Исследование некоторых дифференциальных уравнений с многозначной правой частью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

?ТВ он

с ■> • 5

НАЩОНАЛЬНА АКАДЕМШ НАУК УКРАЙШ 1НСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рухоппсу

ПЛОТШКОВ Андрш В1кторовим

ДОСЛ1ДЖЕННЯ ДЕЯКИХ ДИФБРЕНВДАЛЬНИХ Р1ВЫЛНБ 3 БАГАТОЗНАЧНОЮ ПРАВОЮ ЧАСТИНОЮ

01.01.02 — дпферепщалыи ршпаппя 01.01.09 — вар5ацшне численна та теор1я оптпмальпого керуйшшя

Автореферат дпсортацп йа одобутта паукового ступени доктора ф!ош:о-матеиат1гашх паук

Кит — 1905

Днсертащею е рукопис.

Робота внконана на кафедр! математнчиого анал1зу Швдешю-Укракнського педагог!чного уМЕерснтету 1м. К. Д. Унннського.

Ц1 ЙЕН опонелти:

акадгк!к HAU Укра1нн. доктор фюико-математнчннх наук, професор ПШЕНИЧНИЯ Б.М.

доктор ф1знхо-математнчннх наук, професор ПЕРЕСТВК М. 0. . доктор ф!анко-математнчинх наук, професор ЖУКОВСЬКИП D. Й.

Пров1дна opramsamai С.-Петербургзськнп Державина утвврск-

Д 01.66.02 при 1нститут1 математики HAH Украиш за адресов)! " 252601 Кшв 4, КСП, вул. Торвщешивськп, 3. 3 днсертащею моаат синапоинтнся в б1бЛ!отеш пгституту. 1

тет.

Вченпй секрвтар .

спеш а,и эояанок' вчвно! рлдя

ЛУЧКА А. В.

АКТУАЛЫЯСТЬ ПРОБЛЕМИ. Налрнктш 50-х poKJB, люля В1дкриття академ1ком Л.С.Понтряпним та його сп1вроб1тниками принципу максимуму, почався бурннй розвиток математнчно! Teopiï оптимального керування, яка в!дпов1дае потребам таких нових галузей науки та техтки, як освоения kocmi много простору, надзвукова ав1ашя, атомна енергетика, автоматизац1 я

керування виробннчими процесамн 1э застосуванням обчнслю-вальинх машин та щ•

D свою чергу, внявилося, що багато задач оптимального керування дотлыго досл1джуватн в внгляд! диференц1альннх включень (J.-P.Aubin, P.H.Clarke, J.Kurzwell, C.Olex, T.ïïa-zewskit В.1.Благодатських, И. М.Красовськнй. 0.1.Панасюк. В. I. Панасюк, Б. М.Пшеннчннй, 0. Ф. Филипов ) , як1 э'явнлися в 30-х роках в роботах M.Hukuhara, S.C.Zaremba, A.Marсhound, але не знайшли тод! эастосування. Тепер же задач! оптимального керування стали стимулом для досл1дження властивостей днферент альннх включень та розвнтху Teopiï багатоэначних si дображень. lie привело до появн роб1т про днференщйов-меть багатоэначних в!дображень (M.Hukuhara.P.S.De Blast, P.Iervrolino, T.F.Brldglsnd, H.T.Banks, M.Q.Jacobe, M.Martel-11, A.Vignoll, A.Lasota, A.Strauss, Ю.Б.Эелтськип, Ю. M. TwpiH ) та досл1 дження днференшальннх ртняпь э багато-значними розв'язками (P.S.De Blasl, F.Iervolino, U.Kisie-lewlcz, 0.1. Панасюк, В. 1.Панаскж. А.А.Толстоногое).

Наприк! нщ 70-х та напочатку 80-х рок/в почалося лосл1 дження нового роад1лу оптимального керування - npoueci в керування, як1 описуються днферешЦальннми включениями, «о мдетять керування. Вони виннкаютъ. наприклад, в яалачах керування об'сктом в умовах невиэначекост1 збо коли права части-иа дифережиальннх р!внянь с р^ривноп чи ааланою hcmitko

(НМШшсМ., Н.Н.Красовськкп, О.Б.Куржакськнп. В. I.Жуковський, Г.М«Константинов, С.Отакулов).

В останш роки в нелпиянш маханЩ! та особливо в роз-Д1Л1 теорп колнвання пи роке розповсюдження отримали методи усереднення»

Математнчне обгрунтування методу попалось з Фундамен-тальних результата в И.М.Крилава та Н.Н .Боголюбова. Велику роль у розробЩ методу усереднення для широкого класу задач З1гралн роботн Ю.О.Мнтропольського, А.М.СамоПленка, В.М.Воло-сова, В.О.ПлотШкова. А.М.Ф1латова, М.М.Ханаева.

Перше застосування метолу усереднення в задачах оптимального керуваиня киститься в роботах М.М.Моюеева. В ос-тант роки багатьиа вченнмн за допомогою методу усереднення булн розвязан1 важлив! для практики задач! керуваиня об'ек-тамн (Ф.Л.Черноусько. Л.Д.Акуленко, Ю.Г.Евтушенко, В.М.Лебедев, В.О.ПлотШков). В цнх та 1нлшх роботах застосовуються наступш дв1 методики него внкористання:

1) за допомогою принципу максимуму задача керуваиня вводиться до крайово! задач1, для розв'язання якок викори-стовуеться метод усереднення (М.М.Ыо1сеева, Ф.Л.Черноусько, Л.Д.Акуленко, Ю.Г.Евтушенко та 1и. );

2) усереднення р!вняння керувакня 1 розв'язання отрнма-нок зхачио прости пиок задач1 будь-якимп обчислювальними методами (М.М.Мо! сеев. В.О.Плотшкоа та 1н.).

В останш рокн з'явнлнея досл1дження. в яких розгляда-лась можливють використаиня метолу усереднення до диферен-

тальних рюнянь та включень, рози'язкамн яких е багатознач-

ш в1до6рзження (М.К1б1е1еп1сг). Також розглядались задач1

керуваиня багатозначнимн траектор1ями, як1 опнсукггься дкфе-

рентплышмн г<ключеннямн, во м1 стать кврупання .

IIIЛЬ РОБОТИ. Доел! дження властнвостея днференшальних включень, ио м1 стять керування. днференш альннх р1внянь та включень з похшюю Хукухари та яеяких задач оптимального керування жмуткамл траекторт.

МЕТОД ДОСШДЖЕННЯ. При доел! дженш вице згаданнх задач

буди вккористаш результати та поняття теорп' днференш а ль-

инх включень. теорп' множим, теорп багатозначннх в1 добра-

жень, математично! теорп оптимального керування, теорп аснмптогнчиих метод1 в.

