Исследование обобщенных полевых операторов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РГБ и»

- з мм

НАЦЮНАЛЬНА АКАДЕМ1Я НАУК УКРА1НИ 1НСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

На правах рукопнсу

ЛШШСЬКИИ Володнмнр Олексанлрович

ДОСА1ДЖЕННЯ УЗАГАЛЬНЕНИХ ПОЛЬОВИХ ОПЕРАТОР1В

01.01.01 - математнчннн анализ

Автореферат дисертацп на здобутгя паукового ступени кандидата ф1знк0-математичних паук

Ки'|в • 1995

Дисертац^ею е рукопис Робота виконана в 1нституп математики HAH Укра'ши

Науковин кер!вник:

академ1к HAH Укра'ши, доктор фшико-математичних наук

БЕРЕЗАНСЬКИЙ Ю. М.

Офщшн! опоненти:

доктор ф1анко-математичних наук

ГОРБАЧУК М. Л.

кандидат фшико-математичних наук

КОНСТАНТИНОВ о. ю.

Пров1Дна оргашзашя:

Кшвський полггехшчний шститут, м. Ки'ш

Захист в!дбудеться 23 травня 1995 року о 15 годин! на зас!данш спец1ал1зовано*1 вчено1 ради Д 01.66.01 при 1нститут! математики HAH Укра'ши за адресою:

252601 м. Khib-4, МСП, вул. Терещенмвська, 3.

3 дисертац1£ю можна ознайомитися в 6i6AioTeui шституту

Автореферат розгслано 2О 1995 р.

Вчеиий секретар спец1ал1зованоУ ради доктор фЬико-математичних наук

f ГУСАК Д. В.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуалыпсть теми. Широким колом досмднишв у галуз1 математично! фЬики велика увага прид1ляеться теорп польових оператор!в, яка е одшею з складових частиц фундаменту квантово! теорп. Останшм часом пстановлено эв'язок польовнх оператор1в з теор^ею узагальненнх функпш нескшчсшгого числа эмшних. Така теорш була эапропонована в 1973 рот Ю. М. Березанським 1 Ю.С. Самойленком [1] I базуеться на оснащенш нескшченного тензорного добутку г1льбертових простор1в, Пиш'ше, теля роботи Ю. Г. Кондратьева [2] ,

ШЛО ЛСТТП, ТТТО НЧ КПНС1руКЦШ 11иш Пип'я~"ГГЛ Я силши шуму, щи

з'явився в 1975 рощ гисля роботи Т. Х1ди [3] I почав розвнватнся в ннэш роб1т [4-9] (роботи [5-8] мютять досить повну б1блюграф1ю). За пропозишего Ю. М. Березанського в 1975 рош В. Д. Кошманенком та Ю. С. Самойленком [10] було доведено, що важдиве в анал1э1 б1лого шуму перетворення Огала е перетворенням Фур'е в1дносно роэкладу за узагальненими власними векторами омейства класичних польовнх оператор1в. Це дало эмогу узагальннти анал1з бь\ого шуму на шшадок негауссово! м!ри, використовуючи таким розклад для узагальненнх польових оператор1в. 1дея такого узагальнення була викладена Ю. М. Ьерезанським на 6-му радянсько-японському симпоз1ум1 з теорм ¡мов1рност1 1 маи-м.ггнчно! статистики (Кшв, 1991) 1 була роэвннута в роботах [11-15].

Мета роботи. Основною метою роботи е досмдження умов нормальности

((,]\кк пряженогп) п ¡потному дсяких класш оператор!в у скшчснних та нескшчениих тензорних добутках пльбертових н(ххлорш, зокрема оператор1в, що допускають розд!лення змншнх, внэначення за послщовшстю самоспряжених матриц!) Якоб> сЫейства узагальненнх польових оператор1в, дослщження властивостей амейстпа узагальненнх польовнх оиератор1в та побудова розкладу пього с1мейства за узагальненими власнимн векторами. Детально досл!джуються умови на посл1Допн1сть матриць Якоб!, за яких можна визначити узагальнеш

польов1 оператори, що мають ряд властивостей класимних польових оператор1в. На основ! цих досл1джень пропонуеться визначення узагальнених польових оператор1В, перев1ряються 1х властивоеп та будуеться розклад за узагальненими власними векторами с1мейства таких операторщ. Деям з умов, накладених визначенням узагальнених польових операторш на послвдовшсть матриць Якоб1, можуть бути витлумачем мовою мультиплжативносп певних клаав викирних многочлешв, тому в робст принапдно зясоваио загальш умови мультиплжативносп вим!рких многочлетв в гиьбертових просторах функцш нескшченного числа змшних ш ймов1ршсною продакт-м1рою.

