Исследование поведения вращающейся жидкости в контейнерах с ребрами

Троицкая, Сауле Джумабековна

Исследование поведения вращающейся жидкости в контейнерах с ребрами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

Троицкая, Сауле Джумабековна АВТОР

доктора физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.03 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Исследование поведения вращающейся жидкости в контейнерах с ребрами»

Автореферат диссертации на тему "Исследование поведения вращающейся жидкости в контейнерах с ребрами"

На правах рукописи

ТРОИЦКАЯ Сауле Джумабековна

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ВРАЩАЮЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ В КОНТЕЙНЕРАХ С РЕБРАМИ

Специальность 01.01.03 - математическая физика

2 9 ЧАР 2012

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва 2012

005012916

Работа выполнена на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова

Официальные оппоненты: Доброхотов Сергей Юрьевич,

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией Института проблем механики имени А.Ю.Ишлинского РАН

Кордюков Юрий Аркадьевич, доктор физико-математических наук, доцент, ведущий научный сотрудник Института математики с ВЦ УНЦ РАН

Шкаликов Андрей Андреевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией механико-математического факультета МГУ имени М. В. Ломоносова

Ведущая организация : Математический институт РАН

имени В. А. Стеклова

Защита состоится 17 апреля 2012 г. в 16 час. 30 мин. на заседании диссертационного Совета Д 212.133.07 при Московском государственном институте электроники и математики по адресу: 109028, г. Москва, Б. Трехсвятительский пер., 3 (ауд. 526)

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного института электроники и математики.

Автореферат разослан марта 2012 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 212.133.07 кандидат физико-математических наук

■"ТСЖнурАсоо. П. В. Шнурков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Изучение поведения вращающейся жидкости представляет собой важную задачу, актуальность .которой в настоящее время сильно возросла, что обусловлено целым рядом обстоятельств. Во-первых, в классических областях ее применения, таких, как геофизическая гидродинамика, существенно развились средства и системы получения и обработки данных, что продвинуло теоретические исследования гораздо ближе к задачам оперативного прогнозирования. Во-вторых, модели, описывающие вращающиеся жидкости, оказались важными и для других, бурно развивающихся отраслей естествознания, в первую очередь, для астрофизики и физики высоких энергий. В-третьих, возросло число технических приложений свойств вращающейся жидкости: это многочисленный класс задач, связанных с вращением твердых тел с полостями, содержащими жидкость.

Настоящая диссертация посвящена исследованию математических проблем, возникающих при изучении фундаментальных свойств вращающейся жидкости, которые рассматриваются здесь для случая идеальной несжимаемой жидкости, целиком заполняющей контейнер, но которые проявляются во всех системах, содержащих вращающиеся жидкости. Эти свойства связаны с эффектами локализации энергии внутри жидкости и возникновением "опасных" режимов колебаний. Наиболее существенное проявление этих свойств происходит в тех случаях, когда содержащие жидкость контейнеры имеют ребра, т.е. когда их граница образована несколькими гладкими поверхностями, пересекающимися по некоторым кривым — ребрам. Примером такого контейнера может служить ограниченный прямой круговой конус. Изучению поведения жидкости именно в таких контейнерах и посвящена данная диссертация.

Система уравнений, описывающих малые колебания идеальной

несжимаемой жидкости, целиком заполняющей некоторый контейнер (7, который равномерно вращается вокруг оси с направляющим вектором к, имеет вид

иь + 2кх0 = -V р (<?), (1)

= О (С), (2)

0-п = О (3)

Кроме того, чтобы сделать ее решение определенным, задают условие

: и0. (4)

¿=о

Здесь 0 = {и, V, т) — вектор скоростей частиц жидкости во вращающейся системе координат, жестко связанной с контейнером й,р — гидродинамическое давление, Я — единичный вектор внешней нормали к границе <9(? (везде далее мы будем предполагать, что дй является кусочно-гладкой, и (3 удовлетворяет известному "условию конуса"). Задача отыскания инерционных мод колебаний, т.е. решений системы (1 — 3), зависящих от времени по закону е~ш, может быть сведена к следующей задаче:

у2р_1(ЬУ)2р = 0 (С), (5)

—Л2п ■ Ур + 4(п -к)(к- Ур) + 2гА(£ х п) ■ Ур = 0 {дв). (6)

Эта задача, часто называемая задачей Пуанкаре о вращающейся жидкости, известна своей исключительной трудностью. Ее изучению были посвящены многочисленные работы, поскольку свойства ее решений являются определяющими для многих практических задач. Помимо этой задачи, в математической физике, геофизике и астрофизике рассматривают также задачи с другими граничными условиями, в частности, с условием:

р = 0 (дв). (7)

Последняя задача, в некотором смысле, является более простой для исследования, а для осесимметричных колебаний существует взаимнооднозначное соответствие между решениями этих двух задач.

Кроме того, ввиду сложности трехмерных задач, изучают также их двумерные аналоги. А именно, в предположении, что компоненты скорости 0 и давления р зависят только от двух пространственных переменных х и г, а. область, занимаемая жидкостью, является бесконечным цилиндром с образующей, параллельной оси Оу, основанием которого является некоторая область £> в плоскости Охг, вместо системы (1 — 3) рассматривают систему:

ди др дь дт др

dt V дх • dt U' dt dz

t+fH (D»' (9)

uni +vmz\dD = 0, (10)

где n = (ni, пз) — вектор нормали к dD в плоскости Oxz. Тогда соответствующая функция тока ф является решением следующей задачи:

Ф\д0х(0,оо) = 0, (12)

#=о = Фо, i>t\t=0 = Фи (13)

К этой же самой задаче приводит соответствующий двумерный аналог задачи (1, 2, 7). Изучение двумерных задач является важным для прогнозирования возможных особенностей поведения жидкости в цилиндрических контейнерах конечной длины с образующей, перпендикулярной оси вращения, что было установлено в известной работе В.П.Маслова1 и подтверждено недавними экспериментальными исследованиями2.

Одним из наиболее важных вопросов, возникающих при решении практических задач, является возможность разложения всякого решения системы (1 — 3) в ряд по инерционным модам

U (г, AmÛm{r) exp {i\mt), (14)

P(f, *) ~ X) exp (îAmi). .(15)

^ = (D), (8)

'Маслов В.П., Сиб. матем. журнал. 1968. T. 9, N 6. С. 1351 - 1359.

2Manders A.M.M., Duistermaat J.J., Maas L.R.M. Phys. D. 2003. V. 186, N 3-4. P. 109 - 132.

Представление о том, что невязкие колебания для почти всех контейнеров имеют нормальные моды, является глубоко укоренившимся 3. Так, к примеру, техника решения многих практических задач, описывающих поведение вязкой вращающейся жидкости в различных контейнерах, заключающаяся в асимптотическом приближении решения методом теории пограничного слоя, основана как раз на предположении, что для инерционных волн имеет место разложение вида (14) 4. Кроме того, фактически существование такого представления часто используется в теоретических исследованиях и в неявном виде, а именно, если молчаливо предполагается, что внутри вращающейся жидкости не может появиться областей концентрации энергии, где частицы жидкости с течением времени приобретут скорости, по абсолютной величине сильно превышающие скорости начального возмущения. Возникает естественный вопрос о том, всегда ли разложение (14) возможно.

Известно, что для двух видов контейнеров — прямых круговых цилиндров и эллипсоидов вращения, оси симметрии которых совпадают с осью вращения, — этот вопрос решается положительно. Поведение вращающейся жидкости в них было изучено — как теоретически, так и экспериментально — с более или менее достаточной полнотой. В обоих случаях было установлено наличие инерционных мод, отвечающих собственным частотам, всюду плотно заполняющим отрезок [—2,2] (моды были найдены в явном виде), а также возможность представления (14) всякого движения невязкой жидкости, возникающего в таких контейнерах, в виде суперпозиции этих мод. Это означает, что все малые колебания в эллипсоидах и цилиндрах являются почти-периодическими функциями по t, что гарантирует отсутствие локализации энергии начального возмущения внутри жидкости с течением времени t. Но оказывается, что этим список полостей, для которых инерционные моды найдены, и ограничивается. Для контейнеров же произвольной конфигурации этот вопрос является чрезвычайно сложным.

Первым, кто обратил внимание на то обстоятельство, что в контейнерах с ребрами на границе, подобных конусу, законность разложения

SMaas L. R. М., BenieUi D., Sommeria J., Lam F.-P.A. Nature, 1997, V. 388. P. 557 - 561.

^Гринспэн X. Теория вращающихся жидкостей. Л.:Гидрометеоиздат, 1975.

(14) совсем не очевидна, был X. Гринспэн 5. Рассматривая модельный случай цилиндрического контейнера бесконечной длины, нормальное сечение которого является треугольником, X. Гринспэн высказал предположение о том, что "спектр инерционных волн здесь должен быть непрерывным, а собственные функции — сингулярными в угловых точках", и что эти же проблемы следует ожидать и в случае, когда вращающаяся жидкость находится в контейнере, имеющем форму прямого кругового конуса. Позже тот факт, что движение жидкости в конусе принципиально отличается от движения в сфере, было подтверждено экспериментально Р. Бердсли 6, а затем и Р. Картером 7 (Лаборатория M.I.T.). Теоретического же объяснения этих эффектов получено не было, и поэтому эти работы в то время не оказали должного влияния на распространенное представление об общем характере невязких колебаний, а именно, что разложение (14) справедливо для контейнеров произвольной конфигурации. Так, например, три года спустя (в 1973 г.) при исследовании устойчивости стационарного вращения твердого тела с заполненной жидкостью полостью, имеющей форму прямого кругового конуса с малым углом раствора, JI.B. Докучаев и Р.В. Рвалов 8 опирались именно на предположение о существовании в произвольной полости инерционных мод и разложении по ним всякого невязкого колебания жидкости. Позже линеаризованная система уравнений движений такого тела, полученная на основании этого разложения, использовалась во многих работах.

5Greenspan Н.Р. Stud, in Appl. Math. - 1969. V. 48, № 1. P. 19 - 28.

"Beardsley RC, Stud. Appl. Math. 1970. V. 49, N 2. P. 187 - 196.

rCarter R.M., S.M.Thesis, Dept. of Geology and Geophysics, M.I.T., 1969.

'Докучаев Л.В., Рвалов P.B., Изв. АН СССР. Мех. тв. тела, 1973. N 2. С. 6 - 14.

скошенными гранями 9, 10 , что связано с большой практической значимостью таких задач. В частности, было экспериментально установлено, что в контейнерах со скошенными гранями возможны такие "опасные" режимы колебаний, которые аккумулируют энергию начального возмущения в окрестности ребра — линии пересечения плоских граней 11 . Исследования рассматриваемых задач в таких контейнерах активно ведутся и в настоящее время как с помощью попыток построения "приближенных" решений, так и с помощью численного моделирования, что является естественным в связи с развитием компьютерной техники и методов программирования, точных же решений во всех этих исследованиях получено не было.

Учитывая сказанное выше, представляется актуальным и необходимым развернутое математическое исследование поведения вращающейся жидкости в контейнерах, границы которых имеют особенности такого типа.

Цель работы. Целью настоящей диссертации является изучение задач (1 — 4), (1, 2, 4, 7) и (11 — 13) в областях специального вида, границы которых имеют особенности в виде ребер: получение нового метода исследования спектральных свойств операторов, связанных с этими задачами, основанного на естественной идее использовать в этом круге вопросов корректную разрешимость краевых задач для гиперболических уравнений на плоскости типа задач Гурса и Дарбу; установление с помощью этого метода достаточных условий, определяющих конфигурацию контейнера, при которых изучаемые задачи имеют решения, не пред-ставимые в виде (14), получение явных представлений точных решений нестационарной задачи (11 - 13) в некоторых областях со скошенными гранями, где ранее экспериментально был установлен эффект локализации энергии, и объяснение этого эффекта путем исследования поведения этих решений при неограниченном увеличении времени.

Методы исследования. В диссертации используются методы функционального анализа и теории уравнений с частными производными.

9Hazewinkel J., Breevoort P.V., Dalziel S.B., Maas L.R.M., J. Fluid Mech., 2008, V. 598. P. 373 - 382.

10Cacchione D., Wunsch С., J. Fluid Mech., 1974, V. 66, part 2. P. 223 - 239.

"Wunsch С., Deep-Sea Research, 1968, V. 15. P. 251-258.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Они заключаются в следующем:

1. Для первой и второй краевых задач о малых колебаниях вращающейся идеальной жидкости в случае, когда область, занимаемая жидкостью, симметрична относительно оси вращения, получены разложения пространств соленоидальных векторов, которым принадлежат решения этих задач, в бесконечные ортогональные суммы их некоторых подпространств, и доказано, что изучение спектров операторов, связанных с рассматриваемыми задачами, может быть сведено к изучению спектров их ограничений на указанные подпространства, что позволяет вместо возникающих здесь известных трехмерных краевых задач для гиперболических уравнений рассматривать их аналоги на плоскости.

2. Исследована первая краевая задача, являющаяся обобщением известной задачи Дарбу и заключающаяся в нахождении для гиперболического уравнения в плоской области Д ограниченной двумя гладкими кривыми, выходящими из одной точки и целиком лежащими в характеристическом угле с вершиной в этой точке, и отрезками характеристик, обобщенного решения из пространства С.Л.Соболева И/21(-С>), принимающего на этих кривых заданные значения; доказана корректность этой задачи.

3. Исследована вторая краевая задача Для гиперболических уравне-

ний с двумя переменными, заключающаяся в нахождении обобщенно-

го решения гиперболического уравнения, принадлежащего пространству С.Л.Соболева И^Р), где плоская область В ограничена двумя гладки-

ми кривыми, выходящими из одной точки и целиком лежащими в характеристическом угле уравнения с вершиной в этой точке, и отрезками характеристик, - такого, которое удовлетворяет граничным условиям с частными производными, заданным на этих кривых, и принимает некоторое наперед заданное значение в вершине угла; установлены условия, касающиеся расположения этих кривых и коэффициентов при частных производных в граничных выражениях, при которых данная задача корректна.

