Исследование критического поведения структурно неупорядоченной трехмерной модели изинга тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ
|
Криницын, Александр Сергеевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Омск
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
Криницын Александр Сергеевич
ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СТРУКТУРНО НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА
01.04.02 - теоретическая физика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
003161510
Омск - 2007
003161510
Работа выполнена на кафедре теоретической физики Омского государственного университета
Научный руководитель доктор физико-математических наук,
профессор Прудников Владимир Васильевич
Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,
профессор
Тейтельбаум Григорий Бенционович
доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник Холопов Евгений Викентьевич
Ведущая организация Институт физики
ДагНЦ РАН, г Махачкала
Защита состоится "08" ноября 2007 г в 16 часов на заседании диссертационного совета К 212 179 02 при Омском государственном университете по адресу 644077, г Омск, пр Мира, 55а
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Омского государственного университета
Автореферат разослан ",3." октября 2007 г
Ученый секретарь
диссертационного совета
кандидат физико-математических наук
Вершинин ГА
Общая характеристика работы
Актуальность темы
Исследование критически о поведения неупорядоченных систем с замороженными дефектами структуры представляет большой теоретический и экспериментальный интерес Это обусловлено тем, что большинство реальных твердых тел содержат замороженные дефекты структуры, присутствие которых влияет на характеристики систем и, в частности, может существенно сказываться на поведении систем при фазовых переходах Влияние беспорядка обычно проявляется как случайные возмущения локальной температуры для ферро- и антиферромагнитных систем в отсутствие внешнего магнитного поля Исследования показали [1] что присутствие случайно распределенных замороженных точечных дефектов структуры изменяет критические свойства систем, теплоемкость которых в однородном состоянии испытывает расходимость в критической точке с показателем а > 0 (критерий Харриса) Данному критерию удовлетворяют системы с эффективным гамильтонианом, соответствующим трехмерной модели Изинга Критические характеристики модели Изинга со случайно распределенными немагнитными примесями являются предметом тщательного исследования как теоретического [2], экспериментального [3], так и численного [2] Экспериментальные исследования [3] показали хорошее согласие теоретических результатов для слабо неупорядоченных систем с беспорядком типа случайная температура с опытными данными Однако, по-прежнему, много вопросов здесь остаются открытыми и являются предметом многочисленных исследований Например, не ясно изменяются ли характеристики систем в зависимости от степени разбавления немагнитными атомами, или имеет место универсальное критическое поведение во всем диапазоне концентраций примеси вплоть до порога перколяции
Цель работы
Целью настоящей диссертации является
- исследование неупорядоченной ферромагнитной модели Изинга с дефектами типа случайная температура методом Монте-Карло в близи температуры фазового перехода с целью выявления различных типов универсального критического поведения
- численное определение с использованием методов Монте-Карло равновесных критических индексов и критических температур для трехмерной модели Изинга в широком диапазоне изменения спиновых концентраций (0 50 < р < 0 95), применяя процедуру конечноразмерного скейлинга с учетом асимптотических поправок к скейлингу,
- расчет значений динамического критического индекса г для однородных трехмерных и двумерных систем, описываемых моделью Изинга, а также слабо неупорядоченных изингоподобных систем методами суммирования асимптотических рядов,
- определение динамического критического индекса г и равновесных критических индексов для слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга со спиновой концентрацией р = 0 80, используя численный метод коротковременной динамики Сопоставление полученных значений критических индексов с результатами теоретико-полевого расчета при применении методов суммирования асимптотических рядов
Научная новизна результатов
1 Впервые к анализу результатов численного моделирования неупорядоченной модели Изинга применена процедура конечноразмерного скейлинга с определением функциональ-
ной формы скейлинговых функций и последующим расчетом критических индексов и критических температур Вид полученных скейлинговых функций и рассчитанные значения критических индексов указывают на наличие двух классов универсального критического поведения, отвечающих слабой {р — 0 95,0 80) и сильной (р = 0 60,0 50) неупорядоченности
2 Впервые осуществлено последовательное применение методов суммирования Паде-Бореля, Паде-Бореля-Лероя и конформного отображения с последующим применением аппроксимации Паде (метод конформного Паде-Бореля) для определения значений динамического критического индекса г для однородных трехмерных и двумерных систем, описываемых моделью Изинга, а также слабо неупорядоченных изингоподобных систем
3 Впервые, используя метод коротковременной динамики, определены динамический индекс г, равновесные критические индексы, а также индекс поправки к скейлингу для слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга
Научная и практическая значимость работы
В настоящее время компьютерное моделирование различных систем становится альтернативой физическому эксперименту и зачастую единственно возможным способом получения достоверной информации Важной областью применения методов компьютерного моделирования является теория критического поведения сильно неупорядоченных систем, когда невозможно проведение аналитического описания
При аналитическом описании критического поведения, возникающие ряды теории возмущений являются асимптотическими Для получения достоверной информации необходимо использовать специально разработанные методы суммирования Требования к точности этих методов зависят от порядка теории возмущений и особенно возрастают при описании неравновесного критического поведения неупорядоченных систем
Практически все реальные материалы содержат примеси и другие дефекты структуры Исследование их влияния на тип и характеристики фазовых переходов - насущная задача современной физики
Разработанные в диссертации методы и полученные результаты вносят существенный вклад в разработку численных методов, обоснование и развитие представлений теории критических явлений неупорядоченных систем, являются отправной точкой для последующих исследований в данной области теоретической и компьютерной физики
Основные положения, выносимые на защиту
1 Методика определения функциональной формы скейлинговых функций, а также значений критических индексов и критических температур для неупорядоченной трехмерной модели Изинга при применении процедуры конечноразмерного скейлинга
2 Возникновение при концентрации спинов большей порога спиновой перколяции двух классов универсального критического поведения, отвечающих слабой и сильной неупорядоченности
3 Методика расчета динамического критического индекса для модели Изинга методами суммирования асимптотических рядов
4 Методика определения значений динамического критического индекса и равновесных критических индексов для слабо неупорядоченной трехмерной модели Изинга при применении численного метода коротковременной динамики
Апробация работы
Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на III Международном симпозиуме по вычислительной физике (Ханчжоу, Китай, 2006), XII Молодежном семинаре по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 2006), Международной конференции "Фазовые переходы, критические нелинейные явления в конденсированных средах" (Махачкала, 2007), а также на научных семинарах кафедры теоретической физики ОмГУ Публикации
Список публикаций автора по теме диссертации включает 10 статей и тезисов докладов, опубликованных в российских журналах, сборниках трудов и материалах конференций Личный вклад соискателя
Криницын А С принимал непосредственное участие на всех этапах научно-исследовательской работы по теме диссертации в постановке задач исследования, проведении аналитической и вычислительной работы на ПЭВМ, анализе и обсуждении результатов расчета Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, четырех глав, и заключения Объем диссертации -126 страниц машинописного текста, в том числе 23 рисунка, 8 таблиц, и список цитируемой литературы из 128 наименований
Краткое содержание работы
Во введении обоснована актуальность выбранной темы диссертационной работы и сформулированы основные цели исследований
В первой главе, носящей обзорный характер, в краткой форме излагается содержание ряда концепций и методов, применяемых для описания критических явлений Рассматривается влияние беспорядка типа случайной температуры фазового перехода на критическое поведение систем
Во второй главе осуществлено компьютерное моделирование неупорядоченной трехмерной модели Изинга определены функциональная форма скейлинговых функций и значения критических индексов и критических температур
Рассматривается модель неупорядоченной спиновой системы в виде кубической решетки с линейным размером Ь и наложенными граничными условиями Микроскопический гамильтониан неупорядоченной модели Изинга записывается в виде
где З%3 - короткодействующее обменное взаимодействие между закрепленными в узлах решетки спинами с,, принимающими значения ±1 Немагнитные атомы примеси образуют пустые узлы Числа заполнения рг при этом принимают значения 0 или 1 и описываются функцией распределения
ср=1-с, где с - концентрация атомов примеси Примесь равномерно распределяется по всей системе, и при моделировании ее положение фиксируется для отдельной примесной
(1)
РЫ=(1-р)5(Рг)+рй(1-Рг)
(2)
конфигурации В процессе исследования были рассмотрены неупорядоченные системы со значениями спиновых концентраций р = 0 95,0 80,0 60,0 50
Для снижения влияния эффектов критического замедления и корреляции различных спиновых конфигураций в работе был применен наиболее эффективный в этом смысле од-нокластерный алгоритм Вольфа За один шаг Монте-Карло на спин (МСЭ) принималось от 10 до 20 переворотов кластера Вольфа в зависимости от линейного размера моделируемой решетки, спиновой концентрации системы и близости температуры к критической точке Процедуре установления термодинамического равновесия в системе отводилось 104 шагов Монте-Карло и 105 шагов Монте-Карло отводилось на статистическое усреднение моделируемых величин при заданной примесной конфигурации Для определения средних значений термодинамических и корреляционных функций наряду со статистическим усреднением применялось усреднение по различным примесным конфигурациям для систем с р = 0 95 усреднение проводилось по 3000 образцов для р = 0 80 по 5000 образцов, для р = 0 60,0 50 по 10000 образцов
В процессе моделирования различных спиновых систем на решетках с линейным размером Ь осуществлялся расчет корреляционной длины и восприимчивости хь в соответствии со следующими соотношениями
где (ж1>г, х2- координаты г-го узла решетки, < > означает статистическое усреднение по шагам Монте-Карло, а черта сверху - усреднение по примесным конфигурациям Была определена температурная зависимость и Хь(Т) в температурном интервале
т = (Т — Тс)/Тс ~ 5 Ю-4 —10~2 для образцов с р = 0 95 и линейными размерами в интервале Ь = 20 — 400, для образцов с остальными спиновыми концентрациями температуры выбирались в интервале т ^ 10~3 — Ю-2 при изменении Ь в интервале от Ь = 20 до Ь = 300 При компьютерном моделировании, если это было возможно, значение Ьтах для каждой температуры ограничивалось тем размером решетки, при котором корреляционная длина и восприимчивость системы выходили на свои асимптотические значения
Известно, что настоящий фазовый переход второго рода может проявиться лишь в термодинамическом пределе, когда объем системы и количество частиц в ней стремятся к бесконечности Для определения асимптотических значений термодинамических величин А(Т), испытывающих аномальное поведение вблизи критической температуры, по их значениям А^'Г), определяемым на конечных решетках, широко используются представления теории скейлинга об обобщенной однородности термодинамических функций в критической области относительно масштабных преобразований системы на основе которых были развиты различные методы конечноразмерного скейлинга В диссертации был
(3)
где 5 = £р,«г, Г = < Ф >/рЬ3,
:
Рис. 1: Усредненные скейлинговые функции для корреляционной длины (а) и восприимчивости (Ь), полученные с использованием полиномиальной от х (символы) и от ехр( — Х/х) (сплошные линии) аппроксимаций
применен метод, предложенный в [4] и аппробированный авторами на анализе результатов моделирования критического поведения двумерной и трехмерной однородных моделей Изинга.
