Исследование и методы решения блочных алгебро-дифференциальных систем индексов 1 и 2

Орлова, Ирина Витальевна

Исследование и методы решения блочных алгебро-дифференциальных систем индексов 1 и 2 тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Орлова, Ирина Витальевна АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Иркутск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2007 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Исследование и методы решения блочных алгебро-дифференциальных систем индексов 1 и 2»

Автореферат диссертации на тему "Исследование и методы решения блочных алгебро-дифференциальных систем индексов 1 и 2"

На правах рукописи

иис(иЬБ853

Орлова Ирина Витальевна

ИССЛЕДОВАНИЕ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ БЛОЧНЫХ АЛГЕБРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ ИНДЕКСОВ 1 И 2

Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Иркутск - 2007

003056853

Работа выполнена в Институте динамики систем и теории управления СО РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Бояринцев Юрий Еремеевич.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Булатов Михаил Валерьянович;

кандидат физико-математических наук, доцент Романова Ольга Александровна.

Ведущая организация: Южно-Уральский государственный университет.

Защита состоится «17» мая 2007 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 003.021.01 в ИДСТУ СО РАН по адресу: 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

С диссертационной работой можно ознакомиться в библиотеке ИДСТУ СО РАН.

Автореферат разослан « 6 » апреля 2007г.

Ученый секретарь диссертационного совета д.т.н.

Г.А. Опарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы и объект исследования

При построении математических моделей в различных приложениях, таких как теория электрических цепей, оптимальное управление, автоматическое регулирование, теория переноса нейтронов, в различных экономических задачах, а также при применении разностных схем для уравнений Навье— Стокса часто используются блочные алгебро-дифференциальные системы

В литературе для обозначения таких систем применяются и другие названия: сингулярные, вырожденные, неразрешенные относительно старших производных, дифференциально-алгебраические и др.

Объектом исследования в диссертации являются системы вида (1), в которых матрицы А и В - квадратные, образующие регулярную пару матриц (А, В) и имеющие следующее блочное строение:

где 0\ и - квадратные блоки.

Большое внимание уделяется также системам (1), в которых матрицы имеют вид

Структура матриц (2) (или (3)) позволяет при исследовании получить методы решения блочных алгебро-дифференциальных систем (АДС), связанные с применением матриц меньшего порядка, чем порядок исходной системы.

Несмотря на сравнительно широкую область применения блочных АДС, детальные описания и целенаправленные исследования их блочной структуры в литературе практически отсутствуют. В связи с этим исследование блочных АДС является весьма актуальным.

(Ах(')У = Вх(1) +Х0-

О)

(3)

Диссертационная работа направлена на развитие теории базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем, предложенной Ю.Е. Бояринцевым, и на адаптацию данного подхода к исследованию блочных АДС, где А и В -постоянные матрицы, с существенным учетом их структуры.

Цель работы - исследование блочных алгебро-дифференциальных систем с учетом их блочной структуры и получение методов решения линейных и нелинейных блочных АДС.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Провести анализ теории базовых матриц Ю.Е. Бояринцева и применить результаты для исследования блочных АДС.

2. Используя блочную структуру системы, получить критерии ее принадлежности к системам того или иного индекса, при этом особое внимание обратить на системы индексов 1 и 2.

3. Найти достаточно простые способы вычисления базовых матриц.

4. Применить полученные результаты для разработки вычислительных методов решения линейных и нелинейных блочных АДС индексов 1 и 2.

Методы исследования. При исследовании использовались: теория матриц и теория итерационных процессов для решения систем алгебраических и трансцендентных уравнений. Также в работе применялась теория базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем, предложенная Ю.Е. Бояринцевым.

Научная новизна и практическая значимость. Основные результаты, изложенные в диссертации, являются новыми и имеют как теоретическую, так и практическую значимость.

обратной матрицы Дразина. Получены ранговые критерии разрешимости системы для базовых матриц.

Исследованы вопросы применения теории базовых матриц к блочным АДС. Построены критерии принадлежности блочных АДС к системам индексов 1 и 2 и найдены для них явные записи базовых матриц. Исследована возможность понижения индекса системы при построении решения и доказана соответствующая теорема о понижении индекса.

На основе полученных при исследовании результатов разработаны вычислительные методы решения линейных и нелинейных АДС.

Результаты диссертации могут быть использованы при исследовании математических моделей, возникающих при изучении реальных объектов и процессов, а также при составлении программ для решения задач, связанных с АДС.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

S Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Новосибирск, 2002;

S «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий», Иркутск, 2002-2004;

S Вторая Восточно-Сибирская зональная межвузовская конференция по математике и проблемам ее преподавания в вузе, Иркутск, 2003;

S IV Всероссийская конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям, Красноярск, 2003;

■S III Всероссийская конференция «Математика. Информатика. Управление», Иркутск, 2004;

■S XIII Байкальская Международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск - Северобайкальск, 2005;

■S IV Всесибирский конгресс женщин-математиков, Красноярск, 2006;

S Всероссийская научная конференция «Математика. Механика. Информатика», Челябинск, 2006.

Результаты работы обсуждались на семинарах лаборатории алгебро-дифференциальных систем, объединенном семинаре ИДСТУ СО РАН и на семинаре кафедры математического анализа Иркутского государственного университета (руководитель - д.ф.-м.н. Н.А. Сидоров).

Работа выполнена при поддержке Фонда содействия отечественной науке.

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 работа, в том числе монография [19], написанная совместно с руководителем диссертационной работы Ю.Е. Бояринцевым, и три статьи в ведущих рецензируемых научных изданиях [12], [15], [20].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и списка литературы. Текст работы изложен на 110 страницах. Библиографический список содержит 98 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследования, отмечена новизна и практическая значимость работы, кратко излагается содержание диссертации и основные результаты, также приведены сведения об апробации результатов и публикациях.

В первой главе приведены некоторые обобщения теории базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем.

П.1.1 носит вспомогательный характер. Здесь даны необходимые сведения о регулярности пары матриц и индексе системы.

Определение 1. Если существует вещественное или комплексное число е такое, что

веЦр-еА)* 0,

то пара квадратных матриц (А, В) называется регулярной.

В п.1.2 описан объект исследования, а именно, - алгебро-дифференциальные системы вида

(М')У = Вх(!) +М (1)

с квадратными матрицами А и В, образующими регулярную пару матриц (А, В) и имеющими блочное строение вида

\ (V /?Л

(2) или

А = '6. Яг . в = К1 Л2Ч

1« <0 & Л4 у

Е О О 0)

В =

Я, Я2

(3)

(4)

и приведены примеры, в которых возникают АДС вида (1), (2) и вида (1), (3).

В п.1.3 приводятся общие сведения из теории базовых матриц Ю.Е. Бояринцева1.

Решение системы (1) с парой матриц индекса к представляется в виде

* = С0у + С,/ + ... + С#{к\

у = вс&+/,

где матрицы Со, С], ..., Съ-базовые матрицы.

