Исследование напряженно-деформированного состояния анизотропных пластин и оболочек сложной формы тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

казанский государственный университет

На правах рукописи УДК 539.3

КУЛАГИН Сергей Владимирович

[¡СЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН И ОБОЛОЧЕК СЛОЖНОЙ ФОРМЫ

01.02.04. — механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань 1991

Работа выполнена в лаборатории Динамики и прочн машин Казанского Физико-технического института АН С(

Научный руководитель: доктор физико-математических I

профессор | М.С.Корш

Официальные оппоненты: доктор физико-математических I

профессор В.Н.Пайм!

кандидат физико-математических I доцент М.Н.Серазутд

Ведущая организация: Львовский государственный универ<

Защита состоится «23» января 1992 г. в 14 ч. 30 м. в £ тории физ. 2 на заседании специализированного Совета Д 053.2 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора зико-математи^еских наук по механике при Казанском гос> ственном университете имени В.И.Ульянова-Ленина (42( г.Казань, ул. Ленина, 18).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библис КГУ имени Н.И.Лобачевского.

Автореферат разослан «13» декабря 1991 г.

Ученый секретарь специализированного Совета, кандидат физико-математических наук

/А.И. Голов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Элементы конструкций в виде пластин и олочек сложной формы широко применяются б различных об-стях техники: машиностроении, авиа- и судостроении, стро-ельстве и т.д. При изготовлении таких элементов наряду с адиционными все шире используются композиционные материа-[, характерной особенностью которых является их анизотро-я, слоистая структура, сравнительно низкая прочность и жее-эсть в направлениях, не совпадающих с направлениями армиро-ния. В процессе эксплуатации конструкции подвергаются дей-зию значительных внешних нагрузок, а также температурных лей. Отметим, что многие композиционные материалы обладают зкон теплопроводностью и могут быть использованы в качестве тлоизолнрующих элементов.

В совокупности анализ напряженно-деформированного состо-ия элементов конструкций произвольной формы из композицнон-х материалов с учетом их особенностей представляет собой эжную актуальную задачу, требующую привлечения уточненных зиговых теорий, эффективных численных методов их расчета, а <же современных методов вычислительной геометрии. Отметим, ) число практически решенных задач в этой области невелико. Одним нз самых распространенных численных методов для шого класса задач является метод конечных элементов (МКЭ). вестные в литературе конечные элементы, построенные на ба-сдвиговых теорий и основанные на нзопараметрическоГ: тех-<е, хорошо зарекомендовали себя для расчета пластин и обо-1ек средней толщины,, но быстро ухудшают свои свойства при гныиении толщины оболочки. Существующие способы борьбы со шговым заклиниванием, в свою очередь, обладают рядом не :татков. Таким образом, остается важной проблема создания шговых конечных элементов, предназначенных для расчета пла-[н и оболочек сложной формы и эффективно работающих в широ-д диапазоне относительных толщин.-

Указанные обстоятельства определяют актуальность темы хертацнонной работы. Целью настоящем! работы является:

разработка эффективной методики для численного решения за-

з

дач статики анизотропных слоистых пластин и оболочек прои вольной-формы в широком диапазоне относительных толщин пр термосиловом нагружении;

— оценка достоверности и определение области применимое! предложенного подхода;

— применение разработанной методики к исследованию НДС реал ных однослойных и многослойных конструкций.

Научная новизна:

— на основе гипотезы Тимошенко для всего пакета слоев да( вариационная постановка задачи определения НДС многослойнь анизотропных оболочек произвольной формы с учетом попере ного сдвига, геометрической нелинейности, изменения метрш по толщине и влияния температуры;

— предложены новые треугольные лагранжевы совместные конечш элементы, основанные на анизопараметрической интерполящ перемещений, эффективно работающие в широком диапазоне о носительных толщин;

— исследована сходимость и установлена область применимое разработанных конечных элементов;

— на основе метода штрафных функций разработана эффективная удобная для реализации в рамках МКЭ методика учета связа ных граничных условий;

— для решения задачи параметризации оболочки сложной геоме рии, поверхность которой задана таблично, исследованы сп собы задания векторно-параметрических кубических сплайно а также способ параметризации, не требующие явного задаш граничных условий;

— исследовано НДС .элементов реальных конструкций в виде одн родных и неоднородных пластин и оболочек • сложной геометри

Достоверность полученных результатов обеспечивается ко ректностью математической постановки задачи, использование согласованных конечных элементов^ обладающих теоретически д казанной сходимостью; тщательным исследованием практическс сходимости разработанных КЭ для широкого класса задач; хор шим■совпадением результатов' работы с аналитическими и числе ными данными других авторов.

