Исследование многомерной смешанной задачи для одного класса нелинейных псевдопараболических уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Ь^ ......

(v академия наук азербайджанской республики

^ * о Я ^

институт математики и механики

На правах рукописи

АЛИЕВ ЧИНГИЗ ИБРАГИМ оглы

удк 517.946

ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОМЕРНОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА НЕЛИНЕЙНЫХ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (01.01.02 — дифференциальные уравнения)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БАКУ — 1994

Рабата Еыдслкекз в Бакинском государственном укЕггр:кгет€ кмена М. Э, Расулзаде.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор ХУДАВЕРДКЕВ К. И.

Сфкшллпгмг сппспенш: доктор физико-математических наук, профессор МАМЕДОЗ И. Т, доктор физико-математических нгук, профессор МАМЕДОЗ Ю. А.

Ведущая организация — Азербайджанский технический укизгрситгт. защита диссертации состоится « /V » ШЭ4 Г.

часов на заседании специализированного созета Н 004.01.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Институте математики и механики АН Азербайджана. Адрес: 370602, Баку ГСП-СО!1, ул. Ф. Агаеса, 533 кгаргал. С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики АН Азербайджана.

Автореферат разослан « 7 »

Учений секретарь специализированного совета, доктор физико-математических наук М. А. САДЫГОВ

~ 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ .

Актуальность теш. Данная работа посвящена исследованию следующей многомерной смешанной задачи

U(o,x)-(f(x) (хеа.), (2)

bj(u(t,*))lr=G -М (3)

где О <Т< + &> i у ¿ 0 - постоянная; Sí ~ ограниченная Л. -мерная область с границей ¿Jé £2m, a:=(a:i,...:>a:n.)J

r--M*S; ad= .. ^ , »г*.• • ■. <0 -

МУЛЬТЯЙНДЭКС, /oí | = -К .. f e¿ft , = ^Jjr > • • • , ^^ ) ,

ft /Га ' \

nM./tk ¿} = X CU*)**-

формально самосопряженный положительно элипштпческий в -П_ ошратор с действительными коэффициентами

А IfSláfcj y»i с

~ формально' самосопряженная относительно // нормальная

система граничных операторов порэдкоэ Kj ¿2»>-d (0¿ Kt <... <

< Zm-L) с дзйстштолышш поэффацаовтака é^j (ос) €

£ С2™ ^ (S) . подчиненная условия пакрываиия; F,f -

- .4 -

заданные, а а(-1\х) - искомая функции.

Следует отметить, что различные простейшие частные случая уравнения (I) часто возникают при моделировании фильтрации еидкосги в средах с двойной пористостью, передачи тепла в гетерогенной среде, влагопереноса в почвогрунтах, при анализе нефтегазовых кесторокдений. Поэтому тему данной диссертации, посвященной исследованию многомерной смешанной задачи дая уравнения (I)« можно счжгать актуальной.

Цель работы - изучить вопросы существования Скак в малом, так и в целом) и единственности почти всюду и классического решений рассматриваемой смешанной задачи.

Методы исследование. Для исследования рассг/атркваемой задачи мы сначала пользуемся методом Фурье. После применения формальной схемы метода Фурье решение исходной задачи сводится к решению некоторой "счетной системы келшзйшх интегральных уравнений, и тем самым (в векторной записи) - к нахождению неподвижной точка (в'соответствующая пространствах) некоторого нелинейного оператора, . А для нахождения неподвижных сточек этого оператора од пользуемся принципов сжатых отображений и лршщипом Шаудера. Кроме того, дая доказательства теорем существования в целом почти в езду а классического рэ-шевдй рассматриваемой смешанной, задачи ш пользуемся штодоц априорных оценок. А теореш вдинетвешос'ти доказнваем о по" шцьв неравенства Р.Башшаяа., •

Научная новизна. .В работе доягчевы слодущие нова© ро-- зультатв: V Ч

I). дал люйнх размерностей ' Я ' ( И - число пространственных переменная) доказана теоремы еданственноога в целой почти

- 5 -

всюду в классического решений;

2) да- любых размерностей /1 доказаны тборомы существования в узлом почти всюду и классического решений;

3) для любых размерностей ЧЪ доказана теорема суцзство-вания в целом решения почти всюду;

4) для размерности У1 = 1 доказана теорема существования в целом классического решения;

5) в случаях

, к/Ч;

р=р(-е,х,сс) = ^ (+,*>"-)•, , К^Чт+г доказаны теоремы существования в целом классического решения!

