Исследование напряженно-деформированного состояния тел сложной формы методом граничных интегральных уравнений тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ. Ч

I. МЕТОД ГИУ ДЛЯ ТЕЛ С НЕГЛДКИМИ ГРАНИЦАМИ ПРИ

ДЕЙСТВИИ РАЗРЫВНЫХ НАГРУЗОК

1.1. Некоторые сведения из теории обобщенных упругих потенциалов

1.2. Регулярные и конические элементы поверхности

1.3. Поверхности классов U и Uffcl.

1.4. О сходимости несобственных интегралов по поверхности класса U.

1.5. Тождество Сомилиана для областей с негладкими границами, подверженных действию разрывных нагрузок.

1.6. О свойствах обобщенных упругих потенциалов в областях с негладкими границами

2» ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ГИУ НА ОСНОВЕ

ТОШДЕСТВА СОМИЛИАНА

2.1. Численное интегрирование ядер обобщенных упругих потенциалов с заданной точностью

2.2. О двух потенциальных представлениях решения второй основной задачи теории упругости

2.3. Алгоритм численной реализации метода ГИУ на основе тождества Сомилиана

2.4. Вычисление напряжений на поверхности упругого тела.

2*5. Результаты решения тестовых задач

3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГИУ К РЕШЕНИЮ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ Ш

3.1. Исследование напряженно-деформированного состояния вилки шарнира универсального шпинделя блюминга

3.2. Исследование напряженного состояния образцов для испытания на термостойкость

Потребности интенсивно развивающегося социалистического производства ставят перед советской наукой новые, все более сложные задачи, "Основными направлениями экономического и социального развития СССР на I98I-I985 годы и на период до 1990 года11 / I /, утверяденными ХХУ1 съездом КПСС, предусмотрено дальнейшее ускорение научно-технического прогресса, обеспечение быстрейшего создания и повсеместного внедрения принципиально новой техники и материалов, осуществление технического перевооружения производства. Решение этих задач требует повышения эффективности научных исследований, углубления связи фундаментальных и прикладных исследований с производством, В области естественных и технических наук признано необходимым дальнейшее развитие математической теории, повышение эффективности ее использования в прикладных целях.

Методы теории упругости, все глубже проникающие в различные области современной науки и техники, составляют основу исследований прочности материалов и конструкций, В развитии теоретических и прикладных направлений теории упругости достигнуты значительные успехи. Вместе с тем задачи, возникающие в связи с потребностями современной техники, выдвигают ряд важных проблем, одной из которых является развитие методов решения пространственных задач теории упругости для тел сложной формы при наличии угловых точек и ребер, концентраторов напряжений, заданий разрывных граничных условий. Математические трудности, возникающие при использовании аналитических методов для решения указанных задач, препятствуют получению результатов с удовлетворительной точностью. В то же время использование современных вычислительных средств в значительной степени экономит время и затраты на решение, позволяет выявить новые теоретико-технические качества. Это обстоятельство стимулирует разработку новых эффективных численных методов решения пространственных задач теории упругости.

В настоящее время к наиболее эффективным методам приближенного решения задач теории упругости на ЭВМ относятся методы потенциала и, в частности, метод граничных интегральных уравнении (ГИУ). Методы потенциала в теории упругости используются давно, но лишь в последнее десятилетие, в связи с появлением новых поколении быстродействующих ЭВМ, началось их систематическое применение к решению краевых задач. В значительной мере этому способствовала разработка теории многомерных сингулярных интегральных уравнении (СИУ) и проведение на ее основе исследования вопросов существования и единственности решения краевых задач теории упругости. Основные результаты в этом направлении получены В.Д.Купрадзе и его учениками /61,62 /, а также С.Г.Михлиным / 70 /.

Широкий интерес к методам потенциала обусловлен следующими их достоинствами:

1) понижением размерности исходной задачи на единицу;

2) точным удовлетворением решения исходным дифференциальным уравнениям;

3) высокой разрешающей способностью в областях с большими градиентами решения;

4) одинаковой эффективностью решения краевых задач как для конечных, так и для бесконечных областей;

5) отсутствием процесса численного дифференцирования, приводящего к потере точности при вычислении производных решения внутри области;

6) наличием интегральных операторов, оказывающих сглаживающее влияние на погрешность решения, обусловленную приближена ным характером удовлетворения граничным условиям;

7) сокращением объема исходной информации и времени решения задачи на ЭВМ, возможностью получения более точного решения по сравнению с другими методами (МКЭ, МКР).

Методам потенциала присущи и известные ограничения. Например, они непосредственно неприменимы к решению нелинейных задач в силу нарушения принципа суперпозиции. Трудности возникают и в случае задач для неоднородных тел в связи с отсутствием известных фундаментальных решении для соответствующих дифференциальных уравнений равновесия. Тем не менее, на основании данных, приведенных в обзорах /23,34,42,57,75,104 /, можно считать установленным факт, что задачи статики, установившихся упругих колебаний и термоупругости для изотропных однородных тел допускают наиболее эффективную численную реализацию методами потенциала.

При всем многообразии подходов с использованием аппарата теории потенциала, их можно условно разбить на две большие группы. К первой группе могут быть отнесены подходы / II-14,23, 24,34,54-57,61,62,67,69,75,116-119,129,147,151 /, использующие . потенциальные представления решений, плотности которых распределены по несущим поверхностям, совпадающим с границей исследуемой области. Эти подходы объединены под общим названием метод ГИУ, поскольку интегральные уравнения относительно неизвестных плотностей рассматриваются на границе исследуемой области. Ко второй группе можно отнести подходы, в которых несущие поверхности расположены вне рассматриваемой области на некотором расстоянии от ее границы. Сюда относятся метод функ -циональных уравнений /30,34,61,62,96,141,153 /, метод разложения по неортогональным функциям / 17 /, метод источников /86,87/.

Основной трудностью реализации метода ГИУ является сингулярность соответствующих интегральных уравнений. Хотя общая теория таких уравнений на гладких многообразиях построена /61, 62,70/, приближенное вычисление сингулярных интегралов (СИ) затруднено из-за отсутствия соответствующих кубатурных формул. Вычисление СИ по определению, т.е. путем удаления малой £ -окрестности полюса с последующим переходом к пределу при £-*-0 , является нереализуемой на ЭВМ процедурой. Как установлено в работах А.Я.Александрова / 13 / и Круза (7ТA.Cruse) /116,119/, в случае, когда множество интегрирования является плоским многоугольником,СИ могут быть вычислены аналитически. П.И. Пер -лин / 75-78/ предложил метод регуляризации СИ на основе обобщенной теоремы Гаусса. Аналогичный ;; подход реализован в рабо-» » тах Лаше ( JClochat) и Ватсона (J.O. Watson ) /69,134,135/. Другой способ регуляризации СИ с использованием регуляризующих множителей, обращающихся в ноль в полюсе ядра, предложен А.И.Вайндинером и В.З.Москвитиным / 29 /. А.Я.Александров и Б.М.Зиновьев / 16 / ввели представление СИ через сумму контурного регулярного интеграла и слабоособенного интеграла по площади в случае плоских, сферических и тороидальных поверхностей. Полуаналитический метод вычисления СИ, основанный на аналитическом вычислении интеграла по малой окрестности полюса и применении адаптивной программы для вычисления интегралов по оставшейся поверхности, предложен М.И.Лазаревым и А.Р.Сковородой 63 /. Ю.В.Верюжский / 34 / предложил метод "разрешающих знаt чений", основанный на том, что предельное значение потенциала мало отличается от его значении в точке, отстоящей от границы на малом расстоянии. В работах Казантзакиса (•IG.Kazantzakis ) и Теокариса с R 5. Theocaris ) / 130,152 / предложен метод сведения двумерных СИ к повторным одномерным СИ, которые могут быть вычислены приближенно. Из всех рассмотренных способов вычисления СИ наиболее естественным представляется метод регуляризации на основе обобщенной теоремы Гаусса.

