Исследование полулинейных уравнений типа Соболева в банаховых пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ
Свиридюк, Георгий Анатольевич
АВТОР
|
||||
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
Екатеринбург
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
1993
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.02
КОД ВАК РФ
|
||
|
РГЙ од
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
/ 3 МАЯ 1393 уральское отделение
институт шишики и тшшш
На правах рукописи
СБИРИДИС Георгий Анатольевич
ИССЛЕДОВАНИЕ ШУШШЕЙШХ УРАШЕНИЙ ОТА СОБОЛЕВА В ЕАЯАХОШХ ПРОСТРАНСТВАХ
Специальность 01.01.02 - дифференциальные уравнения
Автореферат
диссертации на соискание ученой степен;: доктора ¡ризико-матеглаткческих наук
Екатеринбург - 1993
Работа выполнена на кафедре математического анализа Челябинского государственного университета .
А.М.Ильин,
доктор физико-математических наук, профессор; -
A.П.Осколков,
доктор (физико-математических наук, профессор;
B.А.Треногин, .
доктор физико-математических'наук, профессор
Воронежский государственный .. 'г университет • , .
Защита состоится " _199з г. в 14 час
на заседании.специализированного совета Д 002.07.01 по защите, диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математ! ческих наук в Институте математики и механики УрО РАН. по. адрес; 620066, г.Екатеринбург, ул.С.Ковалевской, д.16.'
С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института математики и механики УрО РАН. ;' - .
-Автореферат разослан " ^" 199а г. .
Официальные оппоненты:
Ведущая организация -
Ученый секретарь специализированного совета, кандвдат физико-математических наук, , л» старший научный сотрудник [(((^ X М.И.Гусез
ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОШ
Объект исследования. Пусть 21^ , ¡им и З' - банаховы пространства, оператор , а оператор М: — 5" , вообще говоря, нелинеен и гладок. Диссертация посвящена иссде- • дованию однозначной разрешимости задачи Коши
и(о)-и. (0.1)
для полулинейного уравнения типа Соболева
Ьи = М(и). ' (0.2)
Актуальность темы. В последнее время в различных областях естествознания возникло большое число уравнений я систем уравнений в частных производных, начально-краевые задачи для Которых редуцируются к задаче (0.1), (0.2). Таковы, например, уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной, моделирующее фильтрацию жидкости в трещинновато-пористой среде; уравнение Хоффа, моделирующее динамику выпучивания двутавровой балки; система уравнений Оскоякова, моделирущая течение вязкоупругой яадкости Кельвина-Фойгта, и многих других. Одной из задач диссертации является математическое осмысление указанных прикладных задач в рамках единого формализма.
Построение такого формализма на первых же шагах сталкивается со следующей проблемой. Пусть оператор £_: ь — 5" . непрерывно обратил. Тогда уравнение (0.2) тривиально редуцируется к регулярному уравнению
) <} - Т(и) (0.3)
с гладким оператором Т = — , а задача (0.1),
(0,3) решается либо посредством обобщения известной теоремы Кош (в случае & ), либо методами теории полугрупп ила ме-
тодами теории Комуры (в случае '¿1М с ). Проблема возникает, когда оператор ¿. необратим, в частности, когда кег и ^ {0} Заметим, что такой случай возникает во всех прикладных задачах, и потому им нельзя пренебречь, исходя из "нефизичности" задачи.
К настоящему времени сложилось несколько подходов к исследованию задачи (0.1), (0.2) в случае кег Ь . Отметим здесь работы М.Й.Зишика; С.А.Гальперна ; А.Г.Коствченко и Г.И. Эскина; С.Г.Крейна и его учеников С.П.Зубовой и К.И.Черныиева;
Н.А.Сидорова и его учеников О.А.Романовой и М.В.Фалалеева; А.П. Осколкова; Ю.Е.Бояринцева и В.Ф.Чистякова; ¿mcwcdtet-'a R. Ё и его учеников М . Bohm'a и Е. О: Benedetto ; Т- W-Tirig'a и ^ И . L>^hbou»-ne . Однако полной ясности в понимании задачи (0.1), (0.2), ясности, на которой настаивая 2.-Л.Лионе, ниодшы из указанных методов достигнуто не было.
Кроме теоретического обоснования различных прикладных задач исследования задачи (0.1), (0.2) актуальны еще и с позиций теории релаксационных, колебаний, где уравнение (0.2) в случае кег L ■+ jo) описивает медленные двоения. Именно в данном контексте различные частные случаи задачи-(0.1), (0.2) рассматривались А.И.Тихоновым; Е.Ф.Мищенко, Н.Х.Розовым и Л.Ю.Колесо-вш; А.Б.Васильевой и Ю.С.Саясовда; A.M.Ильиным; В.Г.Борисовш;' Ю.С.Йльяшенко.
Наконец, отметил актуальность наших исследований с точки зрения связи между уравнением -(0.2) и "стационарным" уравнением Lu = M(u) в случае кег- L +. Исследованием последнего уравнения много занимались А.Куфнер и С.Фучик; Ю.Г.Борисович и его ученики .В.Г.Звягин и Ю.И.Сапронов; Й.В.Азбелев и Л.Ф.Рах-ыатуллина; А.Б.Бурмистрова. -
Цель работы. Еще в первых исследованиях модельных задач вида (01), (0.2) бала отмечена неразрешимость' этой задачи в случае кег- L ф)о| при любых начальных значениях и0 . Возникла проблема описания множества допустимых начальных значений, т.е. таких, при которых задача (0.1), (0.2) однозначно разрешима. Удобно понимать эти множества допустимых начальных . значений как фазовые пространства .'(в смысле.Д.Б.Аносова) уравнений вида (0.2). Целью работы служит морфология фазового пространства уравнения (0.2). Термин "морфология" в контексте диссертации является синонимом выражения "азучеме форш (структуры, строения и т.д.)".
Метод исследования. Основным методом исследования служит метод фазового пространства. Суть этого метода заключается в следующем. Посредством аначога метода Ляпунова-Игадта (т.е. метода Ляпунова-Шшздга, модифицированного сообразно данной ситуации) сингулярное (кег- уравнение (0.2) редуцируется к регулярному уравнению (0.3), определенному, однако, не на
всем пространстве И^ ( <ЦИ) ', а ка некотором его поданокест-ве, являющемся фазовш пространством уравнения (0.2).
Основы этого метода были заложены в кандидатской .диссертации автора [1.11]. Содержание метода составляют различите результаты линейного и нелинейного функционального анализа, в частности, теории аналитических (полу)груш, теории дифференцируемых банаховых многообразий, теории степени отобраке-ния.
Научная новизна. Основные результаты диссертации не тлеют аналогов в мировой математической литературе, а именно, в диссертации
- заложены основы общей спектральной теориг относительно ограниченных и относительно секгориальных линейных операторов;
- залоаенн основы теории аналитических (полу)групп с ядра,и;
- определены условия, необходише и достаточные для существования фазовых пространств уравнения (0.2) в тех случаях, когда М -линейный !_. -ограниченный либо и -секториальный Оператор, и даны рецепты построения этих фазовых пространств
в данных случаях;
- описаны нормальные форт уравнения (0.2) в случае, когда Ми>(- производная Фрсше оператора М в точке и0 ) - и -ограниченны!! оператор, и исследоЕаны квазистационарнке траектории уравнения (0.2) в данном случае;
- описаны фазовые пространства полулинейного уравнения (0.2) в случаях, когда - 1_ -ограниченный (при условии
£ ^м ) либо' ^секториальный (при условии оператор;
- все абстрактные результаты иллюстрированы конкретными начально-краевыми задачами для цитированных выше уравнений и систем уравнений в частных производных, имеющих прикладное значение.
Теоретическая значимость. Основная часть результатов диссертации носит теоретический характер. В первую очередь к ним относятся результаты по общей спектральной теории относительно ограниченных и относительно секториалькнх операторов. Данные результаты не только обобщают соответствующие разделы общей спектральной теории ограниченных и секториальных опера-
-П5 '
торов, но и определяют направления дальнейших исследований в этой области. ' '
Затем следует отметить результаты по аналитическим (полу) группам с ядрами. Они продолжают традиции, восходящую к известной теореме Хилле-Иосида-Фшшшса. Значение этих результатов заключается не только в том, что они расширяют объект исследования теории аналитических (полу)групп, но и способны привести к перестройке всей теории в целом.