Теоретическая и практическая ценность. Задача, рассмотренная в диссертации, представляет не только теоретический, но и большой практический интерес» ибо- многие частные случаи рассматриваемой в диссертации смешанной задачи (особенно случай Не I ) встречаются при модолгул>ании фильтрации жидкости в средах с двойной пористостью, передачи тепла в гетерогенной среде, влагопереноса в почвогрунтах, при анализе нефтегазовых месторождений и многих других задачах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на ХП-ой Республиканской научной конференции аспирантов Азербайджанской Республики (1989), на Х1У-0Й Республиканской научной конференции молодых исследователей вузов Азербайджана (1991), на научной конференции по механике и математике, посвященной памяти профессора К.А.Керимова (1593), на семина-

раз: кафедр дифференциальньх в интегральных уравнений н ыате-кч.таки и методика ее преподавания (1989-1993), а такжз на св-л.гарах Института ы- тематики и механики АН Азерб.Республики. •

ртблтоашш. О- :>вяые результаты диссертации опублакош-•71 в четырех работ; . автора, список которых приводится в кон-, ..■ автореферата.

Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения и двух глав. Об11 ем диссертации 155 страниц, библиография содержит 80 наименований.

СОДВРНАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Диссертация состоит из ввздзкая е двух глаз. Ео введении обоснована актуальность теш диссертации, сформулирована ее цель и дан краткий обзор работ, непосредственно связанных о темой диссертации.

Глава I, состоящая 23 пестп параграфов, посвшззна мучению вопросов существования и рдалотвзнности решения ночи: всюду .задата (1)-(3).

Всюду в этой работе считаем,. что выполнены все у слова.:, нйлсшннкэ на лашшо при постановке задачи (I)-(3), а в кез-дсг.; конфетном случае буясц указывать лшь дошяештояьныо

условия, '

В §1 глава I, с целью исследованая задачи CI)—(3), введен ряд понятий» обозначений и фактов. Предполагается существование эрмитовой зштагро-даффаре1щиальной билинейной форйы

-ÍL W.ipum Г

т. ■

такой, что при (л,{В,] ¿%)

(¿(И)

и соответствующая квадратичная форма й(и,и) коэрцятивна на я

(яО - измеримые ограниченные в -£"2- функяи. Последнее означает существование постоянных Со>0 и С1 , таки, что Уи.е Щ^СЛ^/ц)

причем, но нарупал общности, считаем, что ^ — 0 .

Оператор $ , порожденный дифференциальным выражением '{¡(и) я краевыми условиями (3), имеет'полную в /.^{Л) ,

Л п \\£т(Ц}1 В^ ] ортонормирование

снстоыу 1(х) ] собственных фушщай (ее) , соо?-вотствуганх собственный числам , занумерованный в по-

рядке возрастания,* т.о.

^ д Л

• • • при)

Далее, через обозначается совокупность

всех функций вида

, рассматриваемых

в (¡>т = [0,Т] х .О. , где функции Ы3Ц) СъО раз непрерывно дифференцируемы на [0|Т] п

где с££ ъО (1=0, С) . Норта в этой множестве

определяется так: I,И [( - «Тр (и) . Очевидно, что все эти

пространства банаховы.

В этом параграфе дается и следующее ШГЕДЕЛЕНЙЕ. Решением по^тн всюду задачи <!)—(3) назовем функцию lL(i,x) . такую, что k^fajBjj^)),.

(itx) € Lj[0,f]; Y/föflfy • к0^0?2^ удовлетворяет почти всюду б = (о,Т) xJ2. .уравнению (I) и принимает начальное значение (2) почти всвду в SI * . ,

Решение почти всюду задата (1)^(3) ищется в'виде

где lls(t)=§ll(-l:lx)Vj('x) c(oz . Тогда, после формального

применения схеып метода Фурьо, шшиденде коэффициентов Фурье Us(i) искомого решения почта всюду 11(Ьгх) задачи (1)-(3) сводится к ратанию на £o,Tj следующей счетной сестоаш неяп-

нойща: штегро-ДЕффароЕйшзльшя уравнений: . .

