Исследование надежности ударных моделей в классах "стареющих" распределений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.09 ВАК РФ

РГ6 OD

1 О PTÎ - Í »i> к

Академ ¡я наук Украши 1нститут юбернетики ¡меш В. М. Глушкова

На правах рукопису ХОМЕНКО Людмила Павл1вна

ДОСЛЩЖЕННЯ НАД1ЙН0СТ1 УДАРНИХ МОДЕЛЕЙ В КЛАСАХ В1КОВИХ РОЗПОД1Л1В

01.01.09 — математична юбернетика

Автореферат дисертацп на здобуття ученого ступеня кандидата ({изико-математичних наук

Kiiïb 1993

Робота впкокака б ¡кститут! к*1беркетнкп ¿мет В. М. Глуш-кова АН УкраТни.

Науковий кер1вник: академж АН УкраТни

КОВАЛЕНКО I. М.

ОфщШш опоненти: доктор ф1зико-математичних наук,

професор ЯДРЕНКО М. И.,

кандидат ф1зико-математичних наук, доцент ЖЕГРШ Т. I.

Провхдна установа: КиУвський Щстятут 1нженер1В щтльно1 авгаци

Захист вщбудеться « »-19 р. о-

годиш на засщант спещал1'зовано! ради Д 016.45.01 при 1нститут1 юбернетики ¡меш В. М. Глушкова АН УкраТни за адресою:

252207 КиТв 207, просп. Академжа Глушкова, 40.

3 диеертащею можна ознайомитися у науково-техшчному арх1В1 шституту.

Автореферат роз!сланнй « »—--199 р.

Учений секретар спешал1зовано! учено! ради

СИНЯЕСЬКИП В. Ф.

. ЗАГА.ЩМ ХАРАКТЕРИСТИКА "ОБОТИ Актуальность проблекгл. При проектуванн? високонад:йних склад-них систем часто (нав!ть при наявност! просто! мзтвмнтичног. моделi) бувае важно обгруитувати вибХр тих чи Ишзкх BapianT.iB конструкции того чи irciioro способу ТОХН1ЧНОГО обслуговувак,чя. 0ДН1ПЮ з причин цих труднощ!в е Б1дсутк1сть 1нформаци про функци розпод1лу (ф.р.) випадкових величин (в.в.). то визначають фуикц!о-нуванкя систем, як! проектуютьоя. Висока надШнЮть суча .глх 0Л8М9Н1.3 луке ускладшзе одеркання дос.лнього ^'ему статистич-них датах для побудови емШричт.и ф.р. той ке час яаявн! статис-тичн! дан! дозвсляють зробити вясновки ¡гро налекнЮть ф.р. систем!' до класу ( р., цо мають характер;;! як!сн1 особ y^ocTi . Одним 1з найб!льш реальикх припущень е припуцення про налекн1с?ь ф.р. до ГТОВНОГО BiKOBOrO класу. В OCHOBi якого лекить поняття "ста-р1яня", яке визначаз, що над!йн1сн± показники система з BiKOM не покращуються або, навпаки, не стають Прижми. Налекн1сть до вдового класу в багатьох випадка" дозволяв обгрунтуЕати деяк1 характеристику система - обчкслити гарантоьен! верхн! i rcwHi оцШки iMOBipHOCTi безв1дказно1 роботи, знвйти оптимальней пор:од попередкувальних зам!н та iraui проблеют, наведет никче. Ссновопо-ложн! роботи в ць^му напрямку належать Р.Барлоу та Ф.Проиану.

Як1сн1 вимоги до ф.р. мокуть бути i irccoro характеру. В роботах Барлоу, Маршала, Роудена, Карл1на, I.I. Афанасьева, е.Я. Ф1нквльштвйна робиться припущення, що ф.р. увогнута, випукла, симе-трична, ун1модальна i т.д.

В роботах I.М.Коваленка, В.А.Каштанова, б.Ю.Барзикшича робиться припуще»ля , що в1дом1 т!льки значения ф.р. в к!лькох точках, декьлъка початкових моментов, мода або квантиль.

OcTaHHi два напрямки являвть i-нший п1дх1д до вир_ипення укяза-задач. Дана дасертац1я, розвиваючи напрямок в1кових класть, частково торкаеться вирхшення подгбних задач на стик'у напрямк i в, що приводить до отримання б!льа точних результат!в. Метою роботи в

- рспробка i всесторонне досл1джокня нових в1кових властивостеЛ, як1 б адекватно описували pi3Hi аспекта старая в системах з зало хними 1 незалежними компонентами;

- побудова точних зэрхн!х 1 нш<н!х оц1нок, а також знаходжоння

вкстромаяьних значень функц1онал1£ що хоракторизуать .»ад1йа1сть в -"жукгпх i но?.их класах;

- застосування • держаних розультаг 1в до розрахунку надШюст! систем, що долускають зображення у вигладх ударюпс моделей (УМ);

~ дссл1дж8ннл азаемозв' язку над1йкост1 УМ з розв* язком. багатови-Mipnoro рхвняння е1дновлэш;я;

- дослгджоння граничних характеристик УМ.

