Исследование напряженно-деформированного состояния растущего материала тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Глава I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОСТНОЙ ТКАНИ

§ I. Строение и свойства костной ткани

§ 2. Общие соотношения и законы сохранения

§ 3. Термодинамические соотношения и основные гипотезы

§ 4. Уравнение производства энтропии и определящие соотношения

§ 5. Модельная задача об обобщённой плоской деформации толстостенного цилиндра при наличии химических процессов и притоков вещества извне

§ 6. Замечания о постановке задач.

Глава 2. О ВЛИЯНИИ НАГРУЗКИ НА ПОВЕРХНОСТНЫЙ РОСТ ТРУБЧАТОЙ

КОСТИ

§ I. Деформации толстостенного цилиндра под действием сил давления и аксиальной нагрузки

§ 2. О физиологической интерпретации результатов

§ 3. Возможные эксперименты для сравнения гипотез о характере поверхностного роста

§ 4. Норма и патология при росте трубчатой кости

Глава 3. О ПОВЕДЕНИЙ КОЛЬЦЕВОГО СТЕРЖНЯ ИЗ РАСТУЩЕГО

МАТЕРИАЛА

§ I. Усреднённые уравнения квазистатического равновесия стержня в терминах перемещений

§ 2. Деформации двух соединённых полуокружностей под действием распределённых нагрузок и изгибающего момента, приложенного в точке упругого защемления

Выводы

Проблема роста и развития живых объектов привлекла к себе внимание механиков по многим причинам. Наиболее существенными являются следующие. В современных исследованиях по биологии развития, особенно при обработке данных экспериментов и построении количественных теорий, для создания адекватного формального аппарата широко используются представления и характеристики, введенные и применяемые в механике сплошной среды» С другой стороны, не вызывает сомнения прямое участие механических факторов почти во всех процессах роста и развития. На темпы роста и его особенности оказывает существенное влияние не только факторы окружающей среды, в том числе и механической природы, но и возникающие внутри растущей ткани внут -ренние механические поля.

В качестве примеров, подтверждающих сказанное, можно назвать: а) хорошо известное в биологии влияние силы тяжести на рост (см., например [9] , [30] , [бо] ); б) возникающие при повышенной статистической и динамической нагрузке приспособительные изменения строения скелета [24] ; в) сколиоз (искривление позвоночника) - болезнь роста, имеющую с точки зрения врачей "механический" характер (напряжения в элементах позвоночника - позвонках связаны со скоростью их роста [39] , [40] ) г) возникающую в объектах, различные структуры которых имеют разные скорости роста, сложную систему непосредственно не связанных с внешней нагрузкой внутренних напряжений, влияющих на скорость ростовых процессов [34] - [37] и др.

Необходимость объяснения разнообразных наблюдаемых эффектов требует построения моделей, рассматривающих с необходимой степенью подробности физико-химические свойства биологических материалов.

Методологической основой построения континуальных моделей растущей ткани служат принципы механики сплошной среды. Уравнения сохранения массы, импульса и момента импульса выполняются при любых непрерывных движениях всех сплошных сред. Построение замкнутой системы уравнений, служащей в качестве математической модели конкретного материала связано с конструированием реологических и иных определяющих соотношений. При рассмотрении моделей с усложненными свойствами часто необходимо использовать не выражающиеся конечным образом зависимости между основными механическими характеристиками (тензорами напряжений, деформаций или скоростей деформаций, плотностью среды, температурой и др.), а также вводить различные внутренние параметры геометрической или физической природы, для которых строятся дополнительные динамические соотношения. В связи с этим оказывается полезной формулировка общей системы постулатов и приемов, позволяющих разумно ограничить набор функций, определяющих данную конкретную модель. В число таких приемов входит аппарат термодинамики; необратимых процессов.

В механике сплошной среды накоплен значительный опыт конструирования моделей материалов с усложненными свойствами. В теории вязкоупругих жидкостей и твердых тел, а также упру-гопластических и вязкоупругопластических материалов существует традиция использования таких внутренних параметров, как компоненты тензора необратимых деформаций. Термодинамическая теория пластических материалов развита в работах [28] , [б4] а вязкоупругих сред - в статьях [71], [72] , [94] , [95] , [ 98] В этих работах внутренние параметры, физический смысл которых не конкретизировался, рассматривались как аргументы термодинамической функции - внутренней энергии, а скорости их изменений - как аргументы диссипативной функции. Было показано, что в этом случае определяющие соотношения интегрального типа могут быть получены путем исключения внутренних параметров.

При построении моделей биологических сред используются понятия и аппарат теории многофазных и многокомпонентных смесей. В этой теории по традиции вводятся внутренние параметры, характеризующие относительное движение и концентрацию компонент (фаз), скорость массообмена между ними. В конкретных случаях этот набор функций пополняется (например, характеристиками, связанными с вращением и деформированием включений). Для определения скоростей отдельных компонент (фаз), их температуры, массовой и объемной концентрации, скоростей химических реакций и т.п.рассматриваются дополнительные динамические урав -нения.