Далее в п.1.3 дано каноническое представление матриц Со, Си ..., Ск. В заключении параграфа вводится система для базовых матриц

АС, = ВСМ + 3?Е,

/=0, ].....4-1

С1А = СтВ + 8°Е, АСк= 0, СкА = 0, Со = С0АС0,

(5)

С, --С,ВС,,

имеющая единственное решение.

Существование и единственность решения системы (5) доказывается в п.1.4.

Теорема 1. Пусть (А, В) - регулярная пара матриц, имеющая индекс к>0. Тогда решение системы (5) существует и единственно.

В п.1.5 рассматривается частный случай пары матриц (А, В), когда В=Е. В этом случае система (5) сводится к равенствам, определяющим обратную матрицу Дразина

1 Бояринцев Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы. - Новосибирск: Наука, 2000. -223с.

АСо - СоЛ, Со = СоЛ Со, (Е-АСо)Ак = 0.

Замечание 1. В силу теоремы 1 о единственности базовых матриц, обратная матрица Дразина для любой квадратной матрицы А единственна. Таким образом, систему (5) можно взять в качестве системы, определяющей обратную матрицу Дразина,

Также приведены необходимые сведения об обратной матрице Дразина и на примере показано использование замечания 1 для ее нахождения.

В п.1.6 предложен метод нахождения базовых матриц с использованием обратной матрицы Дразина.

Теорема 2. Если пара матриц (А, В) регулярна и матрица В - неособенная, то базовые матрицы Со и С) получаются по формулам

С0 = В-\АВ-1)°, С^-БГ\Е-АВ-\АВ-х)1>).

Теорема 3. Если пара матриц (А, В) регулярна и числа £\ и е2 таковы, что матрицы В - Е\А и Л - СгВ являются неособенными, то базовые матрицы Со и С1 получаются по формулам

С^ {(В схЛу'А\° {В~£]Л)\ С, =2й(АС0-Е),

где

- {{А-£гВ)АВ]°(А~£2В) \ Полученные Со и С\ фактически не зависят от £\ и £г.

Получен также способ нахождения базовой матрицы Си если известна Со, используя понятие сопряженной матрицы.

Теорема 4. Для регулярной пары матриц (А, В) базовые матрицы С0 и Сх связаны равенством

С1 = [В'В + (СоА)' Су4]'гВ'(АС0-Е).

Далее показан пример нахождения базовых матриц с использованием обратной матрицы Дразина для пары матриц индекса 1.

В п.1.7 исследуется вопрос о разрешимости системы для базовых матриц. Получены критерии разрешимости системы для базовых матриц, которые также могут служить определениями индекса системы.

Теорема 5. Для того чтобы регулярная пара матриц (А, В), в которой det4 = 0, имела индекс, равный единице, необходимо и достаточно, чтобы было выполнено равенство

rank[A(B - еА)~1А] = rank А, где е-любое число, при котором матрица В- еА имеет обратную.

Теорема 6. Для того чтобы регулярная пара (А, В), в которой det4=0, имела индекс, равный двум, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены два условия:

rank {А [(В - сАУ'Л]2} = rank [Л(В - еАУ'А], rank [Л{В - eA)'U] ф rank А, где Е-любое число, при котором матрица В- еЛ имеет обратную.

Аналогичный результат получен и для индексов к >2.

Теорема 7. Для того чтобы регулярная пара (А, В), имела индекс, равный к> 2, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены два условия:

rank{A[{B-£AJlAf} = гапк{А[(В- еА)~1А]1''}, (6)

rank {Л\{В - ЫГ]Л]к '} + rank {А[(В - еАухЛ)к"2}, (7)

где Е-любое число, при котором матрица В - еА имеет обратную.

В теореме 7 условие (7) обеспечивает минимальность числа к, при котором выполнено равенство (6) и, следовательно, определяет действительный (минимальный) индекс пары матриц (А, В).

Во второй главе исследованы вопросы применения теории базовых матриц к блочным алгебро-дифференциальным системам.

В п.2.1 вводятся вспомогательные сведения, адаптированные на структуру системы.

Теорема 8. Для того чтобы пара матриц (2), в которой

ск^ЛО * О,

была регулярна, необходимо и достаточно, чтобы существовало число е, при котором выполнено неравенство

<1е1[(Л, - Дг&Г'йз) - г (й - бЛ^з)] * 0. В п.2.2 построены критерии принадлежности блочных АДС к системам индекса 1 и получены явные записи их базовых матриц.

Теорема 9. Для того чтобы пара матриц (2) имела индекс, равный единице, достаточно, чтобы матрица

Гй Qг

Я,

(8)

была неособенной.

Теорема 10. Если матрица (8) неособенная и, следовательно, согласно теореме 9 пара матриц (2) имеет индекс, равный единице, а матрица

Х2 формулам

обратная к (8), то базовые матрицы Со и С) выражаются по

С0 =

Го

о -х,

4 У

— X ъ (Л) А'2 + ЯгХ ) Следующие критерии получены при некоторых предположениях относительно блоков матриц А и В и для них также получены явные записи базовых матриц.

Теорема 11. Если в регулярной паре матриц

А =

в, 32 о о

в =

щ ЯА

(2)

и К=0, то пара матриц (2) имеет индекс, равный единице и базовые матрицы Сои С] выражаются следующим образом:

0> =

от1 -е-'ад1 \-Кщ<2Л к?к

где 2 = 0!- ЙДГ'Лз, Л = Я, -

0 о-]огщ1

Все полученные критерии и явные записи базовых матриц также показаны на примерах.

В п.2.3 рассматриваются блочные пары матриц индекса 2. Получены критерии принадлежности к системам индекса 2 при некоторых предположениях о блоках матриц.

Теорема 12. Если в регулярной паре матриц (2) det/?* Ф 0 и матрицы 0\ и 02 одновременно не являются нулевыми, но Q = 0, где Q то пара

матриц имеет индекс 2.

П.2.4 посвящен полуявным блочным парам матриц индекса 1 и 2 вида

(3)

Доказан, как следствие теоремы 9, критерий принадлежности пары матриц (3) к системам индекса 1, ранее неоднократно доказанный разными способами2, а именно: принадлежность полуявной блочной пары матриц (3) к парам индекса 1 (строго!) обеспечивается неособенностью блока Ra. Базовые матрицы для системы (1), (3) имеют вид

(Е о4

А = \ , в =

1° 0, Л

С0 =

-RI

-(R3R2Î\

С,=

Далее для системы (1), (3) индекса 2 получены базовые матрицы для случая, когда Л4 = 0, а Ф 0:

о )

91 -яя1д2(к3к2)-1

где 2? =(Е-К2Ш2У^з).

Также рассмотрены примеры с использованием полученных результатов.

С0 =

2 Данный критерий встречается в работах В.Ф. Чистякова, Ю.Е. Бояринцсва.