11АУК0ВЛ НОВИЗНА • В днеертащ И одержан! та обгрунтоваш наступш результата:

1. Розглянуто лшян! 1 нтегро-днференщ альн1 включения, «о М1стять керування, а саме

- досл1джено властивост! жмутка траектор!Я та множнии жмутшв траектории

- доел! джено деяк1 задач! оптимального керування (задач1

ивндкодп , задач1 зустр1Ч1 N об 'ект1в, задач1 з багатоэиач-

ннми та однозначнккн критер1яич якост! ) . отримано необхтн! . та достатн! умовн оптимальности керування.

2. Розглянуто нел1н1<ш дн<реренц!альн1 включения, я*1 мх стять керування, тобто

- досл1 джено властиыост1 множнни жмутмв траектории -компакты!сть;

- досш джено деяхк задач! оптимального керування (задача

игждкодп , залач! зустр!ч1 N об'екпв, задач! з багатоэцач-

ним крнтер)ем якосп), отрнман! необх!дн1 та достатн! умовн оптииальност! керування!

- розглянута можливкггь внкористання одн1еГ схемн усеред-кення для задач! керування жмуткаин траекторш з багатоэтач-инм критер!см якост!.

3. Роэглянута можливють повного та часткового усереднення днференш альних pl енянь з лох)дною Хукухарн.

4. Введено поняття днференш ального включения з noxl дною Хукухарн та досл1джен1 вого властнвост!, а саме

- аналогично, як це зроблено в теорп днференш альних вклю-

чень, дакггься р!зн1 означения розв'язк1в та розглянуто питания ix зв'язку м1 ж собою;

- сбгрунтовано теорему гснування локального розв'язху та аналог теореми ф]л!ппова;

- обгрунтовака можлнвють використання повнох та частково! схем усереднення.

5. Для л1н1йннх та нел!Шйннх днференш альних включень типу Гурса, шо шстять керування, отримано результата, анало-пчн1 результатам для Л1шшшх та нелпнйних звичайннх днференш альних включень•

ПРАКТИЧНА ЗНАЧИМ1СТЬ. Днсертащя виклнкае 1нтерес у $axi-вц1в по днференш альних включениях, оптимальному керуванню, асимптотичннх методах.

Результати роботн можуть бутн внкористаШ при чнтаин] спет альних курс! в та у науковнх розробках орган! зато, що проводять досшдження по TeMj днсертацП : Кшвський, Московский, Ояеський. Самаркандськип, С.-ПетербургоськиП, Тат-кентський та Харк!вськия державн1 ушверснтети, Б1лоруськип вол! техш чннй тети тут, 1ркутський ОЦ СВ РАН. IK HAH Укра1ьи, IM HAH Укра!нн,

АПР0БА1ДЯ РОБОТИ. Результати дисертацн були представлен! на: Всесоюзной научной конференции "Метод функций А.М.Ляпунова в современной математике (Харк1в, 1986), Всесоюзной научной совещании "Методы малого параметра" (Нальч1к, 1987). Республиканской конференции "Дифференциальные интегральные

уравнения и га приложения" (Одеса, 1987), 3 Уральской региональной конференции "функциопалъно-дифференциальные уравнения л га приложения" (Периь, - 1988), VI Всесоюзной конференции по управлению в механических системах (Льв1в, 1988), Научной конференции "Разрывные динамические системы" (1вано-Франк1вськ, IS90; Ужгород, 1991). Всесоюзной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление" (Ашхабад, 1990), 3 Всесоюзной школе "Понгряпшмсие чтения. Оптимальной управлеше. Геометрия и анализ." (Кемерово, 1990), Науково-техн1чщЙ конференц11 "Паи'ят! М.П.Кравчука" (до 100-р1ччя з дня народження) (Ки1в, 1992), Республиканской научно-методической кмференцин, посвященной 200-летию со дня рождения Н.И.Лобачевского (Одеса, 1992), VI Конференции математиков Беларуси (Гродно. 1992), Весенней Воронежской математической школе "Понтрягинские чтения - IV" (Воронеж, 1993), "2-м международном научном ' семинаре ИФАК "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации" (Челябинськ,

1993), Pourth International Colloquium on Differential Equations (Bulgaria, Plovdiv, 1993), Pifth International Colloquium on Differential Equationa (Bulgaria, Plovdiv,

1994).

ЛУБЛ1КАЦП . OchobhI результаты дисертацп були налруко-ваш у роботах 11-34).

ОБ'СМ ТА СТРУКТУРА РОБОТИ. Дисертащя внкладена на 19в масшнопнсннх сторижах 1 складаеться з еступу та вести глав. Спнсох цитовано! Л1тературн мае 161 напменування.

ЗШСТ РОБОТИ.

У юстут обгрунтовуеться актуальтсть теми та ляеться

стислий зи1ст основннх результапв, стрнманнх у днсертацП .

Перца глава прнсвячена основннм позначенням, означанням

та результатам з теорп множнн, теорп багатозначних в1до<5ра-

жень, теори днфврекщальних включень, що використовуються у днсертацп .

Друга глава прнсвячена лтйннм J нтегро-днференц! алышм включениям, цо mi стать керування

t

х е A(t)x+^K(t,B)x(8)d3+i(t,u), х(0)=хо, (1)

де xeRn; Uilf1 - керування! A(t),K(t,s) - матрнщ (п % п); F(t,U) - багатозначне Biдображення.

У першому параграф досл1 джувалнсь властнвосп жмутк1в траекторт та множили жмутклв траекторт системн (1) ( Х(и) - жму то к траекторт снстеми (1),тобто множнна розв'язгав система (1). як! в!дпош дають керуванню и(.)).

Теорема 1. Похан мають м1сце умовн: А1 .Натрнця А(.) вншрна на СО,Т]. А2. Норма |jA(.)H матрнщ А(.) 1нтегровна на 10,2). A3. Матрица К(.,.) внм!рна на tO,2J«iO,T). Л4. Корма ЦК(.,.)| матрищ К(.,.) хнтегровна на 10,51»Ю,Т). ЛЗ. Багатозначне воображения Р(.,.): R' »If-Conv<Rn) вин! pile по t та неперервне no U.

А6. 1снуе Функщя П.)агЮ,Т) така. но |P(t,u)|<)c(t) маяже для ycix tefO.T).

а7. Багатозначне biдображення umir'-CorvriR™) внм1 рне на (0,Т1.

Дй. 1снуе функшя v(.)€LglO,T) така. цо |U(t)j< v(t) майже для yetх tclO.TJ.

Тод| кожному керуванню u{. KU(.) в!дпов!дае багатозначне

траектор»я Х(.,и) снетемн (1), яка в!дпов1дае таким умовамг 1) при ycix tilO.TJ багатоэначна траектор!я Х(.,и) мае

внгдяд

t t

X(t,u)=^[H(t,8)+JH(t,z)R(ZiB)d2]P(B,u(B))dB,

де R(t,ß) - резольвента, яка заловольняе р1вняння

t

R(t,B)-Q(t,e)=f<Kt,z)R(zt0)dz; 8

t

Q(t,z)=pC(t,v)H(v,z)dv,

z

a H(V,z) - матриця Кош! днфереиц1ального рквняння X=A(t)X{

2) X(t,ukConv(Rn) при ycix tçlO.T) {

3) при кожному U(.)fU(.) багатоэначна траектор1я Х(. ,и) е абсолютно неперервннм багатозначнеим в1дображенням на 10,Т). тобто X(t,u): 10,51-*- Conv(R").

