Исследование некоторых интегральных уравнений, возникающих в краевых задачах теории аналитических функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

> V Б ОД

М1И1СТЕРСТБО ОСВ17И УКРА1НИ \ ^ М^ДЕШ® ДКШАВНИЙ УН1ВЕРС.ГГЕТ ;м.1.1.ЕЕЧНЖОВА

На правах рукопису

МЛГДАЛЬСШЙ Олександр 1лл!ч

ДОСЛГДЗЕНИЯ ДЕЯКИХ 1НГЕГРАЛЫЖ НВШШЬ, ВИНИКАЮЧИХ У КРАЙОВИХ ЗАДАЧАХ ТЕОР11 АНМ1ТИЧНИХ ФУНКЦИЙ. .

01.01.02 - диферекц! альн'| р!вняння

АВТОРЕФЕРАТ

дасертаци' на здобуття наукового ступени кандидата фIзико-математичних наук

Одеса - 1996

Дисертац!я е. рукописом.

Робота виконана на кафедр; метод!в математичнсгг ф;зики Одеського державного ун! веретену ;м.1.1.Мечникова.

Яауков! кер?вники: доктор ф!зико-матемагичних наук, професор Кравченко' В.Г. доктор ф!зико-матемагичних наук, професор. Попов Г.Я.

Оф!ц|йт опоненти: доктор ф!зико-математичних наук, професор Сахнович Л.А. кандидат ф! зико-математичних наук, доценг Гихонанко М.Я.

Пров!дна орган! зац!я - Кшвський державний университет - 1м.Т.Г.Щевченка.

Захисг дюсертацП' вгдбудегься " " 1995р.

у годин на зао'даннГ спец!ад! зованоУ ради К 05.01.05 по

ф!зико-математичним наукам /математика/ при Одеському державному университет! !м.1.1.Мечникова за адресою: 270100, м.Одеса, вул.Петра Великого, 2.

3 дасертацгёю можна ознайомитися у науков!й б|бл!отец1 Одеського державного ун!верситету !м.1.Х.Меяникова за адресою: м.Одеса, вул.Преображенська, 24.

Автореферат разослано -¿-/о/яс^о 1996р.

Вчений секретар спеш ал! зовано'Г ради доктор ф! зико'-математичних наук, професор

тыгл трет,лк

Актуальт'сгь теми, 5а останн!м часом pi зко зросло пршшадне значения крайових задач та 1нтегральних р! внянь з1 зсувом. Одержали певний розвиток застосування задач такого роду да теори крайових задач для д^ференцшних р!внянь у частковюс пох!дних зшшаного /елЛптико- гг'пербол/чного/ типу, теорТ'Г нескГнченно малих вигинань поверхн) додатна'г кривизны, теорп кав! тац'| Яши. теч! й (деально'Г р!дини, аш'эотропжп TeopiV пружност!, теорП' масового обслугову-вання. По Mlpi зближення такого роду задач з певними техн!чшши розрахункзми, зроста? й необх!дн!сть не т'лъки в установлены' умов розв'язування, а й у побудуванш ефективних методов знаход-ження 'Гх щаиЗлкзних pi шень.

Серед крайових задач та ¡нтегралъних pi внянь з! зсувом на тепер'идн1.й час все б!лше викликають до себе ц!кав!сть некорекгш крайов! задач!, для котрих не виконан! умови належност! до нормального нетерI вського талу. До такого роду задач належать так зван!одноб!чю KpaiiBi задач!, що вивчались у працях Гахова Ф.Д,, Зверовича ЕЛ.» Л;твинчука Г.С., Карапетянця М.К., Маркушевича АД. Мусхел'|ШВ|'л1 M.J., Нечаева А.П., Самко С.Г., Тимофм'ва I.К., Тихоненка М.Я.. Черського ¡0.1.., Хайрулл1на I.X., Хасабова Е.Г. Зокрема, в працях Зверовича E.I. та Л!твинчука Г. С. було в!дкрито наявн!сть глибокого зв^язку Mis одноб!чними крайовими задачами та ¡нтегральними piвняннями Фредгольма 1-го роду, piшення котрих само по co6i е некоректно поставленою задачею го Адамару. Приб-лизн i piшення одноб'Гчних крайових задач будувались Арсен-! В.Ф., Гихоненко М.Я- на основ; проекц!йного методу та методу поел!дов-них приближень. Проте, до сього часу метод регуляр! зады Тихонова, як метод приблизного piшення некоректних задач, не використову-вався.