Основное содержание диссертации посвящено морфологии фазовых пространств уравнения (0.2). Значение этих результатов состоит в том, что они определяют принципиально новые направления в общей теории полулинейных уравнений типа Соболева. Развитый в диссертации подход позволяет очертить контуры будущей теории фазовых пространств уравнений (0,2). -
Практическая ценность результатов диссертации заключается в том, что
- они стимулировали новые исследования фазовых пространств полулинейных уравнений типа Соболева [1.3 - 1.5] (в частности, под руководством автора была написана и защищена кандидатская диссертация [1.12]); новые исследования в теории релаксационных колебаний [1.2, 1,7* 1.8],' приведшие к обобщению теоремы Тихо-нова-Засильевой-Градштейна; новые исследования различных конт кретных прикладных задач [1.1, 1.9"]; -.
- этаг результаты легли в основу спецкурса "Фазовые пространства полулинейных-уравнений типа Соболева", прочитанного автором студентам математического факультета ЧелГУ;
- эти результаты должны быть положены в основу при.конструировании численных алгоритмов при решении прикладных задач для уравнений и систем уравнений в частных производных типа Соболева. ■ ' -
- Апробация работы. Результаты диссертации были представлены на ЫУ, ХУ и ЖУ1 Школах по теор1а1 операторов в функциональных пространствах [2.11, 2.15, 2.18]; на 4-сй Конференции по дифференциальным уравнениям и их приложениям [2.121; на Совместных заседаниях Семинара им. И.Г.Петровского и Московского математического общества [2.6]; на Всесоюзной школе-семинаре по моделированию и устойчивости физических процессов [2.14]; на Первом международном коллоквиуме по дифференциальным уравнениям
[2.16].
Эта результаты неоднократно обсуждались на семинаре Ю.С. Осипова и А.В.Кряшмского в ИММ.УрО РАН. Они были основным предметом дискуссии на семинаре по -полулинейным уравнениям типа Соболева ь банаховых пространствах [1.10, 2.19], состоявшегося в 1991 г. в ЧелГУ.
Публикации. Основные результаты диссертации представлены в работах [2.1-2.19].
Структура к объем работы. Диссертация изложена на 213 страницах машинописного текста. Состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы, который содержит 123 наименования. Каддая глава предваряется кратким введением, в котором охарактеризовано содержание этой главы, и завершается комментариями, в которых проводится сравнительный анализ новизны полученных результатов.
СОДЕВМНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ
Во введении обсуздается. историография вопроса; определяется место диссертации в системе математических наук; проводится ;равнителышй анализ различных подходов к исследованию задачи [I), (2) и обосновывается-актуальность темы диссертации. Завершается введение благодарностями в адрес П.Я.Кочиной, М.й.Вишика, 1.П.Осколкова, коллег из отдела дифференциальных уравнений КММ гр0 РАН во главе с А.В.Кряжимским, коллег по кафедре математи-геского анализа ЧелГУ во главе с В.И.Ушаковым, учеников автора особенно Т.В.Апетовой), а такке в адрес жены автора Екатерины [етровны.
Во введении к главе I отмечается, что в шт.4-7 содержатся сновные результаты главы, а в пл.1-3 - предварительные. В пп. -9 рассмотрены различные частные случал и обобщения. П.10 по-вящен приложениям, а п.II содержит комментарии.
ПЛ. Пусть ^ и? - банаховы пространства; операторы .,М е ^(Ь ;3').
Определение 1.1 (0 Множество
?ЧМ) = { ¡иеС : (¡иЬ- |
азывается I. -резольвентным множеством, а множество »""(м) =
р= 4-
С N - Ь-спектром оператора И.
Пусть % - контур в С , удовлетворяющий условиям: (П) \ - В® , 22 с С - ограниченная область; (Г2) L-спектр оператора М разбивается на две части • еЧм) = е^ (М) Л ег^ГЛ) таким образом, что б'® (м-) , а СнЧМ) с Я. Рассмотрим интегралы типа Ф.Рисса:
, сн^! ^(м)^, (1.1)
где й}; - правая, а = -м)"1-
левая Ь -резольвенты оператора М. На основе аналога тождества Гильберта
и-^х^-мг'ь^-мг^ Н-му'-(АЬ-м)"1 (1.2)
устанавливается следующий результат.
1 е о р е.м а 1.1. Пусть операторы X(¿1 , •
а контур 2' с ^ удовлетворяет условиям (И) и (Г2). Тогда операторы Р е X (21) и е ^С ("£) , определенные интегралами (1.1), - проекторы.
Затем вводится в рассмотрение контур у' с С , удовлет-всрящий условиям, аналогичным (Г1) и (Г2), и конструируется еце одна кара интегралов типа Ф.Рисса:
Р'^тУ кГ^Ых . ^(иах, (1.з)
1яе_Й?--и-*М)-1М - правая. V £ а ~
ХК) - левая !А -резольвенты оператора . Посредством рассуждений, аналогичным доказательству теоремы 1.1, несложно убедиться, что операторы Р'« ц е £ (3') , определенные .интегралами (1.3), - проекторы.
Проекторы (1.1) и Р\ (3' (1.3) назовем относительно спектральными проекторами.
В ти2 пространства У -и операторы Ь, М те ке, что и в п.1.
Опрзделенке 1.2. Пусть пространства Л а 5 расщепляются в прямые суммы подпространств: & - 2,1 Ъ1 и
* 0 ® 3" 1 . Пусть действия оператореч I. М: & —■ $ тоже расцепляются: Ь, М : — ЗГ" к ^си . Тогда пары про-
странств (с!"; называются парами инвариантных
пространств операторов I я М ,
Пусть (ак;3/") к=о, 1 - пары инвариантных пространств операторов Ь и М . Обозначит,1 /через I *(№«.) сужение оператора на подпространство ¿1* к-о, х . Обозначим через ©^(М) Ьк.-спектр оператора М* к.*о,I . Очевидно,
и ^(М) =5ч*(м) . То же самое мояшо сказать и об М ».-спектрах операторов и к. к-о,* .
Теорема 1.2. Пусть существует контур ^ . удовлет-воряшдга условиям СП) и (Г2). Тогда
СО существуют парит Л ; У") ^ол инвариантных пространств операторов [ в М ;
(¡0 Ц -спектр оператора М0 совпадает с частью 1_ -спектра оператора М, лекащей вне замыкания области ; а -спектр оператора М4 совпадает с частью Ь -спектра оператора М .лежащей в области .
Следствие 1.1. Пусть в дополнение к условия;.! тео-реш 1.2 точка нуль лежит в области £2 . Тогда существуют операторы и ь;1 € ХСУ1;^1) .
Теорема 1.2 и следствие 1.1 доказываются с использованием проекторов (1.1). Бели же пользоваться проектора1® (1.3), то южно установить аналогичный геореме 1.2 результат о Мк -спект-ТЭХ операторов к * * о, 1 .
В п.З пространства 2-1, 3" и операторы , М те же, что и » п.1, но дополнительно предполагается,.что кег- Ь Ф {о} . Определение 1.3. Упорядоченное множество ЧЧ, ■-■, ** > ••■ 1 с ^ (^ег- Ь ^ {О | У называется це-
очхой И -присоединенных векторов собственного вектора ч> 1 е , если к« й . Линейная
болочка собственных и М -присоединенных векторов называется М -корневым линеалом оператора Ь . Если" М -корневой линеал змккут, то он'называется М-корневым пространством оператора Ь.
Датее в п.З устанавливается, что И -корневой линеал опе-¡тора Ь к корневой линеал правой Ь -резольвента опе-
»ора совпадают, причем ^ - И-присоединенный вектор вы->ты <^-1 вектора чч е { 0} точно тогда, когда
|Т жз вектор является присоединенным вектором той ге высоты еритора ^(Н) . Кроме того показано, что М -корневой ли-ал оператора лежит в ядре кег Р проектора Р (1.1).
В ги4 пространства 2.1 , к операторы !_ , И те не, что в п.1.
