Исследование краевых задач со смещениями для уравнений смешанного типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

А К А Д Е. М И Я НАУК СССР ОРДЕНА. ЛЕНИНА СИБИРСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ . ИНСТИТУТ ШШАТИКИ

На правах рукописи ЖЕГАПОВ ВАЛЕНТИН ИВАГОВЩ

УДК 517.956

ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ СО СМЕЩЕНИЯМИ ДДЯ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА . ■

01.01.02 -дифференциальные уравнения и математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск - 1988

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТУ

Актуальность темы. В последние года все большее внимание математиков уделяется задачам дм уравнений с частными производными, в которых краевые условия представляют собой соотношения мезду значениями искомых функций, вычисленными в различных (переменных) точках, лежащих на границе, или внутри рассматриваемой области.

Этот интерес объясняется как теоретической значимостью получаемых результатов, так и возмозгностями важных приложений. Подобные граничные условия возникают при математическом моделировании задач газовой динамики, теории плазмы, теплопроводности, излучения лазера, прогнозирования почвенной влаги, при изучении процессов размножения.клеток, бактерий и т. п. В некоторых случаях (физика сверхпроводников, радиационный перенос, процессы распространения загрязнений в воде биосферк, демография, популяционная генетика и др. биологические проблемы) граничные условия имеют интегральную форму, легко прп-водящуюся к обсуждаемому виду.

Простейшие примеры указанных краевых условий, возникающих в теплопроводности, были сформулированы В.А. Стендовым (1922 г.), а в газовой динамике - 5.И. Фрашслем ( 1956 г.). В одной из публикаций автора (1962 г.) такое граничное условие появилось из теоретических соображений: в результате объединения в одной формулировке двух возможных вариантов задачи Трикоми. А.М.Нахупевым в 1969 г. был я поставлены и изучены сразу несколько задач данного типа, а для их названия предложен термин "со смещением". В том не 1969 г. появилась статья А.В.Бицадзе и А.А.Самарского, где впервые исследована задача "со смещением внутрь области". Содержание последних публикаций привело к осознанию качественной новизны краевых задач со смещениями для теории дифференциальных уравнений в частных производных. С этого момента и начинается период интенсивного , изучения этих задач. Во многих публикациях обсуждаемые задачи | называются также нелокальными.

Настоящая диссертация посвящена постаногке краевых задач со смещениями и исследованию вопросов их разрешимости для дифференциальных уравнений смешаннохю, смешанно-составного и ги-

перболического типа.

Порвые исследования уравнений смешанного типа были выполнены Ф. Трикоми, С. Геллерстедтом и др. около 60 лет назад, но период наиболее интенсивного развития данной теории приходится на последнее тридцатилетие. Начало этого периода связано с именами М.А. Лаврентьева, A.B. Бицадзе, К.И. Бабенко, Ф.И.Франкля, Й.Н.Векуа. Ими получены основополагающие математические результаты и обнаружены связи с задачами трансзвуковой газовой динамики, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака. Дальнейшее развитие эта теория получила в работах Ю.Ы.Березанского, В.Ф.Волкодавова,, В.Н.Врагова, Д.К.Гва-завы, Т.Д.Джураева, Т.Ш.Кальменова, Е.И.Моисеева, А.М.Нахуие-ва, Л .В, Овсянникова, С.М.Пономарева, С.П.Пулькина, М.С.Сала-хитдинова, М. id. Смирнова, А.П.Солдатова, С.А.Терсенова, Т.В.Чек-марева, их учеников ш последователей. В круг зтих исследований оказались включенными и более сложные уравнения смешанно-составного типа. Быди обнаружены применения получаемых результатов в магнитной гидродинамике, теории-электронного рассеяния, при математическом моделировании биологических процессов . В настоящее время этот ванный и интересный раздел теории дифференциальных уравнений с частными производными продолжает интенсивно развиваться, Все возрастающее внимание привлекают и здесь краевые задачи со смещениями. В г.г, Алма-Ате, Куйбышеве, Ленинграде, Нальчике и Ташкенте имеются коллективы, ведущие в данном направлении ст.¿тематические исследования. Указанием на практическую важность этой работы может служить задача Франкля об обтекании профилей газом с местной сверхзвуковой зоной, оканчивающейся прямым скачком уплотнения.

Цель работы - исследование вопросов разрешимости краевых задач со смещениями для уравнений

* ^(р К>у3 * ил Г B(x,tf)Uy -t- С (x,jf) (I)

™ яду

= о

(3)

и распространение полученных результатов на случай уравнения высшего порядка вида

!г

а,

, п-к

. ОС

о.

(4)

При этом (уравнение (1^)), или

(уравнение (I,)), а совпадает с , или равно

ОХ"

+ КО/}':

(5)

Т

в случае одной искомой функции, а

I

•-"ЭХ

-ъ

1

2.

-2- 1

ол: ¡1 ,

- декартовы„ г

(6)

когда Ц -(и,, ил) ; х , у - декартовы,, г , у - полярные координаты.

Методика исследования. Широко используются методы краевых задач теории функций комплексного переменного и сингулярных интегральных уравнений. Применяя эти методы, автор стремился переформулировать соответствующие положения к более естественной ддя имеющейся ситуации форме и дополнить их новыми фактами, не вытекающими непосредственно из известных теорий. При доказательствах теор.м единственности, а также в различных других рассуэдениях используется методы дифференциальных уравнений с частными производными и интегральные уравнения Вольтерра, или Фредгольма.

Научная новизна, К ч! лу новых в диссертации относятся следующие результаты:

I. Развитие идеи смещений в граничных условиях и условиях обобщенного склеивания. Реализация этой идеи в постановках новых краевых задач для уравнений смешанного, смешанно-составного и гиперболического типа.