Теорема 2. Нехай внконуються умови А1-А8 та А9. Множнна B(t)*(P(t,u(t))| компактною i опухлою для майже

ycix t€lO,T1. тобто В:10,Т)-» cocc(Rn).

Тод1 множнна досягнення ï (T) е компактна та опукла. Параграф другнп прнсвячений задачам ивндкодП жмутками траекторий снстемн (1),, тобто

a) X(T,u)esK s б) X(T.u)3SK i в) xcr.ions^, J(u)=T » пап,

де X(T,u) - pospia жмутка траектор!й у момент Т»0{ S^ -ц1льова множима. Отримано необхши та достатн! умоем у qmpMl принципу максимуму, коли F(t,u)=B(t)u+G(t), де B(t) -матриця (п х m); G(t) - багатозначне в1лображиння.

Означения 1. Будемо казати, то пара (ue(.> а X(и^)) залпвольмяе принцип максимуму на в!лрмку 10,Т), якгеэ tciiyc векторна ФункШя -4<. ), яка е ремв'ячкпм спряжено! гистрмч

Т

<|>(t) € -AT(t)^(t)-|KT(t,B)4;(ß)<lS, (0),

1 виконуються:

1) умова максимуму

(B(t)U,(t),q.(t))=C(B(t)U<t),+(t))

маяже скр!зь на 10,Т);

2) умова трансверсальност1 на множит Бк!

а) СШТ.и,), ф(1))»-0(8 ,-ц>(1))|

б) С(Х(Т,и,), ф(Т))=С(5к,ф(Т))}

в) С(Х(Т,и,),-фСТ))=С(5к,-ф(Т)).

Теорема 3 (необх1дна умова оптнмальносп) • Hexan викону-ються умови AI-А9 , (.) - олтимальне керувания.

Тод1 пара (. ).Х(и<1)) задовольняе наступш умови:

1) принципу максимуму на 10,Г);

2) у випадках б) та в) 1снуе множима ®iConv(R") така, цо

6) г(Т)+Ф=Бк), в) Ф={ф£Кп| z(T)+4.=SK) ,

а керування vt(.) повинно задовольняти умову Г Т

|lH(T,B)+JiI(T,z)R(z,B)düJB(e)u,(B)üS ( Ф, Г Т

. де a(T)=|lH(T,B)+JH(T,B)R(z,e)dz]C(B)de.

Теорема 4 (достатня умова оптимальност1). НехаП виконуються умови А1-А9, -деяке керування на tO.TJ, i нехаП пара )»X(ue)) задовольняе умови теоремн 3 на [0,Т1. А також. нехай. XJu^) задовольняе шденлену умову трансвер сальност! на множнн! SK з Функшею тобто

а) С(Х(Т.и,). ф(Т))<-С(5к,-ф(Т));

б) С(Х(Т,и„), ф(Т))>С(Бк,ф(Т));

в) С(Х(Т.и,)^»(Т))<С(8к,ф(Т)).

Тод1 - оптимальне керування.

Дал1 (§3) булн роэгляиуп дв1 задаш зустр!ч1 Н об'екпв, коли поведШка кожного з них олнсуеться системою (1).

Задача 1. пах Т1-»- min,

i=1 ,N

X1 (Т1 ,u1) n "-n XN(TN,UN)^0.

Задача 2 Ли1,... .l/V T-*- min,

X1 (T,U1) n ...П XN(T,uN)j<0.

Отримано необх1дн! та достатш умовн у форм! принципу максимуму.

Четвертнп параграф прнсвяченнй задачам керування жмуткамн траекторт з багатозначннми критер1ямн якост1

J(U)=H(X(T,U)), (2)

де II (.): Comp (Rn) — Conv(Rn).

Означения 2. Керування u^f.) будемо називатн *1-оптн-мальннм в задач1 (1).(2), якщо не 1снуе керування U(.)€U(.) такого, щоб була сумюна система нер1вностей

rainlhjh € H(X(T,u))) » minihjh € H<X(T.u„))>. i-TTK.

э котрнх хоча бн одне е строгим.

Означения 3» Керування ut(.) будемо називатн *2-оптималь-ннй у задач! <1),<2>, якщо не 1снуе Керування u(,)iü(.) такого, щоб хоча бн для одного вектора

h*€ H(X(T,u,)) була б сумютна система иер1вностей

nlii{h1|h € H{X(T,u))> э h*. ЬТТЕ.

з котрнх хоча бн одне с строгим.

Означения 4. Керування и,(.) будемо називатн «З-оптп-

мальним у задач! (1),(2), якщо не 1снуе керування и(.)(1Г(.) такого, той була сум!сна система нер1вностеп

ш1п{Ь1|П « Н(Х(Г,и))} > тах^^ € Н(Х(Т,и^))>, 1*Л7К.

а котрнх хоча бн одне с строгим.

Властнв1сть 1. Внконусться включения

и,л * Кг с Кз-

да - множима те1-оптимальннх керувань снстеми (1),(2), 1=1,2,3.

Теорема 5. Нехай внконукггься умовн А1-А9. Тод1 1сиуе к1-оптнмальне керування для задач1 (1),(2). Пот1м доведен! деяк1 достатн! та необххдн! 1 достатщ умо ви «1-, та -¡О- онтималышст1 керування для задач! (1),(2). Твердження 1. Коли и, (. НЩ.) знаПдеио з умовн

пах > а<т1пШ. |1\еН(К(Т,и))>= ) сцпИпШ. |ЬеН(Х(Т,и.))>

де а^>0 , тод1 и^ {.) е тс1 -оптнмалышм керуванням для задач1 П). (2).

Твердження 2. Для того, коб керування )£!!(.) було -оптнмальннм для задач! (1),(2) необх!дно а достатиьо, иобютували так1 що для и„(.)еИо:

г/о= {и(.)еи(.)|1лшсп1|ь с щхсг.и)))^, 1=1,ю-

внконуеться нер!вн!сть

^ т1п№, Н(Х(Т,и))><; > пг1пШ,|11 С Н(Х(Т,и ))).

Твердження 3. Коли и,,(.КЩ.) знаядене з умовн

и(. )(1}(. )1г1 1 1 1 1

де а^>0, тод! и^.КЩ.) е кЗ-оптимальним керуванням для

вадач1 (1). (2).

