Исследование неавтономных дифференциальных уравнений и системы Чуа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

«V

N

На правах рукопису

ЛНЧУК Сергій Володимирович

УДК 5X7.9

ДОСЛІДЖЕННЯ НЕАВТОНОМНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ТА СИСТЕМИ ЧУА

01,01,02 — диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на одобутт^ наукового ступеня кандидата фіоінні-математичшіх наук

Київ - 1997

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у відцілі овичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України

II эд копий керівник академія НАН України

доктор фіоико-матсматичнкх наук професор САМОЙЛЕНКО АНАТОЛІЙ МИХАЙЛОВИЧ, директор Інституту ыатематпЕН НАНУ

Офіційні опоненти:

доктор фіоико-математнчішх наук професор ПЕРЕСТЮК МИКОЛА ОЛЕКСІЙОВИЧ,. , Національний університет ш. Тараса Шевченка, декан механіко-математичного факультету

кандидат фіопїб-матеиатичних наук КОЛОМІЄЦЬ ВІКТОР ГРИГОРОВИЧ,

Інститут математики НАНУ, старішій науковий співробітник

Провідна установа:

Чернівецький державний університет імені Ю. Федьктдча, кафедра прикладної математико І механіки, и. Чернівці

«Захист відбудеться ...Ztfsr.... 18S7 р. о годині на в«>-

сіданні спеціалізованої рада Д.01.68.02 при Інституті математики НАН України оа адресою: 252601 KaiD - 4, вуд. Тсргацоиківська, S.

В днсертаціего мояліа ооиайомнтіісь у бібліотеці Інституту математики.

/Г/} sSjS

Автореферат рооіспаннй ............... 1897 р.

Вчений секретар л

спеці аліооваиої ради —»—-ЛУЧКА А. 10.

Аатуальпість темп. Дана робота присвячена дослідженню роив’яо ків крайових оадач для систем неавтономних овичайних диференціальних рівнянь та рівнянь іо залізненням. Особлива увага приділяється періодичним розв'язкам. Окремо рооглялуто систему Чуа диференціальних рівнянь третього порядку.

У ов’яоку о науково-технічним прогресом в останні роки виріс інтерес до псестороннього та глибокого вивчення нелінійних процесів, що виникають в системах едеятро- і радіотехніки, вібротехіши, небесної механіки, приладобудування, економіки, регулювання і т.п. Математичними моделями багатьох таких оадач є ріоні класи диференціальних рівнянь і рівнянь іо оапіонешіям, точні розв'язки яких, як правило, не вдасться вправити череп елементарні функції або в квадратурах. Ось чому особливого оначення набувають різноманітні чисельно-аналітичні методи, що доиволяють одночасно досліджувати існування розв’язку, а також дають схему його наближеного знаходження.

Дослідженням застосування та умов збіжності чисельно-аналітичного методу послідовних наближень А.М. Самойленка для різних класів задач зай мались ряд авторів. Зокрема, ці питання розглядалися в працях А.М. Са-мойленка, Д.І. Мартинюка, М.О. Перестюка, М.І. Ронто, С.І. 'І\юфімчука тз ін.

Окрім ітеративного методу, в обчислювальній практиці часто оасіосо-вуются інші методи, до яких відносяться варіаційні, проекційні, різницеві та двосторонні. Останнім часом з’явилися методи, що поєднують у собі ідеї кількох методів. Відмітимо тут роботи А.Ю. Лучки, В.В. Пеіришина, М.С. Курпелл, Б.Г. Гальоркіна та ін.

Не оважамчи на велику кількість робіт по цій тематиці, деякі питання, на їіаія погляд, булл пивчеиі не в повній мірі. Зокрема, це стосується ингинь існування та наближеної побудови розв’язків крайових оадач для диференціальних рівнянь іо оапіоиенням, Крім того, на сьогоднішній день актуальною є проблема охоплення якомога ширшого кола задач, що молугь бути досліджені за допомогою чнсельнп-анплііичіюго методу.

Слід оашіачитн, що досить активно останнім часом досліджується система Чуа диференціальних рівнянь третього порядку о пусково-лінійною правою частиною в роботах Чуа Л., Самойленка А.М., ЦІильникова Л.П., Шарковського О.М. та інших математиків. Значною мірою це пов’язано о наявністю хаотичного режиму в цій системі при деяких пначеннях параметрів, оручністю її дослідження та реаліоації у вигляді електричного кола о одним нелінійним елементом. Крім того, інтерес до вивчення цієї системи вішваний усе більш широким застосуванням таких моделей, динаміка яких описується кусково-лінійними динамічними системами.

