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм.

Положения, выносимые на защиту. 1) Доказана теорема единственности решения задачи Шварца для специальных типов матриц 3 6 С"*" в произвольных областях. 2) Изучены граничные свойства А-голоморфных функций. 3) Для матриц 3 е Спх" проведена редукция однородной задачи Шварца к задаче Дирихле для систем в частных производных второго порядка. 4) С помощью данной редукции и методов скалярного комплексного анализа доказаны три теоремы существования и единственности решения задачи Шварца для матриц 3 е С"*". 5) Для матриц 3 е С2*2 с кратны-

ми собственными числами доказана теорема единственности решения задачи Шварца для специальных областей, а также построены примеры отсутствия разрешимости задачи Шварца. 6) Доказано одно соотношение между вещественными и голоморфными функциями. 7) С помощью данного соотношения для матриц J € С2х2 получено два общих метода построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм. 8) Получен критерий tj, по которому можно определить, возможен или нет для матрицы J £ С2х2 с кратными собственными числами пример неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичной вектор-функции. 9) Доказаны три теоремы о нарушении принципа максимума модуля для J-аналитическпх функций. 10) Получен метод построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм для матриц ,/ £ С"х" при тг > 3.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на Международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2012, 2014 гг.), а также на международной конференции "Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум" (Судак, 2014 г.). Полученные результаты неоднократно докладывались на научных семинарах в Новгородском Государственном университете в 20102014 гг.

Работа поддержана Министерством Образования и Науки Российской Федерации в рамках выполнения государственного задания.

Публикации и личный вклад автора. По теме диссертации опубликовано 8 статей [1-8]. Статьи [1-7] — в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов диссертаций. Совместная с Е.Ю. Пановым статья [8] опубликована в журнале, индексируемом в международной цитатно-аналитической базе Scopus. Во второй части данной статьи излагается метод доказательства теорем единственности решения задачи Шварца для специальных типов матриц, который был предложен соискателем. Для реализации этого метода необходима специальная теорема, относящаяся к теории граничных задач для скалярных А-голоморфных функций. Она была получена Е.Ю. Пановым и отражена в первой части статьи.

Все результаты, выносимые на защиту, получены автором самостоятельно.

Результаты главы 1 опубликованы в работах [3,4.6,7,8], главы 2 — в работах [2,5,0], главы 3 — в работе [1].

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 46 наименований. Общий объем диссертации составляет 105 страниц.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведена постановка задачи, пояснена специфика объекта исследования, обоснована актуальность темы диссертации, приведены обзор литературы и краткое содержание работы, сформулированы основные результаты и обоснована их новизна.

Глава 1. Задача Шварца и ее связь с задачей Дирихле для эллиптических систем

§1.1. Определение ./-аналитических функций

Определение 1.1.1. Пусть матрица 3 6 С"*" не имеет вещественных собственных чисел. Аналитической но Дуглнсу называется комплексная п-вектор-функция ф(з) 6 С1 (Б), которая в области /? С М2 удовлетворяет уравнению

^-■/•^ = 0, (./••//) С- I). (1.1.1)

иу их

Эти функции также называют ./-аналитическими с матрицей 3.

Определение 1.1.2. В скалярном случае, при 3 = А, 1т А ^ 0 функцию /л(г) е С1(0). для которой выполнено (1.1.1), назовем А-голоморфной в области /X При А = г /(г) совпадает с обычной голоморфной функцией.

По аналогии с представлением 2 = х + гу принято записывать [г] = хЕ + уЗ, где Е - единичная матрица, или [л]а = х + А у, если п=1и7 = АбС. Примером ./-аналитической функции служит векторный полином

ф{г) = с0 + [л] • С! + [г]2 -С2 + ... + [л]т • ст,

где ск £ С", к = 1,.... т.

Определение 1.1.3. Будем говорить, что функция ф(г) соответствует матрице 3, если выполнено (1.1.1).

Имеет место следующее основное свойство ./-аналитических функций.

1°. Если числа ак € С, к = 1 ,...,тп, а функции фк{г) соответствуют матрице 3, то и функция ф(г) = очфу + ... + ат-\ф

т—1 ^т соответствует

той оке матрице 3.

§ 1.2. Постановка задачи Шварца

Уравнение (1.1.1) это эллиптическая система дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка. Рассмотрим для нее краевую задачу Шварца, которая формулируется следующим образом.