Определение 1.4. Оператор М называется ограниченным относительно оператора Ь (или просто к -ограниченным), , если
а о>0 еС ( 1р1>а) => (¡аЬ- И)"1 ■ Если контур $ £ € таков, что ■
(р -■> (\ju\-qSQ) , ' (1.4)
а оператор ГА I-ограничен, то по формулам (1.1) можно построить относительно спектральные проекторы Р и (? расщепляющие пространства 2Л и на пары 5") к-од инвариантных пространств операторов I* и М , причем существуют операторы гг) к Ц1 е ХСЗ-^.гд1) ,а е.ЧМ)«!"! .По-
логим Й = € , Голоморфная оператор-функция '
(р Я -1У1 = (¡и 1.1 <, - М<>у1Ье является целой оператор-
функцией переменной ¡и € С, _ , Поэтому разлоким её в ряд Тейлора
(рй£о • (1.5)
Определение 1.5. Точка 03 называется
- устранимой особой точкой оператор-^функции (1.5), если оператор В 2 О ; ' -
- полюсом порядка р с оператор-функции (1.5), если
О , а © ;
- существенно особой точкой во всех остальных случаях.
Теорема 1.3. Пусть оператор ГА [»-ограничен, и'точка
00 является:
(О устранимой особой точкой оператор-функции (1.5). Тогда оператор Ь не имеет М -присоединенных векторов, кег-Ь' = кег- Р,
(¡0 полюсом порядка р<г!М оператор-функции (1.5). Тогда длина лвбой цепочки М -присоединенных векторов оператора ограничена числом р , а М -корневой линеал оператора L совпадает с ядром кеЬ .
Теорема 1.4. Пусть оператор И и -ограничен, а I1?! , , •• •, ^Г | - репер в ядре кес Ь . Тогда мно-
жество { рх , п } , где че -
М -присоединенные векторы вектора , - токе репер.
Репером в контексте диссертации называется любое конечное
- П -
множество линейно независимых векторов.
Теорема 1.5. Пусть оператор М ограничен относительно бирасщепляодего оператора Ь . Тогда любой собственный вектор оператора Ь имеет конечную цепочку М -присоединенных векторов.
(Напомним, что бирасщеплявдим называется такой оператор Ь , у которого ядро ксг Ь и образ ¡гп и дополняемы в пространствах У и з соответственно).
В заключение п.4 приводится технически! результат, псзво-ляклций по любому бирасщёплявдему оператору Ь строить бирасщеп-лящий оператор такой, что кес и кег- \~х , ¡т Ь: э ¡т ь , причем если оператор М Ь-ограничен, то он будет и 1/ -ограниченным оператором.
В гк5 пространства & , 5 и операторы Ь , М те же, что и в п.1. Рассмотрим линейное уравнение типа Соболева
= Ми (1.6)
Определение 1.6. Отображение 5' е ^(К'.Ц) называется группой разрешающих операторов уравнения (1.6), если:
<0 = V € К;
(¡0 для любого вектор-функция и(1) * й1«^
удовлетворяет уравнению (1.6).
Теорема 1.6. Пусть операторы Ь, таковы,
что существует контур ^ с С , удовлетворяющий условиям (Г1) и (Г2). Тогда существует груша разрешающих опеиаторов уравнения (Г.6).
Используя тождество'(1.2), нетрудно показать, что искомая группа предетавима интегралом Данфорда-Тейлора
" (1.7)
а
Следствие Г.2. Пусть оператор а) ог-
раничен относительно оператора и с ¿£(гг,о) . Тогда справедлива теорема 1.6.
Определение 1.7. Пусть | 5 ; ^ е {< | _ груи*.:.. разрешающих операторов уравнения (1.6). Ь!но:;:ество
Б1 - 1 и б 2] : - О £ К } называется ядром, а множество
^ - | и € и : = и \
называется образом группы | 1 е ¡К }
Как нетрудно видеть, ядро и образ группы | У : 1 е К) . определены корректно. :
Замечание 1.1. Образ ¡т £>1 в диссертации определяется как фазовое пространство З1, группы {З*'- ¡6} В 1к6 пространства 21 , "У и операторы Ь , ГА те же, что и в п.1. Рассмотригд задачу (0.1), (1.6). Решением этой задачи называется вектор-функция и £ У* , удовлетворяющая уравнению (1.6) и условию (0.1).
Определение 1.8. Множество рс & называется фазовым пространством уравнения (1.6), если:-
0) лзобое решение и е ( & , уравнения (1.6) лехит
в р , т.е. ^ ей;
С») для любого вектора и0£2.1 существует единственное решение задачи (0.1), (1.6).
Чтобы построить фазовое пространство уравнения (1,6), наложу на пространства 2] , ^ и операторы , М некоторые условия.
(А1) Длины всех цепочек М -присоединенных векторов оператора Ь ограничены некоторым числом р е .
Обозначил через 2.4° И -корневой линеал оператора.Ь . (А2) -дополняемое -в У подпространство. Пусть 1 = © & 0 - некоторое алгебраическое и топологическое дополнение. Положим '5"3-* М[11'] и Ь 1 У] (АЗ)
Обозначим через Ио сужение оператора М на подпростпанст-во "
(А4) Оператор Ио £ ^ (У ,3°) непрерывно обратим. ' Предложение 1.1. Пусть выполнено условие (А2). Пусть г^аеъ* , и .Тогда
если "выполнено условие (АЗ), го Ф?"1
Пусть выполнены все условия (А2)-(А4). Тогда уравнение ■ (1.6) редуцируется к эквивалентной системе уравнений
В и° * ЗиА , ^-Ти1 (1.8)
где операторы Й , & ехС^1;**«) , Тх^Ш1)
есть сменяя операторов М;1 (1 - , М^"5(I - <3И , Ь;1 СЬМ на пространства га-1 , Ь1 соответственно;
проекторы вдоль ^"н 5".соответственно; ЬЛ- сужение оператора I. на подпространство У1 .
Положил
Г = £ йк£>Т* е
¡¡'О
и введем в рассмотрение множество
р - }и е и -. и - (I- Ои1 , и' е ¿I1 ] . (1.9)
Теорема 1.7* _ Пусть выполнены все условия (А1)-(А4). Тогда множество £> (1.9) - фазовое пространство уравнения (1.6) тошзшейно изоморфное подпространству 1, причем II * ° е р
В ги7, где условия на пространства ¡и , и операторы ь , К те же, что и а и,1, устанавливается з!зиволектность всех условий (А1)-(А4) Ь-ограниченности оператора М в случае, когда °° - устранимая особая точка либо полюс порядка р оператор-функции (1.5). На этом факте основана
Т е о р е и а 1.8. Пусть оператор М [-ограничен, причем 00 - устранимая особая точка либо полюс оператор-функции (Т.5), Тогда группа разрешающих операторов уравнения (1.6), представимая интегралом (1.7), где контур удовлетворяет (1.4),единственна.
Здесь единственность группы ; и К] означает, что при любом и. е Р> (1.9) ( р> -■ ¡т Р , где Р из (1.1)) любое решение и е <и) задачи (0.1), (1.6) имеет вид: u(t) --
, а потому единственно.
В п.8 рассмотрены три частных случая [^-ограниченности оператора М.
Теорема 1.9. Пусть операторы 1«., М е £ , при-
чем оператор Ь - бирасщепляющай. Пусть длина любой цепочки любого вектора Ч> « кег Ь 4 {о} равна в точности р - . Пусть 5 - 5'а Ф кп Ь , где ^р = М С ¿¡р ] , а Ур - Ар 11к*г и , А • Ц - сужение оператора С на со'гп Ь - 2.1 & кег- ¡^ . Тогпа оператор М Ь -ограничен, причем 00 - устранимая особая точка либо полис порядка р оператор-функции (1.5).
Теорема Г.10. Пусть операторы Ь,М е X (& , '5") причем оператор I. фредгольмов (т.е. ¡пй Ь = 0 ). Тогда энвива-лектны следующие утверждения:
0) оператор М и-ограничен, причем 00 - устранимая особач точка либо полис оператор-функции (1.5);
- и
(<>) выполнено условие (AI).
Теорема I.II. Пусть dim ^д =ciim У с . Линейный оператор М : -S' ограничен относительно линейного оператора L . H-S точно тогда, когда •
3 ju е С (det (juib -tA)4 О) , где операторы L и М отождествлены с их матричными представлениями в некотором базисе.