Согласно теории скейлинга, размерная зависимость некоторой термодинамической величины А^, определенной на конечной решетке, в отсутствие внешнего магнитного поля может быть представлена в критической области в виде
Al{T) = A{T)Qa(xl(T)), Xl(T) = U(T)/L. (5)
Это приводит к соотношению, позволяющему определять асимптотическое значение любой термодинамической величины посредством измеряемых значений и скейлинговой функции Qa от ®¿(r) = í\l{T)/L. Скейлинговая функция Qa(xl) в критической области должна удовлетворять асимптотическому условию HmQ^(i) —► 1.
х—'О
Для того, чтобы удовлетворить асимптотическому условию, скейлинговые функции для восприимчивости и корреляционной длины (по аналогии с работой [4]) выбирались как в виде полиномиальной зависимости от х: Qa{x) = 14- с»1"' так и полиномиальной функции от экспоненты e~l/z: Q,\{x) = 1 + °пе"/х • с подбираемыми по методу наименьших квадратов коэффициентами с^ для каждой температуры Т.
На рисунках 1(а) и 1(Ь) представлены усредненные по различным температурам скей-линговые функции для корреляционной длины (рис. 1(а)) и восприимчивости (рис. 1(Ь)) для различных спиновых концентраций р, полученные с использованием полиномиальной аппроксимации как от х, так и от е-1-'1. Усредненные скейлинговые функции наглядно демонстрируют существование двух классов универсального критического поведения для разбавленной модели Изинга с различным характером их поведения для слабо (р = 0.95,0.80) и сильно (р = 0.60,0.50) неупорядоченных систем.
На основе усредненных скейлинговых функций для различных спиновых концентраций был проведен расчет асимптотических значений £(Т) и х(Т), отвечающих Т = 4.265,4.275,
4 280,4 285,4 295,4 315,4 335 для р = 0 95, Т = 3 51,3 52,3 53,3 54,3 55,3 57 для р = 0 80, Т = 2 430,2 435,2 440,2 445,2 450,2 460 для р=0 60 и Г = 1 851,1 854,1 857,1 861,1 865, 1 874 для р = 0 50
Асимптотический критический индекс 5 термодинамической величины А(т) описывается выражением
Мт) = А±\т\~*, (6)
т— 0 1п |Т|
где А+ и А- - критические амплитуды выше и ниже критической точки, соответственно Степенной закон типа (6) является точным лишь в пределе г —+ 0 Для расчета критических индексов в промежуточном неасимптотическом режиме необходимо вводить дополнительные поправочные слагаемые к степенному закону (6) В соответствии с разложением Вегнера [5]
А(т) = (А0 + А^" + Д2т+ ) т""5 (г > 0), (7)
где Аг - неуниверсальные амплитуды, и - критический индекс поправки к скейлингу В диссертации для расчета характеристик критического поведения для неупорядоченных систем учитывалась только первая поправка к асимптотическому поведению для корреляционной длины и восприимчивости
?(т) = (А£ + АУ)т-", 0 = и>и (8)
х(т) = (А*+АУ) т-т (9)
Был проведен расчет значений критических индексов и, 7 и в, а также критических температур, используя метод наименьших квадратов для наилучшей аппроксимации асимптотических значений £(Т) и х(Т) выражениями (8) и {9), соответственно В таблице 1 представлены полученные для различных спиновых концентраций р значения критических характеристик при использовании исходных данных, соответствующих различным аппроксимациям для скейлинговых функций, а также их усредненные по аппроксимациям значения Видно, что критические индексы образуют две группы, близкие по значениям в пределах погрешностей вычисления одна группа с р = 0 95,0 80, т е для слабо неупорядоченных систем со спиновыми концентрациями р, большими порога примесной перколяции р1тр (для кубических систем р1тр = 0 69), другая с р — 0 60,0 50, т е для сильно неупорядоченных систем с рс < р < р,гпр, где рс - порог спиновой перколяции (для кубических систем рс — 0 31), когда в системе существуют два взаимопроникающих протекающих кластера - спиновый и примесный Фрактальные эффекты этих двух пронизывающих друг друга кластеров могут явиться причиной изменения характера критического поведения для сильно неупорядоченных систем
В качестве итоговых можно рассматривать усредненные значения критических индексов и — 0 693(5), 7 = 1342(7), 9 = 0 157(92) для слабо неупорядоченных систем и и = 0 731(11), 7 = 1 422(12), в = 0 203(106) для сильно неупорядоченных систем Отметим, что полученные значения критических индексов для слабо неупорядоченных систем хорошо соотносятся со значениями и = 0 678(10) ,7 = 1 330(17) в = 0 170(71) (и = 0 25(10)), полученными в [6] ренормгрупповыми методами в шестипетлевом приближении и справедливыми лишь для систем с малыми концентрациями примесей
Таблица 1: Значения критических характеристик для двух типов аппроксимаций (pol) и (ехр) и их усредненные (aver) значения для систем с различными спиновыми концентрациями р___
1/7 ö£ 0х То
р=0.95 pol ехр aver 0.6883(15) 1.3339(25) 0.141(52) 0.152(50) 4.26264(4) 4.26269(3) 0.6935(26) 1.3430(33) 0.113(64) 0.142(54) 4.26265(5) 4.26270(3) 0.6909(33) 1.3385(54) 0.137(56) 4.26267(4)
р=0.80 pol ехр aver 0.6960(29) 1.3473(30) 0.180(107) 0.193(74) 3.49937(21) 3.49954(14) 0.6947(28) 1.3421(30) 0.147(94) 0.192(71) 3.49940(21) 3.49961(14) 0.6956(29) 1.3447(40) 0.178(87) 3.49948(18)
р=0.60 pol ехр aver 0.7272(37) 1.4253(34) 0.221(147) 0.201(63) 2.42409(11) 2.42404(6) 0.7233(24) 1.4054(43) 0.184(92) 0.192(109) 2.42414(8) 2.42423(7) 0.7253(36) 1.4154(107) 0.199(103) 2.42413(9)
р=0.50 pol ехр aver 0.7372(25) 1.4299(26) 0.164(159) 0.195(74) 1.84503(7) 1.84512(3) 0.7368(26) 1.4266(30) 0.242(96) 0.226(66) 1.84503(7) 1.84519(3) 0.7370(33) 1.4283(33) 0.207(100) 1.84509(6)
Полученные значения критических индексов и и 7 находятся также в достаточно хорошем согласии с имеющимися результатами экспериментальных исследований разбавленных изингоподобных магнетиков, а также с результатами моделирования методом Монте-Карло критического поведения разбавленной модели Изинга (см. приведенные в |2] таблицы значений критических показателей).
В третьей главе осуществлено применение методов суммирования асимптотических рядов для расчета динамического критического индекса г, определяющего критическое замедление времени релаксации системы г ~ ~ |Т — Тс|-2" вблизи температуры Тс фазового перехода второго рода (£ - корреляционная длина, и - индекс корреляционной длины).
Индекс 2 для однородной системы определяется через динамические скейлинговые функции 0 (д) и 7д(р):
г = 2 +7Л(Я,
где фиксированная точка д* находится из уравнения /9(д*) = 0. Функции (5{д) и у\{д) могут быть вычислены в виде рядов по д. Для размерности пространства ¿, близкой к четырем, координата неподвижной точки д" функции 0(д) принимает малые значения. В этом случае применимы методы теории возмущений по константе связи д ~ 4 - ё и можно подсчитать критические индексы. Для реальных систем с в, — 3, 2 ряды по д являются асимптотическими и для их суммирования нужно применять специальные методы, не основанные на представлениях теории возмущений [7, 8|. Явный вид 0(д) в шестипетлевом приближении для трехмерных систем и в четырехпетлевом приближении для двумерных систем был получен в работах [7, 8]. В работе ¡9] был проведен расчет динамических скейлинговых функций 7х в четырехпетлевом приближении для двумерной и трехмерной модели Изинга.
