Исследование проблемы движения тел в ОТО методом Фока тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава I.

§1.

Глава П.

§5.

§8. §9.

§10.

Глава Ш.

§11.

Метрика первого приближения механики тел ТГЭ.

Вывод метрики первого приближения 9 Задача о движении в центральном поле и метрика первого приближения 15 Задача Лензе-Тирринга и принцип суперпозиции релятивистских эффектов

Задача Скроцкого

О методах решения задач механики ТГЭ.

Применение векторных элементов fv\ и А в случае инфинитных движений

Движение в поле вращающегося тела и уравнение Гамильтона-Якоби

Применение методов дифференциальной геометрии к изучению задачи о движении в поле вращающегося тела

О собственном вращении пробного тела, движущегося в поле вращающегося центрального тела

Об одной оптико-механической аналогии в механике тел ТГЭ

Применение теории квазипериодических движений к исследованию задач механики ТГЭ

Релятивистская функция Лагранжа системы тел произвольной формы с учетом внутренней структуры и вращения.

Интегральная форма релятивистских уравнений поступательного движения. Преобразования Фока.

§12. Вычисление количества движения в приближении т q Bl

§13. Вычисление силы

§14. Релятивистская функция Лагранжа системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры г %г r и вращения в приближении ^

§15. Релятивистская функция Лагранжа системы сферически симметричных вращающихся тел

§16. Функция Лагранжа системы двух сферических масс т^ « mg ) с собственным вращением Ю

§17. Замечание по поводу релятивистской функции Лагранжа (14.8) Ю

§18. Расхождения в релятивистских функциях Лагранжа поступательного движения для системы двух сферических вращающихся тел

Глава 1У. Задача двух тел с учетом внутренней структуры и собственного вращения.

§19. Функция Лагранжа

§20. Уравнения движения

§21. Усреднение уравнений движения

§22. Предварительные замечания относительно уравнений движения первого приближения

§23. Преобразование уравнений первого приближения

21.45) и (21.46)

§24. Пертурбационная функция и среднее от нее

§25. Исследование уравнений первого приближения

§26. Другие формы уравнений первого приближения

§27. О собственном вращении

Глава У. Исследование расхождений в релятивистских уравнениях вращательного движения.

§28. История вопроса

§29. Устранение расхождений в релятивистских уравнениях вращательного движения, полученных методами Фока

§30. Об уравнении Рябушко

Глава У1. Уравнения движения системы тел произвольной формы с учетом внутренней структуры, заряда, магнитного момента и собственного вращения.

§31. Уравнения поступательного движения в интегральной форме

§32. Преобразование уравнений поступательного движения, полученных в интегральной форме

§33. Таблица интегралов для вывода уравнений движения в дифференциальной форме

§34. Вычисление количества движения в приближении rnq £ -В rnvV г*

0 ^ аг R

§35. Вычисление силы в приближении тсу ^

§36. Уравнения вращательного движения

Проблема движения масс - одна из тех наиболее известных классических проблем общей теории относительности (ОТО), которая находится в постоянном развитии и остается неизменно актуальной. Причина непреходящего интереса заключается, по-видимому, в том, что по мере ее развития открываются все новые и новые аспекты механики теории гравитации Эйнштейна (ТГЭ). Можно полагать, что у механики ТГЭ, являющейся одним из неотъемлемых разделов современной теоретической физики, так же, как и у механики теории гравитации Ньютона (ТГН), имеются перспективы существенного развития.

Главная задача в проблеме движения обычно сводится к выводу уравнений движения масс из уравнений гравитационного поля и их исследованию. Существует ряд известных методов получения уравнений движения масс из уравнений поля. Это - метод Эйнштейна-Инфельда-Гоффмана (метод EIH) [I] , первый метод Фока 12] , метод Инфельда [3] и второй метод Фока [4] . Методы EIH и Инфельда позволяют вывести уравнения движения точечных масс, тогда как методы Фока - уравнения движения протяженных масс (тел).