Замечание 1.2. Теорема I. II очевидна, поскольку либо нули многочлена - det (¡uL -М) лежат в ограниченном мно-кестве, либо этот многочлен - тождественный нуль. Однако в диссертации приведено более слонное доказательство с использованием нормальной ("почти кордановой") формы матричного пучка juL -1Л Этот результат в дальнейшем не раз используется.
В гиЭ рассмотрены некоторые обобщеш!я задачи (0.1), (1.6).
Пусть оператор fA £ Я Ш ■, S") ограничен относительно оператора L £ £ {1\ Д) , а вектор f е У . Рассмотрим задачу (0.1) для уравнения
L и - Ми + $ (1.10)
Пусть Р и Q - проекторы (I.I), введем в рассмотрение множество
£ « | ц е'г» : (1 -QHM« Ч)-о} CI.II)
Замечание 1.3. Беляев определении 1.8 ссылку на формулу (1.6) заменить ссылкой па формулу (I.IO), то мы получим определение тазового пространства уравнения (I.II). •
Теорема 1.12. Пусть оператор М е ХШ;?") ограничен относительно оператора L е itCti;S") ' , -причем-1:0 - устранимая особая точка либо полззе оператор-функции (1.5). Тогда:
СО множество Р (I.II) - фазовое пространство уравнения (1.10);
(¡0 мнонество ¥> (I.II) - полное аффинное многообразие, гомеоморфное подпространству im Р ;
решение задач!! (0.1), (I.II) имеет ,
вид:
u(t) = (I-P}ua + Stu„ +
¿г Ь^ЧЛ^-иГа^ь .
где - группа (1.7), a u„ е (I.il).
Рассмотрим теперь задачу Кош
= , w'tO)?'^,.., , и^'ЧоЬилч (1.12)
для линейного уравнения типа Соболева высокого порядка
Lu(M - Ми+ , (I.I3)
где операторы L , М е X (2J; "?) , а вектор ^ ■ Рспонкем задачи (I.I2), (I.I3) называется всктор-$ункцкя и « S &'ДО , удовлетворяющая уравнений (I.I3) и условию (I.I2).
Определение 1,9. Множество с Z>. называется ёазов№1 пространством уравнения (I.I3), если:
0) лзобое решение u е уравнешш (I.I3) лежит
в £ , т.е. u(-Oe|5 Vt е Й ;
С'1'1) 'для любого вектора v с с 43 я любых векторов Ui, u/.,, , u„_, е Tuoí3 существует единственное решение задачи (I.I2), (I.I3).
Здесь - касательное пространство к множеству £>
в. точке ц„. 0пределеш1е I.S предполагает существование и единственность .
Теорема I.I3. Пусть оператор И ограничен относительно оператора L (L. М « 1¿(1< t причем 00 - устранимая особая точка либо полюс оператор-функции (1.5). Тогда:
СЛ множество 12 (I.II), где Q -' проектор (I.I), - фазовое пространство уравнения (1.13);
(ii) множество (I.II) - полное аффинное многообразие, диффеоморфное подпространству im Р , где Р - проектор (ТЛ);
(.¡¡I) решение и б задачи (1.12), (1.13) имеет
вид: '
» (I - Р^ Ч о + £ Slí.i^ +
»•о
А
<
¡j(i -S)
е
ds J (^L-Kir'Qi óp ,
где
i
íTi
-Mr'L^^dju
г
а. и 0С (1.Н) (2 - С?) Ми = О | . .
3 а м е ч а н к е 1.3. В теоремах 1.12 и 1.13 контур ограничивает весь Ь -спектр оператора М за исключением бесконечно удаленной точки, т.е. такой, как в (1.4).
В п.ТО собрали различные конкретные интерпретации абстрактных результатов этой главы. Рассмотрена задача Кош (0.1) для сингулярной линейной системы обыкновенных дифференциальных урав-кенкй (1.6), где пространства я конечномерны, сКт II* ¿¡т^ , а операторы ЦМ. — 5 отождествлены с матрицами, представ-ляп^имц эти операторы в некотором базисе, прячем гоп*. Ь - У -к , к. >о . Рассмотрена задача Кот (0.1) - Дирихле
и(1Д) = 0., (хД) е ОЙ " К , (1.14)
где с Кп - ограниченная область с границей <>01 класса С'*- , для уравнешя Баренблатта-Ыелтова-Кочяной
• ( х - Д4) 1ц = с<. й и + ^ ,
моделирующего процесс фильтрации гидкости в трещиновато-пористой среде; и для линеаризованной системы Осколкова
О-йгУ1)^ = Э?1 - (и-^и ,
О = , . • • (1Л5)
Рассмотрена, наконец, задача Кош'(1.12) - Дирихле (Г. 14) для уравнения Буссянсска-Лява ' •
(Л- Л4) ии = Ди + {
, 1\!одел;;ру1щего продольные волны в тонком упругом стеркне с учетои ■поперечной инерции. •
Наиболее интересной из всех перечисленных задач является задача (0.1), (1.14), (1.15). Её здесь ш вкратце и рассмотри«. Пусть
ч 3 и« * 1-й ' Ир , £ - Н * Му х 1-Ц , (1.16)
где 1-й о- ИХ А
Яр Иг • Пространство получено за-лыкакхем дллеаяа
бесконечнодифференвдруеьгах, -фиштюн: и соленоздальшх в области ¿й- вектор-функций в норме пространства (^(й))" ; Нр--Пространство Не ость пересечение подпространства Не; п пространства (V// (£5) П (®)Г.
Операторы Ь , М^ — ? зададим матрицами:
(1.1?)
- проектор
(1.13)
где 6'. и — -(и-у)и-(и'7)и, С : и — - V (7 - и),
Оказывается, что операторы Ь (Г. 17) и |М(1.18) удовлетворяет услогаяи теореш 1.9, причем кзадй вектор ч е кег ^ > \ О} к.газт' точно один М -присоединенный зсктор. Поэтому справедлива
То о р е м а 1.14. Пусть пространства И , £ заданы в (1.16), а операторы Ь, М, - в (1.17), (1.18). Тогда для любого вектора { £ и любого вектора
и о е £> = { и е & : и^ - О А^ А^ (&ив + Ь) + \
существует единственное решение и« ^ (82 ; £ь) задачи (0.1), (Г.14), (1.15). Множество р - фазовое пространство задачи (1.14), (1.15) - полное аффинное многообразие, гомеоморфное пояпрострок-стзу
У'^иЕ?!: цг = 0 , АжГ А у В и Й- -- На } Здесь " ПА'^ П , и~ _ вторая компонента вендора
и * ( и с , иг , и € 2.1 ■ Заметим еце, что зсе раосмстре-
ния задачи (0.1), (1.14), (1.15) проводятся в предположении, что - а"3 / е- (Ц .
Завершается глаза I п.II, в котором детально комментируется как абстрактные результаты, так и конкреяше приложения. Здесь,
ЕАзсЕ Е А ж П
Ь = I П Азе £ П АдгП
о о
где Ак = (,<-«V*) £ ® Ну
вдоль , П - Г - ¿д ,
Е'ВХ' ЕВП О М = / ПВП -П
О с О
о
в частности, отмечается, что изучение задачи (1.12) для полного уравнения типа Соболева проводит сейчас Т.В.Алетова (Д.б]. .Кроме того, здесь рассмотрен пример задачи (0.1), (1.6) в случае, когда оператор (А ^ограничен, а 00 - существенно особая* точка оператор-функции (1.5). Установлено существование нетривиального решения и^) € £1* задачи (0.1), (1.6) в случае и0-О
Глава 2 посвящена исследованию задачи (0.1), (0.2) в случае, когда £1 и * к = У , а производная Фреше М и„ оператора М в точке и о - Ь -ограниченный оператор, Решением задачи (СЛ), (0.2) в данном случае называется вектор-функция и е
((- и ; и); 2.1} н •» 1 , удовлетворяющая уравнению (0.2) и условию (0.1).
Во введении к главе П- дается краткая характеристика её со- ■ дернашя и приводится следующее
О п р е д а л о н и е ■ 2.1. Множество ]3> с ^ называется фазовым пространством уравнения (0.2), если:
(О любое реиенке задачи (0.1), (0.2) лекит в р> , т.е.
('.Л для любого а о « р '. существует единственное решение задачи (0.1), (0.2).
В п.1. носящем пропедевтический характер, приводятся различные факты теории .дифференцируемых многообразий. ' .