Пусть односвязпая область О ограничена гладким контуром Г. Требуется найти 3-аналитическую с матрицей 3 в области Б функцию ф{г) £ С (И), которая удовлетворяет краевому условию

Веф(г)\г = ф,у), (1.2.1)

где вещественная вектор-функция ^р(х,у) Е С(Г) задана.

При ¡р = О будем говорить об однородной задаче Шварца. Очевидными решениями последней служат постоянные векторы ф = гс, с £ М", которые назовем тривиальными решениями.

§ 1.3. Однородная задача Шварца в специальных случаях

Для п = 1 имеет место хорошо известная

Теорема 1.3.1. Пусть скалярная комплексная функция ф{г) является А-голоморфпой в конечной области ОсК2с границей Г. Тогда однородная

= 0) задача (1.2.1) имеет только тривиальные решения.

В многомерном случае это уже не верно: сравнительно недавно были построены примеры нетривиальных решений однородной задачи Шварца. Приведем один из них для п = 2.

Пример 1.3.1. Пусть

/-1 + Зг 1 \ /х2 + Зг-1-2 ху% \

\ 3 + 4г 1 - г) ' \х2 + Зу2 - 1 - (4а;2 + 2ху + 4у2) г) '

Функция ф(г) соответствует матрице 3, которая имеет кратное собственное число А = г. Имеем: Ие |г = 0 иа эллипсе Г : х2 + 3у2 = 1.

Для п > 1 имеет место ' Теорема 1.3.2 [6]. Пусть столбцы обратимой матрицы <2 6 С"хп. начиная со второго, кратны вещественным векторам, и матрица (¿^ЗС^ нижне

треугольна. Тогда однородная задача (1.2.1) допускает только тривиальные решения.

Замечание 1.3.1. Случаю п = 2 в теореме 1.3.2 соответствуют 2x2-матрицы, имеющие хотя бы один вещественный собственный вектор. К ним относятся, в частности, все треугольные матрицы.

Кроме того, справедлива

Теорема 1.3.3 [4]. Пусть матрицы А, В е К"хп. Для того, чтобы для данной матрицы 7 = А + В1 существовала соответствующая ей непостоянная линейная вектор-функция ф(г), удовлетворяющая однородному условию Яе ф = 0, необходимо и достаточно выполнение условия с!е! В = 0.

В качестве иллюстрации утверждения теоремы 1.3.3 приведем

Пример 1.3.2. Пусть

Матрица J имеет собственное число Л = i кратности два. Здесь det В = 0, Re ф{г) = 0, но ф{г) ф const. Как известно, для скалярных А-голоморфных функций такие примеры невозможны.

§ 1.4. Граничные свойства А-голоморфных функций

Для дальнейшего изучения проблемы единственности решения задачи Шварца применяется ее редукция к граничным задачам для скалярных комплексных дифференциальных уравнений и вещественных эллиптических систем второго порядка. Данный метод основан теоремах 1.4.1, 1.4.3, 1.5.1 и 1.5.2, которые приведены в этом и в следующем параграфах. Обозначим На(А) — пространство функций, удовлетворяющих условию Гельдера на множестве Л С К.2 с показателем 0 < <т < 1. При а = 1 это пространство совпадает с классом Lip (Л) непрерывных по Липшицу функций.

Теорема 1.4.1. [8]. Пусть А- и /¿-голоморфные функции f\(z), flt(z) ё C(D), причем (ImA) • (Im/i) < 0 и f\{z) = /Д-г) па Г = 3D. Если образ /а(Г) имеет пустую внутренность, то f\(z) = f,t(z) = const.

Следующее утверждение показывает, что условие (ImA) • (lm/i) < 0 в теореме 1.4.1 является существенным.

Теорема 1.4.2. Если ImA и Im/u имеют одинаковый знак, то существуют квадратичные А- и /u-голоморфные квадратичные формы, совпадающие на

некотором эллипсе.

В качестве иллюстрации к теореме 1.4.2 приведем Пример 1.4.1. Пусть А = г, /« = 1 + г,

/а(*) = Q + i) ■ & + ¿У?', Ш ix + i1 + + L

Тогда

fx{z)-ftl{z) = х2 + ху+^у2-1,

3

то есть (Д — /ц)\г — 0 на эллипсе Г : х2 + ху + -у2 = 1. Следующее утверждение доказано А.П. Солдатовым.