2. Разработка методов редукции этих краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям, или к интегральным уравнениям Вольтерра и Фредгольма. Выделение частных случаев, допускающих возможность явного решения рассматриваемых задач. Выявление условий, одесиечшзающях выполнение принципов экстремума. Доказательства теорем существования и единственности решений.

3. Получение формул, характеризующих структуру решения рассматриваемых дифференциальных уравнений и систем уравнений высшего порядка.

4. Дальнейшая разработка аппарата сингулярных интегральных уравнений и связанных с шили краевых задач теории аналитических функций: исследование одной новой краевой задачи, выделение новых случаев явной разрешимости обобщенной краевой задачи Гильберта, выявление дополнительных возможностей применимости к решению этой задачи метода последовательных приближений.

Рассмотренные задачи отличаются от изучавшихся другими авторами тем, что в них "значения искомых функций связываются более, чем в двух точках. Некоторые из задач содержат смещения и в условиях сопряжения на линии изменения типа уравнения. Однако, и в частных случаях одного смещения большинство этих задач не были изучены ранее, а частт. их являются новыми, даже если смещения отсутствуют вовсе.

Впервые к изучению уравнений смешанного типа применены I некоторые результаты теории осратных краевых задач и задач со ' сдвигами для аналитических функций, причем сами используемые | результаты несколько "дополнены (см, выше п. 2). Новые моменты внесены и в другие методы. Здесь ыосшо отметить развитие метода а при решении задачи типа Франкля, а также распространение на другие случаи метода, предложенного И.Н.Векуа для построения общего решения К - метагармонического уравнения. ■ ' -

Теоретическая и практически ценность. Работа носит теоретический характер. В ней дается систематическое развитие идеи,смещений в 1фаевых условиях для ряда уравнений с частными производными.. Используемая методика позволила исследовать различные новые задачи, а также в!-работать общую точку

зрения ка ряд изученных ранее случаев. Сведения о некоторых результатах автора были включены в монографии М.М.Смирнова (1970 и 1972 гг), в обзор В.И.Смирнова, помещенный в "Истории отечественной математики" (Клев, 1970 г., т. 4, с. 486-627), в книгу Ю.М.Крикувова "Краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа (Казань, 1986 г.).

Общие идеи работ автора, лежащих в основе диссертации, нашли отражен:, л в статьях и диссертациях ряда других математиков. Конкретные же её результаты и методы использовали и развивали В.Н.Показеев, A.B. Меряна (1972 г.), Л.И. Галиева (1973 г.)-, А.И.Патронов (1975 г.), И.Е.Ялешинская ( 1983 г.), Л.К.Астафьева (1984 г.). Уже после оформления диссертации автору стало известно, что результаты §18 главы У1 получила развитие в статье Л.Вегд >а, опубликованной зу/М'aihemat'achc jfacktickicn" за 1975 г. (т. 67). Есть основания ожидать,что методы и результаты данной диссертации найдут дальнейшие применения в исследованиях краевых задач со смещениями для более сложных уравнений. Существующее связи между уравнениями смешанного типа и различными научно-техническими проблемами позволяют надеяться на использование этих результатов и в прикладных задачах.

Апробация работы. Основные результаты диссертации по мере их получения обобщались на кафедре дифференциальных уравнений Казанского университета (руководитель семинара - проф. Л.И.Яибрикова), или на Казанском городском семинаре по крае-'-вым задачам, а также на Волжском семинаре по уравнениям в частных производных (г. Куйбышев, 1977 - 1984 гг - енегодно , руководители - проф. С.П.Рулышн и проф. В.Ф.Волкодавов ) „ Отдельные результаты сообщались на: семинарах по дифференциальным уравнениям в Московском (1970 г., руководитель - проф. М.И.Вишик) и Ленинградском (1980 г., руководитель - проф.С. Михлин) университетах; республиканских конференциях "Проблемы развития прикладных математических исследований" ; г. Шнек, 1975 г.)и "Интегральные уравнения в прикладном моделировании" (Киев, 1983 г.); всесоюзной конференции по краевым задачам и их приложениям в механике жидкости и газа (Казань, 1969 г.); всесоюзных школах-семинарах по ураг.;'Э1шяк неклассического типа (Новосибирск, 1980 и 1981 гг); У (Казань, 1984 г.) и У1

(Горький, 1986 г.) всесоюзных школах "Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики"; III международной конференции по дифференци -альным. .уравнениям и их применениям ( Болгария, г. Руссе , 1985 г.); всесоюзной конференции по краевым задачам для уравнений в частных производных (г. Куйбышев, 1987 г.). . ,* .

С обзорными докладами по материалам диссертации■автор выступал на: итоговых научных конференциях Казанского университета (1982 и 1983 гг); семинаре по уравнениям смешанного типа в Ленинградском университете (апрель 1980 г. , руководитель -проф. М.М.Смирнов); Киевском городском семинаре по теории потенциала и ' краевым задачам ( октябрь 1983 г., руководитель: -проф. С.М.Белоьосов); в институте прикладной математики им. М.В.Келдаша АН СССР (Москва, ноябрь 1984 г., руководитель -чл.-корр. АН СССР, проф. К.И.Еайенко); в институте математики СО АН СССР (Новосибирск) на семинарах:, по .неклассическим уравнениям математической физики (май 1984 г., руководитель -проф. В.Н.Врагов),, по.уравнениям переменного типа ( декабрь 1984 г., октябрь 1987 г., руководитель - проф. С.А.Терсенов), по гиперболическим уравнениям; (февраль 1985 г., руководитель -чл.-корр. АН СССР, проф. С.К.Годунов), по качественной теории дифференциальных уравнений с частными производными (июнь 1985 г., руководитель - проф. Т.И.Зеленак); в вычислительном центре СО АН СССР (май IS84 г., руководитель семинара - проф. В.Г.Романов); в.теоретическом отделе института гидродинамики им. М.А.Лаврентьева СО АН СССР (февраль 1985 г., руководитель семинара - чл.-корр. АН СССР, дроф. Л.В.Овсянников); в институте математики им. В.И. Романовского АН Уз.ССР на семинаре по уравнения:,! сметанного к смешанно-составного типа (Ташкент, январь 1985 ?.. руководитель - академик АН Уз.ССР, проф.Сала-хитдинов М.С.); в Уральском университете на сешнаре "Методы современной математической физики" (Свердловск, октябрь 1985 г., руководитель - чл.- корр. АН СССР, проф. В.К.Иванов ) ; в институте математики и механики УНЦ АН СССР (февраль 1986 г., руководитель семинара- проф. А.Ф.Сидоров); на семинаре по качественной теории уравнений с частными производными в Московском университете (март 1986 г., руководители - проф.Кондратьев В.А. и проф. Ландис Е.М.); на семинаре по современно-