У ов’яоку о цим дослідження системи Чуа с новою та досить перспективною математичною оадачею.

Зв’яоок роботи о науковими програмами, плинами, темами. Робота проводилась огідно о оагальним планом досліджень відділу (звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики ІІАН України.

Мета і оадачі дослідження. Мстою даної роботи с побудова таких чисельно-аналітичних алгоритмів, які дооволлють роов'яоувати нові класи диференціальних рівнянь та рівнянь ш оапіиненням, а також доведення існування, побудова та гивчення властивостей періодичних роов’яохіа системи Чуа. -

Наукова новпона одержаних результатів. Основні реоультати, які визначають наукову новизну та виносяться на оахист, настушіі:

1. Вкапана схема чисельно-аналітичного методу послідовних наближень онаходження періодичних роов’яоків диференціальний рівнянь іо оапіо-ненням, яка дооволяє досліджувати існування та наближено онаходити періодичні роов’яаки нових класів внщеогаданих рівнянь.

2. Вперше обгрунтована чисельно-аналітична схема для системи нелінійних диференціальних рівнянь ія пагтіонєншш, які рооглядаються при дво-точкових умовах, що не рооділяготься.

3. Для «анонічної системи третього порядку овичаипих диференціальних рівняні, о кусково-лінійною правою частиною отримані необхідні умови існування періодичних роов’яізігіп, рівняння у варіаціях, співвідношення між параметрами та коренями характеристичного рівняння. Цим самим

з

були узагальнені результати А.М.Самойленка та Л.Чуа. Проведені чисельні роорахулхл роав’лохів рівняння для складової х, що має імпульсну дію.

4. Вперше вивчаються явища зав'язуваній розв'язків у вуоол та ковзаючого режиму для складових нормальної системи диференціальних рів-ішіь іо гладкою правою частиною.

Практичне оначення отриманих реоультатів. Отримані результати уоагшшіюють та доповнюють відповідні дослідження по системі Чуа та крайових оадачах для рівнянь із запізненням. Роороблені в дисертації чисельно-аналітичні методи можуть бути перенесені на рівняння о більш загальними крайовими умовами. Прн якісному дослідженні однієї оі складових системи звичайних диференціальних рівнянь може бути використана методика п. 2.3. Запропоновані реоультати можуть бути застосовані при роов'яоку конкретних прикладних задач.

Особистий внесок одобувача. Визначення загального плану діяльності та постановка задач належать науковому керівнику - А.М.Самойленку. Доведення всіх реоультатів дисертації проведене особисто автором.

Апробація реоультатів дисертації. Реоультати дисертаційної роботи доповідалися і обговорювалися на семінарах відділу звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України; на засіданнях математичної школи о нелінійних коливань (жовтень 1995 p., Чернівці); на міжнародній конференції "Contemporary problems in theory of dyuamical systems” (липень 1996 p., Нижній Новгород); школах-семінарая "Нелінійні крайові задачі математичної фізики та їх застосування” (жовтень 1996 p., Кам’янець- Подільський; червень 1997 p., Нальчик); міжнародній конференції Т^іеті Боголюбовські читання "Асимптотические и качественные методы в теории нелинейных колебаний” (серпень, 1997 р., Київ).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 8 праць, о них: в праць написано без співавторів, 3 статті в провідних наукових фахових виданнях, З статті в збірниках наукових праць.

Структура та об’єм дисертації. Дисертаційна робота складається оі вступу, двох розділів, рообнтих на 9 параграфів, та списку цитованої літератури о SO кв:зв і викладена на 111 сторінках.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, проаналіоовано сучасний стан проблеми, сформульовано п здач і дослідження та коротко викладено основні реоультатн.

У першому рооділі дисертації досліджено три чисельно-аналітичні схеми. Зокрема, в параграфі 1.1 наведений чисельно-аналітичний метод дослідження та наближеної побудови періодичних роов'яоків неавтономних диференціальних рівняні, іо иапіонешиїм виду

• ІІТ

. ^ = /(<,і(0,ї(0-^-г)). (1)

Шуканий роов’яоок *(<) буде вионачатися періодичним продовженням на початкову множину.