В настоящее время используются два подхода к решению сингулярных интегральных уравнений метода ГИУ» Первый из них, метод Крылова-Боголюбова (МКБ), первоначально развитый для решения интегральных уравнений теории гармонических потенциалов / 52 /, состоит в кусочно-полиномиальной аппроксимации решения на множестве элементов (в общем случае криволинеиных), аппроксимирующих границу рассматриваемой области. Требование удовлетворения интегральных уравнений в совокупности заданных точек (как правило, совпадающих с интерполяционными узлами) позволяет сформировать систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно неизвестных узловых значений искомого решения.

Второй подход, развитый в работах П.И.Перлина /77,78/, состоит в использовании метода последовательных приближений (МПП) путем разложения решения в ряд Неймана по степеням параметра, входящего множителем в интегральный член уравнения. В / 76 / отдается предпочтение МПП на том основании, что для МКБ отсутствует доказательство сходимости в случае сингулярных интегральных уравнений. В связи с этим отметим, что для одного и того же вида дискретизации границы и аппроксимации решения численная реализация МПП совпадает с методом простой итерации для СЛАУ, построенной по МКБ, поэтому в олучае сходимости МПП имеет место и сходимость МКБ.

Наиболее трудоемкой процедурой метода ГИУ является интегрирование ядер обобщенных упругих потенциалов по совокупности элементов поверхности,аппроксимирующих границу исследуемой области. Для элементов нулевой кривизны в работах Б.М.Зиновьева Аб/, Ю.В.Верюжского, А.И.Вусатюка, А.Я.Петренко, В.В.Савицкого /31,

32,34/, Круза /116,119 / получены аналитические выражения весьма громоздкой структуры для вычисления потенциалов с плотностями в виде алгебраических полиномов* В работах В.Я.Адлуцко-го /3,4 /, Н.И.Антонова, Б.М.Зиновьева, Э.П.Трофимовой /21,48/ исследован вопрос о применении различных кубатурных формул к приближенному интегрированию ядер потенциалов по плоским элементам поверхности и установлены границы применимости этих формул* В работе И.З.Ройтфарба и Ю.В.Урванцева / 89 / рекомендуется разлагать ядра упругих потенциалов в ряд Тейлора по пространственным переменным с последующим вычислением моментов различных порядков области интегрирования относительно осей местной системы координат. Лаше и Ватсон / 69,134,135 / разработали схему вычисления интегралов по криволинеиным элементам поверхности, использующую процедуру разбиения на подэлементы с последующим применением кубатурных формул Гаусса. Точность вычислений контролируется путем оценки остаточных членов кубатурных формул при интегрировании функций, описывающих степенную особенность дцра. В работе Г.И.Яха и В.Я.Адлуцкого / 107 / предложены экспериментально полученные критерии выбора кубатурных формул Гаусса, гарантирующие заданную точность и позволяющие уменьшить объем вычислений. Для осесимметричных задач в работе Е.А.Рубцова и Н.М.Хуторянского / 90 / предложен адаптивный алгоритм интегрирования, использующий возможность раздельного интегрирования, по окружной координате и контуру меридионального сечения.

Специфические трудности возникают при решении второй основной внутренней задачи теории упругости, поскольку соответствующие СИУ неоднозначно разрешимы. В рамках МКБ это приводит к вырожденности матрицы СЛАУ, а в рамках МПП - к расходимости ряда Неймана. Если условия задачи допускают использование симметрии относительно трех плоскостей, то указанные затруднения отпадают. В работах П.И.Перлина / 77,78 / предложены несколько модификаций МПП, позволяющих получить сходящийся процесс. 5 работе В.И*Моссаковского, Г.И.Яха и В.Я.Адлуцкого / 72 / предло-хен прием, устраняющий расходимость итерационного процесса решения СЛАУ путем исключения на каждом шаге перемещений тела как жесткого целого.

Большой интерес представляет изучение сравнительной эффективности использования различных потенциальных представлений решений одного и того же класса задач. В работе В.Я.Адлуцкого / б / для второй основной задачи теории упругости проведено сопоставление решений в виде потенциала простого слоя и на основе тождества Сомилиана. Для областей с негладкими границами обоснована большая эффективность второго представления.

В рамках метода ГИУ наиболее эффективно решаются осесиммет-ричные задачи и задачи для тел вращения* Первой в этом направлении явилась работа А.Я.Александрова / 12 /, в которой для решения осесимметричной контактной задачи применена методика определения напряжений и перемещений от нагрузок, равномерно распределенных по кольцу. Это позволило рассматривать неизвестные только на контуре меридионального сечения области контакта. В дальнейшем различными авторами путем интегрирования ядер исходных двумерных СИУ по окружной координате были получены одномерные СИУ осесимметричных задач / 14,59,85,91,101,120,132,137,149 /. Структура ядер этих уравнений имеет более сложный характер, поскольку вместо элементарных функций они выражаются через полные эллиптические интегралы первого и второго рода. Однако это окупается простотой последующей численной реализации. В случае, когда граничные условия, заданные на поверхности тела вращения, не удовлетворяют условиям осевой симметрии, в работах Н.Ф.Андрианова / 19 /, В.С.Згржебловского / 45 /, С.Ф.Ступака / 92 / предложены приемы, уменьшающие объем вычислении при решении задачи с использованием МПП* Другой подход развит в работах Маэда ( М. May г ), дрекслера ( W.Drexier ), кюна С & Kuhn ) / 138 /, Риццо( /Г Rizzo ) и шиши ( D.J.Shippy ) / ш /, где с помощью разложения искомого решения в ряд Фурье по угловой координате получена совокупность одномерных СИУ по контуру меридионального сечения, ядра которых могут быть выражены аналитически* Для решения этих СИУ использован МКБ*

Переходя ко второй группе методов, когда несущие поверхности удалены от границы исследуемой области, отметим отсутствие трудностей, связанных с вычислением СИ* Однако, как установлено в работах А#А.Рогового / 86,87 /, решение соответствующих функциональных уравнений является некорректной по Адамару задачей* Это приводит к тому, что СЭ1АУ - конечномерные аналоги функциональных уравнений - весьма плохо обусловлены, и для их решения требуется привлечение методов регуляризации, что неизбежно усложняет процесс численной реализации*

