Исследование интегрального представления и граничных свойств решений параболических систем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Чершвецькин державник yiiinepcirrer Р Г F ОД 1м. Ю.Федьковнча

2 з опт m

На правах руконису

Кондур Оксана Созопт1шся

ДОСЛ1ДЖЕННЯ ШТЕГРАЛЬНОГО ЗОБРАЖЕННЯ ТА ГРА1ШЧНМХ ВЛЛСТИВОСТЕЙ РОЗВ'ЯЗК1В ПАРА БОЛ Î ЧНИХ СИСТЕМ

01.01.02 — диференшйш рмнянпя

Автореферат дисертацн на здобуття наукопого ступеня кандидата ф13ико-математичпих наук

Mcpiiiniù - 1995

Лмсертаи1ею е рукшис

Робота . виконана ка каФедр1 математичного монелюванни Черн1вецького державного -уШверситету 1м. Ю.Федьковича

Науковий керавник

иФ1ц!йн1 опоненги

Пгх)в1лна орган1зац1я

доктор Ф1з.- мат. наук, ирофесор 1васишен ь.Д.

доктор Ф1э,- мат. нс.ук, професор Ейдельмэи С, Д.,

кандидат ф1з. - мат. наук, доиент Крея1вськ;ий В. В. ¡нститут математики ПАИ' Укра1ни

Зохист в1дбудеться

» 28 " 'ЗнФчМаЭ,

1995 р. о годин!

на зас1данн1 спец1ал1зовано1 вчено! ради К 07.01.04 Чйрн1веиькому державному. ун1верситет1 за' адресов 2/4012. Черн1вц1 - .12, вул. Ун1вврситетська, 28, математичний {«хультст

3 дисертац1ею можна-. ■ ознайомитись у 61бл1отеи1 ЧДУ за адресов : су л. Лес! Укоа1нкли 23

Автореферат роз1слано

1995 р.

Вчений секретар спец1аи1зовано1 {ярн>*

рг,-.! , / /'

Д.Г-Юадов'як.

г *

ЗАГА-ГЬНА ХАРАКТКРИОТОКА РОБОП'1

АКТУАЛЬИСТЬ ТЕШ.' У тиорН т-аршн1чотх фуикц!й дойре в!дом! кляспчн! результата про яо^ряження гаргон1чшх Функ-ц1й у вигляд! !нтегоала Пуассона, гр° инокини IX граиичних значеиь, 1гро IX граничну повед!шсу; 'Ц результата узагалыпи-вялися на розв'язки деякгас клао1в парабол! чаях р!внянь 1 сис-'< тек р1вюигь у працпх ряду т^тчизняких та заругЯжтк ттетда-тигЛв, зокрема Д.В.У!ддера, М.Кятжанськои^ Р.Гпитера, Д.Г.Аронсопа, Р.Джошога, З.Иаброрського^ Н.А.Йатсона, С.Д.Ьиелылана 1 'Г.Г.Плеттаово!, П.ДЛвасииена, М.Л.Горбачу-ка 1 ВДЛорбачук, I.И.Петрушка та 1н. Однак необх!дно! яснос-т{ й повноти дос! петая. Ззлишаються актуальииш так 1 гйгтан-ня:

1) вид!лита яког/ш'а илрга! нласи систем р1ргшнь, а також класи IX розв'язк1в, для яких правилен! результата про зобра-женпя ¡нтегряпят Пуассона;

2) яклайповтйие вивчптн грашчну повед1нку розв'язк1в р!зяих клао1в. 1тарабол1ччпх систем при наблнжеш! до печатного! гЧперплопцпш:;

3) зяайти достатн! умови, за тих розв'язки маптъ граиичн! яиачешш, опясптп глютши щх .зпячень.

Достп.тгаетпл зозтпчешх .плтагаь I гтриевлчепа ;а'сертап1йна робота.

МЕТОЮ ГОБОТИ с япгшукання умов, за яких класичн! розв'язки паралич! чшх систем, визначен! в г'ор! чи в цил!ндричн1й облает!зо(1ргс,пс)тьоя у вигляд! 1 тетрил! л Пуассона елепен-т1г. целки:; гат'овлх простор^ I ц! простора г: мкожинаш почпг-когпх зпачпиь .я/ншх розв'нпкЛл, я такоче з'яоуваиня, в якому поле! :;.'',иопг1.т|1,!ип'"1'ьоя по'откол! уповп.