Темою дисертац'п € застосування методу регуляр1 зац'и Тихонова до приблизного р!шення i нтагральних piвнянь типу Фредгольма 1-го роду, до котрих зводяться одноб!чн! крайов! задач).

-л-

Тема дисертацп е. частиною науково'Г тематики "Кранов! задача математиннсл' флэшей з ускладненими: грашнними. умовами I дефектами типу розр!з1в та тонких включень",. що. виконусться на кафедр! методов математично ф]зиш Одеського держун/варситету у в;дпов!дност! з планом фувдаментальних доел!дкань у галуз! природних та сусп>ль-них наук АН Украгни, № дешоег! страцГГ 01860083955. Od'feKTU дослГдження.

1. На одиничному кол! Т= ft:|t|разглядачться сл|дуюч1 ¡нтег-ральнГ р,!внякня

/V

27li

Т 27TL

т

де H'^i.-fi.gt^U^T) .e^LeoW . ■

Зсуви oi(tl та /2> f-t) е др'|бно-л1н1йн'| перетворення ~J~ на cede збер'|Гаючим та зм!нюючим оркнтац'гю на ~ТГ .

2. Досл'|Джу£гься комугац1йна задача: знайги f^L J7r) , що задоволь-няб настуиному интегральному piвняннго

dimwit) /5/

т

де я « Lc~M , ^ е LJr).

3. Вивчаюгься факторизаЩя матриц! -функцIV 11 ^ та резольвенту оператора

"uV-f) М /6/

И /7/

т

де и+<гИ^+С(т).

-г.-

Метою гтоаш е обгрунтовування можливост! пристосування методу регуляр!зац'и Тихонова до приблизного р!шення ¡нтегральних р\внянь /1/-/4/» а також, зводящихся до них, одной!чних крайових задач. Методика дослГдження.

У дисертацп ¡сготно використовуються ствердження з функционального анал 1 зу, теорн функцШ комплексно? зглшноУ, спектральноу теор'ГГ Iнтегральних операторов, теорГГ крайових задач та апарату магричноУ факторизац!V.

Науксва новизна та основк! результат*!'. щО бипосят'ься ка захпст»

1. 1нтегральн! р'|вняння /1/-/4/ у вкладку,. коли зсув 6 др'»бно-л!-к!йне перетвареннл одиночного кола на себе, зведен! до комута-ц!иного рГвняння /5/.

2. Для р!вняння /5/ побудовано приблизне решения методом регуля-р1зацГГ Тихонова двома способами: 1-й через резольвента самоспря-жених компактних ¡нтегральних оператор!в типу /7/„ 2-й через факторизацию ерм!тових матриць-функцГй /6/,

3. Встановлено двобНний зв'язок м?ж факторизац!сю ерм1тово'( матриц! на одиничному кол! та резольвентою самоспряженого оператора N .

4. У др!бно—л Iн1йному випадку одержано алгоритм ефективноТ факто-ризац'ГГ матриц! IV незалежно в;д значення параметру на осно-в'\ результатов п.3_

5. На основ! результатов п.п.1,2 одержан! приблизш решения ш-тегральних р! енянь /1/-/4/ та в!дпов'| дних до них некорекхних крайових задач.

Теоретична та практична шнн'ють,

Дисерташя носить характер фундаментально-теоретичного дослГдження. Результат присвячен! зв'язку факторизаци ерм(Тових матриць з резольвентами с шло с пряхе них операторов отримани вперше й в'( д-кривають новий п!дх'|д до вивчення проблем матрично'Г факторизац'Г/'.