Среди множества работ, где выписываются, обсуждаются и уточняются эти уравнения, отметим здесь лишь некоторые методологически или по своим результатам полезны. при построении исследовании нетрадиционных моделей смесей с учетом дополнитель** ных внутренних параметров.

Общая теория построения моделей смесей, в основе которой лежат фундаментальные соотношения механики и термодинамики, развита в работах [5б],[б8]. В частности, в монографии [58]исследуется модель многокомпонентного сжимаемого газа. Основные идеи конструирования моделей многофазных сред изложены в работе [42]. Схема использования методов термодинамики необратимых процессов при построении описанных сложных моделей рассматривается в работах [14], [бб"], [58]. Дополнительные особенности, возникающие при приложении этих методов к изучению многофазных сред указаны в статьях [ю], [48], [бб].

Применительно к средам, состоящим из твердого деформируемого каркаса и жидкого наполнителя, до последнего времени внутренние физико-химические процессы учитывались редко. Общие системы уравнений в случае, когда массообмена между фазами нет, а твердая фаза состоит из упругого материала рассматривались в работах [42], [43] .

В связи с потребностью с механической точки зрения описать свойства реальных биологических тканей возникла необходимость введения внутренних степеней свободы, связанных с физико-химическими процессами.В статье [41]для описания свойств мышечной ткани предложена модель биоупругого тела, учитывающая способность живой ткани деформироваться при отсутствии механических усилий. Для математического описания этого свойства используется закон Гуна, в который адитивным образом входит величина N -биофактор Никитина. Рассмотрена задача о равновесии цилиндрического кругового сосуда под действием сил давления и биофактора А/ , который моделирует сопротивление деформированию сосуда со стороны окружающих его волокон гладких мышц. Если внутреннее давление недостаточно велико, то существует две области, в одной из которых волокна находятся в натянутом, в другой- в ненатянутом состоянии. В статье [б2]предложена модель мышцы как двухфазной многокомпонентной сплошной среды с учетом химических реакций и массообмена между фазами. Для описания протекающих в мышце необратимых процессов был введен дополнительный тензорный параметр, характеризующий неупругое деформирование одной из фаз.

Для описания быстрых процессов в живой костной ткани в статье [1], [2|предложена модель пористого насыщенного жидкостью диэлектрика с учетом вязкоупругих деформаций каркаса и массообмена между фазами. Деформации твердой фазы предполагались малыми, диффузия и химические реакции не учитывались.

Опыт конструирования моделей многофазных сред, требующих введения дополнительных внутренних параметров, позволил начать разработку новой нетрадиционной группы моделей - моделей растущего материала (растущего контунуума) для описания свойств живой ткани. Степень схематичности этих моделей остаётся весьма высокой из-за недостаточной изученности и специфичности реальных метаболических процессов. Но эти модели необходимы как средство качественного изучения следствий, вытекающих из принимаемых биологических гипотез.

Для живой ткани (мягкой или твёрдой) характерно наличие необратимого деформирования твёрдого (вообще говоря, пористого) материала, связанное с приращением его количества за счёт химических превращений. Существенной особенностью растущей ткани является возможность не только внешнего, но и внутреннего (за счёт изменения пористости) неупругого деформирования, осуществляемого посредством химических реакций, массообмена между фазами и, возможно, при тока вещества извне.

Известно множество попыток количественной интерпретации процессов роста организмов. Однако большинство предложенных дифференциальных уравнений или формул относительно некоторых интегральных характеристик организма как функций времени имеют лишь описательную ценность. Обзор полуэмпирических соотношений такого типа дан в [21], [25], [27], [55], [59].

В данной работе изложение опирается на представление о росте как самопроизвольном термодинамически необратимом процессе,проявляющемся в изменений - на определённых временных масштабах - размеров, формы и физических свойств объекта. Под объектом понимается либо мысленно выделенный малый лагранжев объём живого вещества,либо определённая часть организма (орган),либо целостный организм.В общей форме этот круг проблем рассмотрен в работе [12] .

Подобное расширительное толкование термина "рост", сближение его с более общим термином "развитие" (который также употребляется ниже, когда нужно подчеркнуть наличие качественных изменений в объекте), введено исключительно ради удобства и никаким образом не означает посягательства на установившуюся биологическую терминологию. Оговорка относительно временных масштабов, содержащаяся выше,весьма существенна. Действительно, без нее формулировка включает в множество разных явлений, которые обусловлены двумя фундаментальными процессами- химическими превращениями и массообменом внутри объекта (что проявляется в перераспределении массы между его структурами) или с окружающей средой. При таком подходе в число изучаемых процессов попадают не только рост в обыденном (и естественном) смысле слова, но и такие явления, как например,отек ткани, суточные или сезонные колебания массы тела и др. Кай правило, ростовые процессы достаточно медленны по сравнению и с элементарными физико-химическими процессами, и с биологическими циклами, складывающимися из множества таких процессов (например, периоды сердечного цикла или дыхания). Все явления с такими малыми характерными временами должны рассматриваться по отношению к росту как кратковременные, хотя их влияние иногда может выступать в виде медленно меняющегося кумулятивного эффекта. С формальной точки зрения это означает, что из детальных уравнений, разрешающая способность которых обеспечивает описание кратковременных процессов, уравнения, описывающие рост, могут быть в принципе получены путем подходящей процедуры усреднения.