В пространства ^ н ? - "банаховы, оператор ¡..¿Х&г,^) , а оператор М е 15 (Ь ■,"$) ^н . Обозначим через про-
изводную ©пене оператора И в точке и е <У .
О п р е д е л е н и е 2.1. . Оператор М е ; 5") ** i
навивается ограничении« относительно оператора (или просто Ь -ограниченным) (
- в течхее и « & , если оператор Ми С-ограничен;
- на множестве ¿ГС с у ) если оператор Мц Ь-ограничен. V а е иХ • ' •
Теорема 2.1. Пусть оператор 1К(<Ц'|§) * >1 ограничен - относительно оператора I € X (ИД) в точке иц « 2А. Тогда задача (0.1), (0.2) редуцируется к эквивалентной задаче
] К Vй - ^ - , УЧо)-О , ' . .
\ V1 -ТУ^НЫ ( Vх(О) - О . ;
Здесь операторы Я - Ц. « , Т = * Х(П') ,
И = ^ и0) - Мц^^Ч^',^1) ; операторы
Ье(Ме)есть сузешм оператора I (М„о) ка подпространства гл<! €-од где е;ЗГе) 1--о, I - пары гаварианишх пространств операторов и М0о; Р ; 21 — 1 ( : 5 - £4) , ксг Р-2.\° (кег- С} = - относительно спектральный"
проектор; у = и - и0 , у° = (Х-Р>у , V1 = р,/.
Определение 2.2. Задача (2.1) называется нормальной формой задачи (0.1), (0.2).
Теорема 2.2. Пусть операторы и е Х(?д ,3') , Ме <>л . Пусть для операторов Ь и М^ выполнены условия теоремы 1.9. Тогда нормальная форла задачи (0.1), (0.2) шее? 'ввд:
= VI + Си О) , V; (о)'О , VI « VI ¿¿О) , у; (0>»0
= + аР->(у)
О « Ур Ор (.V) , V1 « Ту' И «(V),
, 7^(0)» о, У(0) = 0 ,
(2.2)
где операторы , проекторы-
Рс)'-2л-*-£Ц , подпространства содержат Ми, -присоединенные векторы высоты , .
Теорема. 2.3. Пусть операторы !_, М е
У (У; 5) к>1 . Пусть для операторов I и М ^выполнены условия теоремы 1.10 и условие (А1). Тогда нормальная фзр.'а задачи (0.1), (0.2) имеет вид:
<
1р.-'< ^ п^1) ■ со).
0 = V ^ п. . ^ДОЬО,
где к.-- 1,-.сЬт «г-
■ - 2Q -
Замета:, что система (2.3) получека из системы (2.1) посредством покоординатного проектирования.
В заключение п.2 рассмотрена конечномерная задача (0.1), (0.2), т.е. случай tiim '¿1 »d.rn $ <.
В начале гиЗ рассглотрен простейший пример, демонстрирующей .-:о возможность однозначной разреталости задачи (2.1) в общем случае. Чоотсму вводится следующее ограничение, сукаюцее каии рассмотрения.
Определение 2.3. Пусть пространства & , расцепляются в прямые сумдг: 11 =- <U* © , У - ® 'У* Пусть действие оператора L € £ ; 3") гоне'расщепляется: L Zi'— 'S* . Пусть оператор М £ ^'(И -Д) » i
}i;:7;ja:e задачи (Ü.I), (0.2) называется квазкстацгсснарной траекторией, ccä: Lü1 -О , где u1 (t) с ¿И V t « (-U-, и) (
Пусть оператор М е j "Ч&'.ЗО * »i L -ограничен в
точке . Тогда задача (0.1), (0.2) эквивалентна своей
нормальной .форме (2.1). В далькейаеи ш ограничимся поиском к изучением только таких квазистационарных траекторий, что Rv°sO
Tespe м а 2.4. Пусть операторы L £ ,
У; « о" (i* *i , причем оператор М L-ограничен в точке и0 с Ь , а лдро L дополняемо. Пусть u £ ((-t«; Zi) - квазисгаддонарная траектория задачи (0.1), (0.2) такая, что L u ° - О , где при t t(-U,ta) . Тогда -
u (t) е irt при t (-U ; U) , где
1ГС ' { a £Ü: (I-Q)Mu ' О , j
-?десъ P и Q - относительно спектральные проекторы, постро-<"■:•;;:::<; по ¿отираю (I.I) дот каш опеоаторов L к М' , причем -'•"Л' % сгракгашаот весь L -спектр оператора Ми>> за искяэ-точк*. °° . Окератор Pi '■ Ii"-* ксг L есть проектор.
7 о с к м а 2.G. Пусть операторы L £ ЗЦЬ'Л) , 'А г у-{а м! такие, как в теореме 2.4. Пусть судест-Г'уч? окрестность куля О с , где
ги- | VC а (1 -P,)(I-P)v = О I , к! ' Pi'}G(v) - О V v <" & . Пусть точка
-U '-■ИХ j и-к„ < С' : P^u -u« ' üCu-u^) --о}
'.; r:: ¡-у.;--стгуех с-д^хсстмшх-.; гагеям u е j*((-to, tu) ; ifX.) • Ti.Tt и -С) • и.. .г,~л урцзкезгпя (0.2), яиляэдееся квазк-
- 2\ -
стационарной траекторией, а мнокество ¿it с ¿1 содерхлт карту З^-дасгообраякя, моделируемого подпространством Z'.1. Здесь оператор G взят из нормальной формы (2.1). Г[.4 посвящен рассмотрению различных частик: случаев теоре-т 2.5. Именно, рассмотрены случаи бирасцсгшшцего п фредголь-нова оператора L ', а татае случай конечномерности пространств Ц и ? , причем dim ii - dim , Все эта случая значительным образом опираются на результаты п.2, и потому здесь опускаются.
' В nj5 представлены различие конкретные интерпретации абстрактных результатов глави 2. Наиболее полти из них является исследование фазового пространства задачи Дирихле
ufoc.iVO (*Л)е'ЭО.*£ (2.4)
для уравнения Хоффа
(X = и • (2.5)
моделирущего (в одномерном случае) динамику выпучивания'двутавровой балки. Здссь <с и X - вещественнее параметры, причем >>0 ; функция u-u(x,t) соответствует отклонегсаэ бали: от вертикали,- й с - ограниченная область с границей t>S2 класса С'10. Задача (2.4), (2.0), дополненная условием Юо-д
редуцируется к задаче (0.1), (0.2), если положить:
■ <Lu,v> =|(Xuv - s Vu.v<y,
f
<M(«),v)> ^ I (uv 4u3v)dx
(2.G)
(2.'-) -
Оператсо L € и iTr^fratJ-uoi), a пася ton M «
.если .
Теорема 2.6. Пусть пространства Ж ; 5" и операторы * L , М определены в (2.7), причем пМ . Тогда если X 4<°(- 4), то для любого J, с R и u0 £ <U существует единственное решение и * 3е" ((-*•«>. toV, гд)Да-1о(и.>о задачи (2.4)-(2.6); а если X и , то для любого
u„ € 4Т£ = { U € & < M<u),,4*> = 0 , K»J,..., е } (2.8)
судествует единственное решение, u « 'i00((-to Ло); iTt), to-toiu„)>( задачи (2.4)-(2.6),, являющееся квазистационарной траекторией.
Здесь <з {- ЛУ - спектр однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа в области £2. с R* , diam S3. 4 00 ; < • , • > - скалярное произведение в Li(Oi) ; -собственные ¿ункции (по традиции ортоноршрованше в Ll(£i)) упомянутой задачи, отвечающие собственному значешш А ; di*» *er- L=£~
Теорема 2.7. Пусть выполнены условия теоремы 2.6, X t е- (- й) и г О . Тогда фазовое пространство задачи (2.4)-(2.5) - множество drt (2.8) - простое банахово ^-многообразие, моделируемое подпространства.!