му анализу е Кабардино-Балкарском университете (г.Нальчик, октябрь 1986 г., руководитель - проф. А.М.Нахушев); на семинаре отдела дифференциальных уравнений с частными производными математического института ни. В.Л.Стеклова АК СССР (г. Москва, ноябрь 1986 г., руководитель - чд.-корр. А11 СССР , проф. А.В.Бицадзе ).

Дтблккахпга. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3 - 32] . Прсстейпие реализации идей некоторых из этих работ содержатся в более ранних статьях автора [I - 2 ]. В иностранных публикациях [26, 32] и [30] речь идет об аналогах задач, рассмотренных соответственно в [25, 27] и [21].

Структура и объем работы. Диссертация изложена па 297 страницах машинописного текста и состоит из введения, шести глав, разбитых ка 20 параграфов, и списка литературы , содержащего 200 наименований работ отечественных к зарубежных авторов.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор литературы по вопросам, связанннгл с темой диссертации л кратко охарактеризованы результаты автора, изложенные в последующих глава::.

Глава I. Краевые задачи типа Трикоми, Геллерстедта и Франкля. Пусть У - интервал (0,1) оси х , "^о, - однос-вязная область при у 0 , ограниченная простой дугой п 7 , а - треугольник, образованный С/ и характерис-

тикам уравнения <1, проходящими через его концы. Области, на которые делится характеристиками, проходящими че-

рез точку (р,о) , о<р< 1 , обозначим черзз , , , I а части (о,р)и ( а, 1) - через ^ , . В__§1 изучается |

Задача 1.1. Найти функцию и е сГЪ,)/? I

/7 С1 и 3, , J=^ О, I,$. , являющуюся в ^ регулярным решением уравнения (11) при А з 3 з с а о по услови-т«

+ d.fy) »Mzpy-ty o) + es(y) и , , iimzit) *

+ 1(ц) и ff ^K4 . * ■- tj', " (8)

timzi.)*k.ty)n(p*pwy)+ *"(Р'Ц-У-ГРЯ)/* лo], ./•= «л.

+ {n-Sgn(z-p)jfg*p,*o) (x), -r C % .

Здесь <*itfi, £ «eW, ^fato)- än- if^ (x, ig*), значение p фиксировано. гаЦ £"s'u ^

В этой постановке содержатся в качестве частных случаев большинство задач, изученных для рассматриваемого модельного j уравнения ранее. Данная задача редуцирована в §1 к отысканию в области аналитической функции и по соот-> ношениям (7) и

Mj(x)u(pt&px,o) +nj(x)i?(p+lpx.o) ~ftj(x)u(p*^px-a.x, 0) -t

. (И)

+Ц.(z)v(ptipz-$x4o) + (x), X e /-£> oj, J* ъл,

где „ ..., cüj _ вполне определенные линейные комбинации коэффициентов из (8 - 10). Исследование задачи (7),(II) (она не была изучена ранее) составляет значительную часть этого параграфа. Выяснено, что . случаях

а) «а 3 п1 П1Я , />, а ;

и выполнено хоть одно из неравенств т, р^,

в) Р ~ £ и выполнено хоть одно из тождеств

эта задача сводится к;

а) обычной задаче Гильберта;

б) задаче Шварца для кусочно-аналитической функции;

в) к треугольной характеристической системе сингулярных интегральных уравнений„

Все указанные случаи (они существенно различны) содержат возможности явного решения исходной задачи 1.1. При отсутствии предполоаенпй типа а)-в) дан метод редукции задачи (?), (II) к полному сингулярному интегральному уравнению, если ^б „ - полукруг. Условие нетеровости этого уравнения есть

К подобному не уравнению возможна редукция, если явля-

ется половиной фундаментальной области некоторой группы дробно-линейных подстановок, а также при Ря£ и симметричности относительно прямой =* ~ .

На основе доказанного в этом же параграфе принципа экстремума рассмотрен вопрос об условиях, обеспечивающих единственность решения задачи 1.1. Основная часть этих условий заключается в выполнении двух равенств и четырех неравенств л»ля некоторых комбинаций из функций, являющихся коэффициентами соотношений (8)- (10).

В задаче 1.2 (§2) краевые условия связывают значения и(х,у) лишь в трех точках границы ^ # , но зато там имеются ещё интегралы двух видов ( с постоянными и переменными верхними пределами) от неизвестной функции и сё производной по у , а сама задача рассматривается для общего уравнения (1.1 при С ^ О .В данной постановке содержатся оба

варианта задачи Трикоми, а такке часть узке известных её обобщений .

