Исследование краевых задач дифракции в некоторых областях с некомпактными границами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ргз од

" - ' ' ' •

ШДЕДЯ НДУК УКРАЕЙ V - *

лззттт гжга?АТ1йи

... ш правах рушаксу

. - П0ДШ2НК0 Ер1й Костядта:свич

ЛОСЛЩЕННй КРАКОЗЯХ ЗАДАЧ Ж5ЭРШП1 В ДЕЯКЮС • , : ОБЯЩГЯХ ;13 КЕКСШ1ДКТНШ1 ГРАШЩЗШ

л Спгц1&Ш21сть 01.01.03 - катэмагкчна ®1зкка

ДВ10?353РА1 - дясарт£ц1г на здоОустя вчвиого ступопя '.Г' ' докеорз ©1йЕко-1гагэматячазх п8ук

КШ -ХЭЗЗ

Робота Езжояава в .ОДСвському уа1версвгет1 1мен1 Тараса ШвЕченка

0ф!ц2'ш1 олснанти: член-коресповдент РАН,

доктор ф1 зкко-матбмаптешх . наук, лрофесор КУДРЯВЦЕВ Л.Д., . доктор ф1зйко-матекатачних "' нгук.профэсо^ШЕСТШШВ ЗО.В., . доктор ф^зкйр-чатехатичних . . наук КОЧУБЕЙ А.Н. •

Пров!дна установа

Гнстатут прикладках проблем . «вхак1ки 1 математики .АН УКраТка

_1993р о_

Зажист. в1д<5удеться . "_"___

годин! на зас1данн1 ссоц1ал1зовщо1 рада J50I6.50.P2 при 1кститут1 математазщ АН Укра1ни .за адреса»: 252501- : - ' Ки?в-4, вул.Терб!Цбнк1всъка,3. ' .

3 дисертаиев мокна ознакомитесь в б1Сл1отвц! 1нститз

Автореферат роз! слано-

_16ЭЗр, :. -

■!-' Ечений секрэтар /' споц1ал11ювано! ради

ЛУЧКА А.Ю.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТ/

Лкт¥вльн!сть_тега.Дисертац!я прксвячена доел1дженню крайових задач дифракциг в дэяких областях !з неск!1гчеш~ми грэницямя, Розв'язання цих задач становить значний таоретичний 1нтерес t мзз велика прикладне значения. У вакливому вкладку устз-лених колягашх npoupclB т^к! задач 1 бэзпосорвдньо зводяться до в!дпов1дшга крайових задач для р!внятя Гелыигольцэ. Ца р1вняння е п!сля р!вняння Лапласа наЙпрост}иш 1 разом з там найб!льи ваюшвим р1внянням математичноТ ф!зики.

Зусиллями Зоммарфельда, В.Д.Купрадза, I.H.Reitya, А.Н.Тихонова, Войля, Вернэра та iH. побудована зак!кчвяа твор{Д крайових задач для р1вняння Гальмгольца у кеобкеяенях областях !з кошактнпш грзтщяки (зовШшних крайових задач).

Д.М.ейдус, А.Я.Повзнер, Б.Р.Вайнбарг, Като, В.В.Грушш, B.jS. Нарчеяко, е.Я. Хруслов, O.A. Ладиженська та 1я. розгляда-ли такой у тают областях крайов! задач! для "»льо загаль-НЙХ 8Л1ПТИЧНИХ дифэршыалышх 0Шр8ТСф1В.

Досл1даення крайових задач 1з йокомпактнкми граняплми в прищттово б!лья складни* , Тут 1снуз лишэ ряд окрегап результат^. До ц!е! тематики в1днос"ься робота О.Г. Свеян!кова (шар м!к двома'паралельними плотинами 1 нвск!нченттй цпл!ядр). Дкоунса, Релл1ха 1 Д.М.Ейдуса( випадок, кол? тек!теина частина облает! в цил!ндром), А.С.ТльГнського, Ю.В.Яйстопалсва, А.М.Тихонова, А.О.Самарського, А.Г. Рамма та Jh. Цикл роб!т у цьому напрямку бкконаниЯ н!мецъкшя математиками Вврнаром . Моргенройтаром.

. Враховуючи сказано вкще , велико значения набував завдання побудови твори крайових задач дкфракцН у шар!,кляй1 та ш1оск1й кутов!Я сблзст!, як1, кр!м суто теоретичного 1нтэресу, мапть вакливв зас-оеувйтя в прикладная задачах Идроанустию»

! еЛ9КТрОДИЙ0М1КИ; . I

Нета_робото. Побуяова зак1нчетю* Tscplt крайовйх задач диЯрчкцП у пар!, клин! та плоск!й ityToöfü облает!.

® робот! використаш метода теорП Штегральних р1внянь, спектрально! теорП оператор1в, теорП спэц1аньних функц1й, в такой метода загально! теорЛ' р1внянь з Чйстшиш пох}дними та аситтотачн! метода анал1зу.

НагноБа_ноЕизна. В робот! одержан! наступи! основа! результата «

- ьивчена структура спектр!в крайовш задач дифракцЛ у шар! , в клин! та плоснШ кутов!й обдаст!>

- доведен! теореми 1снування та еданост! розв'язк1в крайових задач дифраици в названих областях 1 обгрунтован! принципа граничного логдинання(

- розвинута теор!я потенцIалу, за допомогою яко! вказан! "райов! зе, л! зввден! до !нтегральних р!внянь Фредгодьма | доведено 1снування та едан1сть розв'язку останн!х.