В заключении параграфа исследована возможность понижения индекса системы при построении решения и доказана соответствующая теорема о понижении индекса.

Теорема 13. Если индекс пары матриц

А =

Е О

В =

Д, Я2

равен 2, то индекс пары матриц

(-Д4, №

равен 1.

В п.2.5 рассмотрен частный случай блочных пар матриц индекса 2 при условии, что блок К] равен нулю и показано, что решение системы индекса 2 сводится к решению системы индекса 1. Теорема 14. Пусть система

— Л.С0 = /?з К?С\ + Е, -С0Д4=С,Л3 Я2 + Е, Л4С,=0, С,Л4 = о, Со = ~С0Я.Са, -С, = С1К3Я2С]

разрешима относительно матриц С0 и С,, являющихся базовыми матрицами для пары (-/?4. Лз^г), тогда базовые матрицы Со, С] и С2 для пары матриц (3) выражаются следующим образом:

.—■ N / \

С2 =

Го <П /

С,= ч

1о CIJ

Д2С,

с,

О У

С0Й3

Л2С0

СдДз^Сд у

Во второй главе (п.2.6) показана также возможность получения результатов, аналогичных результатам изложенным в п.2.1, 2.2, 2.3, для систем вида

( АхУ - Вх +/, '0 01

Л =

Гл д2

в= 1 2

названных в работе вертикально-блочными АДС.

А,

Третья глава посвящена применению полученных результатов для решения и исследования линейных и нелинейных АДС индексов 1 и 2.

В п.3.1 излагаются основные идеи применения базовых матриц при построении решения для нелинейной системы вида

(Ах)' = Вх +Лх, г). (9)

Далее в п.3.2 описывается система (4) для случая системы (9) индекса 1: х = С0у + С,/, У = ВС0у +ЛСоУ + С,/, /), которая, согласно теореме 10, принимает вид

XI =-Х2у'г + Х,(у, -Ху2),

х2 - - Л'4у2 + Х3(><1 - Xуг),

У, = (Я,*, + Я2Х3)Ог ~Ху2) +/(*> /), У2=Ях,1)

и обосновывается тот факт, что решение системы (4) для данного случая сводится к решению последнего уравнения из (10) относительно подвектора/2-В п.3.3 приведены итерационные методы, используемые при решении уравнения

У-ВС0у-Я.СоУ + С\У, /) = о, такие, как метод Ньютона и метод Ю.Е. Бояринцева.

Далее на примере метода типа ломанных Эйлера (п.3.4) показан предлагаемый вычислительный метод.

Предложенный в п.3.5 метод применяется также для случая нелинейных систем общего вида

(АхУ=А*, 0- (П)

Кроме того, в п.3.5 для системы (11) сформулированы теоремы о согласовании начальных данных.

П.3.6. содержит некоторые преобразования полуявных АДС индекса 2 к виду, удобному для построения численных методов. При преобразованиях используется теорема 14 о понижении индекса.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Доказана теорема существования и единственности базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем.

2. Построен метод нахождения базовых матриц с использованием обратной матрицы Дразина.

3. Получены ранговые критерии разрешимости системы для базовых матриц.

4. Используя блочную структуру АДС, найдены критерии ее принадлежности к системам индексов 1, 2 и найдены для них явные записи базовых матриц.

5. Исследована возможность понижения индекса системы при построении решения и доказана соответствующая теорема о понижении индекса.

6. Полученные при исследовании результаты применены для построения вычислительных методов для решения линейных и нелинейных АДС.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Орлова И.В. Индексы блочных алгебро-дифференциальных систем полуявного типа // Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Тезисы докладов. - Новосибирск, ИВТ СО РАН, 2002. - С.ЗЗ.

2. Орлова И.В. Индексы блочных алгебро-дифференциальных систем полуявного типа // Электронные публикации докладов Международной конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. - Новосибирск, ИВТ СО РАН, 2002 (Ь№:/Ау\^ла.п5с.гоМ5/УМ2002/4б37Л.

3. Орлова И.В. Индексы блочных алгебро-дифференциальных систем // Ляпуновские чтения. Тезисы докладов. - Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2002. -С.30.

4. Бояринцев Ю.Е., Орлова И.В. Методы прогонки решения полуявных алгебро-дифференциальных систем // Ляпуновские чтения. Тезисы докладов. -Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2002. - С.9.

5. Бояринцев Ю.Е., Орлова И.В. Алгебро-дифференциальные системы полуявного типа и метод прогонки // Труды второй Восточно-Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе. - Иркутск, 2003. - С.11-13.

6. Орлова И.В. О некоторых преобразованиях алгебро-дифференциальных систем полуявного типа к виду удобному для построения численных методов // Труды второй Восточно - Сибирской зональной межвузовской конференции по математике и проблемам ее преподавания в вузе. - Иркутск, 2003. - С.40-43.

7. Орлова И.В. О базовых матрицах для алгебро-дифференциальных систем // Тезисы докладов школы-семинарз молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. - Иркутск, 2003.-С.19.

8. Орлова И.В. Базовые матрицы для алгебро-дифференциальных систем // Тезисы докладов IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. -Красноярск, ИВМ СО РАН, 2003. - С.37.

9. Орлова И.В. Базовые матрицы для алгебро-дифференциальных систем // Электронные публикации докладов IV Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. - Красноярск, ИВМ СО РАН, 2003 Ртр://ту^лс{.тс.ги^5/УМ2003/6062Л.

10. Орлова И.В. Нахождение базовых матриц и их единственность // Ляпуновские чтения. Тезисы докладов. - Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2003. -С.66-69.

11. Орлова И.В. Построение методов решения для некоторых нелинейных алгебро-дифференциальных систем // III Всесибирский конгресс женщин-математиков. Тезисы докладов. - Красноярск, 2004. - С.16-18.

12. Бояринцев Ю.Е., Орлова И.В. Блочные алгебро-дифференциальные системы и их индексы // Известия Вузов. Математика. - 2004. - №6. - С.6-13.

13. Орлова И.В. Построение решений нелинейной блочной алгебро-дифференциальной системы индекса 2 // Материалы IV Байкальской школы-семинара молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. - Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2004. - С.26.

14. Бояринцев Ю.Е., Орлова И.В. Методы вычисления базовых матриц для построения разностных аппроксимаций алгебро-дифференциальных систем // Международная конференция по вычислительной математике. Сборник трудов.

- Новосибирск, 2004. - С.13-16.

15. Орлова И.В. Об одном методе вычисления базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем // Вычислительные технологии. - Том 9. - Часть III.

- Алматы - Новосибирск, 2004. - С.254-258.

16. Орлова И.В. Использование базовых матриц для решения АДС блочного вида индекса 2 // Ляпуновские чтения. Тезисы докладов. - Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2004. - С.ЗЗ.

17. Орлова И.В. О решении нелинейной управляемой системы индекса 2 // Труды XIII Байкальской международной школы-семинара «Методы оптимизации и их приложения». - Том 3. Обратные и некорректные задачи прикладной математики. - Иркутск - Северобайкальск, 2005. - С.159-163.