Кр!м того,, одержалI результата гложуть мати застосування в р\зних галузях природознавства: теор'п пружност'|, пдродинамощ, теорп масовога обслугавування. А1гообал'|Я гсраш та публ1катУ.

Основн'| разультати дисертац! йно'Г прац! доповIдалися та обговорю-вались на: 5-му Всесоюзному симгоз|'уш "Метод д!скретних особли-востей у задачах матемахично'о' ф I зкки" /Одеса - 1991р./, Республ!-кансысий кауково-методичной конференц! V, гтрисвячено'Г до 200-р'|Ччя з дня народження М.1.Лобачевського /Одеса - 1992р./, Одеському м'юькому науковому сем'онар! "Крайов'| задач! га с! нгулярш ¡нтеграль-ю р1 веяния" /кер. - проф.Ллтвинчук Е.С./, науковому сем!нар'| ка-• федри обчислювальноТ математики 1МЕМ ОДУ Дер. - доц. Тюшенко МЛ неодноразово на сет нарах кафедри метод! в' математичнсЯ' ф!зики /кер. - проф. Попов Г.Я./.

По тем! дисертацтУ було опубликовано 3 каукових пращ'. Структура дисартацо 'Г та обсяг гграц; -

Дисертац1Я складаеться з вступу, трюх глав, списку лГтератури, що включая 28 назв, та займае 80 стор!нок машинописного тексту. Зм!ст прац!.

У вступ! обгрунтовуеться актуальность теми дисертац "м, стисло ви-кладено змГст глав, сформульоваю асковн! разультати, що вино сняться на захист.

Перша глава включае иьстъ параграфов /§§1-6/ та присвячена нала-годяенню зв'язку м(ж факторизацию ерм!тових маггриць типу /6/ та резольвентами самоспряжених ¡нтегральних операторов типу /7/ на основ*! шбудування регуляр!зованого ргшення комутацшжн задач) /5/.

У §1, що носить допом!жний характер, доведен? комуташйн! власти-вост» операторов др1бно-л\н 1 иного зсуву на единичному кол! "ТГ та сингулярного штегрування £ вздовж 1Г /Лема 1, насл!дки 1,2/.

-Ц-

¿еЬД-ЛгЬЬ--¥70 /и/

У §2 р'|вняння /1/-/4/ зводяться до комуташиного рЬняння /5/, що в ошрад:орН|й форм! мае- сл!дуючий вигляд

а И , наТ /8/

де 12о3^«-с*2 - комутатор операторов с»нгулярного 1 нтегруван-ня 5 на X та множення на функц1ю ^ , Р+ £ £) • У гретьому параграф! показано, ща> регуллр'Iзоване р<шення ко-мутац! иного р'|вняння /8/, яке за методом Тихонова повинно задо-вольняти так звашй систем! нормальных р1внянь

Ггя+Р-О+Р+О+Р-)^- /9/

+ , каТ /Ю/

де У - параметр регуляр(заци', -+0) у ,

може бути отршашш через фактор из ад !ю ерм!тових позитивно озна-чешсс матриць А га

/ 1 \ / а_

/М И

Теорема 1. Хай у^о ; /)-/1+-/Г та Б^В^&'ё факторизац!я матриць /I та 6 У клас'| функц'|й (-¿(Г) . Тод1 ! сну£ -бдиний розв1 язок системи нормальнпх рГвнянь /9/, /10/, що зображу£ться у вид|

■ /12/

и.-'пЛА-ГРЛй^Гп^- . /13/

де .

Матриц! /} та 6 становлять собою окрем/ випадки матриц \ У ¡г -§4 присвячено побудуванню факгоризацп позитивно означено'Г матри-цI , через резольвенту оператора |\| , що у оператор-

ной форм1 ма£ вигляд

|\|*Р*и+Р, + Р,й+Р+ /14/

Доказана наступна теорема.