?§5Ш™58§_1_1Шй^™чна_значш1сть. Теоретична значимость рс-ли полагав в побудов! зак!нчено1 математично! твори дафра-кцИ в шар!, в клин! та плоск1й кутов1Й обдаст!. Конструктив®«! характер використовуваних метод1в дозволяв на баз! одержаних результатов досять просто с уду вага ефектавн1 алгоритма розв' язування складах нринладних задач г!дроакустики ! влектро-данам!кя.

_Апрдбау1д_рдСоти. Результате дасертаци неодноразово эиов!дались ! оОговорювались на сем!нарах ф!зичного факультету ОДШнаук. кар. О.Г.Свеишков 1 А.СЛльшськиЙ), факультету обчислювально)' математики 1 к1бернетики МДУ (наук. кер. Ю.в.шэстопалов), на сем!нар! Ыатематичюго в!дц!лення Ф!зико-твхн1чного 1нституту низькюс температур (м.Харкав, наук.кер. е.Я.Хруслов), на свм!нар1 1нституту 1грикладних проблем механ!ки \ математики АН УкраКни (м.Льь!в, наук. кер. М.М.Войтович), на сен Шарах 1нстатуту математики АН Укра1чи (нвуков! кэр1вникя М.Л. Горбачук, В.К.Даядик, I«О.Луковський, В.О.Митропольський), Шжвуз1всыюму науковому сем1нарI "Крайо-в! задач1 математично*' ф(зшси" (м.КШр, наук.кер, Н.О.В1рченко), яп с«м!нар1 факультету к!б«ркчтики КмТР'^ко'п рте-гу

(наук. кар. Б.М.Бублик t О.Г.НансшечшЛ ) на Всесоюзна кокферзнц! i "Чяолэшшв метода а современных волновых задачах акУотака" (и.14ос1ШЭ, I9S8, «куодацшй 1нотатут), на ХХ Далвкосх1дн1й иатэмати'шШ школ1-сен!нар1 а проблем ыатематичного моделшвяня 1 чиоэлънога внал!зу (м- Находка, 1992), на Роспубл1канських науково-теШчних конфаранЩях "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" ( м. Ки1в, 1983, 1986), на Всвоосзн!» науково-техн1чн!й конфоренц!i "Акту алыше проблема моделирования и управления системами с распределенными параметрами" (м.Одес^., 1987).

ПуОлjKaijH. По тем! дасергац'! спубл!ковано 14 росНт, сггаоок яких наведений в к1кц! автореферату.

Структура 1 od'8M роботц.Робота складаетъся i3 вступу, трьох глав t списку цаговвно1 л1тератури. 00'ем робота 223 сто р!нки мп!пиеош1су.

ОГ/Щ ЗМЮТУ ДКСЕРГАЦП

В першin глав1 вибчоються крайоы задач!, j.- ьишншш-гь при Д0ал1Дкекн1 дифракцН акуст-ичних хвиль на п»|дашнод1, ¡¡на мЮтиться уеврадшп шару His двома паралэльтши-шющинами.

Постановка задач. Введено в R3 цил1ндричну систему координат r,<p,z .Нахай fit={(r,(f>,z) е Йа| гК), о ф < -Н<2<0)-швр м1ж деома паралельнши площинами St: = ((г,ц>,з) е п3 |г>0,0^21срг=0} 1 [(г,(р,г) € й4! г^О, о s; <р <; гг., z= h>, D-обмажеиа в!дкрита область з границею 60, яка складазться i3 скНгчешюго числа нвиэротинних замкнених поверуонь, класу с*, така, 1До Dc n i область 0\5 зв'явна. Покладемо £^:={(r',<p,z) i 0!9*<Я}-11рЯМИЙ нруговий цил!ндр рэд1усв й 1 висоти h, нри'юму R втЗрвно так, що мае Mi оде еклпчання 5с пв.

Означения .Через Я поэначммо лппйний прост 1р хочшодснознь ЧНЯХ футадий U 6 О* (ОЧВ)ПС1 (iT-.D>fl0f{14.D>, для яках У fiynf- • як!й t04ut Г f dt> fi'HVP -pi PI- M!f>"4 no F грЯ!ШМ<!

&и(Р)/0г' =ип (Vв,дгаа )), (I)

р »1—>о р р

да - единична вогч1шня нормаль до бй в точц! Р.

\

023132833.

Через я' иознатемо клас фулкц}й и « С* (П\Т>)ПС* (Т)\. ;П0

Задача Ы. Знайтн функцло и < я', що задовслъняе в П\Ъ р1вняпня Гельмтольца

4и(Г,ф,я)+ Ь*Щг,ф,г) » О, 1в Й ? О, (2)

& » *

4 -Ь иг §г>+ Ь * У '

гряничн! умови

Ы| - О,

I*

(3)

ви/о 1'|я »0, (4)

(Б).

дв / - задана шперервна функц1я на дЬ, умову обмежекост! и=0(1) в ПЧБ 1 при к> х/2Н парц1влън!.умови випрокЛнввання Свешн1кова ча н9ск1нчеш!ост!«

и„(г,<р) - 0{г~"а), г —>»'■' , (6)

в«,(г,ф)/3г - 1ц„ип(г,ф) -о^"1'1), г — >», (7)

п» 0.1.....р » Е(*Л/гс-1/2),

р)вном1рно по ф , да 1Мг,ф)~ коеф1ц1енти.Фур'е розкладу функ-

б

ЦП «

и(г,<р,2) - £ иж(г,<р)в<п(тмв)

по повн!Я в 0) систем! { а1п{7^2) }™0 при г > но,

7 =(2я+1>к/2Л, ц -

(в!тка кореня вибиразться тек, иоО Ш ц >0| якщо 1т и =0, то Яв и > 0), Е(.т)- ц!ла частина

• т • м 1*1

д!Ясного числа х .