18. Орлова И.В. Построение методов решения для некоторых нелинейных алгебро-дифференциальных систем // IV Всесибирский конгресс женшин-математиков. Материалы конференции. - Красноярск: РИО СибГТУ, 2006. -С.133-134.

19. Бояринцев Ю.Е., Орлова И.В. Пучки матриц и алгебро-дифференциальные системы - Новосибирск, Наука, 2006. - 124с.

20. Орлова И.В. Базовые матрицы для алгебро-дифференциальных систем и метод их вычисления с использованием обратной матрицы Дразина // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки. - 2006. - №4 - С.125-134.

21. Орлова И.В. Использование базовых матриц для исследования алгебро-дифферекциальных систем блочного вида // Всероссийская научная конференция. Математика. Механика. Информатика. Тезисы докладов. -Челябинск: ЧелГУ, 2006. - С.101-102.

Редакционно-издательский отдел Института динамики систем и теории управления СО РАН. 664033, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 134.

Подписано к печати 30.03.2007 Формат бумаги 60 х 84 1/16, объем 2 п.л. Заказ 3. Тираж 100 экз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Орлова, Ирина Витальевна

Введение.

Глава 1. Индексы и базовые матрицы для алгебро-дифференцнальных систем.

§1.1. Регулярные пары квадратных матриц и их индексы.

§ 1.2. Объект исследования.

§1.3. Базовые матрицы регулярной пары матриц, имеющей индекс к.

§1.4. Теорема о единственности базовых матриц.

§ 1.5. Матрица Дразина.

§ 1.6. Применение матрицы Дразина для нахождения базовых матриц

§1.7. Ранговые критерии разрешимости системы для базовых матриц.

Глава 2. Блочные пары матриц индексов 1 и 2.

§2.1. Блочные пары матриц.

§2.2. Ранговые критерии принадлежности блочных пар матриц к парам матриц индекса 1 и их базовые матрицы.

§2.3. Блочные пары матриц индекса 2.

§2.4. Полуявные блочные пары матриц индекса 1 и 2. Теорема о понижении индекса.

§2.5. Частный случай полуявных блочных пар матриц индекса 2.

§2.6. Вертикально-блочные пары матриц индексов 1 и 2.

Глава 3. Применение базовых матриц к построению численных методов решения линейных и нелинейных АДС.

§3.1. Основные идеи.

§3.2. Системы индекса 1.

§3.3. Итерации.

§3.4. Метод типа ломаных Эйлера.

§3.5. Нелинейные АДС общего вида.

§3.6. Некоторые преобразования полуявных блочных АДС индекса 2 к виду удобному для построения численных методов.

Введение диссертация по математике, на тему "Исследование и методы решения блочных алгебро-дифференциальных систем индексов 1 и 2"

Актуальность темы и объект исследования

При построении математических моделей в различных приложениях, таких как теория электрических цепей, оптимальное управление, автоматическое регулирование, теория переноса нейтронов, в различных экономических задачах, а также при применении разностных схем для уравнений Навье-Стокса, часто используются блочные алгебро-дифференциальные системы

Ax(t))' = Bx(t) +J(t). (1)

А = (а 62 ] , в =

1о ° J Л у где Q\ и У?4 - квадратные блоки.

Большое внимание уделяется также системам (1), в которых матрицы имеют вид

ГЕ (Г Г*.

А = , в = 1 о, 1*3 ^J

Приведем несколько примеров.

П.1. Задача минимизации функционала т

J {и) - |[(Л, 1х, х) + 2(А12х, к) + (А21и, u)]dt о при ограничениях, заданных уравнением dx{t) dt

Dx(t) + Cu(t) + /(/) и начальными данными х(0)=я, сводится к АДС вида (1), (3)

Ах)'=Вх + /, в которой

Е 0 f D 0 С л

А = 0 Е 0 , В = -D* - 2^12

0 0, { 2 АХ2 С* (А12 + А*22);

М ГЛ х = z , 7= 0 А

П.2. Система леонтьевского типа [50], вида

Ы- Ми + /, где L и М-квадратные матрицы порядка п, detL - 0, а матрицы L и Мимеют вид 3 -1 -11

L = — 1 21

20 20 200

1 103 8

100 200 25

0 0 0 М =

4 5 20

-7 10304189 -70836357

25 11996000 119960000 -4 -2 15 5 как можно видеть, является АДС вида (1), (2), где

13 15 7 1 ] (21 ^

0.= 20 1 20 103 > Qi = 200 8

U00 200; , 25 ,

3 -1

4 5 -7 10304189

1, 25 11996000,

R2 = и =

-70836357

119960000 *з =

-4 -2^

17 ~5

4 15

VX2 J / =

4/2У

П.З. [20, с.21] Применение метода сферических гармоник для решения уравнения переноса нейтронов в плоскопараллельном случае, при некоторых дополнительных преобразованиях, приводит к системе, вида (1), (2)

Ах'= Вх + F, где

А = 0 J

7з о о

7з о о 2 л/3^5 о в=

СГс о 2 ж

0 0

-<т 0

0 — <7

V (f.)

X = V\ , F = Л

У 2 ) \fij

Число систем, имеющих блочную структуру, не ограничивается рассмотренными примерами.

Структура матриц (2) (или (3)) позволяет при исследовании получить методы решения блочных алгебро-дифференциальных систем, связанные с применением матриц меньшего порядка, чем порядок исходной системы. Несмотря на сравнительно широкую область применения блочных АДС, детальные описания и целенаправленные исследования их блочной структуры в литературе практически отсутствуют.

Напротив, алгебро-дифференциальные системы общего вида (1) являются объектом пристального внимания многих математиков. Впервые такие системы были рассмотрены Н.Н. Лузиным, 1940г. [33] и Ф.Р. Гантмахером, 1966г. [24]. Ф.Р. Гантмахером, например, было построено решение системы вида (1) с произвольными матрицами А и В, основанное на канонической форме Кронекера-Вейерштрасса. Далее исследования стали проводить независимо друг от друга две группы математиков: Ю.Е. Бояринцев, В.М. Корсуков [18, 20] и C.W. Gear, S.L. Campell, L.R. Petzold, K.E. Brenan [77, 72-76, 71, 70]. Позже изучением таких систем занялись математики Германии и Швейцарии, такие как R. Maerz, Е. Griepentrog, М. Hanke, R. Lamour, Е. Hairer, Ch. Lubich и др. В настоящее время системам вида (1) посвящено множество работ.

Начало систематического исследования АДС вида (1) и численных методов их решения положил профессор Ю.Е. Бояринцев [8-10, 14-17, 61]. В монографиях [20, 14, 15] и серии работ основное внимание уделено взаимосвязи кронекеровой структуры пучка матриц ЛА-В, общего решения системы (1) и свойств численных методов. При проведении этих исследований широко использовался аппарат обобщенных обратных матриц: полуобратных и Дразина. Ю.Е. Бояринцевым были выведены классы АДС, для которых неособенные преобразования не меняют кронекеровой структуры пучка матриц исходной системы. Для таких систем и их разносных аналогов выписаны формулы общего решения.