' и1 - { U € ■' с и , 4>к> - О ' к = 1...., I } (2.9)
• Теорема 2.9. Пусть выполнены условия теоремы 2.6, ^ < О ", X € <з(-й) , dim x&t-L -1 . Тогда множество
JVC (2.8) является сборкой "над" подпространством <U4 (2.9), причем если ~ >а о 4 4Гс \ 1 , где
IK' - { и <■ & > - о \ , :
то судествует единственное' решение u е У" ((' U ; ¿Pi) задач;; (2.-1)-(2.6), где t0 = to(.uo)>0
Задача (2.4)~(2.6) редуцируется к задаче (0.1), (0.2) с грс.чгольмовнм оператором L. К этому же-классу задач относится задача лоик-&:рахло :
ч ,х>,0 = Vl4<Kt,J:,.i>G. (x..x,.t)fc (2.10)
v(x,,x5,t)= v.ia'./x.,) , С*4.Лз)гО. (2.II)
для '
(2.12)
•-'o.-iiii!j-y>;uero плэскопарапельное течение вязкоупругой несязагае-
мой жидкости Кедьвина-Фойгта.
Задача (2.10)-(2.12) анализируется тем же способом, что и задача (2.4)-(2.6). Именно, установлена-Теорема 2.10. Пусть'
et = \ u е w; (52) •. u(0i> = =0 , х е 3SÄ}, Тогда для любой точки (2.В), где
существует единственное решение u е (-t„', to); ¿ft) , te " to(uo) > О задачи (2.I0)-(2.I2), являющееся квази-
стационаркой траекторией. Множество ¡Iii (2.8) в данной транс..»ип~ ции - простое -многообразие, моделируемое подпространством
гИ(2.9).
Несколько более сложной в техническом и теоретическом отношениях является задача (2.4), (2.6) для системы уравнений
I (l- З»?4)^ = -(uv)u - р + \ t [ О - - V (V • u). (2.13)
Эта система получается из модифицированной системы Осколкова '
\ U- U - (u-v)u - ?р +
«оделирующей течение вязкоупругой слабоскямаемой жидкости Кель-шна-Фойгта, после замены p svp и ^ = 0 . В контексте (2.14) шетема (2.13) описывает так называемые "медленйие двяжекия".-
Чтобы редуцировать задачу (2.4), (2.6), (2.13) к 'задаче 0.1), (0.2), в качестве л 'S возьмем пространства (I.I6), качестве оператора L - оператор (I.I7),- а оператор зада-км формулой
МЫ) -
/ 2й> (us ^Ujf)
Г1& (U<$ + Uj.) -Up + iv
• V I
ie проекторы П,Хл оператор С такие же, как п при рассмот-!НИИ задачи (2.4), (2.6) для уравнешл (1.15), а оператор « ^"(Не ф Hv ; I/) определен формулой & Л» -V*u- tu-v)u . Доказана
• Теорема .2:10. Пусть и = 2,3,4 и -эе"1 £ &1к) П '^(Ал^) . Тогда для любого множество
№. - { и ; «¡¡. «О , А^ А^СЬСие^^
является ф-азоЕШ пространством задачи (2.4), (2.13), содержащим ^олысо квазистациокарные траектории. Кроме того, УК - банахово ^-многообразие, моделируемое пространством
Завершается глава 2 комментариями, которые собраны в п.6. Здесь, в частности, отмечается схокесть метода фазового пространства с методом Ляпунова-®,пщта; фиксируется обобщение в поняты "квазистационарная траектория" таких понятий, кале "квази-стоцяонапное решение" А.С.Зпльбсрглейта, "квазистационарная кон' цеп-грация" А.Б.Васильевой и "псевдостационарное состояние", встречазацееся во многих работах по математической биологии.Здес] не указано ка отличие наыего термина от "квазистационарных ре-кимов" Ю.С.Лльяшенко.
Кроме того, в комментариях замечено, что результаты дашюй главк обобщают результаты Н.А.Сидорова и О.А.Романовой, а также результаты Т.Г.Сукачевой [1.12].
Глава 3 посвящена рассмотрена» одного из вакнейших случае] задачи (0.1), (0.2), когда оператор М не является Ь -ограни- • чеши* ш в одной точке и. £2). Бо введении к главе 3 дается краткая характеристика ее содержания.
Г?. Т. Пустьбанаховы пространства, оператор Ь (?.( Д) , а М ;с1от М — 2Г - линейный оператор с областью определешш с!отГЛс & . Аналогично п.1 главы. I вводятся в рассмотрение Ь -резольвентное кэшкество и -спектр
рЧМ) оператора М, правая плевая 1--
роэользенты оператора М , устанавливается аналог тоздества йш берта.
Определение 3.1. Пусть оператор I, ^(¿Н^"), а оператор М с1от М—^ линеен, замкнут и плотно определи;!. Слегатор М называется векториальным относительно опера-
Ь (пли просто I* -векториальным), если существуют такие •■пел.-; о с >5 и СК , у) , что сектор
5 и О (м) = 5 р * С • Юг^- йИ * в , * с ) С ,
л.'Гюго числа р. « (м} N йк . где
¿к 1 •") м - £ I м -си < . « К. ', выполняется неравенства:
UjjL - ГЛУ111 - contA •
Теорема 3.1. Пусть оператор L с ХШ> , а оператор NV. dorn М су —L-секториален. Тогда оператор L, не имеет М -присоединенных векторов.
Отмечено, что если вектор ^ к&г- L ^ \ О ^ не имеет М -присоединенных векторов, то либо ч> f dorri N't , либо М-р 4 im Ь ,
Теорема 3.2. (О кег- tfju е ^(М) ,
(¡0 ~ \ NW ! Ч" € кег- L П dorn М } Via с ^ГН) ,
(«О im - im R^CnV) , ¡m LxCMVim L'^M) V А, ;> f
(iv) если оператор-M L-секторкалек, то V^fjHM)
кег RpitAj П , Lp(M)
П.2. Пусть J с С - контур, относительно которого предложим следующее: ■
контур с $ q (М) ограничивает область, "J содержащую круг $f , причем > (3.1)
O^S tö при — •» , « t- i
десь • S^^(o).
Пусть оператор М L-секториален. Тогда тлеют смысл несоб-
твенные интегралы типа Данфорда-Тейлора
з1' ¿гJ ajKM4) «xtin, t е su
s
(3.2)
.^ (>п;е' ь и } , г « К» (3.3)
*
Теорема 3.2. Пусть оператор И Ь-сеяторИила;;, а >нтур |с С удовлетворяет (3.1). Тогда:
(¡) интегралы (3.2), (3.3) допускают аналитическое проделке в сектор € С : ю^ т \ < о - % } ; (¡0 имеет место оценка
тал
при любом t efli,. '
Определение 3.2. (О Отображение S' е ( R +; X, (li^ называется однопараметркческой полугруппой (или просто полугруппой), если S1 • * 3
О'Л Полугруппа | . i ' j называется полугруппой разрешающих оператороз уравнения
Lä ' Мч ' -' - (3.4)
если при любом u»^ & функция' • 5ku0 удовлетворяет
уравнению (3.4).
Теорема 3.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.2. Тогда интегралы (3.2) и (3.3) определяют полугруппы, причем (3.2) - полугруппа разрешающих операторов уравнения (3.4).
Отметим здесь, что полугруппа \Ti ■. teK+] , определенна интегралом (3.3), будет полугруппой разреказшдах операторов уравне им !Д (nV)^' - HUt-МУЧ , где J-t^HM)
В заключение п.2 приводятся результаты о продолжимости полугрупп (3.2) и (3.3).
В гкЗ изучаются дара и образы полугрупп (3.2) и (3.3)., Определение 3.3. Пусть { ■ t е RT} - аналитическая в секторе полугруппа. Ядром этой полугруппы называется множество
не»* - |ч € гл *, £*«* -о 3s € ß*}
Обозначим через Lo (М«) сукекие оператора L (М) ка кгг $i S* П dorr, и) . Нетрудно показать, что L„: кеь S4-vtt-т и Hfl ! tef- А ¿от м Т* , где jS* :
i v Ii, j и | Т*: t « ß» } - полугруппы, определенные интегралами (3.2) и (3.3) соответственно.
Теорема' 3.4. Пусть оператор И L-секторкален, а контур yt с С удовлетворяет (3.1). Тогда Ьэ-спектр оператора М0 содержит только бесконечно удаленную точку. Из теорем:» 3.4 следует существование оператора М<Г fc . Полозам R. = M^L. € £ (м*-В силу теоремы 3.4 оператор-функция ^ - Т)*1 - целая функ-переменной и с С . üoaror.ty
CuR-lV1'- KU", ¡гп.