Задача_2.Ь ЭнаЯтн функц1ь и е Я , що зедовольняе (2)-(4), (в),(7) I гранячну умову

0и/&и * 8 на (8)

дв 8 - задана неперэрвна функцгя на ОБ.

3§яача__Л.л Знайти функц!» и « Я , що задовольняе (2)-(4), (6) ,(7) 1 грани--ну умову

би/др + Ли = в на во, (9)

дэ К 1 в - задан! неперврвн! функц!1 на 30.

3 ф!з1гчноГ точки вору функц1я и(г,ф1г) мае смисл потепц!алу ввндкостей в задачах де1р9кцй' звуку на обмеженому т!л! И, яке м!отиться у хвилэвод! 0 ( в усталвному режим!). При цьому к* * ш(ои-(7)/с*- хвильове число, \ » ?(ьм- ), да и- частота, р - щ1льн1сть сэредовища, що заповнюе облает Г^чп, с- ивид-к!сть розповсюдження звуку, 7 - коеф!ц!ент поминания, х - аяус-тятаий {шэдано переакоди д. Задания величина и па. меж! ДБ пера-вкоди в!дпов!дае заданию тяску акустично!' хеил! . Аналог1чно ,?а-дй'Шя йормедьио! пох!дао'/ и на границ! в!дггов!даз задянчю нор -мальтю! компонеитя ййидкоот) хвял!. КраЯсй! умови 1,3) 1Г4) вира-жевть.той факт, 1Д0 поверхня Э, шару [1 акуслично м1 яка , а поверх-!Ш !>3 акустично тверда. Уиова обмэкснност! розв'язку ) умови мтрсч1пяйчя*и (Я) 1 (?) гл«лпччоть хрил!, як} приходить (з да^-{ . »-''ч тойтпГ'иЛ 40 ч»»"»"!ь

часу по закону ехр {-Ш) ).

Форлулювоння основних результат^. Б1.чьш детально зупшш-мось на основних 1деях 1 результатах розв'язаняя задач! 1.1 (результата, що стосуються задач 2.1, 3.1, аналог1чн1). Дославши проводягься а наступят планом. Опечатку вявчазтьпя структура спектра оператора, що В1датов!Дяе краЯс:,1й задач! 1.1 I на ц1й основ! встановлюються теореми единост!. Дал! з викорио-танням функц! I Гр1ш вк(Й,Р) для шару О вводиться потентата простого 1 подв1йного вару, за допомогою яках розв'язу-вання лочатково! ¡срайово! задач! зводаться до розв'язання дэякид ■!нтегральних р1внянь Фредгодьмо на границ! дВ облает! В. ЗнаЙ-дея! унови !снування розв'язку задач! 1.1 1 в1дпов!дяих 1Й !нте-гральних р ¡нянь.

Позначимо через А саноспряжений оператор, заданий р1вн!стю Аи = -Ли з облает» визначення

Р(А) = {и ( РГ * * * < П\5)|-аи €£,€( П\Ь), 0, ди/&»0),

де 'Оператор -А сл!д розум!ти у сенс1 теор!! розпод!лу, и| ^ ! би/д- сл!дй функц!! те II нормально! по-

х1дно! в!доов1дно на ОТ ! Бг. Через й^1' (С) позйачений пропер функц!й, як! мають в облает! О квадратично !нтегровн! уза-гальнэн! пох!дн! до порядку I шшгсно.

В § 4 доведено такий результат (тут ! дал! до номер!в тверд-шяь додавться номер глвви).

1§орена_1.4^4. Опекав оператора А, розтаяований на додатн!й п!вос! (О,а>). Чаотаяа спектра, яка розташована л!воруч точки Т*, дискретна, тобто складаеться 1з ск1нчеяного числе вЛасних значень ек!нченно! кратность Честило спектра, що розташована на кожному з !йтервал!в ( 7^).. •, неперервна в ус!х

точках цих !нтервал!в з можливим выключениям на Оудь-якому з них ':к1нч€'1Шого числа влэсних значень скЮТенно!' кратност!.

Нэкладемо тепер на область Ь деяк! додэтков! обмекення. На-звемо область В с о ирввйлыюп, якшо для будь-яко! точки Р « № , ввдояуеться нер1вя1сть соя ( , де 5 - внутр!гайя по вШго-

¡тетпп до П пдшш'тня нормаль .по ТО в точц! Г(т,у,г) , г- (л?,у,0)-

проекц1я рад!уса-вектора точки Р на площину г=0, ( З^7) - кут Шж векторами 3 1 г* . Прикладами правильних областей можуть слу гита сфэра, ел!псоКд, опукл! п верхн! обертагая та 1н. У цьому частишому випадку попвредн!й результат уточнюэться.

_Т0орвмз_1л5л6. Нехай д - правильна область. Тод! оператор А на мае власних значеяь.

Аналог1чкий результат для правильных областей незалежно !н -вшм способом одержано Вернером ( у Бернера гранична умова н" Эг : и»0>.