В работе [20] впервые было исследовано влияние структуры АДС на поведение численных методов и обнаружено интересное явление, возникающее при применении разносных методов для решения АДС, названное позже «пограничным слоем ошибок».

В книге [11] вводится аппарат базовых матриц, который позволяет исследовать систему (1), с постоянной матрицей А, и преобразовать исходную систему (1) к системе с невырожденной матрицей при производной (в диссертации используется теория базовых матриц, предложенная в этой монографии).

Ряд результатов получен сотрудниками Ю.Е. Бояринцева. В работе [27] В.М. Корсуков сформулировал критерии устойчивости матриц вида А В, где А является полуобратной к А, а именно удовлетворяет уравнению АА А=А. Эти результаты можно использовать при исследовании АДС на устойчивость по Ляпунову и при построении устойчивых разностных схем.

В.А. Данилов в работах [25, 61] обосновал для случая линейных систем с регулярным пучком постоянных матриц класс разностных схем высокого порядка точности.

В.Ф. Чистяковым [6, 62, 63, 23] для исследования и численного решения линейных АДС и систем интегро-дифференциальных уравнений предложен подход, базирующийся на понятии левого регуляризирующего оператора, т.е. оператора, приводящего исходную систему к виду, разрешенному относительно производной. Эти результаты использованы при доказательстве ряда утверждений о свойствах тождественно вырожденного квадратичного функционала.

В работах А.А. Щегловой [65-67, 95, 96] рассматривается проблема разрешимости и излагаются алгоритмы приведения к нормальной форме нелинейных АДС, а также линейных АДС с отклоняющимся аргументом и выраженных систем, с непрерывным и дискретным временем. Исследуются качественные свойства линейных АДС, а также построение решения типа Соболева-Шварца для линейных АДС.

В совместной монографии В.Ф. Чистякова и А.А. Щегловой [64] много внимания уделяется качественным свойствам как линейных, так и нелинейных АДС. В рамках условия разрешимости получены условия устойчивости по Ляпунову и приводимости АДС, доказаны аналоги теорем Ляпунова-Флоке и Еругина. Обоснованы критерии управляемости и наблюдаемости АДС, доказан аналог теоремы дуальности Кальмана.

Ряд аспектов теории и построения численных методов изучены в работах М.В. Булатова [21-23]. В его работах рассмотрен ряд способов преобразования АДС и исследован вопрос о понижении индекса системы (1). Так же исследуется проблема выбора начальных данных, совместных с АДС. Рассматриваются различные численные методы применительно к АДС.

Профессор Г.А. Свиридюк и его ученики [52, 53, 98, 59, 60] развивают теорию вырожденных дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами в банаховых пространствах. Исследуются уравнения Соболевского типа. Введено понятие фазового пространства системы дифференциальных уравнений, как множества, содержащего все ее решения и являющегося замыканием множества допустимых начальных данных задачи Коши исследуемого операторного уравнения. В работах Г.А. Свиридюка и С.В. Брычева [54], Г.А. Свиридюка и И.В. Бурлачко [50, 51] на основе метода фазового пространства построен и реализован численный алгоритм для решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

В работах Н.А. Сидорова, О.А. Романовой, М.В. Фалалеева, Е.Ю. Гражданцевой [55, 56, 58, 97] исследуются некоторые классы вырожденных линейных дифференциальных и интегральных уравнений на предмет существования и построения непрерывных и обобщенных решений с использованием теории псевдообратных операторов и теории фундаментальных операторов-функций соответствующих сингулярных дифференциальных операторов банаховых пространствах.

Г.А. Куриной в работах [31, 32] изучаются матрично сингулярно возмущенные задачи оптимального управления. Исследуется вопрос о поведении решений этих задач при стремлении к нулю малого параметра. Исследуется связь между множествами сингулярно возмущенной системы и вырожденной системы.

А.А. Абрамов, К. Балла, В.И. Ульянова, Л.Ф. Юхно [1-4] предлагают и исследуют метод решения краевых задач для линейных систем дифференциально-алгебраических уравнений, основанный на совокупности последовательных преобразований исходной системы, в результате которых получается система ОДУ, либо система линейных алгебраических уравнений.

В работах Г.Ю. Куликова [28-30] подробно проанализировано применение различных модификаций методов Адамса, Ныотона и Рунге-Кутты для решения системы дифференциально-алгебраических уравнений.

АДС вида (1) активно изучают и за рубежом. Математиками R. Maerz, Е. Griepentrog, R. Lamour, М. Hanke и др. предлагаются критерии определения АДС индекса 1 и для них строятся численные методы [78-82, 89, 91]. Предлагаются подходы к исследованию разрешимости АДС индексов 1 и 2 [68,90, 83, 84] и согласованию начальных данных [88].

W.C. Rheinboldt, P.J. Rabier [92-94] рассматривают многие аспекты качественной теории АДС. В частности, для квазилинейной автономной системы предлагается процедура последовательного понижения индекса АДС с помощью многообразий касательных пучков, стабилизация процесса означает, что исходная АДС становится эквивалентна системе ОДУ в нормальной форме на некотором многообразии.

В работах P. Kunkel, V. Mehrmann [85, 87] для линейных АДС постоянного ранга построен аналог канонической формы, на основе которого осуществляется процесс понижения индекса. Этот подход также применяется для нелинейных АДС. В вышедшей одновременно с работай [19], книге [86] дается введение в анализ теории дифференциально-алгебраических уравнений, и описываются некоторые соответствующие численные методы для задач начальных и краевых условий.

Стоит отметить, что все приведенные работы в области АДС в основном исследуют общий вид (1), не затрагивая достаточно распространенной в приложениях блочной структуры (1), (2) или (1), (3). В связи с этим исследование блочных АДС вида (1), (2) и (1), (3) является весьма актуальным.

Диссертационная работа направлена на развитие теории базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем, предложенной Ю.Е. Бояринцевым, и на адаптацию данного подхода к исследованию блочных АДС, где А и В постоянные матрицы, с существенным учетом их структуры.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

1. Провести анализ теории базовых матриц Ю.Е. Бояринцева и применить результаты для исследования блочных АДС.

3. Найти достаточно простые способы вычисления базовых матриц.

Обобщена теория базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем Ю.Е. Бояринцева, доказана теорема существования и единственности базовых матриц. Построен метод нахождения базовых матриц с использованием обратной матрицы Дразина. Получены ранговые критерии разрешимости системы для базовых матриц.

Краткое содержание диссертации. Кроме введения диссертация содержит три главы и список литературы.

В первой главе приведены некоторые обобщения теория базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем.