Методи дослщження. В робоп застосовуються сучасш методи теори функцш нескшченного числа змшних, математично! фЬики та функционального аналЬу. Для побудови розкладу за узагальненими власними векторами сшейства узагальнених польових оператор1в та досмдження властивостей в1дпов1дно'{ спектрально! м1ри використовуеться розроблений Ю. М. Березанським математичний апарат розкладу за узагальненими власними векторами в оснащениях гиьбертових просторов амейств самоспряжених (нормалышх) операторов, що сильно комутують.

Основш результата, що виносяться на захист:

1. Умови нормальносп (самоспряженосп) в ¡стотному деяких клаав оператор1в у скшченних та нескшченних тензорних добутках гиьбертових простор! в.

2. Умови на послщовшсть матриць Якоб), за яких узагальнеш польов'| оператори насладують ряд властивостей класичних польових оператор1в.

3. Насладки розкладу за узагальненими власними векторами амейства узагальнених польових оператор!в.

4. Умови мультигшкативносп вим!рних многочлешв у пльбертовому простор: нескщченного числа змшних \з ймов1ршсною продакт-м!рою.

Наукона новизна. Отрнмаш результати дисертаци е новими i вперше

онубмконаш в роботах, персик як их наведено о к'шщ автореферату.

Практично значения. Дисертацшиа робота носить теоретичний характер. Ii результати можуть бути використаш для побудови теорИ узагальнених функшй нескшченпого числа змшних над пльбертовим простором з ймов1ршсною продакт-Mipoio. Умови нормальнос-ri (самоспряженост1) в ¡стотному деяких класш ОПГрЧТПр'" у гетичгнних ia llCuJll'iUüniX ТГТТТр!!!«» яппутках i'iMiGciULiiili;. iipocTopia можуть використовуватись для доведения нормалыюсп (самоспряженост1) в ¡стотному oneparopie, що виннкають у деяких задачах математичноГ ф|эики. Умови мультигшкативносп вим1рннх многочленов у пльбертовому простор1 нескшченного числа эмшних за ймовфшсною продакт-Mipoio можуть бути використаш для побудови" мультиплжативних ядерних огнащень пльбертового простору неоконченного числа змшних.

Аиробатя роботн. Основш результати роботи догювдались та обговорювались на семшарах воддиу функционального анал!зу 1нституту математики МАП Украши.

11убл1кацп. Основш результата дисертанн опублжопаш у 7 роботах, пере.мк яких наводи п>ся п Kiirni автореферату.

Структура та об'ем дисертацн. Дисерташя складаеться 13 вступу, трьох роздьчв, що мгстять 10 параграфов, та списку лотератури (50 назв). Об'ем

дисертапи 90 сторщок.

3MICT РОБОТИ

У встуш обгрунтована актуальшсть дисертацшно! теми та зроблено короткий огляд досмджень, що мають безпосередне вщношення до теми дисертаци, а також викладено основы! результата, що виносяться на эахист.

У першому роэдш дисертацп дооиджуються' умови нормальное™ (самоспряженосп) в ¡стотному деяких клаав операторов у емнченних та нескшчешшх добутках ггльбертових простор!в. Роздал складаеться з чотирьох параграф1в.

В §1 встановлюються загальш умови нормальносп в ¡стотному оператор1в у пльбертовому простор». Зокрема доводиться, що спектралышй штеграл не мае власних замкнених звужень, область визначення яких щиьна у пльбертовому простор! 1 витримуе дио розкладу одиницд для семейства вим^рних множим, що породжуе всю СТ-алгебру, на якш визначено роэклад одиниш. Доведеш в §1 твердження ¡стотно використовуються у наступних §§ роздиу.