При изучении этой задачи автор опирался на результаты С.П.Пулысяна, относящиеся к исследованию задачи Т. В схему рассуждений было введено дополнительное дифференцирование, а также рассмотрение некоторого вспомогательного уравнения типа Вольтерра. Это позволило редуцировать задачу 1.3 к полному сингулярному интегральному уравнении. Условия его нетеровости записываются в конечном счете через исходные данные. Затем для частных случаев данной задачи доказан принцип экстремума. Кроме того, указывается возможность получения интегрального уравнения иным способом. И в заключение более подробно и с помощью ещё одной методики изучен случай задачи Т& при А а з Б s О , С п aonst.

В §3 для уравнения (It) при /IsßsCsO формулируется задача 1.3, представляющая собой обобщение за-.дачи Ф.И. Фраякля. Обобщение заключается в том, что условие

(12)

заменено на

и (о, А (у)) = а Су) ц (о, у) + i (<f) U (- у, о) + - ЩЫ diy) и (Ш, ¡ig)

С помощью некоторого видоизменения энергетического метода 0,ßc, удалось получить условие

к'(&а.,а,$+c+d)(uii-d-c)~cond *-Ч, (13)

которое вместе с обычным требованием на части

границы, лежащей в первом квадранте, обеспечивает единственность решения. Указанное видоизменение представляется автору основным моментом данного параграфа. Затем задача 1.3 путем сравнительно небольшого усложнения сх^мы рассуждений A.B. Би-цадзе, относящейся к случаю (12) , сведена к интегральному уравнению Фрздгольма. Таким образом, требование (13) является

достаточным и дал существования решения. Отметим, что в случае обычной задачи Франкля сформулированное условие выполняется "автоматически" , ибо при <г = ^ £ ~ с а о/. = о, = левая часть (13) равна -Ц ,

Глава II. Задача для модельного уравнения в полярных координатах. Здесь речь идет о нелокальной задаче типа Трико-ми для уравнения (2), введенного в рассмотрение Б.В.Шабатом. Задачи без смещений для этого уравнения изучались также О.И.Карамышевым и Л.И.Чибриковой.

Пусть 7* - область, ограниченная отрезками логарифмических спиралей X'е* г=*е~г (~ЗГ<ч>*о) , а 71 (71) есть часть Т , лежащая вне (внутри) единичной окружности Г . 1 _

Задача 2.1. Найти функцию и £ С (^у/7 С (Т), являющуюся в 7\ и Т. решением уравнения (2) и удовлетворяющую на границе /£ соотношениям

£ {а (*)и[1,о>(*)]Лк(ч>)и{е~ +

, ' & (14)

Г-

+ С* (*)и /е а , =

а на р - некоторым линейным условиям сопряжения, тоже содержащим сдвиги о^(Ф) • Здесь ^ - гомеоморфизм Г на себя, причем (у) в сг(*)], э Ч>.

Основная отличительная черта этой задачи - наличие более общей функции сдвига ы . Задача редуцирована к отысканию аналитической в 71 Функции ич-17/ по граничному условию

^ РК М Ч/ * М^М я и>(4>). (15) * *

где ^</>) э ^ [ ^дгС^и . коэффициенты Р*. , , и) записываются через исходные данн;., а о) зависит ещё от

It^ (a) J • B частном случае зто есть обычная,

но нагруженная задача Гильберта. В § 5 выяснен характер воздействия нагружекности на разрешимость задачи, который оказывается альтернативным. А именно, если ^ - индекс задачи, то при она или безусловно разрешима и её решение зависит

от Л& произвольных постоянных, или число.этих констант увеличиваемся да единицу, но' при этом доляно быть выполнено одно условие разрешимости. Если же Q , то или существует ■единственное решение при -£зе условиях разрешимости, или в решении имеетгч одна произвольная постоянная, но .число условий разрешимости увеличивается на единицу. В общем случае задача 2.1 тссматривается при ограничениях , приводящих к исчезновению нагружениости в (15). Тогда мы имеем известную .обобщенную задачу Гильберта. Поэтому часть утверждений {тео-|рема 2.2, 2.4-2.6, 2.II-2.I3) получается как следствия из ,соответствующих разделов монографии Г.С.Лкгвинчука ( 1977 г Л Приведем здесь одно из таких следствий, относящееся к случаи, когда ot £<* (*)} а У , Цусть Ы(Ч>) изменяет ориентацию на Г и выполнены: I) тоздества рароа! - в Р<РЫ-

- % > Рол Ъо *Р, ttffi*« ; 2) хотя бы

одно из неравенств pap0oL ф р<ры, сра р^ *-p,q1ot в каждой точке Г , кроме неподвижных точек vv функции ^ if) \ 3> неравенства Р?+ О, pf+-%?4Q в точках Vat . Тогда числа решений F и условий разрешимости к задачи 2.1 подсчитывают ся по формулам

Z*max{9,i-Zgs), к в таг (о, - и' где Ш - число неподвижных точек функции oilf) , в которых Ро-Р** - ° • а

ж = { алд i

1 а р, - I q,, J г

При этом Хг>п всегда четно. Решение задачи явно записывается через так называемую конформно смеиважцта функцию &(±) , япляющуыся решением вполне определенного, безусловно и однозначно газреш'.аюго уравнения 1'редголм:а.