Твердження 4. Для того, щоб керування U^(.>€U(.) було <3-оптнмальннм для задач1 (1),(2), кеобхддно п достатньо, иоб Юнувалн так1 r^O, 1=7Tfc, що для u

ио= {u(.)€U(.)|mln{h1|h е H(X(T,u)))>r1, l=TTR>

¿иконуеться iiepiBHicTb

) mln(h |h < H(X(T,u)))í ) max(h,|h € H(X(T.uJ)>.

i=i 1 1=1

Твердження 5. Пехай керування u^í.JíUt.) таке. що

шах min Y h,= min ) h.

u(.)€U(.) luH(X(T,u)) isi 1 tuH(X(3\u.))iéi 1

Тод1 керування ue(.) е «г-оптнмальннм для задач1 (1),<2>. Розглянуто деяк! прнкладн критер11 в якост1:

1. H(X(I,u))=W»X(I?,u), де N - матриця (k«n).

Теорема 6. Коли u,(.)€v(.) задовольняе умову

k Т

тая > a.inln{h.|li€(IH(t,e)+ni(T,2)R(z,b)(l2)P(b,u(e)),n, >)= U(.)íU(.)l.i 1 1 а 1

« ^ a.min{h, |h € (m(T,s)+ra(T,z)R(z,s)<li!]P(s,u,(e)),n, >)

1=1 1 1 о 1

де ]> Ojal, <^>0, i«1 ,к, пг 1-й рядок матрнщ н. тод1

и,(.) с «1 -оптималъним керуванням задач! (1),<2).

2. J(uMoTx | z?X(T,u)), cíRn. (3)

Теорема 7. Hexatl система (1) задовольняе умови А1-Л9.

Керування U$(.)eU(.) с макснм1нннм для задач! <1).(3) тол1

1 т!лькн тод1, коли для майжв yclx tí(0,TJ в1рна р1вн!стгь

C(P(t,u.(t)),«)><*))=. таз C(F(t.u(t)),*(t)). * U(.)ÍD(.)

де - розв'язок системи

Т

.p(t) i -Ат(t)ц>(t)(t,в(в)<1в. ф(Т)=С. (4)

Теорема 0. НехаП система (1) задовольняе умови А1-А9. Керування u$(.)€U(.) е максимаксиим для задаш (1), (4) тод1 1 Т1льки тод1, коли для маяже ycix tetO,Tl в1рна рюшсть

C<F<t,u.(t)),4.<t))* шах C(F(t,u(t)),+(t)),

де ipC.> - розв'язок снстеии (4).

3. II(X(T,u))= J...Jp(x)ta, (Б)

X(T,u)

де p(.)jR1—'R" в!дпов1дае настушшм умовам:

1) р(.) неперервне на R";

2) р(.) эростае иа R".

Означения 5. Керування будем називати тс4-оптималь-

кнм у задач1 (1),(2), якщо не icuye керування u(.)çU(.) такого, «об була сум! стною система нерюностей

maxihjh < H(X(T,u))) > maxihjh € H(X(T,u„))>, i=>T7ïï,

з котрих хоча бн одне с строгим.

Теоерма 0. Нехая керування u#(.)êU(.) е оптимальннм для

задач 1 (1), (5) та F(t,u)=B(t)U+G(t), де B(t) - матрица (П х

га)j G(t) - багатозначне шдображення.

• Тод1 керування е та *4-оптимальним для эадач1

(1), (5). де матриця N с одиничною матрицею (П*П).

В останньому параграф! розглянуто деяк1 однозначш крнте-

piï та отрнман1 необх1дн1 я достатн1 умовн оптнмальносП .

Третя глава присвячена нел1Шйним днсреренщальннм включениям з керуваиням

X ( F(t,x)+D(t,u), x(to)=ro, (6)

X € P(t,X,U), X(to)=Xo, (7)

де X€Rn, ueR"1- керування; P(t,x), P(t,x,u), D(t,U) -

багатоэначш di дображення.

У першому, другому та третьему параграфах розглядаються

т1 а: литаниям, що Я у в1дпов1дннх параграфах друго! главк i

отрнмано аналопчш результати. але у другому параграф1 роз-глядаеться т!лькн задача швндкодп (в).

Теорема 10. Hexafi виконуються так1 умови!

Б1. Багатоэначне воображения Г(.,.)! R1-Rn~Conv(Rn) i

1) BHMipiie на Ito,T);

2) лшшщеве на Кпз константою L;

Б2. Ich ye функщя lt(. KI2lto,ÏJ така, що |F(t,x) | <k(t) для мапже ycix tíIto,l).

БЗ. Багатоэначне воображения D(.,.): R1»R™-Conv(Rn) :

1) BHMlpue на Ito,T)¡

2) неперервне на R"1.

Б4. Icnye Функщя m(.)cb2(to,T) така. що |D(t,u)|<ffl(t) для

мавже ycix t€lto,T).

Б5. Багатоэначне шдображення U(.): R'-ConvíR"1) BHMipiie на Ito,Tl.

Б6. 1снуе функщ я l(.)fL2lto,T) така, да |U(t)|<l(t) для мапже ycix tçtto,T).

Б7. Множима R(t)=(D(t,U(t))|u(t)cU(t)) опукла та компактна, тобто R(.): lto,T) - cocc(Rn).

Тод1 множнна досягиеиня Y(T) системн (6> с непорожкьою компактною множимою простору Сошр(Вп).

Теорема 11. Нехай внконукггься так! уноси!

В1. Багатозначне воображения Р(.,.,.): В1» йп» Яга-Сопу(й^)г

1) вим!рне на С"10»Т1;

2) л1пшщеве на Й^з константою Ь;

3) неперервне на й™.

В2. 1снуе функщя Ш(. )еЬг ,Т1 така, що |Р(г.Х,и) | <га(г) для

майже ус!х

ВЗ. Коли погшдовшсть {ик(.)}^_1 слабо зб1 гасться до и([(.)> то для кож]Ю1 абсолютно неперервнох функцп Х(.) посл1довтсть {Р(.,х(.) ,ик(. слабо зб!гаеться до

У(.,х(.),и„(.))

та умовн Б5.Б6.

Тод! множима досягнення У(Т) систем;! (7) с нспорожньою компактною множнною простору Сошр(К").

Означения 6. Будемо казатн. тр пара (и,(.)|Х(и„))

задовольняе принцип максимуму на в!др13ку 11^,1), якщо 1Снуе такий нетрив1алышй розв'язок ф,(.) днферешцального

Р1В11Я1ШЯ

зс^г.^т.и^ш, ф ) ф.--ш--

що внконуються умовн!

1) умона максимуму

де *„(•) е розв'язкои р1вняшш

при манже ус1х Ш^.И;

2) умова трпнсверсалыюст! на 5к :

C(X(T.U,). «►,(!))—OtS^-iD.CT)).