Г к* О
К.-^сзкм точку «•. устразиглоГ: особой точкой, если Й..' О , полисом
порядка р& N , если RpitO, а . iR р *1 - Q ; существенно особой точкой во всех остальных случаях.
Теорема 3.5. Пусть выполнены условия теоремы 3.4. Тогда следующие утверждения эквивалентны: СО «з _ устранимая особая точка; (¡0. «г- S* OiÔ twT* -va*
Теорема 3.6. Пусть выполнены условия теоремы 3.4.
Тогда:
(Л \т 2>s с ira S* с «mftjl'CMVr
Си) im Ts с im Tt с .¡m
при любых 5 > ^ > о.
В пЛ наряду с задачей Кош (0.1) для уравнения (43.4) рассматривается задача Шоуолгера-Сидорова
Ци(о) -ио) =0 ' ; ' (3.5)
Решением задачи (0.1), (3.4) (задачи (3.5), (3.4)) называется вектор-функция , удовлетворяющая уравне-
нию (3,4) и иМ-*ио СЬии) -* в норме простран-
ства У (^ , 1: ~ о+ ,
Теорема 3.6. Пусть оператор М Ь-секториален. Тогда для любого 21 существует единственное теиение задачи. (3.5), (3.4). . -
Следствие 3.1. В условиях теоремы 3.6 имеют место следующие утверждения: .
<0 к^ П ¡т Яр(м) - [О) ; (50 хе* Т* Л ¡Я1 * |о!.
Определение 3.4. Множество С1 <-: <и называется фазовш пространством уравнения (3.4), если:
(Г) любое решение и е (1 ? ;
лежит в 01 , т.е. ,и(+) е 91 V I «Я, ;
00 для любого и ^ < С*1 существует единственное репе шиз задачи (0.1), (3.4).
Обозначим через & замыкание образа •^ Й ¡и (М) з норме пространства У . .
' Т е о р е и а. 3.7. Пусть оператор М 1~~секторнад(;н. Тог:>а а - фазовое пространство уравнения (3,4). -
В заключение п.4 .рассмотрено замыкание образа ¡т 1(1> (М).' з норме пространства , которое обозначено через ЗЬ .
в ¡Ьй устанавливается существование 'единиц полугрупп (3.2) и'(3.3).
Определение 3.5. Оператор М называется сильно L -секториальккм, если он секторцален и
iKAL-Mr'UpL-Mr1«^^ < (3.6)
I! UL -iM)(XL-MV4 "МП^вд Т^Г (3.7)
при любых И фиксированном ¿.е .
Отагстим, что условие (3.7) может быть записано в виде (3.6),
т.е.:
где Mt'MUL-МУ.5
Г е о р, е м а 3.8. Пусть оператор сильно -секторкален. Тогда существуй? единицы полугрупп (3.2) и (3.3). ?ти единица задаются «срь:ула'.га:
P>S-iim S* , Q -1-я Г* с , (3.8)
t-CK
где через s-ilm обозначен предел в сильной операторной топологт состватстазхцего пространства.
Теорема 3.9. Пусть выполнены условия теоремы 3.8, а операторы Pt X(i*) и Qe ^(S) определены формулами (3.8). Тогда:
<.) fcet- Р -кег S* , .m Р =OL , (.;") wr- О, * «г- Т* , im G, (.;/) lpu - qlu vu tlx-, (,v) |n\PO = QHo. Vu^doreM.
Следствие 3.2. В условиях теоремы 3.9 оператор РеХ(Цк) , где через обозначен линеал dom М , снабяен--от-мс/. «-«м - ftК-Ц +
В зоключешге п.5 рассмотрен яькый вид операторов (3.8) в слу-•¡..f, хог-а операторМ L-эграгсгчен.
В "г.: ка-зден пртлор относительно секторпаяьного, но не
стк-сятедыго ейкторкпльного оператора. Пусть t* ;
чтер L - 3 - < -, ч > ч1 , где ^ t ii , ; оператор
Ku ' (-Ui,~ J.u,, ни» , . .),
dorn M = jueet •. £ K"lu<[tc » }
' H- »
Если ч e 5a \ dow M , то оператор M L -секториален, но ке сильно L-секториален.
П.7. Пусть оператор И сильно L -секториален. Положим Öl«itrr!^(M) n dorn М) . Обозначим через Ц(М,)
сужегае оператора L(M) на подпространство И, (от.) . Операторы U: О. — 1Ь , Mi : & — Ъ
'Теорема 3.10. Пусть оператор М сильно L -секториален. Тогда существует оператор L £ & , СЛ.) . Оператор Lесть сучение на оператора
L = lim RI i Z Cs -,b)
. i-O'
где
Rt- ^¡(¡uL-My'e^ .tiR., x
а контур ff c удовлетворяет (3.IK
Положил T 1 и, М i : dorn Т » Ol — OL . По построению
оператор Т линеен, замкнут и плотно определен.
Следствие 3.3. В условиях тоореш 3.10 оператор Т; dorn Т — 01 секториален.
В. .ILiä приводятся условия, достаточные для относительной сек-ториальности оператора и достаточно просто проверяемые в приложениях. ■
(BI) Оператор L ¿ 'X ; . оператор М: dorn И с & — ъ
линеен, замкнут и плотно определен. Обозначим через ядро кег L
(В2) Существует проектор Ри такой, что PL е йС-^и4)
Здесь линеал dorn М , снабаенный нормой tl • iM * M-VIMI^. Пологим 2,1° - гГ Г, 2J* и 'S" ' И i Ы, 1 .Обозначь, через 'S1 образ im L • (ВЗ) 'S - Г <ь
Обозначим через Q. 5 — s" проектор «ноль V , г.'через Г - сужение оператора l"/ {I -Ct^M на bt * с'м П I* 1 ?де и*-кгг РсЦ .Оператор Г : do-n Т- üi JM - £<'
{ут и плотно определен по построений.
(В4) Оператор Т •. dem "Г-*- секториален.
Обозначим через cy.se.iaie оператора И на 2<ц , а, чсгк'з 3
сужение оператора Н^К-О^М " на
(В5> Оператор ГА!1 е X , , а оператор 5 • -
ограничен в норме пространства
Теорема 3.11. Пусть выполнены все условия (В1)-(В5). Тогда существует фазовое пространство уравнения (3.4), являющееся зашканием шюкества
&« {иСЙ,, : и-и1'^«1,. м1««^}
ь норме пространства У .
Обозначил через 01 фазовое пространство уравнения (3.4). Следствие 3.4. Б условиях теоремы 3.11 имеем: (Л Ц-И'Фй; .
(¡¡И 01 5 ©V
В заключение показано, что -фазовым пространством 01 + неод-• породного уравнения
1_и * Ми + ^
в условиях теореик 3.1Г будет замыкание глнокества
<2Ц . { и £ г1„:<3ь (Ми + П -О) в норме пространства . •
В п. 9 изучается фазовое пространство полулинейного уравнения типа Соболева
Ьи ~ Ми + ГМ . (3.9)
Репением задачи (0.1), (3.9) называется вектор-функция «с :Г((0-Д<Л •, Ир) Л гдг> , где 1« * и < ««) >
О , удовлетворяющую уравнешпо (3.9) и условию (0.1). Здесь 2.1,- - одно из пространств семейства { ; = йц Ф ^ , л ь ю-,х)| , где - замыкание линеала в
нор:.:е ». Пмд - 8Р,.-II „ - + 1 (I - Р..)-1,. , а «• ||А »
Н-^ь^-аг,', Тй - Т - о! , а>о ¡. причем оператор Г с
Определение 3.6. Множество £> с называется разово ппостоанством уравнения (3.9), если:
м ^"е репейке и е , Иг) А 3(10-,-и)
уравнения (3.9) ле.тат в £> , т.е. «(Оср VI £ ;
(■Л при лвбо;.; и„ £> существует единственное решение урав-г.-лж (3,9).
"соре у. а 3.12. Пусть
• (Л о::оратор И сг.лы:о Ь -секгориален, существует
такое, что пространство . а оператор F
(¡Л в любой точке
ue4b = |и с Q«.(Mu'-rCu»-
оператор L не шеет (М4 -присоединенных векторов;
(х) в любой точке uefj оператор QL (М + Г^) ; íC — ~ сюрьекция.