_Г укова новизна. Запропонован!, об^рунтован! i meOVmo досл^т -oni нов! BiKoei BJiacTUBocri. 0триман1 результаты з^стосо-ван! для розрахунку надШюст! реальних систем.

Ввэдеи! одпоькм1рн! BiKOBi критерЛ* торкаютьоя б!льш широких acneitTiB старшая, накладають меьш корстк! обменян. л на ф.р. i в той т час данть змогу буду вата робастн1 оц!нки '•чдшионих Функцюнал1в.

FaraTOBüMipHi BiKOBi властавост1 вивчались Маршалом, Базу, Блоком, Сав. icoM, EöpariMi . Таким чином . введен! ними шитер1Г но давали moncuiibocti розв'язати характер»! для bIkobik клас1в щюблеми. Конструктивна задания введених в дисертацп класхв зробило можливим 'ix досл!дтення щодо збереження öaraTOHKMipraix розширень оперпц1й сумШЦ та згориси та гкюудог • оц1нок практично Еажливих багатовим1рних футаеЦонал1в.

Впарив роэглянена над1йн!сть ударно! модвл! як розв* язок багатовтайркого р1.вняння Ыдновлекня.

Загальна методика допл1да.ення. Матемагичнкм апаратом, що використовувввся в основному в ЦДЛ дисертацН, в теор1я iMOBipnocTo.i, матем тичний анал!з i функцЮнальний анал1з.

Практична ц!нн1сть рв^ультат1в досл!дке1Шя. Результат« викона-ного досл!дження можуть бути застосован! у прооктувагаи 1 ексилуа-тоцИ складшис сбчисл1!вальних систем, систем рзд1оелектронного обладнання i техничного обслуговування. Вони такок мохуть бути використанi при анал1з! живучсст!, вадказост1йкост1 i бвапеки авто-матизованих комплекс1в.

АттроОац1я роботи . Результата дисертаЩЯно! робота докладались 1 обговорювались нв таких семхкарвх i конферотЦях:

1. 5 Всесоюзна нарада по над1йност1, кивучост! i безпец! автомати-зовапих комплексiß (Суздаль, 1931р).

2. IIa наукових сем1нарах в 1нститут.1 кЮорнотшш iM. В.М.Глушкова

АН УкраХни (в1ддз.л матемятичних метода над:"носг1 складних систем, 1991-1992 ррО -

3. На наукових семшорах в Ки1вському ушверсятет! 1м. Т.Шввченка (кафедра прикладно! статистики, 1991 р.).

Публ1кац11. ОсновШ результат!: дисертацП ояубл!кован1 в ста-ттях 1 тезах [1-11].

Структура 1 об'ем робота. Дисертацгйна робота складеоться з вступу, чотирьох глав, бксновк!в 1 списку л!торатури (93 найме, у-вань). Л'ем рсСоти складае 10? стор!ок друкоь-яого тексту.

ОСНОВШЙ ЗМГСГ РОБОТИ Дирчртац1Яна робота присвячеяа розробц.1 1 подалыг^ розвятку математичного апарзту тоорИ одновиу.1риих 1 багатоыШрних В1КОВЯХ розлодШв ( 2.3 глави дисертацП ). Одоркан! реэульте-ти застосовал! до оцИжи кад1Ыост! складних с-кстэм, як1 допускавть зобрзтапня у зигляд1 УМ, утворвяч! процаси яких маать б1ковий характер функцюнування.

При р131йг~ припущопяях про стар1яня усШшио розв' язуыться так1 групи задач:

- оцШса вадПйост! монотонных систем;

- обгрунтування введения попередиузальшн. зам1н;

- знаходжання оп^»шального пор1оду профШктичного обслуговузан-ня;

- оц!кка характеристик систем, фуннЩоиування яких вианачя-аться регенаруючими процасами,

- обчислення точпих гатаи^. I вэрхШх границь зм1нт;пан:!л функц1онал1в, 1до характоризувть над1йн1сть 1 якЮть фуикц1онуванкя систем;

- зпаходаання экстремальна зпачень таких функц1он&л1в.

В деяких випадках вихХдна 1нформац1я про Еизначаюч! систему ф.р. дав монлизасть шряд з наявШстю позно! в1ковоГ властивостг визначити деяк^ числов! характеристики (моду, квантиль,перш 1 к к..омвнт1в) та говорите про випукл1сть (скмзтричнХсть унЗмодальн!оть 1 т.д.). В таких випадках, накладаючи додатков1 обмежекня на ф.р., мояна отримати точн! оц!нки. В дисертацП останн! да! групи задач частково торкаються цих проблем. Основоиолагаюча роботи по в1ковим критер!ям налекать Р.Барлоу, О.Пропану. Вони к ггорш1

ru/язал'л поняття ударно! модел! з BiKor та властивостами.Розвитком ^iiKCBHÄ Еласг^чост^а сайм^лиоь З.Еазу, H.KOpariMi, Б.Клофсо, В.Ло: А.Л/^эд та in., -.фод В1тчи2няча- 0.Виноградов, Б.Козлов. IL")до ';?<! ni досл!д1квяня довели, до УМ в функщоналом, який рЛдображае PiKosi властивост! утворюючих уч ф.р. на в!дов1 власти r;oc"i ф.р. бозвЗдмоБНо'Х робота модолг.

