Поступательное и вращательное движение небесных тел в параметризованном постньютоновском формализме тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ АСТРОНОМИИ

На правах рукописи УДК 521.31.8-f521.95+529.76'781+530.12:531.18'51

Г Г 5 ОД

'»{ '1 ,г

КЛИОНЕР Сергей Альбертович

Поступательное и вращательное движение

небесных тел в параметризованном постньютоновском

формализме

Специальность 01.03.01 Астрометрия и небесная механика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург 2000

Работа выполнена в Институте прикладной астрономии РАН. Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор A.A. Гриб доктор физико-математических наук В.И. Жданов

доктор физико-математических наук, профессор К.В. Холшевников

Ведущая организация:

Государственный астрономический институт им. П.К. Штернберга

Защита состоится "£1 " НР^ 2000 г. в " ^ " час. на за-

седании диссертационного совета Д-200.06.01 при Институте прикладной астрономии РАН (191187, Санкт-Петербург, Кутузовская наб., д.18) по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора физико-математических наук.

Отзывы на диссертацию и автореферат направлять в адрес диссертационного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной астрономии РАН.

Автореферат разослан " ^ " Р^л&^Д 2000 г.

Ученый секретарь доктор физ.-мат. наук

А.Т. Байкова

bGZÄ.Z,03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации

Современная точность многих типов астрономических наблюдений часто приводит к несостоятельности моделей, основапных на идеях ньютоновской физики. Релятивистские эффекты играют все более важную роль при моделировании наблюдений самого разного характера. Признавая этот факт, Международный Астрономический Союз (MAC) в 1991 году рекомендозал использовать некоторые простейшие идеи эйнштейновской Общей Теории Относительности (ОТО) в качестве теоретической базы для моделирования высокоточных астрономических наблюдений [47]. На ХХР/ Генеральной Ассамблее в августе 2000 г. MAC принял ряд новых резолюций [54], уточняющих стандартную релятивистскую схему MAC. В частпостп, в Резолюции В1.3 метрические тензоры стандартных астрономических систем координат и преобразования между ними определяются в рамках ОТО с полной постньютоновской точностью.

Хотя ОТО согласуется со всеми известными наблюдательными данными, опа отнюдь не является единственно возможной релятивистской теорией гравитации, п использование одной лишь этой теории при моделировании высокоточных наблюдений противоречило бы основополагающим принципам научного познания. Напротив, современные астроме-трические и геодипамическис наблюдения являются одним из важнейших источников наблюдательных данных, позволяющих тестировать ОТО и другие релятивистские теории гравитации. По этой причине Международная Служба Вращения Земли (IERS) в своих Стандартах II Соглашениях [53] рекомендовала для обработки высокоточных наблюдений использовать релятивистские модели с двумя параметрами (3 и 7, характеризующими возможные отклонения физической реальности от эйнштейновской теории относительности. Именно эти модели лежат сейчас в основе многих аспектов тестирования ОТО. Так, лучшие современные оценки параметроз (3 и 7 получены из совместной обработки лазерной локации Луны и геодезических РСДБ наблюдений, проведенной при помощи названных моделей [10].

Причиной разногласия между строго эйнштейновскими рекомендациями MAC и более общими моделями IER5 явилось, помимо всего прочего, отсутствие теоретической базы для рекомендаций MAC в рамках более широкого класса релятивистских теорий гравитации. Дей-

ствительно, рекомендации MAC основаны на построении так называемой локальной геоцентрической системы координат, а теория построения такой системы координат до недавнего времени была разработана только в рамках ОТО. Это не означает автоматически, что модели, рекомендованные IERS, ошибочны. Однако, при использовании неадекватных релятивистских моделей оценки параметров (3 и 7, имеющих фундаментальное физическое значение, могут быть искажены. Поэтому представляется важным и своевременным связать теоретическую релятивистскую схему, рекомендованную MAC, с Параметризованным Постньютоповским (ППН) формализмом, который является феноменологической схемой, покрывающей определенный класс альтернативных метрических теорий гравитации.

Проблема построения локальной системы координат протяженного массивного тела в рамках ППН формализма весьма интересна также с чисто теоретической точки зрения. Известно, что в ОТО теория локальных систем координат позволяет осветить многие аспекты динамики системы N тел с физически обоснованной точки зрения (мультиполь-ная структура гравитационного поля каждого из тел определяется в соответствующей локальной системе координат, вращательное движения тела моделируется в его локальной системе координат и т.д.). Поскольку ППН формализм включает ОТО в качестве частного случая, априори ясно, что физически адекватное описание движения системы N тел в ППН формализме возможно лишь с использованием теории локальных систем координат.

Особую роль при построении высокоточных астрономических систем отсчета играет моделирование вращательного движения Земли. Современная точность наблюдений ориентации Земли относительно удалеш!ых источников составляет несколько десятков микросекунд дуги и продолжает неуклошю расти. Такая точность наблюдений требует учета эффектов порядка 1 микросекунды дуги [52]. На этом уровне точности проявляется целый ряд тонких релятивистских эффектов во вращательном движении. Хорошо известно, что главный релятивистский эффект во вращательном движении Земли - так называемая геодезическая нутация - достигает 150 микросекунд дуги. Некоторые оценки показывают, что более тонкие релятивистские эффекты могут достигать 1 микросекунды дуги для Земли и 1 миллисекунды дуги для Луны. Заметим, что в рамках ОТО моделирование вращательного движения протяженных небесных тел представляет собой сложную задачу. До сих пор не была решена проблема определения тензора инерции пронз-

вольного деформируемого тела и его угловой скорости в постньютоновском приближении. Все это свидетельствует о том, что создание последовательной постньютоновской схемы описания вращательного движения протяженного массивного деформируемого неизолированного тела представляется необходимым и своевременным как с практической, так и с теоретической точки зрепия.

Цели работы

Основными целями настоящей работы являются:

в развитие существующего ППН формализма путем создания теории локальных систем координат протяженных массивных тел в ППН формализме;

э вывод и анализ уравнений поступательного и вращательного движения системы N протяженных массивных тел, произвольного состава, формы и структуры;

® постпьютоновское описание вращательного движения каждого тела системы из N протяженных массивных тел произвольного состава, формы и структуры, включающее уравнения движения для оси фигуры (главных осей инерции) и оси вращения.

Научная новизна работы

Практически все основные результаты диссертации получены впервые:

• построены локальные системы коордипат протяженного массивного тела, входящего в систему из N протяженных массивных тел в рамках ППН формализма;

• предложены определения физически адекватных мультипольных моментов в рамках ППН формализма;

• выведены уравнения поступательного движения пробных тел (например, ИСЗ) относительно локальной ППН системы координат;

» выведены уравнения поступательного движения тел произвольной мультнпольной структуры в рамках ППН формализма;

в предложен метод вывода уравнений движения протяженных тел в ППН формализме, не требующий дополнительных предположений о характере движения материи внутри тел (например, вековой стационарности);

• выведены уравнения вращательного движения протяженных массивных тел в ППН формализме;

• обнаружен эффект во вращательном движении протяженных массивных тел, вызываемый возможным нарушением Сильного Принципа Эквивалентности в некоторых альтернативных теориях гравитации и аналогичный известному эффекту Нордтвеята в поступательном движении;

• дано строгое определение локальной системы координат, невраща-ющейся относительно удаленных небесных тел. Показано, что свойство релятивистских астрономических систем координат не испытывать вращения друг относительно друга не обладает ни симметрией, ни транзитивностью;

• сформулирован последовательный релятивистский подход к описанию вращательного движения протяженных небесных тел относительно локальпой системы координат. При этом даны постньютоновские определения тензора инерции тела, осей Тиссерана и угловой скорости вращения, справедливые для деформируемых тел.

