Исследование некоторых проблем устойчивости и хаотического поведения в небесной механике тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

На правах рукописи

{ ргГгг

з о щт

ШЕВЧЕНКО Иван Иванович Ъ

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМ УСТОЙЧИВОСТИ И ХАОТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ В НЕБЕСНОЙ МЕХАНИКЕ

Специальность 01.03.01 - астрометрия и небесная механика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2000

Работа выполнена в Главной астрономической обсерватории РАН.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Ю. А. Рябов, доктор физико-математических наук В. В. Сидоренко, доктор технических наук, профессор С. Н. Яшкин.

Ведущая организация:

С.-Петербургский государственный университет.

Защита состоится 15 июня 2000 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 053.05.51 Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова по адресу: 119899, Москва, Университетский проспект, 13.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Государственного астрономического института им. П. К. Штернберга.

Автореферат разослан 15 мая 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

кандидат физико-математических наук Л. Н. Бондаренко

Общая характеристика работы

В настоящей диссертации анализируются проблемы разработки алгоритмов и специализированных программных комплексов (в системах аналитических вычислений), ориентированных на решение качественных задач небесной механики; рассмотрены проблемы исследования устойчивости движения методами компьютерной алгебры; исследуются задачи хаотической динамики небесных тел и качественные вопросы движения небесных тел в орбитальных и спин-орбитальных резонансах.

Актуальность темы

Актуальность темы диссертационной работы обусловлена, с одной стороны, колоссальным развитием компьютерных, в частности компьютерно-алгебраических, средств и методов научного исследования в последние четыре десятилетия, а с другой стороны, современной революцией в динамике (произошедшей опять же благодаря ускоренному развитию ЭВМ и методов численного эксперимента), где на первый план вышли исследования хаотического движения. Теоретические исследования в последней области идут в тесной связи с развитием методов численного эксперимента на ЭВМ.

Языки аналитического и численного программирования взаимно дополняют друг друга. Задачи, связанные с аналитическими выкладками, удобно решать с помощью первых, численные задачи - с помощью вторых. Универсальные системы аналитических вычислений (САВ) появились сравнительно недавно, тогда как история языков численного программирования начинается с момента создания первых ЭВМ. До появления САВ возможности применения ЭВМ в аналитических исследованиях были ограниченными. В настоящее время весьма актуальными для небесно-механических исследований являются разработки алгоритмического и программного обеспечения для специализированных систем

компьютерной алгебры, экономичного по использованию памяти ЭВМ и обеспечивающего необходимое быстродействие для решения аналитических задач современной небесной механики.

В задаче о нормализации гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющей большое значение для исследования устойчивости движения в задачах небесной механики, необходимость обращения к CAB или, иначе говоря, необходимость применения методов компьютерной алгебры не вызывает сомнений, так как нормализация гамильтоновых систем ОДУ является весьма трудоемкой аналитической операцией. Проведение ее «с помощью карандаша и бумаги» требует немало времени. Чем больше число степеней свободы системы, чем выше порядок нормализации, тем настоятельнее необходимость применения CAB. Одной из наиболее существенных проблем (если не самой существенной) здесь является проблема экономии памяти ЭВМ.

В рамках настоящего исследования созданы специализированные программные компьютерно-алгебраические комплексы, которые по экономии памяти ЭВМ и быстродействию значительно превосходят имеющиеся зарубежные аналоги. Эффективность разработанных алгоритмов и программных средств продемонстрирована на конкретных задачах небесной механики. В частности, рассмотрена задача о движении в окрестности регулярных прецессий динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Для случая гиперболоидальной прецессии составлен каталог нормальных форм гамильтониана, получены новые результаты относительно устойчивости движения. В рамках другого приложения разработанных программных комплексов построено аналитическое решение задачи о движении несимметричного спутника около центра масс в окрестности относительного равновесия на круговой орбите. Проведено исследование отклонения полученного аналитического решения от истинного на больших промежутках времени.

Одним из наиболее актуальных направлений исследований в совре-

менной небесной механике является изучение фундаментальных статистических закономерностей хаотического движения небесных тел, в частности, их критического движения (движения вблизи границы хаоса в фазовом пространстве). В перспективе, подобные исследования позволят решать задачу прогнозирования хаотической долговременной динамики небесных тел.

В небесной механике изучение эффектов критического движения некоторое время шло без осознания их истинной природы. Сопер и др. [13], Лекар и др. [6], Мьюрисон и др. [10] на основе большого количества численных экспериментов по динамике объектов Солнечной системы пришли к выводу, что времена «резких изменений» в хаотическом орбитальном поведении можно статистически предсказывать с помощью вычисления максимальных характеристических показателей Ляпунова (МХПЛ). Они установили, что между временем резкого орбитального изменения и ляпуновскпм временем (величина, обратная МХПЛ) существует простая степенная статистическая зависимость с универсальным показателем степени яа 2. Аналогичная зависимость была найдена Левисоном и Дунканом [7] при моделировании динамики внешней Солнечной системы, а именно астероидного пояса Койпера. Ферраз-Мелло [4] выявил подобную же зависимость в хаотическом поведении астероидов в резонансе средних движений 2/1 с Юпитером. Морбиделли и Фрешле [9] рассмотрели возможность теоретического объяснения универсального характера наблюдаемых зависимостей в рамках обычного диффузионного подхода, но не пришли к положительному результату. В настоящей диссертации показано, что. в действительности универсальный характер зависимости проявляется благодаря двум основным причинам: (1) на больших интервалах времени между резкими орбитальными изменениями движение является критическим (траектория «прилипает» к границе хаоса), (2) показатели Ляпунова в реальных численных экспериментах вычисляются на конечных промежутках времени, не превышающих времен

резких орбитальных изменений. Проведенный анализ в рамках резонансной теории критических явлений Б. В. Чирикова [3] дал теоретическую оценку универсального степенного показателя для данной зависимости, равную двум, что близко соответствует наблюдаемым величинам.

Режим «прилипания» хаотической траектории к границе хаоса наглядно проявляется также в распределениях длин возвратов Пуанкаре на больших динамических временах. В небесной механике этот эффект впервые наблюдался И. И. Шевченко и Г. Шоллом [12]. Исследовались статистические распределения длин интервалов между скачками эксцентриситета для хаотических орбит, находящихся в резонансе средних движений 3/1 с Юпитером, в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел «Солнце - Юпитер - астероид». Было установлено, что распределения длительных возвратов подчиняются степенному закону. Степенной характер распределений с определенным значением показателя является эффектом критического движения.

Ключевое значение для исследований хаотической динамики небесных тел имеет развитие теории сепаратрисных отображений (отображений, описывающих движение в окрестности сепаратрисы, [1, 2, 8]). В диссертационной работе выведены так называемые сепаратрисные алгоритмические отображения (CAO), описывающие движение в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса при асимметричном возмущении, что позволяет применить сепаратрисные отображения для анализа реальных небесно-механических систем.

В частности, CAO непосредственно применимо к задаче о плоской вращательной динамике несимметричного спутника на эллиптической орбите. Движение в окрестности сепаратрисы синхронного спин-орбитального резонанса приводимо к CAO. Эта окрестность на самом деле не мала. Обычно она достаточно велика, чтобы охватить наиболее важные резонансы помимо синхронного. В диссертационной работе CAO применяется также для описания движения в окрестности сепаратрисы

орбитального резонанса 3/1 в движении естественных спутников планет.

Применение CAO дает преимущество в сотни раз в скорости вычислений. Теория CAO позволяет аналитически предвычислять положения резонансов и границ хаоса на сечениях фазового пространства; предсказывать появление маргинальных резонансов (то есть сильно перемежающегося хаотического поведения, см. работу [11]). Иными словами, теория CAO дает аналитическое описание структуры фазового пространства в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса.

Таким образом, в диссертации представлены одни из наиболее актуальных направлений исследований в современной небесной механике.

Цели работы

В настоящей диссертации:

1. Ставятся и решаются задачи разработки универсальных алгоритмов и специализированных программных комплексов, предназначенных для нормализации автономных гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ в аналитическом виде и позволяющих решать задачи высокого (то есть реального для задач небесной механики) уровня аналитической сложности. Это подразумевает разработку алгоритмов и методов с максимальной экономией памяти ЭВМ. Частные цели при этом состоят в исследовании устойчивости движения в окрестности регулярных прецессий симметричного спутника и построении приближенных аналитических решений уравнений движения несимметричного спутника на круговой орбите.

2. Ставятся и решаются задачи хаотической динамики небесных тел и качественные задачи движения небесных тел в орбитальных и спин-орбитальных резонансах. Первая из основных целей при этом состоит в исследовании фундаментальных статистических закономерностей движения в хаотической компоненте фазового пространства гамильтоновых систем, главным образом в приложении к задачам небесной механики.

Вторая основная цель состоит в развитии теории седаратрисных отображений, что имеет большое поле приложений в небесной механике. В связи с этими двумя целями рассматриваются: задача о динамике астероидов в резонансе средних движений 3/1 с Юпитером, задача об орбитальном резонансе 3/1 в движении спутников планет, задача о вращательном движении несферических естественных спутников планет в спин-орбитальных резонансах. Метод исследования включает как теоретический анализ, так и проведение численных экспериментов на ЭВМ.

Научная новизна

Все результаты, представленные в диссертации без ссылок на чужие работы, являются новыми и оригинальными.

Достоверность

Достоверность результатов обеспечивается четкой постановкой задач, использованием современного математического аппарата небесной механики, применением систем компьютерной алгебры для вывода объемных аналитических выражений, анализом применимости используемых аппроксимаций и проверкой аналитических выводов в численных экспериментах.

Личный вклад

Положения, выносимые на защиту, содержат только те результаты и выводы, в которых вклад автора является определяющим.

Публикации

По теме диссертации опубликовано 27 печатных работ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, девяти глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации составляет 257 страниц, включая 11 таблиц, 40 рисунков и список литературы из 140 названий.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы, охарактеризованы ее новизна, научное и практическое значение, сформулированы цели исследования. Кратко описаны структура и содержание диссертации.

В первой главе рассматриваются алгоритмы, необходимые для нормализации автономных гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности точки равновесия системы. Это алгоритмы разложения гамильтониана в ряд Тейлора, линейной нормализации и нелинейной нормализации. Предложены алгоритмы наиболее экономные с точки зрения использования памяти при работе в системах компьютерной алгебры. Предполагается, что определяющее уравнение линеаризованной системы имеет только простые чисто мнимые корни. Для проведения нелинейной нормализации применяется метод Депри-Хори, основанный на преобразованиях Ли. Разработки алгоритмов проведены в сотрудничестве с А. Г. Сокольским. Предложенные алгоритмы реализованы в программах специализированного комплекса «Норма», написанного на языке системы аналитических вычислений (CAB) РЕДЬЮС.

В этой же главе описан пакет программного обеспечения «НФ» («Нормальная Форма»), также предназначенный для нормализации автономных гамильтоновых систем. Пакет разработан в сотрудничестве с Н. А. Сушко. Нормализация разложения гамильтониана в окрестности точки равновесия системы в степенной ряд относительно канонических переменных проводится с помощью метода, основанного на преобразова-

ниях Ли. Пакет «НФ» написан на языке системы компьютерной алгебры МЕИПЛ. В отличие от пакета «Норма», нормализация в «НФ» основана на прямых нерекуррентных формулах. Поэтому порядок нормализации ограничен, зато велик выигрыш в экономии памяти ЭВМ из-за устранения потребности в вычислении вспомогательных аналитических выражений. Возможности пакета демонстрируются на примере, касающемся исследования устойчивости треугольных точек либрации в плоской круговой ограниченной задаче трех тел.

Во второй главе специализированный программный комплекс «Норма» используется для исследования малых периодических движений в окрестности регулярных прецессий динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Исследование проведено в сотрудничестве с А. Г. Сокольским (кому принадлежит участие в постановке проблемы) и Д. А. Сушко (участие в исследовании некоторых резонансных случаев цилиндрической и конической прецессий). Наиболее подробно рассматривается случай гиперболоидальной прецессии. Получены аналитические выражения для нормальных форм и производящих функций в зависимости от частот системы. Отдельно анализируются возможные резонансы. Достигнут шестой порядок нормализации. Хотя промежуточные аналитические выражения занимают мегабайты оперативной памяти компьютера, итоговые выражения помещаются на одной печатной странице (в резонасных случаях). Полученные аналитические выражения применяются к анализу устойчивости малых периодических движений в окрестности гиперболоидальной прецессии.

Возможности компактных аналитических представлений нормальных форм гамильтонианов, описывающих движение в окрестности регулярных прецессий динамически-симметричного спутника на круговой орбите, обсуждены для всех трех возможных типов прецессии (гипербо-лоидальная, цилиндрическая и коническая). С помощью применения специализированного комплекса «Норма» показано, что различие в сложно-

сти аналитических представлений коэффициентов нормализованных гамильтонианов для; трех типов прецессии является неустранимым в том смысле, что не может быть преодолено посредством введения какой-либо специальной параметризации.