Практическая ценность заключается в разработке эффекти ной методики и алгоритмов для расчета однослойных и мног слойных анизотропных .пластин и оболочек сложной, геометрг Разработанные алгоритмы реализованы в виде комплекса програй для ЕС-ЭВМ, часть из них включена в систему автоматизирова ного расчета конструкций «АРКО» для персональных компьюп ров типа РС-АТ/286/386. С помощью этих комплексов прове/ ны численные исследования НДС ряда реальных оболочечных кo^ трукций.

Внедрение результатов. Результаты работы изданы в каче тве «Методических рекомендаций» для расчета машиностроител ных конструкций ГОССТАНДАРТОМ СССР, а разработанная мет дика, алгоритмы и программы внедрены в расчетную практику кон

эукторских бюро, что позволило существенно сократить трудо-.гкость расчетов, повысить их точность и решить ряд новых за-зч. Акты о внедрении прилагаются к -диссертации.'

Апробация работы. Основное содержание работы и ее от-эльные результаты докладывались и обсуждались на П Всесо-зном совещании-семинаре «Актуальные проблемы механики обо-зчек» (Казань, 1985г.); на • П Всесоюзной научно-технической энференции «Прочность, жесткость и технологичность изделий i композиционных материалов» (Ереван, 1984г.); па V Всесо-зной конференции «Технические средства изучения и освоения <еана» (Ленинград, 1985г.); на Vil, VIII, IX Всесоюзных школах-Ришарах «МКЭ в механике деформируемых тел» (Запорожье, )85г., Усть-Нарва, 1987г., Челябинск, 1989г.). В полном объеме гссертация докладывалась на научных семинарах Казанского фи-[ко-технического института АН СССР, -Казанского государственно университета Львовского государственного университета .991 г.).

Публикации. По материалам диссертационной работы опубли-)ваны Методические рекомендации, 4 статьи в научных сборни-IX и 7 тезисов докладов.

Объем работы. Диссертация состоит из введения,' четырех, ¡ав, заключения и списка литературы из 232 наименований; ¡лючает 53 рисунка и 29 таблиц. Полный объем составляет 168 раниц машинописного текста.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы и освегцает-i современное состояние рассматриваемой проблемы. Отмечает-[, что для создания эффективной методики расчета анизотроп->ix пластин и оболочек сложной геометрии необходимо последо-1телыюе решение трех основных задач:

■выбор ведущих уравнений и набора гипотез, сводящих решение зехмерной задачи теории упругости к двумерной; -выбор надежного и удобного метода решения этих уравнений; - выбор способа параметризации координатной поверхности обо->чки, которая не может быть описана аналитически.•

Теоретические основы расчета анизотропных и многослойных 1нструкций заложены в работах А.Я.Александрова, С.А.Амбар-'мяна, В.В.Болотина, Э.И.Григолюка, Я.М.Григоренко, Л.М.Курина, С.Г.Лехницкого, Х.М.Муштари, Ю.Н.Новичкова, П.П.Чулко-i и ряда других советских и зарубежных авторов. Общей чер-й современных уточненных теорий анизотропных слоистых обо-шек является учет поперечных сдвиговых деформаций в отдель-IX слоях либо для всего пакета слоев в целом. Использование юлойных гипотез приводит к системе уравнений, число неиз-стных которой прямо пропорционально числу слоев, что стано-1тся существенным препятствием при расчете сложных реальных нструкций. Поэтому автором делается выбор в пользу теории олочек типа Тимошенко, основанной на гипотезе прямой линии

для всего пакета слоев, которая является наиболее простой вместе с тем учитывает основные особенности* анизотропных сл истых оболочек, если жесткости слоев отличаются на один-д: порядка. Варианты уравнений теории типа Тимошенко для иск торых классов оболочгк приведены в работах К-З.Галимова, М. Танеевой, В.В.Васильева, В.Н.Паймушина, Б.Л.Пелеха, Р.Б.Р кардса и др.