* • '

Щ&Шм-е s -dxch (5)

тдэ '(f= §Jf(x)1%(x)dcc ,

dlU

Наконец, в той параграфа доказывается следующая ■ ШЗЫ I.B.-^ Если является решенной почта во»-

дг задача (1)-(3), то фушадщ ¡¿s(i) * х)zgx)сСсс

(Szifiy,.) удавлатЕах)яв|2 ка COjT] caoscuo (5).

- Рада удобства, дяя аргуиеах-бв юуцкцш Р , фигурирующей в ггрзвой часг^ уравнения (I), принята обозначения: к) Дт теорем и легггл сохраняем обозначения днссортащш.

В §2 главы I с пошцыэ лекш 1,3 в норавекства Р.Беллыа-' на для любах размерностей И доказана следующая теорема единственности з делом решения почти всюду задачи (1)-(3).

ТЕОРЕМА 1.2. Пусть функция' ..., Д^) , опреде-

ленная а области с°,е>о)'у , где ф,, 2 + •■■ -Ь П. , удовлетворяет следующим условиям:

1. Р({,г,о,\..,о)е :.

2. а) прз . П, < Чм пря (■И?,з:)еС}гГ , , где ^ =

+

. /.¿т-1

" 1 180. ... если Д - четное (в этом «изучав Я- );

если - нечетное (в этом случае К-= -1 . ); б) при й = Ую. в @гх(-е*>,

-

11-0

« . ® -I

¿-О ^

где £>0 , С(г_>О ,. С >0 - некоторые постоянные,

0<У. " пра

I в остальных случаях,

причем при п.-Чт+Ив=-Л ,¿=1*+* считаем

, а при ¿-Змг везде считаем =0 Тогда задача (1)-(3) не мояет иметь более одного решения почти всюду.

В §3 главы I с помощью принципа сетмаотах отображений доказана теорема существования г малом решения почти всюду задачи (1)-(3).

ТЕОРША 1.3. Пусть I. Выполнены гее условия теоремы 1.2.

г.

3. я,'Я?"1") в удовлетворяет

ус*: зиям Каратеодори, т.е. для почти всех (т^.а:) £ ©т н(- .ярывна во совокупности аргументов • ■, Я)ЛгпЦ.

в с ласта (-со, оо)^ и для всвх измерима относительно (х) в

Тогда существует в малом единственное в целом решение почти всюду задачи (1)-(3).

Кроме того, в этом параграфе комбинированием принципа сзимающчх отображений с принципом Шаудера-доказана еще одна теорема существования в малом решения почти всюду задачи (I)-(3).

В §4 главы I доказана следующая ТЕОРЕМА 1.5, Пусть выполнены условия:

1,

2. В области ~Г (^^п+.-.+п*™)-.

гда С>0 - постоянная. =

Тогда для всевозкогннзс решений почта есвду " х) за-лдтз (Х)-(З) справедлива апрлорназ сценка:

!1№,%т(11)<* МфЛ ■ (6)

15 §5 глави I,используя апрпорпуэ оценку (6) .доказана слоящая теорсл'Л.

ТЕОНЛА 1.6, Пусть 1„ Ягпсггпенн все услогая зэоре;щ 2.3.

2. Заполнено услснао 2 тс-ореиз 1.5,

3. а) При жДт. УЬО доя

-12 -

е'сли п -'нечетное - -i ) ,

I i-it,0*Z

если YL -четное (it-Am-+ = ;

tí) при в QT *■(-<*>, со}*' ■ :. .

осле п = л/п ¿i

', ' An . ■ ¿

есла H>£m ,

причем:

при нечетном п. < ¿m , i^í ¿i /nctxj i: n< Vrn-<2ij,

при четном И с Лт. , ¿B0 +-Z¿¿ ¿L0 ,

при К = 2-m , í íL¿le , при 2m <n<Чм. , 0<Í£Ío

л .v - Лп -¿rn+AL .

0<íi~ л-Лп fit ' . ' . •

при /г < Лт., L0+l ¿ ¿ V , ЩШ ¿Irn, i-ofï £Í ¿ ¿пг »

при Лп1 СП < ¿Я., 4-Ají ^ L&Àm. Ji пра > ífct, Oí i ¿

0<f¿ 4

при этой, если п- , «о 0<$< *

С>0 , > 0 ~ шкотораэ поотояанно.