Согласно методу Липатова [10|, асимптотическое поведение коэффициентов рядов те-
ории подчиняется уравнению
оо
= c„«c(-a)Vn'[H-0(l/n)] (n-oo) (10)
п=О
Сшивка асимптотики (10) со значениями первых коэффициентов дает информацию обо всех членах ряда и позволяет приближенно восстановить функцию ß(g), однако это требует специальной процедуры суммирования асимптотически сходящихся рядов Для суммирования подобных рядов разработаны специальные методы, из которых наиболее эффективными являются методы Паде-Бореля, Паде-Бореля-Лероя и конформного отображения
Идея метода Паде-Бореля состоит в том, что ряд типа (10) представляется интегралом
7 00
/(<?) = / dte-'Bigt), В(д) = £ Впдп, Вп = Щ (11)
{ -о П
В(д) в выражении (11) носит название борелевского образа Борелевский образ в соответствии с асимптотикой (10) сходится в круге радиуса 1 /а К В{д) затем применяется аппроксимация Паде, состоящая в использовании для В(д) рациональной функции вида
l
£ а,дг
[L/M] = - (М > 1), (12)
J=0
разложение которой в ряд Тейлора (в окрестности точки д = 0) совпадает с разложением борелевского образа до тех пор, пока это возможно
Обобщением метода Паде-Бореля является метод Паде-Бореля-Лероя, для которого формула (11) записывается в расширенной форме
f(g) = J dte~tB(gtb), В{д) = £ Впд", Вп = 1}, (13)
где Ь - произвольный параметр В простейшем случае реализации метода, например, рассматриваются значения 6=1иЬ = 2,а затем анализируются изменения в аппроксимациях ряда за счет изменения параметра 6, которые позволяют сделать вывод о погрешностях аппроксимаций методами Паде-Бореля и Паде-Бореля-Лероя В нашем случае применения метода Паде-Бореля-Лероя к рядам, определяющим характеристики критического поведения однородных и неупорядоченных систем, выбран в качестве тестового ряд
„ , ч ^ з 21 2 333 , 30885 , 916731 , 65518401 .
Во(д) = Е^" = 1 + - + — - —д* + - + (14)
п=0
для точно решаемой задачи об энергии ангармонического осциллятора с асимптотической сходимостью ряда, аналогичной рядам теории критических явлений Поэтому при применении метода Паде-Бореля-Лероя к рядам теории критических явлений планируется
использовать те значения параметра Ь, которые приведут к наилучшим аппроксимациям ряда (14)
Рассмотрим теперь основные принципы применения метода конформного отображения к борелевскому образу (при Ъ = 1) В соответствии с асимптотикой (10) борелевский образ аналитичен в комплексной плоскости д с разрезом от — 1 /а до — ос Т к интегрирование в (13) осуществляется по всей вещественной оси то возникает необходимость в аналитическом продолжении В(д) за пределы круга сходимости < 1 /а на произвольные комплексные д, реализуемое конформным преобразованием д — w(u) с
/л А и (1 + ад)1/2~1
w{u) = á(i^> M=(l + ag)V»+i- <15)
отображающим плоскость с разрезом на единичный круг )и| < 1 Таким образом представление В(д) в виде ряда по и дает сходящийся ряд при любых д
оо оо
В(д) = £ B<¿) = Е и"и">
«=О п—0
п /4\m
m= 1 ^ '
Эта. формула решает поставленную задачу борелевский образ В(и(д)) сходится для любых особых точек д — оо,д = —1/а и р = д0 с £о € (—со,—1/а), a коэффициенты [/„ для него связаны линейным преобразованием с исходными коэффициентами сп и параметром Ь (см формулу (13)) Поскольку для любых д переменная \и\ < 1, то к ряду по переменной и можно эффективно применять аппроксимацию Паде Назовем такую процедуру методом конформного Паде-Вореля
На рисунке 2 представлено сравнение применяемых к ряду для энергии основного состояния ангармонического осциллятора аппроксимаций с точными значениями Е0 при использовании метода Паде-Бореля с различными типами аппроксимант Паде [L/M] а также методов Паде-Бореля-Лероя и конформного Паде-Вореля (при а = 3 [11]) с аппрок-симантой [1/1] Из рисунка видно, что погрешность аппроксимации методом Паде-Бореля сильно растет с увеличением значений д, хотя ситуация улучшается с ростом числа учитываемых членов ряда N и с использованием диагональных и близких к диагональному виду аппроксимант Методы же Паде-Бореля-Лероя при 6 = 2 221426 (в выражении (13)) и конформного Паде-Бореля даже для аппроксиманты [1/1] дают результаты, близкие к точным значениям Е0 в рассматриваемом интервале изменений переменной д С ними оказываются сравнимыми по точности лишь результаты использования "лучшей "диагонального вида аппроксиманты [2/2] в методе Паде-Бореля
Рассмотрим теперь применение выше описанных методов к расчету динамического критического индекса z для однородной модели Изинга описывающей критическое поведение систем с размерностью d = 2 и á = 3 В методах Паде-Бореля и Паде-Бореля-Лероя при суммировании ряда для функции 2 + 7д использовалась наилучшая (суммируемая) для них аппроксиманта четвертого порядка [3/1], а в методе конформного Паде-Бореля оказались нееуммируемыми все аппроксиманты, отличные от [Лг/0], в результате чего
E0(g
4212]
1511) [1/1] [1/31
9
Рис 2 Результат применения методов суммирования к расчету энергии основного состояния ангармонического осциллятора, Е0 - точное значение энергии, а — 3 в методе конформного Паде-Бореля
был реализован лишь простой метод конформного отображения Процедура усреднения результатов с учетом аппроксимант порядка N > 4 позволила получить следующие значения заряда д* в неподвижной точке и индекса г при применении методов Паде-Бореля (РВ), Паде-Бореля-Лероя (ВЬ) и конформного Паде-Бореля (СВ)
Отметим, что все полученные значения заряда д* в неподвижной точке для d = 3 хорошо согласуются с результатом работы Ле Гийу и Зин-Жустина [8] д* = 1 416 ± 0 005
Усреднение приведенных выше значений, полученных разными методами, дает итоговые величины
При описании критическою поведения структурно неупорядоченных систем с замороженными в узлах решетки немагнитными атомами примеси или вакансиями, играющими роль точечных дефектов структуры, возникает дополнительная вершина взаимодействия V, определяющая эффекты взаимодействия флуктуаций параметра порядка через поле дефектов
РВ д* = 1 7987 ± 0 0285, д' = 1 4270 ± 0 0079, BL д* = 1 7012 ± 0 0163, д* = 1 4125 ± 0 0049, СВ д' = 1 8193,
д' = 1 4231 ± 0 0021,
z = 2 0847 ± 0 0027 (d = 2), z = 2 0171 ± 0 0002 (d = 3), 2 = 2 0757 ± 0 0015 (d= 2), z = 2 0168 ± 0 0001 (d = 3), z = 2 0922 (d = 2),
z = 2 0372 ± 0 0001 (d = 3)
д" = 1 4205 ± 0 0038, г = 2 0213 ± 0 0018 (d = 3), д" = 1 7638 ± 0 0278, г = 2 0826 ± 0 0033 (d = 2)
В этом случае рассматриваются функции /З3 и /?„, которые зависят от д и V как от параметров модели Неподвижные точки (д*,и") ренормгрупповых преобразований определяются нулями функций /39 и /3„ Р9{д",у*) — 0, ,3„(д*,у*) — 0, а индекс г - значением функции 7\{д*,у") в соответствующих устойчивых неподвижных точках ренормгруппо-вого преобразования Как и для однородных систем функции /Зд, Д, и 7д могут быть вычислены в виде рядов по д и у лишь для размерности системы с/, близкой к четырем, а для реальных систем с с1 = 3 ряды под и и являются лишь асимптотически сходящимися Явный вид функций вд, ,(3„ и 7л был получен в работах [6] и [12], соответственно в шестипетлевом и трехпетлевом приближениях
Поскольку ряды теории для функций Д,, Д, и 7д будут двухпараметрическими
(»,7=0,1,2, ), (17)
методы, описанные выше, к таким рядам напрямую применять нельзя Они нуждаются в модификации на случай нескольких переменных Например один из методов, допускающих такую возможность, носит название Л-метода
Суть А-метода заключается во введении обобщенного ряда
оо
= Сп(р,д) = ]Гс^дЧг^п (18)
который при А = 1 сводится к исходному ряду (17) Такой ряд можно считать зависящим от одной переменной А, коэффициенты разложения в котором являются функциями V и д Преобразование Вореля ряда (17) имеет вид
оо
д) = 1 Яе-'В« Л В(у, д) = ]Г (19)
о 1,3
Борелевский образ с помощью А-метода сводится к зависимости лишь от одной переменной А к которому затем применяется метод аппроксимант Паде и осуществляется вычисление интеграла
При применении метода конформного отображения к двухпараметрическим рядам вводится замена 6 = у/и, с помощью которой (17) можно переписать как
и, = £&(*)«" (2°)
«=0
Преобразование Бореля при этом принимает вид
ОО Со ~
5) = I 5), В(г, 5) = £ ¡^Г!) ^ (21)
о
Конформное преобразование определяется формулой
ф) = (и)
При использовании метода конформного отображения к рядам теории критического поведения неупорядоченных систем задача усложняется тем, что асимптотика рядов в этом случае неизвестна В работе [6] для модели Изинга предлагается а(6) брать в следующем виде
a(ó) = о{9/8 + 6) (6 < 0,5 > 4),
где для трехмерной модели Изинга а = 0 14777422 Рассмотрим теперь применение этих двух методов к расчету координат неподвижной точки и индекса z, характеризующими неравновесное критическое поведение неупорядоченной модели Изинга
В методах Паде-Бореля и Паде-Бореля-Лероя при суммировании ряда для функции 2 + 7л использовалась наилучшая для них аппроксиманха третьего порядка [2/1], а в "методе конформного Паде-Бореля - аппроксиманта [1/2] Процедура усреднения координат неподвижной точки и индекса z при N > 3 дает следующие значения, полученные с использованием методов Паде-Бореля (РВ), Паде-Бореля-Лероя (BL) и конформного Паде-Бореля (СВ)