Теорема 12 (необх1дна умова оптимальност!) Hexan у задач! швндкодИ керування ut(.){U(.) оптимально, X(.,U,,> - багатозначне шдображення, яке в1дпов1дае Т - mihI-

мальннп час. при якому виконуеться умова - X(T,u)nSK?!0, а система (7) задовольняе умовн теоремн 10 1 наступн1 умовн ! Г1. Прн мапже ycix t€[to,T) i будь якнх а, ß > 0, а + ß» 1 та , хге St (0) виконуються умовн •

Jm (в) da

аЩг.^Н ßR(t,x2) с 11(1,0«,+ ßx2), де R(t,x)s U F(t,x,u), та для будь якого u(.)€U(.)

u€U(t)

aTit.X, ,u(t)) + ßP(t,Xa,U(t)) с PCt.OX^ ßx2,u(t)). ГЭ. Опорна функтя С(Р(1,Х,и),ф) множини P(t,X,U) неперервно-диферецщповна по X при майже ycix (t.U^)iR1 »Rm«Rn. ГЗ. Icnye р(.)iL2Ito,T) така, що для будь якнх двох вектор1в ф1,ф2е Rn виконуеться умоаа

ecCF(t.x.u), ф1) aC(P(t,x,U), фг) д^Лф'-ф2).

Эх ~ ~cfi

Тод1 пара ),X(ut)) задовольняе принцип максимуму на в1др!эку ИоЛ).

Теорема 13 (достатия умова оптимальност1) Hexan у задач! твидкодп припустнме керування. Xf.jU,) - багато--

значко вивоЗраження, яке в1дпов1дас и, (.). Т -час, при якому кахоиусться умова 3i(i?|U)flSK jt 0, система (7) задовольняе умовн теоремн 11«

Якдо тртка (U„(.),X{U,). Т) эвдарячьняо 1) умовн принципу максимуму;

C(X(t,u,). ^<t))>-C<Sk,-^(t)), t€lto,T). 3) ФУНКЦ1Я CtFit.X.U^t)),^) вгнута по X у точЩ X4(t) при

("t> для ycix t€Ct ,Т1, тод! ut(.) е оптимальним керуванням, а Т - миималышП час.

У Н розглянута задача керування з критер1ем якост1

J(u)={ Л | х ( Х(Т,и)}, с € R", (8)

1 отримаш достатт умовн мпимаксносп та максимаксносп керування.

Теорема 14. Hexan керування U,(.) с макспм1ннм для задач1 (7), (8), а система (7) задовольняе умовн теоремн 11. Тод! 1снуе векторна функтя ф, (•). яка е розв'язком

ÖC(P(ttx,(t),ue(t)). ф )

спряжено! снстемн ф= - -^-,ф(Т)=»-С,

i внконуеться умова

C(P(t,x,(t),ue(t)),<i>„(t))= min C(F(tpx„(t),u(t)),«|) (t)) * * u(.hU(.) * *

для майже ycix ti[to,Tl, де e розв'язком р1вняння

для майже ycix t€[to,Tl.

Теорема 15. liexafl керування e макснмаксннм для задач! (7), (8), система (7) задовольняе умовн теоремн 11. Тод1 1снуе векторна функтя ф„(>). яка е розв'язком ÖC(F(t,x<I(t),uj>(t)), ф ) спряжено* снстемн фа - -^-, ф(Т)=С,

i справедлива умова

C(P(t,x,(t),u<l(t)),4>,(t))= шах C(F(t,x„Ct).U<t))„p (t)) * u(.)eU(.) * *

для майже ycix tcttQ.T). де x,(.) с розв'язком р1вняння

(x,(t), ф„(t))=C(F(t,x,,(t),u,(t)),(!>„(t)) для майже ycix Ш1о,Т).

Параграф п'ятип присвяченип можлнвост1 з.астосування одшек схема усереднення.

Hexan процес описуеться системою

х ( elF(t,x)+A(x) R(t,u)1, x(0)=xq, " (9)

J(u)=$(X(T,u)), (10)

де е>0 - малнй параметр; F(t,x), R(t,u) - багатозначн! воображения; А(х) - матрица (n х ш); ф: Comp(Rm) — Conv(R1).

Систем! (9), (10) поставимо у в1дпов! дшсть систему

х е IF(t,x)+A(x) V), х(0)=хо, (11)

3(7)=Ф(Х(Т,7)), (12)

де V е Conv(R ) - багатозначне керувания.

Наводяться умови для задач (9),(Ю) та (11)i(12), при

якнх IX максим1нт Смакснмаксн1) керувания блнзыц по фуик-ц! опалах.

Четверта глава присвячена диференталышм рюнянпям э по-х1дною Хукухари, як1 в!диосяться до днференш альннх р!внянь э багатозначпими розв'язкамн, тобто

DhX=P(t,X), X(to)=XQ, (13)

де DhX - по:с1дна Хукухари в1д багатозначного в1дображення Х(.); F(t,X) - багатозначне в1дображення; XQ - множнна.

У периому параграф! наводяться основш результатн (U.Ru-kuhara, F.S.De Blaßi, F.Iervollno, U.KisiGlewicz, A.A.Толстоногое), як l стосуються цих днференш алышх pi внянь.

Друпт параграф приспяченип усереЬтннт днференш альнкх р1внянь з ПОХ1ДНОЮ Хукухари, тобто

DhX=EP(t,X), Х(0)=Хо, (14)

DhX=ei(t,X), Х(0)=Хо, (15)

Zl4h(J?(t.X>dtJ<I>(t.X)at)=0.

т т

де

(16)

Т-*со о

о

та обгрунтовукггься деяк1 умовн блиэькост! розв'язк1в pl влянь (14). (15).

Теорема 16. Пехай в облает» D={(t,X)Jt?0, XeQe Соп7(П")) виконуються умовн:

1) багатозначне в!дображения Р(.,.) с вимдрним no t та iienepepBftiiM по X;

2) 1снуе сумовна Фуикц1я M(t) та константа U0, а також неспадна ФункШя И(а), lin Я(а)=0 така. то для ЪО та X « Q

на будь якому It^.tgl; 3) багатозначне в!дображення Р(.,.) внм!рне по t такв, «о piBHOMipHO в1 дносно X в облает! Q 1снуе граница (16);

4) 1снуе сумовиа Функщя H(t) i константа И0,так1 в(0 для t>0 i XeQ |F(t,X)|iH(t), |P(t,X)|<H(1) та для IW вяконуеться

5) 1снуе обмежена сумовна Функц1я X(t) така, то

|Mt)№. h(î(t,X'),P(t,X"))i\(t)h(X,,X")s

6) роав'язотс Х(.), X(0)=XoîQ'îQ системн (14) при t»0 для

ycix ее (0,0) лежнть э деяхнм р-околом в облает! Q.

Тол» для будь якого малого т)>0 та великого Ь>0> можиэ вказэти таке 60(i),I)t (Orcrï. во пр» «а IO.be"11! вжео-

»густься HepiBWcTb Ь>(Х(*>,Я(Ш<т)> i» та X(.) e розв'яа-кани систем« fM) та 05), в!дпов!дно.

Теорем» 17. îtexaft в облает! D внконукгться наступт умовн:

ï> бягаюзначпе в1 дображення Р(.,. ) t nefteрервннм no t.

h(P(t,x'),y(t,x"))5:H(h<x',XH))U(t)

• /u<t)atiu0(t2- t,)

t

обмеженим константою И та задовольняе в1дносно X умову Л1п-шщя з константою

2) р1виом1рно ßiдносно X в област1 Q 1снуе граннця (16);

3) багатозначне воображения ?(.,.) с неперервннм по t, обмеженим константою Н та задовольняе Biдносно X умову Л1п-Шця з константою X-,

4) розв'язок Х(.), X(0)=XoeQ'iQ системи (14) при t»0 для ycix £€ (0,а) лежнть з деяким р-околом в област1 Q.