Другая часть содержит новые моменты, касающиеся рикаь задачи (15). Так, в указанной книге Г.С.Лятвкпчука для карле мановского сдвига при Л » & дано условие

я , (16)

обеспечивающее редукцию (15) к обычной задача Гильберта. В п. 3 §6 этот результат распространен на несколько более общий случай. Далее (п. 2 § 8 ) обнаружена аналогичная роль тождества (16) и при некарлемановском сдвиге, если дополнительно предположить, что

Р*« м . "или • (17)

А именнопусть выполнены хотя бн одно из неравенств (17) и тождество (16). Если при этом хотя одна из функций, имеющихся в выполненном неравенстве, не обращается в нуль, то задача (15) путем итераций сводится к обычной задаче Гильберта с нулевым индексом, Еэлее подробно изучен частный случай функции з й' - У . Здесь оказались возможными некоторые аналогии со случаями из §1 главы I. Это позволило указать дополнительные варианты явной разрешимости задачи (15) ( теоремы 2.7 - 2.8), а таксе свести задачу к одному сингулярному интегральному уравнению. Наконец, сформулированы некоторые условия применимости к решению,задачи (15) метода последовательных приближений ( теоремы 2.15 - 2.16 ).

Для построения классических решений рассматриваемых в диссертации задач (речь идет об области гиперболичности уравнений), нужно , чтобы решения сингулярных интегральных уравнений, получающихся в процессе исследования, были достаточ- | ное число раз непрерывно дифференцируемы. Вопрос об условиях, | обеспечивающих указанную дифференцируемость, рассмотрен в § 7 : главы II.

Глава III. Задачи для областей с частично неизвестными границами. В § 9 это.* главы сформулирован;.

Задача 3.1, В плоскости 2 ¿у определить число р> о и гладкую кривую б* заданной длины £ так, чтобы выполнялись условия:

- ^ целиком расположена в полуплоскости у ^ О и концы её совпадают с точками А (о, о) и В(Р,о) ;

- в области , ограниченной 6" и прямыми £ = х-р , у = -ос. существует решение U уравнения ( Iх ) с нулевыми коэффициентами А , & , С , регулярное при у > о и < о , непрерывно продолжимое вместе с производными первого порядка .на границу и на переходную линию у = о , а также удовлетворяющее соотношениям ,

u\

1er То 1 n>/tW

и -l)+g(x)U(zro) + с(х)и

U (х,-о) <* Ыа fx) u(z,+ о) + Vo (*), U4 (%-о) = < Чи (ос, + о)+ К (х).

о V

Здесь cce£0,pj, S е [о,£] - дуговая абсцисса .причем точке ß cor тветствует значение s = о , ft - внутренняя нормаль к 6Г , = const, у, е H (о.е) П С ,

V, € Clfo,pJ, с^, âr0 с%£о,р].

Данная постановка содержит в качестве частного случая обратную задачу околозвукового течения газа. В предположениях

= Ыа (х)[ й(х)+3.£(х) + c(x)J a const, р= Cond,

ь =.j>(х) - *(х)Шо)%(£) + хо(о) +X0(z.) - f*i(i)di]-

о

-lê(x)H»U)~e.(x)[d0 (р) % (о)* $&<rf(f)df +

+ Хо(х)+*с(р) + J Xi (i) eût J = ccnsi

P

задача редуцирована к основной обратной краевой задаче теории аналитических функций. Если при этом

s*

f^fs^-'Pof^AíJf/rJ^fJ^O, s^es-, S,^,

у/Vs) .+ v/fs) ФО, 0<s<e,

g ■ '

. и функция o(%(s) -t-p X %(í)d.% - X не меняет на £ о, e] знака, то существует единственное решение задачи 3.1. Единственность понимается здесь в обычном смысле, а не с точностью до движения (как в теории обратных краевых задач ).

В §10 аналогичная задача рассмотрена для модельного уравнения M^x-h Sg/г (xtf)Ugy—0, Здесь тоже получены условия, достаточные для существования единственного решения.

Глава 17. 0 задачах для уравнения смешанно-составного типа. Пусть ^ = U , где - внутренность

треугольника А (-i, о) , в (i, о) , с (о,-i) , а "За одно связная область при о , ограниченная отрезком А В я простой дугой б' , униформной относительно оси х- . Максимально удаленная от оси -X точка 6* есть Л (о, к) , а дуги А X" , В Ж униформны относительно оси У . Основными в этой главе являются следующие две задачи. —. .

Задача 4.I., Найти функцию ev € С (&), являющуюся регулярным в и (у = ±х) решением уравнения (3) по условиям

(<>'$)-%($).> ¡fGCo.bj, (18)

W

ег

ysf-f'-iJ. (is}

ак(х)>у(х,-зс-1) t £к(х) к (-х,-х-() +

+ ск (х) X) * й* СX) Ж) V- (20)

+ е* (х.) [ о) -1ы(-£х~/, о)/ « ф,, (х) ,

л € I- 1, О ] , к"

Задача 4.2 отличается от предыдущей тем, что (18) и (19) заменены на

* » Ц е Л-Л

а вместо (20) должна еыполняться одна из двух пар соотношений

+ ** (& ^У1 *

(21)

-Р. - ХФ - ^0.1 *

В последней формулировке содержатся две задачи: одна соответствует нижним знакам, а другая - верхним.

В отличие от предыдущих глав первая из этих задач не яв ляется обобщением ранее изученных случаев. Она возникла I связи с рассмотренным автором предварительно некоторым дооп ределением до корректности задачи Дирихле в случае уравнена (3). Для задачи 4.1 доказан принцип экстремума, а затем он редуцирована к интегральному уравнению Фредгольма. Рассужде ния выполнены двумя способами. Один из них применен затем : доказательству существования единственного решения задач

4,2. При редукции рассматриваемых задач к интегральным уравнениям автор опирался на один из результатов Т.Д.Ддураева (1961 г.). В процессе исследования задачи 4.1 пришлось рассматривать некоторую систему функциональных уравнений. Возникший при этом прием нашел применения в следующей главе.

Глава У. Задачи со сдвигами . для гиперболического уравнения. Здесь предлагаются нелокальные обобщения классических задач Кэши и Itypca для уравнения (Ij_). Постановки этих задач представляются естественными в связи с ситуацией, встретившейся в § I главы I при у 4 О .