П.1.1 носит вспомогательный характер. Здесь даны необходимые сведения о регулярности пары матриц и индексе системы. В п.1.2 описан объект исследования. В н.1.3 приводятся общие сведения из теории базовых матриц Ю.Е. Бояринцева [11]. В заключении параграфа вводится система для базовых матриц имеющая единственное решение. Существование и единственность решения системы для базовых матриц доказывается в н.1.4.

В п.1.5 рассматривается частный случай пары матриц (А, В) когда В=Е. В этом случае система для базовых матриц сводится к равенствам, определяющим обратную матрицу Дразина. Также приведены необходимые сведения об обратной матрице Дразина. В п.1.6 предложен метод нахождения базовых матриц с использованием обратной матрицы Дразина.

В п.2.1 вводятся вспомогательные сведения, адаптированные на структуру системы.

В п.2.2 построены критерии принадлежности блочных АДС вида (1), (2) к системам индекса 1 и получены явные записи их базовых матриц. Все полученные критерии и явные записи базовых матриц также показаны на примерах. В п.2.3 рассматриваются блочные пары матриц (2) индекса 2. Получены критерии принадлежности к системам индекса 2 при некоторых предположениях относительно блоков матриц.

П.2.4 посвящен полуявным блочным парам матриц вида (3) индекса 1 и 2. В заключении параграфа исследована возможность понижения индекса системы при построении решения и доказана соответствующая теорема о понижении индекса.

В п.2.5 рассмотрен частный случай блочных пар матриц индекса 2 и показано, что решение системы индекса 2 сводится к решению системы индекса 1.

Во второй главе (п.2.6) показана также возможность получения результатов, аналогичных результатам для блочных АДС (п.2.1, 2.2, 2.3), для исследования систем, названных в работе вертикально-блочными АДС.

В п.3.1 излагаются основные идеи применения базовых матриц при построении решения для нелинейной системы вида (Ах)' = Вх + j(x, t). Далее в и.3.2 рассматривается нелинейная система индекса 1.

В п.3.3 приведены итерационные методы, используемые при решении. Далее, в п.3.4, на примере метода типа ломанных Эйлера показан предлагаемый вычислительный метод.

Предложенный метод в п.3.5 применяется также для случая нелинейных систем общего вида (Ах)' =J[x, /), кроме того, в п.3.5 для нелинейной системы общего вида сформулированы теоремы о согласовании начальных данных.

П.3.6. содержит некоторые преобразования полуявных АДС индекса 2 к виду удобному для построения численных методов. При преобразованиях используется теорема о понижении индекса.

Основные результаты

1. Доказана теорема существования и единственности базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем.

2. Построен метод нахождения базовых матриц с использованием обратной матрицы Дразина.

3. Получены ранговые критерии разрешимости системы для базовых матриц.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

S «Ляпуновские чтения и презентация информационных технологий», Иркутск, 2002-2004гг.;

S III Всероссийская конференция «Математика. Информатика. Управление», Иркутск, 2004;

S XIII Байкальская Международная школа-семинар «Методы оптимизации и их приложения», Иркутск - Северобайкальск, 2005;

S IV Всесибирский конгресс женщин-математиков, Красноярск, 2006;

S Всероссийская научная конференция «Математика. Механика. Информатика», Челябинск, 2006.

Работа выполнена при поддержке Фонда содействия отечественной науке.

Публикации. По теме диссертации опубликована 21 работа. В том числе монография [19], написанная совместно с руководителем диссертационной работы Ю.Е. Бояринцевым и три статьи в изданиях, одобренных ВАК [7], [36], [46].

Благодарности. Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору Юрию Еремеевичу Бояринцеву за неоценимую помощь в работе над диссертацией и чуткое руководство.

Особую благодарность автор выражает своим родным: мужу Евгению Владимировичу и сыну Владиславу за терпение и заботу; родителям Жилкиным Виталию Васильевичу и Надежде Николаевне за безграничную помощь и за веру в успех.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Орлова, Ирина Витальевна, Иркутск

1. Абрамов, А.А. Нелинейной сопряженная спектральная задача для некоторых дифференциально-алгебраических уравнений / А.А. Абрамов, К. Балла, В.И. Ульянова, Л.Ф. Юхио //Дифференциальные уравнения. - 2003. -Т.39, №7. - С.867-878.

2. Абрамов, А.А. О выделении решений, ограниченных в особой точке, для некоторых дифференциально-алгебраических систем уравнений / А.А. Абрамов, В.И. Ульянова, Л.Ф. Юхно //Дифференциальные уравнения. 2004.- Т.40, №7. С.893-897.

3. Абрамов, А.А. Один метод решения краевых и спектральных задач для линейных дифференциально-алгебраических систем уравнений / А.А. Абрамов, В.И. Ульянова, Л.Ф. Юхно //Дифференциальные уравнения. 2006.- Т.42, №7. С.874-882.

4. Бояринцев, Ю.Е. Алгебро-дифференциальные системы. Методы решения и исследования / Ю.Е. Бояринцев, В.Ф. Чистяков. Новосибирск: Наука. Сиб. предприятие РАН, 1998. - 224с.

5. Бояринцев, Ю.Е. Блочные алгебро-дифференциальные системы и их индексы / Ю.Е. Бояринцев, И.В. Орлова // Известия Вузов. Математика. -2004. -№6. -С.6-13.

6. Бояринцев, Ю.Е. Введение в численные методы решения сингулярных систем / Ю.Е. Бояринцев. Иркутск: Изд-во Иркут. ун-та, 1989. - 76с.

7. Бояринцев, Ю.Е. Замечание о неявной разностной схеме, аппроксимирующей систему уравнений Стокса / Ю.Е. Бояринцев, Т.П. Бояринцева // Численные методы анализа и их приложения. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1983.-С.127-131.

8. Бояринцев, Ю.Е. Итерации с назначенным управлением / Ю.Е. Бояринцев // Оптимизация, управление, интеллект. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2002. - №6. - С.77-84.

9. Бояринцев, Ю.Е. Линейные и нелинейные алгебро-дифференциальные системы / Ю.Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука, 2000. - 223с.

10. Бояринцев, Ю.Е. Методы прогонки решения полуявных алгебро-дифференциальных систем / Ю.Е. Бояринцев, И.В. Орлова // Ляпуновские чтения. Тезисы докладов. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2002.

11. Бояринцев, Ю.Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев. -Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ние, 1988.- 158с.

12. Бояринцев, Ю.Е. Методы решения непрерывных и дискретных задач для сингулярных систем уравнений / Ю.Е. Бояринцев. Новосибирск: Наука. Сиб.изд.фирма РАН, 1996.-261с.

13. Бояринцев, Ю.Е. Об одном разрешающем преобразовании неизвестных в неявной системе обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев // Алгебро-дифференциальные системы и методы их решения.-Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ние, 1993.-С.4-18.

14. Бояринцев, Ю.Е. Применение разностных методов к решению регулярных систем обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Е. Бояринцев, В.М. Корсуков // Вопр. прикладной математики. Иркутск: СЭИ СО АН СССР, 1975.-С.140-152.