Теорема 2„ Хаи Тод< факторизат'я матриц; 1

у L2.iT) надаеться формулами

^Х + М-Р^Р.йы.л;) у у _=д"4 р_ и ^ р. | и+|г +£я_си р- ми* ]

де Р^.АЦ^Г^-А^Т)"1 - Резольвента N , 1/+(о1=и«, .

У §5 доказана теорема, що дозволяе записатк уявлення зворотне уяв-ленню /15/.

Теорема 3. Хай и+е.К»<-С(гг) , матриця , де Д уо припускае

факторизацт у ^(ТТ) . Год"| резоль-

вента оператора N мае вигляд

+ (Р^и+Р_ Р. О+Г' /16/

У §6 одержано зв'язок задач! на власн! значения для оператора |\| та факторизац¡Т матриц! и.^г. .

Ствеодженкя 1. Яюцо для уи^о - власн1 значения оператора N , що мае кратн!сть I , I сну£ власна функция х<,=/^+Х<Г( де Л? , що задовольняе умов!

АМеТГ+'О* /17/

де <Е>+с[н'.|г1<4, -^¿(г) ,

тод| власний пндпрост1р Н^и е л'чр!йна ойолонка,

що натянута на вектори {2"Х, т.е.

(х^, 2л., — , г^Хо), /18/

причому ^пор/оГг) ,

гь -оо

У глав! 2, що складаеться з 4-х параграф'^, по<5удовано факториза-

-ь-

ц!ю матриц! тод!, коли и+ £ полином на /' степеж п , т.<5.

и^* ц^о, /1Э/

У §1 глави 2 вивчаються образи та ядра скГнченом/рних операторов Р+'-'+Р- та £.П+Р+ у ¡-¡_(Т) . Показано, що д/л ц('х оператор ¡в на функц\ю $ екв|'валентна д> V матриць Яг. та /)„ на '«"Г коефг— Ц|'ента Фур'б , де

и, -

а = • • г\ п.-- п й, — Ц» 1 / 14 • / / /?п/

° 1 1 ¿/0 |

Останне дозволило записат явно р'шення р!внянь Р^щР.д та Р-ёцР+д /теореми; 1,2 глави 2/.

У §2 глави. 2 викладаетъся спос|б одержання власних значень та функЩй оператора М тод| , коли и+ ма« вигляд /19/, що ллюстру-бться прикладами. Крш того, доказан/ деякГ властлвостГ власних значень /лема 3,4/ та власних функц[й оператора |\| , що дозволили записать його резольвенту.

и _

Теорема 4, Хай и^-Ь^ , ип ^ о , . Хай /и* >о ,

власн; значения оператора N кратн/ст! ,

{Х^иТТ ~ ^^ власних п;дпрост-.р-.в

„ . Тод! для (Г , /»*о та

-У-^Сг/т) правдиве наступне подання

^ (гч/, ^) ^ - ^^ , -у-ГА ^

де = , ит.

У §3 глави. 2 формулюьтъся алгоритм факторизац!'Г матриц") V у кола е полиномом для

V-)-е С (N) де ^(¡4)--

а- ^^Ог додатн! власт значения оператора N з ура-

хуванням кратностей /теорема 6/. А також розглядаегься приклад, що показу^ споЫ б побудування матриц на основ'| результат ¡в

§6 глави 1 у вкладку 1 снування для рх^а порождаючо'Г власно'Г функцм', що задовольняе умов! /17/.

7 §4 другоТ глави. отримаш результати застосовуються до побудування регуляр! зованого р!шення комутац! иного. р1внянкя /5/. Теорема 7_ Хай аппрокс!м1ру£ , т.е. К^г,—^ сР .

Тод1 для функцГГ У = , що задовольняе умов!

У=0Г<?4) , ,

регуляр 1 зованв: р'шення Ч'у ст!йке до малих зм;н правое частики мае вигляд

И-1

де .<д*=21 - в!др13ок ряду $ур'£ для функцГ)' а{ь] ; /и*.,

ь-ТТр", - власн! значения оператора , | ^ ¿«"^е",, ~

ОНСБ ; г £.- лТр-х. - власю значения оператора

ЮГ^-} » - ОНСБ НАс .