Згідно о оагальиою схемою методу, послідовні наближення до періодичного роов’яоку (1) вионачаюгьси па формулою

Ят+і(<,*о) = 5-0 4- Ь/(г,гт(<),*т{і - Г,Хп) - т,п{іуХП)), (2)

де оператор Ь має вигляд

£/(0 = /0‘(/(0“7Ш)Л,

/(і) — інтегральне середнє функції /.

Будемо припускати, що п області О ~ {-се <1<оо, а < х < Ь, с < у < (і) функція неперервна па сукупністю имінних, обмежена та падовольняє умову Ліішшця, тобто

І/(!.*.*/)! < М, )/(ї,Ж| ,У1) — < Кі\Х\ ~Х-і\ + /і'зіі/; - І/ЗІ, (3)

/і»' Лі, К і, К і —деякі додатні константи.

Для методу (2) отримані умови чбіжності та оцінка похибки.

• 7'сорсмп 1.1.1. При люблених припущеннях, якщо константи М,К\,Кі

ИвДОВПЛІ.ІІЯЮГЬ умори

1ГТ *р

Ь - 0 > —е < — сгі11 )М < Оі{т)М < гі, — Кі 4- а\{г)Кі < 1,-

де аі(? ) - 2г(1 - і), іюслідолцість періодичний па і періоду Т функцій (2) чбігап’мя рівномірно при пі сх) відішс.но

, • . МТ • МТ

до функції ХкДі.хо), 'Н0 визначена и області (1), періодична, та с оишил періодичним роав’яізком рівняння

х(і,х0) = х0 + £/(*,х(г),х(< - г,х0) - хО,х0)). (5)

Швидкість (збіжності методу характериоусться нерівністю

' МТ

|*оо(/,*0) ~ *«(<,*0)1 < №5* (Я ~ <ЗоГ1| —,

де С?о = (Т/2,аі(г))г(Кі, Кг).

Теорема 1.1.2 встановлює (залежність між росів’яиком інтегрального рій няішя (5) та (1). А саме, якщо рівняній (1) (задовольняє умови теореми 1.1.1 та має періодичний періоду У роов’лоок х = що проходить при І = 0 через точку у>(0) = х0 □ відршку а+^<ха<Ь- то <^(і) = хаЦ, хй).

Використовуючи тісний ов’яізок чисельно-аналітичного методу та (задачі керування дня ..еріодичної оадичі (І), встановлені достатні умови існувиїшіі періодичних роов'япкін (1). Для цього використовувались ІІОСЛІДОНПОСіІ функцій

1 у1

Ат(*Іі) = 7р /І*, *.»(*> *о), •*«>(< - Г,г0) - Хт(і,Хц))(П.

Теорема 1.1.3. Нехай нрава частина рівняння (1) (задовольняє упоїш теореми 1.1.1 та для деякого т функція Дт(хи) оадовольнае нерівності

тій Лгп(х) < -(іт. шах Д„(г) > сіт,

а+і4Х<І<Ь-4£С 4 ’ а н*и:<:г<ь_*$с v ”

де (Іт = кС)п(Е — (2и)")(Л/772,аі(т)Л/)І'1 к ~ (Кк,К-г). Тоді рівнинна (1) має періодичний періоду Т роов’яаок ї(і), для якого а < х(1) < Ь, аг Ц,- < х(0)<Ь-Ц£. ■ '

Порівииіьний аналіз, що (зроблений н кінці параграфа, свідчить яро ге, що даний метод дозволяє охопити нові класи рівняііь виду (1), для яких виконуються теореми 1.1.1 - 1.1.3.

1 У параграфі 1.2 досліджуються система нелінійних диференціальних рівнянь іо Ийп'пшеїіннм .

~ /(«,*(<),*(<- г)), г,/б Ь\, і Є [ОД'], (0)

іікІ розглядаються при двоточковнх умовах, що не ропцілям гься

Дж(0) 4 Вх(Т) = і,

І’1)

х(і Є |-г,0І) ~ 7(<),

/ — неперервна функція в області (0,Т) х О х В — невироджєна матриця, 7(/) — неперервна в І = [—г,0).

Падачу (6), (7) було оведсно до початкової виду

'/’(О = ~ г),о),

(8)

і/'(0) - 0, Ф(1 Є [) = 7(і) - а - іт(а),

/і(<і *.!/>“) = /(<,* + а + <т(а),у + а + (і - г)т(а)) - ш(а), ш(а) = ~П~1(<І — (Л + В)а), а — деякий параметр.