Развитию МКЭ и разработке сдвиговых конечных элемент оболочек посвящены работы Б.Айронса, Д.Аргироса, Л.А.Гор£ на, С.А.Капустина, А.О.Рассказова, Р.Б.Рикардса, Я.Г.Савул Т.Хугеса, Е.Хинтона и др. Способы борьбы с заклиниванием п расчете тонких оболочек описаны в работах К.Бате, Т.Белр^ В.П.Болдычева, О.Зенкевича, Н.Карпентера, С.Ли, М.Ю.Малиник А.И.Паутова, А.С.Сахарова, В.Ф.Снигирева, А.Тесслера и ря других. Анализ известных в этом направлении работ показа что задача построения эффективных сдвиговых КЭ, работающих широком диапазоне относительных толщин остается актуальнс Построение КЭ оболочек сложной геометрии существенно э висит от способа параметризации таких оболочек. Разработке IV ■ .-. ;-.-гл оболочек сложной геометрии и способов описан . - физации их координатных поверхностей посвящены ра£ М.С.Корнишина, В.Н.Паймушина, Я.Г.Савулы, В.Ф.Снигире1 А.Фокса и др. При этом практически отсутствуют работы, 01 нивающие влияние способа параметризации на характеристики Щ оболочки.

На основании проведенного анализа сформулированы осш ные цели диссертационной работы.

В первой главе на основе вариационного принципа Лагрг жа в произвольных неортогональных криволинейных координат (X1, X2, X3) получены вариационные уравнения для определен НДС многослойных анизотропных оболочек. Математическая моде основывается на гипотезе прямой линии для всего пакета ело включает учет поперечного сдвига, изменение метрики по толи не и геометрическую нелинейность.

Физические соотношения с учетом статических гипотез 1 мошенко (о33~, езз =0) приводятся для упругого материа составленного из анизотропных слоев, имеющих одцу плоско упругой симметрии. Влияние температуры учитывается соглас гипотезе Дюамеля-Неймана. Соотношения записаны в такой ф ме, что в качестве координатной поверхности можно выбрать о бую из поверхностей оболочки — лицевую, срединную, пове ность раздела слоев и т.д.

Полученные уравнения охватывают широкий класс задач, нако довольно сложны в реализации. Речь идет о вычисле! обобщенных жесткостей многослойной оболочки вида:

[в^гха(ЗХг>дсфХ7] = ^А^[1>У3ДХ332ИХ3( (

б

— компоненты тензора упругих характеристик к-го =6^ - —компоненты тензора, связывающего метри-[ространства оболочки с метрикой координатной поверхности; — символ Кронекера, 11 — толщина пакета.

чак частные случаи, получены два варианта геометрических изических соотношений, которые соответствуют двум классам

ючек. Так, для оболочек с 1 , у которых изменени-

1етрики по толщине можно пренебречь (тонкие непологие обо-:и, а также пластины и пологие оболочки средней толщины), геометрической нелинейности осуществляется в рамках те-

[ среднего изгиба. В случае непологих нетонких оболочек,

р

которых можно приближенно положить(Ь/Кш^п) « 1, вариа-

ная постановка дана в рамках слабого изгиба с учетом из-ния метрики по толщине оболочки в ортогональных координа-совпадающих с линиями главных кривизн. В обоих случаях ча вычисления интегралов вида (1) значительно упрощается. 1о второй главе анализируются особенности применения ) для расчета пластин и оболочек по сдвиговым теориям. Тот г, что функционал полной энергии деформации оболочки, роенный на основе теории Тимошенко, входят лишь первые [зводные функций перемещений и для выполнения условия сов-ности КЭ требуется обеспечить на межэлементных границах зрывность самих перемещений позволяет достаточно просто ить совместные КЭ класса С0. Эти лагранжевы КЭ, имеющие честве узловых неизвестных только обобщенные перемещения, ываются весьма удобными для использования изопараметри-ой техники. Однако сдвиговые КЭ с линейной интерполяцией функций обладают низкой скоростью сходимости и быстро ираются» при уменьшении толщины оболочки. Изопараметри-ие сдвиговые КЭ с квадратичной интерполяцией хорошо зареко-[овали себя при расчете пластин и оболочек средней толщи-но при Ь-»-0 эффект заклинивания не исчезает. 1сследуются причины низкой эффективности изопараметри-их конечных элементов при уменьшении толщины КЭ, опи-1Ются известные способы борьбы со сдвиговым заклинива-[, такие как сокращенное интегрирование, усечение поли-1, двойная аппроксимация угла поворота, метод . штрафа, эти способы, направленные на уменьшение вклада сдвиговой гии в функционал при уменьшении толщины оболочки, в свою едь, имеют ряд недостатков. Так некоторые из них приводят согласованным КЭ, другие — к появлению фиктивных мод ну-й энергии.