§2 в циому також носить допом1жний характер. В ньому визначаеться поточкова границя рИгп Ап посл1довност1 оператор1в N3 п Н Лп, з'ясовуються »

П—>00

властивость Зокрема доводиться, що замиканням поточково! границ! посмдовносп нормальных оператор1в, що сильно комутують, е нормалышй оператор, спектральний ¡нтеграл за стльним для п]е7 пооидовносп оператор!в розкладом одиниць

В §3 доводиться нормальнгсть (самоспряжешсть) в ¡стотному деяких класю оператор1в у скшченному тензорному добутку пльбертовнх простор1В Н|®...®//„. А саме, оператор1в вигляду

т т

*=1 т->00*=1

де N9 к I—> — послщовшсть нормальних (самоспряжених) операторов, що

дцоть у пльбертовому простор! Н1 1 сильно комутують, 1 < I < п. Виразом ®а тут 1 дал1 позначено алгебраТчний тензорний добуток лшшних операторш.

Принапдно встановлюються зручш формули операторного числения у скшченному тензорному добутку пльбертових простор1в:

Г т Г С« V

\*=1

Чк=1

I к а ' а п(г

Ук=1

V *г=1 у

V / п> Л

и=1

V Ь = 1 /

р]1Ш

и=1

РНт £ А1к ®„... ®в Апк = рНт £ /1ц ®0 •.. ®а /С

4=1

р|!т £Л*Ь ®а...®„/С

ч~\

р11ГТ1

т—

У

Кр1м того, в §3 даеться внаначення сп1льно1 ¡стотно! облает! скшченного набору нормальних оператор1в, що сильно комутують, 1 доводиться нормалыпеть (самогпряженк.т!)) и ¡стотному деяких зпужень зазначених оператор1в.

В §4 доводиться нормалыпеть (самоспряжешсть) в ¡стотному деяких

кл.к »1 < тг/кпор'т у негкшченному стабьмзопаному тензорному добутку гтльбертових простор1в (X) Нп. А саме, оператор!п вигляду

п=1;е

р1ип Л, ®а...®аАп ®а /„. £р1нпД,

К 4,1. К

а пи а гг

*=г

РНш ^ рИт А^

5 А . ® / ,

(

де N3 к 1-» Апк — посмдовшсть нормальних оператор1в, що двоть у простор! Нп 1 сильно комутують, пeN.

Встаиовлюютъся формули операторного числення в нескшченному стабшзованому тензорному добутку гиьбертових простор1в:

ГР1т/11®а...®аД1®а^) = (рВтЛ,®...®Д,®/я>) ,

V п—>00 J Уп—>20 /

( гп \ ( т / ч ~ Л

£рПт Ап ®л... ®0Апк ®а /„ = ¿ГрЬт А1к®...®Ал®1п)

\ Г

2рйт А[к ®,... ®. Апк ®а1п = £РНт А1 ®а...®а А*пк ®а /„

У ЧЬ=1'

( т 1 т / X Р1™ • • • Кк ®а К = £ ^Ц ®- • • ®/С ® '„

/ _ \

Ч*=Г

р1ш> £р1ш> Лц ®„ /„

т—>оо п—

РПт ¿Грит^®...®/!^®/^

т

р1т X р11т Ап ®.... ®. Д,*, ®„ Л,

т—>оо п—>ао

= р11т £ р1«п А*к ®а...®а л; ®„ /п

1 т—>® п—>00 т

рИш р1>т /1ц ®„... ®„ Л** 4

т—>оо п—>со

РНшI ¿ГрЬт^®...®/^ ® /„1

т-»оо1 \п-»<*> )

Доводиться також нормальтстъ (самоспряжетсть) в ¡стотному деяких

звужень заэначених onepaTopia.

Другий розд1л дисертаца присвячений визначенню уэагальнених польовнх

операторш. Bin складавться э двох параграфш.