На границе области Й : отрезке С ot i j

оси х отметим точки а(Иъ' i)> с (iT' >

ЧгУ Zt('-i<*)'

2( *(*.о>: fO-cc.o),

Задача 5.ХВ, Найти функции U е являющуюся в решением уравнения (1А) при А,В>, С & С (Щ и удовлетворяющую условиям

Ьк(*>)uta)+ (я)и. Ш)

xe[o,i]t к* 0,1.

В соотношении (22) участвуют вое оттчетке точки.

В п, 4 § 14 показано, что в оовдм случае эта задача является некорректной вплоть до наличия в решении произвольны?; Функций. Основная же часть этого параграфа состоит в отыскании условий, исключающих появление подобных некорректностей. Сначала рассмотрен частный случай (задача 5.1), когда в (221 участвуют лишь первые четыре из отмеченных точ^ч. Показано, что эта задача сводится к системе алгебраических »'шнйнпЛ и её решение -лощено при известной функция йдаана записать в явном виде, если нз обращается в нуль некоторый определитель, составленный из коэффициентов соотношений (22). Далее ьэ.,.т вариант, когда я (2211 отсутствуют лишь точка А , $ , S* d (задача 5.1 А). При дополнительном предположен;!;:

г:

е0(х)

где

е, (х)

А

(23)

дан метод редукции этого варианта задачи к интегральному уравнению Вольтерра. Сформулированы в исходных данных ограничения, когда задача оказывается или однозначно разрешимой (при одном условии согласования на у*'к(о) , рк (1) ), или имеет решение, зависящее от одной произвольной-константы (при двух условиях согласования на те же значения (я) ). Если же в (22) участвуют все отмеченные точки, задача 5ЛВ при выполнении трех тождеств типа (23) и некоторых неравенств сведена к системе нагрукенных интегральных уравнений Фредгольма. Для уравнения (1а) при А = В -з 0 , С а соп^ выделен частный случай

~ _ р

(задача 5.1В±), когда решение единственно и может быть по-

лучено в явном виде (

ак, Си

А,

должны быть при

этом связаны некоторым неравенстгом),,

В § 15 рассмотрен вопрос о разрешимости задачи 5.2, получающийся из задачи 5.1 А добавлением к левым частям (22) комбинаций

Дня изучения этой задачи используется иное, чем в §14,интег-

ралъное представление решения, по полученный результат аналогичен по своему характеру со спучаем задачи 5.1 Л: указаны условия редукции к интегральному уравнению типа Вольтерра.

В § 16 речь идет о построении в квадрате А' : О х^ 1 , 0 4 -у ^ I общего решения (содержащего некоторую произвольную функцию) задач типа Дирихле и Неймана с семью смещениями для уравнения хсолебаний стру!ш. Содержание этого параграфа носит вспомогательный характер и используется в § 17 , где изучается

Задача 5.3. Пусть - множество всех точек,

лежащих на диагоналях Я , а область , расположенная в полуплоскости и ^ 0 , образована осью х. и простой дугой £У с концами в точках (0,0), (1,0). Найти функцию и (х,у) масса еС&а)Л С(И)П (Я\7Г) , являющуюся

в и решением уравнения (1,1) с /4 = 3= С з о ,

а также удовлетворяющую условиям (7) и

а,. (х) ц(а.) + ... + АхМ а (А) = %/х) , **

х 6 [о, 1], /=/,¿,3,

где точки, в которых вычисляется & , заданы координатами: $(о,Х-0, С (1-Х, о), ¿(1>-х), е(х,0),

0[(*-х,-1), п (О, -х.) . Первые производные от и {т,у) непрерывно продолжимы из и К на интервал (ОД) оси

¿С , кроме, быть может, его концов, . где у , и^ допускается обращение в бесконечность интегрируемого порядка. На линии ^ = 0 долкны. выполняться соотношения типа (3-10) С Р- £ ' .

С помощью результатов § 16 получены условия , обеспечивающие существование единственного решения сформулированной задачи. Затем при несколько более яестком требовании на скле-вание для И^ к этой хе задаче применяется несколько иная методика, включающая в себя использование одной идеи СЛ. Со-болега (1956 г.). В результате удалось выявить другие случаи разрешимости. Сама же задача редуцируется к отысканию в 25« аналитической функции а -ь1гГ но условиям типа (7), Ш). Докпан такке принцип экстремума да данной заг^.чп.

Глава У1. Об уравнениях высшего порядка. Объектом исследования здесь являются уравнения вида (4). В § 18 предполагается, что а^ « zonsi,

0 ±м+ы r\*n п 'дт~1 j.0*Р

' (24)

£j - произвольные линейные операторы по совокупности переменных X (%/,... j х. у) , с/>= const о

В случае о¿фо оказалось возможным использовать метод, предложенный И.Н. Векуа для построения общего решения >- -метагармонического уравнения. При этом несколько усложнились лишь вспомогательные формулы , с помощью которых получается представление решения через функции ifgj (i, X, Хе) к 2 (-¿,Х) , являющиеся соответственно общими решениями уравнений

If + \е->Г = 0 (25)

и £>С% = 0 . Здесь ie - ненулевые корни полинома

а К — кратность его нулевого корня. В свою очередь, можно X (~t, X) и lTej (tединственным образом записать через решение и ( t,X) исходного уравнения в виде

2: вкГи + F (26)

АГаО / *

где - постоянные коэффициенты, а Р -известная функ-

ция. >

При и ~ о ситуация оказывается несколько сложнее: лишь для гп-1 результат получается аналогичным случаю ^ Ф О , хотя соответствующие формулы видоизменяются в большей степени. Ьсли жа "*> 4 , то приходится дополнительно предполагать, что операторы £. коммутируют между собой, а уравнение

где £ удовлетворяет (25), допускает решение, тоже удовлетворяющее (25), При этом 1Ге1 однозначно определяются через решение исходного уравнения по формулам типа (26)

лишь в случае, когда решение уравнения (27), обладающее указанным свойством, тоже определяется однозначно,

Формула (24) включает в себя роператоров, встречающихся в математической физике. Таким образом, мы получаем некоторую общую точку зрения на различные уже пвестные уравнения: поликалорические, полигармонические, поливолновые и др. Отметим, что возможность применения методики И.Н. Векуа к другим уравнениям была обнаружена также Н.Р.Раджабовым.