МБТОДИ ЛООЛОДВНб. Методика лотедпкь •Ьзтотно' ййкоряото-

вус ллаотивост! матриць Гр1нп, зокреыа при дослгджепн! !нтё-грая!в Пуассона, нормалън!сть задач, при як!й г.^е пгсце формула Гр!на, елемелтл теот>{I лпшгяих фуккц!онал!в.

НА7К0ВА НОВИЗНА. I. Досл^дтано елгменти патрш.ц Гр1на задач! Ко:п1 для загалы;о'1 парабол!чтоI за Пстровським систе-ми у ршюрлдност! з гладк!стю когсМц!снт!в системи.

2. Для тако! тостет у вклндку р!вшх тторядглв р!внянь описано клас класи и'.х розв'язтив у тар?, як! зображуються у вигляд! ! теграл!в Пуассона (Ттщщп епегиальних вагових простор 1в, I п'ЯСОЕано, в якому розум1ши дай! розв'язки задоволь-1;ят1ть початков! умови.

3. Доел!ддено !нтегральпе зобрачення та оллсчо мнояшнп початкових зшченъ розв'язкхв р!вно1.прно парабол!чио1 за Пет-ровсьюш системи, якх ви.чначсн1 в гатлпщрйдк!й облает! I га 6141! иск:! задовольнят-ть. одчор1ди! нормальн! крайов! утлови.

4. Одержан! результата узпталънено на ттсщок гарабол1ч-!Ю1 систем! з оператором Еесселя та - дарпбол! лгл систеш з розриЕ;пил1 в середин!" облает! коеф!щенташ 1 з зацамш од-лор1дн1п.о' нормальниш умовами спряжения на поверхн! розриву кое.ф!ц!внт!в.

5. Одеряано формулу ¿'р£Iга для нормально! парабол!чно!" крчЛово! задач! з оператором Бесселя.

ТЕОРЕТИЧНА I ПРАКТИЧНА Ц1НН1СТЬ. Дисертац!:я пас теоретичной характер. Результата роботи мойуть бути вккористан! при досл!пженн! йоректно'1 розв'нзноит! та властивостей роз-в'язк!е затгйч! Кош! ! крайових задач для квазШнипгдх пара-бол!чш1х систем, а такоя тивченн! матёматгчних поделал кон-кретних ¡Цзичних щюцес!в, як! огаюупться парабол !чнь?ти системами.

на захпст вшотатъоя:

- структура матри!;! Грйт задач! Коп! для загальто'/ • пар? бол 1 дноI Пстровським систеш;

- характеризгщ!я класт рсзв'язк!г однорхдноУ парабол! ч--нг" за Гетрогським снсгти*р1гня1гь "орртышх р!зших поряд-к!г. пи з^ра-урться у рнг-вд-х !итггр!л!в Пуассона ''у;1;ц1И

!т-'П.я;:х тагогнх т:тос*гор!в Подоле;

- !нтпгралъне гзобракенш, гранична поведшт та мнояши початкових значииь впиачепих у вдл}ндричш11 облаот! розв'я-зк!п р?вном1рно парабол-чноУ за Петровеьютм сиетемг первого порядку по , я;с! на (11'ш1й ясжг шл1пдра задоволъиятть одгор!цн! нормальн! крахов! укош;

- 1нтеградыге зойрдаэтння, гранична повед1иса та глютт пояаткошх зиачень визначоних у цил1идричн1й облает! розв'яз-к!в парабол*ч!ГО1 систош з оператором Бесселя та розв'лзк!в парабол1чноУ спстемк з розрившгш в середин! облаот! коеф!-ц!ентамк у шпа^су о.прорвдшх кормалышх крайових утлов на б!чн!? мегЛ цил1щфа та однор!дних нормадышх углов спрдкен-ня на поверхн! розриву кооф!ц!снттв.