Научная и практическая значимость работы

В настоящей работе классический ППН формализм существенно расширен за счет завершенной теории локальных систем координат протяженных массивных тел, входящих в систему из N тел. Использование локальных систем координат позволяет в рамках единого самосогласованного подхода воспроизвести все известные результаты, касающиеся уравнений движения системы N тел в ППН формализме, а также получить целый ряд новых результатов. Предложенные в работе обобщенные мультипольные моменты Бланше-Дамура позволяют физически адекватным образом изучать влияние мультиполыюй структуры гравитационных полей в альтернативных теориях гравитации на уравнения движения системы N тел. Выведенные в работе уравнения поступательного и вращательного движений пробных частиц и массивных протяженных тел могут использоваться для практического моделирования движения ИСЗ и естественных небесных тел в рамках ППН формализма. Выведенные уравнения движения пробных частиц относительно локальной системы координат позволяют также исследовать возможное неприливное влияние гравитационною поля. Галактики на динамику тел Солнечной системы (такое непрпливиое влияние появляется в альтернативных теориях гравитации, приводящих к нарушению

Сильного Принципа Эквивалентности). Последовательное релятивистское описание вращательпого движения протяженных тел в Общей Теории Относительности позволяет глубже осмыслить физическую природу и математический смысл вращения небесных тел относительно удаленных источников электромагнитного излучения. Предложенные определения тензора инерции и угловой скорости вращения тел могут найти практическое применение при разработке теорий вращательного движения конкретпых тел (например, Земли). Поскольку найденные определения справедливы также для деформируемых тел, эти определения могут использоваться для создания теории вращения с учетом деформируемости тел. Как известно, эффекты деформируемости тел играют важную роль для модел1грования вращательного движения Земля. Создание постньютоновской теории вращения деформируемого тела может сказаться полезным также для исследования вращательного движения и физических свойств нейтронных звезд, где релятивистские эффекты нетвердотельности могут играют важпую роль. Для проведения аналитических расчетов, необходимых для построения локальной системы координат в ППН формализме, была создана программная система EinS. Эта система предназначена для символьных вычислений с индексированными объектами. Разработанный для этой системы новый высокоэффективный алгоритм упрощения выражений, содержащих индексированные выражения с заданными пользователем симметриями объектов и неявным суммированием показал свою практическую эффективность. Система EinS успешно используется для решепня различных вычислительных задач в ряде научных центров.

Пошшо теоретического интереса, представленная теория может быть использозана для создания справедливых в рамках ППН формализма физически адекватных моделей различных типов астрономических наблюдений. Тем самым, теория локальных ППН систем коор-дипат служит цели экспериментального тестирования определенного класса метрических теорий гравитации. Отметим также, что используемые в настоящей работе глобальная и локальная ППП системы координат в предела ОТО ¡3 = 1=1 в точности совпадают с системами координат, рекомендованными MAC [54] в рамках ОТО. Новые резолюции MAC, задающие локальную систему координат в ОТО, частично .основаны на одной из работ автора [37], где в рамках ОТО была впервые построена локальная система координат массивного тела без разложений по степеням локальных пространственных координат. Таким образом, представленная в настоящей работе версия ППН формализма мо-

жет использоваться для создания самосогласованных релятивистских моделей различных типов наблюдений с ППН параметрами. Причем при /3=7=1 эти модели автоматически переходят в стандартные модели в рамках резолюций MAC.

На защиту выносятся

1. Построение локальных систем координат протяженных массивных тел в ППН формализме.

2. Уравнения поступательного движения системы из N протяженных массивных тел произвольной формы, состава и мультиполь-ной структуры, выведенные в рамках ППН формализма как в замкнутой форме, так и в виде разложений по мультипольным моментам Бланше-Дамура, обобщенным на случай ППН формализма.

3. Вывод уравнений поступательного движения системы из N тел, характеризуемых массой и спином, не требующий в рамках ППН формализма дополнительных предположений о характере движения материи внутри тел.

4. Уравнения вращательного движения протяженных массивных тел в ППН формализме, приводящие к эффекту, аналогичному эффекту Нордтведта в поступательном движении.

5. Теоретическая схема моделирования вращательного движения протяженного деформируемого неизолированного тела относительно удаленных небесных тел, включающая определение постньютоновского тензора инерции и вектора угловой скорости.

6. Программная система EinS для операций с индексированными объектами, включающая основанный на подборе по образцу алгоритм упрощения тензорных выражений.

Апробация работы

Результаты, полученные в диссертации, представлялись на следующих конференциях и семинарах:

в Симпозиум "Reference Frame Establishment and Technical Develop-. ment in Space Geodesy" (IRIS'93), Communications research Laboratory, Tokyo, Japan, February 1993

• Конференция "International Workshop on Relativity, Celestial Mechanics and Astrometry", National Astronomical Observatory, Tokyo, Japan, June 1993

• Симпозиум "The 26th Symposium on Celestial Mechanics", National Astronomical Observatory, Tokyo, Japan, December 1993

о Международная конференция "Современные проблемы теоретической астрономии", ИТЛ РАН, Санкт-Петербург, Июпь 1994

• Симпозиум MAC №172, "Dynamics, ephemerides and astrometry in the solar system", Paris, France, July 1995

в Конференция "Journées'1995: Earth Rotation, Reference Systems in Geodynamics and Solar System", Warsaw, Poland, September 1995

э Коллоквиум MAC №165 "Dynamics and Astrometry of Natural and Artificial Celestial Bodies", Poznan, Poland, July 1996

• Конференция "Journées'1996: Deux siècles d'évolution du Système du Monde. Hommage à Laplace", Paris, France, September 1996

» Конференция "8th Marcel Grossmann Meeting", Jerusalem, Israel, June 1997

в XXIII Генеральная Ассамблея MAC, конференция "Joint Discussion No. 3 'Precession-nutation and astronomical constants in the dawn of the 21st 'century'", Kyoto, Japan, August 1997

в Конференция "Journées'1997: 'Reference systems and frames in the space era: present and future astrometric programmes' ", Prague, Czech Republic, September 1997

• XXVII Радиоастрономическая конференция, ИПА РАН, Санкт-Петербург, Россия, ноябрь 1997

в Международная конференция "Computer Algebra in Scientific Computing" (CASC'98), Санкт-Петербург, Россия, Апрель 1998

в Конференция "DFG-Rundgespràch 'Rotation der Erde/Bezugssys-terne"', Wettzell, Germany, April 1998

• Конференция "The 1988 Spring Meeting of the German Astronomical Society", Gotha, Germany, June 1998