4. Получен новый метод изучения поведения вращающейся идеальной несжимаемой жидкости, суть которого заключается в исследовании спектральных задач соответствующих операторов с помощью теории корректной разрешимости первой и второй краевых задач для гиперболических уравнений на плоскости, являющихся обобщениями классических задач типа Гурса и Дарбу. Этот метод применим к задачам в трехмерных областях специального вида с кусочно-гладкой границей, содержащей ребра и, быть может, конические точки, и к соответствующим двумерным областям с угловыми точками.

5. С помощью разработанного нового метода получено объяснение качественно различного поведения вращающейся жидкости в сферических и конических контейнерах, наблюдаемого экспериментально. Построены конкретные примеры осесимметричных трехмерных областей с ребрами, для которых не пуст непрерывный спектр инерционных волн, а также описан некоторый класс таких областей; доказано, в частности, что всякая осесимметричная область, ограниченная коническими поверхностями, принадлежит этому классу независимо от взаимного расположения конусов и их углов раствора, что означает обязательное существование не почти-периодических движений вращающейся жидкости в таких контейнерах. Приведены примеры, доказывающие существенную неустойчивость характера поведения жидкости по отношению к малым деформациям границы контейнера. Аналогичные результаты получены для модельной двумерной задачи.

6. С помощью разработанного нового метода исследования рассматриваемых задач для плоской треугольной области впервые в явном виде построены точные решения нестационарной двумерной модельной задачи, исследованы свойства этих решений, доказано, что их £2-нормы убывают при £ —> со.

7. Впервые установлено, что существуют такие решения нестационарной двумерной модельной задачи, Ьг-нормы которых убывают при £ оо быстрее любой отрицательной степени г, а вся энергия, которой они обладают, со временем оказывается почти полностью сосредоточен-

ной в сколь угодно малых окрестностях угловых точек. Это объясняет некоторые обнаруженные в известных экспериментальных исследованиях особенности поведения вращающейся жидкости в контейнерах рассматриваемых конфигураций, что не могло быть сделано ранее.

Эти результаты составляют основное содержание диссертации и выносятся на защиту.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Достовердость результатов, полученных в диссертации, обеспечивается математически строгой доказательностью всех устанавливаемых утверждений. Они согласуются с известными ранее теоретическими результатами, полученными для более простых случаев, а также объясняют ряд экспериментальных данных. Полученные результаты могут применяться для дальнейших фундаментальных теоретических исследований, для численных решений конкретных практических задач, для объяснения и организации экспериментальных исследований и численного моделирования процессов, происходящих во вращающейся жидкости.

Личный вклад автора. Все работы выполнены без соавторов.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях и конгрессах ICM-1994 (Цюрих, Швейцария, 1994 г.), "Differential equations and applications" (Руссе, Болгария, 1995 г.), KPOMUI-VI (Ласпи, Украина, 1996 г.), "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы матем. образования" (Москва, 1998 г.), HYP-1998 (Цюрих, Швейцария, 1998 г.), Международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина (Москва, 1998 г.), Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения В. А. Рохлина (С.-Петербург, 1999 г.), "Обратные и некорректно поставленные задачи" (Москва, 1999 г. и 2000 г.), неоднократно на совместных заседаниях-конференциях ММО и семинара Петровского и других конференциях, а также докладывались на семинарах механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, Математического института РАН им. В. А. Стеклова, Мос-

ковского физико-технического института, Института проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАН, факультета естественных наук университета Грайфсвальд (Германия), обсуждались на кафедре квантовой статистики и теории поля физического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, в Лаборатории геометрических методов математической физики механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова и др.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-11] в ведущих периодических изданиях. Всего по теме диссертации автором опубликовано 28 работ.

Структура работы. Работа состоит из введения, 5 глав, заключения и списка литературы, содержащего 153 наименования. Общий объем диссертации — 269 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении обосновывается актуальность темы диссертации и приводится краткий обзор предшествующих исследований. Кроме того, в нем кратко изложено содержание и основные результаты работы.

Начало исследований системы уравнений (1)—(2) было положено в известных работах лорда Кельвина 12 и А. Пуанкаре 13. Фундаментальный вклад в исследование смешанных задач и задачи Коши для этой системы был сделан С.Л.Соболевым 14, вслед за которым вопросы, связанные с их разрешимостью в различных классах функций, оценками и асимптотическим поведением решений этой системы, а также ее обобщений, активно изучались в работах Р. А. Александряна, В. Н. Масленниковой,

"Thomson W. Phil. Mag. S. 5. Vol. 10. No 61. Sept 1880. P. 155 - 168.

"Poincaré H. Acta math. 1885. V. 7. P. 259 - 380.

"Соболев С.Л., Изв. АН СССР. Сер. мат. 1954. Т. 18, N 1. С. 3 - 50.

М. Е. Боговского, С. В. Успенского, Г. В. Демиденко, Е. Н. Васильевой, А. М. Ильина, А. Г. Костюченко, А. А. Шкаликова, Т. И. Зеленяка, М. В. Фокина, В. В. Сказки, С. А. Габова, В. А. Свешникова, Н. Д. Ко-пачевского, С. И. Янова и многих других.

В главе 1 диссертации для системы уравнений (1)—(2), описывающей колебания вращающейся жидкости, в которой, без ограничения общности, положено к = (0,0,1/2), рассматриваются две задачи с граничными условиями (7) и (3) и начальным условием (4). Эти задачи в дальнейшем называются задачами Л и В, соответственно. Для их исследования естественно ввести операторы А и В, с помощью которых задачи Л и Б могут быть записаны в виде обобщенных задач Коши.

Пусть Я — пространство вектор-функций £/ = (щ, и2, щ), щ е г = 1,2,3 со скалярным произведением

= J (щщ + и2Щ+ UзЩ)dxdydz. (16)

В Я рассмотрим подпространства 5д и Бв соленоидальных векторов : 5Л = {¿? е Я : (И, — 0 для всех реИ^ £(<?)}, (17) = {и £ Я: (0,Чр)н = О для всех р€\УЦС!)\ (18)

где V/ 2 (С) и №¡(0) - пространства Соболева комплекснозначных функций, обобщенные производные которых квадратично суммируемы на б, причем первое из них является подпространством второго, и состоит из функций, обращающихся в ноль на границе С?. Обозначим через РА и Рв соответственно операторы ортогонального проектирования на эти подпространства. Определим линейные операторы:

Аи = 2 РА (их к}, А: БА 5л. (19)

ВО = 2Рв(рхк), В : Эв (20)

Тогда задачи Л и В могут быть соответственно записаны в виде 14 :

Щ = Аи, ¿7(0) = е (21)

й = и{0) = &о€Бв. (22)

Операторы А и В ограничены и косоэрмитовы, ||Л|| = 1 и ||ß|| = 1. Поэтому решения обеих этих задач существуют и определяются единственным образом по вектору начального возмущения:

Ü(t) = еА%, (23)

соответственно,

U(t) = eBtUо- (24)

Известно, что для произвольной области G спектры операторов iA и iB совпадают с отрезком [-1,1] 15, качественные же свойства решений задач Av. В — инерционных волн — зависят от структуры этих спектров, которые, в свою очередь, определяются конфигурацией контейнера G. В силу своей исключительной трудности, спектральные задачи для операторов А и В еще очень далеки от сколько-нибудь полного исследования. Как это уже было отмечено выше, полностью спектральные свойства операторов Am В изучены лишь для прямых круговых цилиндров и эллипсоидов вращения: в обоих этих случаях найдены собственные функции операторов Л и В и доказана их полнота. Если G является произвольным эллипсоидом или цилиндром произвольного сечения с образующей, параллельной оси вращения, полнота собственных функций оператора А была доказана Р. Т. Денчевым. Для оператора В аналогичный результат для цилиндров произвольного компактного сечения был получен Ю. Н. Григорьевым. Исследуя задачу А в цилиндрах конечной длины, с образующей, параллельной оси Oy, В. П. Маслов 1 доказал, что если задача (11 — 13) в некоторой области D, являющейся сечением такого цилиндра, имеет не почти-периодические решения (т.е. соответствующий ей оператор имеет непустой непрерывный спектр), то подобные решения имеет и задача А (следовательно, оператор А также имеет непустой непрерывный спектр). М. В. Фокин доказал, что при увеличении длины такого цилиндра участки непрерывного спектра оператора А в некоторых инвариантных подпространствах стремятся в пределе к соответствующим промежуткам непрерывного спектра двумерной задачи. А. А. Ляшенко доказал существование тороидальной области G, для

"Ralston J. v., J. of Math. Anal and Appl. 1973. V. 44, N. 2. P. 366-383.

которой не пуст непрерывный спектр оператора В. Нашей же целью является исследование спектров операторов Л и Б в областях, границы которых имеют особенности в виде ребер и, быть может, конических точек — областях, "подобных конусу".

В главе 1 исследуются общие свойства инерционных волн в случае, когда контейнер G симметричен относительно оси вращения Oz. Хорошо известно, что в этом случае после перехода к цилиндрической системе координат рассматриваемые системы уравнений допускают естественное разделение переменных, ч?о позволяет свести их к изучению последовательности двумерных задач. Этот прием использовался с разными целями в работах многих авторов. В наших рассуждениях разделение переменных играет важную роль в исследовании спектральных задач для операторов А и В, поэтому при переходе к изучению последовательности двумерных задач нам необходимо точно описать пространства, которым принадлежат их решения, и установить связь между спектрами трехмерных и двумерных задач.

Пусть (г, ¡р, т) — цилиндрическая система координат, связанная с (x,y,z): х = rcosp, у = г simp, z = т и пусть D — область в полуплоскости <р = 0, которая заметает G при вращении вокруг оси От. Через L,(P), Н,(Р), W \{Р) и W}(P), где Р = D х (0, 2тг), обозначим пространства, в которые перейдут при этом пространства ¿2(G), Я, W \{G) и Щ ■■= W%(G) Q {1} соответственно. Обозначим через L,{D) и Wk AD). к = О, ±1, ±2,.. пространства функций на D с нормами

(А,*) >

соответственно, а через У/ ¡к,.)(п)> к = 0,±1,±2,.. - подпространства пространств ]¥}к .(£)), состоящие из функций, следы которых на границе

дд 2 к2

сШ\7, 7 := б П {г = 0}, равны нулю. Пусть

СОЭ <р — БШ (р

бш (р ссй <р 0

V о 01;

Тогда справедлива Теорема 1.

+оо

Ь.{Р) = Ф ^(Д)е^,

(27)

оо

+00

Ф (28)

к^О,к=-оо

+00

ф $ е'к<Р> (29)

к=-оо

+00

я.(Р) = ф #(М. (30)

к=-оо

где элементы пространств #(<;,«) имеют вид:

Н е**, Мг,т) б » = 1,2,3,

\/з/

и суммы ортогональны относительно соответствующих скалярных произведений.

Обозначим через и пространства, в которые перейдут в а и при цилиндрической замене координат, через - операторы ортогонального проектирования Н,(Р) на подпространства Н^,*)-

Теорема 2.

+оо

5(Л,») = ф 3(А,к,*Ь

к=—оо +00

^(я,*) - ф

к=—оо

(31)

состоит, из всех таких Ок 6 #(*:,.), что (Т^О, VМг,т)е*кП)н р) = 0 для есехрк(г,г) |М(Д), (33)

3(в,к,*) состоит из всех таких Ик е Н(к,*), что

(т,:1и,Ус(рк(г,г)е^)) =0 для всех р^^еШ^О), (34)

где V, := При этом РкРА = РАРк, РкРв = РвРк для всех

А: = О, ±1, ±2,...

Теорема 3. Пространства Б^к,*) приводят оператор А, а пространства ¿чв.к,*) приводят оператор В. При этом для любого V £ вА: АРк0 = РкАи, и для любого и € ВРкО = А = 0, ±1, ±2,...

Таким образом, если инерционная волна такова, что в какой-то момент времени функция давления в жидкости является к-юй гармоникой по угловой переменной <р, т.е. имеет вид р = рА(г, т)егк'^, то во все последующие моменты времени она будет обладать тем же свойством, причем вне зависимости от того, является ли она инерционной модой или соответствует непрерывному спектру. В § 1.4 доказано, что спектром каждого из операторов гАк и 1Вк — сужений операторов гА и гВ на соответствующие подпространства З^,*,.) и Б^м ~ является отрезок [-1,1]:

Теорема 4. о{1Ак) = [-1,1], о{гВк) = [-1,1], к = 0, ±1, ±2,...