По мере развития проблемы движения сложились две крупные школы по выводу уравнений движения и их исследованию. Это - школа Эйнштейна и Инфельда, с одной стороны, и школа Фока - с другой. Основные результаты, полученные школой Эйнштейна и Инфельда, приведены в книге Инфельда и Плебаньского [31 . Более поздние исследования отражены в монографии Рябушко [5 ] . Главные результаты школы Фока изложены в его книге [4 ] . В качестве примеров последующего развития исследований этой школы можно указать на работы Петровой [6, 7 ] , Брумберга [81 и др. [9 - II] .

В целом в настоящее время существует механика ТГЭ, достигшая определенной степени зрелости и развивающаяся одновременно в двух направлениях. Первое - механика точечных масс ТГЭ, отправными пунктами которой являются идеи Эйнштейна и Инфельда, а второе - механика протяженных тел ТГЭ, основанная на идеях Фока.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена систематическому исследованию механики тел ТГЭ. Актуальность темы определяется тем фактом, что наше исследование относится к проблеме движения и тем особым положением, которое занимают методы Фока в этой проблеме.

Методы Фока, в отличие от методов EIH и Инфельда, позволяют учесть влияние внутренней структуры и формы тел на их движение. Особенно неоспоримы их преимущества при рассмотрении вопроса о собственном вращении тел в ТГЭ. Таким образом, методы Фока являются тем фундаментальным подходом, который позволяет выделить механику тел ТГЭ из уравнений гравитационного поля. Возможности этих методов далеко не исчерпаны и их дальнейшие применения должны привести к новым результатам в механике тел ТГЭ.

Цель диссертационной работы в общем плане - преодоление некоторых логических и конструктивных недостатков, присущих современной механике тел ТГЭ, а также исследование новых идей и направлений, способствующих ее дальнейшему прогрессу. В конкретном плане она заключается в последовательном изучении ряда актуальных проблем механики тел ТГЭ. К ним относятся: метрика первого приближения механики тел ТГЭ, новые методы исследования задач механики ТГЭ, оптико-механическая аналогия в механике тел ТГЭ, задача двух тел. с учетом их внутренней структуры и вращения, расхождения между релятивистскими уравнениями вращательного движения, полученными тремя разными методами (первым и вторым методами Фока, а также методом Инфельда), уравнения движения тел с зарядами и магнитными моментами и др.

Научная новизна диссертации состоит в следующем.

Оригинальной является постановка большинства перечисленных проблем. Например, сам факт расхождений между релятивистскими уравнениями вращательного движения, полученных разными методами, ранее был отмечен Рябушко [5] , Брумбергом [8] и другими авторами. В нашей же работе этот факт ставится в качестве проблемы, решение которой получено в главе У.

Ряд новых результатов получен при рассмотрении самих проблем: установлена уточненная метрика первого приближения механики тел ТГЭ. Она объясняет большинство известных результатов в проблеме движения, а также позволяет получить и некоторые новые результаты; показано, что некоторые релятивистские эффекты (искривление и кручение траектории, вращение плоскости поляризации электромагнитной волны и пр.) легче всего изучать с помощью методов дифференциальной геометрии. Это связано с тем, что известные формулы Френе в сжатом виде описывают все существенные геометрические свойства пространственной кривой. Таким образом, можно говорить еще об одном методе исследования задач механики тел ТГЭ; получена релятивистская функция Лагранжа системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения. Она позволяет рассматривать новый круг вопросов механики тел ТГЭ; решена задача двух тел с учетом внутренней структуры и собственного вращения. Благодаря совместному использованию векторных элементов, асимптотических методов нелинейной механики и метода адиабатических инвариантов найдены новые и удобные для исследования формы уравнений движения. Развита адиабатическая теория движения тел в механике ТГЭ; внесена ясность в проблему о расхождении между релятивистскими уравнениями вращательного движения, полученными первым и вторым методами Фока, а также методом Инфельда; выведены релятивистские уравнения поступательного и вращательного движений системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры, заряда, магнитного момента и собственного вращения и т.д. (более полное перечисление полученных результатов дано в заключении).