в Коллоквиум MAC №172 "The Impact of Modern Dynamics in Astronomy", Namur, Belgium, July 1998

• Конференция "IMACS Conference on Applications of Computer Algebra" (IMACS АСА'1998), Prague, Czech Republic, August 1998

• Конференция "Journées'1998: 'Conceptual, conventional and practical studies related to Earth rotation", Paris, France, September 1998

• Конференция "Journées'1999: 'Motion of Celestial Bodies, Astrometry and Astronomical Reference Frames'", Dresden, Germany, September 1999

• Конференция "The 1998 AGU Fall Meeting", San Francisco, USA, December 1998

• Симпозиум "Gravitationsphysik", Konstanz, Germany, November 1999

• Коллоквиум MAC №180 "Towards Models and Constants for Sub-Microarcsecond Astrometry", Washington D.C., USA, March 2000

• Конференция "IMACS Conference on Applications of Computer Algebra" (IMACS АСА'2000), Санкт-Петербург, Россия, Июнь 2000

• XXIV Генеральная ассамблея MAC, конференция "Joint Discussion No 3 'Models and Constants for Sub-Microarcsecond Astrometry"', Manchester, UK, August 2000

• Семинар группы астрофизики высоких энергий Хельсинкской Обсерватории, Хельсинки, Финляндия, Апрель 1994

• Семинар Хельсинкской Обсерватории, Хельсинки, Финляндия, Апрель 1994

• Семинар Лормановской Обсерватории, Дрезден, Германия, Июль 1996

• Семинар Группы РСДБ Боннского Университета, Бонн, Германия, Июль 1997

• Семинар Морской Обсерватории США, Вашингтон, США, декабрь 1998

• Семинар кафедр небесной механики и астрометрии Астрономического института Санкт-Петербургского Государственного Университета, декабрь 1998

• Семинары Института прикладной астрономии РАН, январь 1995, май 1995, март 1998, декабрь 1998, март 2000

Результаты, полученные в данной работе, использованы для выработки рекомендаций MAC В 1.3 и В 1.5, принятых на XXIV Генеральной Ассамблее MAC в августе 2000 г. Часть материала диссертации использовалась для создания курса лекций "Релятивистские основы астрометрии и небесной механики" для студентов 4-го и 5-го курсов астрономического отделения Санкт-Петербургского государственного университета, который читается с 1995 г.

Публикации и вклад автора

Материалы диссертации опубликованы в 43 работах [1-43], из которых 21 написана совместно с другими авторами. В совместных работах автору принадлежат: [1] и [7] - анализ существовавших в тому времени рекомендаций MAC и IERS по учету релятивистских эффектов при обработке высокоточной наблюдательной информации и выявление ряда противоречий в mix; [8] - анализ влияния геодезической прецессии на моделирование вращения деформируемой Земли; [9] - обсуждение возможного влияния релятивистских эффектов на стабильность небесной системы отсчета; [10] - дополнение к стандартной модели РСДБ наблюдений с ППН параметрами, основанное на построенной в диссертации теории локальных систем координат; [28], [31] и [34] - определения угловой скорости вращения тела и его тензора инерции, модель твердотельно вращающихся мультипольных моментов, анализ наблюдаемых эффектов во вращении тел в рамках принятой модели, анализ эффектов деформируемости тела в релятивистском моделировании вращательного движения; [29] - постановка задачи, анализ взаимного вращательного движения пространственных осей релятивистских систем координат, обнаружение несимметричности и нетранзитивности свойства релятивистских систем координат не испытывать пространственного вращения друг относительно друга, определение кинематически невращающихся локальных систем координат, как систем координат невращающихся относительно глобальной системы координат, анализ эффектов влияния Галактики; [30] - постановка задачи, проведение расчетов по построению локальных систем координат в ППН формализме и выводу уравнений вращательного движения, обнаружение и анализ эффекта Нордтведта во вращательном движеплп протяженных тел в ППН формализме; [32] - постановка задачи, построите теории локальных систем координат, лежащей в основе данной работы, и модификация стандартной модели РСДБ наблюдений с ППН параметрами; [33] - постановка задачи, проведение расчетов по построению локальных систем координат в ППН формализме, определения обобщенных мультипольных моментов Бланше-Дамура в ППН формализме; [35] - постановка задачи, проведение всех основных расчетов по построению локальных систем координат в ППН формализме, методика вывода и вывод различных уравнений движения, определение мультипольных моментов Бланше-Дамура в рамках ППН формализма, а также вычисление мультипольных н приливных разложений гравитационных потенциалов; [37] и [38] - постановка задачи, независимое проведение всех расче-

тов по построению локальной системы координат в замкнутой форме в рамках ОТО (сшивка проводилась каждым из автором независимо), исследование мультиполыюй и приливной структуры полученных гравитационных полей, изучение возможности построения локальной системы коордипат с другими калибровочными условиями; [36] - постановка задачи, доказательство полиномиальностц числа независимых элементов объекта с произвольными линейными симметриями; [39] и [40] -анализ нерешенных проблем современной релятивистской небесной механики в области моделирования вращательного движения небесных тел; [41] - обсуждение применения ППН формализма при моделировании высокоточных астрометрических наблюдений и проведение численных оценок соответствующих релятивистских эффектов; [42] - теоретическая схема, позволяющая учесть геодезическую прецессию при разработке теории вращения деформируемой Земли (вклад обоих авторов приблизительно одинаков), и обобщение конечных результатов на случай систем координат, вращающихся с произвольной угловой скоростью друг относительно друга; [43] - релятивистские преобразования координат между глобальной и локальной системами координат в замкнутой форме, численные оценки релятивистских эффектов в преобразовании от координатного времени к собственному и в преобразовашш между координатными временами глобальной и локальной систем координат.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех частей (11 глав) и заключения. Общий объем диссертации составляет 262 страницы. Диссертация содержит 4 таблицы, 7 рисунков и список литературы из 220 названий.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность телш диссертации, сформулированы цели работы, указаны научная новизна, научная и практическая значимость результатов работы, перечислены результаты, выносимые на защиту, приведены структура и содержание диссертации, указаны печатные работы, в которых отражены основные результаты диссертации, и определена доля участия автора в совместных публикациях.

В первой части, включающей три главы, построена теория локальных систем координат протяженных массивных тел в ППН формализме. В первой главе, носящей вводный характер, представлены основные идеи и результаты теории локальных систем координат в Общей Теории Относительности, приведены важнейшие результаты классического ППН формализма и сформулированы главные цели дальнейшего исследования. Локальной системой координат протяженного массивного тела в ОТО мы называем систему координат, которая удовлетворяет следующим двум свойствам:

A. Гравитационное поле внешних тел проявляется только в форме приливных членов, которые имеют по крайней мере второй порядок 0(Х2) относительно локальных пространственных координат X, и совпадает с ньютоновским приливным потенциалом в ньютоновском пределе.

B. Внутреннее гравитационное поле рассматриваемой материальной подсистемы совпадает с гравитационпым полем соответствующего изолированного источника при условии пренебрежения приливным воздействием внешних масс.