В §1 нагадуеться визначення простору Фока ö/"(II), що е прямою сумою п-частинкових тдпростор!в (II) — симетричпнх частин п-го тензорного степени простору Пс - комплексифжаим сепарабельного пльбертового простору II. яе Nq={0, 1, 2, ...}. Нагадуеться також визначення onepaTopiB народження та липдрттч, ям шыхапятог^я на .¿¡¿iir^vy иноговид! <Щт(Н) - сукупносп фштшх векторт простору d/* (Н) »¡дносно iioro ро^клпду в приму му я-частинкових nUnpocTopin - р1вностями:

эни а+ (h)u =

= ViT+T Рп+,(/. ® и) е с пеN0>

<»_(>«) = <■+('<)* ^.(Ю.

I ут i дал] вирааом Рп позначено ортогоналышй проектор на симетрнчну частицу п-го тензорного стспеня простору Ис, neN.

1 [агадуеться також визначення класичних польовнх onepaTopie:

Ф(/.) = (А)+ <!_('«)). Ае//.

З'ясовуються деям пластивост1 польовнх onepaTopin, зокрсма П!Дпоя1дшсть поточково! зб!жносп польовнх onepaTopiB на //J чб^жноси параметров /iE II

та замкнешсть множини польовнх onepaTopia в ¡дносно ijiel зб]жност1.

Виходячн з характерного уштарного ¡зоморф1зму простору Фока в^(Н)

то

та стабшзованого тензорного добутку пльбертовнх npocTopin (X) Н„, що визначаеться вЦшовщшстю Mi« базисом чисел заповнення простору Фока

^r- ija|('fa' ® <!аг ® •••) 6 FM(H) S F(H). aeF,

a ya,! a2I ...

та стандартним базисом стабшзованого тензорного добутку

4 =4,(1)® 4,(2)®-. aeF.

РШН1СТЮ

^■(Н) э еа Кеа = /а e <g) Я„, aeF,

n=Ii/

даеться шше формулювання визначення польових операторш:

/ «> \ Г m \

Ф

Zv*

V*=l /

= X"

plim Y,hkA

К * ^п(И).

де Д, = 1®... ®1 ® /п ® /„, — самоспряжений оператор, визначений у

п-1

npocTopi Н„ вадносно базису N03 т I—> /т(п) матрицею Якоб!

у \

о № 0

Ш о

Wi о л/М

л/И 0 ■•.

Така форма визначення зручна для визначення узагальнених польових onepaTopia, яке даеться у §2. Це узагальнення полягае в замш зазначено! матриц! Якоб1, що ф^гуруе у визначенш послщовностт операторов N3 п И Ап, довольною посладовтстю самоспряженнх матриць Якоб!

Кэли

Мл) яо(п)

а0(п) Ь,(п) а,(п)

"|(п) Ь2(п) а2(п)

а2(п) Ь3(п)

О

Маоочи на мет1 виэначення узагальненоох полъових операторов, що мають ряд властивостей класичних польових операторов, в §2 з'ясовуються необхдам й достат!и умови визначеносто узагальнених польових операторов на лшшооому многонид! ^Гт(Н), эамкненосп ох множини вдаосно поточково! зб1жносп на

ньому та умови кореотюсто такого визначення взагаль

т

Л саме, доводиться, що оператор вигляду р1ип ^/о^Д мае сенс як

оператор на лшмшш оболони! базису чисел заповнення для послодовооостей коефщ'к-птш /о = (1ц, Ь2< ...) з перетину просторов та /¿(«о)- Тут 1 дало

для посл1донност1 нпнд'емиих дносних чисел с/ = (Л|, ¡12, •••) 1 числа р > 1 ниразамн Г ('/) та /„ р„ (с/) позначено простори послодовностей к = (1ц, I г2, ...)

оо

нодюоондою комнлрксних та ди'кчшх чоосгл, для яких зб'огаеться ряд ^ "Д^Г'

[П)раэами ат та Ьт позначено вЦпов'одно посл!довносп N3 п ат{п) та э п I—> 1>,„(п) коо1р!1_оовоотов матрица Якоб1, теТ^о-

1 акож доведеого, що для того, щоб сомео'оство операторов

I \ ш

'»(^^'гК) э '' ^ р1"" ЕМ*

було замкнене вщносно поточково! зб1жносп на базис! Fsaa fa, необхщно i

достатньо, щоб абшався ряд У ^ (коротко писатимемо — е /2).