Первой работой, где строилась континуальная модель растущей ткани, была статья [88] . В качестве определяющего соотношения была предложена зависимость, выражающая тензор скоростей деформаций как функцию тензора напряжений, его производной по времени, плотности и скорости ее изменения, а для учета возможных структурных временных изменений допускалась еще и явная зависимость от времени. Отличие этого соотношения от обычных моделей вязкоупругих сред состоит в том, что при тождественном равенстве напряжений нулю, скорость объемной деформации отлична от нуля. Уравнение импульса задавалось в обычном виде, а правая часть уравнения неразрывности - скорость притока вещества к единице объема - считалась функцией времени. В работе были рассмотрены некоторые модельные задачи в том числе о росте прямоугольного параллелепипеда под действием осевой нагрузки и о сдвиге образца той же формы. Определяющее соотношение работы [88] в линеаризованном виде использовано в статье [93] для решения некоторых задач, в частности о трехостном нагружении образца.

Близкая модель предложена в работе [23] , где вводятся в рассмотрение упругая и ростовая составляющие тензора дефор с £ ¿9 тт С а мации с и с * соответственно. Для с принимается закон Гука, а для производной по времени от £ 9 постулируется линейная зависимость от напряжений. Тензор полных дефор с £ о маций равен сумме с и с . Для построения механической модели сколиоза в случае, когда ростовые деформации малы, упругие деформации отсутствуют и реологические коэффициенты не зависят от времени, в [23] рассмотрена задача об устойчивости вертикального роста стержня под действием приложенной на верхнем конце осевой сжимающей нагрузки. В [68] дана более общая постановка этой задачи с учетом произвольно распределенной по длине стержня нагрузки, упругих деформаций, конечности осевого удлинения и зависимости коэффициентов от времени. Точное решение задачи получено в случае, когда нагрузка приложена на верхнем конце.

В работе [бб] , [б7] построена весьма общая физико-химическая модель растущей среды, представляющей собой заполненный жидкостью пористый материал (каркас). В основе модели следующие гипотезы: каркас, равно как и среда в целом, есть обычный упругий материал, если рассматриваются процессы быстрые по сравнению с характерными временами роста; в жидкой и твердой фазах, сложных по составу, некоторые компоненты могут вступать в реакции мевду собой; часть этих реакций сопровождается обменом массой мевду фазами; имеет место фильтрация жидкой фазы через твердый каркас; твердая фаза в процессе образования новой массы и под действием напряжений может перестраиваться, т.е. в ней происходит неупругое деформирование; в жидкой фазе допускается диффузионный перенос компонент.

В соответствии с общим вариационным методом построения моделей сплошной среды [57] задаваемой функцией в [бб] , [б7] является свободная энергия, в число аргументов которой включены температура, компоненты тензора упругих деформаций,массовые концентрации компонент и фаз, а также составляющие тензора, отвечающего за анизотропию среды. Кроме того, заданию в виде функций других параметров подлежат термодинамические силы в формуле для скорости производства энтропии, общий вид которой постулирован в соответствии с традициями термодинамики необратимых процессов. Функции эти предполагаются линейными по термодинамическим потокам и лишь для связи между средствами и скоростями химических реакций введены нелине%ости

С процессами роста тесно связано явление адаптации ткани к нагрузке, т.е. перестройки ткани под непосредственным воздействием механических напряжений. При отсутствии последних ростовые процессы могут в этом случае оставаться практически несущественными. После приложения соответствующих нагрузок в костной ткани обнаруживается повышенная клеточная активность, которая, в частности, может приводить к возникновению новых структурных элементов костной ткани - остеонов.Ха-рактерное время перестройки - 2 недели. К окончанию этого срока клеточная деятельность существенно ослабевает и увеличивается минерализация ткани. Механически соответствующие процессы проявляются в необратимых деформациях костного материала, а также в изменении его пористости, что в свою очередь приводит к изменению его прочностных и других механических характеристик. Обзор соответствующего эмпирического материала и теоретических построений дан в работе [21] . Эксперименты по количественным измерениям параметров, относящихся к процессу перестройки костной ткани, описаны в статьях [1б] ,[вб] , [8б] , [эб] . Остановимся подробнее на исследованиях, посвященных построению для описания адаптации костной ткани динамических моделей растущего континуума в рамках механики сплошной среды.

С точки зрения континуального подхода рост может происходить двумя качественно различными способами. При "внутреннем" росте каждая частица среды, заполняющей объем, вообще говоря, изменяет свои массу, размеры и форму, при "поверхностном" росте происходит нарастание материала или его уничтожение непосредственно на внешней граничной поверхности кости, а все внутренние частицы объема не растут.

Механика адаптирующегося материала являются наиболее развитым разделом континуальной механики роста. Внутренняя перестройка кости рассматривалась в работах [91], [92] . Учитывались изменения пористости во времени и выводились соотношения, связывающие изменение пористости и соответственно механических характеристик кости с кинетикой остеонов. Влияние напряжений на изменение пористости явно не рассматривалось.