'Год1 для будь якого малого т]>0 та великого L>0 можна вкаэатн таке 6o(t),b)€ (О,а), що при 0<e$so na [0,1s-1 J вико-нуеться нер1вн1сть h(X(t) ,X(t))<T], де Х(.) та Х(.) е розв'яз-камн снстеми (14) та (15). в1дпов1дно.

Теорема 10. Hexan в сбласт1 D внконуються наступи! умовн:

1) багатозначне в!дображення Р(.,.) е неперервннм по t, сбмеженим константою Н, р1вном1рно неперервннм по X р1вном1рно

В1ДНОСНО t;

2) piBnoMipiio в!дносно X в обдаст! Q !снуе граница (16);

3) багатозначне в1добра:кення Р(.,.) е неперервннм по t, обмеженим константою М та задовольняе в1 дносно X умову Л1п-ш!ця з константою

4) розв'язок Х(,), X(0)=XoeQ4Q снстсми (14) при•t^O для ycix €е (0,а) лсжить э деякнм р-сколом в облает! Q.

Тод1 для будь якого малого Т|>0 та великого L>0 можна шеазатн таке е (г],Ь)€(0,а). то при 0<е«Ео на C0,bs"1) внконуеться нерютсть h(X(t),X(t) )<ц, де Х(.) та Х(.) с роз-в'язкамн системи (14) 1 (15). в1дпов!дно.

У п'ятШ глав! роэглядаються днферешиалыи включения з пох! лною Хукухаря

DhXc®(t.X), Х(0)=Хо, (IT)

DhXeP(t,X), X(0)=XQ, (18)

Параграф nepunift прнсвячуеться зв'язку них включень 9

днференщ алышмн р1вняннями з пох1дною Хукухари та днферен-

ц!алышми включениями.

У параграф друпм, аналопчно, як це робнться у теорП

днференЩальннх включень, иаводяться р1зн! означения роз-

в'язк1в .диференталыюго включения з поххдною Хукухарн. та

розглянуто питания зв'язку Mi ж ними.

Означения 7. Розв'яэком диференщального включения (18)

будемо називатн абсолютно-неперервне багатозначне шдобра-

ження Х(.), пох!дна Хукухарн якого задовольняе включения (18)

для майже yclx te10.TÏ.

О (F) - множима yclx таких розв'язк1в снстеми (18).

Означенна 8. Багатозначне в!дображення Х(.) будемо назн-

вати узагальнеиим розв'яэком системн (18), якщо Х( .)еС^(0,Т),

h t"

та внконуетьия включения X(t") -X(t') « J F(t,X(t))dt

для майже yclx t'if.t'.fiiO.T).

C(F) - множила ycix узагальнених роэв'язкдв система (18). Теорема 19. Нехай F(.,.): IO,T)«Conv(Rn> - сосс(Й™) задовольняе умови :

1) F(.,X) BHMipiie на 10,TJ;

2) ?(!,.) пеперервнв на Conv(R">;

3) |F(t,X)| < m(t), (t.XJilO.ÏJ.Comrdt"), raMO^lO.ÏJ. Тод! 0(F)=G(F).

Означения 9. Нехай X(. ):!0,TI-Con7(R"). Нножину 0*Х(г)-FtUb,r ле

F ={YtConv(Rn)t at -t, t >1, tlm h((X(t )^X(t))/(t -T),Y)=0)

x " n n-» n n

b^«(Y€Conv(Rn)| 3tn-T, tn<t, Ilm h((X(T)bX(t^))/(T-t ),Y)=0>

будемо назнватн контингент ею Х(.) у точц1 TetO.T).

Означения 10. Hexan X(.);{0,T)-Conv(Rn). Множину D**X(t)=» -«(ConT(Rn)|3t -x.t -x.t >t ,llm h((X(t )^X(t,))/(t -t ),

n, i-«o

Y)=0) будемо назнватн паратингекцЮо X(.) у точц! .Те tO.Tl.

Означения 11. Багатозначне воображения Х(.) будемо назнватн контннгентннм (паратннгентннм) розв'язком; якщо Х(.) eC^IO.Tl та D*X(t)eP(t,X(t)), teCO.Tl

( D;*X(t)«P(t,X(t)), tilO.Tl ).

C(P)(P(P)) - множила контнигснтник (паратннгентннх) роз-в'язк1в (10).

Теорема 20. ilexaft Р(... ):[0,TbConv(Rn)-cc(Rn) напюнепе-рервне зверху багатозначне отображения. Тод! 0(Р)=С(Р).

Означения 12. Багатозначне в1дображення Х(.) будемо назнватн кваз1 розв'язком днферентального включения (18), якщо 1с-нуе посл1 довнЮть (XJc(.) ^^така, ко

1) Xk(.)€ACMtO,2);

3) ID^ttJIsmit), tdO.Tl, ra(.)«Ii,lO,T], к=1,И!

3) Km Xk(t)=X(t), tetO.T);

k-w •

4) Km d(et(DhXk(t),F(t,Xk(t)))=0 мапже для ycix telO.T). k->«

Q(F) - множнна кваз!розв'язк1в (18).

Теорема 21. Hexan Р(.,.): [O.TbConv(Rn)-cocc(Rn) задо-вольняе умовн i

1) Р(.,Х) bhmiрне на tO,T);

2) P(t,.) неперервне на Con7(R");

3) |P(t,X)| s m(t). (t,X)c[0,TbConv(Rn), m(.)eL110,Tl. Тод! 0(coP)=Q(P)=Q(coF).

Означения 13. Багатозначне воображения Х(.) будемо на-знватн класичннм розв'язком снстеми (18), якщо Х(.)сВС^10,Т) 1 внконуеться включения ^ХШеР^.Х^)), Х(0)=Хо для ус!х ге(О.Т).

У третьому параграф обгрунтовуеться теорема юнуваиня локального розв'язку для диференщального включения

БЬХ€Р(Х), Х(0)=Хо,СьХ(0)=Уое Р(Хо), (19)

та аналог теоремн А.Ф.Филипова для (11).

Теорема 22. Пехая Р(.):С0П7(Рп)-сс(Ип) - абсолютно неперер вне багатозначне воображения 1 Р(Хо).

Тод1 1снуе 1=10,3) та неперервно диференш йовне воображения Ж.) на I таке, що ^Х^е^Х^)), Х(0)=Хо,0кХ(0)=Уо« У(Хо).

Теорема 23. Нехая:

1) воображения ?(.,.): Ю,Т}-Вот(йТ1) - сс(йп) неперервне по (*, X) I вопов!дае умов1 Шпс!ия по X з константою к(.>, сумовною на (0,Т);

2) воображения У(.) абсолютно неперервне на 10,11. та сиап^^.радтжрт для маПже у«х де р(.)