/>=1 "о (к) °0

k>

Hapemri для того, щоб за умови — е /2 оператори вигляду

"О

k>

/ \

4=1

були визначеш на Kd&j¡n(H), необхадно i достатньо, щоб для кожного ¡6 N

o¡ Ь-

ПОСЛ1ДОВНОСТ1 — та —- були обмеженими. а0 а0

Доводиться також замкнешсть семейства onepaTopie

. . т

1»(«о)э''И plim Y,hA

m-»ooA=)

в1дносно поточково! зб1Жност| на Kd^>n(/í) та ршносильтсть поточково!' збЬкносп цих onepaTopie зб1жносп в '2 Re ( а0 ) параметра h G '¿.Re (°0 ) ■

На ochobí цих тверджень пропонуеться таке визначення узагальнених польовнх оператор1в.

Визначення. Нехай послздовмстъ самоспряжених матриць Якоб!

¿о(п) а0(п) а0(п) b¡(n) а,(п) NsnH а,(п) ^(п) а2(п)

a2(n) by(n)

О

Ьп , a¡ . b¡ . . . -.

задовольняе так! умови: — 6 í2; — е та — е для bcix iein.

Q0

а0

aQ

г

Нехай N3 п (-> ]п — поойдовшсть самоспряжених оператор1В, визначених

пими матрицами у сепарабельних пльбертових просторах Нп вщносно базисш N((3 т I—) /т(п), пе N. в1дпов1дно. Нехай

N3 пН/1л: 1®...®1 ® }п ® /л п—1

00

- в!дпов1дна посл1Дошпстъ самоспряжених операторш у простор! ® Нп. Нехай

п=1;/

X — уштарний ¡зомор<{изм м!ж простором Фока I стабшзованим тензорним добутком постидовност! г1\ьбертових простор1в:

1.

<&{Н) эеаи/аб (X) Н„, аеР.

п=1;/

Тод! для кожного вектора о) В1дп0в1дним узагальненим

польовим оператором називатимемо оператор

С(/,) = /с

сЗаг

•тосоваие до ¡юс.чдоипосп матрнпь

N3 п 1->

О ^

/Я о

% 0 4Уг

Ш о

и

визначення уэагальнених польових операторов очевидно охоплюе yci класичон подъев! оператори i не дае híhkhx нових.

Завершуе другий розд1\ теорема, яка розкривае структуру i властивосто сомейства уэагальнених польових onepaTopie. Зокрема доводиться сильна комутацоя i самоспряжегасть в ¡стотному уэагальнених польових операторов, причому доведения останньо! базуеться на результатах першого роздолу.

Самоспряженють в ¡стотному узагальнених польових оооераторш може бути також отримана як наслодок теореми про самоспрягкешсть в ¡стотному oneparopiB, що допускають роэд1ленооя нескшченного ооабору змшооих, доведеооо'о Ю. М. Березанським та Г. Ф. Усом [16].

В третьему роэдш дисертацп до амейства узагалыоеоонх по.\ьовоох onepaTopiB застосовуеться проекшйна спектральооа теорема Ю. М. Березан-ського. Для з'ясування питания про локал1зашоо союктралыюо' Mipio зазооачеооа теорема застосовуеться не до всоео сукуооооост! узагальооеоооох польових операторов

h.Re (ао) Э h ^ С(/,).

побудованоо у другому роздш, а до пмамейства

Аотерою d тут позооачеооо послщовооють дойсоооох чисел N3 го I—> dn £ (1, 4- оо), - 1

для якоо збогаеться ряд ^ —.

n=\dn

В §1 третього роздолу з'ясовуються юеобходио i достатоо1 умови квазоядерност1 вкладень npocTopis Фока. Стверджуеться, що для того, опоб npocTip Re (<0) був квазоядерооо вкладеооий в npocTip С' ('гя«)- ооеобхЦооо i

достатньо, щоб для bcíx fee N мала m¡cue loepieooicTb с!к > 1 i эСмгався ряд —.

„=1 dn

В ц1лому §1 носить допоможюеш характер. Moro результата воокористовуються в §2 при побудов1 оснащено«

® с с с

стандартно поп'язаного з амейсгвом Э А I—> С(А) узагальнених

польових оператор1в. Квазшдершсть вкладення за виэначенням е одшею з умов

стандартно! оомв'язаност! ланнюжка просторов з семейством нормалышх операторш, що снлыю комутують.