Позначною через Л множину вс!х точо^ нвперервност1 спектрально!' функц!! оператора А , як! не сп!впадають з «одною 1з точок

КОИ • ■ • Лз теорема 1.4.4 вкпл"вае, що гаожина А складваться !з об'вднаиня 1нтервал!в (-», -£), ( ■)£), ... з мож-

ливим вшшзченяям на будь-якому з них сличенного числа точок -власних значень оператора А .

_Тэо2ема_1лб.2. Нехай А . Тод! крайова задача 1.1 мае не б!льше о,т "ого розв'язку.

JteopeMa_I.fi .5.^ Нахай В - правильна область. Тод! тварджэкня теорями 1.5. мае м!сцэ при вс!х додатних значениях к , як! не сШвпадають з «одним з чисел у , р=0,1,... .

У Е.тпадку к05шл9кских значень хейльового числа Р. мае м!еца пастуший результат.

ЛбВШУЭ-^З^д Нехай 1т К>0. Тод! крайов! задач1 1.1. ! 2.1 иають «о б!льшэ одного розв'язку. Задача 3.1 мае не бШие одас.о розв'язку( якщо Гя на вп.

. Дал!, спйрапчись па тоорэьгл единое?! 1.6.2, 1.5.6 ! 1.2.3 використовугми впарат !нтеграшгах р1внянь, дос!дтаня роэв'пзн1нн крлйових задач. 3 Ц1вю матов у розгллдувадаму вип дку будузтьея теор!я готенц1ала.

послед»мо

<Х>

г,К(Г, Г) 7„гя)я1п<упегП^^'^р^^гФ,')*

». V € П , / Р, ' (ГП)

др я" * (г-)- футе»!!?! р^гу ,р вкв!ря.юптяЯ1

а • . 1

г>=-д>

е

(Ю )

- —----^ | *

1 Гм+Гя-?ГнГгС03 СФм^Рр С ]

Изхай задан! фуикцН" ф ? С (50), тод! функц!ю

и(И) = |ск(*.Р> Ф(Р)' а®, ^ € О \М> (II)

будемо нэзивати потанц1алом простого шару з . ,1лън!стю ф, а функ-«1ю

овк(м,Р)

и<*)-Г -<р(Р> (К г? € О \СГ>, (12)

л " -

60

потвнц1влом цодв1йного шару з щ!льн!стю ф.

Потенц1али (II) 1 (12> задовольняють. в облает! I) \ Б р1-вняння (2), крайов! умови (3), (4), :умови обмемност! в О \ Б 1 умови Овещн!иова (6), (7) 1 мапть эвичайн! граничн! "чпстивост! гармон!чних потенц!ал!в.

Вирначвмо в 0{6Ь) 1нтегральн! оператори К 1 5 за формулами

ась(*,Р)

Кф (»)«■• 2Г--Ф(Р) 6Я V * ОЪ, ■

iдv„ р •

дv г

- ?,|(7к(¥.Р) ф(Р) (Я;

К б дТ)

18 вшсористанняы властивостей штенц!ал1в простого 1 подвхйного аару встановлен! результата про " зведення крвйових задач до 1нтегралышх р1внянь Фродго ьма. Сформулюеыо деяк! з них. Твердження 1.6.1. Л!н!йна комб!нац1я потенц1ал!в

простого 1 подв!йного шару з наперервною щ1лынс?ю ф с розв'аз.--ком задач! 1.1 в О \ а , ягацо ф е розв'язком !нте1р9лыюги р(в

Нахай т) ¡г О 1 нехаЯ Л 1Тод1 1нта гралъне р!ш:яяня (13) для краЯоЕог задачI 1.1 однозначно рояй'.чг,-не при будь-як!й правШ частин! / к 0 (50).

1з тверджэяня 1.6.1 ! теорем 1.6.? I 1.6.2 базпоевреднцо вгиишвае наетупниЯ результат.

Теорема 1.6.3. НехаЯ й2е Я . Тод} крайоеэ задача 1.6.1 о дне, значно розв'язна .

Теор5ма_Ь6.4. Нехвй п - правильна область. Тад! твердтанля теореми 1.6.2 в!рне при вс!х значениях Ь, що не си!впадаоть з' йод-ним 1з чисел 7 , р=0,1,2,... .

1з твердженнл 1.6.1 1 теорем 1.5.5 ! ,6.4 випливае твкий результат,

Тэорема_1Л) Л5. Нахзй о - правильна область. Тод! тверджэшш теорема 1.6.3 в!рнэ при вс(х значениях 1(, цо не сп1рийдйкть в «одним 1з чисел 7 , р=0,1,2,;.. .

Шдзначкш, що ягецо в!дом! власн! значения I , (=1,2,... (0<\ <\ , Х.к—>«, Р— >т ) наступчо! Енутртшньо! аапач! Неймя -кч: -с-

К £ Г N Л,

иявдя

Ф + яф -ет>а|э = з/ .