Тогда да всоиоаъкштх решений почти всюду и{1^зс) задача (1)-(3) справедшша априбрная оценка:

Лимц^^'бС;. (?)

.Наконец, в §6 главы I, используя результаты §§3 в 5, дая любых размерностей У1 доказана следующая теорема о су-

- 13 -

щоствовании в целом решения почта всюду задачи (1)-(3).

ТЕОРЕМА 1.7. Пусть выполнены все условия теорема 1с5.

Тогда задача (1)-(3) тлеет единственное рзлокяо почти всюду.

Глава П, состоящая из семи параграфов, поскщена изучению вопросов существования и единственности классического решения задачи (1)-(3), причем под классическим решением задачи (1)-(3) пошшаегл функций и(-к,х) , непрарыЕнуй в замкнутой области Qj, = * SL вместе со всеми своими производные, входящими в уравнение (I), и удовлетворяпцуи всей условиям (1)-(3) в обычном смысле.

В.-§1 главы Л, используя вышеприведенную лемму 1.3 и неравенство Р.Беллгдна, дая лвбнх размерностей !Ъ- доказана следующая теорема о единственности в целом классического рсие-нпя задачи (1)-(3):

ТЕОЕША 2.1. Если функция определена

гдэ Og>0 - постоянное, то задача (I)—(3) m ¡лозгет иметь более, одного классического решения.

Кроме того, в это« параграфе доказана еще одна теорема единственности классического решения задачи (1)-(3) для случая F-уОГ-ц) .

В §2 главы Е с помощью принципов сглтих отображений и Шаудера для любых размерностей Я ■ доказана следующая теорема существования в малом классического решения задачи (1)-(3).

ТЕ0РЕ.1А 2.3. Пусть для выполнены условия:

I. а) ЪЛ=ЗеС*п :

в) <((*)€ , причем <((х), й^фс),й

"ЛЬ^) при четном К к . } Д 1 ") яра нечетном £ .

2"а)

б) функция равна нулю во всех точках

вместе со всеми своими производными вида, указанного в пункте а), до порядка (к-Ч)т + включительно при четном К и

до порядка (к-5)>я+кг включительно при нечетна? К ;

в)М>0 в •(?ч>*С-Х>1иУ .

^РЦхЛу-М _ 1<Г-У1и-и-1

где Н+- УУ: = 5 = , а Со? О - посмяннко.

Тогда существует в калом (т.е. при достаточно кашх значениях Т ) единственное в целом (т.е. пря любых конечных значениях Т ) классическое реаенио задачи (Т)-(З).

Кроме того, в атом параграфа доказана еще одна теорела существования в шлеи классического решзашя задача (1)-(3) для случая Г=Г(^>з;»иг5)и.>..- .

3 53 главы П с пошцьа теорем 2.3 п 1.6 доказана следующая 'порэиа о существовании в целом классического решения задача (1)-(3) в случае п-1 ,, т= 1

ТЕОРША 2.5. Пусть I. П = =

2„ Выполнени все условия теорема 2.3»

3. в (?т*«О3

F(i,X,U,W)-ll £ Cíi+Íi+Aw2).

4. VR>0 в

5. ^ IV) ё * С--)3) s. VR>0 в

| PV(Í,W> Ц< C¡, (í tlv/l), I

где С > 0 , C¡f> 0 - пэтсотораэ постоянен©.'

Тогда задача (I)-{3) rase® ёдпнствевное классическое решение.

В §4 главы И с псшцьв тоореыз 2.3 доказана следующая теорека о сущзегвовапки э цалои еяессэтр'пкзго реэеяпя задача (1)-(3) в случае Р= , m L • для разглэраос-

трй i¿n¿io .

ТЕОРЕМА 2.6. Пусть

1. i í nsíO , т-±.

2. Для 1С=£х1+3 вшгслнэжг все условия теорема 2.3.

3. В Q*r х (- 00 >

где С>0 - постоянное.

4. Пра Z¿ rL¿ W в

|FÍ¿(x)a)|¿C;e,U',¿£ .(Í'O) ' волн П--Д,

|P(è,X,tO|fiC(i+M если n=3 ,

|F(¿,*,M)|íC(b если fens ю .причем

rrpún^ , y-^k при 5ЛП.И0..