Этот факт является важным, в частности, при исследовании стационарной устойчивости вращающихся твердых тел с полостями, заполненными жидкостью. Установленная существенная непростота спектра указанных операторов означает исключительное богатство инерционных волн, не учитываемое, к сожалению, в некоторых работах, рассматривающих лишь осесимметричные движения жидкости. На основании полученных результатов в § 1.5 показано, что исследование спектра инерционных волн в случае осесимметричных областей может быть сведено к исследованию спектральных задач 1А,к и 1в,к для операторов 1Ак и гВк, представляющих собой краевые задачи для уравнения

дг2 г дг а2 дтг гг 1 — аг

в которых обобщенные решения должны принадлежать пространствам тд/1 (¡)) и ш } (£)) соответственно и удовлетворять граничным условиям: для операторов %Ак

Рк\дО\1 = 0, (36)

а для операторов гДь

= (ЗГ,

Заметим, что эти задачи отличаются от известных краевых задач, предложенных ранее в ряде работ для случая осесимметричных контейнеров 16

В § 2.1 главы 2 диссертации установлена связь между задачей Л в коническом контейнере и обобщенной первой краевой задачей для гиперболических уравнений. Последняя заключается в нахождении в области В := {(х, у) : х» < х < 0, 0 < 12(х) < у < к{х)}, где функции и(х) € С2[ж„0], г = 1,2, такие, что

1[(х) < 0, для любого х € (х„ 0), г = 1,2, (38)

¿1(0) = 12(0) = 0, 0 < Ит < Ит М1, (39)

4 ' х—0 х—*—и

обобщенного решения гиперболического уравнения

Ьи := иху + аих + Ьиу + си = /, (40)

с коэффициентами а, Ъ 6 С1 (А), с 6 С(АО, А) Э А принадлежащего пространству У/ЦБ) и удовлетворяющего условиям

«Цм^, « = 1.2, (41)

где функции <р{ 6 И^а^О), и <^(0) = </>2(0). Для регулярных решений корректность этой задачи известна давно 17. В случае обобщенных решений в подавляющем большинстве работ, посвященных этой задаче, изучаются ее частные случаи, когда из кривых Гь задаваемых уравнениями у = Ь{х), либо одна, либо обе являются характеристиками, а^^О,

16Бабский В. Г., Копачевский Н. Д., Мышкис А. Д., Слобожанин Л. А., Тюпцов А. Д., Гидромеханика невесомости. М.: Наука, 1976. 17Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных — М.: Наука, 1981.

см. 18, 19, 20. В случае, когда а = 6 = с = 0, а Г; являются отрезками прямых, единственность обобщенного решения такой задачи в пространстве ИГ1{Е) доказана в 15. В работе 21 существование и единственность сильного решения из И^1 (£>) и справедливость соответствующей априорной оценки показана в случае, когда а = Ь = с = О, ¡/^ = О, г = 1,2, а одна из Г; является отрезком нехарактеристической прямой. Нам же для получения нового метода исследования спектральных свойств задач А и В необходимо изучить общую задачу (40 - 41), для произвольного уравнения (40) с, вообще говоря, ненулевыми младшими членами и ненулевыми граничными значениями. Кроме того, принципиально важным для дальнейших рассуждений является то, что кривые здесь могут быть произвольными, не обязательно совпадающими с характеристиками уравнения (40).

В § 2.2 установлены общие свойства обобщенных решений уравнения (40), принадлежащих пространству функций ^(¿О, производные которых являются квадратично суммируемыми на некоторой области 5 специального вида. С помощью этих свойств в § 2.3 обоснована возможность применения метода Римана, часто используемого в классической форме для исследования динамики геофизических жидкостей, к обобщенным решениям гиперболических уравнений, доказана справедливость формулы Римана для таких решений. В § 2.4 доказана корректная разрешимость в пространстве IV} обобщенных задач Гурса и Дарбу, получены априорные оценки решений в пространствах И^2П'"(5), п ^ 0 с нормой

Обозначим через Сп-п(3), где 5 - некоторая область с кусочно-гладкой границей, множество всех функций г(х,у), имеющих непрерывные на 3 смешанные производные ^^¡г, г,Э = 0,1,..п. В § 2.4 доказана основная теорема о корректной разрешимости обобщенной первой краевой задачи:

"Капустин Н.Ю., Шония З.В. Дифференциальные уравнения. 1988. Т. 24, N 1. С. 85 - 91.

"Врагов В.Н. Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8, N 1. С. 7 - 16.

20Коврижкин В В. Дифференциальные уравнения. 1972. Т. 8, N 1. С. 68 - 75.

21Кальменов Т.Ш., Садыбеков М.А. Дифференциальные уравнения. 1990. Т. 26, N 1. С. 60 - 65.

Теорема 5. Для любой функции / 6 Ь2(П), любых е И^х^О), г = 1,2, ^1(0) = ^г(О), в пространстве ШЦИ) всегда существует и притом единственное обобщенное решение и(х,у) уравнения (40), удовлетворяющее условиям

и(х, и{х)) — щ{х), х е (х„, 0), г — 1,2, и для него справедлива оценка

N1^(0} < с{ 11/111(0) + 1И1^(*.,о) + > (43)

где с не зависит от /, уэ,-, г = 1,2.

Если а, Ъ € СП+1'П+1(А)), с е С"'"(Д)), (А) 3 О), 1{(х) € Сп+2[х„ 0], / 6 а функции е ЪУ2п+1(х„,0), г = 1,2, п > 0, то решение

и(х,у) принадлежит пространству И^+1'п+1(.0) и

(44)

где Сп не зависит от /, ¿ = 1,2.

В § 2.6 приведены примеры, показывающие, что сформулированные в работе условия являются не только достаточными, но и необходимыми для корректной разрешимости обобщенной первой краевой задачи для гиперболических уравнений, а также примеры, демонстрирующие ее отличие от классической первой краевой задачи.

В главе 3 диссертации изучена вторая краевая задача для гиперболических уравнений с двумя переменными, заключающаяся в нахождении обобщенного решения уравнения (40) в области Д принадлежащего пространству И^1 (-С) и удовлетворяющего условиям

Ццих + (Ц2ир + РгП \у=Цх) = <Рг, X £ (х„0), I = 1,2, (45)

и(0,0) = ио- (46)

В § 3.1 показано, что к изучению именно такой задачи приводят задача В в коническом контейнере, а также модельный двумерный аналог задачи Пуанкаре в бассейне с треугольным сечением, который является важным ввиду его тесной связи с так называемой береговой проблемой

(the beach problem)22. Для этого двумерного случая проведен общий анализ сингулярных решений, часто обсуждаемых в литературе и приводящих в данном случае к образованию "точечного волнового аттрактора" 23 в вершине угла, показано, что условие квадратичной суммируемости производных функции тока исключает такие сингулярные решения из физически значимых.

В отличие от первой краевой задачи, рассматриваемая задача в такой постановке не была исследована и в регулярном случае. Похожие по постановке задачи изучались ранее в работах 24, 25, 26. Наиболее близкой к нашему случаю является работа С.С. Харибегашвили27 , в которой, однако, такая задача изучалась при других условиях относительно расположения кривых Г\ - носителей граничных условий. Оказалось, что, вообще говоря, для разрешимости этих задач в классах Ск (к > 2) необходимы условия согласования функций /, <р\, уг, а также их производных до порядка к включительно в точке 0(0,0). При выполнении этих условий, а также некоторых условий на коэффициенты уравнений (45) С.С. Харибегашвили доказал, что число линейно независимых регулярных класса Ск решений соответствующих однородных задач совпадает с числом линейно независимых решений некоторой системы линейных алгебраиче-

di+:>u

ских уравнений относительно неизвестных ^-т^—(0,0), 0 ^ i + j < к. Кроме того, С.С. Харибегашвили показал что, вообще говоря, в задачах такого вида наличие младших членов в основном уравнении и в краевых условиях может оказать влияние на их корректность, что не характерно для основных классических краевых задач.

В §§ 3.2 — 3.6 диссертации доказано, что в отличие от других задач такого вида, задача (40, 45, 46), условия расположения кривых в которой описаны выше (см. (38), (39)), имеет все свойства классических краевых задач. А именно, доказано, что в классе С1Дф) ее решение существует, единственно и непрерывно зависит от данных задачи. Как это видно из

"Wunsch е., J. Fluid Mech., 1969, V. 35, part 1. P. 131 - 144.

23Lam F.-P. A., Maas L.R.M. Fluid Dynamics Research. 2008, V.40. P. 95 - 122.

24Szmydt Z. Ann. Polon. Math. 1958. V. 4. P. 165 - 182.

25Мельник З.О. Укр. матем. журнал. 1980. Т. 32, N. 5. С. 671 - 674.

26Aziz А.К., Diaz J.B. Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1962. V. 10, N. 1. P. 1 - 28.

"Харибегашвили С. С. ДАН СССР. 1985. Т. 280, N. 6. С. 1313 - 1316.

формулировки условий задачи, наличие младших членов в уравнении не влияет на ее корректность. Отметим, что в нашем случае никаких условий согласования данных задачи в точке 0(0,0) не нужно - даже для ее разрешимости в классах Ск (к ^ 1). При этом вне зависимости от к ядро оператора, соответствующего задаче (40, 45) (при подходящей гладкости данных) всегда одномерно, поэтому условие (46) является необходимым и достаточным для однозначного выбора ее решения.

В §§ 3.7 — 3.8 установлена корректность обобщенной второй краевой задачи для гиперболических уравнений:

Теорема 6. Пусть функции &(х) G С[х„0}, щ(х) G L2(xt,0),i = 1,2, а функции ¡мj{x) G С^а^О], i,j = 1,2, таковы, что

а). Щ2(х) - 1[{х)(1ц{х) ф 0 для всех х 6 [х„ 0], г = 1,2,

т'

с). Цп{х) ф 0, ф 0 для всех х G [ж*, 0].

Тогда для любой / G Li(D), для любых щ G Ь2(х^0),г = 1,2 и для любого числа щ G С б пространстве Wj(D) всегда существует и притом единственное (обобщенное) решение и(х,у) уравнения (40), непрерывный представитель ис(х,у) которого при почти всех х G (х„0) удовлетворяет граничным условиям (45), а также условию

lim ис(х, у) — щ < оо,

(i.v)-KO.O)

(«.»ко

и для него справедлива оценка

с {Мад» + 1ЫИ2(х.,о) + \Ш\1м + М2},

где с не зависит от /, щ.

Вели а, Ь £ Cn+1'n+1(D0), с G Cn'n(D0), (D0 D D), k{x) G Cn+2[*„Q], A(x) € Cn[x,,0], imj{x) G C"+1[x«,0], i,j = .1,2, / G W?n(D), а функции ipi G 0), i = 1,2, n ^ 1, то решение u(x,y) принадлежит пространству W£+1'n+1{D) и справедлива оценка

N^n+1.n+1(D) < Cn {(|/||^r(D) + IMIw?(«.,o) + 1И1иу(«..о) + M"} -

где Cn не зависит от f, щ, щ.

b).

Wl(0)№2(0)

JUl2(0)M2l(0)

В § 3.9 проведено обсуждение условий, накладываемых на кривые, определяющие конфигурацию области, а также рассмотрены примеры, показывающие, что эти условия являются необходимыми для корректной разрешимости задачи, в том смысле, что нарушение их приводит к появлению посторонних решений.

Глава 4 диссертации посвящена исследованию спектральных свойств операторов Л и В в осесимметричных контейнерах с ребрами с помощью нового метода, основанного на использовании результатов, полученных в главах 1, 2 и 3, и заключающегося, в частности, в выявлении интервалов непрерывного спектра инерционных колебаний. В §§ 4.1, 4.2 доказаны:

Теорема 7. Пусть в — осесимметричный контейнер, который при вращении вокруг оси От заметает область Л« — {(г, г) : 0 ^ с < г < й, 0 < <рх(г) < г < (уЭ2(г)}, (см. рис. 1а), где <ри 4>г ~ непрерывные кусочно-гладкие на [с, (1\ функции, и

либо = <рг{с), (с Ф 0),

Пт <р'Лг) ф Ит (¿>'2(г),

либо Р1((£) = <р2(<1)< Пт ^(г) ф Ит ^(г), г-Уа-О 1—

М := тах

{

Нт

г'-»г+0

~ У»(г) г1 — г

Нт

Г'-»!—0

у<(г0 - У»(г)

г' — г

= 1,2}

(47)

(48)

< оо.

Тогда на интервалах А £ и опертторм 1А

и г Во имеют чисто непрерывный спектр, т.е. на этих интервалах отсутствуют собственные значения операторов г А и И30.

Теорема 8. Пусть С — осесимметричный контейнер, который при вращении вокруг оси От заметает область П, — {{г,т) \ с < т < 0 < <^г(г) < г < Ф2(т)}, где <рг, <р2 ~ непрерывные кусочно-гладкие на [с, с(] функции, и

Если М := тах

либо <Р1 (с) == <Р2(с), либо ч>\{<1) = <рг(<£),

^(т')-^(т)

Ит <р[(г) Ф Пт ф'2(т),

г-+с+0 т-*с+О

Нтп<р[(т)ф Нт <^(т).

Нт

т'-*т+0

Г — Т

Пт

г'—>т—О Г - Т

,г = 1,2^

(49)

(50) <00,

то для области С на интервалах А е I —1,--г I и I , 1 )

у V )

операторы г А и гВо имеют чисто непрерывный спектр, т. е. на этих интервалах отсутствуют собственные значения операторов г А и

Из этих теорем непосредственно следует, что в коническом контейнере (т.е. если осесимметричная область (7 ограничена коническими поверхностями) возможны такие колебания жидкости, которые являются не почти-периодическими функциями по времени причем существование таких режимов колебаний, вопреки предположениям некоторых работ, не зависит от величины угла при ребре. В § 4.2 описан метод, позволяющий устанавливать наличие не почти-периодических режимов колебаний жидкости на основе анализа конфигурации контейнера и во многих тех случаях, когда форма контейнера не удовлетворяет условиям теорем 7, 8 (как, например, на рис. 16). Применение этого метода позволяет утверждать, что класс таких контейнеров достаточно широк. В параграфе приведены различные конкретные примеры таких контейнеров. Параграф § 4.3 посвящен изучению характера спектра инерционных волн в тороидальных контейнерах. Условие тороидальности контейнера обеспечивает регулярность коэффициентов уравнения (35) и краевых условий (36) и (37) задач 1а,к и 1в,к и позволяет установить факт полного отсутствия нестационарных осесимметричных инерционных мод у некоторых видов контейнеров, например, таких, сечением полуплоскостью которых

является треугольник:

Теорема 9. Если £>, — произвольный треугольник в плоскости Огт, отделенный от прямой г = 0, а С? — тороидальный контейнер, который заметает £>, при вращении вокруг оси От, то для С на интервалах А е (-1,0) и (0,1) спектр операторов г А и Во является чисто непрерывным, т.е. на этих интервалах отсутствуют собственные значения операторов 1А и Во.