Сот/Лп, £.С. и др. разработали [73] теорию внутренней перестройки в виде механической континуальной теории. Была выписана система соотношений механики сплошной среды, и включающая в себя уравнение энергии и второй закон термодинамики. В качестве основных термодинамических параметров были избраны температура, её градиент, тензор деформаций и параметр Д , который можно интерпретировать как отношение объема выросшей частицы к её начальному объему, умноженное на объемную долю твердого материала в данной точке среды. Модель, помимо традиционных соотношений механики и термодинамики, определяется двумя основными зависимостями: а) тензор напряжений есть функция температуры, параметра Д и тензора деформаций; б) скорость изменения параметра 3 с точностью до множителя есть функция тех же аргументов и градиента температуры. Исходя из класса задач, подлежащих рассмотрению, делается дополнительное предположение, что при нулевых значениях параметра 5 и деформаций напряжения отсутствуют. При постоянных температурах эти соотношения с учетом уравнения неразрывности принимают вид д - /«сд, ¿у), /V = /,.у а, £«*) где , компоненты тензоров напряжений и деформаций.

Здесь £ играет роль внутреннего скалярного параметра.

В работе [87] рассмотрен частный случай модели, когда напряжения (функция Д л- ) линейны по деформациям и квадратичны по параметру е = (здесь 3«, - начальное значение параметра ^ ) с сохранением единственного перекрестного члена, билинейного по обоим параметрам, а функция ^ представлена в виде суммы линейного только по деформациям и билинейного по деформациям и параметру е членов. Исследовалось поведение материала под действием скачкообразного воздействия, приложенного в начальный момент, при поддержании в последующем постоянными либо деформаций, либо напряжений. Оказалось, что при различных значениях коэффициентов и начальных параметров возмущения новое положение равновесия может существовать или отсутствовать, причем возможны неустойчивые состояния равновесия. Весь анализ существенно базируется на учете нелинейного характера зависимости скорости роста от параметра в , связанного с притоком массы к индивидуальной частице. Работа [74] посвящена формулированию и доказательству теорем единственности и асимптотической устойчивости решения задач в рамках модели.

В работе [75] рассмотрена задача о деформировании полого цилиндра, находящегося под действием осевой квазистатической нагрузки и изотропного упругого цилиндра, вдвинутого в по -лость. Оказывается, что при некотором подборе параметров характеристики кости стремятся к конечным значениям, тогда как при других параметр е неограниченно возрастает или убывает. Утверждается, что это можно интерпретировать как стремление к состояниям со слишком большой или со слишком малой пористостью, наблюдающимся в медицинской практике (остеопороз и остеопетроз). Случай, когда в полость вдвинут не упругий цилиндр, а сжимаемая трубка, находящаяся под действием переменного внутреннего давления рассмотрен в статье [803 . В статье

81] показано, что при соответствующих ограничениях на константы модели [73] , она может описывать выравнивание пористости в длинной кости под действием осевой нагрузки.

Отметим еще работу [97] ,где предложено включить в число определяющих параметров, наряду с деформациями, их градиентами и плотностью костного материала, некоторые концентрации химических реагентов и высказано предположение, что для изучения устойчивых и неустойчивых режимов адаптации следует обратиться к уравнениям, описывающим кинетику химических реакций. Вопрос о наличии механохимических процессов при реконструкции костной ткани под действием нагрузки был поставлен ранее в работе [89] .

Модели поверхностной перестройки кости с учетом влияния напряжений построены в статьях [?б] , [82] , [83] . В работах [82] ^ [вз] за основную гипотезу взято утверждение, что перестройка костной ткани происходит под влиянием электрической поляризации, возникающей в силу пьезоэлектрического эффекта. В статье [7б] принимается гипотеза о том, что ненулевая компонента скорости роста (по нормали к поверхности) зависит от отклонения деформаций от отсчетных значений, отвечающих состоянию, при котором поверхностный рост отсутствует. В этой работе рассмотрена задача о поверхностном росте полого цилиндра под действием осевой нагрузки и вдвинутого упругого стержня в той же постановке, что и в [75] • В результате решения задачи оказалось, что в принятых ограничениях на знаки коэффициентов сжатие стержня в процессе перестройки ослабевает, и таким образом описывается известное патологическое состояние кости при остеосинтезе ("выпадение гвоздя")

В работе [81]дяя описания поверхностного роста длинной трубчатой кости изучалось деформирование полого цилиндра под действием осевой нагрузки. Показано, что при различных значениях реологических коэффициентов возможны различные режимы развития, допускающие отложение и (или) резорбцию материала как на внутренней, так и на внешней граничной поверхностях цилиндра.

Модели адаптирующейся упругой среды качественно описывают некоторые реально наблюдаемые процессы. Они пока не дают количественного соответствия с экспериментом и не позволяют предсказывать ранее неизвестные факты. Однако иногда удается определить необходимый круг экспериментов, которые позволят установить, какое из предположений в той или иной модельной задаче более адекватно отражает протекающие в костной ткани процессы.