с сумовною на !0,Т);

3) для дсякого ХосС0П7(Нп) внконана умова )>(¥(1о),Хо)<0<Ь.

Тод1 1снуе розв'язок Х(.) снстеми (18) на 10,Т1 такня. цо

1) Х(0)=Хо; 2) Ь(Х(г>,*(»))<£(*),

3) Ьф^ОЬ^Хт^кикт+рО) для маПже ус!х гсЮ.ТГ,

ие

ъ *

е п>!<)-т(в)р(в)<5в|, т(г)»Цк(в)ав|, геЮ.Т).

о о

Остатмй параграф присвяченнй упередненню включения

РКХ(еЦХ.Х), Х(0)«Х . (20)

Л о

DhXeeP(X), X(0)=Xo, (21)

: ' Т.

P(X)=lím IfF(t,X)dt (22)

о

а також обгрунтуванню двох схем усереднення (повно£ га частково!) для (20).

Теорема 24. Hexan в област1 D={(t,Х)|t>0, X«Qe Con7(Rn)} внконуються умови:

1) багатозначне biдображення Р(.,.) неперервне та р!вном1рно обмежене по (t,X)eQ 1 задавольняе умову Шпшшя по X з константою X, тобто

P(t,X)oSM(0), d(P(t,X').P(t,X»))<Mi(X',X");

2) piBHOMipno Biдносно X в област1 D icuye граннця (22);

3) для ycix Xo«Q'eQ розв'язок включения (20) лежнть з деякнм р-околои в с5ласт1 Q.

Тод! для будь якого малого Т)>0 та великого L>0 можна вказати таке ео(т|,Ь)<Е (О,о). с:о прн 0<e$sQ на 10,Ъе"1) внко-нуеться твердженпя

1) для будь якого розв'язку Х(.) включения (21) icnye розв'язок Х(.) включения (20) такнп, да внконуеться нер1вшсть

h(X(t),X(t))<t|, (23)

2) для будь якого розо'язку Х(.) включения (20) icnyc розв'язок Х(.) включения (21) такнп, що внконуеться нертшсть (23).

Таким чином, в1рна ощика d(Y(t)t))<;т}, де Y(t) - пе-pepis cim'i розв'язк1в включения (20), 7(t) - nopcpls cim'i розв'язк1в включения (21).

Теорема 25. Hexan в облает! D={(t,X)|t}0, XeQ? Conv(Rn)> внзначен! днфереши альш включения

DhX1CE?(t.X1), X1(0)=Xo, D^eeGít.X2), X2(0)=Xq,

i нехай в щя област1:

1) багатозначш bí дображення ?(.,.), С(.,.) ненерервШ та р1вном1рио обмежеш no (t.X)cQ 1 задоволъняють умову Л1пш1ця ло X з константою к, тобто F(t,X)cSH(0), С(1РХ)«=8Ц(0),

d(P(t,X,).P(t,X"))$Xli<X,,X-), ¡KGÍt.X'J.Gtt.X^J^CX'.X")!

2) piBHOMlpHO ni дносно X в облает! D i сну с граница

ííí¿h(JF(t,X)<3t,/G(t,X)dt)=0¡

Т-мо о о

3) для ycix Хоев'еО та 6€(0,s°l розв'язок Хг(.) при t»0 лежнть в област1 Q з деякнм р-околом.

Тод! для будь якого малого 1}>0 та великого L>0 иожна вказатн таке ео(Т),1)е (0,о), ко при 0<s<eQ на 10,Ls-1] вико-нусться тверджения

о 4

1) для будь якого ровв'яэху X <•) 1снуе розв'язок X (.) такий, ио внконуеться нер1в»1сть

h(X'(t),X2(t))<T), (24)

1 2

2) для будь якого розв'язку X (.) tcuye роэв'язок X (•)

такнй. цо внконуеться нертцеть (24).

Таким чином, в1рна ощнка d(Y'(t),Y2(t))cr), Y2(tí - замнкакня nepepjeiв cimü розв'язк1в в1дпов1 диих включень.

Останяя. «оста глава прнсвячеяа дяфереишальннм включениям типу Гурса, да м)стать керуванна.

У первому параграф розглядаються л1Н1йи1 днференЩ альн1 включения

»jy-AU^^íFUrT,«), 2(0,у)=ф(у), в(х,0)Ц)(х), ф(0)«4(0),

та доел! джуютьея деяк! питания, як! аналог! ч«1 тнм, оо роэглядзлнея у ярупя глав!.

Другий параграф прнсвяченнй нелШйним днферянщ алышм

включениям f

z^ с F(x,y,u), а(0,у)=ф(у), г(х,0)=ф(х), ф(0)=ф(0),

1 у ньому обгрунтовуюгься умовн. при яких миожина G(a,b)=> -{Z(a,b,u)| u(.,.)dJ(.,.)> компактна, де Z(a,b,u)= (z(a,b,u)| z(.,.,.) <• Z(u)>.

Ociiobih результатн лисертацн наяруковаш в наступннх роботах:

1. Плотников A.B. Оптимальность по Слейтеру в одной многокритериальной задаче /"Неактвгонистические дифференциальные игры и их прилокепия."- t.i.: В5Ш, 1986.- С.95-97.

2. Плотников A.B. Усреднение уравнений управляемого движения о ыногозначтми траекториям // Укр. мат. хурн.- 1987. - 39, Н5,- С. 657-6БЭ.

3. Плотников A.B. Линейные системы управления с многозначными траекториями // Киберпзтакз.- 1937. - Н4.- С. I30-I3I.

4. Плотников A.B. Решение одной задачи управления иногознач-шни траокторияия с векторам критерием / Многокритериальные системы при неопределенности и их прил: Меявуз. cö. науч.

тр. -Челябинск, 1983. -С. 104-107.

5. Плотников A.B. Усреднение дифференциальных включений с производной Хукухары // Укр. кат. кури.- Г989. - 41, N1.-C.I2I-I25.

6. Плотников A.B. Асимптотическое исследование уравнений управляемого движения с ыпогозивчншм траекториями // Укр. иат. кури. -1930. - 42, ОТО.- C.I409-I4I2.

7. Плотников A.B. Компактность шюмства достияимости нелинейного дифференциального включегаьч, содержащего управление // Кибернетика. -1990. -Кб.- С.116-118,138.

8. Плотников A.B. Компактность множества достижимости управ-

ляемого дифференциального включения в частных производных // Дифференциальные уравнения.- 1991. - 27, N3.- С.526-530,

9. Плотников A.B., Плотникова Л.И. Две задачи встречи в условиях неопределенности // Прикл. математика и механика.-1991. - 55, вып.5.- С.752-758.

10. Плотников A.B. Задача управления системами с распределенными параметрами в условиях неопределенности // Кибернетика и системный анализ.- 1991.- N6- С.177-179.