Условие тороидальности позволяет также установить наличие интервалов непрерывного спектра для задачи В не только у осесимметричных колебаний, но и у колебаний, отвечающих всем другим гармоникам по <р:

Теорема 10. Пусть осесимметричный контейнер С? получен при вращении вокруг оси От криволинейного треугольника Б*, удовлетворяющего условиям теоремы 7 при с > 0. Тогда для любого к = ±1,±2, любого 5 > 0 точечный спектр оператора гВк на интервалах А е

| — 1 + <5 —<5 1 и (<5, , 1 - 5 1 либо пуст, либо состоит из

\ уДшп ' ) V у/а+Щ )

конечного числа собственных значений кратности 1.

При этом ясно, что если мы будем рассматривать области С С Б.3, полученные в результате вращения вокруг оси От криволинейных треугольников £>», расположенных в плоскости Огт так, как в теореме 8, то для таких областей й для любого <5 > 0 точечный спектр оператора

»В* на интервалах А е (-1+ - «) и {^ЩЩ + М -

либо пуст, либо состоит из конечного числа собственных значений кратности 1.

В § 4.4 выявлена сильная неустойчивость характера "благополучных", т.е. почти-периодических невязких колебаний по отношению к очень малым деформациям границ контейнеров. В частности, приведен пример, показывающий, что к появлению не почти-периодических колебаний может привести сколь угодно малый изъян на экваторе сфероида. Параграф § 4.5 содержит обсуждение результатов и выводов, сделанных ранее в известных работах Р. Бердсли, описывающих экспериментальные ис-

следования поведения вращающейся жидкости в прямом круговом конусе, а также результаты некоторых исследований по устойчивости стационарного вращения твердого тела с заполненной жидкостью полостью, имеющей форму конуса.

В главе 5 диссертации исследуются двумерные аналоги задач Л и В. В этом модельном случае обе задачи сводятся к исследованию задачи (И — 13). Кроме того, к задаче (11 — 13) сводится изучение внутренних волн в стратифицированной жидкости Буссинеска постоянной частоты Вяйсяля-Брента в "двумерном" контейнере: ввиду тесной связи систем уравнений, описывающих поведение такой жидкости с рассматриваемыми уравнениями, для ее функция тока получается такая же краевая задача, как и для вращающейся жидкости 28.

Несмотря на "двумерность", сложность исследования таких задач хорошо известна. Подобно задачам А и В, поведение решений задачи (И — 13) полностью изучено лишь в двух случаях: когда дБ является эллипсом, либо прямоугольником, оси симметрии которых параллельны осям координат. В обоих случаях все решения этой задачи почти периодичны по времени. Для произвольной же области описание поведения решений представляет существенную трудность.

Целью изучения задачи (И — 13) в настоящей диссертации является построение ее точных решений в явном виде с помощью разработанного выше аппарата и исследование их поведения в важном частном случае, когда Б имеет вид 29 :

О := {(х, г) | 0 < х < -, 0 < 2 < ах}, (0 < а < +оо). (51) а

Как уже было отмечено выше, именно для таких треугольных областей эта задача изучалась во многих работах - как теоретических, так и экспериментальных - в связи с изучением "береговой проблемы". В частности, экспериментально был выявлен прогрессивный характер внутренних волн в таких контейнерах.

28Габов С. А., Свешников А.Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей, М., Наука, 1986.

29Результаты работы переносятся (с соответствующими изменениями) на некоторый достаточно широкий класс областей с угловыми точками. В диссертации же разобран именно такой случай в целях максимального упрощения изложения материала.

Для изучения задачи (11 — 13) естественно ввести в рассмотрение еле-

дующий оператор А, действующий в пространстве IV на гладких финитных в В функциях Л. он определяется как решение задачи

Д = А!(52)

а затем расширяется по непрерывности до ограниченного оператора в [V 2(^)1 самосопряженного относительно скалярного произведения

и,9)1= (53)

х>

Используя оператор А, задачу (11— 13) можно переписать в виде абстрактной задачи Коши

ф" = -Pi.il>, ф{0) = ^о, Ф'{0) = Фи (54)

О О

где £ -» ф{х, г, г) - функция со значениями в IV ¡(В), а ф0, ^бй' 2(-°)' Известно, что для любой области В спектром оператора А является отрезок [0,1], однако, как и для операторов А а В, его качественная структура существенно зависит от вида области. Изучение тонкой структуры спектра оператора А для разных областей представляет собой сложную задачу. Большой вклад в исследование различных спектральных свойств оператора А и связанных с ними вопросов поведения решений задачи (11 — 13) был сделан в работах Р. А. Александряна, Т. И. Зеленяка, Дж. В. Ральстона, М. В. Фокина, А. А. Ляшенко и др. (см., например, обзор в работе 30 ).

В нашем случае, используя разработанный нами выше метод исследования краевых задач для гиперболических уравнений, можно легко установить наличие интервалов чисто непрерывного спектра оператора А для широкого класса "областей с углами", а именно:

Теорема 11. Для области В, удовлетворяющей условиям теоремы 7, на интервале А е (о, спектр оператора А является чисто

непрерывным, т.е. на этих интервалах отсутствуют собственные значения оператора А.

30Фокин М.В. , Матем. тр., 2001, Т. 4, К' 2. С. 155 - 206.

Теорема 12. Для области £>. удовлетворяющей условиям теоремы 8, на интервале А € ((Т+Н5)' спектР оператора А является чисто непрерывным, т.е. на этих интервалах отсутствуют собственные значения оператора А.

При этом точно так же, как и в трехмерном случае, существует большой класс областей, формально не удовлетворяющих условиям теорем 11 и 12, но таких, что применение указанного метода сразу дает возможность определить наличие интервалов непрерывного спектра.

Из теорем 11 и 12 следует, что в такой области О (51) нестационарные инерционные моды полностью отсутствуют, т.е. спектр А является чисто непрерывным. В области £> рассмотрим уравнение

д2Ф 1 дх2 а2 дг* ~

о2 =

1 — А'

(55)

Пусть А 6 (0, (1 + а2)-1). Тогда лучи, выпущенные из концов вертикального отрезка вдоль характеристик уравнения (55) в направлении вершины, ведут себя так, как показано на рис. 2. Пусть 9\ е 1-2(0,1) —

А х

Рис. 2.

произвольная функция. Из результатов глав 2 и 3 диссертации следует, что в области £>, рассматривая последовательно треугольники АВС\, ВС\В\, АВ\А\ и т.д., можно единственным образом построить решение й(х, г\ В\%, А) уравнения (55), такое, что оно удовлетворяет условиям

й\до = О, |

= 6,

АВ

и принадлежит пространству W^Dn {х > е}) для любого малого е > 0. Функция й(х, г; &Г, А) является так называемым сингулярным решением (такое название появилось в геофизике и астрофизике в работах, связанных с исследованием эффектов локализации энергии во вращающихся и стратифицированных жидкостях 31) : она отличается от настоящей собственной функции оператора А тем, что имеет особенность в вершине треугольника и не принадлежит поэтому пространству W 1(D).

Пусть теперь А е ((1 + а2)-1, 1), а в2{х) 6 Ь2{0,1/а) - произвольная функция. Аналогично тому, как для А е (0, (1 + а2)-1) была построена функция ti(x,z;0i; А), построим сингулярное решение v(x,z;62; А) : функция v является обобщенным решением уравнения (55), принадлежащим Wl{D П {z < 1 - е}) для любого 0 < е < 1 и удовлетворяющим соотношениям v\aD = 0 и vz\[0а\ = #2- Рассмотрим функцию

Г u{x,z-ex\\), приО< А < (1 + q2)-1, , .. »(*. * А) | e(Sf z; ^ Л)) при (1 + a2)-i < А < 1. ^

Теорема 13. Пусть

I o0{\)wt>(x,z-X)d\rpl{x,z):= f cri(A) wi(x, 2; A) dA, (57) { 0

где щ, щ построены описанным выше способом по функциям df\ df \ соответственно, а носители гладких функций crj ле-

жат в объединении интервалов (0, (1 + а2)-1) и ((1 + а2)-1,1). Тогда функция

■ф(х, г; i) :=

=J cos(\/A i) cro(A) г!>о(х, г; A) dA + J а1(А) щ(х, г; A) dX, (58)

о 0

является решением задачи (И - 13), причем \\ip(x,z;t)\\L2(D) 00 при

t 00.

Для сравнения отметим здесь, что в случае выпуклой области D с аналитической границей Т.И. Зеленяком доказано, что если вектор начального возмущения принадлежит некоторому подпространству, где спектр

31Harlander U., Adv. Geosci., 2008, V. 15, P. 3 - 9.

оператора А абсолютно непрерывен, то решения задачи (11 — 13) стремятся в Ьч{0) к нулю при £ -» оо. При этом М.В. Фокиным доказано, что если граница области класса С00, то у спектра оператора А возможно появление сингулярной компоненты, и если начальные данные принадлежат подпространству, где спектр оператора А сингулярный, то поведение решения гр(х, г; £) при 4 оо по сравнению с почти-периодическими решениями и решениями, отвечающими абсолютно непрерывному спектру, обладает "промежуточными свойствами".

В § 5.3 проведено исследование полученных решений, установлено, что среди инерционных волн в двумерном треугольном контейнере существуют такие колебания, у которых ¿2-нормы функции тока убывают с течением времени быстрее любой степени £.

Теорема 14. Пусть в{°\ в{1] е С0°°[0,1], в^ £ <7§°[0,1/а], 6 Со°[0,1], носители эирр ст; лежат в объединении интервалов (0,(1 4-а2)-1) и ((1+а2)"1,1), г = 0, 1. Тогда для любого п = 1,2,... существует такая постоянная 1Сп, не зависящая от что при всех 4 € (0, оо) справедлива оценка:

где г1)(х,г-,£) определена в (58).

Кроме того, параграф содержит обсуждение результатов и выводов, сделанных ранее в известных работах К. Вунша, описывающих экспериментальные исследования внутренних волн в стратифицированной жидкости Буссинеска постоянной частоты Вяйсяля-Брента в "двумерном" контейнере, сечением которого является треугольник.

В § 5.4 установлен прогрессивный характер соответствующих инерционных волн, доказано, что среди инерционных волн в двумерном треугольном контейнере существуют такие "опасные" режимы колебаний, вся энергия начального состояния которых со временем оказывается почти полностью сосредоточенной в сколь угодно малых окрестностях ребер, а именно справедлива

Теорема 15. Пусть выполнены, условия теоремы 14. Тогда для любых е > 0 и 6 > 0 существует такое Т — Т(е, 5), что для соответствую-

щего решения U = (и, v; w) задачи (8 — 10) при всех t>T

£(t, D£) := JJ (M2 + M2 + И2) dx dz < 5, (60)

где De := D Л {x > £> Г) {z < 1 - £>.

В § 5.5 проведено дальнейшее обсуждение и объяснение результатов известных экспериментальных исследований Р. Бердсли и Р. Картера поведения вращающейся жидкости в прямом круговом конусе.

В Заключении формулируются основные результаты диссертации, выносимые на защиту.

Основные публикации автора по теме диссертации

[1] Троицкая С. Д. О спектре одной задачи С.Л.Соболева // Успехи матем. наук. - 1992. - Т. 47, № 5. - С. 191-192.

[2] Троицкая С. Д. О не почти периодичности решений задачи С.Л.Соболева в областях с ребрами // Изв. РАН. Сер. матем.— 1994. - Т. 58, № 4. - С. 97-124.

[3] Троицкая С. Д. Об одной корректной краевой задаче для гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными // Успехи матем. наук. - 1995. - Т. 50, № 4. - С. 124-125.

[4] Троицкая С. Д. О единственности обобщенного решения задачи Дарбу // Успехи матем. наук. - 1996. - Т. 51, № 5. - С. 149-150.

[5] Троицкая С. Д. О спектре кориолисова оператора в осесимметрич-ных областях с ребрами // Матем. заметки. — 1996. — Т. 60, № 2. — С. 304-309.

[6] Троицкая С. Д. О непрерывном спектре задачи Соболева // Успехи матем. наук. - 1998. - Т. 53, № 4. - С. 158.

[7] Троицкая С. Д. Об одной краевой задаче для гиперболических уравнений // Известия РАН. Сер. матем. —1998. — Т. 62, № 2. — С. 194225.

[8] Троицкая С. Д. О первой краевой задаче для гиперболического уравнения на плоскости // Матем. заметки. — 1999. — Т. 65, № 2. — С. 294-306.

[9] Троицкая С. Д. Построение точных решений модельной задачи о колебаниях вращающейся жидкости в областях с угловыми точками // Вестник МГУ, Серия 3. Физика. Астрономия. — 2010. — № 6. — С. 14-20.

[10] Троицкая С. Д. Свойства решений модельной задачи о колебаниях вращающейся жидкости в областях с угловыми точками // Вестник МГУ, Серия 3. Физика. Астрономия. — 2010. — № 6. — С. 21-27.

[11] Troitskaya S. D. Behavior as t oo of solutions of a problem in mathematical physics // Russ. J. Math. Phys,— 2010.— Vol. 17, no. 3. - Pp. 342-362.

Подписано к печати " J8_ " января 2012 г. Отпечатано в отделе оперативной полиграфии МИЭМ. Москва, ул. М. Пионерская, д. 12. Заказ № 40 . Объем 2.0 п.л. Тираж 150 зкз.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: доктора физико-математических наук, Троицкая, Сауле Джумабековна

Введение

1 Общие свойства инерционных волн, обусловленные осевой симметрией контейнера

1.1 Операторная запись уравнений движения вращающейся жидкости, задачи Ли Б

1.2 Задача отыскания инерционных мод, связь со структурой спектра операторов А и В.