У гступз до дисертецН обгрунтосана актуальность теми, навв-дйн;гЛ с яд осиовнхх роб 1т з дано! тематики i коротко викладен1 основ* ' результата.

В глав1 I зроблений огляд poöiT в облаем ударних моделей (УТЛ) тикового типу, BroAQHi нов! uiKC3i мод<Ш, що в!добража»ть iîcîkt 6arP70p!'MlpH00Ti j озповоюдаошя збитку в систем! i б!льа адекватно описуюгь реально стар!ння (роздали I.I- 1.3).

0зна"г-:щл 1.Шд загалъно» УМ розум!см стохасгичну систему. що Шдлягае вшзшу ударних навантакень у випадков] момента часу. Кр:<кш уда], g 1тр;гч;шою збитку випадково! величина. Система йчдаовляв, ягсяо збиток досягае деякого критичного р1вня.

Похай х - поол.1довн1сть нэвхД'емних, випадкових, нозаложних i одкакозо розпод!лених векторЮ ч.з загальноа багатовим!ркоп ф.р. (б ф.р.) j Р(х); х е R^ наступко! 1фироди: Х1п - '*"» ±нтарвал часу Mi« п-1 i п посл1довними ударнмми нлпантгй»ннями ; {D^Xj., ,...,Хд-п)}, - вектор-

цо "аизначав формувакня збитку в систем1; (tg,. - •, t ) - критичниЯ piBOHb збитку .Тодг надШйсть модол! л антервел? часу (О,t1) - P(t) визначаеться тагам чином:

UJ

P(t>-E PiNt^bn. .....X2n)<t2.....i)^.....W.

г»» О

л

де îHt^-ruptnlS^s^}; Sjn=E , j-T^F...

У роздШ 1.4 навэдона класиф1кац1я УМ за принципом формува-нпл збитку у систем i (розглянут1 модолг типу СШ ,де

»¿„(Xj, ,...tXjn)-sJn,j=.-27m , i моАелз типу woi«, де

.....v:^ xji

У роздШ 1.5 показания зв'язок H:i/;i?.H->CTi УМ з розв* язком Оягатовимзрного рШннкня аг'диоБлення (RIB).

У ю^дЬ-п I.5.I розглянуто ¡"В вигляду v-g + v » р ;

V.g e 0m= { u(x); x « R™| u(x)=o; z 6 R+ ! |u(x)|<- . JxJ<» >. дв I.в - норма вектора в r"; позкачаз операцШ m- BHMipuoï згортки.

Теорема I. Фуякц1я P(t)e едюпгй розв'язок БГБ з

.ff4É(tj= ра^ц/х^п^^.....3WV •

у клзс! функц!й 6m 1 маа таку канся!чну форму:

*{H(t)+1) . дв н(М-£ Pn(#m)(t).

n=0

У роздШ 5.2 як приклад ум типу iîodh розглянуто систему , що складаеться з одного основного елемента i (г-1) запасних. Ф.р. часу бг ~*в1дмовно1 робота £ основного олементэ в F(x,. F(C~)=o. Запаси! елемента в "холоднш" рэзерзом ! мають над1йн!снд характеристики, 1д9нтичн1 основному. При Р\дмов1 основного елемента його ремонт зд1йснваться одн!ею з двох сперац1Й : рвгулюзэчням (ремонтом без замШи), при цьому над!йн!сть робочого бломеитэ в!дновлювться до початкового р!вня, збо зам!кою справним запасним еломентом (яка; такого не знаходиться.то наступав в1даова системи).

Робиться припущення, що !мов!рност! пибору рбмонтно! операцН pira! в!дпов!дно р i q, p+q=I. Час ремонту ввахаоться воличкпси, якою нехтувмо.Нех-1 т - тривал!сть безв!дмовно'1 рсботи системи.

Теорема 2. Нехай v?r(t) -ф.р., що в!дпов!дав в.в. х i pic::« резервування (r-I), w (t)=»p{i;<t}p Р - неарифмотична ф.р., V(o)=o. Тод! wp(t) - зданий розв'язок системи р!внянь водновлекня:

( a Wq - ви^одаена ф.р.) i представляеться у вигляд!:

»„-H1" , H(D- р Ê qn Fnf1*(t).

Г n-0

У глав! 2 дослщжуються одновим!рн1 критерИ стар!ння.