'азрабатывается способ повышения скорости сходимости говых КЭ при Ь-»■ 0, свободный от перечисленных недостат-и основанный на анизопараметрической интерполяции переме-

щений (аппроксимация функций перемещений полиномами рг степеней). При этом полный полином'для прогиба W должен на одну степень выше, чем полином для угла поворота Т . с требованию отвечают аппроксимации \V1T"0, W2f 1, \V3f2

В 'литературе на примере цилиндрического изгиба кон ной пластины показано превосходство аппроксимации W2f I-W11T 1, которое^возрастает с уменьшением' относительной тол пластины. Еще' более высокая скорость сходимости была дс нута прй* решении той же задачи с использованием квадрат! и кубичной аппроксимаций [1].

На рис.1 на примере цилиндрического изгиба заще ной пластины приведены результаты расчетов, полученные мощью трех элементов повышенной аппроксимации W2f 2,U W3T2, имеющих примерно равное число степеней свободы (V обозначает элемент, в котором в качестве узловых неизве< использовались значения функции прогиба и ее первые прои ные).

Рис.* 1

Здесь £отн~^Чжэ~ ^анал. '^анал. —относительная по! ность, N — число элементов, Ь=Ь/а — относительная тол1. 'Из рисунка наглядно видно преимущество аппроксимации

На основе анизопараметрической интерполяции \V3r2 р ботано семейство новых треугольных криволинейных совмес конечных элементов для расчета пластин, пологих и непо^ оболочек в широком диапазоне относительных толщин. Свс данные об элементах приведены в табл.1.

Таблица 1

Разработанные анизопараметрические треугольные конечные элементы

азвание Назначение Геом. соотн. Кол-во узлов Кол-во степ. свободы Степень рующих и, и2 V аппроксими полиномов Г ^ Г2 Х( х2

А.ТЕ21 изгиба пластин лин. 12 21 _ 3 2 2

1ЕШЗ пластин к

пологих оболочек нелин. 12 33 2 3 2 2

ЕШ9 непологих оболочек нелин. 12 39 3 3 2 2

1СК39 непблогих оболочек лин. 12 39 3 3 2 2

АТЕ45 непологих оболочек лин. 12 45 3 3 2 2

На . рис.2 изображены система координат, связанная с обо-[кой, положительные направления перемещений и поворотов, ;альная нумерация узлов элементов. Для треугольного элемен-в качестве параметрических удобно использовать I,— координатора, например, для элемента $НЕЫЗЗ обобщенные переменил представляются в виде:

1 j=l 1

С 1=1,2)

J ^

С25

V

-1/6, .1=1,3

1/4, о=7Д2

:сь .Г^.Ьд), Н^СЦ,!^,!^} —двумерные базисные функ-

I Ь— координат, представляющие собой полные полиномы второй третьей степени, соответственно. При этом учтено, что для ¡ической лагранжевой интерполяции значение функции в центре кести треугольника можно исключить, выразив ее через функ-I, заданные в узлах.

Во всех разработанных КЭ принимается, что глобальные ординаты х, и х.. внутри КЭ и на его границе являются квад тичными функциями Ь—координат

6 0=1

Л

где х^ —координаты узлов элемента.

Элемент ТН1СК39 отличается от элемента БНЕЫЗЭ учет изменения метрики по толщине и неучетом нелинейных слагаем Матрица жесткости плоского элемента оболочки Р1АТЕ45 отли ется от матрицы жесткости КЭ БНЕЫЗЭ добавлением 6 фиктив} жесткостей поворотов в плоскости КЭ, что необходимо для с ковки некомпланарных конечных элементов в декартовой сист координат.