1.3 Разложение пространства соленоидальных векторов в случае осесимметричного контейнера

1.4 Инерционные волны, соответствующие гармоникам функции давления.

1.5 Сведение задачи отыскания инерционных мод к последовательности двумерных задач.

2 Корректность первой обобщенной краевой задачи для гиперболических уравнений на плоскости

2.1 Связь между задачей Л в коническом контейнере и первой краевой задачей для гиперболических уравнений.

2.2 Свойства обобщенных решений гиперболических уравнений на плоскости.

2.3 Формула Римана для обобщенных решений гиперболических уравнений.

2.4 Корректная разрешимость задач Гурса и Дарбу в пространстве И^1.

2.5 Корректная разрешимость в пространстве И^1 первой краевой задачи для гиперболических уравнений на плоскости.

2.6 Замечания и примеры.

3 Корректность второй краевой задачи для гиперболических уравнений на плоскости

3.1 Связь между задачей В в коническом контейнере и второй краевой задачей для гиперболических уравнений на плоскости.

3.2 Условия корректной разрешимости задачи в случае регулярного решения.

3.3 Единственность регулярного решения.

3.4 Существование регулярного решения.

3.5 Непрерывная зависимость регулярного решения от данных задачи.

3.6 Замечания о регулярных решениях. Примеры

3.7 Случай обобщенного решения. Единственность обобщенного решения.

3.8 Существование обобщенного решения.

3.9 Замечания. Примеры обобщенных решений.

4 Отсутствие инерционных мод в осесимметрич-ных контейнерах с ребрами. Общий вид основного разложения невязких колебаний

4.1 Отсутствие осесимметричных инерционных мод в конических контейнерах.

4.2 Предсказание возникновения возможных "опасных" режимов колебаний на основе анализа конфигурации контейнеров.

4.3 Отсутствие инерционных мод в тороидальных контейнерах.

4.4 Существенная неустойчивость почти-периодичности колебаний по отношению к малым деформациям границ контейнеров.

4.5 Общий вид основного разложения колебаний идеальной вращающейся жидкости. Обсуждение экспериментов Бердсли

5 Характер поведения жидкости в контейнерах с ребрами

5.1 Экспериментальное обоснование постановки задачи в "двумерном" контейнере.

5.2 Построение точных решений нестационарных задач для треугольного контейнера.

5.3 Прогрессивный характер инерционных волн. Объяснение экспериментов Вунша.

5.4 Распределение энергии начального состояния жидкости. Эффект локализации: образование точечных волновых аттракторов.

5.5 Замечания. Продолжение обсуждения экспериментов Бердсли.

Введение диссертация по математике, на тему "Исследование поведения вращающейся жидкости в контейнерах с ребрами"

Изучение поведения вращающейся жидкости представляет собой важную задачу, актуальность которой в настоящее время сильно возросла, что обусловлено целым рядом обстоятельств. Во-первых, в классических областях ее применения, таких, как геофизическая гидродинамика, существенно развились средства и системы получения и обработки данных, что продвинуло теоретические исследования гораздо ближе к задачам оперативного прогнозирования. Во-вторых, модели, описывающие вращающиеся жидкости, оказались важными и для других, бурно развивающихся отраслей естествознания, в первую очередь, для астрофизики и физики высоких энергий. В-третьих, возросло число технических приложений свойств вращающейся жидкости: это многочисленный класс задач, связанных с вращением твердых тел с полостями, содержащими жидкость.

Как известно, движение несжимаемой жидкости, помещенной в контейнер С, который вращается с постоянной угловой скоростью вокруг оси с единичным направляющим вектором к, описывается следующей системой уравнений:

- + 2кх и= -Ур-еО- \7U-EV х V х 0 (С), (1) оЬ

Ъ<и = О (С), (2) и ■ п = 0 (дСГ). (3)

Здесь 0 = (и,у,и)) — вектор скоростей частиц жидкости во вращающейся системе координат, жестко связанной с контейнером С, р- гидродинамическое давление, константы е и Е — числа Россби и Экмана, которые зависят от средней относительной скорости жидкости и контейнера и вязкости жидкости соответственно, а п единичный вектор внешней нормали к границе дС (везде далее мы будем предполагать, что является кусочно-гладкой, и С удовлетворяет известному "условию конуса"). В предельном случае при почти твердом вращении невязкой жидкости полагают £ = = и тогда система

1 — 3) сводится к следующей иг + 2кх 0 = -V? (С), (4)

V • 0 = О (С), (5) и-п = 0 (0(3). (6)

Кроме того, чтобы сделать ее решение определенным, задают условие

0 = Щ. (7) о

Решения системы (4 — 6) называются инерционными волнами [1]. Задача отыскания инерционных мод колебаний, т.е. решений этой системы, зависящих от времени по закону может быть сведена к следующей задаче:

Ъ2р-у2(к-Ю2р = О (С), (8)

-\Ч-¥р + 4(п-к)(к'Чр) + 2г\{кхп)-\7р = 0 (дС). (9)

Последняя задача, в некотором смысле, является более простой для исследования, а для осесимметричных колебаний существует взаимно-однозначное соответствие между решениями этих двух задач.

Кроме того, ввиду сложности трехмерных задач, изучают также их двумерные аналоги. А именно, в предположении, что компоненты скорости С/ и давления р зависят только от двух пространственных переменных х и г, а область, занимаемая жидкостью, является бесконечным цилиндром с образующей, параллельной оси Оу, основанием которого является некоторая область В в плоскости Охг, вместо системы (4 — 6) рассматривают систему: ди др ди дю др ди дъи , , . & =0 (12> ип\ + и)щ\ди = 0, (13) где п = (щ, пз) — вектор нормали к дБ в плоскости Охг. Тогда соответствующая функция тока ф является решением следующей задачи: д2 {дЧ д2ф\ дЧ

Ф\д0х(0,оо) = (15) о = Фо, = Ф1- (16)

К этой же самой задаче приводит соответствующий двумерный аналог задачи (4, 5, 10). Изучение двумерных задач является важным для прогнозирования возможных особенностей поведения жидкости в цилиндрических контейнерах конечной длины с образующей, перпендикулярной оси вращения, что было установлено в известной работе В.П.Маслова [2] и подтверждено недавними экспериментальными исследованиями [3,4].

Одним из наиболее важных вопросов, возникающих при решении практических задач, является возможность разложения всякого решения системы (4 — 6) в ряд но инерционным модам и{г, г) ~ ]Г Атит{г) ехр (гАго*), (17) р(г, *) ~ X) А*тФт(г) ехр (гАт*). (18)

Представление о том, что невязкие колебания для почти всех контейнеров имеют нормальные моды, является глубоко укоренившимся [5]. Так, к примеру, техника решения многих практических задач, описывающих поведение вязкой вращающейся жидкости в различных контейнерах, заключающаяся в асимптотическом приближении решения методом теории пограничного слоя, основана как раз на предположении, что для инерционных волн имеет место разложение вида (17) (см. [1]). Кроме того, фактически существование такого представления часто используется в теоретических исследованиях и в неявном виде, а именно, если молчаливо предполагается, что внутри вращающейся жидкости не может появиться областей концентрации энергии, где частицы жидкости с течением времени приобретут скорости, по абсолютной величине сильно превышающие скорости начального возмущения. Возникает естественный вопрос о том, всегда ли разложение (17) возможно.

Известно, что для двух видов контейнеров — прямых круговых цилиндров и эллипсоидов вращения, оси симметрии которых совпадают с осью вращения, — этот вопрос решается положительно. Поведение вращающейся жидкости в них было изучено — как теоретически, так и экспериментально — с более или менее достаточной полнотой. В обоих случаях было установлено наличие инерционных мод, отвечающих собственным частотам, всюду плотно заполняющим отрезок [—2,2] (моды были найдены в явном виде), а также возможность представления (17) всякого движения невязкой жидкости, возникающего в таких контейнерах, в виде суперпозиции этих мод. Это означает, что все малые колебания в эллипсоидах и цилиндрах являются почти-периодическими функциями по что гарантирует отсутствие локализации энергии начального возмущения внутри жидкости с течением времени Расчет вязких эффектов во вращающейся сфере, основанный на представлениях (17), оказался в довольно хорошем согласовании с экспериментальными исследованиями, что было установлено В. Малкусом и У.Г. Вингом (см. [1, стр. 65]). К такому же выводу пришли К. Олдридж и А. Тоомре, используя при этом другой способ возбуждения внутренних мод в сфере (1968 г., Лаборатория геофизической гидродинамики Массачусетского технологического института, их отчет [6] является одной из наиболее популярных работ и по сей день).

Но оказывается, что этим список полостей, для которых инерционные моды найдены, и ограничивается. Для контейнеров же произвольной конфигурации этот вопрос является чрезвычайно сложным.

Первым, кто обратил внимание на то обстоятельство, что в контейнерах с ребрами на границе, подобных конусу, законность разложения (17) совсем не очевидна, был X. Гринспэн (1969 г., [7]). А именно, он рассмотрел случай цилиндрического контейнера бесконечной длины, основанием которого является треугольник, а образующая перпендикулярна оси вращения. Предполагая, что задача имеет решение в виде плоской волны, он проанализировал ее возможное распространение в таком контейнере и обнаружил, что на основании закона отражения волн во вращающейся жидкости, установленного О.М. Филлипсом [8] (1963), такая волна должна продвигаться по направлению к вершине в течение всего времени, т.е., для того, чтобы достичь вершины треугольника, ей понадобится бесконечное время, и "в этом отношении контейнер кажется открытым или неограниченным". Исходя из этих рассуждений, X. Гринспэн высказал предположение о том, что "спектр инерционных волн здесь должен быть непрерывным, а собственные функции — сингулярными в угловых точках", и что эти же проблемы следует ожидать и в случае, когда вращающаяся жидкость находится в контейнере, имеющем форму прямого кругового конуса. Позже тот факт, что движение жидкости в конусе принципиально отличается от движения в сфере, было подтверждено экспериментально Р. Бердсли (см. [9,10]), а затем и Р. Картером (см. отчет [11]) с помощью той же установки в лаборатории MIT, которая была использована К. Ол-дриджем и А. Тоомре для возбуждения инерционных волн в сфере (см. фотографию из [7, стр. 27] па рис. 1). Теоретического же объяснения этих эффектов получено не было, и поэтому эти работы в то время не оказали должного влияния на распространенное представление об общем характере невязких колебаний, а именно, что разложение (17) справедливо для контейнеров произвольной конфигурации. Так, например, три года спустя (в 1973 г.) при исследовании устойчивости стационарного вращения твердого тела с заполненной жидкостью полостью, имеющей форму прямого кругового ко

Рис. 1. нуса с малым углом раствора, Л.В. Докучаев и Р.В. Рвалов ( [12]) опирались именно на предположение о существовании в произвольной полости инерционных мод и разложении по ним всякого невязкого колебания жидкости. Позже линеаризованная система уравнений движений такого тела, полученная на основании этого разложения, использовалась во многих работах.

К изучению свойств систем (4 — 6) и (14 — 15) приводят задачи из самых различных разделов теоретической физики, в первую очередь, геофизики [13—15]и астрофизики [16-21].Кроме того, следует отметить, что системы (4 — 6) и (14 — 15) изучаются в задачах, связанных с моделированием развития турбулентности [22-25].

Как это было уже показано выше, попытки найти монохроматические решения систем (4 — 6) и (14 — 15), зависящие от времени по закону е , приводят к краевым задачам, в которых гиперболические уравнения сочетаются с условиями, заданными вдоль всей границы: это либо условия Дирихле, либо смешанные условия с производной по направлению, трансверсальному границе. Начально-краевые задачи такого вида являются некорректными, но именно они являются характерными для геофизики и астрофизики (см. [26,27]), при этом практике требуется решать такие задачи в контейнерах различных конфигураций. Так, в связи с исследованиями ос-цилляционных свойств жидкого ядра Земли задачи описанного вида возникают в сферическом слое [28,29].

То, что в контейнерах определенных конфигураций возможны такие режимы колебаний вращающейся жидкости, которые приводят к локализации энергии, стало широко известным относительно недавно. Изучению этих эффектов, связанных с наличием так называемых "волновых аттракторов" wave attractors"), посвящены работы многих авторов в геофизике и астрофизике [30-39]. Основное внимание при изучении этого явления уделяется: в трехмерном случае — исследованиям в сферических оболочках, а в двумерном — в бассейнах с одной или двумя скошенными гранями [40,41], что связано с большой практической значимостью таких задач. В частности, было экспериментально установлено, что в контейнерах со скошенными гранями возможны такие "опасные" режимы колебаний, которые аккумулируют энергию начального возмущения в окрестности ребра — линии пересечения плоских граней [42]. Исследования рассматриваемых задач в таких контейнерах активно ведутся и в настоящее время как с помощью попыток построения "приближенных" решений, так и с помощью численного моделирования, что является естественным в связи с развитием компьютерной техники и методов программирования (см. [43-45]), точных же решений во всех этих исследованиях получено не было.

Цель работы. Целью настоящей диссертации является изучение задач (4 — 7), (4, 5, 7, 10) и (14 — 16) в областях специального вида, границы которых имеют особенности в виде ребер: получение нового метода исследования спектральных свойств операторов, связанных с этими задачами, основанного на естественной идее использовать в этом круге вопросов корректную разрешимость краевых задач для гиперболических уравнений на плоскости типа задач Гурса и Дарбу; установление с помощью этого метода достаточных условий, определяющих конфигурацию контейнера, при которых изучаемые задачи имеют решения, не представимые в виде (17), получение явных представлений точных решений нестационарной задачи (14 — 16) в некоторых областях со скошенными гранями, где ранее экспериментально был установлен эффект локализации энергии, и объяснение этого эффекта путем исследования поведения этих решений при неограниченном увеличении времени.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе 1 диссертации исследуются общие свойства инерционных волн в случае, когда контейнер С симметричен относительно оси вращения О г. Для системы уравнений (4 — 5), описывающей колебания вращающейся жидкости, в которой без ограничения общности положено к = (0,0,1/2), рассматриваются две задачи с граничными условиями (10) и (6) и начальным условием и и=0= Щ.