В работе нашли применение некоторые новые идеи, оказавшиеся весьма эффективными в механике ТГЭ, Например: использование гидродинамической аналогии для объяснения собственного вращения пробного тела, движущегося в гравитационном поле вращающегося центрального тела; отыскание оптико-механической аналогии, характерной для механики тел ТГЭ; развитие адиабатической теории движения тел в ТГЭ и др.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ 9 - 12, 15, 24, 26, 49, 56 - 58, 60 - 78 ] и докладывались на II - У1 Советских гравитационных конференциях (Тбилиси, 1965; Ереван, 1972; Минск, 1976; Москва, 1981; Москва, 1984), У Международной конференции по гравитации и теории относительности (Тбилиси, 1968), Всесоюзном симпозиуме "Проблемы движения тел в общей теории относительности" (Вильнюс, 1983).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Настоящая работа посвящена механике тел (протяженных масс) ТГЭ, начало которой было положено Фоком. В ней нашли дальнейшее развитие исследования Фока, Петровой, Рябушко и Брумберга по проблеме движения масс.

В работе поставлен и решен ряд новых проблем механики тел ТГЭ. Высказаны идеи и развиты методы, способствующие успешному решению рассматриваемых проблем. Дано изложение механики ТГЭ, свободное от некоторых логических и конструктивных недостатков существующих построений.

Ниже приведено более подробное перечисление полученных в работе результатов.

1. Найдена корректная метрика первого приближения механики тел ТГЭ (1.32), которая является отправным пунктом при построении механики тел ТГЭ. Метрика (1.32) квазистационарна, обладает надлежащей точностью, учитывает нелинейность поля, искривление трехмерного пространства, форму, внутреннюю структуру и собственное вращение тел.

2. Метрика (1.32) применена к ряду хорошо известных задач механики ТГЭ: задаче Шварцшильда, задаче Лензе-Тирринга и задаче Скроцкого. Показано, что метрика (1.32) приводит во всех этих случаях к правильным результатам.

При рассмотрении задач Шварцшильда и Лензе-Тирринга используются векторные элементы И и А , а также асимптотические методы теории нелинейных колебаний. Процесс усреднения уравнений движения упрощается путем применения нерелятивистских инвариантов.

-* -V

3. Векторные элементы М и А применены для описания ин-финитных задач механики ТГЭ. Показано, что в задаче о движении материальной частицы в поле вращающегося центрального тела уравнение для изменения вектора М (5.13) допускает полное интегрирование.

4. На основе метода Гамильтона-Якоби рассмотрена задача о движении материальной частицы в поле вращающегося центрального тела и проведено ее подробное исследование. Найден общий интеграл уравнений Гамильтона-Якоби, получен явный вид уравнений траектории и т.д. Предсказан эффект кручения траектории пробного тела.

5.Методы дифференциальной геометрии применены для определения кручения (угла кручения) траектории частицы, движущейся в поле вращающегося центрального тела. Интересно заметить, что формула (7.13) (для частицы) содержит как частный случай известную формулу для угла кручения светового луча (4.20), полученную Скроцким. Общее выражение (7.13) получено гораздо более простым путем, чем результат Скроцкого. Таким образом, показано наличие оптико-механической аналогии в эффекте кручения.

6. Высказана идея об использовании гидродинамической аналогии при исследовании вопроса о собственном вращении пробного тела, движущегося в гравитационном поле вращающегося тела. Установлено (см. §8), что собственное вращение пробного тела определяется простой формулой Ц)= ^го! V .

7. Показано, что изучение многих релятивистских эффектов (искривление и кручение траектории, вращение плоскости поляризации плоской электромагнитной волны и др.) значительно упрощается при использовании методов дифференциальной геометрии. Это связано с тем, что известные формулы Френе в сжатом виде описывают все существенные геометрические свойства пространственной кривой.