5- 2 QT *(-<», «О

a) при ц = ■' ó) пра 5Щ±*0

¡FJMléCÍHM^); :

в) при П = G

г) при ?¿ri¿JO . IP^í^l^íi+iiti^),

д) upa nz8

е) : -.да = /О

litl

г-£

s) npa n. = fP

гд9 C>0 - постоянщш и • '

, Zn-lf_r f- „ , „ Яп-у. - &

= o пря ri*à , 0<(L< -fi-rîT - Y

npa ri À W î

«дал*?,

On-к*4,£>o),

npa

при

4-1- яря n ' Я.i0

npa j

¿«-S.

rt-6 _

npa /1 = ?,9 , Л

^ -fff прз ^ , ^¿b < ^rf" . при л = to . O^Vi i лг-тг Щ>в *-- О^Л * ^r при П-9.Ю , о<у f? пр., 9 , j;i3=o .

. . Тогда задача XI)-(!i! идее* единственное классическое рзпсико«

В §5 глава Ц, пользуясь теоремами 2.3 n 1.6, доказана тоорока о суггоствованвп в долом кяаеопчэского решения задачи (I)-(3) а случэо P=P(è,z,u) , /?1-Л. " для размерностей i i n i f; . - . .

В §6 глава П, пользуясь таорзмш.ш 2.3 п 1.6, доказана теорзка о суаюствовавнн в долом классического решения задачи (I)-(3) а случае P=F(é,x,u.) л m = 5' для размер-

ностей л ^ п. é а ,

В §7 главы Ц о помощью теорем 2.3 и 1,6 для размерное-

- 18 -

»ей tl £ 4tn + Z. доказана следующая теорема о существовании классического реиения задачи (I}-(3) в случае Р-тъУ . ' EOFÜiA 2.9. Пусть

1. п. itmiZj. ..

2. Дня вшэлншк все условия теоремы 2.3. Б. Б * С-«7®*®")

гдэ С >0 ' - постоянная. 4. При 4>sZni б

\ШШ-е1щг'£ ■(*>*)

прц

ups. nyZm , ■гдо . 0</4 п-ггп v&xZm<n<4m

л w ^ п+Ям.

v< i с Ера n = Vm.a ,

irfS- ■* '

С>9 - некоторая постоянная. 5. В (?т * «*>/<*>) '.аКсра цг^пт .

б) при Kz4m+lt.n = 4nt+Z

гд0 ко - тгё ..(ошит)^-при = 0

п ■ , П-(п-Ы)дУаЩ"_'Чт

00,1' п-упь^ • ■ ~Л-Ут -

И: фт+Я, ''

Л 8 9яг*&' "'"

а во всех остальных" случаях ' -

и< " . И-Ут

. Тогда задача (1)-(3) имев! одашявснноэ классическое

Оопевныэ результат япссортщаз опубликованы в следующих работах: ' ; ' '". •

1. Худавардиез it.il., Лллоа 7.И. Исояодез'ЧЕЭ решения почта всиду многомерной смешанной задача д.. одного класса ноли-неЯння псовдопараболэтгаскпх уравнений, - Тематический сборник "Краэвшз задачи дая дайорзшшальянх уравнений о чает-тзяз производтга", пзд.ВГУ, 1530, о. 8-13.

2. Худавердаев К.И., йяааэ Ч.И. 0 решении почта всэду ыного-■корпоЗ смазанной задачи для одного класса' нолинэйпшс пссв-допарабодическшс уравнений. Деп. в АзНИИШИ, гё 1989-Аз., 30.04.93 , 62 стр.

3. Алиев Ч.И. О классическом репшни.шогоаэрной смешанной задача для одного класса нелинейных псовдопараболпческих

уравнений. Тезисы НУ Республиканской научной конференции Молодых ученых вузов Азербайджана. Баку, 26-27 декабря 1991, Баку, Г.'53, стр.7. 4. Худавердаев И.".'., Алиев Ч.И. Исследование классического решения одномерной смешанной задачи для одного класса нелинейных псевдопараболических уравнений. Материалы научной ионфарэнции по механике в математике, посвященной юбилею профессора К.А.Керимова, 2-4 июня 1993 года, Баку-1993, стр.276-279.

В заключение, пользуясь случаем, выражаю глубокую благодарность своему научному руководителю профессору К.И.Худа-вердаеву за постановку задачи и ценные советы.