Следует отметить, что математический аппарат теории потенциала разработан при достаточно жестких ограничениях на гладкость границ рассматриваемых областей и искомых решений* При нарушении гладкости границ или краевых условий решение краевой задачи в общем случае может быть нерегулярным / 76 /, что затрудняет численную реализацию* Соответствующие СИУ, формально полученные тем же путем, что и в случае гладких поверхностей, содержат СИ, существование которых требует дополнительных исследований. Некоторые из них могут расходиться, как это установлено в работах Ватсона / 154 / и Гартмана ( ЕHartmann ) / 125/ относительно прямого значения оператора напряжения от потенциала простого слоя в угловых точках несущей поверхности. В случае, когда исходным соотношением является тождество Сомилиана, возникает вопрос о его справедливости для нерегулярных решений. Положение осложняется также тем, что в настоящее время отсутствует теория многомерных СИУ на негладких многообразиях (СИУ с разрывными характеристиками). Тем не менее различными авторами предложен ряд алгоритмов численной реализации метода ГИУ при нарушениях классических требовании теории потенциала. Н.Ф.Андрианов и П.И.Перлин / 18 / разработали алгоритм численного решения СИУ второй основной задачи для тел с кусочно-гладкими границами на основе МПП. При этом используется концепция "двойной точки", т.е. в узловых точках, расположенных на угловых линиях границы, с помощью экстраполяции определяются два значения плотности, каждое из которых относится к своей гладкой поверхности. В работе А.Я.Александрова, Б.М.Зиновьева, Л.М.Куршина / 15 / в окрестности особых линий и точек границы предлагается распределять компенсирующие нагрузки, закон изменения которых отражает асимптотику решения краевой задачи. Ю.Л.Бормот /27,28 / для областей с внешними углами и нагрузками, допускающими в угловых точках ограниченные напряжения, предложил функциональные уравнения, полученные из интегральных путем расширения области интегрирования и наложения дополнительных условий на плотности потенциалов. В работах Круза / 116,119 / СИУ были получены на основе тождества Сомилиана и их численное решение в случае областей с негладкими границами позволило получить весьма точные результаты, что послужило толчком для широкого использования этих уравнений.

Теоретическим аспектам методов потенциала в областях с негладкими границами посвящено мало работ. Т.Г.Гегелиа / 38,39 / исследовал свойства обобщенного потенциала двойного слоя для негладких поверхностей, на которых предполагается существование его прямого значения. В работе З.М.Гогниашвили / 41 / свойства этого потенциала изучены в окрестности особой точки поверхности, являющейся вершиной кругового конуса. 3 работах Гартмана / 124, 125 /для кусочно-ляпуновских поверхностей установлено существование и непрерывность прямых значений потенциала простого слоя с ограниченной плотностью и потенциала двойного слоя, плотность которого удовлетворяет условию Гельдера. Аналогичные исследования проведены Риголотом {С. Rigoiot ) /143,144 /. в работах В.Я.Адлуцкого / 6,9 /установлена справедливость тождества Соми-лиана для нерегулярных решений краевых задач теории упругости в областях с границами, состоящими из конечного числа регулярных и конических элементов поверхности. Доказано выполнение необходимых и достаточных условий существования СИ в предельной форме тождества Сомилиана и получены их выражения для некоторых частных случаев нерегулярных точек. В / 10 / исследованы свойства непрерывности обойденных упругих потенциалов в указанных областях и установлена их принадлежность классу функций Гельдера.

В заключение отметим, что большинство задач, решенных методом ГИУ, носят тестовый характер или являются модельными при исследовании тех или иных вопросов эффективности численной реализации метода. Количество работ, посвященных решению задач прикладного характера методом ГИУ, значительно меньше, чем при использовании, например, МКЭ, что объясняется еще недостаточным распространением метода ГИУ. Из отечественных работ следует назвать исследования Н.Ф.Андрианова, В.Г.Костылева, В.П.Полухина / 20,83 / по расчету напряжений в составных соединениях типа вал-втулка, Ю.В.Вервжского, А.И.Вусатюка, А.Я.Петренко / 33 /, А.И.Винник, Ю.З.Вороны, И.З.Ройтфарба, А.Е.Литвиненко, Ю.В.Ур-ванцева / 37 / по исследованию прочности строительных конструкций, П.И.Перлина, А.З.Штерншиса / 81 / по расчету составного прокатного валка, В.И.Калиниченко, Е.П.Михащука, Д.И.Карпиноса,

В.Я.Адлуцкого, В.И.Рузина /50,51 / по расчету термоупругих напряжений в образцах для испытания на термостойкость керметов, В.Я.Адлуцкого / 7 / по исследованию напряженно-деформированного состояния вилки шарнира универсального шпинделя прокатного стана. Отметим также работы зарубежных исследователей /69,ПО,112, 113,122,123,127,128,133-135/ по применению метода ГИУ к расчету прочности различных промышленных деталей и элементов конструкций сложной формы.

Целью настоящей диссертационной работы является обоснование применимости метода ГИУ на основе тождества Сомилиана при нарушении гладкости границы иди краевых условий в исследуемых задачах, изучение свойств обобщенных упругих потенциалов в областях с негладкими границами, построение достаточно эффективной схемы численной реализации метода ГИУ, разработка универсальных программ расчета напряженно-деформированного состояния тел сложной формы и применение их к решению практически важных задач.

Основное содержание диссертации состоит в следующем: -в первой главе введены классы негладких поверхностей, состоящих из конечного числа регулярных и конических элементов, и изучены их свойства, исследована сходимость некоторых несобственных интегралов по этим поверхностям, доказано тождество Сомилиана и получена его предельная форма для нерегулярных решений задач теории упругости в областях с негладкими границами, установлено выполнение необходимых и достаточных условий существования СИ в нерегулярных точках границы, исследованы свойства непрерывности обобщенных упругих потенциалов в областях с негладкими границами;

-во второй главе проведено исследование границ применимости различных кубатурных формул к вычислению интегралов по элементам различной формы от ядер обобщенных упругих потенциалов, исследована сравнительная эффективность двух подходов к решению второй основной задачи теории упругости, разработан и обоснован алгоритм численной реализации метода ГИУ для второй основной задачи, путем решения ряда тестовых задач различной сложности проверена эффективность и точность программ, реализующих алгоритм;

-в третьей главе приведено решение двух прикладных задач об определении напряженно-деформированного состояния вилки шарнира универсального шпинделя блюминга 1150 и о расчете термоупругих напряжений в образцах для испытаний на термостойкость материалов типа керметов.

Основные результаты и выводы диссертации, которые выносятся на защиту, сформулированы в заключении работы.

Материалы диссертации опубликованы в работах /2-10,50,51, 72,107 /; они докладывались на П Республиканской конференции молодых ученых по механике (Киев, 1979 г.)» У1 научной конференции молодых ученых механико-математического факультета и НИИ механики Горьковского госуниверситета (Горький, 1981 г.),У Всесоюзной конференции по композиционным материалам (Москва, 1981г.), межвузовском научном семинаре "Математические проблемы механики" (руководитель -акад.АН УОСР В.И.Моссаковский), семинаре по механике механико-математического факультета Киевского госуниверситета (руководитель - чл.-корр. АН УССР А.Ф.Улитко), научных конференциях, посвященных итогам научно-исследовательской работы Днепропетровского госуниверситета за 1973-1982 годы, научных семинарах кафедры прикладной теории упругости Днепропетровского госуниверситета.

Работа выполнена в Днепропетровском государственном университете на кафедре прикладной теории упругости.

I. МЕТОД ГИУ ДЛЯ ТЕЛ С НЕГЛАДКИМИ ГРАНИЦАМИ ПРИ ДЕЙСТВИИ РАЗРЫВНЫХ НАГРУЗОК

1«1« Некоторые сведения из теории обобщенных упругих потенциалов

Изложим кратко некоторые результаты теории обобщенных упругих потенциалов / 61,62 /, которые потребуются в дальнейшем.