§ 19 посвящен краевым задачам для некоторых частных случаев уравнения (4). В области Т . , определенной при постановке задачи 2.1, рассматривается ^ хг'г)

Задача 6.2. Найти функцию и е С ( Т)/7 £(.'), являющуюся в 71 и решением уравнения и ~ о (см. (?) ) и удовлетворяющую условиям

Ы/М ■ аг- / /- ,

* \ ¥>1} •

Ч>£ [0,&зг], О,/,

где ^ , ^ - части границы Т , заданные соответственна уравнениями Ъ = (о<ч>£9г) и Х-* (-X 4 V < о) г а 'Ъ/'ЪИ^ - производная по направлению внутренней иормз-ли к к . Гомс морфизм Ы единичной окружности на

себя принадлежит классу (Г, . в декартовых координатах аналогичная задача (без смещений ) была изучена .'.!..'.!. Смирновым (1955 г.).

Используя некоторые приемы из главы У и из теория краевых задач дая полиань..итачееких функций, удаюсь .с*ог(гг.:;:-ровать условия, гч! которых существует ре'аена-э задачи 6.

определяемое с точностью до произвольной аддитивной константа.

Пусть теперь "а) есть квадрат о с х. ¿у сI , на границе которого отмечены те ке точки а , что и в задаче 5.1В.

Задача 6.3. (обобщение задачи 5.1В.,-). Найти в области «й регулярное решение уравнения (4) при X и ~ - по условие

<*-*(«)[ £*и.(а.)±1*Щ)] + сМ

. ±ГиЫ)] I (Х)[1Ч1(С)Ч-1*11(2)] + ' (28)

]~ о,,,,, ] г* о,-/..

Введя новые переменные I Ыг У , у *= ^ убеждаемся, что £ имеет вид (24) о ^ = /¿СГ17Т ( Х~?, , о/=~Х . Из. (28) с помощью (26) получаются условия задач 5.1В для калсдой из функций "и'е г . входящих в представление общего решения, известное из предыдущего параграфа, . Функция £ С¿,Х) , токе входящая в указанное представление, определяется через решение серии задач 5.1В ± дая 'уравнение-вида £тГ~ с известными правыми частями. Все это даоа возможность сформулировать условия однозначной разрешимости задачи 6.3.

По аналогичной схеме решается задача 6.4, являющаяся обобщением на случай уравнения (4), задачи Ты. 113 § I главы I.

В § 20 речь идет о системе уравнений (4), (6). Сначала получено представление общего решения, а затем в и (см. задачу 1.1) рассмотрена

Задача 6.5. Определить в и решение

I/ = (и,1Г) системы (4),(6), такое, что при к~о,,..,н~1

17 € С , а непрерывно продолжимы во все точ-

ки границы *5бв , кроме (0,0),(1,0), вблизи которых С ограничены. При этом должны выполняться условия

' £*и(х.~о) (X) I* и(х, +о) + Д (х), Х€{0,11, к* о,.,., У1-1.

Здесь ¿^ (Х„) есть оператор / в ( , (х) -2x2 - матрицы, двумерный вектор, а матрицы А* , А'^ , В~к имеют, вид рк| .

С помощью указанного вше представления общего решения дается редукция этой задачи к краевой задаче Гильберта для системы аналитических функций. Затем для системы уравнений .

¿*1/ + аIV + и = о,

х я

■ЪХ. ' Ъу

'Эх.

(29)

(30)

формулируется

Задача 6.6. Найти в реаение системы

(29) - (30) по условиям ^

+ = Р(х)гх £ [0.1],

1] (х,-о) =* У (х) и (х, + 0) + Л (х), о, О,

о) * ГМ * Л, * с *).

где А , В , С , У , Г _ заданные 2x2- матрицы.

Данная задача сводится к системе сингулярных интегральных уравнений с условиями нетеровости

' ¡Ы Ао,

-¿-1-х. -6-х

4,-1

и *

Работы автора по тема диссертации

1. Еегалов В.И, Краевая задача для уравнения смешанного типа высшего порядка. -Докл. АН СССР, 1961, т. 136, П2,с.274-276.

2. Кегалов В.И. Краевая задача для уравнения смешанного типа с граничными условиями на обеих характеристиках и с разрывами на переходной линии» - Учен. зап. /Казанск. ун-т,1962, т. 122, кн. 3, с, 3- 16.

3. Жегалов В.И» Об одной случае задачи Трщюми. - Труды семинара по краевым задачам/Казанский ун-т, 1966, вып. 3, с. 28-36.

4. Жегалов В,И, Об уравнении с постоянными коэффициентами,линейном относительно оператора Лаврентьева - Бицадзе, - Там же, 1569^ вып. 6, с. 44-51.

5. Еегалов . Об одном классе дифференциальных уравнений

высшего порядка. - Там же, 1970, вып. 7, с. 129-134.

6. Жегалов В. И. Об одном линейном дифференциально - операторном уравнении. - Там же, 1971, вып. 8, с. 70-79.