Далее во второй главе исследуются либрации несимметричного спутника относительно его центра масс в окрестности относительного равновесия на круговой орбите. Данное исследование проведено в сотрудничестве с Д. А. Сушко. Специализированный программный комплекс «Норма» применяется для построения нормальной формы гамильтониана и нормализующего преобразования канонических переменных, что дает аналитическое решение задачи в окрестности положения равновесия. Проведена нормализация до 4-го порядка разложения гамильтониана по координатам и импульсам. Для экономии оперативной памяти на разных этапах нормализации используется процедура переинидиали-зации коэффициентов производящей функции и вспомогательных полиномов. Исследуется зависимость погрешности аналитического решения от времени на больших временных интервалах. Показано, что наблюдаемая погрешность на больших временах обусловлена главным образом различием между реальными значениями частот системы и их аппроксимацией в нормализованной системе. Поэтому погрешность растет со временем в среднем линейно в результате увеличения временного сдвига аналитического решения относительно точного.

Третья глава посвящена методу численного вывода аналитических выражений, предложенного автором совместно с Н. Н. Васильевым. Суть этого метода состоит в выводе аналитических выражений (зависимостей от символических параметров) посредством их восстановления на множестве фиксированных точных численных значений параметров. Главный инструмент метода численного вывода состоит в Паде-интерполяции. Рассматривается проблема искажения структуры восстановленных выражений и проблема верификации результатов. Предложен

статистический подход к решению этих задач. Рассчитаны вероятности искажения структуры первичных выражений.

Предложенные алгоритмы численного вывода аналитических выражений реализованы в специализированном программном пакете. Этот пакет реализован как надстройка для специализированного комплекса «Норма». Он позволяет решать задачи нормализации высокого уровня сложности. В качестве примера найдена одна из резонансных нормальных форм гамильтониана, описывающего движение в окрестности гипер-болоидальной прецессии динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Метод численного вывода дает значительную экономию памяти ЭВМ (приблизительно 30-кратную в рассмотренном примере). Этот метод естественным образом параллелизуем. Таким образом, экономия памяти преобразуема в выигрыш в скорости вычислений.

В последующих главах рассматриваются вопросы хаотической динамики небесных тел. В четвертой главе исследуется статистическое поведение перемежающихся (демонстрирующих спорадические скачки эксцентриситета) траекторий астероидов в резонансе средних движений 3/1 с Юпитером. Результаты, представленные в данной главе, получены в сотрудничестве с Г.Шоллом. В качестве модельного приближения используется плоская эллиптическая ограниченная задача трех тел. Получены и теоретически интерпретируются функции распределения интервалов времени I) между скачками эксцентриситета. Для относительно малых значений Б найдено, что распределение имеет пуассоновский характер (убывает по экспоненте), тогда как хвост распределения описывается степенным законом В". Показатель а для интегральных распределений находится в диапазоне от —2 до —1. Переход от экспоненциального закона к степенному происходит при значениях Б = 105-106 юпитери-анских лет. Алгебраический спад в хвосте распределения объясняется эффектом «прилипания» орбиты к границе хаоса, когда интервалы времени между скачками велики.

В пятой главе условие, при котором становятся возможными спорадические скачки (перемежающееся поведение) относительной энергии движения, получено для случая движения в хаотическом слое около сепаратрисы нелинейного резонанса. Оно совпадает с условием существования маргинального резонанса, то есть резонанса, расположенного у границы слоя. Для описания движения вблизи сепаратрисы используется сепаратрисное отображение (СО) в форме Б. В. Чирикова [1, 2]. Чтобы обеспечить возможность непосредственного сравнения фазовых портретов СО с результатами численного интегрирования, СО синхронизировано к поверхности сечения, наиболее удаленной от седловой точки. Условие перемежаемости применяется для выяснения природы явления скачков эксцентриситета хаотических траекторий астероидов в соизмеримости средних движений 3/1 с Юпитером. Исходя из этого условия, предсказан и затем идентифицирован в численных экспериментах новый перемежающийся режим резонансного движения астероидов.

В этой же главе предложен метод анализа хаотических траекторий путем построения их спектров чисел вращения. Спектры чисел вращения визуализируют резонансную структуру хаотического движения. Построены спектры чисел вращения для перемежающихся (демонстрирующих спорадические скачки эксцентриситета) астероидных орбит в соизмеримости средних движений 3/1 с Юпитером. Вычисление орбит выполнено в рамках плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел «Солнце - Юпитер - астероид». Главная особенность вычисленных спектров - пик, проявляющийся из-за «прилипания» траектории к границе хаотического слоя. Показано, что наблюдаемые спектры естественным образом аппроксимируется спектром СО с фиксированными значениями параметров. Моделирование наблюдаемого спектра дает возможность определить значения обоих параметров СО. Предложен также метод численной оценки параметров СО, основанный на оценке критического числа вращения и критического эллиптического модуля для дви-

жения вблизи сепаратрисы. Рассмотрен пример приложения этих двух методов к анализу перемежающейся астероидной траектории. Показано, что они находятся в хорошем согласии.

Шестая глава посвящена анализу условий появления статистической зависимости между Тг, временем возврата (характерным временем хаотического переноса), и Т/,, локальным временем Ляпунова (величиной, обратной численно измеренному максимальному характеристическому показателю Ляпунова, МХПЛ). Эти условия рассматриваются для движения внутри хаотического слоя около сепаратрисы нелинейного резонанса. Показано, что в случае, если значения МХПЛ измеряются на интервалах времени не больше Тг, зависимость близка к квадратичной. Тем самым объяснены результаты, полученные Сопером и др. [13], Лекаром и др. [6], Левисоном и Дунканом [7], Мыорисоном и др. [10], Ферраз-Мелло [4] в численных исследованиях хаотической динамики малых тел Солнечной системы.

Далее в шестой главе оба рассмотренных эффекта в долговременной хаотической динамике астероидов (а именно, степенной закон убывания в хвостах распределений длин интервалов между скачками эксцентриситета и степенная зависимость между временами возврата и локальными временами Ляпунова) обсуждаются в едином контексте, как критические явления. Зависимости в обоих случаях имеют наблюдаемый вид из-за наличия эффектов аномального динамического переноса в присутствии границы хаоса в разделенном фазовом пространстве, а также из-за наличия эффектов селекции (во втором случае).

В седьмой главе рассматривается плоское вращательное движение несимметричного спутника на эллиптической орбите. Построено двумерное отображение, описывающее движение около сепаратрисы синхронного спин-орбитального резонанса. Это отображение представляет собой обобщение СО Б. В. Чирикова, в том смысле, что учитывается возможная асимметрия возмущения. Выведенное сепаратрисное отобра-

жение является алгоритмическим: оно содержит инструкции условного перехода. Выведен также алгоритм регулярной проекции, позволяющий исследовать движение системы на сечениях фазового пространства в случае определения сечений, традиционно используемого в численных экспериментах в прикладных задачах. Фазовые портреты сепаратрисно-го алгоритмического отображения (CAO) после применения алгоритма регулярной проекции (АРП) в точности воспроизводят известные примеры поверхностей сечения (первоначально вычисленных Уиздомом и др. [15], Уиздомом [14]) фазового пространства резонансного движения несимметричных естественных спутников. Кроме того, CAO дает непосредственное аналитическое описание фазового пространства: анализ свойств отображения позволяет предвычислять, посредством компактных аналитических соотношений, положение резонансов и границ хаоса, появление маргинальных резонансов, и даже описывать бифуркации центра синхронного резонанса, хотя последний и удален от сепаратрис.

Далее в седьмой главе изучается устойчивость относительно наклона оси вращения различных режимов вращательного движения несимметричного спутника на эллиптической орбите. Данное исследование проведено в сотрудничестве с А. В. Мельниковым. Предполагается, что ось вращательного движения, устойчивость которого исследуется, совпадает с осью его наибольшего момента инерции и ортогональна орбитальной плоскости. В приложении к поставленной задаче предложен и реализован метод статистического анализа значений максимальных характеристических показателей Ляпунова (МХПЛ). Путем вычисления и анализа распределений значений МХПЛ на представительном множестве начальных данных выявлены основные спин-орбитальные состояния, в которых некоторые спутники (Гиперион, Фобос, Деймос и Амальтея) могут находиться в ходе своей динамической эволюции при близких к современным значениях эксцентриситета.

В восьмой главе рассматривается хаотическое движение в окрестности сепаратрис орбитальных резонансов в естественных спутниковых системах. Построено сепаратрисное алгоритмическое отображение (CAO) нового типа, описывающее движение в окрестности сепаратрисы модельного орбитального резонанса 3/1. Это отображение является бирезонанс-ным, то есть фазовое пространство отображения содержит две первичных резонансных ячейки. Отображение применяется к изучению орбитальной динамики в системе двух спутников Урана, Миранды и Умбри-эля. Фазовые портреты отображения в точности воспроизводят поверхности сечения фазового пространства орбитальных резонансов, которые эта система могла проходить в течение ее эволюции.

В девятой главе рассматривается процедура синхронизации CAO (унирезонансный случай) к единой поверхности сечения исходной га-мильтоновой системы. Эта процедура справедлива и для частного случая симметричного возмущения, то есть для обычного СО. Принятый выбор поверхности сечения дает полное описание фазового пространства движения в окрестности сепаратрисы. Найдено, что в случае высокочастотного возмущения Л —» +оо (где Л есть отношение частоты возмущения к частоте малых фазовых колебаний на резонансе) хаотический слой подвержен сильному изгибанию в том смысле, что при движении в окрестности сепаратрисы амплитуда отклонений по энергии относительно невозмущенного сепаратрисного значения много больше, чем ширина слоя. Однако синхронизированное CAO обеспечивает правильное представление фазового портрета слоя как при низких, так и при высоких значениях параметра Л, если амплитуда возмущения достаточно мала. Это продемонстрировано посредством сравнения фазовых портретов, полученных с помощью синхронизированного CAO, с прямым численным интегрированием исходной гамильтоновой системы.

В заключении приведена сводка основных результатов диссертационной работы.

Приложение содержит краткий справочник по функциям типа интегралов Мельникова-Арнольда. Большинство формул, представленных в этом справочнике, выведено автором.

Основные результаты, выносимые на защиту

1. Предложены алгоритмы и разработаны программы, которые позволяют осуществлять на ЭВМ громоздкие аналитические процедуры, связанные с нормализацией автономных гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности точки равновесия. Разработаны специализированные программные комплексы «Норма» и «НФ», предназначенные для нормализации автономных гамильтоновых систем на ЭВМ в аналитическом виде. Разработанные алгоритмы и программы обеспечивают максимально возможную экономию памяти ЭВМ.

2. Составлен каталог нормальных форм гамильтониана, описывающего движение в окрестности гиперболоидальной прецессии динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Анализ форм из этого каталога позволил сделать выводы о характере роста аналитической сложности коэффициентов нормальных форм с порядком нормализации. Показано, что этот рост в случае резонансных членов является линейным.

3. Проведено аналитическое исследование орбитальной устойчивости малых периодических движений в окрестности гиперболоидальной прецессии динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Показано, что малые периодические движения 1-го типа в окрестности гиперболоидальной прецессии орбитально устойчивы для всех возможных нерезонансных значений инерционных параметров внутри области существования гиперболоидальной прецессии, кроме, возможно, одной точки, для которой необходимо исследование разложения гамильтониана более высокого порядка.

4. Применение специализированного программного комплекса «Норма», систем аналитических вычислений РЕДЬЮС и МЕИПЛ в случае цилиндрической прецессии позволило получить нормальные формы до включительно 4-го порядка разложения гамильтониана по координатам и импульсам относительно положения равновесия. В частности, вычислена нерезонансная нормальная форма 4-го порядка.

5. С помощью комплекса «Норма» путем нормализации исходной гамиль-тоновой системы получено приближенное аналитическое решение задачи о движении несимметричного спутника относительно его центра масс в окрестности относительного равновесия на круговой орбите. Изучена зависимость погрешности аналитического решения от времени. Показано, что максимумы отклонений полученного аналитического решения от точного численного имеют линейную зависимость от времени и не превосходят теоретической оценки, обусловленной различием между истинными частотами системы и их аппроксимацией в нормализованной системе.

6. Разработан метод численного вывода аналитических выражений. Основное преимущество использования данного метода по сравнению с прямым символьным вычислением состоит в значительной экономии памяти ЭВМ. Это преимущество в экономии памяти преобразуемо в увеличение скорости вычисления, поскольку алгоритмы численного вывода аналитических выражений естественным образом параллелизуемы.

7. Алгоритмы численного вывода аналитических выражений реализованы в компьютерно-алгебраических программах. Эти программы представляют собой надстройку для специализированного программного комплекса «Норма». С их помощью можно решать задачи нормализации высокого уровня аналитической сложности. Методом численного вывода получена одна из наиболее сложных резонансных нормальных форм

гамильтониана, описывающего движение в окрестности гиперболоидаль-ной прецессии динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Техника численного вывода обеспечивает значительную экономию, порядка 30 раз в данном приложении, памяти ЭВМ.