11. Плотников A.B. Задача управления пучками траекторий // Сиб. мат. жури. — 1992,- 33, N2,- СЛЭ6-19Э.

12. Плотников A.B. Две задачи управления в условиях неопределенности// Кибернетика и системный анализ.- 1993,- Н4.-C.II4-I2I.

13. Плотников A.B. Одно свойство множества достижимости управляемого дифференциального включения // Изв. вузов. Математика." I9S3.- N11 (378).- С.35-39.

14. Плотников A.B. Дифференциальные включения с производной Хукухары и некоторые задачи управления.- М., 1982,- 35 с.-

/ Деп. ВИНИТИ 26.04.82, N2036-82.

15. Плотников A.B. Теоремы существования и непрерывной зависимости от параметра решения дифференциальных включений с производной Хукухары.-М., 1983,- 25 о.- Деп. ВИНИТИ, 13.04.83, N1949-83.

16. Плотников A.B. Исследование некоторых задач оптимального управления пучками траекторий.- Киев, IS87.-3I с.-Деп.Укр11ИИНТИ 23.03.87, N820- Ук87.

17. Плотников A.B. Дифференциальные включения о производной Хукухары.- Киев, I987.-43 с.-Деп.УкрШИНТИ, 23.03,87, К983-УкЯ7.

18. Плотников A.B. Компактность множестве достижимости детле-

ренциального включения, содержащего управление.- Киев, 1988.31 е.- Деп. УкрНИИНТИ, II.05.88, Ш145-Ук88.

19. Плотникова Л.И., Плотников A.B. Задачи встречи N объектов в условиях неопределенности.- Киев, 1989.-20 е.- Деп. УкрНИИНТИ, 22.05.89, Н1329-УК89.

20. Плотникова Л.И., Плотников A.B. Задача управления пучками траекторий с векторным критерием.- Киев, 1989.-II с.-Деп. УкрНШНТИ, 23.05.89, HI337- Ук89.

21. Плотникова Л.И., Плотников A.B. Некоторые задачи унрав-лзния шгогозначиыми траекториями,- {Спев, I99I.-I7 е.- Деп. УкрНИИНТИ, 14.06.91, К890-УКЭ1.

22. Плотников A.B. Дифференциальные включения с производной Хукухары и задачи управления шгогозначлыш траекториями / Материалы XXI Всесоюз. науч. студ. конф. "Студент и научно-технический прогресс".-Новосибирск, 1983. - С.49-54.

23. Клиычук С.С.,Осадчий А. 1С..Плотников A.B..Плотников В.А. Асимптотическое решете задачи синтеза унравлетя // Всесоюз. науч. конф. "Метод функций А.М.Ляпунова в современной математике": Тез. докл.- Харьков, 1986.- С. 68.

24. Плотников A.B. Дифференциальные включения с производной Хукухари // Респ. копф. "Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения.": Тез. докл. Одесса, 1987.- Ч.2.-С. 63.

25. Плотников A.B. Некоторые задачи управления пучками траекторий /7 П Всесоюз. кенф. по упр. в мех. системах: Тез. докл.- Львов, 1983,- C.I28.

26. Плотников A.B. Некоторые свойства множества доепшшоети управляемого гсггегро-дифферекциального включения //Разрывше динаиич. систеии: Тез. науч. конф.- Киев, I9SQ.- С.30,

27. Плотников A.B. Задача управления с векторный критерием // Дифференц. уравнения и оптиы, управление: Тез. докл. всесоюз. конф.- Ашхабад, 1990.- С. 199.

28. Плотников A.B. Одна задача быстродействия // 3 Всесоьз. шк. "Понтрягинские чтения. Оптимальное управление. Геометрия и анализ": Тез. докл.- Кемерово, 1990.- С. 190.

29. Плотников A.B. Усреднение дифференциальных уравнений с производной Хукухары на конечном промежутке // Респ. науч,-метод. конф., посвященная 200-летию со дня ропщет»! Н.И.Лобачевского: Тез. докл. Ч. 2.- Одесса, 1992.- С.89.

30. Плотников A.B. Задача управления пучками траекторий с терминалы мм критерием // 2-ой меядунар. науч. семинар KSAK "Негладкие и разрывные задачи управления и оптимизации": Тез. докл.- Челябинск: ЧТУ, 1993.- C.II2-II3.

31. Plotnikov A.V. Optimal control оt multivalued trajectories // Abstracts ol invited lectures and Bhort comraml-cations delivered at the Fourth International Colloquium on Diii. Equat.- Plovdiv, Bulgaria, 1993.- P.210.

32. Плотников A.B. Некоторые задачи управления многозначными траекториями//Мйягос. науч. конф. "Динамические системы: Устойчивость, управление, оптимизация": Тез. докл.- Шнек; БГУ, 1993. - С.67.

33. Плотников A.B. Управление многозначными траекториями / 1-а Украинсыса конференц!я э автоматичного керування "Авто-матика-94" Тез. доп.- Кики: IK iw. В. И. Глушкова HAH У it pat -ни. 1994. - 4.1. - С. 25.

34. Plotnikov A.V. Asymptotic research of controllable movement with multivalued trajectories / Abstracts of invited lectures and short coamunicatione delivered at the Piith

International Colloquium on Difi. Equat.- Plovdiv, Bulgaria, 1994.- P.178.

Плотников А.В. Исследование некоторых дифференциальных уравнения о многозначной правой частью. Диссертацией является рукопись нз 198 стр. машинописного текста Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических паук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнешм и 01.01.09 - вариационное исчисление и теория оптимального управления, Институт математики Национальной Академии Наук Украины, Киев, 1995.

Защищается научная рукопись, которая посвящена свойствам пучков траекторий управляемых дифференциальных включений, некоторым задачам управления пучками траекторий и доказываются необходимые и достаточные условия оптимальности. В работе вводится поштие дифференциального включения с производной Xyityxapu, даются различные определения ренения и доказываются некоторые теоремы их существования. А также обосновываются некоторые схеиы усреднетш управляемых дифференциальных включений, дифференциальных уравнений и включений о производной Хукухвры.

Plotnikov A.V. The research of some differential equations with multivalued right hand Bide. The theeia is the typescript on 198 p. Thesis for the doctor degree of physic-mathematical Boienco on the speciality 01.01.02 - differential equations end 01.01.09 - variational calculus and optimal control, Mathematical Institute of Ukranian National Academy of Sciences, Kiev, 1995.

The diBBertation researches properties of the bunches trajectories of control differen tial inclusions, some

control problems oi bunches trajectories and песеввагу and sufficient conditions of optlmallty their solutions are proved. The notion of the differential inclusion Kith Hukuha-ra derivative le introdused, different definitions of the solution are given and some theorems of theirs exletenoe ere proved. Some schemes of the averaging controllable differential inclusions, differential equations and inclusions with Ilukuhara derivative are Justified.

КЛЮЧ0В1 СЛОВА: диференщвлыш включения, шшдна Хукухари, керування, задача оптимального керування, схемл усереднеиня.