Теорема 1.4.3. Пусть контур Г = 3D удовлетворяет условию Ляпунова и (Im А) ■ (Im//) < 0. Тогда для любой граничной функции ip(z) G На(Т), 0 < а < 1 решение задачи f\{z) + = !-f{z), z G Г в классе функций

fx(z), fn(z) G H"(D) существует и единственно (с точностью до константы).

§ 1.5. Теоремы существования и единственности решений для эллиптических уравнений и систем

В односвязной области D С К2 рассмотрим дифференциальное уравнение

д d2f d2f | d2f _ Q дх2 дхду ду2

где f(x,y) € C2(D) — неизвестная комплексная скалярная функция, а коэффициенты а,Ь € С таковы, что характеристическое уравнение

а + 6£ + £2 = 0 (1.5.2)

не имеет вещественных корней. Таким образом, уравнение (1.5.1) по определению является эллиптическим.

Пусть A,/i € С — корни квадратного уравнения (1.5.2). Верна следующая Теорема 1.5.1 [7,8j.

1е. При А ф ц общее решение уравнения (1.5.1) имеет вид

f(z) = qx(z) + sfl(z),

то есть является суммой произвольных А- и /¿-голоморфных функций. 2°. При этом, если / G Lip (D), то и функции q\, s,, G Lip (D).

3°. Если же Л = //., то общим решением уравнения (1.5.1) будет функция f(z) = q\{z) + {x-Xy)-r\{z), где q\{z), rA(z) — произвольные А-голоморфные функции.

Из теорем 1.5.1 и 1.4.1 вытекает

Теорема 1.5.2 [8]. Пусть DcM2- ограниченная односвязная область с гладкой границей Г. Пусть мнимые части корней А,/х характеристического уравнения (1.5.2) для (1.5.1) имеют разные знаки. Тогда однородная задача Дирихле

Д:г,2/)|г = 0 (1.5.3)

для уравнения (1.5.1) в классе функций / 6 C2(D) П Lip (D) имеет только нулевое решение.

Из теорем 1.4.2 и 1.5.1 вытекает следующая

Теорема 1.5.3 [8]. Пусть А ф ¡л, но ImA и Ini/z имеют одинаковый знак. Тогда множество решений однородной задачи Дирихле (1.5.3) для уравнения (1.5.1) бесконечномерно, то есть задача не является фредгольмово разрешимой.

Покажем, как можно применить полуценные выше теоремы.

В односвязной области D С К2 с границей Г рассмотрим задачу Дирихле для системы уравнений второго порядка вида

, о „ч д2и д2и д2и , , . ,„ _ „.

+ ^ = u|r = „(*). (1.5.4)

Здесь вещественная гг-вектор-функция и{х,у) S C2(D), кривая Г = 3D, число абй, матрица В 6 Rnx'\ det В ф 0.

Система (1.5.4) будет эллиптической, поскольку ее характеристическое уравнение det [z2 ■ Е — 2аЕ ■ z + (В2 + сгЕ)] = 0 не имеет вещественных корней. Из теоремы 1.5.2 вытекает

Теорема 1.5.4 [8]. Пусть матрица В в (1.5.4) не имеет собственных чисел вида ±ti, i 6 Е. Пусть Г = 0D есть гладкая кривая. Тогда в классе функций и(х, у) € C2(D)nLip (D) решение однородной (tp = 0) задачи (1.5.4) — только нулевое.

§ 1.6. Редукция задачи Шварца к задаче Дирихле для систем

Следующая теорема позволяет связать задач}' Дирихле с задачей Шварца.

Теорема 1.6.1 [4]. Пусть n-вектор-функция ф = и + iv является аналитической по Дуглису с матрицей J = А + Bi, где матрицы А,Ве Rnxn, det В ф 0. Тогда вещественная функция и(х, у) — Re ф(г) будет решением системы дифференциальных уравнений вида

в . (В + ЛВ-U) 1^-в. {лв- + В-'Л) Ц + . 0. (,.6.1)

Следствие 1.6.1. Если существует нетривиальное решение ф(г) однородной (<р = 0) задачи Шварца (1.2.1), то существует и ненулевое решение задачи Дирихле и(х,у)\т = 0 для системы (1.6.1).