Теорема 1.2.1. Якщо ф(1,а) е роов’локом початкової оадачі (8), а а* чгідопольняє рівняння іІ’(Т,а') = 0, то функція а") + а* + іт(а*) буде рппв’япкоіі кранової оадачі (6), (7).

У параграфі 1.2.2 до даної оадачі оастосовусться чисельно-аналітичний метод. ІІри цьому припускається, що для деяких цілих чисел кі, к2 матриця к\ Л + кіВ не вироджена. «Згідно іо оагальноіо схемою методу, розглядається ♦юглідовнігть функцій виду

0,Жо) “ *0 + ^ [/(іі —1(^» ^о)іХт~ і м^-о))

1 Т І

/0 /(.ч,л;т-і(.’,гп),а;т_і(5 - г,х0))іія}ііі + кіНіі(х{,) + --,(*а - к^П^х»),

з;т(* < 0, х0) - 7(<), т = 1,2,... (0)

Яо(Мо) = *о + к]Н(1(хо) + ~ к\)ІІ(і(хи),

дг II — {к\А + кіВ)~\ гі(г0) = — (А + В)іа-

Пехай функція /(/,*,!/) віти .чека для всіх і £ [0.Т], х Є Л, у - т(І-г) Є /Л !іпнс|.ч'рвна па сукупністю пмінних та падовольняє нерівності (3), а також штопані умови:

I. Множина 0(і точок хп Є /?„ Таких, що точки г;) + кіИв.{хр) = 20(хп) (іял'*я:ап, області У раоом оі своїм Д-околом. не порожня:

Пр / 0, де /? = |ЛГ + 0,(*о). /М*о> = |(*а - *і)/М(*п)І.

II. Найбільше власне оначешія А(<2) матриці ф = (Ач*-А'г)(^+^гг(1—у)2) ч>’ нкрспшцуг одмпишо.

ТсЦ! пос.чІдопнісіь функцій гт(<, виду’ (9) рівномірно ибігається при іп -■-* -хі підносно облпеті (/,Хо) Є [0,7’] х II р до граничної функції х,(<..Гг.).

При цьому буде розв’язком інтегрального ріншшпи

г(0 = *0 + кіН(і(хо) + £\№,х(1),х(1 - т)) - /(/,х(і),ж(г — г))н-

-ф*2-Аі)Я<і(г0)!<іг ' (Ю)

і проходить при 4 = 0 черео точку і’(0,ї0) = Хо 4- кіІІ(і(ха), тобто е розв'язком крайової задачі ■

х - /(і, ас(/), х(1 - г)) + Д(х,)), « И Г,

Лх0 + Дя0 = <*, ж(/) = 7(і),

де Д(г0) =» ±(к3 - к^іі^га) - £/0г /(і,х(і.),г{г - г))Л.

Для відхилення г*(/,хс) від ®то(<,жо) вірна оцінка *

|*.*(Л *о) - *т(*,~о)і < 0’1(<)И/(х1)), гп = 1,2,.. (11)

піхії^дп-'ІЕ-сіг'ціи + кіїр^ + дм). • -

При виконанні вищезгаданих умов доведено, що для будь-якої точки ти Є £)(/ існує єдине значення керуючого параметра

/'(*«) - - к\)1Ы(хъ) - і/(і,*'(«,*,;),**(< - г,х0)),и, (12)

при якому розв’язок ж(і) = г*(<,хо) системи диференціальних рівняні, и параметром

х = /(«;*(«).*(*-т)) -і/і,

що при * = 0 мас початкове значення х(< Є /) — ^(і), г(0) = хо + к\И(1(хо), Хо Є О/і, буде задовольняти крайову умову (7).

Теорема 1 .'2.4 встановлює критерій того, що гранична функції! иослідпн пості (9) х'(і,хо) буде розв’язком крайової задачі (6), (7). При виконанні умов попередніх теорем, цей критерій можна записати у вигляді рівності /!(г0) = 0. Причому, дтя відхилення точного розв’язку г*(/) = х*((,гп) подачі (6), (7) від наближеного хт(£,*о) виконується нерівність (11).

Для того, щоб отримати достатні умови існуванні! рочпЧчхів крлйпвчї ■плачі (0). (7). розглядається наближене рівняння

Л.-.І-'-п) — -- к:)ї{'*{гг,) - ( /(/,?с.), Г'-(і — г. з^))іі! -- !). • !-м

Теорема 1.2.5. Припустимо, що викопані умови теореми 1.2.4 і, крім того:

1. Існує иамкнена, пииукла область Оі С Ор така, що для деякого фіксованого т > і відображення Лт : Ир —» Е„ мас в В\ єдину особливу точку £п = хат неиульового індексу, тобто наближене рівняння (13) має в Бі єдиний ропп’яоок ненульового індексу.