АПРОБАШЯ РОБПТИ. Основнт результата дисертац!1 допов!--дались 1 обговоркважсь на:

- ВоеукраУнськ1й науков!й конференцП "Нов! п!дходн до розв'язання лиферонцхальшх р!внянь" (Дрогобич, 26 с!ття 1994 р.);

- Всеукрап1ськ!й конференцП "Суаон! ф!зико-матеш,Т1Ч-н! досл!дкеиия иолодих науковц!в вуз!в УкраУли'ЧКигв, I кв*т-т 19Р4 р.) ;

- МЬскароднхй математ"чн!й конференц1У, присвяяэн!й па-м'ят! Ганса Гана (Черн!вц1, 13 жовтня 1994 р.); .

- шУзгому зао!даггн1 Вхдцьтешя матстотики га секцП математики Зах!дного паукового центру ПАН УкраУни (Луньк, 25 • трави* 1995 р.);

- повторений" лам/лт! акядем!ка Мих.""*ла С авчука в Чер-¡ивецысопу утг.ероптот!-(Чорп!вн}', II листопада 1992 р.);

- пауков конЛормщп, гфисшчен!й 12о-р1'гш и"Рн!вець-кого у/г!пяролтргу ('И?;пгац, 5 .трар»ч 1995 р.);

- пауковому опппк'чн кптсматп чтго Апнультету Черн!вець-ко;'о унп^рситсту (4<?рн!гц!, Т грудня 19Г2 р.. науковпй ке-рЬиетк оемтору -'проф. С.ДЛтетечеч);

- пах-корп» оогшюрах Черн!веского т»!дд!лу 1ППШ

!м. Я.С.П1д<ггрпгп,»а НАЧ УчраУга, кяфедри ттоматичиого моде-лггпшя Ънн^пагР'Ного уи!р»;роптрту (Чопн}щ!, 1Р91-19РГ)' рр.).

ПЖЧ1 клщ!. Ог!!ювч{ результата тис'ртац! У опубл1коган! !'. 7 :-Ч",к;01Г ЯПГ( р.Г'ППО Т! Нвп! рс'Ч'рнту. Особиотб

дисертанткою вивчено елементи матриц! Гр1на задач! Кои11 для загально!' парабол!что! за Петровоышм спстеми в залежност! в!д гладкост! коей!ц1ент!в; одержано формулу Гр1на для нормально! парабол!чко'1 крайовог задач! з оператором Бес,селя; Доол!днено !нтегралъне зобраиення та граничну повед!нку роз-в'язк1в загалыгоТ ларабол1чш'1 за Петровсыиш систеш, коли порядки рГвнякь дов!лый та р!вн!, I визначених у цил1ндрйч-ш'х областях розв'язкгв парабол 1чних систем перчюго порядку по 1; у тштталку,' колй задан! однор!дн! нормаяьн! крайов!-'5МОШ на б!чя!й' иёя!: цилиндра, а. тпкоа однор!дн!! пормальн! умови сгтржеяия, лкщо коеф!ц!'енти систеш розрпвн!.

СТРУКТУРА I ОБСЯГ РОБОТИ. Лисертад!я склада'егься !з вступу,- двох розд!л!в Г стоку л!тёрагури. У першогчу розд!-л! два параграф, в другому - три. Паратрайи роЗбит! на пугает!!ОЙсяг диоертац!! -455 малшгописних стор!нок, з гах 8 стор!нок за11глае список л!тератури, який н!стить 59 найме-нувайь.

5М1СТ даСЕРТАЦГ!

У вс'тупх обгрунтовуеться актуальн!сть теми робота, виз-начаегьел мёта дйсертацН, даеться стислий огляд л!тератури та коротко вйклапаеться зм!ст робота.

Список основных дозначень мостить т! позиачення, як! <з аагалыташ для во!®'! дис'ертац!?.

У. песдому розд{л! вивчаються властивост! розв'я'зк!в зат дано'/ п шар!' П (0)Т ^ е= (0,Т 1 * 16. * загально! пйрабол!ч-но'1 на Петровоькнм снстегш А/ р1внянъ

Пркпускачтьоя, по впконувться настунн! ут.'овл.

Утр,а А. Система (I) р1вном!рно нирпбачЬша. зо Петров-ст.яим у 'пар! П с 0 ^ ^ .

У'.ччпл В. КоеЫц1снти снеге,чп обт^н!, з^дон^тмндагл

р!вном!рну умову Гельдера по х з показikikom (О, i) , .неперервн! по t , при цьотлу неперервн!сть по t коеф!ц1-siraib cl^u , 26b0+[m»2&n-: ,± i N , р!вном!рна по xeJR^ ?