Часто постановка модельных задач возникает из потребностей медицинской практики, которая сталкивается с необходимостью исследования влияния на рост и развитие биологических объектов факторов механической природы. Эти факторы могут служить причиной заболевания (например, сколиоза) или сказываться при развитии в условиях, измененных по сравнению с обычными (например, развитие кости культи усеченной конечности человека). Для решения модельных задач такого рода используются методы механики деформируемого твердого тела.

Актуальным при исследовании растущих биологических объектов является вопрос о том, что такое нормальное развитие и чем оно отличается от патологического (см.»например, [45] ). Сопоставление "нормы" и "патологии" с точки зрения механических моделей роста рассматривалось, по-видимому, лишь в работах [21] , [49] , где обсуждались основные связанные с этой проблемой понятия.

Биомеханические задачи,о росте и развитии биологических объектов почти не имеют аналогов в других областях механики. Одно из немногих исключений - исследование напряженно - деформированного состояния в наращиваемых извне телах.

Подход к описанию таких процессов предложен в работах [4] , [5] . Этот подход базируется на следующей основной гипотезе: процессы роста (наращивания) и механического деформирования разделены: рост задаётся как функция времени, а напряженно-деформированное состояние исследуется на основе уравнений механики. В [б] принимается модель вязкоупруго-го телаиз неоднородно стареющего материала. Его свойства в данной точке зависят от момента возникновения материала и момента приложения нагрузки. Уравнение состояния представляет собой линейное интегральное уравнение Вольтерра (тензор напряжений является линейным функционалом от тензора деформаций). При больших ростовых деформациях принимается, что малы механические деформации: малы удлинения, сдвиги и углы поворота. В этой теории известны решения задач о наращивании трубы из вязкоупругого материала при наличии внутреннего давления, о наращивании стержня, полосы, клина, отверстия. Эта теория, возникающая из нужд технологии возведения и изготовления реальных конструкций из таких стареющих материалов,как бетон, древесина, многие полимеры и пластмассы в принципе применима и для биологических объектов (см.например [?] ), если скорость наращивания и начальное состояние наращиваемого материала считать известными из опыта или же связанными, через дополнительное уравнение, с состоянием тела в данный момент.

Диссертация состоит из введения, трёх глав, выводов, списка литературы и приложения,содержащего 43 рисунка и 8 таблиц.

ВЫВОДЫ

1. В работе построена континуальная модель костной ткани как четырехфазной сплошной среды, основанная на законах сохранения массы, импульса энергии и соотношениях термодина -мики необратимых процессов. Деформации материала предпола -гаготся конечными. В модели учтены массобмен между фазами и притоки вещества извне; механохимические реакции в твердом скелете, составленном вязкоупругой и упругой фазами; фильтрация через твердый скелет свободной вязкой внеклеточной жидкости. Все фазы предполагаются состоящими из нескольких компонент. Материал считается несжимаемым.

2. Получено реологическое уравнение, связывающее тензор напряжений для твердого скелета и фильтрующейся внеклеточной жидкости с тензором полных деформаций, содержащее члены, которые зависят от химических реакций в твердом скелете и разностей химических потенциалов твердых фаз и внеклеточной жидкости. Это соотношение в случае малых деформаций и скоростей допускает запись в виде интегрального уравнения, описывающего эффект ползучести материала и используемого при решении модельной задачи.

3. Предложены упрощения модели, позволяющие ставить и эффективно решать задачи с целью выяснения качественных особенностей объемного и поверхностного роста, нормального и патологического развития,

4. Для исследования поверхностного роста трубчатой кости решена модельная задача о малых упрутих деформациях длинного толстостенного цилиндра из трансверсально изотропного материала под действием аксиальной нагрузки, внешнего и внутреннего давлений с учетом зависимости скоростей ростового изменения радиусов от напряжений.

5. Анализируются различные линейные гипотезы о характере поверхностного роста. Предложены эксперименты, результаты которых позволят определить такая из гипотез более адекватно отражает ростовые процессы в кости.

6. Предсказываемое теорией поведение аксиально нагруженного и ненагруженного цилиндров при некоторых значениях ростовых параметров описывает различия в развитии кости культи усеченной и здоровой конечностей человека, что имеет зшче-ние для медицинских исследований в области протезирования.

7. Численно и аналитически анализируются нормальное и патологическое развитие трубчатой кости при наличии рассогласований между ростовыми параметрами. Дан критерий наличия патологии.

8. При рассмотрении модельной задачи о деформациях кольцевого стержня из растущего материала выводятся уравнения квазистатического равновесия почти кругового стержня в терминах перемещений при наличии притока массы извне.

9. Исследование задач о деформациях двух скрепленных полуокружностей под действием изгибающего момента распределенных внешних нагрузок при наличии притоков вещества извне используется для описания тенденции развития реберного кольца человека. Полученные взаимоотношения основных действующих факторов могут быть полезны в ортопедии при изучении особенностей возникновения и развития одностороннего реберного горба человека.