РВ v' = -0 7019 ±0 0119, д" =2 2569 ± 0 0052, z = 2 1788 ± 0 0030, BL v* = -0 7059 ± 0 0036, д'=2 2563 ± 0 0029, z = 2 1802 ± 0 0009, СВ v* = —0 7070 ± 0 0X08, д* = 2 2410 ± 0 0245, z = 2 1786 ± 0 0029
Полученные различными методами близкие значения координат неподвижной точки и индекса z, практически совпадающие в пределах погрешностей, говорят о достоверности полученных результатов Усреднение данных значений, полученных разными методами, дает итоговые величины
v* = -0 7050 ± 0 0052, р* = 2 2514 ± 0 0081, z = 2 1792 ± 0 0013
В работе [12] расчет динамического критического индекса г был осуществлен с применением метода Чисхолма-Бореля и было получено значение z = 2 1653 Это значение индекса неплохо коррелирует с полученными в диссертации результатами
Проведем сопоставление полученных результатов с экспериментальными данными и результатами компьютерного моделирования критической динамики методами Монте-Карло трехмерной однородной модели Изинга Критическая динамика однородного изингов-ского антиферромагнетика FeF2 экспериментально была исследована в работе [13], и было получено значение z = 2 1±0 1, которое в рамках достаточно широкого интервала погрешности измерения z не противоречит полученным в диссертации результатам Численные исследования методами Монте-Карло привели к значениям динамического критического индекса в интервале 1 89 < z < 2 07 (см главу 3 дисс работы) Данные значения индекса z находятся в хорошем согласии с полученными в диссертации результатами
Что касается двумерной однородной модели Изинга, то применение метода высокотемпературного разложения дает значение z = 2 125, а численные исследования ее критической динамики в отличие от аналогичных исследований трехмерной модели характеризуются гораздо большим разбросом получаемых значений 2 07 < г < 231 Такой
разброс значений г во многом объясняется тем, что критическое поведение двумерной модели Изинга характеризуется как гораздо большими по сравнению с трехмерной моделью амплитудами флуктуаций параметра порядка в критической области, так и более значительными эффектами критического замедления
Таким образом, полученные в цитируемых работах для двумерной модели Изинга значения индекса г лежат в достаточно широком интервале в то время как полученные в диссертации значения находятся на его нижней границе Это поднимает ценность полученных в диссертации значений, как ориентиров для будущих исследований
Проведем теперь сопоставление рассчитанных в диссертации значений динамического критического индекса для неупорядоченных систем с результатами компьютерного моделирования критической динамики неупорядоченной трехмерной модели Изинга г = 2 19 ± 0 07 для систем со спиновой концентрацией р = 0 95 и г = 2 20 ± 0 08 при р = 0 8 (14], г = 2 16 ± 0 01 при р = 0 95, г = 2 232 ± 0 004 при р = 0 9 и г = 2 38 ± 0 01 при р ~ 0 8 [15] Данные результаты для слабо неупорядоченных систем с р > 0 8 находятся в достаточно хорошем согласии с результатами диссертации
Экспериментальное исследование критической динамики неупорядоченного изингов-ского антиферромагяетика Рео 4в%Щ м-РЬ было осуществлено в работе [13], в которой было получено значение г = 1 7±0 2 Данный результат находится в противоречии как с результатами диссертации, так и с приведенными выше результатами компьютерного моделирования Это несоответствие возможно обусловлено высокой концентрацией немагнитных атомов примеси в исследованном образце и наличием крупномасштабных неоднородно-стей в нем, что су щественно сказывается на характеристиках неравновесного критического поведения Однако в другой экспериментальной работе [16] по исследованию критической динамики слабо разбавленного изинговского магнетика э^пщРг было получено значение .¡г = 2 18 ± 0 10, которое находится в прекрасном соответствии с результатами проведенных в диссертации расчетов
В четвертой главе осуществлено численное исследование методом Монте-Карло неравновесной критической релаксации в коротковременном режиме для трехмерной слабо неупорядоченной модели Изинга со спиновой концентрацией р = 0 80
В работе рассматривается модель неупорядоченной спиновой системы в виде кубической решетки с линейным размером Ь и наложенными граничными условиями
Для моделирования спиновых конфигураций в системе был применен алгоритм Мет-рополиса В работе была исследована релаксационная динамика системы, описываемая моделью А в классификации моделей критической динамики, проведенной Хоэнбергом и Гальпериным Алгоритм Метрополиса, реализующий динамику односпиновых переворотов, наилучшим образом соответствует релаксационной модели А и позволяет провести сравнение получаемого в результате моделирования критической релаксации системы динамический критический индекс г с результатами ренормгруппового описания (глава 3 дисс работы) критической динамики модели А для систем с пространственно некоррелированным распределением дефектов структуры
Традиционное моделирование критического поведения системы взаимодействующих частиц методом Монте-Карло наталкивается на трудности, связанные в основном с явлением критического замедления, характеризующимся тем, что время релаксации системы,
как и время корреляции состояний неограниченно растут по мере приближения к критической температуре и степенной характер их асимптотической зависимости от приведенной температуры определяется динамическим индексом г Для структурно неупорядоченных систем эта проблема еще более существенна, т к их неравновесное критическое поведение определяется индексом г принимающим большие значения, чем для однородных систем Для уменьшения эффектов влияния критического замедления применяют кластерные алгоритмы Вольфа или Свендсена-Ванга, но эти алгоритмы столь существенно меняют динамику системы по сравнению с алгоритмом Метрополиса, что для получения информации о характеристиках критической динамики их применять нельзя В связи с этим в работе был применен метод коротковременной динамики (МКД) для получения значений как динамического, так и статических критических индексов Особенностью МКД является то, что информация об универсальном критическом поведении может быть получена на относительно малых макроскопических промежутках времени (от 1000 до 2000 шагов Монте-Карло на спин (MCS)) на ранней стадии развития системы в критической точке или ее окрестности
МКД был обоснован результатами аналитических и численных исследований, проведенных в работах [17, 18] Так, в работе [17J на основе ренормгруппового анализа было показано, что после микроскопически малого промежутка времени imlc для к-го момента намагниченности системы реализуется скейлинговая форма
где í - время, т = (Т — Тс)/Тс - приведенная температура, Ь - линейный размер решетки, Ь - произвольный масштабный фактор, Р, и, г - известные критические индексы, х0 - новый независимый критический индекс, задающий скейлинговую размерность начального значения намагниченности то
Для неупорядоченных систем вычисление осуществляется в виде
где угловые скобки обозначают статистическое усреднение по спиновым конфигурациям, а квадратные скобки - усреднение по различным реализациям распределения дефектов структуры в системе при заданной спиновой концентрации р В работе проводилось усреднение вычисляемых величин по 50000 различным примесным конфигурациям
Начальное состояние системы выбиралось с те о = 1, соответствующее Т = 0 (когда все спины ориентированы в одном направлении) Используя это, а также выбирая фактор Ъ = получим для намагниченности {к — 1), и для решеток с достаточно большими линейными размерами Ь, уравнение
M(h\t т, L, т0) = Ь~кв/1/М(к) {Ь~Ч, b^'r, b^L, bx°m0),
(23)
(24)
M(t г) = re/l,zM (М^т) ~ t~P/uz (1 + At^'r + Q{t2)) ,
(25)
где в пределе г —» 0, оно приобретает вид
M{t) ~ Гв/'
Рис. 3: Усредненные значения намагниченности (а) и ее логарифмической производной (Ь) на временном интервале í = 1 — 1000 МСЭ в двойном логарифмическом масштабе
Другой определяемой в работе величиной является кумулянт Биндера, характеризуемый выражением
[/(*) = ^1-1. (27)
(М(г))2
Конечномерный скейлинговый анализ показывает, что в критической точке поведение кумулянта Биндера описывается степенным законом:
¿/(¿) ~ (28)
где Л - размерность системы.
Продифференцировав обе части уравнения (25) по т при т = 0, получим еще одно соотношение (в дальнейшем называемое логарифмической производной), описываемое степенным законом в критической точке:
£ln M(t.r)
~ t1/uz. (29)
т=0
В работе осуществлялось моделирование кубических решеток с размерами L = 128 при критической температуре Тс = 3.49948, определенной (глава 2 дисс. работы) численными Монте-Карло исследованиями неупорядоченной модели Изинга в равновесном состоянии. Временное поведение намагниченности и кумулянта Биндера исследовалось на временах до 1000 MCS. С целью вычисления логарифмической производной проводился расчет намагниченности для двух крайних (с шагом AT — 0.005) температур от Тс. т. е. для 71 = 3.49448 и Т+ = 3.50448. На рисунках 3, 4 приведены зависимости намагниченности, кумулянта Биндера и логарифмической производной от времени в двойном логарифмическом масштабе.