За вдх .умов iOHyc фуцтгаментаяьна ;.'лтпяпд розв'язн!в (ФМР) задач! Кош! для систеш (I).

У § I доел1джуються элемента матриц! Гр!на (МГ) задач! Кош! для; оистеми (I) з початковиш ушваш

.Цри.цьому використовувться пе так! улови. 1

¡Умова В. Коеф!ц!счта снстазд (I) маять неперервн! та оймв«ен1 поглдн! X>¿°D¿ а.^ , , 1« <vj 4

i tj , як! задодолышгать р1"шом!рнуутпу Гельдера по x . Умова I'. па= . = u^-m..

У п. I.I наведен! влаотивост! ОМ? И та матриць .....»

Z C-DX'^^x

, —(tu) ' ——

jre¡€()t) = ,.m . Майже no! ц! властивост! до-

веден! в ряд! нраць С.Д.Ейдельмана.

7 п, 1.2 даетъея означентм ГС .та доводиться,теорема, яка описус II структуру.

Означения. Iff .задач! - Кош! (I); (2) .називаеться ,матр>шл

= L . така, но- розв'.язкя -ц!«з* задач! для до-в!.тъгатх гладких i cMhIthhx-''íymniít =;( . . ^ ) та

зоЛражут. зя у вигляд!

и,х) = § А* $ Сгоа,Х■ ^$Сс,^<Ц + О

де и = ( и-1>..и-ц У . Тут ! дан! нтрпх означая транспоиу-таиня.

Теорема 1.1. Елеглонти Г.ТГ" падая: Кош! (1),(2) с такими:

а) як!.;о вшсонуютьоя $мовп А ! Б, то &0 = 2 , а матриц! , 1 < А/ , с, взагал! кадучи, л!я!йгогга комб! падями пох1Д»т:с вхд узагаяьнегстх фушсц!й;

б) якчо виконутться умовя А,Б,В, то" &0 = 2 , а Ст^- ,

I б ^ А/ , виракаютъся через тюх!дн! в!д ¿Е та кор'Гптнсч--т1в систеш;

в) нехай виконуються уыоии А,Е,В,Г, тод! &0 = 2 , а , , 1 6 ^ ^ А/ , тара-кшоться через матриц! Н.^

... , таким чиноп:

У § 2 розглддаетвся задача Кош! (I),(2) у випадку, к^'ш система (I) однородна (-9=0 ) I порядки И р!внякь тянЬ

II ттричний загою танпй:

II

2€к0+Иги2бт 0

(к^Отг) „

ГЪ.ЭСК |!{0чГ | , ')

VTL , .

z4*1 ^ '

Доведено, up РФ в розв'язком зачач! (3),(4), .1 ,3'ясо-.вано, в яквму розуы!нн! (5) задозо-тъняа початков! ут.кши' (4) у.випадщх, коля функц!я ар'/4* s нелерерэно .етферениШв-

ною до порядку .£(/*),1,... ,>n. , i коли .^eWr^

/1=4-, . Тут iijw-'jîp W'jf>0L . lípíco ,-C^-O ц!ле,

' складшзтъся з вии!ртасх за Лебегом дункц!й up î, [R "" —

( <CW - сукушйоть otobWikIb еисоти А/ , олементи яких налехягь до (С ), як! м?тть узпгальнея! noxliwl до го-рядку -С i для лгаис ск!нчешп норма

до ¥A(t,a,x)aexp {-eibC^oLÎIacl^ } , ,

k(t,a.)~coalc20*-L -аге'Ч З4"*, ^ ^ , с0 i

CL - дет:: нев!д'тек! -«юта так!, шо Т < 0<CQ<

< С , С - стала п оценок для татрп№ jÁ-i,...,"m. ,

Для Bitr.iipHoï по ос t^nnmiï ,U: ilj-jjrji-j—Œ ^ , яка мае узагатанен! пох!дн! по х до порядку € , при кожному it е LÔ,T J озпачп.ю шрш

r |M$t ^ P K '

Лет 2.2. Якшо фе j] Wo^^ • °° > то

. . /«-i P

ц!я (5) с розв'язком задач! Komi (3),(4) таким, mo

ЭС>0 V t é(0, TI :

П"Ч»|'ГГ.'. i £ p •■-• CX> , то

II Р <m/VyM(.<W'Wt/,S- О,

a ripи p = oo

S S CD^CP^Ht^li wciidx -T-

IhfeMO fR* * ' t—»-0 +

—E, ^ Cip(te°W D* ФО0 dx, ь = i,... ш . . IteUiHO !RK * T '

(8)

Властивост! розв'язк1в задачт (3),(4) описуюеь наступи! твердасення, ЯК1 е ооновними в цьому параграф!.