§ 1.7. Существование и единственность решений для специальных матриц

Рассмотрим функции, аналитические по Дуглису с матрицами J е Спхп вида

.7 = Bi + аЕ, В £ К"х", det В ф 0, «е М. (1.7.1)

Будем предполагать, что матрица В не имеет собственных чисел вида ±ti, ( 6 R. В этом случае система (1.6.1) примет вид (1.5.4). Таким образом, результаты § 1.4 и § 1.5 можно применить к задаче Шварца.

Из теоремы 1.5.4 и следствия 1.6.1 вытекает

Теорема 1.7.1 [8]. Пусть матрица J имеет вид (1.7.1). Тогда в области Dcl2c гладкой границей Г однородная задача Шварца в классе функций ф(г) € C2(D) П Lip (D) имеет только тривиальные решения ф = гс, с G К".

Для матриц В с диагональной жордановой формой очень эффективным оказывается использование обратной редукции. Она заключается в восстановлении функции ф(г) по ее реальной части и(х.у), удовлетворяющей (1.6.1). На основании такого подхода получены следующие две теоремы.

Теорема 1.7.2. Пусть матрица J имеет вид (1.7.1), причем ее жорданова форма диагональна. Пусть Г = 3D является линией Ляпунова. Тогда для любой граничной функции ip(z) е Н"(Г), 0 < а < 1 решение ф(г) задачи Шварца (1.2.1) в классе функций ф(г) е Ha(D) существует и единственно с точностью до постоянной ф = ic, сё Rn.

При доказательстве этого результата существенно используется теорема 1.4.3. Следующий результат устанавливается с помощью очевидной редукции к одномерному случаю п = 1.

Теорема 1.7.3. Пусть матрица J е Спхп имеет диагональную жорданову форму и вещественный жордапов базис, Г — граница конечной односвязной области D С К2. Тогда:

1) если Г — гладкая кривая, то для любой граничной функции ip(z) е Lip (Г) задача Шварца (1.2.1) имеет решение ф(х) s Lip (75);

2) если Г — кривая Ляпунова, для любой граничной функции ip(z) € На(Г), 0 < а < 1 задача (1.2.1) имеет решение ф{г) е На(Б).

В обоих случаях решение ф(г) единственно с точностью до постоянной ф = гс, с£ R".

Глава 2. Задача Шварца для размерности п = 2

§2.1. Редукция к скалярному уравнению

Справедлива

Теорема 2.1.1 [6]. Пусть матрица J е С2х2 имеет собственное число А = г кратности два и собственный вектор, не кратный вещественному. Тогда существование в области D нетривиального решения ф{г) однородной (<р = 0) задачи Шварца (1.2.1) равносильно существованию непостоянных голоморфных в D функций /(г) 6 C(D) и F(z), для которых верно равенство

z-§; + e-~f(z) + F(z)\r = 0, ее С, ефо. (2.1.1)

В (2.1.1) коэффициент £ е С вычисляется но матрице J.

Если функции /, F, удовлетворяющие (2.1.1), известны, то можно восстановить вектор-функцию ф{г), соответствующую матрице J, по формуле

В (2.1.2) матрица Q = (х,у), где х = (1, 0), у = (J - iE) ■ х.

Таким образом, уравнение (2.1.1) равносильно однородной задаче Шварца для рассматриваемого типа матриц, и его можно изучать вместо нее.

Как известно, при п = 1 для любой граничной функции tp е //""(Г), 0 < а < 1 решение задачи Шварца существует в классе функций ф(г) е Ha(D).

Из приведенной в диссертации теоремы 2.1.5 вытекает, что уже для п = 2 это не всегда так.

Теорема 2.1.5 Пусть неособая матрица ,/ = А + Вг, где А, В £ М2х2, имеет кратное собственное число А = г, а ее собственный вектор не кратен вещественному. Пусть сЫ; В = 0 и Г — граница единичного круга К. Тогда существует аналитическая на Г вектор-функция ¡р = для которой

задача Шварца (1.2.1) в классе функций ф(г) е С(К) не имеет решений.

§ 2.2. Теорема единственности решения для матриц с кратными собственными числами

Пусть К — произвольный круг. А е С, 1т А ф 0, отображение ¡\(г) = х + А у. Обозначим область К\ = /\{К). Из теоремы 2.1.1 вытекает

Теорема 2.2.1 [6]. Обозначим 3 = А + Вг. где матрицы А, В £ М2х2, с1е1£? ф 0. Пусть матрица 3 имеет собственное число А, 1т А ф 0 кратности два, а ее собственный вектор не кратен вещественному. Тогда для матрицы 7 однородная (<р = 0) задача Шварца (1.2.1) в области К\ имеет только тривиальные решения ф = и;, с 6 М".