В неупорядоченных системах в отличие от поведения однородных систем [19] может быть выявлено два универсальных динамических критических режима со степенным временным изменением M{t), U(t) и дт In M(t), а именно: на раннем временном интервале
U(t)
100
1000
t(MCS)
Рис 4 Усредненные значения кумулянта Биндера на временном интервале t = 50 — 1000 MCS в двойном логарифмическом масштабе
t = [20,200] реализуется критическое релаксационное поведение, соответствующее поведению однородной системы, а лишь затем, проходя через некоторый интервал кроссоверного поведения, в интервале t = [250,950] для M(t), в интервале t = [550,950] для U(t), и в интервале t = [250,800] для дт In M(t) реализуется динамический режим критического поведения неупорядоченной системы
В диссертации был также осуществлен учет поправок к асимптотической зависимости измеряемых величин за счет влияния конечности моделируемых систем, т к только учет данных поправок к скейлингу позволяет получать корректные значения критических индексов в термодинамическом пределе L —* оа Для этого было использовано следующее выражение для временной зависимости наблюдаемых величин X(t)
где Ах - неуниверсальные амплитуды, и> является хорошо известным критическим индексом поправки к скейлингу, а показатель S = —0/vz в случае X = M(t), S = d/z в случае X = U{t) я б = 1 jvz в случае X s дт ln M(t)
Для расчета значений критических индексов fijvz, d/z \jvz и ш/г на временном интервале, соответствующем влиянию структурного беспорядка, был использован метод наименьших квадратов для наилучшей аппроксимации значений M (t), U(t) и дт ln M{t) выражением (30)
В таблице 2 приведены полученные итоговые значения критических показателей fi/uz для намагниченности, d/z для кумулянта Биндера и \/vz для логарифмической производной, соответствующие им суммарные погрешности, а также показатели о)/z для этих величин, соответствующие минимальным погрешностям процедуры аппроксимации (30)
На основе данных значений показателей были определены динамический критический индекс г = 2 207(44), отношение статических критических индексов (j/v — 0 490(12),
X(t) ~ ts (14- Axt-"'z)
(30)
Таблица 2 Значения критических показателей и погрешностей их определения
показатели средние погрешности статистические ш/г
значения аппроксимаций погрешности
0 222032 0 000243 0 000873 0 265
сЕ/г 1 359357 0 012092 0 014854 0 132
1/иг 0 661145 0 021579 0 007000 0 142
критические индексы V — 0 685(43), в — 0 336(16) и усредненное значение критического индекса поправки к скейлингу и — 0 397(102) Найденные значения критических индексов находятся в достаточно хорошем соответствии с результатами работ по компьютерному моделированию, где для систем с р — 0 80 были получены значения /3/1/ = 0 5334(69), V = 0 6956(29), /3 = 0 3711(66), и = 0 26(13) (результаты диссертации), г = 2 20(8) [14], а также с результатами теоретико-полевого описания, где для слабо неупорядоченных систем были найдены следующие значения P|v = 0 515(15), V = 0 678(10), /3 = 0 349(5), ш = 0 25(10) [6], г — 2 1792(13) (результат диссертации) и результатами экспериментальных исследований изинговских магнетиков, дающих г = 2 18(10) [16]
В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации
Основные результаты и выводы
1 Осуществлено компьютерное моделирование равновесного критического поведения трехмерной неупорядоченной ферромагнитной модели Изинга со спиновыми концентрациями р = 0 95,0 80,0 60,0 50
2 Впервые для исследования влияния структурного беспорядка на температурное поведение корреляционной длины и восприимчивости в критической области был применен метод конечноразмерного скейлинга Для определения функциональной формы скейлин-говых функций и асимптотических значений корреляционной длины £ и восприимчивости X в критической области была применена полиномиальная аппроксимация как от переменной х = так и от ехр(—1/ж), где Ь - линейный размер моделируемой системы
3 Проведен расчет значений критических индексов и, -у и критической температуры Тс с учетом поправки к скейлингу с определением соответствующего индекса и Найденные значения критических индексов г/ и 7, а также вид скейлинговых функций, указывают на наличие двух классов универсального критического поведения, отвечающих слабой (р = 0 95,0 80) и сильной (р = 0 60,0 50) неупорядоченности При этом, полученные значения критических индексов находятся в хорошем согласии с результатами экспериментальных исследований, результатами работ по численному моделированию методом Монте-Карло, а для слабо неупорядоченных систем с результатами теоретико-полевого описания
4 Впервые осуществлено последовательное применение методов суммирования Паде-Бореля, Паде-Вореля-Лероя и конформного отображения с последующим применением аппроксимации Паде (метод конформного Паде-Бореля) для определения значений динамического критического индекса г для однородных трехмерных и двумерных систем, описываемых моделью Изинга, а также слабо неупорядоченных изингоподобных систем Найденные значения индекса 2 находятся в достаточно хорошем согласии с экспери-
ментальными исследованиями критической динамики изинговских антиферромагнетиков и результатами компьютерного моделирования критической динамики методами Монте-Карло
5 Впервые, используя метод коротковременной динамики, определены динамический индекс z, равновесные критические индексы, а также индекс поправки к скейлингу для слабо неупорядоченной (р = 0 80) трехмерной модели Изинга Полученные значения критических индексов находятся в хорошем согласии с результатами теоретико-полевого описания, результатами моделирования другими методами критического поведения модели, а также согласуются с результатами экспериментальных исследований изинговских неупорядоченных магнетиков
Основные результаты диссертации опубликованы в работах
1 Криницын А С , Прудников В В , Прудников П В Расчет динамического критического индекса методом суммирования асимптотических рядов // ТМФ - 2006 - Т 147 -№ 1 - С 137-154
2 Prudmkov V V , Prudmkov Р V , Krmitsyn A S , Vakilov А N Numerical investigation of critical behavior of the three-dimensional diluted Ismg model // Abstracts of the Third International Workshop (Hangzhou, Chma, 2006 ) - P 14
3 Прудников В В , Прудников П В , Криницын А С Расчет динамического критического индекса для однородных и неупорядоченных систем методами суммирования асимптотических рядов // Тезисы докладов VII Молодежного семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 27 ноября - 2 декабря 2006 г) -Екатеринбург ИФМ УрО РАН 2006 - С 38
4 Прудников В В , Вакилов А Н , Криницын А С Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга с учетом конечномерных эффектов // Тезисы докладов VII Молодежного семинара по проблемам физики конденсированного состояния вещества (Екатеринбург, 27 ноября - 2 декабря 2006 г) -Екатеринбург ИФМ УрО РАН, 2006 - С 39
5 Прудников В В , Прудников П В , Вакилов А Н , Криницын А С Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга с учетом конечномерных эффектов // Вестник Омского университета - 2007 - Xs 2 - С 41-45
6 Прудников В В , Прудников П В, Вакилов А Н, Криницын А С Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // ЖЭТФ - 2007 - Т 132 - вып 2 - С 417-425
7 Прудников В В , Прудников П В , Вакилов А Н , Криницын А С Исследование неравновесной критической релаксации в трехмерной неупорядоченной модели Изинга // Вестник Омского университета - 2007 - № 3 - С 16-20
8 Вакилов А Н Криницын А С , Прудников В В , Прудников П В Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // Сб трудов Международной конференции "Фазовые переходы критические нелинейные явления в конденсированных средах"(Махачкала, 12-15 сентября 2007 г) - Махачкала Институт физики ДагНЦ РАН, 2007 - С 46-47
9 Вакилов А Н , Криницын А С , Прудников В В , Прудников П В Исследование неравновесной критической релаксации в трехмерной слабо неупорядоченной модели Изин-га // Сб трудов Международной конференции "Фазовые переходы, критические нелинейные явления в конденсированных средах" (Махачкала, 12-15 сентября 2007 г) - Махачкала Институт физики ДагНЦ РАН, 2007 - С 79-80
10 Prudmkov V V , Prudmkov Р V , Vakilov А N , Krmitsyn A S Computer Simulation of the Critical Behavior of 3D Disordered Ismg Model // e-prmt cond-mat/0709 1450 - 2007 -P 1-14
Список литературы
[1] Harris А В // J Phys С - 1974 - V 7 - P 1671
[2] Фольк P , Головач Ю , Яворский T // УФН - 2003 - Т 173 - С 175
[3] Birgeneau R J , Cowly R A , Shirane G , et al // Phys Rev В 1983 - V 27 - P 6747
[4] Kim J К, de Souza A J and Landau DP// Phys Rev Б - 1996 - V 54 - P 2291
[5] Wegner F J // Phys Rev В - 1972 - V 5 - P 4529
[6] Pelissetto A and Vicari E // Phys Rev В - 2000 - V 62 - P 6393
[7] Baker G A , Nickel В G , Green M.S , Meiron D I // Phys Rev Lett - 1976 - V 36 -P 1351, Phys Rev В - 1978 - V 17 - P 1365
[8] Le Guillou J С Zmn-Justin J // Phys Rev Lett - 1977 - V 39 - P 95, Le Guillou J С , Zmn-Justin J // Phys Rev В - 1980 - V 21 - P 3976
[9] Прудников В В Иванов А В , Федоренко А А // Письма в ЖЭТФ - 1997 - Т 66 -С 793
[10] Липатов Л Н // ЖЭТФ - 1977 - Т 72 - С 411
[11] Benber С М , Wu Т Т // Phys Rev - 1969 - V 184 - Р 1231
[12] Прудников В В , Белим С В , Иванов А В , и др // ЖЭТФ - 1998 - Т 114 - С 972
[13] Belanger D Р , et al //J de Physique Collque C8 - 1988 - V 49 - P 1229
[14] Прудников В В , Вакилов А Н // ЖЭТФ - 1993 - Т 103 - С 962
[15] Heuer Н-0 // J Phys А - 1993 - V 26 - Р L341
[16] Rosov N , Hohenemser С , Eibschutz М // Phys Rev В - 1992 - V 46 - Р 3452
[17] Janssen Н К , Schaub В , Schmittmann В // Z Phys В - 1989 - V 73 - Р 539
[18] Huse D // Phys Rev В - 1989 - V 40 - Р 304
[19] Zheng В // Int J Mod Phys В - 1998 - V 12 - P 1419
Криницын Александр Сергеевич
ИССЛЕДОВАНИЕ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ СТРУКТУРНО НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ ТРЕХМЕРНОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА
01 04 02 - Теоретическая физика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Подписано к печати 27 09 2007 Формат бумаги 60 х80 1/16 Печ л 1,0 Уч -изд л 1,0 Тираж 100 экз Заказ 342
Издательство ОмГУ
644077, г Омск-77, пр Мира, 55а, госуниверситет
Введение
1 Критические явления
1.1 Введение
1.1.1 Критические индексы.