'Теорема 2.1. Нехай для систеш (3) виконуються умови А,

Б,В i i < р ^ с» • Тод! для будь-якох фугашп

г

■ формулою (5) визначабться едияий розв'язок систеш (3) у ша-pl П у -j , який задотольняо ушви (6)-(8).

Теорема 2.2. Нехай для систеш (3) виконуються умопи А, Б,В,1<р^'оо i Up клас ycix класичша розв'язк!в тх: H^q С ^ систеш (3), як! задовольняють умову

Hull = UllDf u(-t.)!lp <oo.

up ^ г

Клас Up , Kpioa , складаеться т1лкш з функндй,

як! е {нтепралагж Пуасоона (5) елемонтЬ) ЯР = ( г^11"* If(m) )• , до уЯеу-^М* Оператор?

при цьому здШсшое 1зоморф!зм м!ж просторами

! и • ^ "

Р ГГ) п" т г а -тт

Якщо х g 11 vv0.- i ueup - в1дп0в1д!г1 -члеиоп-

Г г

ти, то u задовольияе no'if meo в i умоии (4) в такому сенс!: якщо d< р< оо , то зжонуються (7), а для р= оо - сп!в-в!д1юшети (8).

Зауважаю, up аналопчн! результата одержан! С.ДЛваси-шенпм для 2 fe -параболiчно! сиотеш поршого порядку по "t , тобто коли ms¿. Задача (а), (4) з L* з W°'a ,

lip^oo , вивчалась С.Д.Ейдельманом.

Другкй роздЦ прпсвячений доелтдкенто !нтегрального зоб-раження та гршшчно! поведппш при t 0 вяяначевдх у ш-лйщтчяШ облает i Q, = ( О /Г 1 * jQ. , де _fl <= IR*4' - обменена або необмекена область з г.едеп S , розв'язкп! иарабо-л!чно! система первого поредку по "t

= 0 , (9)

як! на 6Í4Hiit г'.ежг Г == (01Т 3 х S цилиндра Q задоводъня-ють норма.® и i крайо-ßi гтлптт

4Ън(^х")|г = 0 . (ю)

При цьому утловл па шяш!й основ! цил!ндра Q. або в!доутн!, або задаютъея аа допотгоп ^яопенг!в lj> з простору ^ , i * р ^ оо ,

u(t,*)|t=0= ifCx), X 6 jQ.. . (и)

Прост íp (л) , ±<р4 ос, де

L - це npooTip ycix ннгприих за Лебегом <$ушиЦй ip:

_Q^ iз ск1ячечяою нормою

( Ц - делгеа i,lipa, задана тга О"-алгебр! яим!рних за Лебегом чиожин простору IR^ ); Ma(-Q) - оуяуп1пать yoix 6"-ади-тивяих cTjyrnmtft ij>: 5Ь Ш-)-*- (Á(XI) - G"-алгебра <1орелъових н!.«тожяи обааст! _fí, ) таких, г;о

!hflia= S ¥"А<0,а,ас).с1|гр|(х)<оо,

-ß. я

|ф| - поззигг Bapianin гр . Зауваяпшо, що прост íp L^ M(f¿5

нагадаем.ся у npooTip Ма . Для обмекеног облает! а

вважаеться, що а^О I а 1, ас ь jQ_,

Для HiMipHo'f за Лебегом по эс йункц!¥ и: Ц —*■ £ ^ , ^ эС0,т 3 * Z"2. , означимо норш

Hüft,, Ii p*;;<a)s исшл»; -тл^аMi*r*«.

Припустимо, го задача (9.), (10) р!вном!рно ь..1рабол!чна, при цьому ' ■ •

Л-IDt- £ а^.хф*.

1Ы4 2&

Тод! мхра - це м!ра Лебега.