У розд!л! 7-.I наведен! визначення клас!в, Ix основн! властиво-ст! та короткий огляд результат!в з Teopiï одноькм^рких розпод!л!в. Уведен! основн! класи - к- НСКЕШ, ь"*, УНСКВФ1.

Означення 2. Абсолютно неперервна на [О,») ф.р. ?(t),y яког icnye lim P(t)/t=\ , наложить до класу к-НСКВФ1 (k-ИОПЗФГ), ягацо

ь -Т " t

виконуеться нбр!вн!сть: \ / Л. (x)dx , t>0.

* О

Означтшя 3. Ф.р. г(Ь) наложить до класу УНСКВСЧ (УЯСГБФ1) , якщо (> )1 ;

^ в г и А —< л

I- (Ь ) , якщо , до Р(в) - пвретвороння

Лапласа - Ст1лтьеса ( ПЛС) ф.р.Р .

Вкконана класиф1ка1Ця клас!в у тормШах операц1й стохастично-го дом!нувяння даз ц!л1снкй погляд на область в!кових критерНв, гидкривао напрямки досл1даення класса, даючи можлив1сть апр1ор! припустити 1снуваш!я у класу означоних властивостей.

У теоремах 1-4 розд!лу 2.2 досл!даена упорядкован!сть м1ж ноними 1 ЛСНуВЧЙМИ клнсями.

•V роздзл1 2.3 иавпден! результата цодо зберожония в!кових Бластилостей Шдаосно основних надДЙнЮних операц!й (теороми 5-Э). Результата в!дображен1 в тлбл.1 (+,-,х означають дал1,що клас замкно-нпй, не замкнений, нэ досл1джокий в!дносно в!дпов1дноГ операцп).

Таблиц I

Класи ф.р. <ЮрмуВ01ШЯ ыоното Ш101 структури Сум зла Згоргка

I," X - +

ь" + -

УНСКВФ1 X - +

УНСГВЭ1 — + —

В щлому наведен! класи нэ збер1геють оперт'1ю формування монотонно! структури, ело при повних умовах збереження вихонувться.

У розд!лах 2.3, 2.4 1 2.6 наведена характеризахЦя клйсЛв в1дпов!дно в терминах ф.р. залгеякового часу хиття - йг, ПЛС 1 ударних моделей. За допомогою цих перетворонь побудовпн! нестандарт оЩнки у класах в1коьих розпод1л!в, розв'язан! проблеял замкненост! в!дносно р1зних над^ЯШсних пор^творень. Означения А. С>.р.р наложить класу : Ь(Ь), якщо +

УЬ'СКВ, якщо , де о -дисперсЛя ф.р.Р.

-I *

. нети (НСГВФ1), якщо К £ (г) t 1 * X {х)йх , ОО.

г О

ССЗЧ (ЗСЗЧ), якщо зростае (спадав) по I, 4 «

-I 1 "

ГЗСЗЧ, якщо t * (х)ах спадав по I, I « н,. о Ьг

ГНСКВ (ГНСГВ), якщо Бг(1)5(г:)«5Т{-1/цр>,1 « Н+.

I Теорема II. ? с Щ) ** Э е ЬТ*(ЬГЯ).

Теорема 12. Р « УНСКВ (УНСГВ) «♦ % « УНСКВФ1 (УНСГВФ1). Для характеризацГ1 у терминах ПЛС уведено посл!довн1СТЬ

ак(в)=в,'/х''"7(к-1)! в"*" к=1,2,... -7 ао(в)=1»

о

00 ь

и (В)=Е Р а (в), р « [0,1ь

р к.а __

Теорема 13. «-► ир(в)^(г)[1-рВ/(в+\г)]"*.

Твердкення теореми принципово р1вносильне такому: ф.р. Р «

ъгл (ьг*) т0д1 1 т1льки т0д1, коли п0сл1д0вн1сть {(\(в),

КгО}п1длягаз дискретной ьг* (Ьгв) властивост1.

Модел1 ударних навантакень (розд!л 2.6) в 1ниим типом функц!онал1в, що в1добракувть в!ков! властивост! утворю-ючих ф.р. на в!кову властиз!сть ф.р. безв1даовно!' робота систвми (теореми 22,23).

У розд1л! 2.4 за"ропонован! нестац1онарн1 оц1нки. для ф.р., фупкЩй нод1Яност1 1 эалишхового часу киття, момент1в вкщих псряд-к1в (табл. 2), а такон розглянуто знаходаення екстромальних значень деяких над!йн1сних функц!онал1в у "в!кових" класах.

Таблиця 2

Клас Оц1нка функционалу

УНСКВ У (t)5

к-НСКВ01 Р- випукла

УНСКВФ1 ? - випукла ■I, Ы2Х" 1 /(л.г-1), ,

НСКВФГ Р- випукла Р(1)<

Прдовмення таблиц! 2

Клас Оц1нка функционалу

ЗСЗЧ с -2tu 'LL с 1 tip /(2ц ) ^/(a^et), t>n, /(an.) .