8. В рамках плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел «Солнце - Юпитер - астероид» проведен анализ статистических свойств перемежающихся орбит (хаотических орбит, демонстрирующих спорадические скачки эксцентриситета) астероидов в резонансе средних движений 3/1 с Юпитером. Показано, что эти свойства на больших временных шкалах определяются влиянием границы хаоса в разделенном фазовом пространстве. Получена функция распределения временных интервалов между скачками эксцентриситета. Хвост наблюдаемого распределения описывается степенным законом. Значения показателя степенного закона для интегрального распределения лежат в пределах от —2 до -1. Показано, что интервалы малой продолжительности между скачками эксцентриситета подчиняются «обычному» пуассоновскому распределению. «Аномальное» поведение в хвосте объяснено феноменом прилипания хаотических орбит к границе области хаоса в фазовом пространстве.

9. Для случая движения в хаотическом слое в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса выведено условие, при котором становятся возможными спорадические скачки (резкие изменения) относительной энергии движения. Условие для данного эффекта гамильтоновой перемежаемости представляет собой условие существования маргинального резонанса, то есть резонанса, расположенного у границы хаотического слоя. Выведенное условие перемежаемости применено для прояснения природы скачков эксцентриситета хаотического движения астероидов в соизмеримости средних движений 3/1 с Юпитером. При помощи этого условия предсказан и затем выявлен в численных экспериментах новый перемежающийся режим резонансного движения астероидов в данной со-

измеримости.

10. Для перемежающихся орбит астероидов в резонансе средних движений 3/1 с Юпитером построены спектры чисел вращения, визуализирующие резонансную структуру хаотического движения. Вычисление орбит проведено в рамках плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел «Солнце - Юпитер - астероид». Главной особенностью спектров является пик, возникающий благодаря эффекту прилипания траекторий к границе хаотического слоя. Показано, что эта особенность естественным образом аппроксимируется спектром сепаратрисного отображения с определенными значениями его двух параметров.

11. Предложены два метода численного определения параметров сепаратрисного отображения (СО) для хаотических перемежающихся орбит астероидов. Первый основан на вычислении критического числа вращения и критического эллиптического модуля для движения вблизи сепаратрисы. Второй состоит в моделировании спектра чисел вращения, наблюдаемого для хаотической орбиты астероида, спектром, построенным для СО. Аппроксимация СО справедлива для описания движения в течение длительных интервалов между скачками эксцентриситета, когда траектория «прилипает» к низкоэксцентриситетной границе хаотического слоя.

12. Исследована статистическая зависимость между Тг, временем возврата Пуанкаре, и Гь, локальным ляпуновским временем (величиной, обратной максимальному характеристическому показателю Ляпунова (МХ-ПЛ), измеряемому в реальных вычислительных экспериментах), для случая движения в хаотическом слое в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса. Найдено, что при условии измерения показателей Ляпунова на ограниченном интервале времени не больше Тг теоретическая зависимость является квадратичной. Этот вывод объясняет эксперименталь-

ные численные результаты, полученные в ряде работ по исследованию хаотической динамики малых тел Солнечной системы [13, 6, 7, 10, 4].

13. Показано, что вид зависимости «Ti - Тг» в большой мере определяется эффектами селекции. Главные из них следующие: ограничения на время вычисления МХПЛ, концентрация статистических данных на короткой шкале времени, прореженность статистических данных.

14. Исследована устойчивость различных режимов вращательного движения несимметричного спутника на эллиптической орбите, именно устойчивость этих режимов относительно наклона оси вращения. Предложен статистический метод для разделения плоских вращений несимметричного спутника на эллиптической орбите на устойчивые и неустойчивые относительно наклона оси вращения. Основной идеей метода является получение порогового критерия для данного разделения из анализа модальной структуры распределения значений максимального характеристического показателя Ляпунова (МХПЛ).

15. Сепаратрисное отображение (СО) в форме Б. В. Чирикова [1, 2], описывающее движение вблизи сепаратрисы нелинейного резонанса, обобщено на случай асимметричного возмущения. Новое отображение представляет собой алгоритм, содержащий инструкции условного перехода. Введение этого сепаратрисного алгоритмического отображения (CAO) значительно расширяет поле приложений СО.

16. Выведен алгоритм регулярной проекции (АРП), позволяющий с помощью CAO строить сечения фазового пространства в их общепринятом определении, наиболее часто используемом в численных экспериментах в прикладных задачах. Это позволяет сравнивать фазовые портреты CAO с сечениями, полученными для сложных динамических систем, движение которых моделируется CAO.

17. CAO и АРП применены к задаче о плоской вращательной динамике несимметричного спутника на эллиптической орбите. Движение в окрестности сепаратрисы синхронного спин-орбитального резонанса сведено к CAO. Эта окрестность на самом деле совсем не мала. Обычно она достаточно велика, чтобы охватить наиболее важные резонансы помимо синхронного. Показано, что CAO и АРП дают фазовые портреты движения, находящиеся в близком согласии с известными сечениями, полученными Уиздомом и др. [15], Уиздомом [14], Гоздзиевским [5] и другими исследователями посредством численного интегрирования уравнений вращательного движения несимметричного спутника. Применение CAO и АРП дает преимущество в сотни раз в скорости вычислений.

18. CAO обобщено также на случай резонанса с наведенным удвоением периода фазового пространства по резонансной фазе. Полученное бире-зонансное CAO представляет собой алгоритм, содержащий инструкции условного перехода.

19. Бирезонансное CAO применено для описания движения в окрестности сепаратрисы конкретного орбитального резонанса, а именно г\-резонанса. Проведено моделирование с помощью CAO движения около сепаратрисы данного резонанса в долговременной орбитальной эволюции Миранды и Умбриэля, спутников Урана. Выведенное бирезонансное CAO вместе с АРП воспроизводит фазовые портреты движения в окрестности сепаратрисы в близком согласии с результатами прямого численного интегрирования.

20. Выведена аналитическая процедура синхронизации сепаратрисного отображения (процедура приведения сепаратрисного отображения к единой поверхности сечения исходной гамильтоновой системы).

Цитируемая литература

[1] Чириков Б. В. Нелинейный резонанс. Новосибирск: Издательство НГУ, 1977. 82 с.

[2] Chirikov В. V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Physics Reports. 1979. V. 52. No. 5. P. 263-379.

[3] Chirikov В. V. Patterns in chaos. Preprint N 90-109. Novosibirsk: Institute of Nuclear Physics, 1990. 40 p.

[4] Ferraz-Mello S. A symplectic mapping approach to the study of the stochasticity in asteroidal resonances // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1997. V. 65. No. 4. P. 421-437.

[5] Gozdziewski K. Rotational dynamics of Janus and Epimetheus // Dynamics and astrometry of natural and artificial celestial bodies / Ed. by Vv'ytrzyszczak I. M. et al. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. P. 269-274.

[6] Lecar M., Franklin F., Murison M. On predicting long-term orbital instability: a relation between the Lyapunov time and sudden orbital transitions // Astron. J. 1992. V. 104. No. 3. P. 1230-1236.

[7] Levison И. F., Duncan M. J. The gravitational sculpting of the Kuiper belt // Astrophys. J. Letters. 1993. V. 406. No. 1. P. L35-L38.

[8] Lichtenberg A. J., Lieberman M. A. Regular and chaotic dynamics. New York: Springer, 1992. 670 p. (Имеется русский перевод 1-го издания: Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528 с.)

[9] Morbidelli A., Froeschle С. On the relationship between Lyapunov times and macroscopic instability times // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1996. V. 63. No. 2. P. 227-239.

[10] Murison M. A., Lecar M., Franklin F. A. Chaotic motion in the outer asteroid belt and its relation to the age of the solar system // Astron. J. 1994. V. 108. No. 6. P. 2323-2329.

[11] Shevchenko J. I. Marginal resonances and intermittent behaviour in the motion in the vicinity of a separatrix. Physica Scripta. 1998. V. 57. No. 2. P. 185-191.

[12] Shevchenko I. /., Scholl H. Chaotic asteroidal trajectories exhibiting multiple bursts of eccentricity: a statistical analysis // Dynamics, ephemerides and astrometry of the Solar system / Ed. by Ferraz-Mello S., Morando В., Arlot J.-E. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. P. 183-186.

[13] Soper M., Franclin F., Lecar M. On the original distribution of asteroids. III. Orbits between Jupiter and Saturn // Icarus. 1990. V. 87. No. 2. P. 265-284.

[14] Wisdom J. Rotational dynamics of irregularly shaped natural satellites // Astron. J. 1987. V. 94. No. 5. P. 1350-1360.

[15] Wisdom J., Peale S. J., Mignard F. The chaotic rotation of Hyperion // Icarus. 1984. V. 58. No. 2. P. 137-152.

Апробация работы

Результаты, представленные в диссертации, докладывались автором на следующих научных конференциях:

Всесоюзном совещании «Алгоритмы и программы небесной механики» (Ленинград, 1990 г.),

Всесоюзном совещании «Компьютерные методы небесной механики» (С.Петербург, 1991 г.),

Всероссийском совещании «Компьютерные методы небесной механики» (С.-Петербург, 1992 г.),

Всероссийском совещании «Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика» (С.-Петербург, 1993 г.),

Международном симпозиуме по символьным и алгебраическим вычислениям (ISSAC'93) (Киев, 1993 г.),

Международной конференции «Современные проблемы теоретической астрономии» (С.-Петербург, 1994 г.),

Международной конференции по символьным вычислениям (Университет штата Нью-Мексико, США, 1994 г.),

Симпозиуме MAC N 172 «Динамика, эфемериды и астрометрия Солнечной системы» (Париж, 1995 г.),

Международной конференции «Хаос в гравитационных системах N тел» (Ла Плата, Аргентина, 1995 г.),

Международной школе «Физика планет и околопланетного пространства» (Л'Аквила, Италия, 1995 г.),

Всероссийской конференции «Проблемы небесной механики» (С.-Петербург, 1997 г.),

Всероссийской конференции «Компьютерные методы небесной механики - 97», (С.-Петербург, 1997 г.),

Коллоквиуме MAC N 172 «Влияние современной динамики на астрономию» (Намюр, Бельгия, 1998 г.),

Второй конференции Международного центра релятивистской астрофизики «Хаотическая Вселенная» (Рим - Пескара, Италия, 1999 г.); а также на семинарах Института теоретической астрономии РАН, Главной астрономической обсерватории РАН и Государственного астрономического института им. П. К. Штернберга.

Научное и практическое значение

Результаты, представленные в диссертации, имеют практическое значение для разработок в области специализированных систем компьютерной алгебры; исследований устойчивости движения методами компьютерной алгебры; для исследований статистических свойств хаотического движения гамильтоновых динамических систем, в особенности свойств движения у границы хаоса в хаотическом слое около сепаратрисы нелинейного резонанса. Разработанные автором сепаратрисные алгоритмические отображения имеют большое поле приложений не только в задачах небесной механики, но также и во многих прикладных задачах физики - везде, где рассматривается хаотическое движение в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса.

Благодарности

Часть исследований, нашедших отражение в диссертации, проведена автором в сотрудничестве с Н. Н. Васильевым, А. В. Мельниковым, А. Г. Сокольским, Д. А. Сушко, Н. А. Сушко, Г. Шоллом. Всем им автор выражает глубокую благодарность за плодотворное сотрудничество.

Автор искренне благодарен В. А. Антонову, Н. Н. Васильеву, Т. В. Ивановой, С. Р. Каримову, А. В. Мельникову, А. Г. Сокольскому Д. А. Сушко, Н. А. Сушко и Г. Шоллу за многочисленные научные обсуждения, С. Ферраз-Мелло за обсуждение ряда своих статей по электрон-

ной почте и в личном общении. Автор глубоко признателен В. К. Аба-лакину за внимание к работе.

Большая часть исследований, результаты которых представлены в диссертации, проводилась под глубоким влиянием идей Б. В. Чирикова. Автор выражает исключительную признательность Б. В. Чирикову за обсуждения и советы.

Автор с благодарностью отмечает, что его исследования, результаты которых представлены в настоящей диссертации, были частично поддержаны в рамках ряда грантов. Автор получил поддержку: по индивидуальному гранту Американского астрономического общества N 717000, 1993 г.; ;

в качестве руководителя коллективных проектов:

по гранту Российского фонда фундаментальных исследований «Алгоритмизация методов небесной механики в системах компьютерной алгебры» 97-01-01176-а, 1997-98 гг.,

по гранту Государственной научно-технической программы «Астрономия» «Специализированные программные комплексы и системы для аналитических вычислений в небесной механике» 1.7.1.2, 1997-99 гг.; в качестве исполнителя в коллективных проектах: по гранту СЫНЗ/РАН (Франция - Россия) «Моделирование хаотических орбит малых тел Солнечной системы на ЭВМ» 3.10 ББи, 1994-97 гг., по гранту РФФИ «Исследование условий перехода к хаосу в системах небесной механики и звездной динамики» 95-02-05301-а, 1995-96 гг., по гранту РФФИ «Каталогизация интегрируемых гамильтоновых систем классической небесной механики» 96-01-00572-а, 1996-97 гг., по гранту РФФИ «Наблюдения и теоретический анализ вращательной динамики естественных'.спутников планет» 99-02-16814-а, 1999-2000 гг., по гранту ГНТП «Астрономия» «Резонансы в поступательно-врагца-тельном движении небесных тел» 1.7.4.4, 1997-99 гг.