Одяор1дна матрица Гр!на (ОМГ) О0 rffei задач! иородасуе

■Iraefpaji Пуассона елемонта € ц , i i р 4 00 ,

'•Mtü. (12)

За. допомогою властлвостей СШ1 G"0 , як! встановлент в ирацю: С.Д.Ейдельмана i С.ДЛвасигаетга, доая!джуються властивсог! !нтеграла Пуассона (12), на п!дстав!- яких одержуютьоя Tatd властивост! розв'язк!в задач! (9)-(Н):

1) клас17рд^*. > l4pi:O0 , уо!х рсзв'язк!в U'.Q^ (Dfj задач! (9),(10) в Q =С0,Т1*ТХ , як! задоволькяг.-гь уыову

II U-II а sap nuct^lli^oo (гз)

складаеть'ся т!льки з функц!й, як! е пгтегралаш Пуассона

(12) елемонт!в ф £ ф5 u ';-7 г >г~

2) Оператор Р зд!йснпз !зоморгб!зн п!к простора-

Фа ! IT

3) якщо гр е I и. & "ЦГр^ - в1диов1дн1 элемента,

¿•о и. заттовольяяо удаву (17) в тадотлу сено!:

при 1<р<оо (¿т.

при р = О0 V у &

5 ( иСЬ.хй ФСХ) о1х-V 5 г/сх) идх) с(.ос

XI Т ъ-^о+л- Т '

прп р = 1 Уу е С;к(т'а)(Ш;

5 УсзОиС^х) Цэс-<- 5 Ф'схЭ^ймЖ),

.а 4 '

де С^^'^СО.) - простои* в1,ппоп!щю пчн!ртвос

за Леоегом та кппврвртшх ЧуткихЯ у : £2. —*- С ^ , для

ягаос впконутггьсч в!дпо.?!днп укокп ^СТ^а/)!^ (д

4.) улова (13) е необидною \ доотнгнъою для того, '¡¡об розв'язок и зобраяувався в 1нтегралызоиу зпглил! (I?-). а Також для того, шоб прооторв Фр^ц ■ 1 $ р ^ оо , булл_мяо-¡¿отчвш те/чптковпх знпчечь розз*язк!в в О. .

У § 4 розглядасться гшпздоч, коля (9)-(П) з нормальною

парабол!тттом крайовою зпда'тп з оператором Бесспдя В* — 20 + 1 р. 1 < К-

^ ^ , О1 , в облает} лкгляду

и-1.

з че~

ЯнСО^ТЪИ' *(0,то) , до л' - область у Щ. кою > тобто область XI = - пе цкд!няр у

швпроотор} [Й ^ з(хе | ос ^ > О \ • б!яла пола пиого

& . а основа Б0 = {(*',<)) } эс'ё..П.'Л^ТеренЩал^н! вяра-з?.' Л- I ^ ■ павть взгляд

Г> „ «Г» чк . ц. • , .

- 1.14 -

де сх^Сзс^...^-^ - тачка з , М -

(п.- 1)-вим!рний мул$тд!ндекс, л - квадрат н! ».'.атриц!

порядку N , - магряц!-рядки довшшою N , числа

'с.^д/ такл к, як у § 3. Поряд з умдгами'(Ю) на р°г= (0,Т 5.° задасться умова

.(14)

01,0? &0 задач! з оператором Бесселя (9)-(11),(14) по-будована 1 вивчеиа у прадах В.В.Крех!воького та ПД.Матгйчу-

ка. ОМГ О0 породкуо !нтеграя Пуассона (12) елемецта Шб

Фа

, 1 ^ р ^ 00 . При цьоглу ¡л е м!тюю, визначеною на 5"-«алгебр! вим!ршх за Лебегом шюяин 1 зв'я-

заною з м!рою Лебега формулою ^ (А) — $сАзс .

За допомогою'т!с1 зк методики, .яка викбристовуеться у '§•9, встановлен! так! к властивост! 1)-4) для задач! (2)-'(II),(14) э оператором Бесселя, В!дм!тимо, :цо при IX дове-денн! викорнстовуеться формула Гр1на. Для задач! Кои! (3), '(4) Шна .шведе на С.Д.Ейделъманом, ддя р!внои!рно параболхч-Н01 задач!1 (9)-(П) з § 3 - С.ДЛвасишешш, а для задач! рпрякення з '§-5 - М.М.Др!нь. У дасертац!йн!й робот? доведено, що вона мае м!оде ! для задач! з оператором Бесоеля.