Пусть трехмерное евклидово пространство Е^ заполнено однородной и изотропной средой с упругами константами JJ (модуль сдвига) и У - (коэффициент Пуассона). Система однородных дифференциальных уравнений равновесия среды в перемещениях имеет вид

Д(дм)и=//А и(М) +р(4-2)/) рroddivu(М)*09 (i.i) где Й(дм) - дифференциальный оператор Ляме; и(М) - вектор перемещений в точке М упругой среды.

Пусть в точке Q приложена единичная сосредоточенная сила 6 ,создающая в упругой среде поле перемещений и (ММ) , удовлетворяющее уравнению

Й(дм) и(М, Q) / в6[М0--о, (1.2) где sm) -дельта-функция Дирака; расстояние между точками М ш Q .

Вектор U то; ,называемый фундаментальным решением уравнения (I.I), может быть записан в виде u(M,Q)=U(M,Q)-e. (1.3)

Матрица называется матрицей фундаментальных решений Кельвина и имеет следующие элементы: uLJ (м, о)=[<бщм)г(мм)]ч[(з-ы)бд ^(мщ mi а.„) где 6у - символ Кронекера; компоненты единичного вектора, направленного из точки Q в точку М •

Вектор напряжений в точке / / на площадке с нормалью п(М) является результатом действия на фундаментальное решение U '(МЛ) оператора напряжения

Т(дм,п(М)) +iMn(M)div-ju[roUn(M)] (1.5) и равен p(M.Q) - T(M,Q)-e. (1.6)

Матрица ТШ) имеет следующие элементы:

Tij(M.Q) =Ст^)гг(М, Q)J 4[(W)(n;(M)Xj (М. Q) где nrfM)- компоненты вектора нормали

Здесь и в дальнейшем подразумевается суммирование по повторяющимся индексам. ^ Вектор удовлетворяет относительно точки м однородному уравнению (1Л) всюду в , кроме точки Q. Здесь звездочка означает операцию транспонирования матрицы 9 S -произвольный постоянный вектор. Матрица называется матрицей фундаментальных решений первого рода. При любых справедливы оценки

Ц:(М,0)Ы с<гч(МД, (1.8) ll}j(M,Q)l±C2r2(M,Q), (i.9) где Ci , С2 - положительные числа, зависящие только отJLJ и U .

Пусть S -ограниченная замкнутая квадрируемая поверхность ъЕ3. Векторы

У(М) Ф(М, O)^fQ)dS(O) (ЫО)

W(M) =flT *(Q, M)f(0)dS(0) (i.ii) называются обобщенными упругими потенциалами соответственно простого и двойного слоя и удовлетворяют уравнению (I.I) всвду в , за исключением точек поверхности S . Функции g(Q) называются плотностями простого и двойного слоя соответственно.

В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями: D^ - конечная область , ограниченная поверхностью «5 ,

• Нормаль ЯШ) к поверхности о в точке Q всегда будем считать направленной в D . При выполнении условий i.iz) потенциалы (I.IO), (I.II) обладают следующими дифференциальными свойствами:

IleC^m, VeC^(D'), алз)

9eC°-?(D+), ci.no где

QO.fi

- класс непрерывных функций, удовлетворяющих условию Гёльдера /f(M')~Т(М')1<СгНМ[М") - класс непрерывно дифференцируемых функций» первые производные которых удовлетворяют условию Гёльдера; класс поверхностей Ляпунова.

Для потенциала двойного слоя (I.II) с единичной плотностью справедлива обобщенная теорема Гаусса:

JfT*m)dS(Q)-Fq(M), a.i5)

V, Мед* г(М) = Us, Me 5 (о, Мед'-,

Е - единичная матрица.

При выполнении условий (I.I2) имеют место следующие предельные свойства потенциала двойного слоя и оператора напряжения от потенциала простого слоя:

Р)=* о,5f(p)+9(р), Сью где 5

Т(др,п(Р))?]^ ±otf(P)+ т(др> п(Р)) I/, CI.X7) где = W(M) - предельные изнутри ( Me D*) и извне (Щ € D~) значения потенциала двойного слоя;

Т(%,п(°))VJ~ = Eirn Т(дм,п(М))\/- предельные изнутри и извне

Д^эМ-^РеЭ значения оператора напряжения от потенциала простого слоя; прямое значение потенциала двойного слоя; Щ, n(P))V=ffT(P}Q)-ty(Q)dS(Q) - прямое значение оператора напряжения от потенциала простого слоя.

Указанные прямые значения являются сингулярными интегралами (СИ). Условия (1*12) достаточны для существования их главных значений.

Решение уравнения (1Л), удовлетворяющее условию ueC<(S+)(\C'(D+), (i.m) называется регулярным в области D* •

Если S^Mj (&), то для решения, регулярного в области./?^ имеет место тождество Сомилиана

М)и(М) =JfU(M,Q)-p(Q)dSiQ)-ffr(QM-u(Q)dS(Q), (i.b) где p-(Q) sjimT(dM, mm ~

- предельное изнутри значение ектора напряжений в точке QeS на площадке с норма лью Г)(0) ; в предельное изнутри значение вектора перемещений в точке и€о .

В случае второй основной внутренней задачи теории упругости, когда на поверхности S задано значение вектора напряжений^О(^, представление решения в виде (I.I9) приводит при S к сингулярному интегральному уравнению (СИУ) lU(M)+ffT*(Q№№)dS(Q)*SSU(M,Q)-p(Q)dS(Q),MeS а.20) относительно граничных значений вектора перемещений.

Представление решения этой же задачи в виде потенциала простого слоя (1.10) на основании свойства (1.Г7) приводит к

СИУ f (М)+ffT(M>Q)• f(Q)ds(Q)-p(M)9 MeS, (1.21) союзному с (1.20).

Однородные СИУ, соответствующие (1.20) и (I.2I) имеют по шесть линейно-независимых собственных решений. Для однородного уравнения, соответствующего (1.20), эти решения представляют собой перемещения тела как жесткого целого, а для (I.2I) - решения эластостатической задачи Робэна. Если

SeJI<(oL),peC0'P(S), o^fi^dL^i, (1.22) то для СИУ (1*20) и (I.2I) справедливы теоремы Фредгольма. При этом необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений выражают равенство нулю главного вектора и главного момента усилий р(0), приложенных к телу. При выполнении условий (1.22) решения СИУ (1.20) и (I.2I) обладают следующими дифференциальными свойствами: $*cV(s). (1.23)

U€ С ^(S). a.24)

В случае представления перемещений в виде (1.19) тензор напряжений в точках области D* имеет следующие компоненты:

6CJ (М) *ffDijK (М, Q)pJO]dS(Q)-MlJ/( №)ur (Q)dS(O), Ci.s> гд ерк (в). UJ0) - компоненты векторов p(Q) И№;

DljK (МД) --Гт^гЧтГЬ-^Хх/МЩ --х/мм-хс (КЩк)-зх£(КQkj№K№)]; a.26)

5ijK (M,Q)-jj[w(^)r9(№Г*{зпк(Фхкт •

-5xt(M,QkJ(MMxK(M,Q)]+3v[n.mxj(M,Q)+ *nj Щ (M, Q)JxK Ш+«-&)[зпк (0)xc (M,Q)xj (M.Qk nj(Q)6iK+ni (Q)SJk]-(4-М)пкШц} ■ (1.27)

Предельные изнутри значения компонентов тензора напряжений равны

6 + (М)=2ЩК (М, Q)pK(Q)dS(Q)-2 ffSljK(M,Q)uK(Qmm*ib-)

Первый интеграл в (1.28) является сингулярным и существует в смысле главного значения при выполнении условий (1.22). Второй интеграл следует понимать как eim ffStto (P,Q)u (Q)с/S(Q). (Ь29) д+эР+MeS s У* * ;

Этот предел существует при выполнении условия (1.24), которое в свою очередь следует из (1*22).