Основные публикации по теме диссертации

1. Сокольский А. Г., Шевченко И. И. Нормализация автономных гамиль-тоновых систем методами компьютерной алгебры // Тезисы докладов Всесоюзного совещания «Алгоритмы и программы небесной механики» / Под ред. Сокольского А. Г. Ленинград: ИТА АН СССР, 1990. С. 37-38.

2. Сокольский А. Г., Шевченко И. И. Нелинейная нормализация автономных гамильтоновых систем на ЭВМ в аналитическом виде. Препринт N 8. Ленинград: ИТА АН СССР, 1990. 51 с.

3. Сокольский А. Г., Шевченко И. И. О нормализации автономных гамильтоновых систем на ЭВМ в аналитическом виде. Препринт N 14. С.-Петербург: ИТА АН СССР, 1991. 72 с.

4. Сокольский А. Г., Шевченко И. И. Применение САВ «РЕДЬЮС» для построения нормальных форм при исследовании относительного движения симметричного спутника // Тезисы Всесоюзного совещания «Компьютерные методы небесной механики» / Под ред. Сокольского А. Г. С.-Петербург: ИТА РАН, 1991. С. 44-45.

5. Сокольский А. Г., Шевченко И. И. Применение методов компьютерной алгебры для построения нормальных форм в исследованиях цилиндрической прецессии симметричного спутника // Тезисы Всероссийского совещания «Компьютерные методы небесной механики». / Под ред. Сокольского А. Г. С.-Петербург: ИТА РАН, 1992. С. 36-37.

6. Сокольский А. Г., Шевченко И. И. Построение нормальных форм в исследованиях гиперболоидальной прецессии симметричного спутника. Препринт N 28. С.-Петербург: ИТА РАН, 1992. 35 с.

7. Сокольский А. Г., Шевченко И. И. Нормализация гамильтоновых систем на ЭВМ в аналитическом виде // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. Т. 33. N 8. С. 1201-1208.

8. Сушко Д. А., Шевченко И. И. Приближенное аналитическое решение задачи о либраииях несимметричного спутника относительно его центра масс на круговой орбите // Тезисы Всероссийского совещания «Теоретическая, прикладная и вычислительная небесная механика» / Под ред. Сокольского А. Г. С.-Петербург: ИТА РАН, 1993. С. 37-38.

9. Shevchenko I. /., Vasiliev N. N. Algorithms of numeric deduction of analytical expressions // SIGSAM Bulletin. 1993. V. 27. No. 1. P. 1-3.

10. Shevchenko I. I., Sokolsky A. G. Algorithms for normalization of Hamiltonian systems by means of computer algebra // Computer Physics Communications. 1993. V. 77. No. 1. P. 11-18.

11. Shevchenko I. I., Sokolsky A. G. Studies of regular precessions of a symmetric satellite by means of computer algebra // ISSAC'93 (Proceedings of the International symposium on symbolic and algebraic computation'93) / Ed. by Bronstein M. New York: ACM Press, 1993. P. 65-67.

12. Сокольский А. Г., Сушко Д. А., Шевченко И. И. Аналитическое представление нормальных форм гамильтониана для трех типов регулярных прецессий динамически-симметричного спутника // Тезисы Международной конференции «Современные проблемы теоретической астрономии» / Под ред. Сокольского А. Г. С.-Петербург: ИТА РАН, 1994. Т. 1. С. 106-108.

13. Shevchenko I. I., Sokolsky A. G. Hyperboloidal precession of a dynamically symmetric satellite. Construction of normal forms of the Hamiltonian // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1995. V. 62. No. 4. P. 289-304.

14. Сушко Д. А., Шевченко И. И. Либрации несимметричного спутника относительно центра Maicc на круговой орбите // Космические исследования. 1996. Т. 34. N 3. С. 300-311.

15. Shevchenko I. I. Spectra of winding numbers of chaotic asteroidal motion

// Chaos in gravitational N-body systems / Ed. by Muzzio J.C., Ferraz-Mello S., Henrard J. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. P. 311314.

16. Shevchenko I. I., Scholl H. Chaotic asteroidal trajectories exhibiting multiple bursts of eccentricity: a statistical analysis // Dynamics, ephemerides and astrometry of the Solar system / Ed. by Ferraz-Mello S., Morando В., Arlot J.-E. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. P. 183-186.

17. Мельников А. В., Шевченко И. if. Вращательная динамика несимметричных естественных спутников. Препринт N 69. С.-Петербург: ИТА РАН, 1997. 52 с.

18. Сушко Н. А., Шевченко И. И. «НФ» - пакет программ нормализации гамильтоновых систем // Тезисы докладов Всероссийской конференции с международным участием «Проблемы небесной механики» / Под ред. Сокольского А. Г., Баранова А. С. С.-Петербург: ИТА РАН, 1997. С. 166-168.

19. Shevchenko I. I. Numeric deduction in symbolic computation. Application to normalizing transformations // Journal of Symbolic Computation. 1997. V. 24. No. 1. P. 103-111.

20. Shevchenko I. I., Scholl H. Intermittent trajectories in the 3/1 Jovian resonance // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1997. V. 68. No. 2. P. 163-175.

21. Мельников А. В., Шевченко И. И. Об устойчивости вращательного движения несферических естественных спутников относительно наклона оси вращения // Астрономический вестник. 1998. Т. 32. N 6. С. 548-559.

22. Shevchenko I. I. Marginal resonances and intermittent behaviour in the motion in the vicinity of a separatrix // Physica Scripta. 1998. V. 57. No. 2. P. 185-191.

23. Shevchenko I. I. Oil the recurrence and Lyapunov time scales of the motion near the chaos border // Physics Letters A. 1998. V. 241. Nos. 1 & 2. P. 53-60.

24. Shevchenko I. I. Orbital resonances and the separatrix algorithmic map // The Chaotic Universe. Theory, Observations, Computer Experiments. Abstracts of the Second ICRA Network Workshop. Rome: University of Rome, ICRA, 1999. P. 31.

25. Shevchenko 1.1. The separatrix algorithmic map: Application to the spinorbit motion // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1999. V. 73. Nos. 1-4. P. 259-268.

26. Shevchenko I. I. The separatrix algorithmic map: Application to the spin-orbit motion // Impact of modern dynamics in astronomy / Ed. by Henrard J., Ferraz-Mello S. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. P. 259-268.

27. Shevchenko I. I. On the critical phenomena in the dynamics of asteroids // Impact of modern dynamics in astronomy / Ed. by Henrard J., Ferraz-Mello S. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. P. 383-386.

Введение

Алгоритмы нормализации гамильтоновых систем и методы компьютерной алгебры

1.1 Разложение гамильтониана в ряд Тейлора

1.2 Линейная нормализация.

1.3 Нелинейная нормализация.

1.4 Реализация алгоритмов на ЭВМ.

1.4.1 Программный комплекс на языке РЕДЬЮС.

1.4.2 Примеры применения комплекса «Норма».

1.4.3 Программный комплекс на языке МЕЙПЛ.

1.4.4 Пример применения комплекса «НФ»

1.5 Выводы.

Исследование вращательной динамики спутника методами компьютерной алгебры

2.1 Гиперболоидальная прецессия динамически-симметричного спутника. Нормальные формы гамильтониана.

2.1.1 Исходная гамильтонова система.

2.1.2 Нормализация системы.

2.1.3 Аналитическая сложность нормальных форм

Общая характеристика работы

В настоящей диссертации анализируются проблемы разработки алгоритмов и специализированных программных комплексов (в системах аналитических вычислений), ориентированных на решение качественных задач небесной механики; рассмотрены проблемы исследования устойчивости движения методами компьютерной алгебры; исследуются задачи хаотической динамики небесных тел и качественные вопросы движения небесных тел в орбитальных и спин-орбитальных резонансах.

Актуальность темы

Актуальность темы диссертационной работы обусловлена, с одной стороны, колоссальным развитием компьютерных, в частности компьютерно-алгебраических, средств и методов научного исследования в последние четыре десятилетия, а с другой стороны, современной революцией в динамике (произошедшей опять же благодаря ускоренному развитию ЭВМ и методов численного эксперимента), где на первый план вышли исследования хаотического движения. Теоретические исследования в последней области идут в тесной связи с развитием методов численного эксперимента на ЭВМ.

Языки аналитического и численного программирования взаимно дополняют друг друга. Задачи, связанные с аналитическими выкладками, удобно решать с помощью первых, численные задачи - с помощью вторых. Универсальные системы аналитических вычислений (CAB) появились сравнительно недавно, тогда как история языков численного программирования начинается с момента создания первых ЭВМ. До появления CAB возможности применения ЭВМ в аналитических исследованиях были ограниченными. В настоящее время весьма актуальными для небесно-механических исследований являются разработки алгоритмического и программного обеспечения для специализированных систем компьютерной алгебры, экономичного по использованию памяти ЭВМ и обеспечивающего необходимое быстродействие для решения аналитических задач современной небесной механики.

В задаче о нормализации гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений, имеющей большое значение для исследования устойчивости движения в задачах небесной механики, необходимость обращения к CAB или, иначе говоря, необходимость применения методов компьютерной алгебры не вызывает сомнений, так как нормализация гамильтоновых систем ОДУ является весьма трудоемкой аналитической операцией. Проведение ее «с помощью карандаша и бумаги» требует немало времени. Чем больше число степеней свободы системы, чем выше порядок нормализации, тем настоятельнее необходимость применения CAB. Одной из наиболее существенных проблем (если не самой существенной) здесь является проблема экономии памяти ЭВМ.

В рамках настоящего исследования созданы специализированные программные компьютерно-алгебраические комплексы, которые по экономии памяти ЭВМ и быстродействию значительно превосходят имеющиеся зарубежные аналоги. Эффективность разработанных алгоритмов и программных средств продемонстрирована на конкретных задачах небесной механики. В частности, рассмотрена задача о движении в окрестности регулярных прецессий динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Для случая гиперболоидальной прецессии составлен каталог нормальных форм гамильтониана, получены новые результаты относительно устойчивости движения. В рамках другого приложения разработанных программных комплексов построено аналитическое решение задачи о движении несимметричного спутника около центра масс в окрестности относительного равновесия на круговой орбите. Проведено исследование отклонения полученного аналитического решения от истинного на больших промежутках времени.

Одним из наиболее актуальных направлений исследований в современной небесной механике является изучение фундаментальных статистических закономерностей хаотического движения небесных тел, в частности, их критического движения (движения вблизи границы хаоса в фазовом пространстве). В перспективе, подобные исследования позволят решать задачу прогнозирования хаотической долговременной динамики небесных тел.

В небесной механике изучение эффектов критического движения некоторое время шло без осознания их истинной природы. Сопер и др. [124], Лекар и др. [90], Мьюрисон и др. [102] на основе большого количества численных экспериментов по динамике объектов Солнечной системы пришли к выводу, что времена «резких изменений» в хаотическом орбитальном поведении можно статистически предсказывать с помощью вычисления максимальных характеристических показателей Ляпунова (МХПЛ). Они установили, что между временем резкого орбитального изменения и ляпуновским временем (величина, обратная МХПЛ) существует простая степенная статистическая зависимость с универсальным показателем степени ^ 2. Аналогичная зависимость была найдена Левисоном и Дунканом [91] при моделировании динамики внешней Солнечной системы, а именно астероидного пояса Койпера. Ферраз-Мелло [68] выявил подобную же зависимость в хаотическом поведении астероидов в резонансе средних движений 2/1 с Юпитером. Морбиделли и Фрешле [101] рассмотрели возможность теоретического объяснения универсального характера наблюдаемых зависимостей в рамках обычного диффузионного подхода, но не пришли к положительному результату. В настоящей диссертации показано, что в действительности универсальный характер зависимости проявляется благодаря двум основным причинам: (1) на больших интервалах времени между резкими орбитальными изменениями движение является критическим (траектория «прилипает» к границе хаоса), (2) показатели Ляпунова в реальных численных экспериментах вычисляются на конечных промежутках времени, не превышающих времен резких орбитальных изменений. Проведенный анализ в рамках резонансной теории критических явлений Б. В. Чирикова [60] дал теоретическую оценку универсального степенного показателя для данной зависимости, равную двум, что близко соответствует наблюдаемым величинам.