В ОТО усилиями Брумберга [48,49], Копейкпна [44], Дамура, Зоф-феля и Шю [50] и других авторов разработана детальная теория локальных систем координат. Эти исследования были стимулированы как чисто теоретическим интересом к построению собственной системы координат массивной материальной подсистемы, так и практическими требованиями астрономических наблюдении, точность которых к началу 90-х годов возросла настолько, что их моделирование с использованием одной глобальной системы коордппат стало несостоятельным. Среди основных результатов теории локальных координат в ОТО назовем (1) явные выражения для метрического тензора локальной системы координат и для координатных преобразований между локальной и глобальной системами координат, (2) адекватное постньютоновское описание муль-типольной структуры каждого из тел при помощи моментов Бланше-Дамура в соответствующей локальной системе координат, (3) постнью-тоновекпе уравнения поступательного и вращательного движения массивных протяженных тел произвольного состава, формы и мультиполь-ной структуры и (4) уравнения движеппя пробных частиц (например, ИСЗ) относительно локальной системы координат центрального тела.

Результаты указанных исследований показывают, что условия А и В могут быть удовлетворены в ОТО одновременно. Этот факт

тесно связан с Сильным Принципом Эквивалентности, справедливым в эйнштейновской Общей Теории Относительности. ППН формализм включает также альтернативные теории гравитации, в которых Сильный Принцип Эквивалентности нарушается. Поэтому можно априори ожидать, что в ППН формализме нельзя построить локальную систему координат, в которой выполнялись бы оба пазванных свойства одновременно. Тем не менее, выполнение хотя бы одного из этих свойств приводит к системе координат, в которой влияние внешних гравитационных полей на внутреннюю динамику тела сводится к минимуму.

Несмотря на тот факт, что ОТО выдерживает все предпринятые до сих пор экспериментальные проверки [58], альтернативные теории гравитации продолжают оставаться важной составной частью гравитационной физики. Разнообразие этих альтернативных теорий послужило причиной создания параметризованного постньютоновского формализма. ППН формализм представляет собой феноменологическую схему, охватывающую широкий класс альтернативных релятивистских теорий гравитации в первом постньютоновском приближении. ППН формализм содержит ряд параметров, принимающих конкретные численные значения в конкретных теориях гравитации. Общая идея формализма состоит в записи постньютоновского метрического тензора глобальной системы координат со всеми, возможными потенциалами, появляющимися в различных метрических теориях гравитации из определенного рассматриваемого класса, и расстановки численных множителей (параметров) перед этими потенциалами. Классический ППН формализм был разработан Нордтведтом и Уиллом в конце шестидесятых - начале семидесятых годов [58] и является стандартной теоретической схемой, предназначенной для тестирования ОТО. Ясно, что также как и в ОТО, начиная с некоторого уровня точности, для адекватного моделирования наблюдений в рамках ППН формализма становится необходимым использование локальных систем координат.

Напомним основные результаты классического ППН формализма, касающиеся движения тел:

• В любой метрической теории гравитации пробные частицы пренебрежимо малого размера и пренебрежимо малой гравитационной энергии связи движутся по геодезическим выбранной соответствующим образом внешней метрики. Соответствующие уравнения движения приведены, например, в главе 6 книги Уилла [58].

• В общем случае тело Е, обладающее гравитационной энергией свя-

зи не будет двигаться по геодезической. Причина этого явления заключается в нарушении Сильного Принципа Эквивалентности [55,58]. В этом случае гравитационная масса М^ тела Е отличается от инертной массы М^ и связана с ней соотношением: МР = М)р + (4/3 — 7 — 3) Пв/с2. Это хорошо известный эффект Нордтведта, который при 4/? — 7 — 3 ^ О приводит к поляризации лунной орбиты вокруг Земли в направлении Солнца [58].

• В работе Нордтведта [56] было показано, что в ППН формализме тела, характеризуемые не только массой, но и моментом инерции (т.е. "протяженные сферически симметричные тела" по терминологии Нордтведта), не движутся по геодезическим. Причиной этого отклонения от геодезического движения является взаимодействие тензора Рпччи внешнего гравитационного поля и протяженности тела (его тензора инерции) в альтернативных теориях гравитации.

о Задача о взаимном влияпии вращательного и поступательного движений тела была детальпо исследована многими авторами. Здесь следует различать две задачи: (1) влияние спина тела на уравнения поступательного движения его центра масс (спин-орбитальные и спин-спиновые эффекты) и (2) зависимость от времени самого спина (т.е. уравнения вращательпого движения тела). Лагранжиан спин-орбитального и спин-спинового эффектов в ППН формализме приведен, например, в работе [51]. Что касается уравнений вращательного движения, то основной результат полученный в классическом ППН формализме - это релятивистская прецессия спина пробного гироскопа з случае пренебрежения прямым влиянием приливных гравитационных сил [58]. Эта релятивистская прецессия состоит из известных прецессии Томаса, геодезической прецессии и прецессии Лензе-Тнрринга.

Основная цель настоящей работы состоит в расширении и развитии классической схемы ППН формализма с тем, чтобы новая ППН схема включала также основные идеи и результаты теории локальных систем координат. При этом мы ограничиваемся двумя важнейшими ППН параметрами (3 и 7. Это ограничение, однако, не является существенным для развиваемой теории.

Во второй главе, в рамках ППН формализма выведены выражения для метрических тензоров глобальной и физически адекватной локальной систем координат, получены явные координатные преобразования

между этими системами координат, а также исследованы возможные альтернативные формы локальной системы координат. Метрический тензор глобальной ППН системы координат (t,x') представляется в виде:

ffoo = -l + - ^/3u>2(i,x) + 0(с~5),

+ (1) 9ij =Sij (l + ^7u»(t,x)) + C(c-4),

где

U,(Î,X) = G/+ /"('>хО|Х-хУ*Ч0(С-4),(2)

w%x) = Gj^£{d>x' + 0(c-% (3)

a = L (r00 + 7Tkk + ± Г°°(37- 2/3 - 1) w) + 0(C-4), (4)

o* = -1* + 0(c~2). (5)

с

Здесь - компоненты тензора энергии-импульса в глобальной системе координат.

Все уравнения, записанные выше, справедливы независимо от конкретной формы тензора энергии-импульса. Это можно рассматривать как формальный способ записи метрического тензора глобальной ППН системы координат с параметрами /3 и у. Если материя состоит из идеальной жидкости или упругого вещества, метрика (1)-(5) совпадает с известной ППН метрикой, приведенной в [58] или в [46]. С другой стороны приведенная выше форма записи метрического тензора формально обобщает классическую ППН схему на произвольную форму тензора энергии-импульса.