1. Авдеев Ю.А. Об учёте сжимаемости в модели костной ткани. Тезисы докл. 3 всес. конф. по проблемам биомеханики. - Рига, 1983, T.1. с.157-158.

2. Авдеев Ю.А., Регирер O.A. Математическая модель костной ткани как вязкоупругого пьезоэлектрического материала. Мех. композитн. матер., 1979, J&5, с. 851-855.

3. Анисимов А.И., Мартынов Н.В. Электрические явления в кости и электростимуляция костеобразования. -Ортопедия,травматол. и протезир., 1977, £ II, с.81-96.

4. Арутюнян Н.Х. Теория ползучести неоднородно-стареющих тел. М.,1981. 76с. Препринт Ин-та проблем механики АН СССР № 170.

5. Арутюнян Н.Х., Колмановский В.Б. Теория ползучести неоднородных тел. М.: Наука, 1983. 336 с.

6. Арутюнян Н.Х., Метлов В.В. Нелинейные задачи теории ползучести наращиваемых тел, подверженных старению. Мех. тверд, тела, 1983, £ 4, с.142-152.

7. Арутюнян Н.Х., Потапов В.Д. Об устойчивости растущего вязкоупругого стержня, подверженного старению. Докл.АН СССР, 1983, т.270, № 4, с.799-804.

8. Вольмир A.C. Устойчивость деформируемых систем. М.: Наука, 1967. 984с.

9. Волькенштейн М.В. Физика и биология. М.:Наука, 1980,240с.

10. Гогосов В.В., Налётова В.А., Шапошникова Г.А. Об описании многофазных сред. В кн.: Проблемы осреднения и построения континуальных моделей в механике сплошной среды. - М.: Изд-во МГУ, 1980, с.36-52.

11. Гольденвейзер A.A. Теория упругости тонких оболочек.-М.: Наука, 1976. 512с.

12. Григорян С.С., Регирер С.А. Биомеханика и некоторые общиевопросы биологии. Тезисы докл. 3 Всес. конф. по проблемам биомеханики. - Рига, 1983, т.1, с.6-7.

13. Грин А., Адкинс Дж. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М.: Мир, 1965. 456 с.

14. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М.: Мир, 1964. 456с.

15. Динник А.Н. Продольный изгиб. Кручение. М.: Изд-во АН СССР, 1955, 392с.

16. Добелис М.А., Саулгозис Ю.Ж. Влияние функциональной адаптации на неоднородность механических свойств большеберцовой кости. Мех. композитн. матер.,1982, № 2, с.231-237.

17. Дроздова И.В. О поведении кольцевого стержня из растущего материала. Мех. композитн. матер., 1981, № 5, с.889-895.

18. Дроздова И.В. О влиянии нагрузки на поверхностный рост трубчатой кости. Мех. композитн. матер., 1983, № I, с.124-132.

19. Дроздова И.В. Модель поверхностного роста трубчатой кости при независимых ростовых параметрах.- Мех. композитн. матер., 1983, № 6, с.I083-1089.

20. Дроздова И.В. 0 поверхностном росте трубчатой кости. Тезисы докл. 3 Всес.конф. по проблемам биомеханики. - Рига,1983, т.1, с.172-173.

21. Дроздова И.В., Регирер С.А., Штейн A.A. Механические аспекты проблем роста и развития. М., 1980. 87с. Отчет Ин-та механики МГУ № 2399.

22. Дюво Г., Лионе Ж.Л. Неравенства в механике и физике. -М.: Наука, 1980, 383с.

23. Ентов В.М. 0 механике сколиоза. М., 1978. 35 с. Препринт Ин-та проблем механики АН СССР № 117.

24. Жданов Д.Н. Функционально-морфологические основы формирования скелета. М.: Медицина, 1964. 156с.

25. Зотин А.И. Термодинамический подход к проблемам развития, роста и старения. М.: Наука, 1974. 184с.

26. Кнетс И.В., Пфафрод Г.О., Саулгозис Ю.1. Деформирование и разрушение твердых биологических тканей. Рига; Зинатне, 1980, 319 с.

27. Количественные аспекты роста организмов. М.:Наука,1975. 291с.

28. Коменярж Я.А. О задании пластических свойств среды при помощи функции диссипации. Докл. АН СССР, 1974, т.215, № 4, с.804-806.

29. Кондауров В.И., Никитин Л.В. Исследование фазовых переходов первого рода в нелинейно-унругих средах. -Мех. тверд, тела, 1983, # 6, с.49-55.

30. Коржуев П.А. Эволюция, гравитация, невесомость. -М.: Наука, 1971, 184с.

31. Косинская Н.С. Рентгенологическое исследование в протезировании после ампутации. -Л.: Медицина, 1958, 215с.

32. Лейбензон Л.О. Курс теории упругости. -М.: Гостехиздат, 1947, 464с.

33. Манжалей З.П., Петров Ю.А., Халилов С.А. Вывод и некоторые приложения дифференциальных уравнений в перемещениях произвольного кривого тонкого стержня. В кн.¡Прочность конструкций летательных аппаратов. - Харьков, 1976, вып.З, с.ЮЗ-117.