Режим «прилипания» хаотической траектории к границе хаоса наглядно проявляется также в распределениях длин возвратов Пуанкаре на больших динамических временах. В небесной механике этот эффект впервые наблюдался И. И. Шевченко и Г. Шоллом [117]. Исследовались статистические распределения длин интервалов между скачками эксцентриситета для хаотических орбит, находящихся в резонансе средних движений 3/1 с Юпитером, в плоской эллиптической ограниченной задаче трех тел «Солнце - Юпитер - астероид». Было установлено, что распределения длительных возвратов подчиняются степенному закону. Степенной характер распределений с определенным значением показателя является эффектом критического движения.

Ключевое значение для исследований хаотической динамики небесных тел имеет развитие теории сепаратрисных отображений (отображений, описывающих движение в окрестности сепаратрисы, [46, 58, 92]). В диссертационной работе выведены так называемые сепаратрисные алгоритмические отображения (CAO), описывающие движение в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса при асимметричном возмущении, что позволяет применить сепаратрисные отображения для анализа реальных небесно-механических систем.

В частности, CAO непосредственно применимо к задаче о плоской вращательной динамике несимметричного спутника на эллиптической орбите. Движение в окрестности сепаратрисы синхронного спин-орбитального резонанса приводимо к CAO. Эта окрестность на самом деле не мала. Обычно она достаточно велика, чтобы охватить наиболее важные резо-нансы помимо синхронного. В диссертационной работе CAO применяется также для описания движения в окрестности сепаратрисы орбитального резонанса 3/1 в движении естественных спутников планет.

Применение CAO дает преимущество в сотни раз в скорости вычислений. Теория CAO позволяет аналитически предвычислять положения резонансов и границ хаоса на сечениях фазового пространства; предсказывать появление маргинальных резонансов (то есть сильно перемежающегося хаотического поведения, см. работу [111]). Иными словами, теория CAO дает аналитическое описание структуры фазового пространства в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса.

Таким образом, в диссертации представлены одни из наиболее актуальных направлений исследований в современной небесной механике.

Цели работы

В настоящей диссертации:

1. Ставятся и решаются задачи разработки универсальных алгоритмов и специализированных программных комплексов, предназначенных для нормализации автономных гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений на ЭВМ в аналитическом виде и позволяющих решать задачи высокого (то есть реального для задач небесной механики) уровня аналитической сложности. Это подразумевает разработку алгоритмов и методов с максимальной экономией памяти ЭВМ. Частные цели при этом состоят в исследовании устойчивости движения в окрестности регулярных прецессий симметричного спутника и построении приближенных аналитических решений уравнений движения несимметричного спутника на круговой орбите.

2. Ставятся и решаются задачи хаотической динамики небесных тел и качественные задачи движения небесных тел в орбитальных и спин-орбитальных резонансах. Первая из основных целей при этом состоит в исследовании фундаментальных статистических закономерностей движения в хаотической компоненте фазового пространства гамильтоновых систем, главным образом в приложении к задачам небесной механики. Вторая основная цель состоит в развитии теории сепаратрисных отображений, что имеет большое поле приложений в небесной механике. В связи с этими двумя целями рассматриваются: задача о динамике астероидов в резонансе средних движений 3/1 с Юпитером, задача об орбитальном резонансе 3/1 в движении спутников планет, задача о вращательном движении несферических естественных спутников планет в спин-орбитальных резонансах. Метод исследования включает как теоретический анализ, так и проведение численных экспериментов на ЭВМ.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность работы, охарактеризованы ее новизна, научное и практическое значение, сформулированы цели исследования. Кратко описаны структура и содержание диссертации.

В первой главе рассматриваются алгоритмы, необходимые для нормализации автономных гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности точки равновесия системы. Это алгоритмы разложения гамильтониана в ряд Тейлора, линейной нормализации и нелинейной нормализации. Предложены алгоритмы наиболее экономные с точки зрения использования памяти при работе в системах компьютерной алгебры. Предполагается, что определяющее уравнение линеаризованной системы имеет только простые чисто мнимые корни. Для проведения нелинейной нормализации применяется метод Депри-Хори, основанный на преобразованиях Ли. Разработки алгоритмов проведены в сотрудничестве с А. Г. Сокольским. Предложенные алгоритмы реализованы в программах специализированного комплекса «Норма», написанного на языке системы аналитических вычислений (САВ) РЕДЬЮС.

В этой же главе описан пакет программного обеспечения «НФ» («Нормальная Форма»), также предназначенный для нормализации автономных гамильтоновых систем. Пакет разработан в сотрудничестве с Н. А. Сушко. Нормализация разложения гамильтониана в окрестности точки равновесия системы в степенной ряд относительно канонических переменных проводится с помощью метода, основанного на преобразованиях Ли. Пакет «НФ» написан на языке системы компьютерной алгебры МЕЙПЛ. В отличие от пакета «Норма», нормализация в «НФ» основана на прямых нерекуррентных формулах. Поэтому порядок нормализации ограничен, зато велик выигрыш в экономии памяти ЭВМ из-за устранения потребности в вычислении вспомогательных аналитических выражений. Возможности пакета демонстрируются на примере, касающемся исследования устойчивости треугольных точек либрации в плоской круговой ограниченной задаче трех тел.

Во второй главе специализированный программный комплекс «Норма» используется для исследования малых периодических движений в окрестности регулярных прецессий динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Исследование проведено в сотрудничестве с А. Г. Сокольским (кому принадлежит участие в постановке проблемы) и Д. А. Сушко (участие в исследовании некоторых резонансных случаев цилиндрической и конической прецессий). Наиболее подробно рассматривается случай гиперболоидальной прецессии. Получены аналитические выражения для нормальных форм и производящих функций в зависимости от частот системы. Отдельно анализируются возможные резонансы. Достигнут шестой порядок нормализации. Хотя промежуточные аналитические выражения занимают мегабайты оперативной памяти компьютера, итоговые выражения помещаются на одной печатной странице (в резонасных случаях). Полученные аналитические выражения применяются к анализу устойчивости малых периодических движений в окрестности гиперболоидальной прецессии.

Возможности компактных аналитических представлений нормальных форм гамильтонианов, описывающих движение в окрестности регулярных прецессий динамически-симметричного спутника на круговой орбите, обсуждены для всех трех возможных типов прецессии (гиперболои-дальная, цилиндрическая и коническая). С помощью применения специализированного комплекса «Норма» показано, что различие в сложности аналитических представлений коэффициентов нормализованных гамильтонианов для трех типов прецессии является неустранимым в том смысле, что не может быть преодолено посредством введения какой-либо специальной параметризации.

Далее во второй главе исследуются либрации несимметричного спутника относительно его центра масс в окрестности относительного рав / и новесия на круговой орбите. Данное исследование проведено в сотрудничестве с Д. А. Сушко. Специализированный программный комплекс «Норма» применяется для построения нормальной формы гамильтониана и нормализующего преобразования канонических переменных, что дает аналитическое решение задачи в окрестности положения равновесия. Проведена нормализация до 4-го порядка разложения гамильтониана по координатам и импульсам. Для экономии оперативной памяти на разных этапах нормализации используется процедура переинициализации коэффициентов производящей функции и вспомогательных полиномов. Исследуется зависимость погрешности аналитического решения от времени на больших временных интервалах. Показано, что наблюдаемая погрешность на больших временах обусловлена главным образом различием между реальными значениями частот системы и их аппроксимацией в нормализованной системе. Поэтому погрешность растет со временем в среднем линейно в результате увеличения временного сдвига аналитического решения относительно точного.

Третья глава посвящена методу численного вывода аналитических выражений, предложенного автором совместно с Н. Н. Васильевым. Суть этого метода состоит в выводе аналитических выражений (зависимостей от символических параметров) посредством их восстановления на множестве фиксированных точных численных значений параметров. Главный инструмент метода численного вывода состоит в Паде-интерполяции. Рассматривается проблема искажения структуры восстановленных выражений и проблема верификации результатов. Предложен статистический подход к решению этих задач. Рассчитаны вероятности искажения структуры первичных выражений.

Предложенные алгоритмы численного вывода аналитических выражений реализованы в специализированном программном пакете. Этот пакет реализован как надстройка для специализированного комплекса «Норма». Он позволяет решать задачи нормализации высокого уровня сложности. В качестве примера найдена одна из резонансных нормальных форм гамильтониана, описывающего движение в окрестности гипер .

12 V болоидальной прецессии динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Метод численного вывода дает значительную экономию памяти ЭВМ (приблизительно 30-кратную в рассмотренном примере). Этот метод естественным образом параллелизуем. Таким образом, экономия памяти преобразуема в выигрыш в скорости вычислений.

В последующих главах рассматриваются вопросы хаотической динамики небесных тел. В четвертой главе исследуется статистическое поведение перемежающихся (демонстрирующих спорадические скачки эксцентриситета) траекторий астероидов в резонансе средних движений 3/1 с Юпитером. Результаты, представленные в данной главе, получены в сотрудничестве с Г.Шоллом. В качестве модельного приближения используется плоская эллиптическая ограниченная задача трех тел. Получены и теоретически интерпретируются функции распределения интервалов времени В между скачками эксцентриситета. Для относительно малых значений В найдено, что распределение имеет пуассоновский характер (убывает по экспоненте), тогда как хвост распределения описывается степенным законом Б01. Показатель а для интегральных распределений находится в диапазоне от —2 до —1. Переход от экспоненциального закона к степенному происходит при значениях Г> = 105-106 юпитерианских лет. Алгебраический спад в хвосте распределения объясняется эффектом «прилипания» орбиты к границе хаоса, когда интервалы времени между скачками велики.

В пятой главе условие, при котором становятся возможными спорадические скачки (перемежающееся поведение) относительной энергии движения, получено для случая движения в хаотическом слое около сепаратрисы нелинейного резонанса. Оно совпадает с условием существования маргинального резонанса, то есть резонанса, расположенного у границы слоя. Для описания движения вблизи сепаратрисы используется се-паратрисное отображение (СО) в форме Б. В. Чирикова [46, 58]. Чтобы обеспечить возможность непосредственного сравнения фазовых портретов СО с результатами численного интегрирования, СО синхронизировано к поверхности сечения, наиболее удаленной от седловой точки.

Условие перемежаемости применяется для выяснения природы явления скачков эксцентриситета хаотических траекторий астероидов в соизмеримости средних движений 3/1 с Юпитером. Исходя из этого условия, предсказан и затем идентифицирован в численных экспериментах новый перемежающийся режим резонансного движения астероидов.

В этой же главе предложен метод анализа хаотических траекторий путем построения их спектров чисел вращения. Спектры чисел вращения визуализируют резонансную структуру хаотического движения. Построены спектрьГчисел вращения для перемежающихся (демонстрирующих спорадические скачки эксцентриситета) астероидных орбит в соизмеримости средних движений 3/1 с Юпитером. Вычисление орбит выполнено в рамках плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел «Солнце - Юпитер - астероид». Главная особенность вычисленных спектров -пик, проявляющийся из-за «прилипания» траектории к границе хаотического слоя. Показано, что наблюдаемые спектры естественным образом аппроксимируется спектром СО с фиксированными значениями параметров. Моделирование наблюдаемого спектра дает возможность определить значения обоих параметров СО. Предложен также метод численной оценки параметров СО, основанный на оценке критического числа вращения и критического эллиптического модуля для движения вблизи сепаратрисы. Рассмотрен пример приложения этих двух методов к анализу перемежающейся астероидной траектории. Показано, что они находятся в хорошем согласии.

Шестая глава посвящена анализу условий появления статистической зависимости между Тг, временем возврата (характерным временем хаотического переноса), и Т^, локальным временем Ляпунова (величиной, обратной численно измеренному максимальному характеристическому показателю Ляпунова, МХПЛ). Эти условия рассматриваются для движения внутри хаотического слоя около сепаратрисы нелинейного резонанса. Показано, что в случае, если значения МХПЛ измеряются на интервалах времени не больше Тг, зависимость близка к квадратичной. Тем самым объяснены результаты, полученные Сопером и др. [124], Лекаром и др. [90], Левисоном и Дунканом [91], Мьюрисоном и др. [102], Ферраз-Мелло [68] в численных исследованиях хаотической динамики малых тел Солнечной системы.

Далее в шестой главе оба рассмотренных эффекта в долговременной хаотической динамике астероидов (а именно, степенной закон убывания в хвостах распределений длин интервалов между скачками эксцентриситета и степенная зависимость между временами возврата и локальными временами Ляпунова) обсуждаются в едином контексте, как критические явления. Зависимости в обоих случаях имеют наблюдаемый вид из-за наличия эффектов аномального динамического переноса в присутствии границы хаоса в разделенном фазовом пространстве, а также из-за наличия эффектов селекции (во втором случае).