15. Бояринцев, Ю.Е. Пучки матриц и алгебро-дифференциальные системы / Ю.Е. Бояринцев, И.В. Орлова. Новосибирск, Наука, 2006. - 124с.

16. Бояринцев, Ю.Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений I Ю.Е. Бояринцев. -Новосибирск: Наука, 1980.-222с.

17. Булатов, М.В. Решение алгебро-дифференциальных систем методом наименьших квадратов / М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков // Тр. XI Междунар. Байкальской школы-семинара «Методы оптимизации и приложения». -Иркутск: ИСЭМ СО РАН, 1998. Т.4. - С.72-75.

18. Булатов, М.В. О преобразовании алгебро-дифференциальных систем уравнений / М.В. Булатов // Журнал вычислительной математики и мат. физики. 1994. - Т.34, №3. - С.360-372.

19. Булатов, М.В. Об одном численном методе решения дифференциально-алгебраических уравнений /М.В. Булатов, В.Ф. Чистяков// Журнал вычислительной математики и мат. физики. 2002. - Т.42, №4. -С.459-470.

20. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. М.: Наука, 1966. -576с.

21. Директор, С. Введение в теорию систем / С. Директор, Р. Рорер. -Москва: издательство «Мир», 1974. -464с.

22. Корсуков В.М. Некоторые свойства обобщенных обратных матриц /B.М. Корсуков // Вырожденные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1982. - С. 19-36.

23. Куликов Г.Ю. Об использовании итерационных методов Ньютоновского типа для решения систем дифференциально-алгебраических уравнений индекса 1II Журнал вычислительной математики и мат. физики. -2001. -Т.41, №8. С.1180-1189.

24. Курина, Г.А. Асимптотика решения задач оптимального управления для дискретных слабоуправляемых систем / Г.А. Курина // ПММ. Т.66, №2. -С.214-227.

25. Курина, Г.А. О поведении множеств достижимости линейных матрично сингулярно возмущенных систем I Г.А. Курина // Труды МИРАН. -1995.-Т.211.-С.316-325.

26. Лузин, Н.Н. К изучению матричной системы теории дифференциальных уравнений //Автоматика и телемеханика. 1940. - №5.C.4-66.

27. Орлова, И.В. Базовые матрицы для алгебро-дифференциальных систем / И.В. Орлова // Тезисы докладов IV Всероссийской конференциимолодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Красноярск, ИВМ СО РАН, 2003.

28. Орлова, И.В. Базовые матрицы для алгебро-дифференциальных систем и метод их вычисления с использованием обратной матрицы Дразина / И.В. Орлова // Вестник Красноярского государственного университета. Физико-математические науки.-2006. -№4-С. 125-134.

29. Орлова, И.В. Индексы блочных алгебро-дифференциальных систем / И.В. Орлова // Ляпуновские чтения. Тезисы докладов. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2002.

30. Орлова, И.В. Индексы блочных алгебро-дифференциальных систем полуявного типа / И.В. Орлова //Международная конференция молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Тезисы докладов. Новосибирск, ИВТ СО РАН, 2002.

31. Орлова, И.В. Использование базовых матриц для исследования алгебро-дифференциальных систем блочного вида / И.В. Орлова // Всероссийская научная конференция. Математика. Механика. Информатика: Тезисы докладов. Челябинск: ЧелГУ, 2006. - С. 101 -102.

32. Орлова, И.В. Использование базовых матриц для решения АДС блочного вида индекса 2 / И.В. Орлова // Ляпуновские чтения. Тезисы докладов. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2004.

33. Орлова, И.В. Нахождение базовых матриц и их единственность / И.В. Орлова // Ляпуновские чтения. Тезисы докладов. Иркутск, ИДСТУ СО РАН, 2003.

34. Орлова, И.В. О базовых матрицах для алгебро-дифференциальных систем / И.В. Орлова // Тезисы докладов школы-семинара молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. -Иркутск, 2003.

35. Орлова, И.В. Об одном методе вычисления базовых матриц для алгебро-дифференциальных систем / И.В. Орлова // Вычислительные технологии. Том 9. - Часть III. - Алматы - Новосибирск, 2004. - С.254-258.

36. Орлова, И.В. Построение методов решения для некоторых нелинейных алгебро-дифференциальных систем / И.В. Орлова // III Всесибирский конгресс женщин-математиков. Тезисы докладов. -Красноярск, 2004.

37. Орлова, И.В. Построение методов решения для некоторых нелинейных алгебро-дифференциальных систем / И.В. Орлова // IV Всесибирский конгресс женщин-математиков. Материалы конференции. -Красноярск: РИО СибГТУ, 2006. С. 133-134.

38. Свиридюк, Г.А. Алгоритм решения задачи Коши для вырожденных линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами / Г.А. Свиридюк, И.В. Бурлачко // ЖФМ и МФ. 2003. - Т.43, № 11. - С. 1677-1683.

39. Свиридюк, Г.А. К общей теории полугрупп операторов / Г.А. Свиридюк // Усп. мат. Наук. 1994. - Т.49, №4. - СМ-14.

40. Свиридюк, Г.А. Об одной сингулярной системе обыкновенных дифференциальных уравнений / Г.А. Свиридюк // Дифференциальные уравнения. 1987. -Т.23, №9. - С. 1637-1639.

41. Свиридюк, Г.А. Численное решение систем уравнений леонтьевского типа / Г.А. Свиридюк, С.В. Брычев // Известия вузов. Математика. 2003. -№8.-С.46-52.

42. Сидоров, Н.А. Задача Коши для однородного класса дифференциальных уравнений / Н.А. Сидоров // Дифференциальные уравнения. 1972. -Т.8, №8. - С.1521-1524.

43. Сидоров, Н.А. О применении некоторых результатов теории ветвления при решении дифференциальных уравнений с вырождением / Н.А. Сидоров, О.А. Романова // Дифференциальные уравнения. 1983. - Т19, №9. - С.1516-1526.

44. Фаддеев, Д.К. Вычислительные методы линейной алгебры / Д.К. Фаддеев, В.Н. Фаддеева. М.: Физматгиз, 1960. - 656с.

45. Фалалеев, М.В. Фундаментальные оператор-функции сингулярных дифференциальных операторов в банаховых пространствах / М.В. Фалалеев // СМЖ. 2000. - Т.41, №5. с. 1167-1182.

46. Федоров, В.Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. - Т. 12, №3. - С. 173-200.

47. Федоров, В.Е. Оптимальное управление линейными уравнениями Соболевского типа / В.Е. Федоров, М.В. Плеханова // Дифференциальные уравнения. 2004. - Т.40, №11. - С.1548-1556.

48. Численные методы решения сингулярных систем / Ю.Е. Бояринцев, В.А. Данилов, А.А. Логинов и др. Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ние, 1989. -223с.