Як нрост1р //+ роз1ляда£Ться пльбертовий проспр, що лежить у простор!

// I скалнрпнй добуоок н яко.му визначаеться ртшстю

00

^ = V,/ К, гЛ.

п — \

Лотерою С/' позначено лшшну оболонку базису чисел заповнення - ядерний прост1р вщносно топологи покоординатно! за цим базисом зб1жноеп за умови

р1ГП 10М1рН01 (¡ИН1Т!10СТ1.

Окр1м стандартно! пов'язаност! оснащения

О с ) с ^{Н) с гуГ(Н_)

з омейс.твом узагальнених польопих операторов '2 И« (°0С') э '' ^ в §2

доводиться неперерншсть лвшшого оператора

12{4'1) э/|И (р(/,)и е гуГ(//+)

для будь-якого и£ (/'. Ця исисрервн1сть використовуеться у наступному § для з'ясування питания про локал!зашю спектрально! м1рн.

Н §3 до омейства замикань узагальнених польових операгор!в

/2,Ке(^)э С(А)~

застосовует!)Ся проекшйна снектральна теорема. Насамперед доводиться, що зазначене семейство операторов мае цшсичний вектор, а вадтак - простий спектр. Доведеооня цього тверджеооня фактнчно повторюе доведения ¡снування цикл!чного вектора для амейства класичних польових оператор!в.

Дал] формулюеться насладок з проекшйно! спектрально! теореми для випадку простого спектра:

На цилвдричних множинах простору /2 Re (') (двснстого до простору '2 Re В1ДНОСНО 'гЛе) визначена fiMoaipnicua Mipa |Л (спектральна Mipa

амейства операторш Rt("О"^) Э /1 I—> C(/i) ), для яко! виконуються так! умови:

1. 1снуе майже скр1зь визначена слабко неперервна векторнозначна функ1ря /2 (пд^с/-1) Э х I—> ^(х) 6 значениями яко! е узагальнет

власш вектори амейства /2 (agii) Э /1 l-> C(/i) , що в1дпов1дають власному значению (Л,х), , тобто для будь-якого не (У

(C(h)-u,$(x)) = (1,.х)1гл(иМ*)).

2. Для кожного и е СрГ (Н+ ) маемо перетворення Фур'в

#(Я+)эиИЙ = lu: l2Mc{aô2<r]) -»С,

визначене pienicno û(-*) = (и,^(л)), дг е/2 Re (ijg2J '), для якого мае Micue pÎBHÏcTb Парсеваля:

(u,v)~ Jû(x)y(x)4l(x), u,v G &r(H+), h.

яка дозволяе продовжити I за неперервшстю до уштарного оператора з О* (И) в

Дам шдраховуються координата вектора £,(*) в1дносно базиса чисел

заповнення i доводиться, що вибором екв1валентно! спектрально! Mipn вектор може бути вибраний так, що = /а(х). ае F.

Спектральна Mipa трив1альним чином продовжуеться на внм1рннй проспр (rN,^(rN)). Вона мае tî ж моменти, що и продакт-м1ра (х) на

П = 1

(rN, £8(rN)) - добуток посладовносп ймсдаршсних м!р N3 п И fin на

(R,j3?(R)),

що в!дпов1дають матрнцям

Якоб1

Ь(,(п) а0(п) а0(п) ^(п) а,(п)

NänH а,(п) ¿2(4) аг(")

а2(п) Ь3(п)

I и

V

' J

Доводиться, що спектральна Mipa |Ч сшейства узагальнених польових оператор1в

зб1гаеться з uieio продакт-Mipoio (x)jt„.

"=>

13 класичному шшадку спектральной) Mifxjio е гауссова продакт-Mipa, а пгрп ворснням (Dypt" / - 1зомор<|нзм Спала.

13 §4

третього розд1.\у доводиться, що перетворення Фуре иобудоваие для счмейства операторш

е пе{>етворенням Фуре д\я iiciei сукупмост1 узагальнених польових oiiepaTopin

C{h)~,

побудовано? в другому роздЫ. 1ншими словами, добуток спектральних Mip 1юсл1доинос.т1 самоспряжених матриць Якоб| е спектрального Mipoio амейства замикань ycix в1дпов1дних узагальнених польових oneparopie.