В седьмой главе рассматривается плоское вращательное движение несимметричного спутника на эллиптической орбите. Построено двумерное отображение, описывающее движение около сепаратрисы синхронного спин-орбитального резонанса. Это отображение представляет собой обобщение СО Б. В. Чирикова, в том смысле, что учитывается возможная асимметрия возмущения. Выведенное сепаратрисное отображение является алгоритмическим: оно содержит инструкции условного перехода. Выведен также алгоритм регулярной проекции, позволяющий исследовать движение системы на сечениях фазового пространства в случае определения сечений, традиционно используемого в численных экспериментах в прикладных задачах. Фазовые портреты сепаратрисного алгоритмического отображения (CAO) после применения алгоритма регулярной проекции (АРП) в точности воспроизводят известные примеры поверхностей сечения (первоначально вычисленных У из домом и др. [138], Уиздомом [136]) фазового пространства резонансного движения несимметричных естественных спутников. Кроме того, CAO дает непосредственное аналитическое описание фазового пространства: анализ свойств отображения позволяет предвычислять, посредством компактных аналитических соотношений, положение резонансов и границ хаоса, появление маргинальных резонансов, и даже описывать бифуркации центра синхронного резонанса, хотя последний и удален от сепаратрис.

Далее в седьмой главе изучается устойчивость относительно наклона оси вращения различных режимов вращательного движения несимметричного спутника на эллиптической орбите. Данное исследование проведено в сотрудничестве с А. В. Мельниковым. Предполагается, что ось вращательного движения, устойчивость которого исследуется, совпадает с осью его наибольшего момента инерции и ортогональна орбитальной плоскости. В приложении к поставленной задаче предложен и реализован метод статистического анализа значений максимальных характеристических показателей Ляпунова (МХПJI). Путем вычисления и анализа распределений значений МХПЛ на представительном множестве начальных данных выявлены основные спин-орбитальные состояния, в которых некоторые спутники (Гиперион, Фобос, Деймос и Амальтея) могут находиться в ходе своей динамической эволюции при близких к современным значениях эксцентриситета.

В восьмой главе рассматривается хаотическое движение в окрестности сепаратрис орбитальных резонансов в естественных спутниковых системах. Построено сепаратрисное алгоритмическое отображение (CAO) нового типа, описывающее движение в окрестности сепаратрисы модельного орбитального резонанса 3/1. Это отображение является бирезонанс-ным, то есть фазовое пространство отображения содержит две первичных резонансных ячейки. Отображение применяется к изучению орбитальной динамики в системе двух спутников Урана, Миранды и Умбри-эля. Фазовые портреты отображения в точности воспроизводят поверхности сечения фазового пространства орбитальных резонансов, которые эта система могла проходить в течение ее эволюции.

В девятой главе рассматривается процедура синхронизации CAO (унирезонансный случай) к единой поверхности сечения исходной гамиль-тоновой системы. Эта процедура справедлива и для частного случая симметричного возмущения, то есть для обычного СО. Принятый выбор поверхности сечения дает полное описание фазового пространства движения в окрестности сепаратрисы. Найдено, что в случае высокочастотного возмущения Л —► +оо (где Л есть отношение частоты возмущения к частоте малых фазовых колебаний на резонансе) хаотический слой подвержен сильному изгибанию в том смысле, что при движении в окрестности сепаратрисы амплитуда отклонений по энергии относительно невозмущенного сепаратрисного значения много больше, чем ширина слоя. Однако синхронизированное CAO обеспечивает правильное представление фазового портрета слоя как при низких, так и при высоких значениях параметра Л, если амплитуда возмущения достаточно мала. Это продемонстрировано посредством сравнения фазовых портретов, полученных с помощью синхронизированного CAO, с прямым численным интегрированием исходной гамильтоновой системы.

В заключении приведена сводка основных результатов диссертационной работы.

Приложение содержит краткий справочник по функциям типа интегралов Мельникова-Арнольда. Большинство формул, представленных в этом справочнике, выведено автором.

Содержание глав основано на следующих публикациях: глава 1 - [31, 32, 33, 37, 40, 119], глава 2 - [34, 35, 36, 29, 38, 39, 120, 121], глава 3 -[122, 110], глава 4 - [117, 118], глава 5 - [111, 109], глава 6 - [112, 115], глава 7 - [113, 114, 23, 24], глава 8 - [116], глава 9 (частично) - [111].

Научное и практическое значение

Результаты, представленные в диссертации, имеют практическое значение для разработок в области специализированных систем компьютерной алгебры; исследований устойчивости движения методами компьютерной алгебры; для исследований статистических свойств хаотического движения гамильтоновых динамических систем, в особенности свойств движения у границы хаоса в хаотическом слое около сепаратрисы нелинейного резонанса. Разработанные автором сепаратрисные алгоритмические отображения имеют большое поле приложений не только в задачах небесной механики, но также и во многих прикладных задачах физики - везде, где рассматривается хаотическое движение в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса. Благодарности

Часть исследований, нашедших отражение в диссертации, проведена автором в сотрудничестве с Н. Н. Васильевым, А. В. Мельниковым, А. Г. Сокольским, Д. А. Сушко, Н. А. Сушко, Г. Шоллом. Всем им автор выражает глубокую благодарность за плодотворное сотрудничество.

Автор искренне благодарен В. А. Антонову, Н. Н. Васильеву, Т. В. Ивановой, С. Р. Каримову, А. В. Мельникову, А. Г. Сокольскому Д. А. Сушко, Н. А. Сушко и Г. Шоллу за многочисленные научные обсуждения, С. Ферраз-Мелло за обсуждение ряда своих статей по электронной почте и в личном общении. Автор глубоко признателен В. К. Абала-кину за внимание к работе.

Большая часть исследований, результаты которых представлены в диссертации, проводилась под глубоким влиянием идей Б. В. Чирикова. Автор выражает исключительную признательность Б. В. Чирикову за обсуждения и советы.

Автор с благодарностью отмечает, что его исследования, результаты которых представлены в настоящей диссертации, были частично поддержаны в рамках ряда грантов. Автор получил поддержку: по индивидуальному гранту Американского астрономического общества N 717000, 1993 г.; в качестве руководителя коллективных проектов: по гранту Российского фонда фундаментальных исследований «Алгоритмизация методов небесной механики в системах компьютерной алгебры» 97-01-01176-а, 1997-98 гг., по гранту Государственной научно-технической программы «Астрономия» «Специализированные программные комплексы и системы для аналитических вычислений в небесной механике» 1.7.1.2, 1997-99 гг.; в качестве исполнителя в коллективных проектах: по гранту СМЯЗ/РАН (Франция-Россия) «Моделирование хаотических орбит малых тел Солнечной системы на ЭВМ» 3.10 ББи, 1994-97 гг., по гранту РФФИ «Исследование условий перехода к хаосу в системах небесной механики и звездной динамики» 95-02-05301-а, 1995-96 гг., по гранту РФФИ «Каталогизация интегрируемых гамильтоновых систем классической небесной механики» 96-01-00572-а, 1996-97 гг., по гранту РФФИ «Наблюдения и теоретический анализ вращательной динамики естественных спутников планет» 99-02-16814-а, 1999-2000 гг., по гранту ГНТП «Астрономия» «Резонансы в поступательно-вращательном движении небесных тел» 1.7.4.4, 1997-99 гг.

9.5 Выводы

В настоящей главе выведена процедура синхронизации сепаратрисно-го алгоритмического отображения (CAO), описывающего движение в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса при наличии асимметричного возмущения [113, 116], к единой поверхности сечения исходной гамильтоновой системы. Эта процедура справедлива и для частного случая симметричного возмущения, то есть для обычного СО. Принятый выбор поверхности сечения дает полное описание фазового пространства движения около сепаратрисы. Найдено, что в пределе высокой частоты возмущения главный хаотический слой подвержен сильному изгибанию: при движении в окрестности сепаратрисы амплитуда отклонений по энергии относительно невозмущенного сепаратрисного значения превосходит ширину слоя (их отношение стремится к бесконечности при A +оо). Однако сравнение с результатами прямого численного интегрирования показывает, что синхронизированное CAO обеспечивает (как при высоких, так и при низких частотах возмущения) правильное представление фазового портрета движения вблизи сепаратрисы, если амплитуда возмущения достаточно мала.

Заключение

Сформулируем основные результаты диссертационной работы.

Предложены алгоритмы и разработаны программы, которые позволяют осуществлять на ЭВМ громоздкие аналитические процедуры, связанные с нормализацией автономных гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений в окрестности точки равновесия. Разработаны специализированные программные комплексы «Норма» и «НФ», предназначенные для нормализации автономных гамильтоновых систем на ЭВМ в аналитическом виде. Разработанные алгоритмы и программы обеспечивают максимально возможную экономию памяти ЭВМ.

Составлен каталог нормальных форм гамильтониана, описывающего движение в окрестности гиперболоидальной прецессии динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Анализ форм из этого каталога позволил сделать выводы о характере роста аналитической сложности коэффициентов нормальных форм с порядком нормализации. Показано, что этот рост в случае резонансных членов является линейным.

Проведено аналитическое исследование орбитальной устойчивости малых периодических движений в окрестности гиперболоидальной прецессии динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Показано, что малые периодические движения 1-го типа в окрестности гиперболоидальной прецессии орбитально устойчивы для всех возможных нерезонансных значений инерционных параметров внутри области существования гиперболоидальной прецессии, кроме, возможно, одной точки, для которой необходимо исследование разложения гамильтониана более высокого порядка.

Применение специализированного программного комплекса «Норма», систем аналитических вычислений РЕДЬЮС и МЕИПЛ в случае цилиндрической прецессии позволило получить нормальные формы до включительно 4-го порядка разложения гамильтониана по координатам и импульсам относительно положения равновесия. В частности, вычислена нерезонансная нормальная форма 4-го порядка.

С помощью комплекса «Норма» путем нормализации исходной га-мильтоновой системы получено приближенное аналитическое решение задачи о движении несимметричного спутника относительно его центра масс в окрестности относительного равновесия на круговой орбите. Изучена зависимость погрешности аналитического решения от времени. Показано, что максимумы отклонений полученного аналитического решения от точного численного имеют линейную зависимость от времени и не превосходят теоретической оценки, обусловленной различием между истинными частотами системы и их аппроксимацией в нормализованной системе.

Разработан метод численного вывода аналитических выражений. Основное преимущество использования данного метода по сравнению с прямым символьным вычислением состоит в значительной экономии памяти ЭВМ. Это преимущество в экономии памяти преобразуемо в увеличение скорости вычисления, поскольку алгоритмы численного вывода аналитических выражений естественным образом параллелизуемы.

Алгоритмы численного вывода аналитических выражений реализованы в компьютерно-алгебраических программах. Эти программы представляют собой надстройку для специализированного программного комплекса «Норма». С их помощью можно решать задачи нормализации высокого уровня аналитической сложности. Методом численного вывода получена одна из наиболее сложных резонансных нормальных форм гамильтониана, описывающего движение в окрестности гиперболоидаль-ной прецессии динамически-симметричного спутника на круговой орбите. Техника численного вывода обеспечивает значительную экономию, порядка 30 раз в данном приложении, памяти ЭВМ.

В рамках плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел

Солнце - Юпитер - астероид» проведен анализ статистических свойств перемежающихся орбит (хаотических орбит, демонстрирующих спорадические скачки эксцентриситета) астероидов в резонансе средних движений 3/1 с Юпитером. Показано, что эти свойства на больших временных шкалах определяются влиянием границы хаоса в разделенном фазовом пространстве. Получена функция распределения временных интервалов между скачками эксцентриситета. Хвост наблюдаемого распределения описывается степенным законом. Значения показателя степенного закона для интегрального распределения лежат в пределах от —2 до —1. Показано, что интервалы малой продолжительности между скачками эксцентриситета подчиняются «обычному» пуассоновскому распределению, «Аномальное» поведение в хвосте объяснено феноменом прилипания хаотических орбит к границе области хаоса в фазовом пространстве.

Для случая движения в хаотическом слое в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса выведено условие, при котором становятся возможными спорадические скачки (резкие изменения) относительной энергии движения. Условие для данного эффекта гамильтоновой перемежаемости представляет собой условие существования маргинального резонанса, то есть резонанса, расположенного у границы хаотического слоя. Выведенное условие перемежаемости применено для прояснения природы скачков эксцентриситета хаотического движения астероидов в соизмеримости средних движений 3/1 с Юпитером. При помощи этого условия предсказан и затем выявлен в численных экспериментах новый перемежающийся режим резонансного движения астероидов в данной соизмеримости.

Для перемежающихся орбит астероидов в резонансе средних движений 3/1 с Юпитером построены спектры чисел вращения, визуализирующие резонансную структуру хаотического движения. Вычисление орбит проведено в рамках плоской эллиптической ограниченной задачи трех тел «Солнце - Юпитер - астероид». Главной особенностью спектров является пик, возникающий благодаря эффекту прилипания траекторий к границе хаотического слоя. Показано, что эта особенность естественным образом аппроксимируется спектром сепаратрисного отображения с определенными значениями его двух параметров.