49. Чистяков В.Ф. Алгебро-дифференциальные операторы с конечномерным ядром / В.Ф. Чистяков. Новосибирск: Сиб.изд.фирма РАН «Наука», 1996.-278с.

50. Чистяков В.Ф. О нетеровом индексе линейных алгебро-дифференциальных систем I В.Ф. Чистяков // Сиб.мат.журнал. 1993. - Т.34, №3. - С.209-221.

51. Чистяков, В.Ф. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем / В.Ф. Чистяков, А.А. Щеглова. Новосибирск: Наука, 2003. - 320с.

52. Щеглова А.А. Линейные алгебро-дифференциальные системы с переменным отклонением аргумента / А.А. Щеглова // Изв.вузов. Математика. 2002. - №6. - С.69-77.

53. Щеглова, А.А. Левый регуляризующий оператор для алгебро-дифференциалъной системы с запаздыванием /А.А. Щеглова // Изв.вузов. Математика. 2003. - №4. - С.73-85.

54. Щеглова, А.А. Об обобщенных решениях линейных алгебро-дифференциальных систем /А.А. Щеглова // Изв.вузов. Математика. 2006.- №4. С.65-77.

55. Balla, К. A unified approach to linear differential algebraic equations and their adjoints / K. Balla, R. Marz // Journal for Analysis and its Applications, 2002. V.21, N3, p.783-202.

56. Boyarintsev, Yu. Methods of solving singular systems of ordinaiy differential Equations / Yu. Boyarintsev. Chichester; New York; Brisbane; Toronto; John Wiley and Sons, 1992.-163p.

57. Brenan, K.E. Numerical solution of initial-problems in differential-algebraic equations (classics in applied mathematics; 14) / K.E. Brenan, S.L. Campbell, L.R. Petzold. Philadelphia: SIAM, 1996. - 256p.

58. Campbell, S.L. Canonical forms and solvable singular systems of differential equations / S.L. Campbell, L.R. Petzold // SIAM J. Alg. Discrete Methods, 1983. N4. -P.517-521.

59. Campbell, S.L. Applications of the Drazin inverse to linear systems of differential equations with singular constant coefficients / S.L. Campbell, C.D. Meyer, N.J. Rose // SIAM J. Appl. Math, 1976. N31. - P.411-425.

60. Campbell, S.L. Singular linear systems of differential equations with delays / S.L. Campbell//Applicable Analyses, 1980. VI1. - P. 129-136.

61. Campbell, S.L. Singular system of differential equations / S.L. Campbell. -San-Francisco: Pitman, 1980. .

62. Campbell, S.L. Singular system of differential equations 2 / S.L. Campbell.- San-Francisco: Pitman, 1982.

63. Campbell, S.L. Uniqueness of completions for linear time varying differential algebraic equations / S.L. Campbell // Linear Algebra and Aplications, 1992.-N161.-P.55-678.

64. Gear, C.W. Differential-algebraic systems and matrix pensil / C.W. Gear, L.R. Petzold // Lect. Notes Math, 1983. -N973. -P.75-79.

65. Griepentrog, E. Differential-algebraic equations and their numerical treatment / E. Griepentrog, R. Maerz. Leipzig: BSB B. G. Teubner Verlag gesellschaft, 1986.

66. Hanke, M. Asymptotic expansions for regularization methods of linear fully implicit differential-algebraic equations / M. Hanke // Journal for Analysis and its Applications, 1994. V. 13, N3 - P.513-535.

67. Hanke, M. On asymptotics in case of index 2 differential-algebraic equations / M. Hanke, E.I. Macana, R. Maerz. Humboldt-Universitat Berlin, Institut fur Mathematik. Prepr. N3. - Berlin, 1997.

68. Hanke, M. On the regularization of index 2 differential-algebraic equations / M. Hanke. Humboldt-Universitat Berlin, Sekt. Math. Prepr. N174. - Berlin, 1986.

69. Hanke, M. Regularization of differential-algebraic equations revisited / M. Hanke // Math. Nachr., 1995. N174 - P. 159-183.

70. Higueras, I. Stability preserving integration of index-1 DAEs /1. Higueras, R. Maerz, C. Tischendorf // Applied Numerical Mathematics, 2003. N 45, p. 175-200.

71. Higueras, I. Stability preserving integration of index-2 DAEs /1. Higueras, R. Maerz, C. Tischendorf // Applied Numerical Mathematics, 2003. N 45, p. 201-229.

72. Kunkel, P. Canonical forms for linear differential-algebraic equations with variable coefficients / P. Kunkel, V. Mehrmann // J. Сотр. Appl. Math., 1995. -N56.-P. 225-251.

73. Kunkel, P. Differential-algebraic equations. Analysis and numerical solution / P. Kunkel, V. Mehrmann. EMS, 2006. - 392p.

74. Kunkel, P. Regular solutions of nonlinear differential-algebraic equations and their numerical determination / P. Kunkel, V. Mehrmann // Numer. Math., 1998. N79. - P.581-600.

75. Lamour, R. Index determination and calculation of consistent initial values for DAEs / R. Lamour // Computer and Mathematics with Applications, 2004. to appear.

76. Lamour, R. Stability of periodic solutions of index-2 differential-algebraic equation / R. Lamour, R. Marz, R. Winkler // J. Math. Appl., 2003. N279, p.475-494.

77. Maerz, R. Differential algebraic systems with properly stated leading term and MNA equations / R. Maerz // International Series of Numerical Mathematics, 2003.-V. 146, p. 135-151.

78. Maerz, R. On linear differential-algebraic equations and linearizations / R. Maerz // APNUM, 1995. N 18, p. 267-292.

79. Rabier, P.J. Nonholonomic motion of rigid mechanical systems from DAE viewpoint / P.J. Rabier, W.C. Rheinboldt. Philadelphia, PA: SIAM Publications, 2000.

80. Rabier, P.J. Theoretical and numerical analysis of differential-algebraic equations. Handbook of Numerical Analysis / P.J. Rabier, W.C. Rheinboldt. -V.VIII. Amsterdam, 2002.

81. Rheinboldt W.C. Differential-algebraic systems as differential equations on manifolds / W.C. Rheinboldt // Math. Сотр., 1984. V.43, N168. - P.473-482.

82. Shcheglova, A.A. Classical and generalized solutions of differential-algebraic systems with deviating argument / A.A. Shcheglova // Functional Differential Equations. 2004. - Vol. 11, N3-4. - P.485-510.

83. Shcheglova, A.A. On observability of singular linear hybrid systems / A.A. Shcheglova // Nonlinear Analysis. Hybrid Systems. 2005. - N62. - P. 1419-1436.

84. Sidorov, N. Lypunov-Schmidt method in nonlinear analysis and application / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsin, M. Falaleev. Kluwer Academic Publishers, 2002.-566p.

85. Sviridyuk, G.A. Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators / G.A. Sviridyuk, V.E. Fedorov. Utrecht-Boston: VSP, 2003 - 179p.