Такой подход позволяет обнаружить специфическую оптико-механическую аналогию, присущую только механике тел ТГЭ: вращение плоскости поляризации плоской электромагнитной волны во внешнем гравитационном поле можно рассматривать как предельный случай поступательно-вращательного движения пробного тела.

8. Метод адиабатических инвариантов применен к задаче о движении материальной частицы в гравитационном поле вращающегося центрального тела. Определены частоты движения.

9. Получена релятивистская функция Лагранжа системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры и вращения

I 2 «V* Я* с точностью £ —г .

Приведены различные частные случаи этой функции и проведено ее сравнение с функциями Лагранжа, полученными Брумбер-гом и Рябушко.

10. Развита адиабатическая теория движения тел в механике ТГЭ, основанная на использовании векторных элементов для описания движения, асимптотических методов теории нелинейных колебаний и метода адиабатических инвариантов.

11. Рассмотрена задача двух тел с учетом их внутренней структуры и вращения.

С помощью адиабатической теории движения найдены простые формы уравнений движения (23.20), (23.21) и (27.17).

В этих уравнениях определяется соотношением (24.15), которое имеет фундаментальное значение.

12. Показано, что в задаче двух тел с учетом их внутренней структуры и вращения абсолютные значения векторов К и А не остаются адиабатическими инвариантами. Таковой является величина

М0 , определяемая формулой (23.7). Что касается изменения на

-V —V правлений VI и j[ , то оно полностью описывается вектором —> si (23.16) с помощью простых формул (22.9).

13. Адиабатическая теория применена к исследованию вращательного движения в случае задачи двух тел с учетом внутренней структуры и вращения. Найдена форма уравнений вращательного дви жения (27.17), где Sl^ определяется соотношением (27.18).

14. Внесена необходимая ясность в вопрос о расхождении между релятивистскими уравнениями вращательного движения, полученными первым и вторым методами Фока, а также методом Инфельда.

Показано, что в вопросе о собственном вращении метод Фока приводит к более общим результатам, чем метод Инфельда.

15. Выведены релятивистские уравнения поступательного и вращательного движения системы тел произвольной формы с учетом их внутренней структуры, заряда, магнитного момента и собственного вращения.

1., Инфельд Л., Гоффман Б. Гравитационные уравнения и проблема движения. - В кн.: А.Эйнштейн. Собрание научных трудов, т. 2. М., Наука, 1966, с, 450 - 513.

2. Фок В.А. О движении конечных масс в общей теории относительности. ЖЭТФ, 1939, 9, с. 375 - 410.

3. Инфельд Л., Плебаньский Е. Движение и релятивизм. М.: ИЛ, 1962. - 204 с.

4. Фок В.А. Теория пространства, времени и тяготения. изд. 2-е, доп. - М.: Физматгиз, 1961. - 563 с.

5. Рябушко А.П. Движение тел в общей теории относительности. -Минск: Вышэйшая школа, 1979. 240 с.

6. Айтикеева З.А., Петрова Н.М. О системе сферически симметричных тел в общей теории относительности. В сб.: Исследование процессов переноса. Вопросы теории относительности. - Алма-Ата: КазГУ, 1959, с. 209 - 229.

7. Петрова Н.М., Сандина И.Б. К вопросу о методе получения уравнений движения в общей теории относительности. В сб. "Физика". - Алма-Ата: КазГУ, 1970, вып. I, с. 14 - 16.

8. Брумберг В.А. Релятивистская небесная механика. М.: Наука, 1972. - 382 с.

9. Абдильдин М.М. Некоторые выводы из теории тяготения Эйнштейна для космогонии планетной системы. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. - Ленинград, 1965. - 97 с.

10. Абдильдин М.М. О некоторых актуальных вопросах проблемы движения тел в ОТО. В кн.: Современные теоретические и экспери ментальные проблемы теории относительности и гравитации. (Тезисы докл. 6-й Сов. грав. конференции). М.: УДН, 1984, с. 247 - 248.