Предложены два метода численного определения параметров сепаратрисного отображения (СО) для хаотических перемежающихся орбит астероидов. Первый основан на вычислении критического числа вращения и критического эллиптического модуля для движения вблизи сепаратрисы. Второй состоит в моделировании спектра чисел вращения, наблюдаемого для хаотической орбиты астероида, спектром, построенным для СО. Аппроксимация СО справедлива для описания движения в течение длительных интервалов между скачками эксцентриситета, когда траектория «прилипает» к низкоэксцентриситетной границе хаотического слоя.

Исследована статистическая зависимость между Тг, временем возврата Пуанкаре, и Т^, локальным ляпуновским временем (величиной, обратной максимальному характеристическому показателю Ляпунова (МХПЛ),-измеряемому в реальных вычислительных экспериментах), для случая движения в хаотическом слое в окрестности сепаратрисы нелинейного резонанса. Найдено, что при условии измерения показателей Ляпунова на ограниченном интервале времени не больше Тг теоретическая зависимость является квадратичной. Этот вывод объясняет экспериментальные численные результаты, полученные в ряде работ по исследованию хаотической динамики малых тел Солнечной системы [124, 90, 91, 102, 68].

Показано, что вид зависимости «Г/, - Тг» в большой мере определяется эффектами селекции. Главные из них следующие: ограничения на время вычисления МХПЛ, концентрация статистических данных на короткой шкале времени, прореженность статистических данных.

Исследована устойчивость различных режимов вращательного движения несимметричного спутника на эллиптической орбите, именно устойчивость этих режимов относительно наклона оси вращения. Предложен статистический метод для разделения плоских вращений несимметричного спутника на эллиптической орбите на устойчивые и неустойчивые относительно наклона оси вращения. Основной идеей метода является получение порогового критерия для данного разделения из анализа модальной структуры распределения значений максимального характеристического показателя Ляпунова (МХПЛ).

Сепаратрисное отображение (СО) в форме Б. В. Чирикова [46, 58], описывающее движение вблизи сепаратрисы нелинейного резонанса, обобщено на случай асимметричного возмущения. Новое отображение представляет собой алгоритм, содержащий инструкции условного перехода. Введение этого сепаратрисного алгоритмического отображения (CAO) значительно расширяет поле приложений СО.

Выведен алгоритм регулярной проекции (АРП), позволяющий с помощью CAO строить сечения фазового пространства в их общепринятом определении, наиболее, часто используемом в численных экспериментах в прикладных задачах. Это позволяет сравнивать фазовые портреты CAO с сечениями, полученными для сложных динамических систем, движение которых моделируется CAO.

CAO и АРП применены к задаче о плоской вращательной динамике несимметричного спутника на эллиптической орбите. Движение в окрестности сепаратрисы синхронного спин-орбитального резонанса сведено к CAO. Эта; окрестность на самом деле совсем не мала. Обычно она достаточно велика, чтобы охватить наиболее важные резонансы помимо синхронного. Показано, что CAO и АРП дают фазовые портреты движения, находящиеся в близком согласии с известными сечениями, полученными Уиздомом и др. [138], Уиздомом [136], Гоздзиевским [74] и другими исследователями посредством численного интегрирования уравнений вращательного движения несимметричного спутника. Применение CAO и АРП дает преимущество в сотни раз в скорости вычислений.

CAO обобщено также на случай резонанса с наведенным удвоением периода фазового пространства по резонансной фазе. Полученное бире-зонансное CAO представляет собой алгоритм, содержащий инструкции условного перехода.

Бирезонансное CAO применено для описания движения в окрестности сепаратрисы конкретного орбитального резонанса, а именно г2-резонанса.

Проведено моделирование с помощью CAO движения около сепаратрисы данного резонанса в долговременной орбитальной эволюции Миранды и Умбриэля, спутников Урана. Выведенное бирезонансное CAO вместе с АРП воспроизводит фазовые портреты движения в окрестности сепаратрисы в близком согласии с результатами прямого численного интегрирования.

Выведена аналитическая процедура синхронизации CAO (процедура приведения CAO к единой поверхности сечения исходной гамильтоно-вой системы). Обнаружено, что в случае А 1 (где À есть отношение частоты возмущения к частоте малых фазовых колебаний на резонансе), то есть в высокочастотном пределе возмущения, хаотический слой подвержен сильному изгибанию в том смысле, что при движении в слое амплитуда отклонений по энергии относительно невозмущенного сепара-трисного значения превосходит ширину слоя; их отношение стремится к бесконечности при А —> +оо. Однако сравнение с результатами прямого численного интегрирования показывает, что синхронизированное CAO обеспечивает, как при высоких, так и при низких частотах возмущения, правильное представление фазового портрета движения вблизи сепаратрисы, если амплитуда возмущения достаточно мала.

1. Абрамовиц М., Стиган И. (ред.) Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и таблицами. М.: Наука, 1979. 832 с.

2. Адрианова Л. Я. Введение в теорию линейных систем дифференциальных уравнений. С.-Петербург: Изд-во СПбГУ, 1992. 240 с.

3. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989. 472 с.

4. Бардин Б. С., Маркеев А. П. Об устойчивости равновесия маятника при вертикальных колебаниях точки подвеса // ПММ. 1995. Т. 59. Вып. 6. С. 922-929.

5. Бейтмен ГЭрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. (В 2-х томах.) Том 1. Преобразования Фурье, Лапласа, Меллина. М.: Наука, 1969. 344 с.

6. Беликов С. Л. Устойчивость равномерных вращений гиростата вокруг вертикальной главной оси на абсолютно гладкой горизонтальной поверхности // ПММ. 1986. Т. 50. Вып. 1. С. 73-82.

7. Берже П., Помо И., Видалъ К. Порядок в хаосе. О детерминистском подходе к турбулентности. М.: Мир, 1991. 368 с.

8. Белецкий В. В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965. 416 с.

9. Белецкий В. В. Движение спутника относительно центра масс в гравитационном поле. М.: МГУ, 1975. 308 с.

10. Вашковъяк С. Н. Система Марса // Динамика спутников планет. Итоги науки и техники. Т. 35. Исследование космического пространства. М.: ВИНИТИ, 1991.

11. Веретенников В. Г. (ред.) Теоретическая механика. Вывод и анализ уравнений движения на ЭВМ. М.: Высшая школа, 1990. 174 с.

12. Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.: Наука, 1965. 172 с.

13. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576 с.

14. Градштейн И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Фйзматгиз, 1962. 1100 с.

15. Заславский Г. М., Сагдеев Р. 3., Усиков Д. А., Черников А. А. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991. 240 с.

16. Климов Д. М., Руденко В. М. Методы компьютерной алгебры в задачах механики. М.: Наука, 1989. 215 с.

17. Маркеев А. П. Об устойчивости канонической системы с двумя степенями свободы при наличии резонанса // ПММ. 1968. Т. 32. Вып. 4. С. 738-744.

18. Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодина-мике. М.: Наука, 1978. 312 с.

19. Маркеев А. П. Теоретическая механика. М.: Наука, 1990. 416 с.

20. Маркеев А. П., Медведев С. В., Сокольский А. Г. Методы и алгоритмы нормализации дифференциальных уравнений. М.: Издательство МАИ, 1985. 74 с.

21. Маркеев А. П., Сокольский А. Г. К задаче об устойчивости относительного равновесия спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 1975. Т. 13. Вып. 2. С. 139-146.

22. Маркеев А. П., Сокольский А. Г. Некоторые вычислительные алгоритмы нормализации гамильтоновых систем. Препринт N 31. М.: ИПМ АН СССР, 1976. 61 с.

23. Мельников А. В., Шевченко И. И. Вращательная динамика несимметричных естественных спутников. Препринт N 69. С.-Петербург: ИТА РАН, 1997. 52 с.

24. Мельников А. В., Шевченко И. И. Об устойчивости вращательного движения несферических естественных спутников относительно наклона оси вращения // Астрономический вестник. 1998. Т. 32. N 6. С. 548-559.

25. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973. 167 с.

26. Нейштадт А. И. Скачки адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису и происхождении люка Кирквуда 3:1 // Докл. АН СССР. 1987. Т. 295. N 1. С. 47-50.

27. Сокольский А. Г. Исследование устойчивости стационарных, периодических и условно-периодических решений гамильтоновых систем в некоторых задачах небесной механики. Дис. . д-ра физ.-мат. наук. М.: МАИ, 1981.

28. Сокольский А. Г. (ред.) Методы аналитических преобразований в системе виртуальных машин ЕС ЭВМ для задач динамики ЛА. М.: Издательство МАИ, 1988. 58 с.

29. Сокольский А. Г., Хованский С. А. Периодические движения, близкие гиперболоидальной прецессии симметричного спутника на круговой орбите // Космич. исслед. 1979. Т. 17. Вып. 2. С. 208-217.

30. Сокольский А. ГШевченко И. И. Нелинейная нормализация автономных гамильтоновых систем на ЭВМ в аналитическом виде. Препринт N 8. Ленинград: ИТА АН СССР, 1990. 51 с.

31. Сокольский А. Г., Шевченко И. И. О нормализации автономных гамильтоновых систем на ЭВМ в аналитическом виде. Препринт N 14. С.-Петербург: ИТА АН СССР, 1991. 72 с.

32. Сокольский А. Г., Шевченко И. И. Построение нормальных форм в исследованиях гиперболоидальной прецессии симметричного спутника. Препринт N 28. С.-Петербург: ИТА РАН, 1992. 35 с.

33. Сокольский А. Г., Шевченко И. И. Нормализация гамильтоновых систем на ЭВМ в аналитическом виде / / Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. Т. 33. N 8. С. 1201— 1208.

34. Сушко Д. А., Шевченко И. И. Либрации несимметричного спутника относительно центра масс на круговой орбите // Космич. исслед. 1996. Т. 34. N 3. С. 300-311.

35. Теннант-Смит Дж. Бейсик для статистиков. М.: Мир, 1988. 208 с.

36. Уилкинсон Дж., Райнш К. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М.: Машиностроение, 1976. 389 с.

37. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990. 512 с.

38. Хованский С. А. Периодические движения спутника на круговой орбите. Дис. . канд. физ.-мат. наук. М.: МАИ, 1984. 183 с.

39. Холшевников К. В. Асимптотические методы небесной механики. Л.: Издательство ЛГУ, 1985. 208 с.

40. Чириков Б. В. Нелинейный резонанс. Новосибирск: Издательство НГУ, 1977. 82 с.

41. Чириков Б. В. Взаимодействие нелинейных резонансов. Новосибирск: Издательство НГУ, 1978. 80 с.

42. Чириков Б. В. Аномальная диффузия в микротроне и критическая структура на границе хаоса // ЖЭТФ. 1996. Т. 110. Вып. 4. С. 1174-1185.

43. Чириков Б. В., Шепелянский Д. JI. Статистика возвратов Пуанкаре и структура стохастического слоя нелинейного резонанса. Препринт N 81-69. Новосибирск: Институт ядерной физики, 1981. 16 с.

44. Чириков Б. В., Шепелянский Д. Л. Граница хаоса и статистические аномалии. Препринт N 86-174. Новосибирск: Институт ядерной физики, 1986. 30 с.

45. Abdullaev S. S.} Zaslavsky G. M. Self-similarity of stochastic magnetic field lines near the X-point // Phys. Plasmas. 1995. V. 2. No. 12. P. 4533-4541.

46. Abdullaev S. S., Zaslavsky G. M. Application of the separatrix map to study perturbed magnetic field line near the separatrix // Phys. Plasmas. 1996. V. 3. No. 2. P. 516-528.

47. Ahn Т., Kim G., Kim S. Analysis of the separatrix map in Hamiltonian systems // Physica D. 1995. V. 89. P. 315-328.

48. Black G. J., Nicholson P. D., Thomas P. C. Hyperion: rotational dynamics // Icarus. 1995. V. 117. No. 1. P. 149-161.

49. Burns J. A., Safronov V. S. Asteroid nutation angles // Monthly Notices Roy. Astron. Soc. 1973. V. 165. P. 403-411.

50. Celletti A. Analysis of resonances in the spin-orbit problem in celestial mechanics: the synchronous resonance. I // Z. Angew. Math. Phys. 1990. V. 41. No. 2. P. 174-204.

51. Char B. W., Geddes K. 0., Gonnet G. H., Leong B. L., Monagan M. B., Watt S. M. Maple V Library reference manual. New York: Springer, 1993.

52. Chirikov B. V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Physics Reports. 1979. V. 52. No. 5. P. 263-379.

53. Chirikov B. V. Chaotic dynamics in Hamiltonian systems with divided phase space // Lecture Notes in Physics. 1983. V. 179. P. 29-46.

54. Chirikov B. V. Patterns in chaos. Preprint N 90-109. Novosibirsk: Institute of Nuclear Physics, 1990. 40 p.

55. Chirikov B. V. Patterns in chaos // Chaos, Solitons and Fractals. 1991. V. 1. P. 79.

56. Chirikov B. V., Shepelyansky D. L. Correlation properties of dynamical chaos in Hamiltonian systems // Physica D. 1984. V. 13. No. 3. P. 395400.