В случае представления перемещений в виде потенциала простого слоя (I.I0) тензор напряжений в точках области D имеет компоненты бг. (М)• ffdLjK(MQ)qK(Q)dS(Q), MeD? (ьзо) где <£#(0) - компоненты вектора плотности Щ Предельные изнутри значения компонентов тензора напряжений равны

И) =о,5йф(м)Чк(м) ф^Шф&Ш). (I.3I) где

Дцк (м) = 4 nj (м)+sjK h; (фк-Щ-цЩ/т^

Интеграл в равенстве (I.3I) является сингулярным и существует в смысле главного значения при выполнении условия (1.23), вытекающего из (1.22).

Основные результаты работы состоят в следующем:

1. Установлена справедливость тождества Сомилиана для широкого класса областей с негладкими границами при действии разрывных нагрузок.

2. Получена предельная форма тождества Сомилиана, доказано выполнение необходимых и достаточных условий существования сингулярных интегралов в нерегулярных точках поверхности и установлена сходимость несобственных интегралов, обусловленных разрывным характером нагрузок.

3. Исследованы свойства непрерывности обобщенных упругих потенциалов в областях с негладкими границами. Доказано, что потенциал простого слоя, плотность которого неограниченно возрастает по степенному закону в окрестностях конечного числа гладких кривых несущей поверхности, удовлетворяет условию Гель-дера во всем пространстве. Потенциал двойного слоя с плотностью из класса Гельдера, удовлетворяет условию Гельдера в замкнутых конечной и бесконечной областях.

4. Проведено сравнение двух потенциальных представлений решения второй основной задачи теории упругости на основе потенциала простого слоя и тождества Сомилиана. Теоретически обосновано и экспериментально подтверждено преимущество подхода на основе тождества Сомилиана.

5. Проведен численный эксперимент и разработаны рекомендации по рациональному выбору схем численного интегрирования ядер обобщенных упругих потенциалов.

6. Предложен и обоснован вариант алгоритма численной реализации метода ГИУ на основе тождества Сомилиана.

7. Составлены и отлажены универсальные программы расчета напряженно-деформированного состояния тел сложной формы. Эффективность указанных программ установлена в процессе решения ряда тестовых задач различной сложности.

8. Проведен расчет напряженно-деформированного состояния вилки шарнира универсального шпинделя блюминга II5Q1.

9. Проведен анализ полей напряжений в образце для испытания на термостойкость.

10. Разработанная методика исследования напряженно-деформированного состояния тел сложной формы использована в расчетной практике ДМК им.Дзержинского и Института проблем материало ведения АН УССР.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Основные направления экономического и социального развития СССР на 1.8I-I985 годы и на период до 1990 года.- В кн.: Материалы ХХУ1 съезда КПСС. M.s Политиздат, 1981.- 223 с.

2. Адлуцкии В.Я. К вопросу о численном решении пространственных задач теории упругости методом потенциала.- В кн.: Динамика и прочность тяжелых машин. Днепропетровск: Днепропетровский ун-т, 1976, вып.I, с. 71-76.

3. Адлуцкий В.Я. Приближенное интегрирование функций влияния по плоскому треугольному участку.- В кн.: Динамика и прочность тяжелых машин. Днепропетровск: Днепропетровский ун-т, 1978, вып.З, с. 128-131.

4. Адлуцкий В.Я. Сравнение двух подходов к решению пространственных задач теории упругости методом потенциала.- В кн.:

5. П Республиканская конференция молодых ученых по механике: Тр.конф.- Киев: Наукова думка, 1979, с.7-9.

6. Адлуцкий В.Я. 0 двух подходах к решению пространственных задач теории упругости методом потенциала. В кн.: Динамика и прочность тяжелых машин. Днепропетровск: Днепропетровский ун-т, 1979, вып.4, с. 91-97.

7. Адлуцкий В.Я. 0 вычислении напряжений на поверхности упругого тела.- Проблемы прочности, 1983, № 2, с. 102-104.

8. Адлуцкий В.Я. Тождество Сомилиана для областей с негладкими границами при действии разрывных наурузок. Днепропетровск: Днепропетровский ун-т, 1983.- 48 с. Рук. деп. в ВИНИТИ 5 дек. 1983г. £ 6551-83.

9. Адлуцкий В.Я. 0 свойствах обобщенных упругих потенциаловв областях с негладкими границами.- Днепропетровск: Днепропетровский ун-т, 1983.- 31 с. Рук.деп. в ВИНИТИ 5 дек. 1983 г., № 6552-83.

10. Александров А.Я. Об одном приближенном методе решения плоских контактных задач теории упругости.- В кн.: Труды Новосибирского института инженеров железнодорожного транспорта. Новосибирск, 1955, вып.II, с. 5-28.

11. Александров А.Я. Некоторые решения осесимметричных контактных задач теории упругости.- В кн.: Труды Новосибирского института инженеров железнодорожного транспорта. Новосибирск, 1955, вып.II, с. 29-61.

12. Александров А.Я. Решение основных трехмерных задач теории упругости для тел произвольной формы путем численной реализации метода интегральных уравнении.- Докл. АН СССР, 1973, т.208, № 2, с. 291-294.

13. Александров А.Я. Решение основных задач теории упругости путем численной реализации метода интегральных уравнений.-3 кн.: Успехи механики деформируемых сред.- М., 1975, с.З-24.

14. Александров А.Я., Зиновьев Б.М., Куршин JI.M. Об одном численном методе решения задач теории упругости с учетом особенностей напряженного состояния вблизи угловых точек и линий.- Изв. АН СССР. Мех.тверд, тела, 1980, №3, с. 39-49.

15. Александров А.Я., Зиновьев Б.М. 0 вычислении сингулярных интегралов при численном решении задач теории упругости методом граничных интегральных уравнений.- Докл. АН СССР, D8I, т.257, гё б, с. 1328-1332.

16. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям.- М.: Наука, 1978.- 352 с.

17. Андрианов Н.Ф., Перлин П.И. Решение второй основной задачи теории упругости для тел ограниченных кусочно-гладкими поверхностями.- В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1976, вып.4, с. 28-30.

18. Андрианов Н.Ф. Численное решение пространственных задач теории упругости для тел вращения.- Сообщ. АН Груз. ССР, 1980,т. 99, № I, с. 57-60.

19. Андрианов Н.Ф., Костылев В.Г. Определение напряжений в составных соединениях типа вал-втулка методом потенциала.-Машиноведение, 1981, № I, с. 77-81.

20. Баришпольский Б.М., Бесков А.Н., Верюжский Ю.В. Применение метода потенциала в комбинированном методе решения задач теории упругости.- В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1977, вып.30, с. 48-52.

21. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. М.: Мир, 1982.- 248 с.

22. Безухов Н.И., Лужин О.В. Приложение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач.- М.: Высшая школа, D74.- 200 с.

23. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.1- М.: Наука, В66.- 632 с.

24. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности.- М.: Внешня школа, 1978.- 328 с.

25. Бормот ЮЛ. Семинары: Численный анализ методом потенциала пространственного состояния элементов конструкций.- Изв. АН СССР. Мех.тверд.тела, 1977, № 4, с. 203.