34. Мартынов Л.А. Морфогенетическая потеря устойчивости формы в биоконструкциях. Биофизика, 1975, т.20, № 5, с.867-879.

35. Мартынов Л.А. Деформации и морфогенез клеточной оболочки ацетабулярии I. Связь деформации с генетическими и геометрическими факторами. Биофизика, 1976, т.21, № 3, с.504-508.

36. Мартынов Л.А. Деформации и морфогенез клеточной оболочки ацетабулярии II. Локальные механизмы управления вязкоупругими деформациями. Биофизика, 1976, т.21, I 3, с.509-513.

37. Мартынов Л.А. Исследование механических деформаций биоконструкций на разных стадиях морфогенеза. Биофизика, 1979,т.24, № 2, с.284-288.

38. Мартынов Л.А. Контактные взаимодействия бластомеров после деления клетки в связи с вязкоупругими свойствами и синтезом её мембраны. Журн. общ, биологии, 1980, т.41, Л 2, с. 279 -287.

39. Мовшович И.А. Сколиоз. Хирургическая анатомия и патогенез.- М.: Медицина, 1964, 253 с.

40. Мовшович И.А., Ентов В.М. Сколиоз как задача механики. -Изв. АН СССР, Мех.тверд.тела, 1977, № 4, с. 191-196.

41. Никитин Л.В. Модель биоупругого тела. Мех.тв.тела, 1971, № 3, с.154-157.

42. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978. 336 с.

43. Николаевский В.Н., Басниев К.С., Горбунов А.Т., Зотов Г.А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра, 1970. 355с.

44. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости. М.: Гостехиздат, 1948. 211с.

45. Парфёнов Г.И., Ойгенблик Э.П. Размеры, форма и сила тяжести. Наука и жизнь, 1980, № 10, с.33-38.

46. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966, 752с.

47. Работнов Ю.Н. Элементы наследственной механики твердых тел.- М.: Наука, 1977. 383с.

48. Регирер С.А. К вопросу о континуальных моделях суспензий.- Прикл. матем. и мех., 1978, т.42, вып.4, с.679-688.

49. Регирер С.А. Лекции по биологической механике. М.: Изд-во МГУ, 1980. 144с.

50. Регирер Ö.A. 0 моделях биологических сплошных сред. В кн.: Пятый Всес. Съезд по теор. и прикл. мех. Аннот.докл. -Алма-Ата: Наука, 1981, с.302.

51. Регирер С.А. 0 моделях биологических сплошных сред. -Прикл. матедо. и мех., 1982, т.46, № 4-5, с.531-542.

52. Регирер С.А., Усик П.И., Чернова И.В. Математическое описание свойств мышечной ткани. Мех. полимеров, 1975, № 4,с.579-584.

53. Ржаницын А.Р. Некоторые вопросы механики систем, деформирующихся во времени. М.: Гостехиздат, 1949. 252с.

54. Ржаницын А.Р. Теория ползучести. М.: Стройиздат, 1968. 418с.

55. Рубин А.Б. Термодинамика биологических процессов. М.: Изд-во МГУ, 1976. 240с.

56. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физ-матгиз, 1962. 284с.

57. Седов Л.И. Математические методы построения новых моделей сплошных сред. УМН, 1965, т.20, $ 5, с.121-180.

58. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.т.1,2.- М.: Наука, 1973. T.I 536с., т.2 - 584с.

59. Термодинамика биологических процессов. М.: Наука, 1976. 278с.

60. Тимирязев К.А. Жизнь растений. М., 1940. 149с.

61. Тимошенко С.П. Теория упругости. М.: Гостехиздат, 1944. 451с.

62. Усик П.И. Континуальная механохимическая модель мышечной ткани. Прикл.матем. и мех., 1973, т.37, вып.З, с.448-458.

63. Хаазе Р. Термодинамика необратимых процессов. М.: Мир,1967. 432с.

64. Циглер Г. Экстремальные принципы термодинамики необратимых процессов и механика сплошной среды. -М.: Мир, 1966. 135с.

65. Штейн А. А. Смесь нескольких компонент как сплошная среда с внутренними степенями свободы. В кн.: Научные труды Ин-та механики МГУ.- М.: Изд-во МГУ, 1974, В 31, с. I31-143.

66. Штейн А.А, 0 континуальных моделях растущего материала.-Мех.композитн. матер., 1979, № 6, с.1105-1110.

67. Штейн А.А. Некоторые модели сплошных сред с внутренними степенями свободы (автореф. кандид. дисс.).- М., 1982, 17с.

68. Штейн А.А. Устойчивость вертикального растущего тонкого цилиндрического объекта по отношению к возмущениям, вызывающим его изгиб. Тезисы докл. 3 Всес.конф. по проблемам биомеханики. - Рига, 1983, т.1, с.199-200.

69. Ariman Т., Turk М.А., Sylvester N.D. Microcontinuum fluidmechanics. A review. Int. J. Eng. Sei., 1973, v.11,n.8,p.273293.