1.1.2 Теория самосогласованного поля.
1.2 Учет флуктуаций.
1.3 Уравнения ренормгруппы.
1.3.1 Критические индексы с учетом флуктуационных эффектов
1.4 Модель Изинга. Алгоритмы
1.4.1 Модель Изинга. История и значение
1.4.2 Основные определения модели.
1.4.3 Алгоритм Метрополиса.
1.4.4 Алгоритм Вольфа.
1.5 Влияние примесей.
1.5.1 Влияние примесей: случайные немагнитные примеси. Теоретико-полевой подход
1.5.2 Компьютерное моделирование неупорядоченных систем.
1.6 Выводы и задачи исследования
2 Компьютерное моделирование равновесного критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга
2.1 Введение
2.2 Методика и результаты компьютерного моделирования
2.3 Метод конечноразмерного скейлинга.
2.3.1 Теория скейлинга.
2.3.2 Обработка данных моделирования процедурой конечноразмер-ного скейлинга.
2.4 Расчет критических характеристик.
2.5 ^Анализ результатов и выводы.
3 Методы суммирования асимптотических рядов и их применение к расчету динамического критического индекса
3.1 Введение
3.2 Модель.
3.3 Ряды теории
3.4 Методы суммирования асимптотических рядов.
3.4.1 Методы Паде-Бореля и Паде-Бореля-Лероя.
3.4.2 Метод конформного отображения.
3.4.3 Сравнение методов на точно решаемой задаче
3.4.4 Расчет критических характеристик.
3.5 Многопараметрические ряды.
3.5.1 А-метод. Метод конформного отображения.
3.5.2 Расчет критических характеристик.
3.6 Анализ результатов и выводы.
4 Исследование неравновесной критической релаксации в трехмерной неупорядоченной модели Изинга
4.1 Введение
4.2 Модель.
4.3 Метод коротковременной динамики.
4.4 Расчет критических характеристик.
4.4.1 Методика расчета.
4.5 Анализ результатов и выводы.
Фазовый переход - сложное и многогранное явление. Согласно Л.Д. Ландау, фазовые переходы с качественной стороны характеризуются изменением симметрии системы, а с количественной - параметром порядка, соответствующим данному изменению симметрии.
Теория Ландау [1, 2] была первой теорией, позволяющей с единой точки зрения подходить к проблеме критических явлений, независимо от их природы. Однако большинство количественных результатов этой теории не соответствовали реальному поведению критических систем. Так, в 1944 году Л. Онсагером [3] было найдено точное решение модели Изинга. Полученные им результаты резко отличались от результатов, предсказываемых теорией Ландау. Эксперименты на различных физических объектах также показывали отличие критического поведения от результатов теории Ландау.
Начало современной теории критических явлений, учитывающей крупномасштабные долгоживущие флуктуации, было заложено в работах А.З. Паташинского и В.Л. Покровского [4, 5, 6]. Ими была сформулирована гипотеза подобия критических флуктуаций. Каданов [7] сформулировал идею масштабной инвариантности термодинамических свойств систем в окрестности критических точек.
Основываясь на гипотезе подобия Вильсон [8, 9] развил метод ренор-мализационной группы, применительно к исследованию критических явлений. Все критические индексы были получены Вильсоном в виде ряда по малому параметру е (е = 4 — (1, где в, - размерность пространства).
Поляков и Мигдал [10, И] указали на существование аналогии между статистическим описанием поведения систем при фазовых переходах второго рода и квантовой теорией поля. Основываясь на этом, Ди Кастро и Иона-Ласинио [12] впервые использовали теоретико-полевой подход для решения проблем фазовых переходов.
Проблема влияния замороженных дефектов структуры на критическое поведение является важной как с теоретической, так и с практической точек зрения.
Исследования показали, что влияние замороженных дефектов, проявляющееся как случайное возмущение локальной температуры, приводит к смене режима критического поведения и описывается новым набором критических индексов. Это связано с тем, что присутствие дефектов вызывает нарушение трансляционной инвариантности системы, приводит к рассеянию критических флуктуаций на дефектах структуры и дополнительному взаимодействию флуктуаций параметра порядка посредством поля дефектов.
В работе [13] сформулирован критерий, определяющий существенность влияния замороженных точечных дефектов на критические явления, называемый обычно критерием Харриса. В соответствии с ним, присутствие замороженных точечных дефектов (например, примеси немагнитных атомов в ферро- или антиферромагнитных материалах) изменяет критические свойства систем, теплоемкость которых в однородном состоянии испытывает расходимость в критической точке с показателем а > 0. Как показали исследования [14, 15, 16, 17], данному критерию удовлетворяют только изингоподобные системы.
Ренормгрупповой подход с использованием е-разложения позволил получить значения критических индексов для неупорядоченных систем [18, 19, 20]. Вследствие плохой сходимости рядов е-разложения для систем, содержащих замороженные примеси, был применен теоретико-полевой подход непосредственно в пространстве с? = 3 [15, 16, 21], что позволило получить критические индексы в высоких порядках теории возмущений. С рекордной точностью в шестипетлевом приближении для слабо неупорядоченных систем критические индексы были получены в работе [22].
Экспериментальные исследования [23] показали хорошее согласие теоретических результатов для слабо неупорядоченных систем с беспорядком типа случайная температура с опытными данными. Однако, по-прежнему, много вопросов в проведенных исследованиях остаются открытыми. В частности, меняются ли значения критических показателей в зависимости от концентрации примесей и возникает ли новая перко-ляционная фиксированная точка в системах с большой концентрацией примесных атомов. Однозначного ответа на данные вопросы пока не существует.
В связи с выше изложенным целью настоящей диссертации является:
1. Численное определение с использованием методов Монте-Карло равновесных критических индексов и критических температур для трехмерной модели Изинга в широком диапазоне изменения спиновых концентраций (0.50 < р < 0.95), применяя процедуру конечноразмерного скей-линга с учетом асимптотических поправок к скейлингу.
2. Расчет значений динамического критического индекса г для однородных трехмерных и двумерных систем, описываемых моделью Изинга, а также слабо неупорядоченных изингоподобных систем методами суммирования асимптотических рядов.
3. Определение динамического критического индексам и равновесных критических индексов для слабо неупорядоченной трехмерной модели
Изинга со спиновой концентрацией р = 0.80, используя численный метод коротковременной динамики. Сопоставление полученных значений критических индексов с результатами теоретико-полевого расчета при применении методов суммирования асимптотических рядов.
Заключение
В заключении перечислим основные результаты и выводы, полученные в данной диссертационной работе.
1. Осуществлено компьютерное моделирование равновесного критического поведения трехмерной неупорядоченной ферромагнитной модели Изинга со спиновыми концентрациями р = 0.95,0.80,0.60,0.50.
2. Впервые для исследования влияния структурного беспорядка на температурное поведение корреляционной длины и восприимчивости в критической области был применен метод конечноразмерного скейлин-га. Для определения функциональной формы скейлинговых функций и асимптотических значений корреляционной длины £ и восприимчивости X в критической области была применена полиномиальная аппроксимация как от переменной х = так и от ехр(—1/х), где Ь - линейный размер моделируемой системы.
3. Проведен расчет значений критических индексов и, 7 и критической температуры Тс с учетом поправки к скейлингу с определением соответствующего индекса м. Найденные значения критических индексов V и 7, а также вид скейлинговых функций, указывают на наличие двух классов универсального критического поведения, отвечающих слабой (р = 0.95,0.80) и сильной (р — 0.60,0.50) неупорядоченности. При этом, полученные значения критических индексов находятся в хорошем согласии с результатами экспериментальных исследований, результатами работ по численному моделированию методом Монте-Карло, а для слабо неупорядоченных систем с результатами теоретико-полевого описания.