2. На межі області виконана нерівність

Кх + Кі

КГ

И'(г0),

де И'(жо) пипначено п (11).

'Годі оадача (6), (7) має ропв’япок х = х’(і)> для якого початкове (значення г'([) у(і), х‘(0) •— Хд + kiHd(xg) та віюначасться тим оначешіям Хо = «З*

що належить і)і : *о = Є D\.

У параграфі 1.3 для системи явичайпих диференціальних рівнянь dx

- — = A{t)x + f(i,x), xj€E„, (A)

пропонується метод двосторонніх наближень до роив’яоку оадачі Коші. Головна відмінність його під раніше відомих методів Курпеля, Чаплнгіна та ін. оаключасться в тому, що в іп.ому використовується відомий роов’яоок лінійної системи х' — Л(і)®. тобто фундаментальна матриця роов’яоків Це дозволяє в ряді випадків покращити швидкість обіжності методу.

На функцію / накладаються наступні умови:

1. /(<,*) в деякій області П ложе бути представлена у вигляді /(<,*) = F{t,x,х) так, що о нерівностей («і < «з), (»>і > іг3) випливає F(t,ui,v,) < F\i,uj.vj).

2. Функція F неперервна па сукупністю пміппих та падовольняг в області І) умову ЛІНШИЦЯ

|^(<,к,у)- F(t,x\y')\ < Мх\х - а:'| + Мі\у- у'І

для будь-яких і Є [а, 6].

Введ імо наступні позначення: (ftj+)y = sup{(ni),';-,0}, ІІ\~ - П\ - Q\+, де череп (.),/ пооначена i,j - компонента матриці,

K\(t,s,n,v) = £1** F(.*,v,v) + і V,~ F(s,v,u),

Ki{t,s,u,v) ~ SlJ+F(.i.r,w) 4 Г}',~/;,(.«,и, r) — h’\(l,.t,v,xt).

«->+і(0 = ІЇаха+ [‘ Ki(t,a,un{.i),vn(fi)),

Jll

vn+i(t) = n‘axa + Ґ Ki(t,3,itn(s),vn{a)),

Ja

U0(i) > -(- f Ki(t, f,u0U), t>o(«)),

/її

Де

(16)

(0 < + / K2{t,3,Uо(я)(1'п(л)),

причому Vt б [я, ft] : wo(Oi,;s(0 Є D.

Для побудованої таким чином послідовності наближень має місце Теорема 1.3.1. Нехай функція F(t,p,q) (задовольняє умови 1 і 2, існують функції »о(/) та і'о(і), що оадонольшіють (1G). Тоді на сегменті [a,ft] для послідовностей (15) виконуються нерівності

Uo(t) > u\(t) > ... > u„(t) > ... > us'it) > ... > vn(t) > ... > Vi (і) > vo{t).

При цьому має місце рівномірна та монотонна обіжність послідовностей {н„(і)} і {«„(f)}, відповідно, оперху та пничу до єдиного рдав’япку я*(і) Є C[«,ft] рівняння (14) та справедлива оцінка

sup IM0~u*(0ll < ^-----(ft —а) вар |МО-ио(ОН. (1“)

<«М п■ <«М

де Ф --- константа, визначена наступним чином: Ф > 0 : j| |ії*j ||< Ф Є [я,ft] х [я,ft], |£)J| - матриця о компонентами (|П|І)>7 = |(П$),;|.

Яу.і to матрицант лінійної системи буде (задовольняти умову || ]Q'| || < А'ехр{а(і - ,*)} о деякими а і N > 0, то доводиться нгступпа оцінка (збіжності методу

S,,P ІМО ~ и»(0Ц < ’тМ?\!?9{“)У . sup ||„0(<) _ и0(ОІІ*

іЄ[в,6] п! <ф,(,]

до д(а) — —?_ у деяких випадках ця оцінка виявляється кращою (за

(17).

В кінці параграфа наведено приклад (застосування методу до систем»

х1 = -х + у2 - х3 4-1, у'~ *-у 4-я3

о початковими умовами х(0) — у(0) — 0. В даному випадку вже друга ітерація ллє хороше наближення до роов’яоку на відріпку (0,1].