11. Абдильдин М.М. Анализ некоторых задач механики теории тяготения Эйнштейна. В сб.: Проблема движения в теории гравитации Эйнштейна. - Алма-Ата: КазГУ, 1981, с. 3 - 41.

12. Абдильдин М.М., Юнусов А,А. Анализ метрики первого приближения по Фоку в ОТО. В сб.: Вопросы теории относительности. -Алма-Ата: КазГУ, 1979, с. 5 - II.

13. Бергман П. Введение в теорию относительности. М.: ИЛ, 1947. - 380 с.

14. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. изд. 6-е, испр. и доп. - М.: Наука, 1973. - 400 с.

15. Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы. -изд. 2-е, переработ. и доп. М.: Наука, 1968. - 799 с.

16. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. изд. 4-е, переработ. - М.: Физматгиз, 1962. -1094 с.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика. изд. 3-е, испр. и доп. -М.: Наука, 1973. - 207 с.

18. Ольховский И.И. Курс теоретической механики для физиков. ' М.: Iffy, 1974. - 569 с.

19. Иваницкая О.С. Лоренцев базис и гравитационные эффекты в эйнштейновой теории тяготения. Минск: Наука и Техника,1979. 334 с.

20. Скроцкий Г.Б. О влиянии силы тяжести на распространение света. Докл. АН СССР, 1957, П4, с. 73 - 76.

21. Рытов С.М. О переходе от волновой к геометрической оптике.- Докл. АН СССР, 1938, 18, с. 263 266.

22. Рытов С.М. Модулированные колебания и волны. Труды ФИАН, 1940, т.2, вып. I, с. 41 - 133.

23. Абдильдин М.М. Движение в поле тяжести вращающегося массивного тела и уравнение Гамильтона-Якоби. Вестн. ЛГУ, серия физ. хим., 1964, №22, вып. I, с. 155 - 157.

24. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. ч.2. -изд. 5-е, стереотип. М.: Наука, 1969. - 332 с.

25. Абдильдин М.М. Применение методов дифференциальной геометрии для решения задач механики теории тяготения Эйнштейна.- В сб.: Вопросы теории относительности. Алма-Ата: КазГУ 1979, с. 15 - 18.

26. Соколов А.А., Тернов Й.М. Релятивистский электрон. М.: Наука, 1974. - 391 с.

27. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. М.: Наука, 1965. - 426 с.

28. Сокольников И.С. Тензорный анализ. М.: Наука, 1971. -373 с.

29. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. М.: Госиздат, 1956. - 419 с.

30. Парс Л. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971. - 635 с.

31. Зоммерфельд А. Строение атома и спектры, т.1. М.: Госиздат, 1956. - 591 с.

32. Петрова Н.М. Об уравнении движения и тензоре материи длясистемы конечных масс в общей теории относительности. -ЮТФ, 1949, 19, с. 989 999.

33. Фок В.А. Об интегралах движения центра инерции двух конечных масс в общей теории относительности. Докл. АН СССР, 1941, 32, с. 28 - 30.

34. Кашкаров В.П. Об уравнениях движения системы конечных масс в теории тяготения Эйнштейна. КЭТФ, 1954, 27, с. 563 -570.

35. Фихтенгольц И.М. Лагранжева форма уравнений движения во втором приближении теории тяготения Эйнштейна. ЖЗТФ, 1950, 20, с. 233 - 242.

36. Ра^сфе^гои A. Equations о? motion in tfene^at RqEct"tLиL"tу P^oc.Roy.Soc. 1951, A6A , p. 57-72

37. Петрова H.M. Релятивистские уравнения вращения в форме уравнений Лагранжа. В сб.: Исследования процессов переноса. Вопросы теории относительности. - Алма-Ата: КазГУ, вып. 2, I960, с. 147 - 150.

38. Рябушко А.П. Об уравнениях движения вращающихся тел, обладающих зарядами и магнитными моментами, в общей теории относительности. Известия ВУЗов. Физика. 1961, №6, с. 3 -13.