4. Впервые осуществлено последовательное применение методов суммирования Паде-Бореля, Паде-Бореля-Лероя и конформного отображения с последующим применением аппроксимации Паде (метод конформного Паде-Бореля) для определения значений динамического критического индекса 2 для однородных трехмерных и двумерных систем, описываемых моделью Изинга, а также слабо неупорядоченных изингопо-добных систем. Найденные значения индекса г находятся в достаточно хорошем согласии с экспериментальными исследованиями критической динамики изинговских антиферромагнетиков и результатами компьютерного моделирования критической динамики методами Монте-Карло.
5. Впервые, используя метод коротковременной динамики, определены динамический индекс г, равновесные критические индексы, а также индекс поправки к скейлингу для слабо неупорядоченной {р = 0.80) трехмерной модели Изинга. Полученные значения критических индексов находятся в хорошем согласии с результатами теоретико-полевого описания, результатами моделирования другими методами критического поведения модели, а также согласуются с результатами экспериментальных исследований изинговских неупорядоченных магнетиков.
1. Ландау Л. Д. К теории фазовых переходов // ЖЭТФ. - 1937. - Т. 7.- С. 19.
2. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. М.: Наука, 1976.
3. Onsager L. A two-dimensional model with an order-disorder transition // Phys. Rev. Phys. Rev. Lett. - 1944. - V. 65. - P. 117.
4. Паташинский A. 3., Покровский В. Л. Фазовый переход второго рода в бозе-жидкости // ЖЭТФ. 1964. - вып. 3. - С. 46.
5. Паташинский А. 3., Покровский В. Л. О поведении упорядочивающихся систем вблизи точки фазового перехода // ЖЭТФ. 1966. -вып. 2. - С. 50.
6. Паташинский А.З., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. М.: Наука, 1982. - 400 с.
7. Kadanoff L. P. Scaling laws for Izing models near Tc // Physica. 1966.- V. 6. P. 2.
8. Wilson K. G., Ficher M. E. Critical exponent in 3.99 dimensions // Phys. Rev. Lett. 1972. - V. 28. - № 4. - P. 240-241.
9. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е-разложение. М.: Мир, 1975.
10. Поляков А. М. Свойства далеких и близких корреляций в критической области // ЖЭТФ. 1969. - Т. 57. - С. 271.
11. Мигдал А. А. Диаграммная техника вблизи точки Кюри и фазовый переход в бозе-жидкости // ЖЭТФ. 1968. - Т. 5. - С. 55.
12. Di Castro С., Jona-Lasinio G. Renormalization group approach to critical phenomena. Phase transition and critical phenomena, ed. C. Domb and Lebowitz J. L. // New York: Acad, press. - 1976. - V. 6. - P. 508-558.
13. Harris A. B. Effect of random defects on the critical behaviour of Ising models // J. Phys. C. 1974. - V. 7. - P. 1671.
14. Соколов А. И., Шалаев Б. H. О критическом поведение модели Изин-га с примесями // ФТТ. 1981. - Т. 23. - № 7. - С. 2058-2063.
15. Jug G. Critical behaviour of disordered spin systems in two and three dimensions // Phys. Rev. B. 1983. - V. 29. - № 1. - P. 607-612.
16. Mayer I. O. Critical exponents of the dilute Ising model from four-loop expansion // J. Phys. A. 1989. - V. 22. - P. 2815-2823.
17. Mayer I.O., Sokolov A.I., Shalaev B.N. Critical exponents for cubic and impure uniaxial crystals: most accurate theoretical values // Ferroelectries. 1989. - V. 95. - № 1. - P. 93-96.
18. Хмельницкий Д. E. Фазовый переход второго рода в неоднородных телах // ЖЭТФ. 1975. - Т. 68. - № 5. - С. 1960-1968.
19. Lubensky Т. С. // Phys. Rev. В. 1975. - V. И. - № 9. - P. 3573-3580.
20. Mukamel D., Grinstein G. // Phys. Rev. B. 1981. - V. 25. - № 1. - P. 381-388.
21. Pakhnin D. V., Sokolov D. V. // Phys. Rev. B. 2000. - V. 61. - P. 15130.
22. Pelissetto A. and Vicari E. // Phys. Rev. B. 2000. - V. 62. - P. 6393.
23. Birgeneau R. J., Cowly R. A., Shirane G., et al. // Phys. Rev. B. 1983. - V. 27. - P. 6747.
24. Изюмов Ю. А., Сыромятников В. H. Фазовые переходы и симметрия кристаллов. М.: Наука, 1984.
25. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М.: Мир, 1980.
26. Доценко B.C. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // УФН. 1995. - Т. 165. - С. 481.
27. Изюмов Ю.А., Медведев Е.А. Статистическая механика магнито-упорядоченных систем. М.: Наука, 1987.
28. Ising Е. // Z. Physik. 1925. - V. 31. - Р. 253.
29. Peierls R. // Helv. Phys. Acta. 1936. - V. 7. - supp. 2. - P. 81.
30. Kramers H.A., Wannier G.H. // Phys. Rev. 1941. - V. 60. - P. 252.
31. Metropolis N., et. al. // J. Chem. Phys. 1953. - V. 6. - P. 1087.
32. Wolff U. // Phys. Rev. Lett. 1989. - V. 62. - P. 361.
33. Swendsen R. H., Wang J.-S. // Phys. Rev. Lett. 1987. - V. 58. - P. 86.
34. Dunlap R. A., Gottlied A. M. // Phys. Rev. B. -1981. V. 21. - P. 6106.
35. Slanic Z., Belanger D. P. and Fernandez-Baca J. A. Equilibrium random-field Ising critical scattering in the antiferromagnet Fe(0.93)Zn(0.07)F2 // Phys. Rev. Lett. 1999. - V. 82. - P. 426.
36. Landau D.P. // Phys. Rev. B. 1980. - V. 22. - P. 2450.
37. Hukushima K.J. // Phys. Soc. Jpn. 2000. - V. 69. - P. 631.
38. Ballesteros H.G., Fernandez L.A., Martin-Mayor V., et. al. Critical exponents of the three dimensional diluted Ising model // Phys. Rev. B.- 1998. V. 58. - P. 2740.
39. Varnashev К. B. Stability of a cubic fixed point in three dimensions. Critical exponents for generic N // Phys. Rev. B. 2000. - V. 61. - P. 14660.
40. Фольк P., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // УФН.- 2003. Т. 173. - С. 175-200.
41. Meyer G.M., Dietrich O.W. // J. Phys. С: Solid State Phys. 1978. -V. 11.- P. 1451.
42. Cowley R.S., Karneiro K. // J. Phys. C: Solid State Phys. 1980. - V. 13. - P. 3281.
43. Belanger D.P., et. al. // J. Magn. Magn. Matter. 1980. - V. 15-18. -P. 807.
44. Grinstein G., Luther A. Application of the renormalization group to phase transition in disordered systems // Phys. Rev. B. 1976. - V. 13. - P. 1329.
45. Emery V.J. // Phys. Rev. B. 1975. - V. 11. - P. 239.
46. Brout R. // Phys. Rev. 1959. - V. 115. - P. 824.47. t'Hooft G., Vetman M. // Nucl. Phys. B. 1972. - V. 44 - P. 189; t'Hooft G. // Nucl. Phys. B. - 1973. - V. 61. - P. 455.
47. Parisi G. Field-theoretic approach to second-order phase transitions in two- and three-dimensional systems //J. Stat. Phys. 1980. - V. 23. -P. 49.
48. Wegner F.J. // Phys. Rev. B. 1972. - V. 5. - P. 4529.
49. Brezin E., Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. in Phase transition and critical phenomena, 6 // London: Academic Press. 1976; Amit D.J. Field theory, the renormalization group, and critical phenomena 2nd ed. // Singapore: World Scientific. - 1989.
50. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena // Oxford: Clarendon Press. 1996. - P. 1008.
51. Pelissetto A., Vicari E. Critical Phenomena and Renormalization-Group Theory // Phys. Rep. 2002. - V. 368. - P. 549.
52. Scholms R., Dohm V. // Europhys. Lett. 1987. - V. 3. - P. 413; Scholms R., Dohm V. // Nucl. Phys. B. - 1989. - V. 328. - P. 639.
53. Бейкер Г. Аппроксимация Паде. М.: Мир, 1986.
54. Le Guillou J. С., Zinn-Justin J. Critical exponents from field theory // Phys. Rev. B. 1980. - V. 21. - P. 3976.56. von Ferber C., Holovatch Yu. Multifractality of Brownian motion near absorbing polymers // Phys. Rev. E. 1999. - V. 59. - P. 6914.
55. Фольк P., Головач Ю., Яворский Т. // Письма в ЖЭТФ. 1999. - V. 69. - Р. 698.
56. Folk R., Holovatch Yu., Yavors'kii Т. The correction-to-scaling exponent in dilute systems // Phys. Rev. B. 2000. - V. 61 - P. 15114.
57. Binder K. Monte-Carlo methods in statistical physics // Berlin: Springer Varlag. - 1979.
58. Marro J., Labarto A., Tejada J. Critical behaviour of Ising models with static site dilution // Phys. Rev. B. 1986. - V. 34. - P. 347.