ССЗЧ f -ïiji -p, € * ,,t<u/(2|t) [о,

гзезч 1 1 f1, tsu /(2щ) U vt.t>H2/(2p.) f де w - розв'язок р1вняння:1-,-««"vit

гаскз(гнсгв) r r o

L j^jJt/ц-е1-'^, t<|i U. иц

ь" 1.1, t>1/'X

ъ P(t);.í((H-t)/(ti+t))a, СККЦ lo,

L ïr Г1 . tí|l Р(Ы 1Ац.(;У (A.t+1 ) ) , t>\ .

У r.naBi_3 представлен! i Bceöi4Ho дссл 1дг-ек i нов! багатови-

м ipil J в i ков i класи.

У ро:;дДл] 3.1 обгрунтовака необх!дн!сть вьэденкя багятозя-

м1ряих аналог 1r екепоненц1альт1х розпод1а1а :

Де (MM: РД; (pt)_=vua(p.t.f i=fTS) »

як базових для побудови нових BiKciistx криторШ 1' вигшачеЫ

OCHOSHi ХЗрокТврКСТЖЯ: фуНКЦИ В1ДНОВЛЭНИЯ Ilj^t) -

<» m о (p. t ■) П (t)= e*p {-(H,t)> Г П Z — ¿г-- . IU(t)»(|At) 1 n---1 5-1 k-n i

Ix ба:этоБим1рн1 пэротБГ.рвння .Яепласе-Ст1лтьеса (Ш) - H^u) та

густг "и в1дчоал9!гня h£(t).Ha сспов! ?«(t> i f|(t) тэ плясти-ад^те!-;

БШ1С уведенi баготов;ш1рп1 ззлкшков! часи :<иття~::.* {t) 1 3* С t >.

" 'орома I (t) -ii^Ptt) , 1=1,2.

Теорема ?.. s*(t)=p| « ,1-1,2.

Одномайрн! марг!лальн1 розпо.ц!ли дпя - звичн! яялкякор!

часи життя. На . л дм i ну в!д однов;!м1рного витшдку 3^.(1) не в вкпуклими.

13 розд1л1 3.2 дан1 означоння багатовил1рш« bvxobhx власпг остей.

Озгшчэння б.Б.ф.р. F(t), t « ^ •»8 вектором почвткоьих значень V , — ,\m) , Xi-(J/»ti)f?(t)| ,tk=«. k.-l>J,

наложить до класу:

ЕНСКЕФ1 I (BHCITWI I). ЯКЩО ?(t)i(s> П (1 ) .

1=1

шскв31 ?. (btiotpc-x 2), якщо у (t (i) 1-i"(xt)- .

БНСКГФГ 3 (BHCTRT'I 3), якп;о П «"^l1! .

1=1

----» m

Ь" ( Х.Г" 1 яг-едо П \./i\.+e.) .

11 ..111

1-1

u,' ) ,яшцо f(s)>(s)I/{1 + (\" ,e)} ,де .vmvj-1,...^"1).

ir'

О

Означения п. П.ф.р. ?(t), t « r" , а вектором марг1наль-них слродни .i = (<z,.---i/р. ,l-T7m) налегать до класу:

БНСКИ I (ВИСТЕ I), ЯК'ЛО Sp(t)>(4)F(t)

БНСКВ 2 (БНСГВ 2), БНОГКВ I (ШСГТВ I), ШСГКВ 2 (БНСГГВ 2), Г1

UL (k£L ) ,

10^ (MLg )

якщо s|(t)i(s)F(t) .

якщо s£(t)*(*) П О-в^Ч) .

якщо s|(t)ï(s) 1-е"

ЯКЩО ?(B)S(2) П Лл и ■ , 1-1 1+aiei

якщо P(e)s(i)I/{i + (a,e)} ,

Теорема 3. Справедлив! наступи! сп!вв!дношення м!к класами: L'r «■ «. БНСКВФ1 2 •* БНСКЦФ1 I -» L™

БНСКВ I

БНСГКВ I

t£L,

MLg

БНСКВ 2

БНСГКВ 2

У. даноыу розд1л! таков наведен! твореми, що характеризуют взавмозв'язок м!е дво£стиыи класами; зв'зок Mis одновшЛрними ! в!дпов1дними багатовим!рними критер!ями; ав' язок багатовим!рних критер!1в через Sr- перетворення.

1Сонструктнвне визначення клас!в уперке зробило мохливкм досл!дхення клас!в цодо зберекення Сагатовим!рних розширень операц!Я сум1ш! та згортки, що активно використовуються в р!зних застосуваннях. Основа! результата базового розд1лу 3.3 ( теореми 6-15) в!добракен! в табл.з .