Тогда мнохество - фазовое пространство уравнения (3,9). Следствие 3.5. В условиях теоремы 3.12 множество £> - банахово 3"к -многообразие, моделируемое подпространством
В п.10 содержатся прилояения абстрактных результатов главы 3 к конкретным начально-краевым задаче»'л для уравнений и систем уравнений в частных производных. Здесь рассмотрены: начально-краевая задача для уравнения
(A.-Ü^Ut = ¿Au - f>blu + Ь (3.10)
моделирующего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жадности; задача Бенара для системы уравнений
. W • Л i i
моделирующей в приблияешш Обербека-Буссиноска плоскопарачлелъ-ную тепловую конвекцию в слое вязкоупругой несяшлаемой издкостн . Кельвина-Фойгта; начально-краевая задача для системы уравнений •типа реаиии-даффузш : '
e.vt = j-ív + ,
. , \ " (3.12)
.при IfO ',-■.'
В п.II собраны комментарии. Здесь,в частности, отмечается, что L-сехториалышй оператор ÍA - это, вообще говоря,. L -неограниченный оператор. Кроме того', замечено, что в настоящее время известно более общее определение относительной секториадь-ности оператора, чем определение 3.1. Исследования в данном направлении ведет сейчас Т.А.Еокарава [1.7]. И, наконец, -указаний в п.10 задачи для уравнегшй (3.10)-(3.12) в том шщ ¡mea те рассматривались, в [2.8, 2.13"]. R [1.9}.задача для уравк-гпга
(ЗЛО) решается в пространстве Понтрягина, причем Л * л А ,
где X i- наибольшее собственное значение однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа. В целом же результаты главы 3 следует рассматривать в контексте veopeita Хилле^осида-Фкллияса.
список цшрозашоД литератлн
1.Г. Свкс5цдск Г.А., Семенова U.M. Разрешимость неоднородной задачи для обобщенного- фильтрационного уравнения Бусслнеска //Дйфференц.уравнения. 1983. Т.24, Я 9. 0.1607-1611.
1.2. Свиридш: Г.А., Сукачева Т.Г. Бнстрочдеддешая динамика вяз-коупругах сред //Докл. АН СССР. 1989. Т.308, й 4. С.791-794,
1.3. Свиридаж Г.А., Сукачева Т.Г. О галеркинекпх приближениях нелинейных уравнений типа Соболева //Изв. вузов г Математика, 1239. & 10. С.44-47.
1.4. Свирвдюк Г.А., Сукачева Т.Г. Фазовые пространства одного класса операторных уравнений //Дафференц.ураввэния. 1990. Т.26, £> 2. С.250-258.
1.5. Свирвдак Г.А.» Сукачева Т.Г. Задача Кони для одного класса полулякеГзшх уравнений типа Соболева //Сиб.матем.журнЛЭЭО. Т.31, й 5. C.I09-II9.
1.6. Свириднж Г.А., Апетова Т.В. Фазовое пространство липеГшого дифференциального уравнения п -ого порядка //ХУ1 Школа по -те-оркл операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. - Шгашй Новгород, 1991.
1.7. Сшрпдюк Г.А., Бокарева Т.А. Число Деборы и один класс по-лул:тей1гьгх: уравнений типа Соболева //Докл. СССР. 1991. T.3I9, й 5. C.IOS2-IOS6. '
1.8. Сшрдцак Г.А., Сукачева Т.Г. Медленные многообразия одного класса полулинеГяшх уравнений тина Соболева //Вестник Челябинского ун-та, сер. иатем. глех. 1991. ib I. С.3-20..
1.9. Сзкргдак Г.А., Суханова М.В. Разрешимость задачи Коши для лпг.елних сингулярных уравнений эволюционного типа //Диффе-ренц.уравнекия. IS92. Т.28, В 3. С.323-330.
ГЛС. Вестник Челябинского университета, сер. матегл. мех., И I,-'•сллбнкск: 1991.
С^ир^т-'-к Г.А. Некоторые математические задачи фильтрации и дг-га-иш жвдкосгеЯ. Лз'сс. ... канд.физ.члат.наук. Ленинград,
1.12. Сукачева Т.Г. Исследование <вазовых пространств полулинейных сингулярных уравнений динамического типа. йм. ... каяд.флз.-мат.наук. Новгород, 1990.
ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕ® ДОСЕРТШИ
2.1. Свиридак Г.А. Od одной сингулярной системе обыкновенных дифференциальное уравнений //Дшареренц. уравнения. 1987.
2.2. Свиридак Г.А. Задача Коши для линейных операторных уравнений с неположительным оператором при производной //Дифференц. 'уравнения. Т987. Т.23, й 10. C.I823-I826.
2.3. Свиридак P.A. Задача Копи для линейного сингулярного уравнения типа Соболева //Дифференц. уравнения. 1987. Т.23,
& 12. С.2169-2171.
2.4. Свиридак Г.А. Об одной модели дшшьяки несгзнлаемой вязко-упругой аидкости //Изв. вузов. Математика. 1983. & I.
С. 74-79.
2.5. Свиридюк Г.А. О многообразии решений одной задачи несжимаемой вязкоупругой жидкости //Дифференц. уравиения.1988. Т.24, Я 10. C.I846-I848.
Ï.6. Свиридак Г.А. Релаксационные колебания зволйциошшх и динамических систем теории вязкоупругих сред //Успехи матом, наук.-1988. Т.34, & 4. С.169.
1.7. Свиридак Г.А. Одна задача для обобщенного фкльтращгошого уравнения Буссикеска //;'зв. вузов. Математика. 1989. .'"= 2.
.8. Свиридюк Г.А. Многообразия pememtn одного класса эводюцп-' онных и динамическое уравнений //Докл. АН СССР. 1989. Т.304, й 2. Ci30I-304.
.9. -Свиридак Г.А. Об одной задаче Showaiter- //ДдТфзрегаи уравнения. 1989. Т.25, Я 2. С.338-339.
ГО. Свиридак Г.А. О разрешимости одной модельной задачи дшга-мяки несотлаекой вязкоупругой кидкостц //Сот. анализ и его прилоз. Сб.научи.трудов, Киев: Яауклва дужа. 1389. С.189-193.
'I. Свиридюк Г.А. Релаксационная динамика уравнения Хофф-а //Х1У Школа по теоряг операторов в ^рздю-атьшх пространствах. Тезисы;докладов. - Новгород: 1909.
2. Svifidijux G.A. ReioAotion £(Çect,S 0) D-joarmts ci ^emilinaar ¡ioboluv Тура Ecjuabonj / Fourth Conf. Difi . Ц. Appl. ßcuss«' '¿9 , ftoiocw /о , - Йо^'ч' ; 19<:)9
2.13. Свиридюк Г.Л. Разрешимость задачи термоконвекции вязко-упругой несжимаемой квдкости //Изв.вузов. Математика. 1990. Й 12. С.65-70.
2.14. Свнридюк Г.А. Эйфект отдачи в модели Осколкова //Модел.
и ксслед.уст.физ.процессов. Всесоюзн. шк.-семинар. Тезисы докладов. - Киев: 1990.
2.15. Свиридюк Г.А. Квазиотационарнне решения полулинейных , уравнений типа Соболева //Л Школа по теории операторов
.. в функциональных-пространствах. Тезисы докладов. - Ульяновск: .1990. . - ■. ' • 2.15, .^¡НсЦик Й.А. Л/с<-та1 Рог-тй с$ ЗоЬа1е»"
Е^иаЬсг.? 4 АЬ$1 , . [.ее! . З^о^Т. Сстт. Рт-а! ЗгЛвт
СоЦ. 0Л<| ■ Ц- Ь^^оог'.о ■ - : то,
2.17. Свирздюк Г.А. Полулинейные уравнения типа Соболева с относительно ограниченным оператором //Докл. АН СССР. 1991. Т.318, 4. С.828-831.
2.18. Страдах Г.Л. Решения задачи Коши-Дирихле для системы Осколкова как квазистацзонарные траектории //ХУ1 Школа во теория операторов в функциональных пространствах. Тезисы докладов. - Пкашй Новгород: 1991.
2.19. Сшгрэдяк Г.А, 'Летод вязового пространства в теории полу-линейных'уравнений типа Соболева //Вестник Челяб. ун-та, сер. матег-л., мех. 1991. й I. С. 140.