Предполагается, что исследуемая система N тел ограничена в пространстве и изолирована. Это означает, что достаточно далеко от начала координат Т^" = 0. Мы предполагаем также, что материя сконцентрирована в определенных ограниченных областях пространства, называемых телами, внутри которых тензор энергии-импульса Тм" отличен от нуля, и которые отделены друг от друга областями пространства,

где Т^ = 0. Мы выбираем одно из таких тел и строим локальную систему координат для этого тела. Потенциалы шиш' определены уравнениями (2)-(3) как объемные интегралы по всему трехмерному пространству. Следовательно, разделяя область интегрирования на объем V выбранного тела Е, для которого строится локальная система координат, и остальную часть пространства, мы может представить to и w' в виде суммы внутренних потенциалов (потенциалов рассматриваемого тела) и внешних потенциалов (потенциалов всех остальных тел):

ty(i,x) = iOE(i,x) +w(i,x),

w'(f,x) = wg(t,x) + tD*(f,x). (6)

Метрический тензор локальной системы координат (Т, X") строится в виде:

Goo = -1 +1 W(T, W2(T, X) + 0(с-5),

Go» = -Hil^Ji wa(T, X) + 0(c-%

Gab = Sab (1 + ~7 W(T, X)) + 0(c~4). (7)

Потенциалы W и Wa, входящие в (7), могут быть представлены в виде

W(T, X) = WE(T, X) + Qa(T) Х° + WT(T, X) +1 Ф(Г, X), (8)

Wa(T,X) = WEa(T,X) + \eabcCb{T) Xе + Wj(T,X). (9)

Здесь Wt и Wx - внешние потенциалы, характеризующие приливные поля других тел системы. Предполагается, что эти потенциалы как минимум второго порядка по отношению к локальным пространственным координатам: Wt = С(Х2), Wj- = 0(Х2). Две произвольные функции Qa и Са характеризуют соответственно ускорение мировой линии начала локальных координат от геодезической и вращение ее пространственных осей. Внутренние гравитационные потенциалы в локальной системе координат представлены тремя функциями We , Wg и Ф. Потенциалы We и Wg имеют вид:

WE = G Jv Е(Г,Х')—Д—d3*'

+ (io)

Wi = G fv Е«(Г, X') + 0(c-2), (11)

£ = 1 ^T00 + 7 Г + ^ T00 (З7 - 2p - 1) w) + 0(c"4), (12)

Ea = iT0a + O(c-2)j (13)

где T^ - компоненты тензора энергии-импульса в локальной системе координат (Т, Ха). Неизвестная функция Ф (T, X) характеризует любые возможные отклонения фактических внутренних потенциалов в локальной системе координат от потенциалов (10)-(11). Очевидно, что появление функции Ф связало с нарушением Сильного Принципа Эквивалентности в альтернативных теориях гравитации и невозможностью удовлетворить одновременно обоим свойствам А и В локальных систем координат в ППН формализме.

Координатные преобразования между глобальной (t,xl) и локальной (Г, X") системами координат ищутся в виде:

+ I (в + + B^riri + C(f,x)) + 0(с-% (14)

= Щ (ri + i 4r| + 4 + D'kl44)) + o(c-% (15)

где rË = x' — Xg(t), x'E(i) - глобальные координаты начала координат локальной системы, v'E = dx*E/dt и а'Е = (fx'E/dt2. Функции Л(<), B{t), B{(t), Bij{t), , D'ik(t), C(i,x) ~ C(r|) и ортогональная матрица

Raj(t) есть некоторые неизвестные функции, подлежащие определению при помощи закона преобразования метрического тензора

= (16)

Поскольку уравнение (16) должно выполняться для произвольного локального тела и произвольного распределения других тел системы, оказывается возможным независимо друг от друга приравнивать следующие типы членов в левой и правой частях (16): 1) члены, содержащие

внутренние потенциалы в глобальной или локальной системах координат; 2) члены, содержащие лишь внешние потенциалы и независимые от локальных пространственных координат (т.е. являющиеся функциями времени); 3) члепы, содержащие лишь внешние потенциалы и линейные по отношению к локальным пространственным координатам X; 4) члены, содержащие лишь внешние потепцпалы и имеющие как минимум второй порядок по локальным пространственным координатам X. Эта процедура позволяет вывести уравпенпя для всех неизвестных функций в локальном метрическом тензоре и в преобразованиях между локальными и глобальпыми координатами. Приведем наиболее важные нз нпх. Функция Ф из Goo принимает вид:

* = -Ti (wE(t, Х) (го(хв) + 4 г|) - xEk 4) + 0(с~% (17) ХЕ(t, х) = \g fy a(t, x') |x - x'| dx'3 + 0(c"2). (18)

Это выражение для Ф означает, что свойство В, сформулирован-пое на стр. 11, действительно нарушается, если параметр Нордтведта г) — 4/3 — 7 — 3, отвечающий за нарушение Сильного Принципа Эквивалентности, отличен от нуля. Таким образом, мы построили локальную систему координат, которая удовлетворяет свойству А, но не удовлетворяет свойству В. В диссертации явно показано, что возможна другая версия локальных координат, удовлетворяющая свойству В, но не обладающая свойством А. Анализ показал, что эта другая локальная система координат менее удобна для анализа различных физических явлений в окрестности центрального тела, т.к. содержит неприлнвные внешние потенциалы, что приводит к сложному переопределению наблюдаемых величин. В дальнейшем такая версия локальных координат пе используется.

Уравнения движения начала координат локальной системы (ограничение на функции х'Е и Qa ) принимают следующий вид:

<4(0 = w,i(t,xE(t))

- RajQa[T) (>' - i [vl ^ + (2 + 7) w(xE) 5" + i^))

+ 1(2(1 + 7) ®''(хЕ) + - 2(7 + 0)rS(xE)) Wi{xE)

- (27 + 1) В7(хя) - 2(1 + 7) 4Щхе)

-^4^-(хя)) + 0(с-4), (19)

Если начало локальных координат выбирается так, что £?„ = 0, эти уравнения совпадают с уравнением геодезического движения в фиктивной фоновой метрике, определяемой уравнениями (1) с ги = хЗ и ю* = гй1. Величина <За(Т) есть выраженное в локальных координатах ускорение свободной частицы р, покоящейся в начале локальных координат в данный момент времени (Х£ = 0 и = 0). В нашем подходе считается, что (}а — функция, заданная в локальной системе с постньютоновской точностью (о физически предпочтительном выборе @„ см. ниже). В работе показано, что все члены в уравнениях (19), пропорциональные , происходят из-за пересчета <3о в соответствующее ускорение в глобальных координатах.

Уравнение, связывающее ортогональную матрицу -Ка;(£) из преобразований координат и функцию Са из \Уа, записывается в виде:

с2 ^,^ = -(1 + 7 )ецк1ГкСа

- 2(1 + + (1 + 27) + + <Э(с~2). (20)

Второй, третий и четвертый члены в правой части этого уравнения описывают соответственно прецессию Лензе-Тирринга, геодезическую прецессию и прецессию Томаса. Функция Са может выбираться произвольным образом. При Са — 0 получаем локальную систему координат, испытывающую перечисленные релятивистские прецессии относительно пространственных осей глобальной системы координат. Из уравнения (20) также очевидно, что специальным выбором Са можно построить локальные координаты, не испытывающие вращения относительно глобальных координат.