Таблиця э

Клас б.ф.р. Сум!ш Згортка

БНСКВФ1 I - +

БНСГВФ1 I - -

БНСКВФ1 2 - +

БНСГВФ1 2 + -

Продомюнн*1 ГОб-ПИЦ 3

Кляс б.ф.р. Сум1ш Згоргкэ

ьноюш з -

ПНСГВФГ 3 + для б.ф.р., що не X

ь г" а перетинаються в й™

- +

> X -

ь," -

С X -

БНСКВ I + для б.ф.р. з однако вими вокторямя М<ф,\1 --налы.га сородн1х

ШСГВ I X к

БНСКВ 2 4- для б.ф.р. э однако ними векторами .чярг! -нальних сородни.

ЕНСГВ 2 X X

1П. -

ЙТГ 1 + для б.ф.р., ко на перопшааться в гГ X

мьа +

тг +

У ропдШ 3.4 побудован! нестацЮнярн! оц!нки таких над1Ян1сних фунхц1онвл1н,як б.ф.р., функцП над1Яност1, в!дновлеиня, золтаков-ого часу хиття, згортки б.ф.р. 0триман1 оцШки пор!ьняно просто обчислита'ня практиц1. Легко пороконптась, до в одновим1рних вина-днях отримувм в1дом1 рян1шо оц!нки (глава 2). Наклядагчи на б.ф.р. додятков! обм^жонля (кипуюЦсть, ув!гнут1сть), ЯК1 • гюв-язпн! з в!ковкми властивостями, отримано б1льш точи! оц1нки. Результата розд!лу в!добрахян1 в табл. 4.

Таблиня 4

Клас б.ф.р. 0ц5нхя функцЮналу

внскв I )_-!* н{ г) « и, (1 >;7 ъ « .

Продовжлчня таблиц! s

fame б.ф.р. Оцгкка функц!оналу

БНСКВ 2 о (Ht)_ m

БНПГВ 2 . -пгщгг • 4 в ■

•шсгв I -Т^ТЕГ • * - "ï .

БНСКВ I 1 H1(t> m -ъщтгг • 4 - .

Б. .ЮГВ 2 (ut) -i+e-t^L —wz- • 4 e К.

БГНСГВ I P(t)* _J-, t * B+.

HLg P(t)á П (Ц/<ц)е , ic1 I tj.Sflj , i=>T7m .

щ P(t)á -(а,в) (1 + (a,e))(1-* t8't') де B1,...,om -розв'язок системи р!внянь: ûie"(a't)-ni+(a,B)ti+(a,B)2t1 , i-TTrù.

НЕ1 - m 1 Д9 B1f...,Bm -розв'язок системи р!внянь:

Продовжегая Tnrt.iiîui 4

Клас б.ф.р.

Р-

випу.ла (вынута)

П^МЬ,}, ?-випухдаС 'гнута)

Р-

випукяа(вогнута} вгатукла(в1гнута)

БНСПФ1 I (BFCTBOI I)

ОцЛнка функционалу

.(e.i

P(t)ü(s) П

-ГТ

1+rtJtJ

m

4

P(t)ï(s) П

i-1 A..-M/ÍJ

1 +!lA,1/t)

t ■« P,

t « p:;

t « R

k. m k~1 <Mi> -X t

Fk (t)fc(S) П {1- E -i-i }e .

j=0 k!

БКСКБФ1 I (БНСГВ51 I)

H(t)*(i) « (A,t' E П E -i-1 n=0 i=1 k-n k!

У роздШ 3.5 отриман! оц!нки застосован! доя розрахунку надШост! загально! УМ типу ODV (твбл.5).

Таблиця 5

Клас б.ф.р.

Т

ШСЯВ I FHCK3 2

KHCKB3I I гнскзс'х i

ОЩнка над1Яност1 мод о л i

FU)*

(p.)_.g(t)-s(t)s?(t)£ 1Ц-с(Ь) (У- _«s(t)-i(t)s?(t)á (p.-2-sCt)

(H.)_«g(t)-ß(t)<P(t). а> m

.. . ш м> (X. . )""

с г. Е -4,-

п-0 i-1 k-n

c(U

У tjwbí 4 розглндапться граничн! тоор-ад для систем, фучкцаону-

ючкх в екстремальних умс-вах.

' У роадШ 4.1 дана зегальна постановка задзч!. Пргаустимо, що дана с!м'я опоратор!в £й, цо залежи.ь в!л деякого параметра С>0 1 п&ретворсе тэч^ю N0) в теч!» Н0(.):К0(А)=£е(ЩА)); А е г -о- рпгвбрз борел!вських множин з к* чи к". Теч!я чазиваеться вх!дною, а теч!я Кб(.)- еих!дною.Лк оператор £е моауть бути Еикористая! р'зн! система нвд!Якост! 1 масового обслуговувакня.

Означения У.Якщо для дов!льно'1 Аз |А|>0 - ( ¡А] - лебегова м!ра мнокпнл а с ») Р{ к5(а)>о )-о при то виг!дне т~ч1я називаяться р!д!шов.