26. Бормот Ю.Л. Семинары: Численное исследование пространственных задач теории упругости методом потенциала.- Изв. АН СССР. Мех.тверд, тела, 1977, № 5, с. 187.

27. Вайндинер А.И., Москвитин В.В. Сингулярные интегральные уравнения трехмерных задач теории упругости: регуляризация, кубатурные формулы, дифференциальные свойства и приближенные методы решения.- Докл. АН СССР, 1976, т.228, № 6,с. I3I0-I3I3.

28. Верюжский Ю.В., Вусатюк А.И., Савицкий В.З. Численная реализация метода академика В.ДДупрадзе при решении некоторых статических задач теории упругости.- В кн. Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1975, вып.25,с.54-67.

29. Верюжский Ю.В., Вусатюк А.И. Определение эластопотенциалов интегральных представлений перемещений пространственной задачи теории упругости,- В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1976, вып. 28, с. 56-65.

30. Верюжский Ю.В., Вусатюк А.И., Петренко А.Н., Савицкий В.В. Определение эластопотенциалов интегральных представлений напряжений пространственной задачи теории упругости.- В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев,1976, вып.28, с. 65-72.

31. Верюжский Ю.В., Вусатюк А.И., Петренко А.Я. Сочетание прямого и итерационного решения граничных интегральных уравнений задач теории упругости.- В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1978, вып.33, с.112-116.

32. Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики.- Киев: Вища школа, 1978.- 184 с.

33. Винник А.И. Исследование напряженного состояния массивных тел на основе метода потенциала.- В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений.-Киев, 1978, вып.32, с.73-76.

34. Винник А.И., Дехтярюк Е.С., Пятигорская Е.И., Ройтфарб И.З. Вариационный метод решения пространственных краевых задач теории упругости на основе интегральных представлений.

35. В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений.- Киев, 1979, вып.33, с.99-103.

36. Винник А.И., Ворона Ю.В., Ройтфарб И.З., Литвиненко А.Е., Урванцев Ю.В. Расчет трехосного напряженного состояния элементов конструкций по методу потенциала.- В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружении.- Киев, 1981, вып. 38, с. 77-82.

37. Гегелиа Т.Г. 0 граничных значениях интегралов типа Коши для негладких поверхностей.- Сообщ. АН Груз.ССР, 1954, т.15, №8, с. 481-488.

38. Гегелиа Т.Г. Об одном обобщении теоремы Жиро.- Сообщ. АН Груз.ССР, 1955, т.16, №9, с. 657-663.

39. Генинсон И.Б., Партон В.З. Растяжение цилиндра с внешним кольцевым разрезом.- В кн.: Машины и аппараты химической технологии. М., 1981, с. 23-27.

40. Гогниашвили В.М. Некоторые свойства потенциалов теории упругости для негладких поверхностей.- Труды Тбилисскогоун-та. Тбилиси, 1980, № 210, с. 98-107.

41. Гшьдштейн Р.В. Применение интегральных уравнений для численного решения задач теории упругости и пластичности.

42. В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1978, т.9, №5, с. 37-69.

43. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики.- М.: Гостехиздат, 1953.415 с.

44. Ескалиев А.Д., Машуков В.И. Вариант численного решения задачи трехмерной теории упругости с помощью сингулярного интегрального уравнения. Новосибирск: Ин-т горн.дела СО АН СССР, 1981.- 19 с. Рук.деп. в ВИНИТИ 7 мая 1981 г.,2034-81.

45. Згрясебловский B.C. Об исследовании напряженного состояния осесимметричных элементов конструкций.- В кн.: Машины и аппараты химической технологии. М., 1981, с. 14-18.

46. Зиновьев Б.М. Некоторые вопросы численного решения задач теории упругости.- В кн.: Труды Новосибирского ин-та инженеров железнодорожного транспорта. Новосибирск, 1978, вып. 190/3, с. 59-67.

47. Зиновьев Б.М., Трофимова Э.П. 0 приближенном вычислении напряжений и смещений при действии распределенных нагрузок внутри упругого пространства.- & кн.: Механика деформируемого тела и расчет транспортных сооружений. Новосибирск, 1980, с. 75-83.

48. Калиниченко В.И., Карпинос Д.И., Мйхащук Е.П., Адлуц -кий В.Я., Рузин В.И. Напряженное состояние цилиндрических образцов при испытаниях на термостойкость.- Порошковая металлургия, 1982, № 12, с. 60-65.

49. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа.- М. -Л.: Физматгиз, 1962.- 708 с.

50. Копейкин Ю.Д. Интегральные уравнения пространственных задач статики упругого тела.- Прикладная механика, 1965, т.1, № 5, с. 29-35.

51. Копейкин Ю.Д. Постановка задач об отыскании функций напряжений с помощью бигармонических потенциалов.- Прикладная механика, 1965, т.1, №2, с. 104-109.

52. Копейкин Ю.Д. Метод бигармонических потенциалов и прямое решение задач о концентрации напряжений в элементах конструкций.- 3 кн.: Материалы по металлическим конструкциям.

53. М.: Строииздат, 1973, вып.Г7, с. 13-19.

54. Копейкин Ю.Д. Прямое решение двух- и трехмерных краевых задач теории упругости и пластичности при помощи сингулярных интегральных уравнений метода потенциала.- В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1974, т.5,2, с. 46-56.

55. Копейкин Ю.Д., Шишкин В.Л. Прямое решение краевых задач теории упругости для тел вращения на основе интегральной формулы Сомилиана.- Изв. АН БССР.Сер.физ.-мат.наук, 1977, № 3, с. 36-41.

56. Костылев В.Г., Андрианов Н.Ф. Решение второй основной задачи теории упругости в осесимметричной постановке методом потенциала.- В кн.: Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1978, т.9, №5, с. 81-90.

57. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов.- М.: Наука, В67.- 500 с.

58. Лазарев М.И., Сковорода А.Р. К расчету напряжений при решении пространственной задачи теории упругости методом интегральных уравнений.- В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1982, № 22, с. 26-32.

59. Лиховцев В.М., Перлин П.И. Решение пространственных задач теории упругости для полубесконечных областей.- В кн.: Труды Московского ин-та химического машиностроения, 1975, вып.65, с. II8-I2I.

60. Лиховцев В.М., Перлин П.И. Применение обобщенного потенциала к решению пространственных контактных задач теории упру# гости .-Изв. АН СССР. Мех.тверд.тела, 1978, № I, с. 172-174.

61. Лурье А.И. Теория упругости.- М.: Наука, 1970,- 940 с.

62. МарТыненко М.Д., Романчик B.C. Интегральные уравнения некоторых краевых задач пространственной теории упругости.-Изв. АН БССР. Сер.физ.-мат. н., 1977, № 4, с. 69-75.

63. Меерович И.М. Исследование и расчет универсальных шпинделей прокатных станов.- М.: Машгиз, 1954.- 40 с.

64. Метод граничных интегральных уравнений: Вычислительные аспекты и приложения в механике / Под ред. Т.Круза, Ф.Риццо.-М.: Мир, 1978.- 210 с. (Механика. Новое в зарубежной науке; вып.15).

65. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения.- М.: Физматгиз, 1962.- 256 с.

66. Молчанов И.Н. Численные методы решения некоторых задач теории упругости.- Киев: Наукова думка, 1979.- 316 с.