У § 5 задача"(9)-(И) с задачею спряжения: об.ласть_0. • розд!лена поверхне'ю Э ^ с на дв! п!добласт! XI1 }

XI2 ( причому в^П Э= 0 , 1 поверхня ГА = (0,ТЗ><31е поверхнею розриву коеф!ц!ент!в систеш (9), яка розглягаеть-оявОЛГ1,

1М526 Я Х '

О. н(0,ТЗ * -О.1 , и> - звукенщ функцИ' тх на 1-ту п!добласть, 1=1,2 ; крайов! улови (10) такого ч вттлтдцу, 'як 1 в § 3; на Р* задаться ш.е умоли спряжения

(15)

ОМГ G-0f t&oí, &аг) - ^óí =(^01 , ) Л-*-,

2. , nie'i задач! побудована i тшвчена у працях С.ДДвасишена та С.Д.Ейдельмана, дояк! i7 власгявост! встановлен! М.М.Др!нь»

nipa Лебега. Де означае, то е L^ ^С О.1") при 1< р

^ оо-та vpl е М (jQL) щи р = 1 , чри цьо?лу

г .

Г Л «Л М 1<р^оо,

'^V* Ч 4L р

z:iriia,p=i.

1нтегралом Пуассона елемента Ц? 6 Я?^ ц , i ^ р^оо , називасться функц!я

Г (17)

У п.о.2-5.4 па цоломогок) методага з § 3 з урахушштм

влп.стишстсЯ СНГ Gc та :Тормул (16) ,(17) для 1нтограла Пуассона элемента , i ^ р $ оо , остановлено власти-boctí ¡итеграла Пуассона (К) та розв'яз;с!в нормально! парабол Дп"о? уада'р сирягоння, гпсi анплог!чн! в!дпов!дним влас-

тппостям § 3.

3nyiíi;"ji'.'o, ipo uo.nióriiora одорзшшх результат!в у § 3-5 ! методики ÍX .приодень зумовтеиа под!(!н!отп пиаотиюотей о.'|иор!лгаис мптрчнь Гр1па крлГютщх задач, яге! розглддппться, •;:)fiwTi>yí'tH* «iiviooJ/'mix iчr«r¡>,a¡iin Пуассона. Тому анпло-

г1чн1 результати ттанп одетдаяи I у зяшадку нелокально! парабол! чно!" крайош! кедап!.

0СЫ0ВН1 РЕЗУЛЬТЛГК I впешоьки

Доел'Ъйепо структуру ГТГ задач! Ко'л! для зачтено! парабол! чно" за Петровсьглш слоте,Едегенти МГ о л!н1йншда _ ком51п<щ1я?-я пох!д1этх н!д узагачьнв'т або звлчайнах функц1й в залгеспоо?! в!д гладко«»! чоеЛ!тл1стт!в сиотеш.

Для парабол!чин за Петровськии сиотеш? у випадку дов!ль-Ш!х р1в!1кх иоряпк1в р!мтяъ знайдено необх!дн! та достатн! умови зобракенчя розв'яз'с!?, шзначешх у пар:, у впгляд! !нтеграл!в Пуассона <Т1ушсц!й спейатыатх вагових проетор!в Соболева та досл!длено IX греишчну 1товед!гасу при "Ь —О .

Знайдено иеобх!дн! та достатн! улови; за яких розв'язки нормально! ргвяогнрно парабол!чяо! крапово! за^ч! зображу-пться у вигляд! !нтеграл!в Пуассона елемент!в вагових Ьр -1«росто])1п чл простор1в узагалвнених 7пр з вагою. При цьому ц! яростори с ипожиначп пэчаткэяих зпачеиь даних розв*язк!в.

Одержан! результата узагнчьиепо ,ча нииапок крайово! задач! з оператором Бесселя та чорпаиыют задач! спрянення в 1Шл1ндрйчснх областях.

Доведено (Тюрмулу Г[»1на для нормально! парабол!чно! крайово! задач! з оператором Бесселя.