У назе,,эних теоремах 'глави 4 для моделей глави I знайден! граяитк! теч1!' Ь'п,гтри £е,що стшюалять практичней Старее г ля даясГ! системк.Наведен! нзобх!дн! Л достатн! умови для того.щоб л0(а/к(б))" * а « 8,' к(0)»0 при 0-»о.Розглянут1 задач.! узагальненЛ на

випадок осами сори!.При розв'язку задач використовувались метода, запропоноваа! 1.М.Коваленком та Д.А.Соловйовим для розв'язку под!бни задач-з р1д!ючими теч!ями.

розд!л1 4.2 розглядааться система тг у кевк глави _ з "холодним' резервом за уььаи, що характеристики скстеш залежать в!д малого параметра С 1 формального параметра в .Поставлена задача описати юше Б граничних розпод!л!в в. в. унормованого часу безв1дмовво'1'робота система в (а )тй„ при О-О, де в (б) - норкувальннй

мн-кник, тобто найти таку теч!ю Кд;НЙЕ(А/в(С)) 5 N (А) , 0*0 .

Позначные Р0(й,в)^И ехр {-вв(0)т:6е> ; Р0(г,вИт Рй(г,а) .

" О-»О

Тоорома I.Нехай в(0)=б, У0 -кэариЯметична ф.р., На Р»,(ео)=1.

Якщо г=0, год! Б налегать т1льки ф.р., цо мають Ш10:

Ро(0,в)-(1+0в^)"Г ; 0>0,- Р «г (0.1 ] ^ (1)

або . Ро (о,в)=1 . • (2)

Якщо и>0, тод1 Б належать тЛльки ф.р., що мають Ш1С

Рр(й,в)»[1+аР«(в/2.)]~Г' ;пе в>о; р о [0,1], (3)

1»(в)= ™(1-е_вг)/х ЛБ_и) , о

а)

де ж (х) - дэяка неспадна функц!я, г (о)=о , /х~~* ав (х)<а>

• ** ь т Й '

ЕбО Ро(й,в)а1. (4)

У теоремах 2,3 рсзд!лу наведен! носбх1дн<.' 1 достптШ умовд збШюст! N5 (А/. (в))5 N (а: , С-»0, •'.нгляду {I}-(4) 1 ТИЛИ р.в., е,о Мдпов1давть Н01. Обгрунтованэ моя.г.!3!сть застосувакня конкрет-нях результатов у наблюконом> розрахунку енотом з яонпвантаиеним резервувапням чи ЗШ.

У розд!л! 4.3 серед моделей ~ипу сга розг-япуто наступи;/

<0 т

модель: ?<0=Е Юг'*(11)-оп*1*(11)] ?п*(!а.....1 досл!дз:ско

повод!..ку Р(0 у напругсэиому рет<1 робота у схем! сер1й,колп

»0*

ёЬ) х ] *

К.г

К. К Аг Х...-Х .4

Л с. Я

-О ,

Теорема. Нкдэ (й) е-в , то до клаеу

граничних фувкцЫ над!Дноот1 модем налокать т!лъта функцИ з

т • ]-1

П1ЛС наступного вигляду: ?п(2,в)--- 1+ П ГЛз,/з.) (5)

и 1=1 1 * 1 ] до г^-деяк! диферепц1йовая1 функцН

або 90(в)э1 , (6)

Навьдея! необг.1дн1 1 достатн! умог к0?3 Мп5,у вигляд! (5)-(6). Розглянуто наступи! члетков! вкладки :

Теорема. Як*о з о. (йЬ^-о, то

Д0 Ре в^О ^ 1=1,2; а «э (0,1] , р *. 1-1,0} ', 0>0 , або Р0(и)й1 .

Гозглядавться лопорвднл система у вкладку, -коли час

фуикцЮнувания - в.в. з ф.р. й(1)=«хр{-Ш Бизначена грани- . чпа густина дл! ?0(»,) :

ро{1,а,р.*,С> - СпГ(ап+1)(-1, На -^Ц дэ

со

С БМСиравтьсл 13 умопя: ' р^.а.р.Л.ОМ^!, а <-(0,1], р *ЫР0).

о

т

• ?(12.....V*17 Рг(Ч} •тод3 справедлива

V 1

Тирона Б.Якщо э (О), д-^- .о , (а> д^о > 1-2.к»

А т

то ?0<в)-(и Е С^-А)""1 '

дэ Не в го , а « (0,1] , р « 1-1,0) , с.>0, 1 77т.

1 1 А ь » л

8б0 Р0(в)е1 .

ссновш вксновки Основн1 результата робота полятають у сл!дугчому:

1.3апропонованс класифшац1я ударних моделей за принципом форму-•"акня збитку в систем!.

Для"загально! УМ доведено теорему про представления над!йност! модел! як единого розв'.язку багатовим1рного р!вняння в!дновлення 1 визначайи його конон!чна форма.