67. Моссаковский В.И., Ях Г.И., Адлуцкий В.Я. Исследование концентрации напряжений в пругих телах методом граничных интегральных уравнений.- В кн.: Динамика и прочность тяжелых машин. Днепропетровск: Днепропетровский ун-т, 1982, вып.6, с. 96-101.

68. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения.- М.: Наука, 1968.- 512 с.

69. Новацкий В. Теория упругости.- М.: Мир, 1975.- 872 с.

70. Партон В.З., Перлин П.И. Интегральные уравнения теории упругости.- М.: Наука, 1977.- 312 с.

71. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости.- М.: Наука, 1981.- 688 с.

72. Перлин П.И. Численный метод решения сингулярных интегральных уравнений основных пространственных задач теории упругости. Изв. АН СССР. Мех.тверд.тела, 1975, №3, с.109-111.

73. Перлин П.И. Применение регулярного представления сингулярных интегралов к решению второй основной задачи теории упругости.- Прикл. мат. и мех., 1976, т.40, № 2, с.366-371.

74. Перлин П.И., Новиков А.В. Об одном приеме повышения эффективности численного решения задач теории упругости методом потенциала.- В кн.: Механика твердого деформируемого тела и родственные проблемы анализа. М., 1980, с. 13-18.

75. Перлин П.И., Шафаренко Е-М., Штерншис А.З. Некоторые вопросы применения метода потенциала к решению пространственных задач теории упругости.- В кн.: Современные проблемы механики и авиации. М., 1982, с. 221-228.

76. Перлин П.И., Штерншис А.З. Определение напряженного состояния в полых круговых цилиндрах методом потенциала.- В кн.: Пластические деформации легких и специальных сплавов. М., 1982, вып.2, с. 72-75.

77. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия.- М.: Наука, 1969.- 176 с.

78. Полухин В.П., Костылев В.Г., Андрианов Н.§. Напряженное состояние цилиндрических деталей, собранных с гарантированным натягом. Изв.вузов. Машиностроение, 1980, № II,с. 84-89.

79. Полухин В.П., Андрианов Н.Ф., Киселев Д.М., Костылев В.Г. Определение термоупругих напряжений в прокатных валках методом потенциала.- Изв.вузов. Черная металлургия, 198I,1. I, с. 70-72.

80. Рахматулин X.A., Лубашевскии В.В. Метод источников в решении задач теории упругости.- В кн.: Вопросы вычислительной и прикладной математики. Ташкент, 1980, вып.60, с.3-17.

81. Роговой А.А. 0 решении интегральных уравнений метода источников.- В кн.: Вопросы теории упругости и вязкоупругости. Свердловск, 1978, с. 3-18.

82. Роговой А.А. Некоторые свойства интегральных уравнений метода источников для основных задач теории упругости.- В кн.: Упругое и вязкоупругое поведение материалов и конструкций. Свердловск, B8I, с. 3-15.

83. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам.- М.: Стродаздат, 1977.- 129 с.

84. Ройтфарб И.З., Урванцев Ю.В. Об одном приближенном алгоритме численной реализации метода потенциала.- В кн.: Сопротивление материалов и теория сооружений. Киев, 1982, вып.41,с. 60-62.

85. Рубцов Е.А., Хуторянский Н.М. Адаптивный алгоритм интегрирования при решении осесимметричных задач теории упругости методом граничных интегральных уравнений.- 3 кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1982, № 22,с. 38-43.

86. Соловьев Ю.И., Плешаков Ф.Ф. Осесимметричное напряженное состояние упругого полупространства с цилиндрической выемкой конечной глубины.- В кн.: Труды Новосибирского и-та инженеров железнодорожного транспорта. Новосибирск, 1972, вып.137, с. 27-36.

87. Ступак С.Ф. К решению интегральных уравнений пространственных задач теории упругости.- В кн.: Механика твердого деформируемого тела и родственные проблемы анализа. Mit 1978,с.8-15.

88. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости.- М.: Наука, 1975. 576 с.

89. Фадеев Д.К., Фадеева З.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- М.: Физматгиз, 1963.- 735 с.

90. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: В 3-х т. М.: Наука. - т.1, 1969.- 608 с. ,* т.2, 1970.- 800 е.; т.З, 1963.- 656 с.

91. Хуторянский Н.М. Об одном методе решения пространственных задач упругого равновесия.- В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1976, вып.5, с. 27-34.

92. Хуторянский Н.М. Построение экономичных дискретных моделей интегральных уравнений теории упругости на основе свойства локальных ядер.- В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1980, вып.16, с. 36-39.

93. Целиков А.И. Прокатные станы.- М.: Металлургиздат, 19 46.560 с.

94. Шафаренко Е.М. Напряженное состояние в упругом пространстве, ослабленном двумя кубическими полостями.- Изв. АН СССР. Мех.тверд.тела, 1979, № 4, с. 185-188.

95. Шафаренко Е.М. Концентрация напряжений в окрестности двух полостей.- В кн.: Прикладные проблемы прочности и пластичности. Горький, 1980, с. 44-48.

96. Шишкин В.П. Прямое решение осесимметричных краевых задач теории упругости для тел вращения на основе интегральной формулы Сомилиана. Минск, 1977.-8 с. Рук.деп. в ВИНИТИ 27 сент. 1977 г. № 3779-77.

97. Шишкин В.П., Федосеев Г.Н. 0 вычислении напряжений на ортогональных площадках. Минск, 1981. 6 с. - Рук. деп. в ВИНИТИ 15 окт. 1981г. № 4790-81.

98. Штерншио А.З. Исследование напряженного состояния в упругом пространстве, ослабленном "крестообразной" полостью, методом потенциалов.- В кн.: Механика твердого тела и родственные проблемы анализа. М., 1980, с. 18-22.

99. Якимчук Д.К., Квитка A.JI. Применение метода граничных интегральных уравнений для решения пространственных задач статики теории упругости. (Препринт). Киев: ин-т проблем прочности АН УССР, 1979.- 66 с.

100. Якимчук Д.К. Исследование численной устойчивости схемы метода граничных интегральных уравнений при решении первых двух основных задач теории упругости и теории гармонических функций.- Проблемы прочности, 1981, № 7, с.53-57.

101. Ях Г.И., Адлуцкии В.Я. Об одном алгоритме решения трехмерных задач упругого равновесия методом граничных интегральных уравнений. В кн.: Актуальные проблемы механики деформируемых сред. Днепропетровск: Днепропетровский ун-т, 1979, с. 218-224.

102. Abdul-Mihsein M.J., Penner R.T., Tan C.L. Boundary integral equation analysis of elastic stresses around an oblique hole in a flat plate. J. Strain Anal., 1979, vol.14, N0.4, p.179-185.

103. Altiero N.J., Gavazza S.D. On a unified Boundary-integral equation method. J. Elast., 1980, vol.10, No.1, p.1-9.

104. Boissenot J.N., Lange D., Gazagne L. Some industrial applications of the boundary integral technique in the field of 3-d elastostatics. In: Int. Simp. Innovative Numer. Anal. Appl. Eng. Sci., Versailles, 1977, s.1, 1977, 1/29 - 1/32.

105. Brebbia C.A., Nakaguma R. Boundary elements in stress analysis. J. Eng. Mech. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng.,1979, vol.105, No.1, p.55-69.

106. Chaudouet A. Les equations integrales de frontiere: outil d'analyse mecanique de pieces industrielles. In": Innovative Numer. Anal. Eng. Sci. Proc. 2nd Int. Symp. Montreal,1980. Charlottesvill, 1980, p.341-350.