У другому роиділі досліджується кусково-лінійна система диференціальних рівнянь

- ах + ру + ^2 + т/і(х), (ж — 1, х > 1,

& = * + . /»(*)=■ 0, |*| <1, (18) 7{-У + і)2, 1г+1і *<-1,

яка мас ніість параметрів а,/?,7,І, г/,т. Система Чуа о неї отримується при

/і — у. Бона є канонічною в тому рооумінні, що для будь-якого векторного

шипі іа сімейства неперервних полів

І = М, 14! < З,

І = в* + ь, КІ > і,

де ( — (х, у, г), А, В — постійні мат]іиці, Ь постійний вектор, онайдеться топологічно спряжене йому векторне поле іо б-ііараметричного сімейства

(18).

Якщо покласти (І = 0, то система (18) сводиться до двовимірної, яка роа-глвдасться у параграфі 2.1. Для неї вказуються ьсі можливі топологічно-нееквівалентні випадки рооіашуваніїа циклів, отримуються характеристичні рівняння. Крім доведення існування конкретних видів циклів та їх представления оа допомогою чисельних методів, доведено існування областей я просторі параметрів а певними властивостями. Т&ким чином, було доведено, що при всіх он&ченнях параметрів, таких що

■ —1 + г/»і < 6і < -1, ті < 0,

існує стійкий цикл типу фокус-вуиол. Якщо

, , [ — + /І-ЙЛ3!

п/і > 0, -1 < <5і < ті - 1, а < ти | ^------------J , - ) [ <

то існує нестійкий цикл типу фокус-фокус. Якщо ж параметри системи оадовольняіоть умови

„ , , , . ( /■ 1 — йі -+- «»1 \2 /і-йл2!

»пі < 0, Тої “ 1 < Йі < - 1, а < іпкі І - ^----------1 . д ~) І >

то вона мас стійкий цикл типу фокус-фокус. 'Гут 71 = а — г/ — 7 <\<5| — аі, т\ = пт, а класифікація циклів проводиться в оалежі'осгі від характеру особливих точок в областях |г[ < 1 та |г| > 1.

У параграфі 2.2 для систсми (І41) отримані рівняння для складових х,у,г. Зокрема, для складової х отримане рівняння мал імпульсну дію:

ВД = + ^і(ж)). 1*1 Ф 0,

' (1»)

Д*"ІМ-* = т7і|ж'[еі^п(л;),

де Ь\х) — І(х') — аІ(х) — ріі{х) — ух, 1](х) = х' — г)Х, 1(х) г= х" — Г}х' - 6х,

Хі(х) = Н ЛР" і'1 < \ = Х)(х>іеп(х).

(0 при Іх| < 1

Длл (19) проподяться чисельні роорахунхи, в яких демонструються ріпно-манітні цикли .як притягуючі, так і відштовхуючі, а також ропв'.чоки більш складної структури. Для складової у спостерігались явища ковоашія та оап’.чоуиання рочп’яоків у вуоол, як і в системі Чуа. Представлені умови виходу іо ковоаючого режиму. Крім того, було отримана рівняная у варіаціях, яке має вигляд

Цг'\ = тХі (/(*))/(*'). (2Є,

якщо розглядати г' як варіацію рооп’яоку г(г). Використовуючі! (20), отри муються необхідні умови існування періодичних розв’ячкіп, які мають тій* гляд галежності між параметрами цього роов’ачху: .

а + + х * <

х + (ж + б)2 ) \ х+(я + і)а

< \/2|т|^р’а+ у,

де х Є {(А:а;)2|£ Ф 0,к Є Z} С Л, .9 - ймовірність знаходження точки £(г) в області |(| > 1 файового простору системи (18), р пропорційне кількосіІ перегинів траєкторією площин |£| = 1.

П одній іо робіт Самойленхо Л.М. та Чуа Л. вкапали, що /іпя у складової системи Чуа спостерігаються явища хойоання та пав’япучапия ртп'япчіп у вуоол. Те ж саме твердження справедливе і для системи (ЇЙ), дк випливає ч рглульч.гія параграфа 2.2. Виявляється, іцо ці явища характерні не тільш

для tycioiio лііііііпііл' систем, а Гі для сік row in гладкою правою частішою, що були об'єктом дослідження параграфа 2.3:

К: і чітко нагадаем, що оиначають терміни коїшанни та оап’лізуваїшн у ву-оил. Відомо, іцо система (21) в деяких випадках може бути шшдсна до еьііі-валеитіїого диференціального рівняння порядку q. Але таке рівнинна може не існувати для кожної оі складових а:,. Можуть виникнути наступні ви-

областей, в кожній а яких рух відбувається игідно о деяким диференціаль-і'ни рівнянням норадку q. Якщо ці області будуть перегинати одна одну, то будемо говориш, що роов’лики иан’ииуюіьса у вушл. Якщо у тому ж фаао-ному просторі виникає множина нульової міри, в якій ршв’аиок ^находиться протягом деякого часу, то нанвемо це ковоаичим режимом.