57. Deprit A. Canonical transformations depending on a small parameter // Celest. Mech. 1969. V. 1. No. 1. P. 12-30.

58. Escande D. F. Stochasticity in classical Hamiltonian systems: universal aspects // Phys. Reports. 1985. V. 121. Nos. 3 & 4. P. 165-261.

59. Escande D. F., Doveil F. Renormalization method for computing the threshold of the large-scale stochastic instability in two degrees of freedom Hamiltonian systems //J. Stat. Phys. 1981. V. 26. No. 2. P. 257-284.

60. Farinella P., Froeschle Ch., Froeschle C., Gonczi R., Hahn G., Morbidelli A., Valsecchi G. B. Asteroids falling into the Sun // Nature. 1994. V. 371. No. 6495. P. 314-317.

61. Ferraz-Mello S. Kirkwood gaps and resonant groups // Asteroids, comets, meteors 1993 / Ed. by Milani A., Di Martino M., Cellino A. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1994. P. 175-188.

62. Ferraz-Mello S. A symplectic mapping approach to the study of the stochasticity in asteroidal resonances // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1997. V. 65. No. 4. P. 421-437.

63. Ferraz-Mello SDvorak R. Chaos and secular variations of planar orbits in 2:1 resonance with Dione // Astron. Astrophys. 1987. V. 179. No. 1/2. P. 304-310.

64. Froeschle Ch., Hahn G.} Gonczi R., Morbidelli A., Farinella P. Secular resonances and the dynamics of Mars-crossing and near-Earth asteroids // Icarus. 1995. V. 117. No. 1. P. 45-61.

65. Froeschle C., Scholl H. A qualitative comparison between the circular and elliptic Sun-Jupiter-asteroid problem at commensurabilities // Astron. Astrophys. 1977. V. 57. P. 33-39.

66. Geddes K. 0., Czapor S.R., Labahn G. Algorithms for computer algebra. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992.

67. Gozdziewski K. Rotational dynamics of Janus and Epimetheus // Dynamics and astrometry of natural and artificial celestial bodies / Ed. by Wytrzyszczak I. M. et al. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1997. P. 269-274.

68. Gozdziewski K., Maciejewski A. J. System for normalization of a Hamiltonian function based on Lie series // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1990. V. 49. No. 1. P. 1-10.

69. Gozdziewski K., Maciejewski A. J. On the gravitational fields of Pandora and Prometheus // Earth, Moon and Planets. 1995. V. 69. No. 1. P. 25-50.

70. Greene G. M. Two-dimensional measure-preserving mappings // J. Math. Phys. 1968. V. 9. N 5. P. 760-768.

71. Greene G. M. A method for determining a stochastic transition // J. Math. Phys. 1979. V. 20. N 6. P. 1183-1201.

72. H earn A. C. REDUCE user's manual. Stanford, California: Inst, of theoretical physics, 1985. 53 p.

73. Henrard JCaranicolas N. D. Motion near the 3/1 resonance of the planar elliptic restricted three body problem // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1990. V. 47. No. 2. P. 99-121.

74. Henrard Moons M. Capture probabilities for secondary resonances // Icarus. 1992. V. 95. No. 2. P. 244-252.

75. Henrard J., Moons M., Morbidelli A. Chaotic layers in resonance problems // Chaos, resonance and collective dynamical phenomena in the Solar system / Ed. by Ferraz-Mello S. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1992. P. 189-207.

76. Holmes P., Marsden JScheurle J. Exponentially small splittings of séparatrices with applications to KAM theory and degenerate bifurcations // Contemporary Mathematics. 1988. V. 81. P. 213-244.

77. Hori G. I. Theory of general perturbations with unspecified canonical variables // Journ. of Japan Astron. Soc. 1966. V. 18. No. 4. P. 287-296.

78. Horita T., Hata H., Ishizaki R., Mori H. Long-time correlations and expansion-rate spectra of chaos in Hamiltonian syatems // Prog. Theor. Phys. 1990. V. 83. No. 6. P. 1065-1070.

79. Jeon D., Bai M., Chu C. M., Rang X., Lee S. Y., Riabko A., Zhao X. Role of parametric resonance in global chaos // Phys. Rev. E. 1996. V. 54. P. 4192-4201.

80. Karney C. F. F. Long-time correlations in the stochastic regime // Physica D. 1983. V. 8. P. 360-380.

81. Klavetter J. J. Rotation of Hyperion. I. Observations // Astron. J.1989. V. 97. No. 2. P. 570-579.

82. Klavetter J. J. Rotation of Hyperion. II. Dynamics // Astron. J. 1989. V. 98. No. 5. P. 1855-1874.

83. Lecar M., Franklin F., Murison M. On predicting long-term orbital instability: a relation between the Lyapunov time and sudden orbital transitions // Astron. J. 1992. V. 104. No. 3. P. 1230-1236.

84. Levison H. F., Duncan M. J. The gravitational sculpting of the Kuiper belt // Astrophys. J. Letters. 1993. V. 406. No. 1. P. L35-L38.

85. Lichtenberg A. J., Lieberman M. A. Regular and chaotic dynamics. New York: Springer, 1992. 670 p. (Имеется русский перевод 1-го издания: Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. 528 с.)

86. Maciejewski A. J. Ruch obrotowy bruly sztywnej umieszczonej w punkcie libracyjnym ograniczonego zagadnienia trzech cial. Praca doktorska. Torun, 1987. 144 p.

87. Maciejewski A. J., Gozdziewski K. Normalization algorithms of Hamil-tonian near an equilibrium point // Astrophys. and Space Sci. 1991. V. 179. No. 1. P. 1-11.

88. Malhotra R. Capture probabilities for secondary resonances // Icarus.1990. V. 87. P. 249-264.

89. Malhotra R. Nonlinear resonances in the solar system // Physica D. 1994. V. 77. Nos. 1-3. P. 289-304.

90. Malhotra R., Dermott S. F. The role of secondary resonances in the orbital history of Miranda // Icarus. 1990. V. 85. No. 2. P. 444-480.

91. Mersman W. A. A new algorithm for the Lie transformation // Celest. Mech. 1970. V. 3. No. 1. P. 81-89.

92. Milani A., Nobili A. An example of stable chaos in the solar system // Nature. 1992. V. 357. No. 6379. P. 569-571.

93. Moons M., Henrard J. Surfaces of section in the Miranda-Umbriel 1:3 inclination problem // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1994. V. 59. No. 2. P. 129-148.

94. Morbidelli A., Froeschle C. On the relationship between Lyapunov times and macroscopic instability times // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1996. V. 63. No. 2. P. 227-239.

95. Murison M. A., Lecar M., Franklin F. A. Chaotic motion in the outer asteroid belt and its relation to the age of the solar system // Astron. J. 1994. V. 108. No. 6. P. 2323-2329.

96. Murray C. D., Fox K. Structure of the 3/1 Jovian resonance: a comparison of numerical methods // Icarus. 1984. V. 59. No. 2. P. 221233.

97. Murray N. W. Critical function for the standard map // Physica D. 1991. V. 52. Nos. 2 & 3. P. 220-245.

98. Paladin G., Vulpiani A. Anomalous scaling laws in multifractal objects // Phys. Reports. 1987. V. 156. No. 4. P. 147-225.

99. Peale S. J. Rotation histories of the natural satellites // Planetary satellites / Ed. Burns J. A. Tucson: Univ. of Arizona Press, 1977. P. 87112.

100. Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transition to turbulence in dissipative dynamical systems // Communications in Mathematical Physics. 1980. V. 74. No. 2. P. 189-197.

101. Schubart J. Long period effects in nearly commensurable cases of the restricted three-body problem // Special Report No. 149. Cambridge, Massachusetts: Smithsonian Astrophysical Observatory, 1964. 22 p.

102. Shevchenko I. I. Spectra of winding numbers of chaotic asteroidal motion // Chaos in gravitational N-body systems / Ed. by Muzzio J.C., Ferraz-Mello S., Henrard J. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. P. 311-314.

103. Shevchenko I. I. Numeric deduction in symbolic computation. Application to normalizing transformations // Journal of Symbolic Computation. 1997. V. 24. No. 1. P. 103-111.

104. Shevchenko I. I. Marginal resonances and intermittent behaviour in the motion in the vicinity of a separatrix // Physica Scripta. 1998. V. 57. No. 2. P. 185-191.

105. Shevchenko I. I. On the recurrence and Lyapunov time scales of the motion near the chaos border // Physics Letters A. 1998. V. 241. Nos. 1 k 2. P. 53-60.

106. Shevchenko I. I. The separatrix algorithmic map: Application to the spin-orbit motion // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1999. V. 73. Nos. 1-4. P. 259-268.

107. Shevchenko I. I. The separatrix algorithmic map: Application to the spin-orbit motion // Impact of modern dynamics in astronomy / Ed. by Henrard J., Ferraz-Mello S. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. P. 259-268.

108. Shevchenko I. I. On the critical phenomena in the dynamics of asteroids // Impact of modern dynamics in astronomy / Ed. by Henrard J., Ferraz-Mello S. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1999. P. 383386.

109. Shevchenko I. I. Orbital resonances and the separatrix algorithmic map // The chaotic Universe / Ed. by Gurzadyan V. G., Ruffini R. London: World Scientific, 2000. P. 599-608.

110. Shevchenko I. I., Scholl H. Intermittent trajectories in the 3/1 Jovian resonance // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1997. V. 68. No. 2. P. 163-175.

111. Shevchenko I. I., Sokolsky A. G. Algorithms for normalization of Hamil-tonian systems by means of computer algebra // Computer Physics Communications. 1993. V. 77. No. 1. P. 11-18.

112. Shevchenko I. I., Sokolsky A. G. Hyperboloidal precession of a dynamically symmetric satellite. Construction of normal forms of the Hamiltonian // Celest. Mech. Dyn. Astron. 1995. V. 62. No. 4. P. 289304.

113. Shevchenko I. I., Vasiliev N. N. Algorithms of numeric deduction of analytical expressions // SIGSAM Bulletin. 1993. V. 27. No. 1. P. 1-3.

114. Smith B. A., Soderblom L., Batson R. et al. A new look at the Saturn system: The Voyager 2 images // Science. 1982. V. 215. No. 4532. P. 504-537.

115. Soper M., Franclin F., Lecar M. On the original distribution of asteroids. III. Orbits between Jupiter and Saturn // Icarus. 1990. V. 87. No. 2. P. 265-284.

116. Steinberg S. Lie series, Lie transformations and their applications // Lie Methods in Optics / Ed. by Sachez Mondragon J., Wolf K. B. Berlin: Springer, 1985. P. 45-103.

117. Tandon G. K. Coordinate transformations // Spacecraft attitude determination and control / Ed. Wertz J. R. Dordrecht: D. Reidel, 1978. Astrophysics and Space Science Library. V. 73.] P. 761-765.

118. Thomas P. C., Black G. J., Nicholson P. D. Hyperion: rotation, shape and geology from Voyager images // Icarus. 1995. V. 117. No. 1. P. 128— 148.

119. Tittemore W. C., Wisdom J. Tidal evolution of the Uranian satellites. II. An explanation of the anomalously high orbital inclination of Miranda // Icarus. 1989. V. 78. No. 1. P. 63-89.

120. Veerman P., Holmes P. Resonance bands in a two degree of freedom Hamiltonian system // Physica D. 1986. V. 20. Nos. 2 & 3. P. 413-422.

121. Winter 0. C., Murray C. D. The Liapunov exponent as a tool for exploring phase space // Chaos in gravitational N-body systems / Ed. Muzzio J. C. et al. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. P. 215-219.

122. Wisdom J. The origin of the Kirkwood gaps: a mapping for asteroidal motion near the 3/1 commensurability // Astron. J. 1982. V. 87. P. 577593.

123. Wisdom J. Chaotic behavior and the origin of the 3/1 Kirkwood gap // Icarus. 1983. V. 56. No. 1. P. 51-74.

124. Wisdom J. A perturbative treatment of motion near the 3/1 commensurability // Icarus. 1985. V. 63. No. 2. P. 272-289.

125. Wisdom J. Meteorites may follow a chaotic route to Earth // Nature. 1985. V. 315. No. 6022. P. 731-733.

126. Wisdom J. Rotational dynamics of irregularly shaped natural satellites // Astron. J. 1987. V. 94. No. 5. R 1350-1360.

127. Wisdom J. Urey Prize Lecture: Chaotic dynamics in the solar system // Icarus. 1987. V. 72. No. 2. P. 241-275.

128. Wisdom J., Peale S. J., Mignard F. The chaotic rotation of Hyperion // Icarus. 1984. V. 58. No. 2. P. 137-152.

129. Zaslavsky G. M., Abdullaev S. S. Scaling properties and anomalous transport of particles inside the stochastic layer // Phys. Rev. E. 1995. V. 51. No. 5. P. 3901-3910.