107. Chaudouet A. Cyclic symmetry and Sliding between structures by the boundary integral equation method. In: Boundary Elem. Meth. Proc. 3rd Int. Semin., Itvine, Calif., July, 1981. Berlin e.a., 1981, p.206-223

108. Cheng P. Stress at notch root of shafts under axially symmetric loading. Exp. Mech., 1970, vol.10, p.534.

109. Chih-Bing Ling. Stresses in a circular cylinder having a spherical cavity under tension. Q. Appl. Math., 1958, vol.13, p.381-391.

110. Cruse T.A. Numerical solutions in three dimensional elastostatics. Int. J. Solids and Struct., 1969, vol.5,1. No.12, p.1259-1274.

111. Cruse T.A., Vanburen V. Three-dimensional elastic stress analysis of a fracture specimen with an edge crack. Int. J. Tract. Mech., 1971, vol.7, No.1, p.1-15.

112. Cruse T.A. Some classical elastic sphere problems solved numerically by integral equations. Trans. ASME, 1972, E 39, No.1, p.272-274.

113. Cruse T.A. An improved boundary-integral equation method for three dimensional elastic stress analysis. Comput. and Struct., 1974, vol.4, p.741-754.

114. Cruse T.A.,Snow D.W., Wilson R.B. Numerical solutions in axisymmetric elasticity. Comput. and Struct., 1977, vol.7, No.3, p.445-451.

115. Cruse T.A., Wilson R.B. Advanced applications of boundary-integral equation methods. Nucl. Eng. and Des., 1978, vol.46, No.1, p.223-234.

116. Fenner R.T., Tan C.L. Application of the boundary integral equation method to some fracture problems in high pressure engineering. In: Numer. Meth. Fract. Mech. Proc. 2nd Int. Conf., Swansea, 1980, p.123-134.

117. Gakwaya A., Dhatt G., Cardou A. An implementation of stress discontinuity in the boundary element method. In: Boundary Element Meth. Eng. Proc. 4th Int. Semin., Southampton, Sept., 1982. Berlin e.a., 1982, p.233-253.

118. Hartmann F. The Somigliana identity on piecewice smooth surfaces. J. Elast., 1981, vol.11, No.4, p.403-423*

119. Hartmann F. Elastic potentials on piecewice smooth surfaces. J. Elast., 1982, vol.12, No.1, p.31-50.

120. Heise U. The calculation of Cauchy principal values in integral equations for boundary value problems of the plane and three-dimensional theory of elasticity. J. Elast., 1975, vol.5, No.2, p.91-110.

121. Hocking G. Three-dimensional elastic stress distribution around the flat end of a cylindrical cavity. Int. J. Rock. Mech. and Mining Sci. and Geomech. Abstr., 1976, vol.13, No.12, p.331-337.

122. Holze G.H. Boundary integral equation method simplifies elastic stress analysis. SAE Tehn. Pap. Ser., 1980, No.800431, Ю p.

123. Jaswon M.A. Integral equation methods in potential theory. I. Proc. Roy. Soc., 1963, A 275, No.1360, p.23-32.

124. Kazantzakis J.G., Theocaris P.S. The evaluation of certain two-dimensional singular integrals used in three-dimensional elasticity. Int. J. Solids and Struct., 1979, vol.15, N0.3, p.203-207.

125. Kellogg O.D. Foundations of potential theory. Berlin: Springer Verlag, 1929. - 380 p.

126. Kermanidis T. A numerical solution for axially symmetrical elasticity problems. Int. J. Solids and Struct., 1975, vol.11, N0.4, p.493-500.

127. Kuich G. The boundary element method in an industrial environment. In: Boundary Element Meth. Eng. Proc. 4th Int. Semin., Southampton, Sept., 1982, Berlin e.a., 1982, p.576-593.

128. Lachat J.С., Watson J.O. Effective numerical treatment of boundary integral equations: a formulation for three-dimensional elastostatics. Int.J. Numer. Meth. Eng., 1976, vol.10, Ho.5, p.991-Ю05.

129. Lachat J.C., Watson J.O. Progress in the use of boundary integral equations, illustrated by examples. Comput. Meth. Appl. Mech. and Eng., 1977, vol.10, No.3, p.273-289.

130. Mayr M., Drexler W., Kuhn G. A semi.analytical boundary integral approach for axisymmetric elastic bodies with arbitrary boundary conditions. Int. J. Solids and Struct., 1980, vol.16, No.10, p.863-971.

131. Metz W.C., Pilkington Т.О. The utilization of integral equations for solving three-dimensional, time-invariant, conservative fields. Int. J. Eng. Sci., 1969, vol.7, No.2, p.183-208.

132. Niva Y., Kobayashi S., Fukui T. Application of integral equation method to the determination of three-dimensional stresses around a cavity. Trans. Jap. Soc. Civ. Eng., 1978, vol.9, p.79-80.

133. Patterson C., Elsebai N.A.S. A regular boundary method using non-conforming elements for potential problems in three dimensions. In: Boundary Element Meth. Eng. Proc. 4th Int. Semin., Southampton, Sept., 1982. Berlin e.a.,1982, p.112-126.

134. Rieder G. Allgemeines uber integralgleichungen der elasto-statik. Porschungsber Landes Nordhein-Westfalen, 1976, No.2552, p.1-17.

135. Rizzo P.J. An integral equation approach to boundary value problems of classical elastostatics. Quart. Appl. Math., 1967, vol.25, No.1, p.83-95.

136. Rizzo P.J., Shippy D.J. An advanced boundary integral equation method for three-dimensional thermoelasticity. -Int. J. Numer. Meth. Eng., 1977, vol.11, No.11, p.1753-1768.

137. Rizzo P.J., Shippy D.J. A boundary integral approach to potential and elasticity problems for axisymmetric bodies with arbitrary boundary conditions. Mech. Res. Commun., 1979, vol.6, No.2, p.99-103.

138. Rizzonelly P.O. On the first boundary value problem for the classical theory of elasticity in a three-dimensional domain with a singular boundary. J. Elast., 1973, vol.3, N0.4, p.225-259.

139. Shippy D.J., Rizzo P.J. On the effectiveness of three boundary integral equation formulations for certain axisymmetric elastostatic problems. Res. Mech., 1982, vol.4, No.1,p.43-56.

140. Seabra Pereira M.F., Mota Soares C.A., Oliveira Paria L.M. A comparative study of several boundary elements in elasticity. In: Boundary Element Meth. Proc. 3rd Int. Se-min., Irvine, Calif., July, 1981. Berlin e.a., 1981,p.123-136.

141. Symm G.T. Integral equation method in potential theory. II. Proc. Roy. Soc., 1963, A 275, No.1360, p.33-46.

142. Theocaris P.S., Kazantzakis J.G. On the numerical evaluation of two- and three-dimensional Cauchy principal-value integrals. Acta mech., 1981, vol.39, No.1-2, p.105-115.

143. Theocaris P.S., Karayanopoulos N., Tsamasphyros G. A numerical method for the solution of static and dynamic three-dimensional elasticity problems. Int. J. Comput. and Struct., 1983, vol.16, N0.6, p.777-784.

144. Watson J.O. The analysis of three dimensional problemsof elasticity by integral representation of displacement.-In: Var. Meth. Eng. Proc. Int. Conf. Univ. Southampton, 1972. Southampton, 1973, vol.2, p.9/51-9/56.