Поиначішо ОНЄ[)а « Ор

Роиглидатимема відображення ( — Р(ті) : -4 йіИ фанового простору

системи (21) у файовий простір складової хч:

“ VI» С'2 " ^д-Н»

6 = *’і-а(»7і.»«>•>,Ча+і)» ‘ = 37д+~ї.

Нехай О — область, в якій існує рсив'яоок (21). Тоді рошчшіемо таку множину точок у файовому просторі системи (21):

Множина 5,+1 € об'єднанням відкритих (у Д’1+1) підмножин множшін 5.

Доведено, що якщо 5 не порожня, то фавовий простір системи (21) роо-бииаетьса на області ТІ,-,* Є І, яким відповідають області Г(Иі) файового простору рівішшя для компоненті) *ї# в якііх рооа’яізок падоііо.іТние деакс диференціальне рівняння порядку д. І Гри цьому межа між областями буд£ складатися о точок виду Р(В). Зокрема, Часіииа межі, Що ипдотшляс-

*' = /(<>*). /і Є С1+1, і ~ l,q.

(21)

падки: фаїзопий простір (і,£і,х(,..., х[ч~^) складової ї; поділяється на кілька

ІЗ

grad S(t,x) ^ 0, буде q-вимірною поверхнею. Якщо S!+1 не порожня, Тп роав’яізо* рівняння для компоненти xt яилче собою ковоаючий режим на множині М = F(5,+i) нульової міри.

Отримані репультати були застосовані до системи виду х1 — ах + 0у + 7* 4- mfix),

у' = х + іг, . fPCUR). (22)

г'=>у + г?г,

Наслідок 2.3. j.

1. Рооп’яоки рівняні, для х і аг компонент системи (22) не оав’яоуються у вуоол і не мають ковчаючого режиму і, таким чином, можуть бу ти представлені единим диференціальним рівнянням третього лорядіу у всьому фаповому просторі.

2. Фаповнй простір для у-комлонепти системи (22) росбивасться на області ЛГі»(« Є І) поверхнями F(xi), які відповідають площинам х = а;,- фапо-вого простору (я, у, z), де о'(хі) = 0, д(х-) = /(х) + %х. В кожній області рівняння може бути представлене одним диференціальним рівнянням порядку д. Виключення складають області, що відповідають відрізкам [a, ij : Vx Є [а, 6] </(г) = 0. В таких областях буде відбуватися коваа-гочпГі режим. Для того, щоб роов'яоок для компоненти у оап'лиулавси у вупол, необхідно і достатньо, щоб функція д(х) була немонотонною.

ВИСНОВКИ

1. Досліджено існувати періодичних ропв’доіія нових класів диференціальних ріпнянь іо оанічнєпиям па допомогою чисельно-аналітичного методу послідовних наближень.

2. Обгрунтована чисельно-аналітична схема дл я системи нелінійних диференціалі,них рівнянь іа оапіоненням, які розглядаються при двоточкових умовах, що не розділяються.

3. Запропонована схема двосторонніх наближень рочл’япку оадачі Коші дія системи rj виділеною лінійною частиною.

4. Досліджено періодичні рони’лихи КЦНОНІЧІЮЇ системи третього порядну ивичайних диференціальних рівнянь а непарно нерідичною, кусково-яіншшю правою частило*». Уоїрсма, отримані необхідні умови існуванню таких роїш’иикіь.

Б. Досліджені) явища. оав’яяування роов’яоків у ну пил та їовоаючоїо режиму дна складових нормальної системи диференціальних рівішнь о гладкою правою частиною.

Основні результати дисертації опубліковано в наступних роботах:

1. Янчук С,В. Узагальнена канонічна система Чуа. Рівняння для компонент // Системи еволюційних рівниць о післядією. - Киш: Ін-т математики ІІА1Ї України.- 1904, - С. 140-140.