39. Рябушко А.П. Интегралы уравнений движения системы вращающихся тел в общей теории относительности. Известия АН БССР, серия ф.-м. наук, 1971, №3, с. 70-78.

40. Эйнштейн А. Объяснение движения перигелия Меркурия в общей теории относительности. В кн.: А.Эйнштейн. Собрание научных трудов, т.1. М.: Наука, 1965, с. 439 - 447.

41. Богородский А.Ф. Уравнения поля Эйнштейна и их применение в астрономии. Киев: изд. Киевск. ун - т., 1962. - 193 с.

42. Галкин С.Л. Движение частиц в центрально-симметричном статическом поле в общей теории относительности. Известия ВУЗов. Физика, 1963, Ю, с. 54 - 62.

43. Пирагас К.А., Кривенко О.П. Некоторые вопросы качественной теории геодезических линий в поле тяготеющего центра. -Киев, 1971. 26 с. (Препринт/Институт теоретической физики АН УССР: 71 - II3P).

44. Зельдович Я.Б., Новиков И.Д. Строение и эволюция Вселенной. М.: Наука, 1975. - 735 с.

45. Гинзбург В.Л. Экспериментальная проверка общей теории относительности. В сб.: Эйнштейн и современная физика. - М.: ГИТТЛ, 1956, с. 93 - 139.

46. Рябушко А.П., Фишер И.З. О движении вращающихся масс в общей теории относительности. ЖЭТФ, 1958, 34, с. 1189 -1194.

47. Рябушко А.П. О движении тел, несущих на себе заряды и обладающих собственным вращением и магнитными моментами, в общей теории относительности. Известия ВУЗов. Физика. 1962, №1, с. 88 - 97.

48. Абдильдин М.М. Некоторые следствия из теории тяготения Эйнштейна для космогонии солнечной системы. Вестник ЛГУ, серия физ. хим. 1964, Шг, с. 19 - 25.

49. Курмакаев З.Х. К вопросу о задаче двух вращающихся сферически симметричных тел в ОТО. Астрон. журн., 1966, 43, с. 1025 - 1029.

50. Белецкий В.В. Очерки о движении космических тел. изд. 2-еиспр. и доп. М.: Наука, 1979. - 430 с.

51. Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. изд. 4-е, испр. и доп. -М.: Наука, 1974. - 503 с.

52. Мак-Коннел А.Дж. Введение в тензорный анализ. М.: Госиздат, 1963. - 411 с.

53. Петрова Н.М. О законах сохранения для системы вращающихся тел в общей теории относительности. В сб.: Исследование процессов переноса. Вопросы теории относительности. - Алма-Ата: КазГУ, 1959, с. 192 - 208.

54. Петрова Н.М., Варламова А.Н. О возникновении вращения в релятивистской системе сферически симметричных тел. В сб.: Физика. - Алма-Ата: КазГУ, вып. I, 1970, с. 16 - 19.

55. Абдильдин М.М., Омаров M.G. К вопросу о расхождении между релятивистскими уравнениями вращательного движения, полученными первым и вторым методами Фока. В сб.: Проблема движения в теории гравитации Эйнштейна. - Алма-Ата: КазГУ, 1981, с. 42 - 69.

56. Абдильдин М.М., Омаров М.С. О расхождении между релятивистскими уравнениями вращательного движения, полученными первым и вторым методами Фока в ОТО. Тез. докл. 5-ой Сов. грав. конф. - М.: МГУ, 1981, с. 89.

57. Абдильдин М.М., Юнусов А.А., Сакибаев 0. О собственном вращении тел в теории тяготения Эйнштейна. Труды астрофизич. ин - та АН КазССР, 1971, т.17, с. 91 - 93.

58. Рябушко А.П. Релятивистские уравнения движения заряженных магнитных вращающихся тел. Известия АН БССР, серия ф.-м. наук. 1972, И, с. 86 - 98.