70. Basset C.A.L., Pawluk R.J. Effect of electric currents on bone in vivo. Nature, 1964, v.204, n.3, P.652-684.

71. Biot M.A. Theory of stress-strain relations in anisotropic viscoelasticity and relaxation phenomens. J.Appl.Ehys., 1954, v.25, n.11, p.1385-1391.

72. Biot M.A.Linear thermodynamics and the mechanics of solids. Proc.3rd US Iiation. Congr. Appl. Mech., N.-Y. ,ASME, 1958,p. 1-8

73. Cowin S.G., Hegedus D.H. Bone remodelling I. Theory of adaptive elasticity. J.Elast., 1976, v.6, n.3, p.313-325.

74. Cowin S.C., Uachlinger R.R. Bone remodelling III: Uniqueness and stability in adaptive elasticity theory. J.Elast., 1978, v.8, n.3, p.285-295.

75. Cowin S.C., Van Buskirk W.C. Internal bone remodellinginduced by a medullary pin, J.Biomech., 1978, v.11, n.5, p.269-275,

76. Cowin S.O., Van Buskirk W.C.Surface bone remodelling induced by a medullary pin. J.Biomech., 1979, v.12, n.4, p.269-276.

77. Cowin S.C., Piroozbakhsh K.Bone remodelling diaphysial surfaces under constant load: theoretical predictions. J.Biomech., 1981, v.14, n.7, p.471-484.

78. Ericksen J.L. Conservation laws for liqued crystals. Trans. Soc.Rheol., 1961, v.5, n.1, p.23-34.

79. Eringen A.C. Theory of nonlocal electromagnetic elastic solids. J.Math.Ehys., 1973, v.14, n.6, p.733-740.

80. Piroozbakhsk K., Akbarzadah A. A new medullary nails predictions of adaptive elasticity theory. Math.Biosci., 1981, v.54, n. 1, p. 11-24.

81. Firoozbakhsh K., Cowin S.C. Devolution of inhomogenetics in bone structure. predictions of adaptive elasticity theory. -Trans. ASME, J.Biomech. Eng., 1980, v.102, n.4, p.287-293,

82. Gjelsvick A.Bone remodelling and piezoelectricity I. J.Bio: mech., 1973, v.6, n.1, p.69-77,

83. Gjelsvick A.Bone remodelling and piezoelectricity II. -J.Biomech,, 1973, v.6, n.2, p.187-193.

84. Guzelzu N., Demiray H. Electromechanical properties and related models of bone tissue. A review. Int. J.Engng.Sei.,1979, v.17, n.5, p.813-859*

85. Hassler C.R., Rubinski E.F., Cummings K.D., Clark L.C. Quantification of bone stresses during remodelling. J.Biomech,1980, v.13, n.1, p,185-197,

86. Hassler C.R., Rubinski e.p., Simonen p.a., Weiss e.b. Measurements of healing at an osteotomy in a rabbit calvarium: the inifluence of applied compressive stress on collagen synthesis and calsification. J.Biomech., 1974, v. 7, n.3, p.545-564.

87. Hegedus D.H., Cowin S.G. Bone remodelling II: small strain adaptive elasticity. J.Elast., 1976, v., n.4, p.337-352.

88. Hsu F.H. The influences of mechanical loads on the form of a growing elastic body. J.Biomech., 1968, v.l, p.303-315.

89. Justus R., Luft D.H. A mechanochemical hypothesis for bone remodelling, induced by mechanical stress. Calsif. Tissue Res., 1970, v.5, n.2, p.229-236.

90. Lanyon L.E., Magee P.T., Bagget D.G. The relationship of functional stress and strain to the processes of bone remodelling. An experimental study on the sheep radius. J.Biomech., 1979,v.12, n.3, p.593-606.

91. Martin R.B. The effects of geometric feedback in the development of osteoporosis. J.Biomech., 1972, v.5, n.3, p.447-459.

92. Martin R.B. Overlap feedback an autonomous mechanism for controlliry porovity during haversian bone remodelling. Proc.4.th Hew.Engl. Bioengng. Conf. Hew. Haven. Conn., 1976, H°4,p. 41-44.

93. Hovinski J.L. Mechanics of growing materials. Int.J.Mech. Sci.,1978, v.20, n.8, p.493-504.

94. Schapery R.A. Application of thermomechanical fructure and birofrigent phenomena of viskoelastic media. J.Appl.Phys., 1964, v.35, n.5, p.1451-1465.

95. Schapery R.A. A theory of nonlinear thermoviskoelasticity based on irrevarsible thermodynamics. Proc.5th US Hation. Congr. Appl. Mech., ASME, 1969, p.511-530.

96. Scott J.H. The mechanical basis of bone formation. -J.Bone Joint.Surg., 1957, v.39B, n.1, p.134-139.97« Tateishi T. A continuum mechanical aspect of functional adaptation of "bone. 19th Japan Congr.Mater. Res, Miscellaneoces, 1976, p.270-275,

97. Valanis K.S. Thermodynamics of large viscoelastic deformations. J.Math, and Phys., 1966, v.45, n.2, p.197-212.