Эти задачи в дальнейшем называются задачами Л и В соответственно. В § 1.1 вводятся операторы А и В, с помощью которых задачи А и Б могут быть записаны в виде обобщенных задач Коши. В § 1.2 установлена связь между задачей отыскания инерционных мод и спектральными задачами для операторов 1А и ИЗ. В § 1.3 в случае, когда область С симметрична относительно оси вращения Ог, получены представления пространств и £(£,*) соленоидальных векторов, которым принадлежат решения задач А и В, в виде бесконечных ортогональных сумм их некоторых подпространств $(а,к,*) и позволяющих отделить угловую переменную (р. Подобные разложения были известны ранее для оператора, соответствующего вращающейся капиллярной жидкости, частично заполняющей сосуд [46]. Далее в § 1.3 исследованы инерционные волны, для которых зависимость функции давления от угла <р имеет вид: р = рк(г, Ь)егк(р. Установлено, что соответствующие подпространства и в,к,*) Для поля скоростей 11 приводят операторы 1А и ъВ. Это означает, что если инерционная волна такова, что в какой-то момент времени (например, при £ = 0) функция давления в жидкости является к-той гармоникой по угловой переменной т.е. имеет вид р = Рк(г, то во все последующие моменты времени инерционная волна будет обладать тем же свойством, причем вне зависимости от того, является ли она инерционной модой или соответствует непрерывному спектру. В § 1.4 доказано, что спектром каждого из операторов гА^ и — сужений операторов гА и гВ на соответствующие подпространства и $(в,к,*) ~ является отрезок [—1,1]. Т. е. для всякого к спектр инерционных волн, соответствующих к-той гармонике, не просто является подмножеством отрезка [—1,1], но совпадает с ним. Этот факт является важным, в частности, при исследовании стационарной устойчивости вращающихся твердых тел с полостями, заполненными жидкостью: в таких механических системах рассматривают не все волны, а лишь те, которые соответствуют гармоникам к = ±1 (см. [47,48]). Установленная существенная непростота спектра означает исключительное богатство инерционных волн, не учитываемое, к сожалению, в некоторых работах, рассматривающих лишь осесимметричные движения жидкости (например, [49,50]). На основании полученных результатов в § 1.5 показано, что исследование спектра инерционных волн в случае осесимметричных областей может быть сведено к исследованию спектральных задач 1а,к и 1в,к Для операторов гА^ и гБ^, представляющих собой краевые задачи для гиперболических уравнений от двух переменных, что позволяет применять технику решений гиперболических уравнений на плоскости. Заметим, что эти задачи отличаются от известных краевых задач, предложенных ранее в ряде работ для случая осесимметричных контейнеров (см. [51]).

В § 2.1 главы 2 диссертации установлена связь между задачей Л в коническом контейнере и обобщенной первой краевой задачей для гиперболических уравнений, которая заключается в нахождении решения гиперболического уравнения в области ограниченной двумя гладкими кривыми, выходящими из одной точки и целиком лежащими в характеристическом угле с вершиной в этой точке, и отрезками характеристик, при этом решение должно принимать заданные значения на этих кривых. В § 2.2 установлены общие свойства обобщенных решений гиперболических уравнений с двумя переменными, принадлежащих пространству функций И^1^), обобщенные производные которых являются функциями, квадратично суммируемыми на некоторой области Б специального вида. С помощью этих свойств в § 2.3 обоснована возможность применения метода Римана, часто используемого в классической форме для исследования динамики геофизических жидкостей, к обобщенным решениям гиперболических уравнений, доказана справедливость формулы Римана для таких решений. В §2.4 доказана корректная разрешимость в пространстве И^1 обобщенных задач Гурса и Дарбу, получены необходимые в дальнейшем априорные оценки их решений. В § 2.5 доказано, что при выполнении естественных условий, которым должны удовлетворять указанные кривые, первая краевая задача корректна в обобщенной постановке, т.е. ее решение в IV}(О) существует, единственно и имеют место априорные оценки его нормы, зависящие от заданных значений на кривых и правой части уравнения. В § 2.6 приведены примеры, показывающие, что сформулированные в работе условия являются не только достаточными, но и необходимыми для корректной разрешимости обобщенной первой краевой задачи для гиперболических уравнений, а также примеры, демонстрирующие ее отличие от классической первой краевой задачи.

В главе 3 диссертации изучена вторая краевая задача для гиперболических уравнений с двумя переменными, заключающаяся в нахождении регулярного решения гиперболического уравнения в плоской области I), ограниченной двумя гладкими кривыми, выходящими из одной точки и целиком лежащими в характеристическом угле уравнения с вершиной в этой точке, и отрезками характеристик. Искомое решение должно при этом удовлетворять граничным условиям с частными производными, заданным на этих кривых, и принимать некоторое наперед заданное значение в вершине угла. В § 3.1 показано, что к изучению именно такой задачи приводит задача В, а также модельный двумерный аналог задачи Пуанкаре в бассейне с треугольным сечением, который является важным ввиду его тесной связи с так называемой "береговой проблемой" the beach problem)(см, например, [52]). Для этого двумерного случая проведен общий анализ сингулярных решений, часто обсуждаемых в литературе и приводящих в данном случае к образованию "точечного волнового аттрактора" в вершине угла, показано, что условие квадратичной суммируемости производных функции тока исключает такие сингулярные решения из физически значимых. В §§ 3.2 — 3.6 исследуется случай регулярных решений задачи, а именно, установлены условия, касающиеся расположения кривых, определяющих конфигурацию области, при которых вторая краевая задача корректна и имеет все свойства классических краевых задач, т.е. ее решение существует, единственно в классе непрерывно дифференцируемых функций и(х, у), имеющих непрерывную смешанную производную иху, и непрерывно зависит от данных задачи.

В §§ 3.7, 3.8 установлена корректность обобщенной второй краевой задачи для гиперболических уравнений, а именно, установлены условия, касающиеся коэффициентов при частных производных в граничных выражениях, а также условия, накладываемые на задаваемые функции в правой части уравнения и граничных выражениях, при которых решение второй краевой задачи существует и единственно в пространстве W^D), доказаны априорные оценки для нормы решения в этом пространстве. В § 3.9 проведено обсуждение условий, накладываемых на кривые, определяющие конфигурацию области, а также примеры, показывающие, что эти условия являются необходимыми для корректной разрешимости задачи в том смысле, что нарушение их приводит к появлению посторонних решений.

Глава 4 диссертации посвящена исследованию спектральных свойств операторов А и В в осесимметричных контейнеpax с ребрами с помощью нового метода. Как это установлено в главе 1, свойство осевой (вращательной) симметрии контейнера относительно оси вращения жидкости позволяет свести исследование задачи отыскания инерционных мод в таком контейнере к исследованию задач 1а,к и 1в,к> в которых требуется в области, являющейся сечением контейнера полуплоскостью, проходящей через ось вращения, найти обобщенное решение гиперболического уравнения с двумя переменными, полученного из уравнения Пуанкаре отделением угловой переменной <£>, удовлетворяющее соответствующим краевым условиям. На основании этого факта, а также результатов, полученных в главах 2 и 3, в § 4.1 установлено, что в конических контейнерах спектр осесимметричных инерционных волн является непрерывным на тех интервалах частот Л, при которых лучи, распространяющиеся вдоль характеристик задач 1а,к и 1в,к, "забиваются" в угол, соответствующий ребру контейнера. Это означает, что в конических контейнерах существуют такие колебания жидкости, которые являются не почти-периодическими функциями по времени t, причем наличие таких режимов колебаний, вопреки предположениям некоторых работ, не зависит от величины угла при ребре.

В § 4.2 описан метод, позволяющий устанавливать наличие не почти-периодических режимов колебаний жидкости на основе анализа конфигурации контейнера. Применение этого метода позволяет утверждать, что класс таких контейнеров достаточно широк. В параграфе приведены различные конкретные примеры таких контейнеров. Параграф § 4.3 посвящен изучению характера спектра инерционных волн в тороидальных контейнерах. Условие тороидальности контейнера обеспечивает регулярность коэффициентов уравнения и краевых условий задач 1а,к и 1в,к и позволяет, во-первых, установить наличие интервалов непрерывного спектра не только у осесимметричных колебаний, но и у колебаний, отвечающих всем другим гармоникам по <р, а, во-вторых, установить факт полного отсутствия нестационарных осесимметричных инерционных мод у некоторых видов контейнеров, например, таких, сечением полуплоскостью которых является треугольник. В § 4.4 выявлена сильная неустойчивость характера "благополучных", т.е. почти-периодических, невязких колебаний по отношению очень малым деформациям границ контейнеров. В частности, приведен пример, показывающий, что малый изъян на экваторе сфероида может привести в появлению не почти-периодических колебаний. В § 4.5 записан общий вид основного разложения невязких колебаний для произвольного контейнера, являющийся обобщением разложения по инерционным модам, имеющего место для сфероидов и цилиндров: на основании полученных выше результатов установлено, что в общем случае произвольного контейнера невязкие колебания не могут быть представлены в виде суперпозиции геострофических и нестационарных инерционных мод, это разложение в общем случае обязательно должно содержать интегральные члены. Кроме того, параграф содержит обсуждение результатов и выводов, сделанных ранее в известных работах Р. Бердс-ли [9,10], описывающих экспериментальные исследования поведения вращающейся жидкости в прямом круговом конусе, а также результаты некоторых исследований по устойчивости стационарного вращения твердого тела с заполненной жидкостью полостью, имеющей форму конуса.

В главе 5 диссертации исследуются двумерные аналоги задач Л и В. В § 5.1 приведены системы уравнений, получающихся из общих уравнений колебаний вращающейся идеальной жидкости в случае, когда контейнер является "двумерным", обладая трансляционной симметрией, т. е. когда область, занимаемая жидкостью, представляет собой бесконечный цилиндр, образующая которого перпендикулярна оси вращения, а компоненты поля скоростей и функция давления не зависят от одной пространственной переменной. Кроме того, в § 5.1 приведена операторная запись этих уравнений движения жидкости. Описаны различные конфигурации двумерных контейнеров, для которых спектр инерционных волн имеет интервалы непрерывного спектра. Установлено, в частности, что если сечением такого "двумерного" контейнера является треугольник, то в нем нестационарные инерционные моды полностью отсутствуют. В § 5.2 на основании результатов о корректной разрешимости первой и второй краевых задач для гиперболических уравнений приведено построение точных решений нестационарной задачи в двумерных контейнерах, сечениями которых являются треугольники. Эти решения принципиально отличаются от всех известных ранее решений как двумерных, так и трехмерных задач. В § 5.3 проведено исследование полученных решений, установлен прогрессивный характер соответствующих инерционных волн. Установлено, что среди инерционных волн в двумерном треугольном контейнере существуют такие колебания, у которых Ь2~нормы функции тока убывают с течением времени быстрее любой отрицательной степени Кроме того, параграф содержит обсуждение результатов и выводов, сделанных ранее в известных работах К. Вунша, описывающих экспериментальные исследования внутренних волн в стратифицированной жидкости Буссинеска постоянной частоты Вяйсяля-Брента в "двумерном" контейнере, сечением которого является треугольник: ввиду тесной связи систем уравнений, описывающих поведение такой жидкости с рассматриваемыми уравнениями, для ее функция тока получается такая же краевая задача, как и для вращающейся жидкости. В § 5.4 установлено, что среди инерционных волн в двумерном треугольном контейнере существуют такие "опасные" режимы колебаний, вся энергия начального состояния которых со временем оказывается почти полностью сосредоточенной в сколь угодно малых окрестностях ребер.

В заключении сформулированы основные выводы настоящей диссертации.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [53-80].

Заключение диссертации по теме "Математическая физика"

Заключение

Таким образом, в диссертации получены следующие новые результаты:

2. Исследована первая краевая задача, являющаяся обобщением известной задачи Дарбу и заключающаяся в нахождении для гиперболического уравнения в плоской области £), ограниченной двумя гладкими кривыми, выходящими из одной точки и целиком лежащими в характеристическом угле с вершиной в этой точке, и отрезками характеристик, обобщенного решения из пространства С.Л.Соболева ЦГ^ф), принимающего на этих кривых заданные значения; доказана корректность этой задачи.

3. Исследована вторая краевая задача для гиперболических уравнений с двумя переменными, заключающаяся в нахождении обобщенного решения гиперболического уравнения, принадлежащего пространству С.Л.Соболева И^1 (-О), где плоская область И ограничена двумя гладкими кривыми, выходящими из одной точки и целиком лежащими в характеристическом угле уравнения с вершиной в этой точке, и отрезками характеристик, - такого, которое удовлетворяет граничным условиям с частными производными, заданным на этих кривых, и принимает некоторое наперед заданное значение в вершине угла; установлены условия, касающиеся расположения этих кривых и коэффициентов при частных производных в граничных выражениях, при которых данная задача корректна.

7. Впервые установлено, что существуют такие решения нестационарной двумерной модельной задачи, 1/2-нормы которых убывают при £ —> оо быстрее любой отрицательной степени а вся энергия, которой они обладают, со временем оказывается почти полностью сосредоточенной в сколь угодно малых окрестностях угловых точек. Это объясняет некоторые обнаруженные в известных экспериментальных исследованиях особенности поведения вращающейся жидкости в контейнерах рассматриваемых конфигураций, что не могло быть сделано ранее.

Список источников диссертации и автореферата по математике, доктора физико-математических наук, Троицкая, Сауле Джумабековна, Москва

1. Грииспэп X. Теория вращающихся жидкостей. — Л.: Гид-рометеоиздат, 1975.