ССЯ0ЕП1 ПОЛОЖЕНИЯ ДЖГРТАЩ1 0П:Л?ЛТК0ВАН1 й РОБОТАХ $

1. Коняур О.С. Нормалън! парабол!чн! крайов! задач! дли онс-тси з рчяртяшми П'^йМотеин! И Д'лг. АН ?кра!ш!.- 1994.-!<"' •2С. 18-22.

2. Гиаскпен С.Д.; Ксдаур о,с. Про ¡гглтиалъне зобра-.очня роз-П'язк1г чортдытх нпр'|б()л} .ГШ:; ''.¡\uiouix ::ачс.ч // 1чтеграп>-ч1 ■в,ггттмр""кл та "|'х 'ч'Стос.;ряит'л дт !:ряГ:о«пх задач: 86, "•нк. т;т.- КиТи: 1н-т натопл-гики ЛИ Уг.раУги, 1993.-

Р".:г:. .1,- С. В2-9«.

.3. Ковдур 0.0. Про розв'язкп парабол1чних систем дов1льних порядк!в Н НелинеПт'т краевие задачи математической физики и их приложения: Cd. науч. тр.- Киев: Кн-т. математики НЛЯ Укряини, 1994.--С. 106-107.

А. 1васишен: С.Д., Ковдур О.С. Про матрпцю Pphia задач! Koiui для загач^т п".рпбол1чно1 за Петровсьютл пиетеш Н Иатер1ата >д1мнэродип! матетнтичноУ когйерешП, присвяче-noi нам'ят! Ганса Гана.- ЧгрнЧ'вц!: Рута, 1995.- С. 119141.

5. Кочдур О.С., Ивасишек C.J.. Свойства интегралов Пуассона для парасоляч«скпх греничпйх г..ч ,ач !/ Черновиц. уп-т.-Черновшг, 1992.- 35 е.- Дпп в УкрИНГЭЙ 26.10.92, К I738--« Ук92.

6. Кондур 0.0. Про 11т;гратеие зобралопкя рози'язк!в нарабо-лхчних систем дов!льдах порядиin Н Матер!али наукою i конйеренц!'/- вш:лпдач!в, сп!вроб1тчигс1в та студентпри-свячет'о!' 120-р1ччю заснування Чернявенького уи!лйррл'т'ету (4-6 травил 1995 р.). Том 2. ©тзр '.о-математлчн! науки. ЧернЬц!: Рута, 1995.-- С. 91.

7. Кондур O.G. lipo iKTerpf.jm Пуассона для нормальных парз-'.1ол1«шх ;;ра"отах nf-дач з оператором Бесселя !/ Всеукрагн-ська иаукола конйрронц1я "Нов! п1д;-:оди до розв'язання ди-iopeHuialb"jix р!вншь" (25-27 стчяя 1994 р., Дрогобич): Тезп допошдоА.- Ки'г'в, 1994.- С. 71.

г

Kondur O.S. Investigation of the integral representation and boundary properties of the solutions of uhe parabolic systems . Manuscript . Thesis for a degree of Candidate of Science ( Ph.D ) in Physics and Mathematics , speciality 01.01.02 - Differential Equations . Chernivtsi State University , Chernivtsi , 199S .

The pr'forties of the classic solution of the parabolic systems , which are determinated in stripe or cylindrical domain , are investigated . The neccessary and sufficient conditions due- to the fact that these sol ;tions are represented in the foria of Poisson's integrals of- elements of special weighting spaces are found. Those spaces are sets of the initial value of .these solutions .

Кондур 0.С.Исследование интегрального преде.лвления и граничных свойств ■ решения параболических систем . Рукопись , Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических' наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения . Черновицкий государственный университет . Черновцы , 1335 .

Исследуются свойства классических решений параболических' систем . определенных в слое или цилиндрической области . Найдены'необходимые и достаточные условия , при выполнении которых эти решения представим« в виде интегралов Пуассона элементов специальных весовых пространств . Доказано , что эти пространства есть мнояеетвоми начальных значений рассматриваемых решений.

КЛЮЧ0ВI СЛОВА: парабол!чнэ система , нормально гмрпГо-л'|Чча крайова задача , матрица Гр1на задач! Кошi . однир1днб •яатричя Гр1на крайоваV задач! , (нтчгральне зобраяення , Iнт®'-|ол Пуассона. - /'