(13)

ан i \ч = о

" Г,

(т

ди/ôv = 0 на во, и ( Я (D) (16 >

(через й (с) позначено л!н1йний npocrîp комплексиозначних фун-кц!й ц е С1 (D)nO(iJ), для яких нормальна пох!дна на мек! облает! D 1снуе в тому розум!гil, що грвниця (I), в як!й оданячна вну тр!шня по в!дногаэннго до облает! d нормаль в точц- Р е вс, 1снуе plBHOMlpao яа 3D), то ыожна отримати б1льв просте, н!х (3), одао-вначно розв'язне 1нтб1'рзльяе р!вняння для краЯово!' ь-дач! I.I. 3 Ц1ею метою розв'язок задач! I.I иухаеться у вигляд! потенц!алу по-дв!йного шару (12).Тод! функц1я и{Н), що визначазться дам сп1вв!~ дношениям.е роэв'еязком задач! I.I пря умов!, що щ!ль-81сть ф б розв'яэком Штэгрального р!вняння

ф + Кф « 2/. - (16)

Не хай А ! на е влаеннм значениям внутр!-шньо! задач! Неймана (14), (16).. Тод! 1нтегралгче р!вняння (16) для крайовоÏ задач! I.I мае едянкй розв'язок при будь-ях1й пра-б!й астин1 S € 0(И).

Для ¡равильних областей d цей результат допускав уточнения.

. Теорема 1,6,9. Нехай D - правильна область. Тод! при будь-якому додатному je* яке не сп!щадае g жоднш 1з чисел у , р=0,1, ,... 1 такому, що й*не е власним значениям внутр!шьо! задач! Неймана (14), (15), !нтегральне р!вняння (16) мае «дяний розв'язок при будъ-ян!й прав!й часиш! / е 0(дъу.

Результата, вяаяог1чн1 теоремам 1.6.3 I 1.6.8, мають м1сца тя кож у випадку, коли Ira й>0 (див. теорему ЗЛО ! насл!док 3.7).

1нтегральн! р!вняння для Kpsflosoï задач! I.I, спряжен! до р!внянь (16) ! (13), можуть Сути одержан! текож, виходячи з !нтег-рашюго представления розв'язку, rate установлюзться в наступному тв рдженн!.

_Тв8рл|!5яня_1. 6^10. Нехай u( И« роЭв^язком р!вняння Гельм-юлыш .2 ) в fl\D , який обмеженяЯ у ц!й -облаот! ! задовольняе iprmnvHl умови (3). (4) ! умови вгатром!нюваннч (6), (7). Тод!

г г оок(*,р) еи(Р> Г о,

" I бу, ви * Г С о\о.

- дв * р

Аналог1чний результат мав м!сце у випадау 1т й >0.

У вежливому частинному випадку, коли 8Т> <з поверхнею оберть ння деякого контура навколо ос! 02, розв'язування одержаних 1н-тегральних р!внянь зводит^ся до посл1довного розв'язаннл однови-м!рних !нтегральних р!внянь в!дносно гармон1к ряду Фур'в по куто в!й координат! шуканих щ{льност8й потенц!ал1в простого або подз1 йного шару (див. § 8).

Зазначимо, то ще одним способом вилучанля розв'язку у випадку Га й ■ 0 в принцип граничного поглинання.

Теорема 1.7.1 (принцип граничного поглинання). Нехай к*с Я. Тод1 розв'язок хх£ р!вняняя

Ь.ис + (к' + 1С)ис - О ( £>0 ),

цо задовольняе граничн! умови (3)-(5), умову и£ « 0(1) в П\б при С—>+0 прямуе до розв'язку и задач1 1.1 в такому розум1ннЬ и^ —>и в будь-як1й облает! Ор\Ъ в метриц! простору ' (Пр\Ъ)!

—>и в будь-як!й ск!нченн!й ¿яутр1ан1й п!добласт! ш !в П\тГ в метриц! (ш). Кр!м того.и^ —>и р!вном!рно в будь-як1Й виутр1шн1й п!добласт1 0\5.

Для правильних областей мае м!сце таке уточнения поперед-нього результату.

Нехай с - правильна область. Тод! твердження теореми 1.7.1 в1рне при вс!х додатних значениях к, що не сШвпа-двють з жодним 1з чисел р=0,1»2,... .

На зак1нчення в!дм!тимо, що досл1дзгеяня паршо! глави мають конструктивна характер, так що яа IX баз1 моалива побудова е5«~ ктаигах чисельних алгоритм!в ( один такий приклад - прискорел .я зб!жност! ряду (К/), такэ, що його залишок е 0(п"г) Ут* е У(див. форму ли (9.9), (Э.Ю)); другая приклад- застосування ефективного апроксимтийно-5теративного методу , який був заяропопований Р.Н.Дзядиком, до розв'язування вказаяих вище }нтйгральних р!внянь.

У друПй глав! розглядаються гранича задачi, як! опиоуть дл'|'р!шц)г> акустичних хвиль на шрешкодах, що розташован! усвреда-н! трьохвимiрного клину. Цай шпадок В1Др13НЯ8ТЬСЯ в!д випадку розолнутого у дадарбдн1й глав! наяьн!стю ребра на границ! облает! Тй ВИГЛЯДОМ умоьи BitnpOWiHBBflHHfl. Зазначимо, що в ряд1 важ- • лишх г1дроакустичних задач клин моделюе прибережну зону океану.

Постановка задач. Введемо в R' сферичну систему координат г, ъ.'г i позначимо через (Ы(г,е,ф)е йа|г>п, 0<8ot, 0<ф<Ф } клин з vytow розталу Ф, 0<$<2icj його гракицю позначимо через <30. Нех'ай ^-оомежена в1дкрита область з границею 3D, яка складаеться !з пяченного числа дашретинни" звмкнених поверхонь клэсу С2, '■:?Kfi, да 5с й \ область fl\D зв'язна. Через 91 позначимо лШйний • ecrip кс-м,.лекснозначних фушц!й u е С* (П\§)П(!(ОМ)), як1 мають н1< ДО правильну нормальну пох!дну (див. (I))

Визнсиити функц!ю и е Сг((1\б)ПС(П\С), яка задо-кольнче в fj\6 р!вняння Гельмгольца

умояу обмашиост! и-0(1) в iJVD при In k > 0,а у випадку, кода т .<? - 0 - умову випром!нювання Зоммер1»льда на нвск!иченност!