2. Маслов В. П. О существовании убывающего при t —» оо решения уравнения Соболева для малых колебаний вращающейся жидкости в цилиндрической области // Сиб. матем. журнал. — 1968. — Т. 9, № 6. — С. 1351-1359.

3. Swart A., Maas L. R. М., Harlander U., Manders А. Experimental observation of strong mixing due to internal wave focusing over sloping terrain // Dynamics of Atmospheres and Oceans. — 2010. — Vol. 50. — Pp. 16-34.

4. Hazewinkel J., Tsimitri C., Maas L. R. M., Dalziel S. B. Observations on the robustness of internal wave attractors to perturbations // Physics of Fluids. — 2010. — Vol. 22, no. 10. — 9 pp. — номер статьи 107102.

5. Maas L. R. M., Benielli D., Sommeria J., Lam F.-P. Observation of an internal wave attractor in a confined, stably stratified fluid // Nature. 1997. — Vol. 388, no. 7. — Pp. 557-561.

6. Aldridge K. D., Toomre A. Axi-symmetric inertial oscillations of a fluid in a rotating spherical container // Journal of Fluid Mech. 1969. - Vol. 37. - Pp. 307-323.

7. Greenspan Н. P. On the inviscid theory of a rotating fluids // Stud, in Appl. Math. — 1969.- Vol. 48, no. 1.— Pp. 19-28.

8. Phillips О. M. Energy transfer in rotating fluids by reflection of inertial waves // J. Fluid Mech. — 1963. — Vol. 6, .no. 4. — Pp. 513-520.

9. Beardsley R. C. An experimental study of inertial waves in a closed cone: Report 69-1: M.I.T.G.F.D. Lab., 1969.

10. Beardsley R. C. An experimental study of inertial waves in a closed cone // Stud. Appl. Math. — 1970. — Vol. 49, no. 2. — Pp. 187-196.

11. Carter R. M. An Experimental Study of Inertial Wave Propagation in a Rotating Liquid Cone: S.m. thesis / Dept. of Geology and Geophysics, M.I.T. — Boston, MA, 1969.

12. Докучаев JI. В., Реалов Р. В. Об устойчивости стационарного вращения твердого тела с полостью, содержащей жидкость // Изв. АН СССР. Мех. те. тела. — 1973. — № 2. С. 6-14.

13. Bretherton F. P., Carrier G. F., Longuet-Higgins М. S. Report on the international union of theoretical and applied mechanics symposium on rotating fluid systems // J. Fluid Mech. 1966. - Vol. 26. - Pp. 405-408.

14. Busse F. H. Euler equations in geophysics and astrophysics // Physica D. 2008. - Vol. 237. — Pp. 21012110.

15. Busse F. H. Zonal flow induced by longitudinal librations of a rotating cylindrical cavity 11 Physica D.— 2011.— Vol. 240.-Pp. 208-211.

16. Hide R. Rotating fluids in geophysics and planetary physics // Quart. J. Royal Astronom. Soc. — 1982. — Vol. 23.-Pp. 220-235.

17. Dintrans В., Rieutord M. Oscillations of a rotating star: a non-perturbative theory // Astronomy and Astrophysics. — 2000. Vol. 354. - Pp. 86-98.

18. Rieutord M. A note on inertial modes in the core of the Earth // Physics of the Earth and Planetary Interiors. — 2000.-Vol. 117.-Pp. 63-70.

19. Rieutord M., Georgeot В., Valdettaro L. Wave attractors in rotating fluids: A paradigm for ill-posed Cauchy problems // Physical Review Letters. — 2000. — Vol. 85, no. 20. — Pp. 4277-4280.

20. Ogilvie G. I., Lin D. N. C. Tidal dissipation in rotating giant planets // The Astrophysical Journal. — 2004. — Vol. 610, no. l.-Pp. 477-509.

21. Dintrans В., Ouyed R. On Jupiter's inertial mode oscillations // Astronomy & Astrophysics. — 2001.— Vol. 375. Pp. L47-L50.

22. KolvinL, Cohen K., Vardi Y., Sharon E. Energy transfer by inertial waves during the buildup of turbulence in a rotating system // Phys. Rev. Lett. 2009.- Vol. 102.— 4 pp.— номер статьи 014503.

23. Маслов В. П. Когерентные структуры, резонансы и асимптотическая неединственность для уравнений Навье-Стокса при больших числах Рейнольдса // УМН. 1986. - Т. 41, № 6(252). - С. 19-35.

24. Lesieur М. Turbulence in Fluids. — Fourth revised and enlarged edition edition. — Dordrecht: Springer, 2008. — Vol. 84 of Fluid mechanics and its applications. — 563 pp.

25. Pope S. B. Turbulent Flows. — Cambridge University Press, 2000. 760 pp.

26. Милн-Томсоп JI. M. Теоретическая гидродинамика.— М.: Мир, 1964.- 660 с.

27. Pringle J. Е. Astrophysical Flows. — Cambridge University Press, 2007. 218 pp.

28. Rieutord M. Inertial modes in the liquid core of the Earth // Physics of the Earth and Planetary Interiors. — 1995. — Vol. 91.- Pp. 41-46.

29. Lacaze L., Le Gal P., Le Dizes S. Elliptical instability of the flow in a rotating shell // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 2005. - Vol. 151. - Pp. 194-205.

30. Rieutord M. Ekman layers and the damping of inertial r-modes in a spherical shell: application to neutron stars // The Astrophysical Journal. — 2001. — Vol. 550. — Pp. 443447.

31. Rieutord M. Linear theory of rotating fluids using spherical harmonics. I. Steady flows // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1987. - Vol. 39, no. 3. - Pp. 163-182.

32. Rieutord M. Linear theory of rotating fluids using spherical harmonics. II. Time periodic flows // Geophys. Astrophys. Fluid Dyn. 1991. - Vol. 59. - Pp. 185-208.

33. Rieutord M., Valdettaro L., Georgeot B. Analysis of singular inertial modes in a spherical shell: the slender toroidal shell model // J. Fluid Mech. 2002. - Vol. 463. - Pp. 345-360.

34. Harlander U., Maas L. Characteristics and energy rays of equatorially trapped, zonally symmetric internal waves // Meteorologische Zeitschrift. — 2006. — Vol. 15, no. 4. — Pp. 439-450.

35. Maas L. R. M. Wave attractors: linear yet nonlinear // Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sei. Engrg. — 2005. — Vol. 15, no. 9. Pp. 2557-2782.

36. Manders A. M. M., Duistermaat J. J., Maas L. R. M. Wave attractors in a smooth convex enclosed geometry // Phys. D. 2003. - Vol. 186, no. 3-4. - Pp. 109-132.

37. Maas L. Basin scale dynamics of a stratified rotating fluid // Surveys in Geophysics. — 2004. — Vol. 25. — Pp. 249-279.

38. Harlander U., Maas L. R. M. On quasigeostrophic normal modes in ocean models: weakly nonseparable situation //J. Phys. Oceanogr. 2004. - Vol. 34, no. 9. - Pp. 2086-2095.

39. Hazewinkel J., van Breevoort P., Dalziel S. B., Maas L. R. M. Observations on the wavenumber spectrum and evolution of an internal wave attractor //J. Fluid Mech. — 2008. Vol. 598. - Pp. 373-382.

40. Cacchione D. H., Wunsch C. Experimental study of internal waves over a slope // J. Fluid Mech. — 1974. — Vol. 66. — Pp. 223-239.

41. Wunsch С. On the propagation of the internal waves up a slope // Deep-Sea Research. 1968.- Vol. 15.- Pp. 251258.

42. Harlander U., Maas L. R. M. Two alternatives for solving hyperbolic boundary value problems of geophysical fluid dynamics // J. Fluid Meek. 2007. - Vol. 588. - Pp. 331351.

43. Swart ASleijpen G. L. G., Maas L. R. M., Brandts J. Numerical solution of the two-dimensional Poincare equation // J. Comput. Appl. Math.— 2007.— Vol. 200, no. l.-Pp. 317-341.

44. Grisouard N., Staquet C., Pairaud I. Numerical simulation of a two-dimensional internal wave attractor // J. Fluid Mech. 2008. - Vol. 614. - Pp. 1-14.

45. Гомилко A. M. О непрерывном спектре одной задачи гидромеханики // Успехи матем. наук.— 1981.— Т. 36, № 5. С. 169-170.

46. Соболев С. Л. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью // Журнал прикл. механ. и техн. физики. — 1960. — № 3. — С. 20-55.

47. Костюченко А. Г., Шкаликов А. А., Юркин М. Ю. Об устойчивости волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью // Функц. анализ и его прил. — 1998. — Т. 32, № 2. С. 36-55.

48. Григорьев Ю. Н. О спектре некоторых операторов, связанных с уравнением С.Л.Соболева // Динамика сплошной среды. — Новосибирск: СО АН СССР, Ин-т гидродинамики, 1973. — № 15.- С. 36-54.

49. Фрагела А. Достаточные условия не почти-иериодичности решений уравнения С.Л.Соболева // Функц. анализ и его прилож. — 1991.— Т. 25, № 3.— С. 92-94.

50. Бабский В. Г., Копачевский Н. Д., Мышкис А. Д. и др. Гидромеханика невесомости / Под ред. А. Д. Мышки-са. М.: Наука, 1976. - 504 с.

51. Wunsch С. Progressive internal waves on slopes //J. Fluid Mech. 1969. - Vol. 35. - Pp. 131-144.

52. Троицкая С. Д. О спектре оператора, порожденного задачей С.Л.Соболева в случае конической области // Алгебра, геометрия и дискретная математика в нелинейных задачах. М.: МГУ, 1991. - С. 185-197.

53. Троицкая С. Д. О зависимости спектра задачи С.Л.Соболева от геометрии области // Избранные вопросы алгебры, геометрии и дискретной математики.- М.: МГУ, 1992.- С. 138-147.

54. Троицкая С. Д. К вопросу о дифференциальных свойствах решений краевых задач для уравнения С.Л.Соболева // Избранные вопросы алгебры, геометрии и дискретной математики.— М.: МГУ, 1992.— С. 147150.

55. Троицкая С. Д. О спектре одной задачи С.Л.Соболева // Успехи матем. наук. — 1992. Т. 47, № 5. — С. 191-192.

56. Троицкая С. Д. Некоторые спектральные свойства задачи о малых колебаниях вращающейся жидкости: Дис. канд. физ.-мат. наук. — М.: МГУ, 1992.— 104 с.

57. Троицкая С. Д. О не почти периодичности решений задачи С.Л.Соболева в областях с ребрами // Изв. РАН. Сер. матем. 1994. - Т. 58, № 4. - С. 97-124.

58. Troitskaya S. D. On a boundary value problem for hyperbolic equations / / Differential equations and applications (Rousse, 1995).— Angel Kanchev Univ. Rousse, Ruse, 1995.- Pp. 135-143.

59. Троицкая С. Д. Об одной корректной краевой задаче для гиперболических уравнений с двумя независимыми переменными // Успехи матем. наук. — 1995. — Т. 50, № 4. — С. 124-125.

60. Троицкая С. Д. О единственности обобщенного решения задачи Дарбу // Успехи матем. наук. — 1996.— Т. 51, № 5. С. 149-150.

61. Троицкая С. Д. О спектре кориолисова оператора в осе-симметричных областях с ребрами // Матем. заметки. 1996. - Т. 60, № 2. - С. 304-309.

62. Троицкая С. Д. Об одной краевой задаче для гиперболических уравнений // Известия РАН. Сер. матем. — 1998. Т. 62, № 2. - С. 194-225.

63. Троицкая С. Д. О непрерывном спектре задачи Соболева // Успехи матем. наук. — 1998. — Т. 53, № 4. — С. 158.

64. Троицкая С. Д. О непрерывном спектре задачи о вращающейся жидкости // Тезисы докладов конференции, поев. 75-летию чл.-корр. РАН Л.Д.Кудрявцева.— М.: РУДН, 1998.-С. 171.

65. Троицкая С. Д. Структура спектра задачи Пуанкаре-Соболева о вращающейся жидкости в некотором классе областей с ребрами // Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы матем. образования. -М.: РУДН, 1998.-С. 166-170.

66. Troitskaya S. D. On the boundary value problem for hyperbolic equations arising in hydrodynamic of rotating fluids // Abstracts of the Seventh International Conference on Hyperbolic Problems. Zurich: ETH, 1998.— Pp. 298301.

67. Troitskaya S. D. Some spectral properties of the Poincare-Sobolev problem // Abstracts of the International Conference Dedicated to the 90th Anniversary of L.S.Pontryagin. — M.: MSU, 1998.-Pp. 113-114.

68. Троицкая С. Д. О первой краевой задаче для гиперболического уравнения на плоскости // Матем. заметки. — 1999. Т. 65, № 2. - С. 294-306.

69. Троицкая С. Д. Об одном классе решений нестационарного уравнения С.Л.Соболева // Тезисы докладов Пятой ежегодной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи". — М.: МГУ, ВМК, 1999. — С. 98.

70. Троицкая С. Д. О решениях системы С.Л.Соболева // Некоторые проблемы фундаментальной и прикладной математики. М.: МФТИ, 1999.-С. 192-201.

71. Troitskaya S. D. Some spectral properties of the dynamical system managing the motion of rotating fluid // Abstracts of the Internat. Conference Dedicated to the 80th Anniversary of VA.Rokhlin. St.Petersburg, 1999. - P. 68.

72. Troitskaya S. D. Large time behaviour of the solutions of the Poincare-Sobolev equation // Abstracts of the Internat. School-Seminar on Geometry and Analysis Dedicated to the 90th Anniversary of N.V.Efimov. — Rostov-on-Don, 2000. — Pp. 245-246.