Системы координат, используемые в нашей теории, строятся с координатными условиями, переходящими в гармонические в пределе /? = 7 = 1. Эта калибровка не совпадает со стандартной постньютоновской калибровкой, принятой в ППН формализме. С технической точки зрения, выбранная калибровка является более удобной для построения локальной системы координат. Однако, в работе явно показано, как пересчитать все выведенные уравнения в стандартную постньютоновскую калибровку. Интересно, что если глобальная и локальная системы координат строятся в стандартной постньютоновской калибровке, координатные преобразования между ними содержат не только внешние потенциалы, но и суперпотенциал локальной материальной подсистемы

В третьей главе исследовала мультипольная структура собственного гравитационного поля центрального тела в локальпой системе координат и приведены явные выражения для разложений внешних приливных гравитационных полей. В работе показано, что следующие определения мультппольных моментов

2(7+1) (2*+ 1)1 ± г I > 0 (21)

= ! еН<чх1-1)ь £с <РХ, 1> 1, (22)

обобщающие известные определения Бланше-Дамура [50] на случай ППН формализма, приводят к простой (почти ньютоновской) форме мультипольных разложений локальных потенциалов тела:

оо

1=о

Мьдьщ + ^МьдДЪ |

+^+1)Л)Т + С7(с-4), (23)

2(Н7№ = -2(1 + 7)СЕ^г

—2(1 + 7)Л,а + 0(с ), (24)

где Л - калибровочная функция, которая не влияет на уравнения движения и может быть исключена из разложений преобразованием времени Т" = Т — 2 с-4 (1 + 7) Л, а Ь - мультштдекс ¿[¿2... ц (Ь — 1 соответствует «112 - - - 1 и т.д.).

В этой же главе находятся разложения приливных потенциалов Щг и по степеням локальных координат. Указанные разложения выражаются через два семейства симметричных бесследовых приливных моментов и Сь, характеризующих гравитоэлектрическое и грави-магннтпое приливные поля в ППН формализме, а также ряд дополнительных величин. Приводится явная связь между приливными моментами (¿г, п Сь и моментами, используемыми другими авторами [44,50]

в ОТО. Кроме того, показывается, что известная из литературы (например, [45]) метрика ускоренного наблюдателя в СТО может быть получена из наших результатов после приравнивания нулю всех гравитационных потенциалов и определенного координатного преобразования.

Во второй части, состоящей из четырех глав, выведены уравнения движения пробных частиц и массивных тел в рамках нашей ППН теории. В четвертой главе на основе метрического тензора локальной системы координат получены уравнения поступательного движения безмассовых частиц (например, ИСЗ) относительно локальной ППН системы координат. Эти уравнения движения приведены как в замкнутой форме, так и в виде разложений по мультипольным моментам центрального тела и приливным моментам внешнего гравитационного поля. Правые части уравнений движения представляются в виде суммы пяти слагаемых

XÎ = Ф« + + I (Ф^ир + Ф- g + Ф») + 0(с"4), (25)

где Ф| - ускорение, обусловленное гравитационным полем центрального тела, Ф°1 и Ф^ - "гравитоэлектрическое" (независимое от скорости пробного тела) и "гравитомагнитное" (зависящее от скорости пробного тела) ускорения, вызванные внешним гравитационным полем, Ф°оир - релятивистское ускорение, определяемое взаимодействием гравитационного поля центрального тела и внешнего гравитационного поля. Кроме того, уравнения движения пробной частицы содержат дополнительное ускорение , обусловленное функцией Ф из Goo:

Ф£(Т,Х) = Ф,а(Г,Х)

= -Г] (wE,a (ш(х£) + 4 гхЕ) - хЕаь(Т, X) R\ 4 + WERaia^E) + 0(c~2)

= g £ л*! (NX£)+ Rb<^¡¿j

+0(с~%

(26)

Яь = X1 ¿3Х. (27)

Поэтому при т] ф 0 уравнения движения пробной частицы содержат не только обобщенные моменты Бланше-Дамура М.^ и БI, как в случае Общей Теории Относительности, но и еще одно семейство массовых моментов Мь, определяемых формулой (27) и появляющихся в мульти-польпом разложении локального суперпотенциала хе , который входнт в функцию Ф.

Полученные уравнения движения пробной частицы относительно локальной системы координат используются для оценки возможного не-прплнвного влияния Галактики на динамику Солнечной системы, которое обусловлено нарушением Сильного Принципа Эквивалентности в некоторых альтернативных теориях гравитации. Рассматривая локальную систему координат Солпечной системы как материальной подсистемы Галактики, пренебрегая массами планет Солпечной системы и учитывая только монопольную составляющую гравитационного поля Солнца, получаем, что основной эффект принимает вид:

5АЧ = -^2г1СМ11\ 4 {К мь, - 5аЬ) К = АГ/ру. (28)

Здесь X, - барицентрические координаты пробного тела, А5 - его ускорение, М - масса Солнца, а в качестве а'Е выступает ускорение Солнечной системы относительно цептра масс Галактики.

С целью вывода уравнений движения массивных тел в ППН формализме в пятой главе исследованы локальные уравнения движения материи в локальной ППН системе коордипат в интегральной форме. Вычисляются следующие интегралы ({7 - определитель локальной метрики):

/гН?)Т°^3Х = 0, (29)

¡у(-0)Г"!^3х = о, (30)

£а,х ¡у{-д)хьг%£х = 0. (31)

Уравнение (31) используется для вывода уравнений вращательного движения протяженного массивного тела в ППН формализме относительно

его локальной системы координат. Эти уравнения обсуждаются ниже. Интегралы (29) и (30) служат для вывода законов изменения инертной массы Мт и инертного дипольного момента М£ центрального тела. Эти величины определяются в виде интегралов

Мт = ¡у рТо1(Т,Х) (РX, М} = 1У рты(Т,X) Ха (13Х, (32)

от толмановской плотности по объему тела (при этом толмановская плотность вычисляется для неизолированного тела в случае ППН формализма). Полученные в работе уравнения доказывают, что в ППН формализме в случае изолированного тела Мт и М} являются сохраняющимися величинами. Далее выявляется связь между величинами Мт и Му и гравитационными массой М. и массовым диполем /Аа, определяемыми уравнением (21):

М = МТ + АМ + с~2 ДМе* + О (с-4), (33)

Ма = М} + АМа + с"2 ДМ^ + 0(с"4), (34)

где ДМех4 и ДМ°Л - внешние члены, исчезающие для изолированного тела,

с1АМ = Т1Пе + 1Ь-1)ЛГ, (35) о

с2ДМ° = »7 Пе - ^ (7 - 1) Я + | (7 " 1) Я, (36)

Та = 1уЪь [хаХь-^5аЬХ2^ <13Х, (37)

ПЕ = -±(38)

ПаЕ = -±1уЪ\¥ЕХас13Х. (39)

Величина ДМ не обращаются в ноль даже в случае изолированного тела, что свидетельствует о том, что в ППН формализме гравитационная масса тела не является сохраняющейся величиной.

В шестой главе выведены мультипольные разложения уравнений поступательного и вращательного движения протяженных массивных тел в ППН формализме. Уравнения поступательного движения имеют следующую структуру:

Ма = ДМа + 4 ДМ + «й, Яь, Га, С?Ь, СЬ\ 7, /?), (40)

где величины Мь, <S¿, Ml и Va характеризуют мультинольную структуру центрального тела, a Ql и Сх - внешнее гравитационное поле. Выбирая определение центра масс тела Ма = 0, из (40) получаем уравнение, определяющее величину Qa, которая до сих пор была произвольной. Величина Qa становится при этом функцией мультипольной структуры тела и моментов внешпего поля. Подставляя это значепие Qa в уравнение (19), получаем явное уравнение для барицентрического ускорения а'Е начала локальных координат, совпадающего с центром масс центрального тела.