2. Али II.А., Янчуі C.D. Вращательные движении импульсных автономных систем // Нелинейные краевые оадачи математической фитин и их приложения,- Киев: Ин-т математики НАН Украины.- 1996.- С.8-10.

Я. Yar.chuk S.V. Qualitative Investigation of Йоте System of Differential Equa-

' tions // Abstiacts of International Conference on Contemporary problems in theory of dynamical systems.-Nizhny Novgorod (Russia).-199в.-Р.53-54,

4. Али II.А., Янчуі С.li. Вращательные движении автономных систем с импульсным «содействием // Укр. мат. ііурн.-1997.-Т. 49, N 4.-С.591-59(5.

5. Янчуж С.В. Чисельно-аналітичний метод дослідження роов’гоків диференціальних рівнянь iu оапіоненням // Доп. НАН України. -1997,- N6.-С.49-52.

6. Яичук С.В. Про поведінку роов’токів рішиння для компонент нормальної системи диференціальних рівнянь // Укр. Маг. жури,-1997.-'і'. 49, N J0.-C.M3fi-1440.

7. Яичук О.В. Об асимптотическом интегрировании импульсных линейных расширений динамических систем на юре // Нелинейные краевые надзчи математической и нх приложения. Киев: Ил-т математики НАН Укрйниы.-1997 .-С.293-294,

8. Yanchnk S.V. Application of numerical-analytic method to the boundary value problem for delay differential equations // Третьи Поголюбовсхие чтения. Международная научная конференция ’'Асимптотические и качественные метода в теории нелинейных колебаний”. - Киев,- 1997. -С. 198-199.

Янчуи С.В. Дослідження неавтономних диференціальних рівнянь та системи Чуа. - Рукопис.

Дисертація на одобуття наукового ступеня іандидата фіоихо-математи-чних наук оа спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння.- Інститут математики НАН України, Київ, 1997.

В дисертації оанропоновано та обгрунтовано попі модифікації чисельно-аналітичного методу А.М.Самойленка для дослідження роив’яоків крайових падач для диференціальних рівнянь іо оапіоненням, метод двосторонніх наближень для оадачі Коші системи пвичайни:-: диференціальних рівнянь о відокремленого лінійкою частиною. Для системи третього порядку іо непарно-симетрично, трьохсегментною кусково-лінійною праг,ою частиною отримані рівняння дня складових, рівняння у варіаціях, залежність між параметрами та коренями характеристичного рівняння а також необхідні умови існування періодичних роов’яоііи.

Ключові слова: трапова гзадача, відхилення аргумента, чисельно-аналітичний метод, ітеративний метод, двосторонні наближення, система Чуа, ковоання роов’япЕІв, оав’яоування розв'язків у вуоол.

Яіічуг С.В. Исследование неавтономных дифференциальных уравнений я системы Чуа. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата, фиоико-математи-ческих nays по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения,- Институт математики ИАН Уграины, Киев, 1997.

Предложены и обоснованы полые модификации численно-аналитического метода А.М.Самойлеиїо решении краевых оадач для дифференциальных уравнением с аалаидынанием, метод двусторонних приближений для падачи Коши системы обыкновенных дифференциальных уравнений с. выделенной линейной частью. Дня системы третьего imp.ід к а с нечетно-еммчотрнчной,

Iрехсегментнон кусочно-линейной правой частью получены уравнения для компонент, уравнении о вариациях, оавиршость между параметрами и корнами характеристического уранисния а чакже необходимые условия суще-стволаиии периодических решений.

Ключевые слова: краевая оадача, отклонение аргумента, числонно-анали-гичесхий метод, итеративный метод, двусюронние приближения, система Чуа, скольжение решений, пашшывание решений ь уоел.

Yanchuk S.V. The investigation of nonautouomous differential equations aud Chua’ii system.- Manuscript.

Thesis for candidate degree by speciality 01.01.02 differential equal ions.- The Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 19У7,

The thesis is devoted to a etudy of Chua’s system and nonautouomous differential equations by means of numerical-analytic methods. The new modifications of Saiuoilenko’s method are suggested. Due to that a solutions of boundary value; problem for certain classes of delay differential equations are studied. A two-sided approximation method for equations with separated linear part is proposed. While investigating the Chua's system we obtain the equations for the component, relationship between the parameters and the roots of the characteristic equation and necessary conditions for existence of periodic solutions.

Key words: boundary value problem, time lag, nunierii al-unalytic method, iterative method, two-sided approximation, Chua's system, sliding mode, knotting of solution.