59. Chowdhury D., Stauffer D. Monte Carlo simulation of three-dimensional diluted Ising model // J. Stat Phys. 1986. - V. 44. - P. 203.
60. Wang J.-S., Chowdhury J. The critical behaviour of three-dimensional dilute Ising model: universality and the Harris criterion //J. Phys. (Paris). 1989. - V. 50. - P. 2905.
61. Holey Т., Fahnle M. // Phys. Rev. B. 1990. - V. 41,- P. 11709.
62. Heuer H.-O. Monte Carlo simulation of strongly disordered Ising ferromagnets // Phys. Rev. B. 1990. - V. 42. - P. 6476; Europhys. Lett. - 1990. - V. 12. - P. 551.
63. Heuer H.-O. Monte Carlo simulation of strongly disordered Ising ferromagnets // Comput. Phys. Commun. 1990. - V. 59. - P. 387.
64. Heuer H.O. Critical crossover phenomena in disordered Ising systems // J. Phys. A. 1993. - V. 26. - L333.
65. Wang J.S., Wohlert M., Muhlenbein H., et. al. The critical behaviour of the two-dimensional dilute Ising magnet // Physica A. 1990. - V. 166. - P. 173.
66. Прудников В. В., Вакилов А. Н. Компьютерное моделирование критической динамики разбавленных магнетиков // ЖЭТФ. 1993. -V. 103. - Р. 962.
67. Wiseman S. and Domany Е. Self-Averaging, Distribution of Pseudo-Critical Temperatures and Finite Size Scaling in Critical Disordered Systems // Phys. Rev. Lett. 1998. - V. 81. - P. 22; Phys. Rev. E. - 1998. - V. 58.- P. 2938.
68. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Бабаев А. Б. Критическое поведение трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке // ЖЭТФ. 2004. - Т. 126. - С. 1377-1383.
69. Майер И.О., Соколов А.И. // ФТТ. 1984. - Т. 26. - С. 3454.
70. Kim J.K.,de Souza A.J. and Landau D.P. Numerical Computation of Finite Size Scaling Functions: An Alternative Approach to Finite Size Scaling // Phys. Rev. E. 1996. - V. 54. - P. 2291.
71. Прудников В. В.,Прудников П. В., Вакилов А. Н., Криницын А. С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // ЖЭТФ. 2007. - V. 132. - вып. 2. - С. 417-425.
72. Прудников В.В.Друдников П.В., Вакилов А. Н., Криницын A.C. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга с учетом конечномерных эффектов // Вестник ОмГУ. 2007. - № 2. - С. 41-45.
73. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Vakilov A.N., Krinitsyn A.S. Computer Simulation of the Critical Behavior of 3D Disordered Ising Model // e-print: cond-mat/0709.1450. 2007. - P. 1-14.
74. Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Krinitsyn A.S., Vakilov A.N. Numerical investigation of critical behavior of the three-dimensional diluted Ising model // Abstracts of the Third International Workshop (Hangzhou, China, 2006.). P. 14.
75. Hennecke М. and Heyken U. // J. Stat. Phys. 1993. - V. 72. - P. 829.
76. Ivaneyko D., Ilnytskyi J., Berche B,, et. al. // e-print cond-mat/0603521. 2006.
77. Belanger D.P., King A.R. and Jaccarino V. // Phys. Rev. B. 1986. -V. 34.- P. 452.
78. Belanger D. P., Slanic Z. and Fernandez-Baca J. A. // J. Magn. Magn. Mater. 1998. - V. 177-181. - P. 171.
79. Mitchell P. W., Cowely R. A., Yoshizawa H., et. al. // Phys. Rev. B. -1986. V. 34. - P. 4719.
80. Calabrese P., Martin-Mayor V., Pelissetto A., et. al. // Phys. Rev. E. -2003. V. 68. - P. 036136.
81. Ivaneyko D., Ilnytskyi J., Berche В., et. al. // Condens. Matter Phys. -2005. V. 8. - P. 149.
82. Прудников В. В.,Вакилов А. H. // Письма в ЖЭТФ. 1992. - Т. 55.- С. 709.
83. Hohenberg Р. С., Halperin В. I. // Rev. Mod. Phys. 1977. - V. 49. - P. 435.
84. Bausch R., Janssen H.K., Wagner H. // Z. Phys. В. 1976. - V. 24. -P. 113.
85. De Dominicis С., Brezin E., Zinn-Justin J. // Phys. Rev. B. 1975. - V. 12. - P. 4945; Антонов H. В., Васильев A. H. // ТМФ. - 1984. - P. 60.- P. 59.
86. Halperin B.I., Hohenberg P.C., Ma S. // Phys. Rev. Lett. 1972. - V. 29. - P. 1548; Halperin В.I., Hohenberg P.C., Siggia E.D., Ma S. // Phys. Rev. B. - 1976. - V. 13. - P. 2110.
87. Прудников В. В., Вакилов А. Н. // ЖЭТФ. 1992. - Т. 101. - С. 1853.
88. Прудников В. В., Иванов А. В., Федоренко А. А. // Письма в ЖЭТФ.- 1997. Т. 66. - С. 793.
89. Прудников В. В., Белим С. В., Иванов А. В., и др. // ЖЭТФ. 1998.- Т. 114. С. 972.
90. Baker G. A., Nickel В. G., Green М. S., Meiron D. I. // Phys. Rev. Lett.- 1976. V. 36. - P. 1351; Phys. Rev. B. - 1978. - V. 17. - P. 1365.
91. Le Guillou J. C., Zinn-Justin J. // Phys. Rev. Lett. 1977. - V. 39. - P.95.
92. Antonenko S.A., Sokolov A.I. // Phys. Rev. B. 1995. - V. 51. - P. 1894.
93. Криницын A.C., Прудников В.В., Прудников П.В. Расчет динамического критического индекса методом суммирования асимптотических рядов // ТМФ. 2006. - Т. 147. - № 1. - С. 137-154.
94. Васильев А. Н. Квантовоиолевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике // С.-Петербург: ПИ-ЯФ, 773. 1998.
95. Липатов Л.Н. // ЖЭТФ. 1977. - Т. 72. - С. 411.
96. Bresin Е., Le Guillou J. С., Zinn-Justin J. // Phys. Rev. D. 1977. -V. 15. - P. 1544.
97. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: Иностр. лит., 1951.
98. Казаков Д. И., Тарасов О. В., Ширков Д. В. // ТМФ. 1979. - V. 38. - Р. 15; Казаков Д.И., Попов B.C. // ЖЭТФ. - 2002. - Т. 122. -С. 675.
99. Суслов И. М. // ЖЭТФ. 2001. - Т. 120. - С. 5.
100. Honkonen J., Komarova M.V., Nalimov M.Yu. // Nucl. Phys. B. -2005. V. 714. - P. 292; Honkonen J., Komarova M. V., Nalimov M.Yu. // arXiv:hep-th/0406168. - 2004.
101. Benber C.M, Wu T.T. // Phys. Rev. 1969. - V. 184. - P. 1231.
102. Cizek J., Vrskay E.R. // Int. J. Quantum Chem. 1982. - V. 21. - P. 27.
103. Belanger D.P., et. al. // J. de Physique Collque C8. 1988. - V. 49. -P. 1229.
104. Pearson R.B., Richardson J.L., Toussaint D. // Phys. Rev. B. 1985. - V. 31. - P. 4472.
105. Wansleben S., Landau D. P. // Phys. Rev. B. 1991. - V. 43. - P. 6006.
106. Gropengiessen U. // Physica A. 1995. - V. 213. - P. 308.
107. Grassberger P. // Physica A. 1995. - V. 214. - P. 547.
108. Kalle C. // J. Phys. A. 1984. - V. 17. - P. L801.
109. Williams J.K. // J. Phys. A. 1985. - V. 18. - P. 49.
110. Mori M., Tsuda Y. // Phys. Rev. B. 1988. - V. 37. - P. 5444.
111. Poole P.H., Jan N. // J. Phys. A. 1990. - V. 23. - P. L453.
112. Prudnikov V. V., Markov 0. N. // Evrophys. Lett. 1995. - V. 29. - P. 245.
113. Wang F., Hatane N., Suzuki M. // J. Phys. A. 1995. - V. 28. - P. 4543.
114. Nightingale M.P., Blote H.W. // Phys. Rev. B. 2000. - V. 62. - P. 1089.
115. Racz Z., Collins M.F. // Phys. Rev. B. 1976. - V. 13. - P. 3074.
116. Heuer H.-O. // J. Phys. A. 1993. - V. 26. - P. L341.
117. Parisi G., Ricci-Tersenghi F., Ruiz-Lorenzo J.J. // Phys. Rev. E. -1999. V. 60.- P. 5198.
118. Rosov N., Hohenemser C., Eibschutz M. // Phys. Rev. B. 1992. - V. 46. - P. 3452.
119. Zheng B. // Int. J. Mod. Phys. B. 1998. - V. 12. - P. 1419.
120. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н., Криницын А. С. Исследование неравновесной критической релаксации в трехмернойнеупорядоченной модели Изинга // Вестник ОмГУ. 2007. - № 3. -С. 16-20.
121. Janssen Н.К., Schaub В., Schmittmann В. // Z. Phys. В. 1989. - V. 73. - Р. 539.
122. Huse D. // Phys. Rev. В. 1989. - V. 40. - P. 304.