В случае системы N тел, каждое из которых характеризуется лишь массой М., спппом Sa и моментом инерции М (такая модель мультипольной структуры согласуется с примитивной пьютоновской моделью вращающегося сферически симметричпого тела), было проверено, что полученные таким путем уравнения движения воспроизводят все известные до сих пор результаты о движении вращающихся сферически симметричных тел в ППН формализме (эти результаты были перечислены на стр. 12-13). Заметим, что для вывода этих уравнений нам пе потребовалось никаких дополнительных предположений о характере движения материи внутри тел (например, ни требование вековой стационарности тел, ни требование постоянства масс Л4). Эффект Норд-тведта в полученных уравнениях пропорционален не гравитационной энергии связи тел fi^, а полной разности гравитационной и инертной масс ДМ, что делает уравнения справедливыми и для нестационарных тел (например, возможен учет собственных колебаний тел).

Структура полученных в работе уравнений вращательного движения протяженного массивного тела относительно его локальной системы координат имеет вид:

S" = еаЬс АМЬ Д^ а%Е - (1 + 7) еаЬс Sb Сс

+ Caext{ML,SL,ML;QL,CL; 7,/3), (41)

где Sa - ППН спин тела, определяемый в впде нптеграла по объему тела, a ££xt - момент сил, производимый внешним гравитационным полем. В случае тела, которое характеризуется лишь массой М., спином <Sa и моментом инерции Л/", в правой части уравнений (41) остается только второе слагаемое и, следовательно, спин S" такого тела прецессирует с угловой скоростью, зависящей от параметра Са. Таким образом, мы доказали, что в ППН формализме спин протяженного сферически симметричного тела подвержен тем же релятивистским пре-

цессиям де Ситтера, Лензе-Тирринга и Томаса, что и спин пробного гироскопа (см. уравнение (20)).

Первое слагаемое в правой части (41) представляет собой эффект, аналогичный известному эффекту Нордтведта в уравнениях поступательного движения. Этот эффект пропорционален величине ДМа, характеризующей отличие распределений инертной и гравитационной масс внутри тела (т.е. отличие инертного диполя от гравитационного М.а), и является прямым аналогом эффекта Нордтведта во вращательном движении протяженный массивных тел в ППН формализме. Обнаруженный эффект во вращательном движении делает движение спина тела зависящим от ускорения тела относительно глобальной системы координат, что дает принципиальную возможность тестировать ОТО при помощи наблюдений вращательного движения тел. Этот эффект подвергается в работе детальному анализу. Показывается, что для тел Солнечной системы, близких к сферической симметрии, эффект пренебрежимо мал. Эффект вычисляется в ряде модельных примеров: для однородного полушара и для составного тела — системы Земля-Луна, рассматриваемой как единое тело. В последнем случае демонстрируется, как рассматриваемый эффект во вращательном движении связан с классическим эффектом Нордтведта в поступательном движении Луны.

В седьмой главе основные результаты нашей теории локальных систем координат в ППН формализме, а также различные полученные уравнения движения сравниваются с соответствующими результатами, известными в Общей Теории Относительности.

Третья часть, включающая две главы, посвящена моделированию вращательного движения протяженных небесных тел в Общей Теории Относительности. Эта задача разбивается на две части: описание вращательного движения пространственных осей локальной системы координат относительно удаленных небесных тел и моделирование вращательного движения тела относительно локальной системы координат. Первая из этих задач решается в восьмой главе. Здесь исследуются пространственные вращения между различными релятивистскими системами координат и дается математически строгое определение динамически и кинематически невращающихся глобальных и локальных систем координат. После краткого введения в общую методику релятивистского моделирования астрономических наблюдений и анализа понятия невращающихся систем координат в ньютоновской механике и астрономии рассматривается проблема построения иерархии релятивистских астрономических систем координат. При этом координатное

преобразование, полученное в главе 2, обобщается на случай двух локальных систем координат, построенных для двух неизолированных материальных подсистем, одна из которых является подмножеством другой. Корневая система координат любой иерархии строится в предположении изолированности некоторой (самой большой из рассматриваемых) материальной системы. Условия того, что эта система координат является динамически (отсутствие ииерциальных сил в уравнениях движения) и кинематически невращающейся (отсутствие вращения относительно удаленных небесных объектов, покоящихся в асимптотическом плоском пространстве Минковского), выражаются одним и тем же уравнением Нт^^оо gap(t, х) = т]ар, где т]ар - метрика Минковского.

Далее исследуется вопрос об отсутствии кинематического вращения осей локальных систем координат. В резолюциях MAC 1991 года [47] в качестве определения кинематически невращающихся систем координат (кале глобальных, так и локальных) используется "отсутствие вращения относительно удалепных небесных объектов". В работе показывается, что такое определение является бессмысленным в случае локальных систем координат. Причшга этого заключается в том, что свойство двух релятивистских астрономических систем координат не вращаться друг относительно друга не обладает ни симметрией, ни транзитивностью. Например, локальная геоцентрическая система координат, невращающаяся относительно кинематически невращающейся барицентрической системы координат Солнечной системы, вращается относительно системы координат, построенной для Галактики целиком. Причем амплитуда этого вращения составляет около 8 миллисекунд дуги, что на два порядка больше современной точности наблюдений. Это обстоятельство является иллюстрацией того факта, что понятие локальной кинематически невращающейся системы координат, хотя и является полезным, является чисто математическим и искусственным.

В девятой главе анализируется вращательное движение тела относительно его локальной системы координат. Здесь используются уравнения вращательного движения, полученные в главах 5 и 6. Дополнительно показывается, что эти же уравнения можно вывести при помощи псевдотензора Ландау-Лифшнца t"'3 из интеграла

Jv X" ((-д) (Г'3 + tc0))/x = 0. (42)

При этом все расходящиеся интегралы, появляющиеся при вычислении (42), взаимно сокращаются, и вывод уравнений вращательного движения не требует никаких дополнительных предположений. Затем рас-

сматриваются уравнения вращательного движения тела относительно жестко вращающейся системы координат (Т,Х°), связанной с локальной системой координат тела преобразованиями Т = Т и У = РаЬ{Т) Хь, где РаЬ - ортогональная матрица. Используя условие

= i {Tm6ab + pab) v" + 0(c~4), (43)

где va - скорость элементов материи относительно координат (Г, АГ°), ар"4 - некоторая величина, совпадающая с тензором напряжений материи в случае упругой материи, спив тела удается записать в виде:

Sa = S* + СаЬ wb + О (с"4), (44)

где 5" - "спин тела относительно вращающихся координат" (функциональная форма 5° в координатах (Т,Х°) совпадает с функциональной формой Sa в координатах (Т,Ха)), ш" = \eat>cPdb Р^ - угловая скорость вращения координат (Т, Xх1) относительно (Т, Ха), спроектированная на оси Ха. Величину СаЬ естественно назвать постньютоновским тензором инерции тела. Эта величина определяется в работе в виде явных интегралов по объему тела. На основе такого определения тензора инерции можпо ввести постньютоновские оси Тиссерана, задаваемые условием У = 0, и постньютоновские главные оси инерции, которые определяются диагональностью тензора инерции во вращающихся координатах Р^Р^С"1^) = diag(Л(£), B(i), С(£)). Таким образом, получаем постньютоновские уравнения, определяющие движение оси Тиссерана и оси фигуры тела.