Дал1 виразом РР позначено шдпрост1р простору L2(rN,|.i), породжений цнлшдрнчними многочленами степеня не вище п - пщпроспр вим1рних

многочлешв степеня не вище п, neNo. виразами Гп - в1Дпов1дно пщпростори © neN, i виразом Г0 - гадпроспр Щ.

З'ясовуеться, що умови, накладен! на пооцдовшсть матриць Якоб1 у

визначенш узагальнених польових оператор1в, можуть бути сформульоваш мовою замкненосп простору L2 и) вщносно множення вим1рних многочлешв будь-

якого степеня на BHMipiii многочлени першого степеня.

Загальш умови мультиплжативносп вииврних многочлешв дае таке твердження доведене в §4.

Нехай Ns nh>H„ - послодовшсть iiMonipnicHnx Mip на (R,.^(R)), що

00

мають Bei момента i самоспряжеш матриц1 Якобь Нехай Ц = (х) (.!„. Тод! для

п = 1

того, щоб npocrip L2(rn,h) був замкненин шдносно добутку вим1рних многочлешв з Г/ i Гт, необх1дно i достатньо, щоб для Bcix i € {1, ...,/} та } е {1, ..., т} були обмеженими посл1довност1

R

Наводяться також деяк1 наслщки з цього твердження, зокрема такнй: Для того, щоб npocrip Z-2 (К-ГЧ'. м) був замкнений вщносно добутку

вим1рних многочленов, необходно i достатньо, щоб для Bcix je N були обмеженими послщовносп

Ыэп^||/(2(п)|[ = J/>,/)4.n(<).-

R

Список цитовано! лператури: 1. Березанский Ю. М., Самойленко Ю. С. Ядерные пространства

функций бесконечного числа переменных // Укр. мат. журн. - 1973. - 25, № 6, С. 723-737.

2. Кондратьев Ю. Г. Ядерные пространства целых функций в задачах бесконечномерного анализа / / Докл. АН СССР. - 1980. - 254, № 6. - С. 1325-1329.

3. I 1к1а 1 . Analysis oi Biownian functionals. - Ottawa: Carleton Univ., Cailetoii Mathematical Lecture Notes, № 13, 1975.

4. Kubo 1., I akenaka S. Calculus of Gaussian White Noise. I-IV // Proc. Japan Acad. - 1980. - 56 A, № 8. - P. 376-380; 1980. - 56 A. № 9. - P. 411-416; 1981. - 57 A, № 9. - P. 433-437; 1982. -58 A, № 5. - P. 186-189.

5. Kuo I lui-i Isiiing. Lectures on White Noise Analysis // Proc. of Preseminar for Intern. Conf. on Gaussian Random Fields, part 1. -Nagoya: Nagoya University, 1991. - P. 1-65.

6. Lee Yuh-Jia. Calculus of generalized white noise functionals - An abstract of Wiener space approach / / Proc. of Preseminar for Intern. Conf. on Gaussian Random Fields, part 1. - Nagoya: Nagoya University, 1991. - P. 66-125.

7. Yokoi Y. Properties of Gelfanil triplet in White Noise Analysis and characterization of positive I lida distrubutions // Proc. of Preseminar for Intern. Conf. on Gaussian Random Fields, part 2. - Nagoya: Nagoya University, 1991. - P. 27-48.

8. II ida T. White noise and random fields - Old and new // Proc. of Pieseminar for lutein. Conf. on Gaussian Random Fields, part 3. -Nagoya: Nagoya University, 1991. - P. 1-10.

9. Hida Т., Potthoff J., Streit L. White Noise Analysis and applications // Mathematics + Physics, 3. - Singapore: World Scientific, 1989. -P. 143-178.

10. Кошманенко В. Д., Самойленко Ю. С. Об изоморфизме между пространством Фока и пространством функций бесконечного числа переменных // Укр. мат. жури. - 1975. - 27, № 5. - С. 669-674.

11. Berezansky Yu. М., Livinsky V. О., Lytvynov Е. W. Spectral approach to white noise analysis. - Zurich, 1991. - 43 p. - (Preprint; ETH-TH / 91-31).