§ 2.3. Об одном соотношении между вещественными и голоморфными функциями

Теорема 2.3.1 [5]. Для произвольных А,деС. 1т/х, 1т А ф 0 существуют непостоянная вещественная функция и(х,у) и ^-голоморфная функция /^(г) такие, что

ди , ди „ . . ,

При А ф~р, функция и(х,у) есть полином не выше 2-ой степени, квадратичная часть которого единственна с точностью до множителя.

Если (1т А) • (1т/х) > 0, то квадратичная форма и(х,у) — полоэ/сителъпо определенная и неособая.

Соответственно, = с0 + где = х + цу, /л2 = 1т/х.

Приведем формулы для квадратичной формы и{х,у) и голоморфной функции /(г) = а г при А = г + кг, \х = г :

и{х,у) = (1+к)х2+2гху + (г2+к2+к)у2, а = —2 [кг + (к2 + к) г] . (2.3.2)

Для произвольных А = А: + А2г, ц = //, + ц2г нужно в (2.3.2) сделать

подстановку

х = з/ + щуу = (12у', г = —(Л 1-М1), к = —. (2.3.3)

/¿2 Ц2

При А = /I нетривиальное решение (2.3.1) можно найти в виде

и(х,у) = Веа-[гЦ, а е С, /Дг) = щс^г]^ а = 2т. (2.3.4)

Функция и(х, у) в (2.3.4) не будет единственной с точностью до множителя в силу произвольности выбора а € С.

Следствие 2.3.1. Если 1т Л и 1т /х имеют одинаковый знак, то существуют квадратичные Л- и /х-голоморфные функции, совпадающие на некотором эллипсе.

Замечание 2.3.1. Следствие 2.3.1 есть не что иное, как теорема 1.4.2, сформулированная в § 1.4.

Следствие 2.3.2. Если Л ф ¿¿,/1 и 1т (Д + /м) = 0, то Л- и ¡ь-голоморфные функции /л, /ц — полиномы не выше второй степени.

Следствие 2.3.3. Пусть матрица 3 = I ап а'12 ) пмсех собствен-

\ 0.21 а22 у

пые числа А,/х, где 1тЛ, 1т/х ф О, А ф р. Пусть ей соответствует 3-аналнтичсская вектор-функция ф(г), такая, что

Шеф = (аР, /ЗР), а,Р € К, а2 + р2 > 0. (2.3.5)

Для того, чтобы все ./-аналитические с данной матрицей функции вида (2.3.5) были полиномами не выше второй степени, необходимо и достаточно выполнение условия /3(а«ц + /^«12) Ф а(па2\ + /?«2г)- При этом, если данное условие выполнено, то квадратичная форма в Р(х, у) определена однозначно, с точностью до множителя.

§ 2.4. Методы построения примеров неединственности решения. Специальная классификация 2 х 2-матриц

С учетом теоремы 2.3.1 справедлива

Теорема 2.4.1. Для каждой матрицы 3 6 С2х2, имеющей собственные числа А,/х е С. где 1т А, 1т/г ф 0, существуют соответствующие ей квадратичные вектор-функции ф(г) вида (2.3.5). Если матрица 3 имеет крат-нос собственное число, либо треугольная, то квадратичные формы Р(х,у) в (2.3.5) могут быть только одного типа.

Имеют место следующие формулы для функций ф\ и ф2, соответствующих параметрам (а,/?) = (1,0), (а, в) = (ОД) в (2.3.5) :

(а21-г-^~-[г}2 +г-а21(ап-р1)-и(х,у) . ФЛг) = 2 , Пеф1(г) = (Рь0);

г • |а.2112 • и(х,у)

(2.4.1)

г ■ |«1212 • и(х, у)\

Ш=\_ ¿ЙС1 м2х. _ , , , ], = (0,Р2).

\ ап ■ ■ + г ■ а12(а22 - ц) ■ и{х, у) I

(2.4.2)

Здесь обозначено [г]2 = (х+/ху)2, = 1т ц. Вещественную квадратичную форму и(х, у) и число с\ 6 С при Л ^ Д находим по формулам (2.3.2) и (2.3.3). Если Л = ¿г, то надо применить (2.3.4).