При численном интегрировании матриц жесткости и векто конечных элементов для вычисления геометрических характер тик произвольной оболочки используется два подхода. Если ординатную поверхность оболочки можно описать уравнением, для коэффициентов первой и второй квадратичной форм и сим лов Кристоффеля можно получить аналитические выражения. Оф мляя их в виде специальных подпрограмм, вычисляются тот значения геометрических характеристик в точках интегриро ния. Если же координатная поверхность оболочки определяе таблично, то параметризуя эту поверхность каким-либо образ получим значения геометрических характеристик в узлах ког ного элемента, а для определения значений в точках интегри вания используем квадратичную интерполяцию:

6

Са11(а22,а12,ь},ь|,Ь§,Ь) = £ ^СЦЦНа^.. Ы) С

Стандартная процедура МКЭ приводит к системе нелиней алгебраических уравнений, описывающих равновесие конструк

ГККч> = ХрСРл> 4 <РН> с 5)

е [К]—матрица жесткости, ц} —вектор неизвестных, ^р и

Л> — параметр и вектор нагрузки соответственно; Срн> — век-р нелинейных членов.

Решение системы (5) для ряда значений параметра нагруз-осуществляется методом Гаусса в сочетании с методом общей ерации и кубической экстраполяцией решения.

Кинематические граничные условия (однородные, неоднород-1е, связанные, циклической симметрии и др.) на криволинейной ороне КЭ в общем виде можно записать:

<0>Тф = О С 6)

е <а> —линейный оператор; —вектор неизвестных узло-[х перемещений. Прямая подстановка уравнений (6) в разреша-цую систему уравнений (5) приводит к несимметричной матрице, этому в [7] предлагается применять специальную процедуру сстановления симметрии. В этой же главе разрабатывается еще один эффективный и обный в рамках МК.Э способ удовлетворения условий (6), осно-нный на методе штрафных функций. Определяется модифициро-нный квадратичный функционал П^СяЗ в виде:

= ПСч) + £ <я>ГШШТ<ф , С 7)

Его вариация равна

бП^) = <5ПСч) + а <5д>ТШ<П}Тф

эполнительный член в (7) можно интерпретировать как энер-ю некоторого «граничного конечного элемента» с матрицей :сткости

Ш = а ШШТ (8)

;есь {д> — узловые неизвестные всей конструкции, — за-

нные или связанные степени свободы, а — штрафной множи-ль — достаточно большое положительное число. В третьей главе решается задача параметризации коорди-тной поверхности оболочки сложной геометрии, которая не мо-:т быть описана аналитически. Реализуется один из способов раметризации, не требующий никакой дополнительной информа-и кроме координат опорных точек поверхности. Следуя этой процедуре сначала строится сетка координатных ний, проходящая через опорные узлы. Для интерполяции коор-натных линий по некоторому фиксированному числу точек ис-

п

пользуются векторно-параметрические кубические сплайны. В I честве параметра принимается накопленная длина хорды, сое; няющая интерполируемые значения пространственной кривой. \ следуются два вариант;: кубических сплайнов 5(гД) класса < не требующие явного задания граничных условий на концах:

а) 5РЬШЕ1, для которого предполагается, что на концев: отрезках 5(гД) изменяется по закону квадратной параболы следовательно, имеет постоянную вторую производную

б) 5РЫЫЕ2, для которого принимается линейный закон изл нения второй производной на крайних отрезках сплайна

5"Сг,10}=5"СгЛ1)- [5"СгЛ0)-5"СгЛ13] •С11Ч0М12Ч1)

На примере аналитически заданных кривых проводится ш ленное исследование сходимости построенных сплайнов. ,

На следующем этапе осуществляется аппроксимация пове{ ности, состоящей из топологически четырехугольных порций. 3 дача определения порции поверхности сводится к нахожден! функции г=гСа,/3). которая при а=0, а=1, /3=0, /3=1 пpeдcтaвл^ собой нужную граничную кривую. Для ее решения в литерату применяются различные способы. Известны поверхности" КуН' Безье, Фергюссона и др, В данной главе используется достат< но общий подход, основанный на смешении уравнений граничн; кривых внутрь порции по кубическому закону.