73. Троицкая С. Д. Затухающие решения уравнения С.Л.Соболева // Тезисы докладов Шестой ежегодной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи",- М.: МГУ, ВМК, 2000.- С. 54.

74. Троицкая С. Д. Обобщенные решения краевых задач для гиперболических уравнений на плоскости // Традиции гуманизации и гуманитаризации математического образования.- М.: ИСМО РАО, 2010.- С. 135-137.

75. Троицкая С. Д. Построение точных решений модельной задачи о колебаниях вращающейся жидкости в областях с угловыми точками // Вестник МГУ, Серия 3. Физика. Астрономия. — 2010. — № 6. — С. 14-20.

76. Троицкая С. Д. Свойства решений модельной задачи о колебаниях вращающейся жидкости в областях с угловыми точками // Вестник МГУ, Серия 3. Физика. Астрономия. — 2010. — № 6. С. 21-27.

77. Troitskaya S. D. Behavior as t oo of solutions of a problem in mathematical physics // Russ. J. Math. Phys. — 2010,-Vol. 17, no. 3.- Pp. 342-362.

78. Tolstoy I. Wave Propagation.- McGraw-Hill, 1973.— 466 pp.

79. Maas L. R. M. Exact analytic self-similar solution of a wave attractor field // Phys. D.— 2009,- Vol. 238, no. 5.-Pp. 502-505.

80. Thomson W. XXIV. Vibrations of a columnar vortex // Philosophical Magazine Series 5. — 1880. — Vol. 10, no. 61.-Pp. 155-168.

81. Poincaré H. Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation // Acta Math. — 1885. — Vol. 7, no. l.-Pp. 259-380.

82. Соболев С. JJ. Об одной новой задаче математической физики // Изв. АН СССР. Сер. матем.- 1954.- Т. 18, № 1.-С. 3-50.

83. Алексаидрян Р. А., Березанский Ю. М., Ильин В. А., Ко-стюченко А. Г. Некоторые вопросы спектральной теории для уравнений с частными производными // Труды симпозиума, посвященного 60-летию акад. С. Л. Соболева. — М.: Наука, 1970.-С. 3-35.

84. Дезин А. А., Зеленяк Т. И., Масленникова В. И. О некоторых математических задачах в гидродинамике //

85. Дифференциальные уравнения с частными производными. — Новосибирск: Наука, 1980. — С. 21-32.

86. Копачевский Н. Д., Крейн С. ГНго 3. К. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. — М.: Наука, 1989. — 416 с.

87. Ralston J. V. On stationary modes in inviscid rotating fluids // J. Math. Anal. Appl— 1973.- Vol. 44, no. 2.— Pp. 366-383.

88. Ишлинский А. Ю., Темченко M. E. О малых колебаниях вертикальной оси волчка, имеющего полость, целиком наполненную идеальной несжимаемой жидкостью // Ж. прикл. мех. и техн. физ. — 1960. — № 3. — С. 65-75.

89. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовиц, И. Стиган.— М.: Наука, 1979.

90. Григорьев Ю. Н. Почти периодичность решений некоторых нестационарных задач о малых колебаниях вращающейся жидкости // Динамика сплошной среды. — Новосибирск: СО АН СССР, Ин-т гидродинамики, 1973. — № 13.-С. 34-49.

91. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. — М.: Наука, 1981. — 448 с.

92. Капустин Н. Ю., Шопия 3. В. К вопросу об обобщенной разрешимости первой задачи Дарбу // Дифференциальные уравнения.— 1988. — Т. 24, № 1,- С. 85-91.

93. Капустин Н. Ю. О двух задачах для гиперболического уравнения в характеристическом треугольнике // Докл. АН СССР. 1987. - Т. 293, № 2. - С. 301-305.

94. Коврижкин В. В. О слабых решениях задачи Дарбу // Дифференциальные уравнения.— 1972.— Т. 8, № 1.— С. 68-75.

95. Врагов В. Н. О задачах Гурса и Дарбу для одного класса гиперболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1972. - Т. 8, № 1. - С. 7-16.

96. Кальменов Т. Ш., Садыбеков М. А. О задаче Дирихле и нелокальных краевых задачах для волнового уравнения // Дифференциальные уравнения. — 1990. — Т. 26, № 1.-С. 60-65.

97. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. — Киев: Наукова думка, 1965.

98. Соболев С. Л. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1966. 443 с.

99. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными. — М.: Мир, 1986.— Т. 1. Теория распределений и анализ Фурье. — 462 с.

100. Владимиров В. Уравнения математической физики. — М.: Наука, 1976.

101. Franklin J. N. Axisymmetric inertial oscillations of a rotating fluid // Journal of Math. Anal, and Appl. — 1972. — Vol. 39. Pp. 742-760.

102. Greenspan H. P. A string problem // Journal Of Mathematical Analysis And Applications. — 1963. — Vol. 6. Pp. 339-348.

103. Лайтхилл Д. Волны в жидкостях.— М.: Мир, 1981.— 603 с.

104. Габов С. А., Свешников А. Г. Задачи динамики стратифицированных жидкостей. — М.: Наука, 1986. — 288 с.

105. Moore G. Т. Quantum theory of the electromagnetic field in a variable-length one-dimensional cavity // Journal of Math. Phys. 1970. - Vol. 35, no. 9. - Pp. 2679-2691.

106. Law С. K. Resonance response of the quantum vacuum to an oscillating boundary // Phys. Review Letters. — 1994. — Vol. 73, no. 14. Pp. 1931-1934.

107. Wu Y., Chan K. W., Chu M.-C., Leung P. T. Radiation modes of a cavity with a resonantly oscillating boundary // Phys. Review A. 1999. - Vol. 59, no. 2. - Pp. 1662-1666.

108. Капустин H. Ю. Задача Гурса с граничными функциями из класса Z/2 // Дифференциальные урав71ения. — 1987. Т. 23, № 7. - С. 1219-1231.

109. Харибегашвили С. С. Граничные задачи для систем линейных дифференциальных уравнений второго порядка гиперболического типа: Дис. докт. физ.-мат. наук. — Тбилиси, 1986. 221 с.

110. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Моск. матем. об-ва. — 1967. — Т. 16. — С. 209-292.

111. Мамедов И. Р. Об одной схеме построения сопряженного оператора // Известия Нац. Акад. Наук Азербайджана. 2004. - № 2. - С. 90-95.

112. Мамедов И. Г. Фундаментальное решение начально-краевой задачи для псевдопараболического уравнения четвертого порядка с негладкими коэффициентами // Владикавказский матем. журнал. — 2010. — Т. 12, № 1.-С. 17-32.

113. Wunsch С. Note on some Reynolds stress effects of internal waves up a slope // Deep-Sea Research. — 1971. — Vol. 18. — Pp. 583-591.

114. Aziz A. K., Diaz J. B. On a mixed boundary-value problem for linear hyperbolic partial differential equations in two independent variables // Arch. Rational Mech. Anal — 1962. Vol. 10. - Pp. 1-28.

115. Szmydt Z. Sur l'existence d'une solution unique de certains problèmes pour un système d'équations différentielles hyperboliques du second ordre à deux variables indépendantes // Ann. Polon. Math. — 1958. — Vol. 4. Pp. 165-182.

116. Suryanarayana M. B. A Sobolev space and a Darboux problem // Pacific J. Math.- 1977.- Vol. 69, no. 2.— Pp. 535-550.

117. Харибегашвили С. С. Об одной граничной задаче для гиперболического уравнения второго порядка // Докл. АН СССР. 1985. - Т. 280, № 6. - С. 1313-1316.

118. Мельник 3. О. Пример неклассической граничной задачи для уравнения колебаний струны // Укр. матем. журнал. 1980. - Т. 32, Ш 5. - С. 671-674.

119. Мазья В. Г. Пространства С.Л.Соболева.— Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

120. Kharibegashvili S. Boundary value problems for some classes of nonlinear wave equations // Mem. Differential Equations Math. Phys. 2009. - Vol. 46. - Pp. 1-114.

121. Berikelashvili G., Jokhadze 0., Kharibegashvili S., Midodashvili B. Finite difference solution of a nonlinear Klein-Gordon equation with an external source // J. Math. Сотр. 2011. - Vol. 80. - Pp. 847-862.

122. Bryan G. H. The waves on a rotating liquid spheroid of finite ellipticity // Philosophical Transactions of the Royal Society of London (A).- 1889.- Vol. 180.-Pp. 187-219.

123. Cartan M. E. Sur les petites oscillations d'une masse fluide mélanges // Bull, des Sciences mathém. 2 série,. — 1922.— Vol. XLVI. Pp. 356-369.

124. Greenspan H. P. On the transient motion of a contained rotating fluid // J. Fluid Mech.— 1964. — Vol. 20, no. 4.— Pp. 673-696.

125. Aldridge K. D. An Experimental Study of Axisymmetric Inertial Oscillations of a Rotating Liquid Sphere: Ph.d. dissertation / Dept. of Geology and Geophysics, M.I.T. — Boston, MA, 1967.

126. Fultz D. A note on overstability and the elastoid-inertia oscillations of Kelvin, Solberg and Bjerknes //J. Meteor. — 1959. Vol. 16, no. 2. - Pp. 199-208.

127. Barcilon V. Axi-symmetric inertial oscillations of a rotating ring of fluid 11 Mathematika.— 1968.- Vol. 15.- Pp. 93102.

128. Депчев P. Т. О спектре одного оператора // Докл. АН СССР. 1959. - Т. 126, № 2. - С. 259-262.

129. Фокин M. В. О характере спектра одного оператора // Динамика сплошной среды.— Новосибирск: СО АН СССР, Ин-т гидродинамики, 1973. № 15. - С. 170-174.

130. Ляшенко А. А. О не почти периодичности решений уравнения С.Л.Соболева // Докл. АН СССР.- 1984.- Т. 278, №4.-С. 803-806.

131. Wood W. W. Energy intensity of inertial waves in a sphere // J. Austral. Math. Soc. Ser. B. 1983. - Vol. 25. - Pp. 145160.

132. Wood W. W. Inertial modes with large azimuthal wavenumbers in an axisymmetric container // J. Fluid Mech. 1981. - Vol. 105. - Pp. 427-449.

133. Stewartson K. On trapped oscillations of a rotating fluid in a thin spherical shell. II // Tellus. 1972. - Vol. 24, no. 4. — Pp. 283-287.

134. Смирнов В. И. Курс высшей математики. — М.: Физмат-лит, 1959. T. V. - 657 с.

135. Oser H. Experimentelle Untersuchung über harmonische Schwingungen in rotierenden Flüssigkeiten // Z. angew. Math. Mech. 1958. - Vol. 38, no. 9-10.- Pp. 386-391.

136. Duguet Y. Oscillatory jets and instabilities in a rotating cylinder // Physics of Fluids. — 2006. — Vol. 18, no. 104104.-Pp. 1-11.

137. McEwan A. D. Inertial oscillations in a rotating fluid cylinder 11 J. Fluid Mech.- 1970.- Vol. 40.- Pp. 603640.

138. Messio L., Morize С., Rabaud M., Moisy F. Experimental observation using particle image velocimetry of inertial waves in a rotating fluid // Experiments in Fluids. — 2008. — Vol. 44, no. 4. Pp. 519-528.

139. Sauret A., Cebron D., Morize C., Le Bars M. Experimental and numerical study of mean zonal flows generated by librations of a rotating spherical cavity // J. Fluid Mech. — 2010. Vol. 662. - Pp. 260-268.

140. Manders A. M. M., Maas L. R. M. On the three-dimensional structure of the inertial wave field in a rectangular basin with one sloping boundary // Fluid Dynam. Res. — 2004. — Vol. 35, no. l.-Pp. 1-21.

141. Fincham A. M., Spedding G. R. Low cost, high resolution DPIV for measurement of turbulent fluid flow // Experiments in Fluids. — 1997. — Vol. 23, no. 6. — Pp. 449462.

142. Доброхотов С. Ю., Жевандров П. Н., Маслов В. П., И. Ш. А. Асимптотические быстроубывающие решения линейных строго гиперболических систем с переменными коэффициентами // Матем. заметки. — 1991.— Т. 49, №4.-С. 31-46.

143. Зеленяк Т. И. Избранные вопросы качественной теории уравнений с частными производными. — Новосибирск: НГУ, 1970.

144. Фокин М. В. Гамильтоновы системы в теории малых колебаний вращающейся идеальной жидкости. I // Матем. тр. 2001. - Т. 4, № 2. - С. 155-206.1. ЛИТЕРАТУРА (j^T)

145. Ллександря71 Р. А. К вопросу о зависимости качественных свойств решений некоторых смешанных задач от вида области: Дис. канд. физ.-мат. наук. — М.: МГУ, 19^9.-71 с.

146. Ляшенко А. А. О полноте системы обобщенных собственных функций оператора, порождаемого первой краевой задачей для уравнения С.Л.Соболева // Докл. АН СССР. 1991. - Т. 319, № 2. - С. 278-282.

147. Lyashenko A. A. On the structure of the solutions of the first initial-boundary value problem for the Sobolev's equation // J. Math. Kyoto Univ. 1993. - Vol. 33, no. 4. - Pp. 909951.

148. Зеленяк Т. И. О поведении на бесконечности решений одной смешанной задач // Дифференциальные уравнения. 1969. - Т. 5, Ш 9. - С. 1676-1689.

149. Фокин М. В. Существование сингулярного спектра и асимптотика решений задачи Соболева. — Новосибирск: РАН. Сиб. отд-ние, 1994. — Т. 26 из Труды Ин-та математики. — С. 107-195.

150. Maas L. R. М., Harlander U. Equatorial wave attractors and inertial oscillations // J. Fluid Mech. — 2007. — Vol. 570. Pp. 47-67.

151. Robinson S. K. Coherent motions in the turbulent boundary layer // Annual Review of Fluid Mechanics.— 1991. — Vol. 23.-Pp. 601-639.