12. Березанский Ю. M., Ливинский В. А., Литвинов E. В. Одно обобщение преобразования Сигала / / Докл. АН Украины. - 1992. -№ 5. - С. 16-20.

13. Berezansky Yu. М., Livinsky V. О., Lytvynov Е. W., Us G. F. Generalization of Gaussian White Noise Analysis. - Kiev, 1993. - 71 p. - (Preprint/ Ukrainian Acad. Sci. Institute of Mathematics; 93.13).

14. Березанский Ю. M., Ливинский В. А., Литвинов E. В. Спектральный подход к анализу белого шума // Укр. мат. журн. - 1994. -

46, № 3. - С. 177-197.

15. AinincbKHH В. О. Про узагальнеш польош оператори / / Доп. AI I Украши - 1995. - № 2. - С. 17-19.

16. Березанский Ю. М., Ус Г. Ф. О разложении по собственным функциям самосопряженных операторов, допускающих разделение бесконечного числа переменных // Докл. АН СССР. - 1973. - 213, № 5. - С. 1005-1008.

Основш положения дисертаци опублшоваш у таких роботах:

1. Berezansky Yu. М., Livinsky V. О., Lytvynov Е. W. Spectral approach

to white noise analysis. - Zurich, 1991. - 43 p. - (Preprint; ETH-TH / 91-31).

2. Березанский Ю. М., Аивинский В. А., Литвинов Е. В. Одно

обобщение преобразования Сигала // Докл. АН Украины. - 1992. -№ 5. - С. 16-20.

3. Berezansky Yu. М., Livinsky V. О., Lytvynov Е. W., Us G. F. Generalization of Gaussian White Noise Analysis. - Kiev, 1993. - 71 p. - (Preprint/ Ukrainian Acad. Sci. Institute of Mathematics; 93.13).

4. Березанский Ю. M., Аивинский В. А., Литвинов E. В. Спектральный подход к анализу белого шума // Укр. мат. журн. - 1994. -

46. Ха 3. - С. 177-197.

5. Л1вшський В. О. Нормальшсть в ¡стотному деяких класса onepaTopia у тензорному добутку пльбертових простор1в / / Укр. мат. журн. -

1994. - 46, № 7. - С. 878-885.

6. Л1вшський В. О. Нормальшсть в ¡стотному деяких клаав оператор1В

у нескшченному тензорному добутку пльбертових просторт // Укр. мат. журн. - 1994. - 46, № 9. - С. 1164-1170.

7. Лшшський 13. О. Про узагальнеш польов1 оператори // Доп. АН Укран.и - 1995. - № 2. - С. 17-19.

Результати, що виноснться на захист, доведен! автором в самоспйних роботах 5-7.

Ливинский В. А. "Исследование обобщенных полевых операторов"

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 - математический анализ. Институт математики HAH Украины, Киев, 1995.

Защищается диссертация, посвященная изучению условий существенной нормальности (самосопряженности) некоторых классов операторов в конечных и бесконечных тензорных произведениях сепарабельных гильбертовых пространств, построению и исследованию обобщенных полевых операторов. В работе строится разложение предложенного семейства обобщенных полевых операторов по обобщенным собственным векторам. Получены условия мультипликативности измеримых многочленов в гильбертовых пространствах функций бесконечного числа переменных с вероятностной продакт-мерой.

Livinsky V. O. "Research of generalised field operators".

Doctor of Philosophy thesis, speciality 01.01.01 - mathematical analysis. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 1995.

The thesis to be defended is devoted to the investigation of essential nonnality (selfadjointness) conditions for a special class of operators in finite and infinite tensor products of separable Hilbert spaces, construction and research of generalised field operators. It is constructed an eigenfunction expansion for the proposed family of generalised field operators. Multiplication conditions for measurable polynomials in Hilbert spaces of functions of infinitely many variables with probability product measure are achieved in the paper.

Ключов1 слова: тензорний добуток пльбертових просторов, нормальшсть (самоспряжешсть) в ¡стотному, npocTip Шока, польовий оператор, узагальнений польовий оператор, проекц1йна спектральна теорема, продэкт-Mipa.

M

S 20