59. Абдильдин М.М., Пушкарев О.А., Юнусов А.А. Релятивистская функция Лагранжа системы вращающихся тел произвольной формы, имеющих заряды и магнитные моменты. Труды астрофизич. ин-та АН КазССР, 1973, т. 20, с. 104 - 108.

60. Пушкарев О.А., Абдильдин М.М. Уравнения вращательного движения системы тел произвольной формы, имеющих заряды и магнитные моменты во втором приближении ОТО. Труды астрофизич. ин-та АН КазСОР, 1976, т. 28, с. 90 - 103.

61. Абдильдин М.М. Уравнения движения задачи двух тел с учетом внутренней структуры и собственного вращения в ОТО. Труды астрофизич. ин-та АН КазССР, 1984, т. 43, с. 120 - 124.

62. Абдильдин М.М. Некоторые следствия из теории тяготения Эйнштейна для космогонии Солнечной системы. В кн.:

63. Проблемы гравитации: Тез. докл. Бсесоюз. конф. (2-я Сов. грав. конф.), Тбилиси: Тбилисский гос. ун-т, 1965, с. 222

64. Абдильдин М.М., Резник А.И. Лагранжевый вид релятивистского уравнения вращательного движения. В сб.: Труды института математики и механики АН КазССР. Алма-Ата: Наука, 1971, т. 2, с. 240 - 242

65. Абдильдин М.М., Омаркулов К.А., Юнусов А.А. Исследование уравнений вращательного движения в механике Эйнштейна. -В сб.: Труды института математики и механики АН КазССР. Алма-Ата: Наука, 1971, с. 244 247

66. Абдильдин М.М. Гравитооптические эффекты и уравнения движения в теории тяготения Эйнштейна. В сб.: Тезисы докладов 3-й Советской гравитационной конференции: Тез. докл. Всесоюз. конф., Ереван: Ереванский гос. ун-т, 1972, с. 3

67. Абдильдин М.М. Об одном эффекте общей теории относительности. Вест. АН КазССР. Алма-Ата: Наука, 1972, $6, с. 71

68. Абдильдин М.М., Пушкарев О.А. Потенциалы тяготения системы сферически-симметричных вращающихся тел во втором приближении. В сб.: Прикладная и теоретическая физика. Алма-Ата: КазГУ, 1973, вып. 4, с. 58 - 65

69. Абдильдин М.М., Пушкарев О.А. К вопросу об эквивалентности первого и второго методов Фока. В сб.: Прикладная и теоретическая физика. Алма-Ата: КазГУ, 1973, вып. 4, с. 53- 57

70. Абдильдин М.М., Чечин Л.М. Гравитооптические эффекты и уравнения движения. В сб.: Прикладная и теоретическая физики. Алма-Ата: КазГУ, 1973, вып. 4, с. 14-16

71. Абдильдин М.М., Варламова А.Н. Движение тела, имеющего собственное вращение, в гравитационном поле тяжелого вращающегося тела. В сб.: Прикладная и теоретическая физика. Алма-Ата: КазГУ, 1973, вып. 4, с. II - 13

72. Абдильдин М.М. Об одной оптико-механической аналогии в теории тяготения Эйнштейна. В сб.: Динамика галактик и звездных скоплений: Материалы Всесоюз. совещ. Алма-Ата: Наука, 1973, с. 209

73. Абдильдин М.М. О некоторых вопросах проблемы движения тел в ОТО. В кн.: Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации: Тез. докл. Всесоюз. конф. (4-я Сов. грав. конф.) Минск: Бел. гос. ун-т, 1976, с. 115

74. Абдильдин М.М., Омаров М.С. Однозначный тензор заряженной и магнитной среды. В сб.: Прикладная и теоретическая физика. Алма-Ата: КазГУ, 1978, с. 26-29

75. Абдильдин М.М., Архипкин О.П. Обобщение метода Фока на случай переменных масс. В кн.: Современные теоретические и экспериментальные проблемы теории относительности и гравитации: Тез. докл. Всесоюз. конф. (5-я Сов. грав. конф.), М.: МГУ, 1981, с. 90