4и(г,е,ф) + й*и( г,е,(р) = О , Im k 2 О,

(I?)

ди{г,в,ц>)/дг - 1Ш(Г,е,Ц>) а 0(г'~*), V —>«, (18)

T'iBHOMipHO по б ! ф, умову на рэбр!

(19)

ft п В

i граничн! умови

О ,

(30)

и

Щ)

Тут А-оиератор Лапласа в сферичшх координатах, Р-стзг - xmr.u-«:-ве число, f - задана неперервна функц1я на <3D, й - доякий (.чл ; дов!льно! точки ребра клину.

_3§зачэ_2^2, Визначити функцШ u е Я, що зэдовольняо (J7; .;-.'■■ t граничну умову

0u/9v\ 'g, (Г:?;

де g - задана неперервна функц!я на <3D (тут i дм; v - одтг.!!ш>-нормаль до 3D , яка направлена поза областт D).

Задача 3.2. Визначити ФуннцИо u f Я, до задовольпяз il"}- -'?r,t } граничну умову

[Bu/ôv + Xu)l » g , •aD

де g i A. - задан! кеперервн! ФункЩ ï на âD.

Ictoth» роль в вккладаем!й теорП грае Функц1я, якв на сп1вв1даошенням

ПО <*»

(Jf.fi) 8lniim%)elTi(Tm(?N) 2 [Я(п+7„)+1}Г(п^тт^1 )(П! /

mai л«о е

F " (соз 9U) Р " (соз GJJ [кг ) h (ftr,), (2?)

Г,+ У Г,*У A À

' № 'п» ,

де U (гм,Ам,фм) « 0 ' ïï - (гы'0н'<Р»> i О , а ^ H, - пр;ь

5ДНйк1 îiyHKiiîï Лежандра, .^(тЬсферичи! функцП Бесселг Ъ,',' ' • : :•• сфоричч} ФуншШ Ганкеля первого роду, 7т= т/Ф, >\= та*{гм,гг }г

г - min(_r ,г, ).

( M w

Втдемо потенШали простого Î подв1йного тару. Неясй й»."'.'!,

функцП Ф Г ф € C(0D)j тод! функц1ю

u(Jf) . Jot (ЛÍ,H> <р(1Г) dSM, и € Q\D, (24)

5D

будемо називати потенц!алом простого шару з щ!льн!стю ц>, а функ-ц!ю

6Gk(V,V)

U(JÍ)-f- ф(Н) г'" , И с П\Б, (25)

J flv "D

- готенц!алом подв!й:ного шару з щ!льн1стю ф(N).

Функц!! (24) í '(25) задовольняють р!вняння (17) i граничну умову (20),

евк(м,и)

Теорема 2,2.1. ФункцП G„ (*,ЛГ) , -- , N е 5D 1 по-

тйнц1алй простого 1 нодв!Яного меру, як! ьизначаються сп!вв!д-кокзннями _ (24) 1 (25) в!дгтов!дно , задоЕольняотъ умову. вштром!-нжвання Зоше1)фельда (18) í умову на ребр! (19). Маять м!еце те кой аскшгготичн! оц!нки

evJM.N)

G^U,i¡) - 0(0«. —^—- 0(г"'),

plBHCMlpHO ПО 0<6U<1C, 0<фм<ф .

Для Фэрмулювання теорем 1снувоння введено дэяк! 1нтегралыП оператора 1 ^авядако результата про вв'язок р9зв'язк1р чрейових задач 1.2 - 3.2 i в!дпов1даих ¥м !нтегралышх р1впянь. Нехай К, Я ¡ С'0Т))—> С(бI))' оператор* виду 0GktM>

Кф({?)= 2Г-------Ф(Ю гГЯ * é г*?).

J • " »

№ "

О

Г>(*)- 2 - <р(1Г) гЕ И 5 дс.

во "

Яф(И) - Ф(!Т> СБМ Я ( ОВ .

во

Йвражэння_2.4,1. Потвнц!ал поденного вару (25)з неперерв-ною щ!льн!ст» ф в розв'язком задач} 1.2 в П\5 , якщо ф в роэв'я эком 1нтегрального р1вняння

ф + Хф - 2/ . (26)

Твердаешя_2^4.2. "7отенц!ал простого пару (¿4)3 непврерв-ною щ1лья1ст!0 <р в розв'язком задач! 2.2 в П\5 , якщо <р з вдово-льняв Интегрально р!вняння

ф - Г<р - -2в - (27)

Тшраження^аЖ3. Потенц1ал простого шару (24)з неперерв-ною щ!льи!стю ф в розв'язком задач! 3.2 в 0\5 , якщо ф эядг'о-льняв !нтегралъному р!внянню

ф - к"ф - » -2з . (28)

1§орвмэ_2.4,.г1. 1нтегра.пьн9 р!вняння (26) для неоднор!дноК крзйово! задач! 1.2 однозначно розв'ярне при будь-як!й прав1к чвстин! / тод1 ! т!льки тод!, коли число У1 не сп!впада^ з жод-ним 1з власних значень п=1,2,... нэступно! вяутр1йньо! задач! Шймаяа:

Ли + ци » О в Б , 0u/дv О, и « «(!>)•

»50

1нтегравьне р!вняння.(27) для неоднор!дно! . крайовоК задач! 2.2 мае сдшшй розв'язок при будь-якШ правШ частил1 & тод! 1 тальки тод!, коли число & не сп!впадае з «одним 1з власних значень п=1,2,....вастугаюУ внутр!шньоК задач! Д!р!хпв1

' Ди + ци » О в о , и | =0. (29)

1дт>

Теорема_2.4.9;_ Якщо виконуетьоя умова 1т к 2 0,то штегра-льне р!вндаяя (28) для . _юднор!дно1' крайово!' задач! 3.2 мае единий розв'язок при будь-як1й прав!й частин1 £ тод1 1 ,т1льки тод1, коли числс к*не сп!впадае з жодаим !з власних значень ,

п=1,2,..., внутр1кньо1 задач! Д!р!хле (29).

Зазначшо, то л!н!йна комб!наЦ1Я потенц!ал1в

г г доли.п) 1 _

ч(М) - ] --<1, 0„(И.1Ш ф(Ю с£Зм _ и € О \ Ъ,

дт> "

простого 1 пода!йного шару а кеперврвно» щ!льн!отю ф е розв'яз-ком задач! 1.2 в Г! \ Б , якщо ф е розв'язком !нтегралыюго р!в-

няштя

ф + Кф -{Г(5ф = 2/ . (30)

Теорема 2.4.16. Нехвй 1] дов!льне додатне число, Тод! 1и тегрэльяе р1ияяяяя (30) для крайово? задач! 1.2 мче единий роз-в'яяок для вс!х значень к, що аядовольнямть умов? 1т Р £ 0 . Бм1ст теорем 4.14 , 4ЛБ I 4.19 офчрмулкимо у взгляд' нас-

тупиого твердження: крайоэ! задвч1 1.2 t 2.2 розв'яшп J при т.-му единим чином» крайова задача 3.2 однозначно роэв'ясна, яйцо викп-нуеться умова Im {JA) > 0 на въ. Поклэдемо

nDi= ((г,9,ф) € П | г<р}

-6.1 (принцип граничного поглинання). НехаЯ Im к - г.. Тод! розв'язок uf р!вняння

Шс + (ft* + iC)uc - О ( €>Q ),

що задовольняе граничн! умови (20)-(21), умову на petfpt (19) ! умову = 0(1) в Ü\D при С—>4 0 прямуе до розв'язку и задач! 1.2 в такому розум!нн!: —>u в будь-як1й облает! fipYD в метркц! простору ^''(Пр\Ъ); ü f—>u в будь-як1й ск!нче"?!й внутр!ин!Я п1добласт! ш 1з 0\D в t триц! Кр|м Toro,uf —>u р!внс~

м!рно в.будь-як!й внутр1шн!й п!добласт! П\Е>.

Зазначимо , що доведения принципу граничного поглтаання а нетрив!алытм лише у випадку Im fe = 0 через те, що в цьому

випадку ( зИдяо з теоремою 2.Ь.З) спектр самоспряжэного оператора, що в!дпов!д8е, наприклад, крайов!й задач! 1.2, заповнюз nlBBlcb №,+«>) та чисто неперервний на н!й ( в той час, як у ви падку Im Р. > О , \ = fe*- регулярна точка цього оператора). Аы-лог!чн! теорем! 2.6.1 ТЕердження мають м1сце тякож для крайових задач 2.2 1 3.2.

Bet результата ц!в! глави в!рн1, якщо граничн! умови (20) зэм)нити, наприклад,такими умовами:и(г,9,0)=0, d\i(r,e,fy/6'pj = =0. У цьому випад'-у сл!д в'важати, яю 7я=(2т-1 )п/2Ф, ям,2,. в i

В трет!й глав1 вивчен! граничн! задач! 1.3 - 3.3 в плоек!!! облает 1 0\б , дя 0 » {(г,ф) € R*|0 <т< m , --Ф <ip< о} - кутова область роэхилу 9 (г, ф - полярн! координата точки на шощгшП, О<Ф<?ж, Ъ - обмечена область з границей класу С*, що налеиитг 0.

Щ/йлусказться, sto граница Ой складаетьоя la сличенного чиола не-иератшшях захшшннх контур!в, а область П\б - зв'язною,

Еяазен! гранита! задач! опиоують розо!яння акуогичних хвиль иа неск1нчэшк> довгих цил!ндричних т!лах , як i мЮтятьоя у клин!. Зазначимо , що во! результата друго! глава в!рн! в розглядуваног ну Езшадку niai я в!дпов!даоТ заы!ни функцП 1^р!на ! умов випром!-нювання Зоямерфельда. Сформулюемо ц! аы!ни.

Функц!» Гр1на (23) наобх!дно аам1шгп на функЩю

1 aliUvVJalMvJ^Jv(fer,)H (fcr,) , (31)

irt m

fi Jp(z) 1 f'v (z) - в1дгтов!дно футацП Бесселя i Ганке-

m ta

ля першого роду поряд! ■ vm, rf, фр 1 гы, - поляра i координата

вшилйдно точок Р i U, г(= яш{гм,гр), т(п{ги,гр}. Умову Sow ффельда (18) треба зам1нитн не умову

du(r,<p}/ôr - íku(r,<p) * о(г:'"г). г —->»

plEHOMîpao по ф. Тод! дьоьим'рн i аналоги результат!в глави II гшзшавться в1рнамй у розглядуваному в дан!й глпв1 випадку.