7. Жегалов В.И. Одно обобщение задачи Трикоми. - Там же, 1974, вып. II, с. 43-52.

Кегалов В.И. Об одной системе уравнений смешанного типа высшего порядка. - Изв. вузов, Математика, 1975, №6, с. 25-35.

9. Жегалов В.И. Об одном обобщении полианаяитлческих функций. - 'Груды семинара по краевым задачам / Казанок, ун-т, 1375, вып. 12, с. 50- 57.

10. Еегалов В.И. О некоторых системах уравнений смешанного типа. - Там же, 1977, внп. 14, с. 81-89.

11. Еегалов В.И. Задача типа Трикоми с пятью смещениями в гиперболической части области. - Там же, 1970, вып. 15 , с. 48- 52.

12. Негадов В.И. Задача Франция со смещением. - Изв. вузов, Математика, 1379, .19, с. 11-20.

13. Жегалов В.И. К задачам со смещениями для уравнений смешанного типа. - Труды семинара по краевым задачам/ Ка-занск. ун-т, 1980, выл. 17, с. 63-73.

14. Еегаяоз В.й. К задаче Трикоми с условиями смещения и обобщенного склеивания. - Там же, 1981, выл. 18, с.61- 68.

15. Еегаг^в В.И. Одновременное обобщение задач Трикоми и Геллерстедта. - В кн: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений математической физики /Ин-т-матем. СО АН СССР. Новосибирск, 1981, с. 58-61.'

16. Еегалов В.й. К задачам со свободными границами для уравнения Лаврентьева-Бкцадзе. - Казань, 1981, - 22 е.- Рукопись представлена Казанским ун-том. Деп.в ВИНИТИ 8 июня 1981 г., Л2751 - 81.

17. Еегалов В.И. Задача с несколькими смещениями для уравнения смешанно - составного т;пта. - Изв. ву Математика, 1982, № 10, с. 15-18.

18. Еегалов В.И. К задачам со смещениями для уравнений смешанно-составного типа. - В кн: Неклассическиз задачи уравнений математической физики / Кн-т матем. СО АН СССР. Новосибирск, 1982, с. 75 - 77. . .. ; :

19. Жегалов В.И. Две задачи со смещениями для уравнения смешанно-составного типа. - Труда семинара по краевым задачам /Казанск. ун-т, 1983, вып. 19, с. 73-79.

20. Жегалов В. И. Об одной ¡Ефаевой задаче со смещениями дош уравнения смешанного типа 4-го порядка. - Изв. вузов, Математика, 1984, №2, с. 64 - 66.

21. Жегалов В.И. Об одной краеЕОй задаче для уравнения Лаврентьева- Бщадзе в полярных координатах. - Там ке, 1984, )Ь 3, с. 38-44.

22. Жегалов В.И. Об одной задаче с произвольным смещением дня уравнения смешанного типа. - В кн: Дифференциальные уравнения/ Куйбышевск. лед. ин-т, 1984, с. 57-60.

23. Жегалов В.И. О некоторых случаях обобщенной краевой задачи Гильберта. - Труда семинара по краевым задачам / Казанский ун-т, 1984, вып. 21, с.'70-76.

24. Жегалов В.И. К задачам со смещениями в краевых условиях для общего уравнения Лаврентьева-Бицадзе. - В кн: Корректные краевые задачи для неклассических уравнений матема-. тнческой физики /Ин-т матем. СО АН СССР. Новосибирск,

1984, с. 63 - 73.

25. Еегалов В.И. Задача Гурса со смещениями. - Труды семинара по краевым задачам/Казанский ун-т, 1985, вып. 22 , с. 79-87.

26. Еегалов В.И. О паевых задачах со смещениями для гипербо-. лического уравнения с применением к уравнениям смешанного типа. - В кн: Третья конференция но дифференциальным уравнениям и применениям. Болгария-, г. Руссе, 30 июня -6 июля 1285 г.: Тез. докл. - НРБ, г, Руосе, 1985, 'с. 41.

27. Еегалов В.И. Нелокальная задача Дирихле для уравнения смешанного типа. - В кн: Неклассические уравнения математической физики / Ин - т матем. СО АН СССР. Новосибирск,

1985, с. т68- 172.

28. Еегалов В.И. К краевым задачам со смещениями для уравнения Лаврентьева - Бицадзе . - Изв. вузов, Математика, 1986, »3, с. 61-64.

29. Жегалов В.К. Об одном принципе экстремума. - В кн: Уравнения веклассического типа. /Ин-т матем. СО АН СССР. Новосибирск, 1986, с. 58-61.

30. títega&t V.l. On ihi TiUctni pioSSa/n „¡¿i mn-FoictS goumtA. 7 conditions. - .3 кч: foxed Тур £$h*Íío»s (Тс* fact- Text ъа Maihemtdik, ßd.9o). Zeipyja-. ßSß Teugnez, p- 3¿>/-3П.

31. Жегаяов В.И. 0 задачах типа Дирихле со сдвигами для уравнения Лаврентьева - Бицадзе. - Труды семинара до краевым задачагл/Казанск. ун-т, 1987, вып. 23, с. 81-88.

32. Жегаяов В;И. О краевых задачах со смещениями для уравнений гиперболического и смешанного типа. - В кн.* rtiffieten-iiaS Вf nations and Applications. (7). Pzocecdln^s of zf/ze Thltcl Conference Rousb&'SS, Bufoaxta*. - Изд. в НРБ,

' г, Fycce, 1987, с. 139-142. g

Подписано к печати 22.01.88 Ш 08059 Формат бумаги 60x84 I/I6 Объем 1,8 л.л., 1,33уч.-изд.л. Заказ 60 Тираа 100 экз.

Отпечатано на ротапринте Института математики СО АН СССР