7 глав'( 3, що склада£.ться з 2-х параграфов, на основ( отриманих результат!в будуеться приблизне р'шення початкових р1внянь та вводящихся да них оджхЯчних крайових задач.

У §1 наводиться регуляр! зован! р1ш9ння р'|внянь /1/-/4/. 7 другому параграф; глави 3 розглядаються сл<дуюч1 одноб1чк! крайов1 задач). 1. Знайти анал;тичн1 у Т^Сн: 121^1^ функцГГ #>(г) та ~¥~Гн) » що представлен! 'ютегралами. типу Кош.1, граничн! значения котрих належать до класу иЛТ) та майже усюди. на Т задовольняють крайовим умовам

^¡уг^^ад^а), /зз/

уС^З^Ы^+дЫ, ытг /24/

2. Знайти шматочно-анал'|Тичну функцию {, по одщ'й з

крайових умов

$>+CpftY]=Q(±)V(t) + /25/

Показано., що крайовим задачам /23/-/25/ в( дпов! дають штегральн! р'шення, що мають В|ДП0В(ДН0 у операторн!й форм! сл5дуючий вигляд + --Р-сХл2 /27/

/ОО/

/«->/

/29/

Р+ Д £ Р_ З3"" = ~ P-V/i"?

Р+-Ы> CP- З^-РчЛ^д • HQ т

* /30/

Основы"! результата дисертацгг опубл] ковано у таких працях:

1. Мигдальський 0.1., Застосування проекцШних метод'|В для оцЩки похибки: приблизних р'|щень ПУ, Тезиси доггов;дей 5-го Всесоюзного симпоз!уму "Метод-д^скратних особливоствй у задачах математично'1' ф1зики"г Одеса,. 15 - 19 вересня 1991р., ч.2, стор. 42 - 43.

2. Кравченко З.Г., Ыигдальский СЫ., Про р»швння одноб! чних крайових задач методом регуляр! зац'1'1' Тихонова, Республ1канська науко-во-методинна конференция, присвячена до 200-pi ччя з дня народ-ження М.Т.Лобачевського,. Одеса, 3-8 вересня- 1992р., ч.2,

стор. 22 - 23.

3. V. G. Kravchenko, Л. I. Vigrlalskii. Л rcgularization algorithm for some boundary value problems of linear conjugation, Russian Math.Dokl. Vol. 52 (1995) %3 PP. 319 321

Мигдальский А.И. Исследование некоторых интегральных уравнений, возникающих в краевых задачах теории аналитических функций. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности. 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Одесский государственный университет, Одесса, 199S.

Диссертация посвящена обоснованию возможности применения метвда регуляризации Тихонова к приближенному решению некоторых интегральных уравнений со сдвигом типа Фредголша 1-го рода и сводящихся к ним односторонних, краевых задач. Установлена двусторонняя связь между факторизацей эрмитовых матриц и резольвентами; самосопряженных интегральных операторов специального вида, на основе; чего построен алгоритм эффективной факторизации соответствующих матриц в полиномиальном случае-.

HigdalskiA. [. The ivestigation of some integral equations, appeared in the in the bounsary-value problems of analytical functions theory.

Thesis on search of the scientific degree of Doctor of Phylosophy in Mathematics on the speciality 01. 01. 02-Differential equations. Odessa State University. Odessa. 1996.

The dissertation is devoted to the substiation of applicability of the regularization Tikhonov's method to the approximate solution of some Fredhole type's integral equations of the first kind with a shift and one-side boundary-value problems reducible to them. There is established the two-way communication between the factorization of Hermitian matrices and the resolvents of self-conjugated integral operators of special type.on the basis of which there is constructed the algorithm of effective factorization of the corresponding matrices in the polynomial case.

Ключobi слова: метод регуляр i ьац(V. самоспряженI Штегральн! оператори, факторизац!я матриць, крайов! задачи 3i зсувом.