, гСс*,/3)= Р{а3,/33(г(аЗ,РС/?)1г/3Са),РаС/3),г0(/3Са1,/31)>, 1=1,4

При этом используются уравнения производных к кривой в тра! версальном направлении и значения смешанных производных в ; лах порции.

На примере, задачи изгиба непологой, защемленной по тс цам половине цилиндрической оболочки бесконечной длины п действием равномерно распределенной нагрузки исследуется в; яние способа аппроксимации координатной поверхности на харг теристики напряженно-деформированного состояния, Ввиду си метрии рассматривается 1/4 часть конструкции.

На рис. 3 приведены значения максимальных прогибов и : гибающих моментов в зависимости от числа опорных точек по 1 правляющей. Здесь же приведены значения прогибов и момент на той же 'конечно-элементной сетке при аналитическом спосо задания геометрии оболочки (в цилиндрических координата) Видно близкое совпадение результатов при п>9. Интересно, ч при -аппроксимации сплайном БРНЫЕ! кривые сходятся сверху, для 8РиЫЕ2 — снизу как для прогибов, так и для изгибающ моментов.

21.0

2ао

^ 11.0 о

о «Л 17.0 16.0 150 14.0 1Д0

—V

:' : > : I (

— апа!у1|с

— зрИпе 1

— крИпе 2

•I

ЧИСЛО уилов

00

П

Рис. 3

ппп1у(1с БрИпе 1 г:р11[)е 2

'Г,ТТ"Т........5"

чле^о уълоп

£ С

4 П

■НО

В четвертой главе на большом числе тестовых задач, име-ощих аналитическое либо численное решение рассматриваются во--тросы сходимости и точности разработанных анизопараметричес-<их конечных элементов, устанавливается класс конструкций, ^де их применение наиболее эффективно и исследуется напряжено-деформированное состояние элементов реальных конструкций в зиде пластин и оболочек сложной формы постоянной и переменной толщины в линейной и геометрически нелинейной постановке.

Для изотропных и анизотропных пластин, пологих.и неполо-;-их оболочек приводится сравнение с известными сдвиговыми конечными элементами Д.Аргироса, • В.П.Болдычева, В.Г.Пискунова, ^.О.Рассказова, Р.Б.Рикардса и другими численными и аналитическими решениями. Отмечается хорошее совпадение результатов.

Исследуется сходимость разработанных КЭ к точному решению при уменьшении относительной толщины оболочки Ь^ = Ь/Я. На рис.4 на примере защемленной цилиндрической панели под равномерным давлением приведены относительные погрешности максимального прогиба и изгибающего момента при нескольких значениях относительных толщин, полученных с помощью элемента ЗНЕИЗЗ. Из рисунка видно хорошую сходимость для И* = 0,1. При уменьшении относительной толщины скорость сходимости по' прогибам замедляется, тем не менее эффекта запирания не наблюдается, т.е. и при 11* = 0.001 элемент сходится к точному решению.

.Для панели с = 0.01 исследуется влияние уменьшения жесткости на сдвиг в трансверсальном направлении, (рис.5). Из рисунка видно, что скорость сходимости элемента ЗНЕИЗЗ увеличивается пропорционально уменьшению модуля сдвига.

Анализируя проведенные численные исследования по точности и сходимости разработанных конечных элементов на примерах эасчета изотропных и анизотропных пластин, пологих и непологих оболочек, в лннейЛой и геометрически нелинейной постановке, постоянной и переменной толщины, можно заключить, что эазработанные анизопараметрические конечные элементы всегда ;ходятся к решениям, которые предписывает теория анизотропных зболочек типа Тимошенко, описанная в главе 1, Скорость сходи-

fi

R = 2.5 м, L = 2. О м q = 2.0*107 Па G = 1.0*107 Па Е = 2.0*10И Па V = 0.3

К

---А"» 0.001

---h*. 0.0<

. - h' -- 0.1

V

<5„ б

\

3 + S « Z з чиспо элементоб

Рве. 4.

h"= 0.01 ß * £<2

.-» JM = -í

_ j4 = с. i

---JA = C.Di

___ji с p.ooV

Рис.5.

R = 2. 54 M, 2L = 0.508 и h = 3.175*10~3м, 0 = 0.1 E = 3.103*109 Па,у = 0.3

0 DE4 + МС4 Д MD4 о SHELL33

-2.0 -3.0 V/*

Рис. 6.

I