Формулы (2.4.1) и (2.4.2) дают общий метод построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм. Приведем

Пример 2.4.1. Пусть

/ 1 - 2г 48 - 8г \ 3 = 1 ■ (2-4.3)

\ з 2 + Ы /

Матрица 3 имеет собственные числа А = 2 + 4г, ц — 1 + 2г. По формулам (2.3.2) и (2.3.3) находим:

и(х, у) = Зх2 + 8ху + 30у2, с-1 = -2(1 + 6г), ц2 = 2. (2.4.4)

Подставляя (2.4.4) в (2.4.1), получаем:

^ Д2х2 + 32ху + 46у2 - 1 + (-х2 + 22ху + 27у2) • г\ V (Зх2 + 8ху + 30у2)-| )

Функция Ф'(г) соответствует матрице (2.4.3). Имеем: 11е<р'|Г = 0 па эллипсе Г : 12х2 + 32ху + 46?у2 = 1.

Следствием теоремы 2.4.1 и формул (2.4.1), (2.4.2) при А = ц является следующий критерий.

Теорема 2.4.2. Пусть петпреуголъная матрица .7 = I 11 12 имеет

\ а21 Ö22 J

кратное собственное число Л = Ai + А2г, А2 ф 0. Обозначим:

t _ [A2-a2i| _ |А2-а12| .

J |lm [ü2i(an — A)]| ¡Im [ä12(a22 - A)]|' 1

Утверждается, что существование для данной матрицы 3 нетривиального решения однородной задачи Шварца в виде квадратичной вектор-формы равносильно условию 0 < tj < 1.

Кроме того, если tj — 1, то квадратичная форма Р(х,у) в (2.3.5) - вырожденная. Если tj > 1, то квадратичная форма Р{х,у) в (2.3.5) — знакопеременная.

В примере 1.3.1 § 1.3 коэффициент tj = -.

Замечание 2.4.2. К треугольным матрицам формула (2.4.5) неприменима. Однако, для них пример неединственности решения невозможен в силу замечания 1.3.1 §1.3.

В силу теоремы 2.4.1 каждая матрица 3 е С2х2 с кратными комплексными собственными числами имеет некоторую характеристику — тип квадратичных форм Р(х,у) в (2.3.5), которую удобно как-то обозначить.

Определение 2.4.1 [2,5].

1) если квадратичные формы Р(х,у) в (2.3.5) — положительно (отрицательно) определены и невырождены, то обозначим 3 G Sw+;

2) если Р{х, у) в (2.3.5) — знакопеременные формы, то обозначим 3 £ Sw_ ;

3) если Р(х,у) в (2.3.5) — вырожденные (особые) формы, то обозначим 3 Е Swo.

В примере 1.3.1 § 1.3 матрица 3 Е Sw+ .

В конце § 2.4 диссертации приведен еще один метод построения примеров неединственности решения в виде квадратичных вектор-форм.

Глава 3. Нарушение принципа максимума модуля для ./-аналитических функций

§ 3.1. Основная теорема

Пусть скалярная А-голоморфная функция / (г) задана в конечной области Ос12с границей Г. Как известно, для нее выполнен принцип максимума модуля:

|/(г0)| <тах |/(0|, У г0 £ Б. (3.1.1)

Для ./-аналитических вектор-функций при п > 1 неравенство (3.1.1) может нарушаться, что вытекает из следующего результата.

Теорема 3.1.1 [1]. Пусть комплексная п-вектор-функция ф(г) = (^ + ту,..., ип + тп) Е С(О), где область О С К2. Пусть = 0 для некоторого к, но ик Ф 0. Тогда для произвольной внутренней точки го £ Ю, где щ(г0) ф 0, существует такая вещественная константа А/ = А[(г0), что для функции фм(х, у) = («1 + и>1,..., щ + М + гьк,..., ип + тп) справедливо неравенство

\ФмЫ\ > тах|0л/(О|. (3.1.2)

Пример 3.1.1. Пусть

(х2 + 2ху-у2 + (у2 + 2ху-х2)1\ '-{1 г)> х2 + у2-1 + (х2 + у2-1)г ^

Функция ф(г) в (3.1.3) является аналитической по Дуглису с данной матрицей 3. Здесь компонента и2 = х2 + у2 — 1 обращается в нуль на окружности Г : х2 + у2 = 1, но и2(0) ф 0.В силу теоремы 3.1.1 по данной функции ф{г) можно построить другую функцию фм(г), для которой выполнено неравенство (3.1.2), противоречащее (3.1.1). При этом согласно свойству 1° §1.1 функция фм{%) будет соответствовать той же матрице 3. Таким образом, для функций, 3-аналитических с матрицей (3.1.3), принцип максимума модуля, в общем случае, не верен.