2. В1ков1 класи розподШв, запролонован! 1 усп1шно зи,тосовен1 для розрахунку над!йност1 УМ, мають самостШю теоретичне 1 практична значения, що далеко виходить за мек! УМ. До основних загаль-нотэоретичшх результат1в по одновим1рним класам яс экать введен! 1 всоб1чно досл1даен! критерП стар1ння- к-НСКВФ1, Ьги. УНСК-ВФ1,' 1м дво1ст! критерИ та 1х дискрета! аналога, а такок кла ф1кац1я клас!н у теш!нах операций стохас.ичного дом!нуваняя.

До найб1льш значних р«зультат1в з точки зору практики треба в1дности п^будову ьерхн1х 1 нихн!х нестацЮнзрних ощнок р1зних над1йн!сних функц1онал1в, через чк1 виракавться Оагато показник!в якост! Функц1онуззння систем в конкротних математичннх моделях.

3. Для досл!дкення надШюст1 систем з залекними компонентами розроблен1 нов! Оагатовим1рн1 критерИ - класи БНСКВФ1 I, БНСКВФ1 2, БНСКВФ1 3, БНСКВ I, БНСКВ 2, БНСГКВ I, БНСГНВ 2, ь" ,

,ш,2 1 двоЮт! до них. Конструктивно визначання вперше зроби-ло мокливим одержати результати по зберехенню багатовим1рнкх розширень операций сум1ш1 та згортки. У цих класах побудован1 нестатонарн! оц!нки найпоширенШих багатовим!рних надИйИсних функ"1онал1в. 0дер-ад1 результата застосован! для оцШки надШност1*конкретних систем.

4. ФункцЮнування конкретних систем досл1джене в "екстремальних" умовах, коли д1юч! на систему течН' удар!шх навантакень с р1д1счими.Для-цих моделей эиайден! класи граничних теч1й,що визняча-ють над1йн!сть. Отриман! результати мокна застосувати при наближе-них розрахунках реальних систем з ненавантаженим резервувышям чи

31П.

Ochobhí результат» дисертаци опубл:коваш в таких роботах.

1. Котляр В. Ю., Хоменко Л. П. Исследование надежности одной ударной модели//Математические методы и программное обеспечение в системах обработки информации. — Киев: Институт кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР, 1989,—С. 74—79.

2. Хоменко Л. П. Асимптотическое распределение вероятности безотказной работы одной ударной модели // Программные средства машиностроения— Киев: Институт кибернетики им. В. М. Глушкова АН УССР,

1990. — С. 1—8.

3. Котляр В. Ю., Хоменко Л. П. Об операторном продолжении НСЛИФИ свойства //Математические методы моделирования и системного анализа в условиях неполной информации.— Киев: Институт кибернетики им. В. М. Глушкова АН Украины, 1991. — С. 20—22.

4. Котляр В. Ю., Хоменко Л. П. Исследование надежности системы с ненагруженным резервом и регулируемыми отказами в схеме серий Ц Кибернетика. — 1991. —№1, —С. 94—98.

5. Котляр В. Ю., Хоменко Л. П. Анализ надежности ударной модели марковского типа//Автоматика и телемеханика.— 1991. — № 11.— С. 177—184.

6. Котляр В. Ю., Хоменко Л. П., О новых критериях старения // Надежность, живучесть и безопасность автоматизированных комплексов: тез. докл. 5-го Всесоюз. Совещ. Суздаль, нояб. 1991. — М.: 1991. — С. 107 — 108.

7. Котляр В. Ю„ Хоменко Л. П. Про hobí багатовимфш критерп ста-р'ння /.' Доп. АН УРСР. Математика, природозназство, техн. науки. —

1991, — Доб. — С. 72—74.

8. Котляр В. IO., Хоменко Л. П. Об одном свойстве функций распределения // Модели и методы исследования операций в теории риска и надежности.— Киев: Институт кибернетики им. В. М. Глушкова АН Украины, 1902. — С. 19—23.

9. Хоменко Л. П. Анализ надежности ударной модели с максимумом ущерба в классах «стареющих» распределений // Кибернетика и системный анализ. — 1992. — № 3. — С. 183—184.

10. Хоменко Л. П. Ударная модель с максимумом ущерба в классах «стареющих» распределений // Электрон, моделирование. — 1992. — ЛЬ 3.— С. 62—66.

11. Котляр В. 10., Хоменко Л. П. Классы "озрастных распредетений // Кибернетика и системный анализ. — 1992. —№3.— С. 96—113.

Пип. до друку. 06.01.33. Формат 60x8446. Пашр кн.-жури. Сфс. друк. Ум. друк. арк. 0,98. Ум. фар0о-в1дб. 1,16. Обл.-вид. арк. 1,0. Зам. 95. Тир. 10 ) прим.

Редлкцшно-ниданничлй в1дд;л з пол!граф]ч:юю д|лышцею 1нституту ю'бернетики ¡меш В. М. Глушкова АН УкраТни 252207 Ки1и 207, проспект Ака„с:.нка Глушкова, 40