Сд!д Еказати на таку особлив!сть двовим!рного випадку. Фуикц1я rpiha (31) представлена у настушому еигляд! t

0k(*,P) - ва(М,Р) +1/4ТС Ы ф(*,Р),

де G0(t',P) - регулярна в 0 функц!я, яка вианачаеться у вигляд! Г'КДУ

~ • , v

^(¿'.РЫ-аУФ Wv{kr<)Hv (kri --¡(r/rj mMn(vj>f)amvmvH),

mí1! m fn wi

звгалький члэн якого спадае !з швидк!отю 0 (и-3), я—>», а ф/н-кц!я фЦ'.Р) мое такий нений вирзз:

фСИ,г) = ■■ ■ ■ --■=■--—=- ,

2$ (Ф,-<рм)+ 1п(ги /гр))

1 при спIвпадаю! 1 аргумент!в мае особливЮть виду 1 /г* р .

В останньому параграф треткн глави одержан! м!н1макст сврэдньоквадратичн! оц1нки лШйних непарервних функн)онал1в ЫД рОЗВ'ЯЗИ1в ХВИЛЬОВКХ р1ЕНЯНЬ 3 НЗПОВН1СТЮ визначеними ГРОмо п1чними за часом правими чаотинамиза результатами нииерорьпил за часом неточних вим1р1в иот&ьц1алу швидкостей у дискретной сие тем! точок 1з облает! П\б (П-шар, клин чи плоскэ кутова облчс-п?

ё'

OcHOBHf положения дисергецН onyÖJitкован! в таких роботах: 1.Нодлипенко D.H. Теория потенциала для задач дифракции в клине t слое,-Киев,1988,-68с,-(Препр./АН УССР. Ин-т математики; 88.55). г.Иодшпвнко Ю.К. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца в некоторых областях о бес энэчными границами.-Киев, 1990.-59с.-(Препр. /ай УССР. Ин-т математики }90.47).

3.Подлшэнно Ю.К. О краевых задачах для уравнения Гельмгольца в клине.-Киев, 1991 .-5ю,-(Препр./АН Украины. Ин-т ме >матшси;9( .47)

4.Нодлипенко Ю.К. Интегральные уравнения для. задач дифракции в плоскопараллельном волноводе//Матем8ГИческй9 метода исследования прикладных задач динамики тел, несущих кидкость.-Киев: Ин-т математики АН Украины, 1992.-С.75-85.

5.Подлшт9! о Ю.К. О структуре спектра оператора Лапласа в сшое с ограниченными полостями//Ряды Фурье: Теория и приложения.- Киев: Ин-т математики АН Украина , 1992.-С.96-104.

6.Подлипенко Ю.К. О спектре оператора, соответствующего краевой задачэ дифракции в клине //Докл. АН Украины.-1993.-Иб.-с.45-47.

?.Подлипзнко Ю.К. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца в угле ой области. 1. //Укр.мат.курн.-1993.-45, N3.-С.403-419. б.Подлипенко Ю.К. Краевые задачи для уравнения Гельмгольца в угловой области. 2. //Укр.мат.курн.-1993.-45, N4.C.500-520. 9.11одлип0нко Ю.К. Теория потенциала для задач дифракции в слое между двумя параллельными плоакостями//Укр.мат.журн.-1993.-45,К5. С.647-663.

Ю.Подлипенко Ю.К. Принцип предельного поглощения для задач дифракции в клине // Докл. РАН.- 1992. -327,N 4-6.-0.485-488. 11 .Подшганио D-K- Использование метода граничных элементов для моделирования звуковых полей в волноводах переменного сечения //1-я Респ. науч.-техн.конф."Интегральные уравнения в прикладном моделировании". Тез. докл. -Киев, 1983.-Ч.1.- 0.206-207. ;.Подлипенко Ю.К. О применении метода интегральных уравнений дли моделирования звуковых шле^в некоторт ^неограниченных областях //2-я Респ.науч.-твхн.конф.'Шнтегральнце уравнения в прикладном" моделирований".Тез.докл. - Киев, 1986.-4.1С.194-195. 13.Подшшенко Ю.К. Применение метода граничных интегральных уравнений для расчета поля в двухслойном волноводе переменного се-чоиич-'/Э-я Р(,чпг>п!з.тонф.,'Числеттор метода в современных волновых

свдачо» акустики" « Тэз.зсал,- Ы.$ Акустический 1ш-т,19ва.0.35« К.ДэнилсзЗ.Н., язддапетхо ».Х. Црвмешт метода ангегрэлш

з аадачо расчета воля в яяошшрашюлшои еолзоводэ ш розугьтв-ггоа йкгзранкя с^стетзского даажэнвд в Одяягаы шла излучателя //адтомат®«.-1920.-Ф.бСЬ35„

ШЯх. до друку 22»С6»33. Оарэдт 50" 84/16. Пвп1р друк. 0©з. друк.

арк. Ум. е®рбо-21дб.1Д6. Овд.-взд. ара.О,Эй Ффаз 120 щ, ЗШ.2ЕЗ ^зшггсза».

Ё1ддруяавано з йотатут! .тщтекатдап АН УКраЗяа 252601 Кагв 4, ГОТ.вул.ТсрзцзпкХвсьха.з,, ,