§ 3.2. Нарушение принципа максимума модуля в общем случае

Покажем, что для широкого класса ./-аналитических функций принцип максимума модуля также нарушен. Из теорем 2.3.1 и 3.1.1 вытекает

Теорема 3.2.1. Пусть матрица 3 е спхп; п > 3 ф аЕ не имеет вещественных собственных чисел. При этом, если ее жорданова форма диаго-нальиа, то предположим, что все собственные числа 3 лежат выше или ниже действительной осн. Тогда существует такая квадратичная вектор-функция ф(г), соответствующая этой матрице, что в некотором эллипсе содержащем точку го = 0, выполнено неравенство

|0(О)| >тах|^)|.

При условиях теоремы 3.2.1 верен следующий более сильный результат.

Теорема 3.2.2. Для каждой константы С > 1 и п > 1, п £ N существует такая квадратичная ./-аналитическая п-вектор-функция ф(г), что в некотором эллипсе £>, содержащем точку го = 0, выполнено неравенство

|0(О)| > С -шах |0(О| •

С использованием техники, развитой при доказательстве теоремы 3.2.1, получен еще один метод построения примеров неединственности решения однородной задачи Шварца в виде квадратичных вектор-форм, но уже для многомерного случая п > 3. Приведен соответствующий пример.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации исследованы граничные свойства функций, аналитических но Дуглису. Доказаны теоремы существования и единственности решения задачи Шварца. Разработаны методы построения примеров неединственности решения этой задачи в виде квадратичных вектор-форм. Получены результаты о нарушении принципа максимума модуля для ./-аналитических функций.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ИССЛЕДОВАНИЯ

[1] Николаев, В. Г. Некоторые контрпримеры к принципу максимума модуля /В.Г. Николаев// Вестник НовГУ. серия технические науки-2010- Т.60-С. 47-49.

[2] Николаев, В.Г. О применении Sw-классификации матриц для решения проблемы единственности задачи Шварца /В.Г. Николаев// Вестник НовГУ, серия технические науки.-2011.-Т. 65,- С. 87-90.

[3] Николаев, В.Г. О единственности решения однородной задачи Шварца для функций, аналитических по Дуглису /В.Г. Николаев// Научные ведомости БелГУ, серия математика, физика.-2011.-Т. 17(112), вып. 24-С. 94-101.

[4] Николаев, В.Г. Об одном преобразовании задачи Шварца /В.Г. Николаев// Вестник СамГУ, естественнонаучная серия.-2012.-Т. 6(97).- С. 27-34.

[5] Николаев, В.Г. О некоторых свойствах ./-аналитических функций /В.Г. Николаев// Вестник СамГУ, естественнонаучная серия-2013- Т. 3(104).-С. 25-32.

[6] Николаев, В.Г. Единственность решения задачи Шварца в некоторых специальных случаях /В.Г. Николаев// Научные ведомости БелГУ, серия математика, физика.-2013.-Т. 26(169), вып. 33,- С. 35-42.

[7] Николаев, В.Г. О некоторых подходах к проблеме единственности решения задачи Шварца /В.Г. Николаев// Вестник НовГУ, серия физико-математические науки.—2013.— Т. 75(2).- С. 38-40.

[8] Nikolaev, V. G., Panov, Е. Yu. On Coincidence of A- and p-Holoinorphic Functions on the Boundary of a Domain and Applications to Elliptic Boundary Value Problems / V.G. Nikolaev, E.Yu. Panov // Journal of Mathematical Sciences.-2014.-Vol. 196, N 4 - P. 578-589.

Подписано в печать 12.03.2015. Бумага офсетная. Формат: 60 х 84/16 Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1.0. Уч.-изд. л. 1.0. Тираж 130 экз. Заказ № 601

Отпечатано в ЗАО «Новгородский технопарк» 173003, Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, д. 41, тел.: 73-17-05