Далее показывается, что полученное определение постньютоновского тензора инерции согласуется с определением, которое может быть получено в рамках подхода Торна-Гюрселя [57], справедливого в пределе медленного вращения (члены, квадратичные по угловой скорости отбрасываются). При этом Торн и Гюрсель рассматривали абсолютно твердые тела, а наше определение справедливо также в случае деформируемого тела.

В работе проводится сравнение постньютоновского определения тензора инерции с ньютоновским и даются численные оценки различия между этими определениями в случае Земли. Показывается также, что известное из ньютоновской теории равенство бесследовой части тензора инерции и взятого с обратном знаком бесследового квадрупольного момента (теорема МакКулло) нарушается в постньютоновском приближении ОТО.

В качестве основы для последующей теории возмущений вводится модель твердотелыю вращающихся мультипольных моментов и тензора инерции. Такая модель не является самосогласованной постньюто-повской моделью тела. Она представляет собой лишь формальную модель зависимости от времени мультипольных моментов тела и его тензора инерции. Как и в случае ньютоновского абсолютно твердого тела, эта формальная модель позволяет получить замкнутую систему дифференциальных уравнений как для момента импульса тела, так и для его угловой скорости. Параметрами в этих уравнениях служит набор постоянных чисел - моментов инерции тела и коэффициентов разложения внешнего гравитационного поля тела. Релятивистские эффекты во вращательном движении тел в рамках такой модели анализируются в работе па примере Земли. В частности указывается, что неучет релятивистских членов в приливном гравитационном поле при вычислении динамического сжатия Н Земли из наблюдений прецессии приводит к ошибке порядка SH/H ~ 1.0 - Ю-8, что находится па совремешюм уровпе точности определения И из геодезических РСДБ наблюдений.

В четвертой части, включающей две главы, представлена программная система EinS и примеры ее применения в задачах, рассматриваемых в трех первых частях диссертации. В десятой главе дан обзор существующих компьютерно-алгебраических программных систем для работы с индексированными и/или тензорными выражениями. Здесь аргументируется необходимость создания новой программной системы, которая позволяла бы автоматизировать вычисления, типичные для астрономических приложений метрических теорий гравитации, и при этом учитывало, бы особенности математического языка этих вычислений. Затем детально описывается интерфейс и алгоритмическое наполнение созданной автором системы EinS. Пакет EinS (от английского " Einstein Summation handler" - программа обработки эйнштейновского суммирования) работает под управлением системы Math-cmalica. EinS состоит приблизительно из 3000 программных строк на входном языке системы Mathematica. EinS автоматически обрабатывает неявное суммирование и немые индексы, позволяет пользователю определять новые объекты с произвольными свойствами симметрии. Алгоритм упрощения выражений, содержащих неявное суммирование и индексированные объекты с задаваемыми пользователем свойствами симметрии, представляет собой наиболее сложную часть системы. Такой алгоритм должен учитывать все возможные перестановки индексов симметричных объектов и возможность произвольного переименования

немых индексов. В работе детально описывается новый эффективный алгоритм упрощения, основанный на технике подбора по образцу. Дальнейшие возможности пакета включают двумерную печать выражений (пользователь задает, какие индексы должны печататься сверху, а какие снизу), вывод выражений на языке T^jX (plain T^jX) или I&TgX с управляемыми пользователем командами выравнивания, пересчет неявных сумм в явную форму, средства отладки и подсистему диалоговой документации. EinS поддерживает два типа символьных индексов: "пространственно-временные" индексы (пробегающие значения от О до 3 в стандартных обозначениях Общей Теории Относительности) и "пространственные" индексы (пробегающие значения от 1 до 3). В тексте диссертации описываются все доступные пользователю команды пакета EinS и приводятся примеры их использования. Далее обсуждаются некоторые усовершенствования алгоритма упрощения, которые могут быть использованы в последующих версиях пакета EinS и при создании других подобных программных систем. Особо выделяется проблема проверки согласованности задаваемых пользователем свойств симметрии объектов и показывается, что вычисление числа независимых компонент объектов может в определенных случаях существенно упростить дальнейшие вычисления (например, объект может оказаться априори равным нулю). Здесь удалось показать, что число независимых компонент индексированного объекта с произвольными линейными свойствами симметрии является полиномом по размерности пространства. Степень этого полинома не превышает числа индексов данного объекта. Поэтому для подсчета числа независимых компонент такого объекта в пространстве произвольной размерности достаточно вычислить независимые компоненты в пространстве, размерность которого равна числу индексов рассматриваемого объекта.

В одиннадцатой главе приведен ряд примеров, иллюстрирующих использование системы EinS в вычислениях, проводившихся в настоящей работе. Первые два примера посвящены расчету псевдотензора Ландау-Лифшица энергии-импульса гравитационного поля. На основе различных известных из литературы наборов формул вычисляется выражение для этого объекта в виде суммы 16 слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение (свертку) 6 сомножителей: 4 контравариантных метрических тензора да/3 и 2 частных производных от ковариантных метрических тензоров по координатам дар,у ■ Далее псевдотензор Ландау-Лифшица вычисляется для метрики общего вида, содержащей члены порядка 0(с~1) в смешанных компонентах <7oi • В

качестве третьего примера использования системы EinS рассматривается вычисление различных функций, входящих в метрический тензор локальной ППН системы координат, а также в координатные преобразования между локальными п глобальными ППН координатами.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.

Основные результаты опубликованы в работах:

1. Бретаньон, П., Брумберг, В.А., Капитэн, Н., Дамур, Т., Юбанкс, Т.М., Фукушима, Т., Гино, В., Клионер, С.А., Копейкин, С.М., Кривов, А.В., Сайдельман, П.К., Зоффель, М. (1997): Теория Относительности и рекомендации MAC. Отчет рабочей подгруппы MAC по теории относительности в небесной механике и астрометрии. Сообщения ИПА РАН, №111

2. Клионер, С.А. (1994b): Взаимное вращение пространственных осей релятивистских систем координат. Тезисы докладов Международной конференции "Современные проблемы теоретической астрономии", 20-24 июня 1994 г., Санкт-Петербург, ИТА РАН, том 2, 44-45

3. Клионер, С.А. (1995): Релятивистские эффекты в пространственной ориентации астрономических систем отсчета. Труды XXVI-й радиоастрономической конференции, ИПА РАН, Санкт-Петербург, 294-295

4. Клионер, С.А. (1997): Теория локальных систем координат с ППН параметрами. Труды XXVII-й радиоастрономической конференции, ИПА РАН, Санкт-Петербург, 2, 235-236

5. Клионер, С.А. (1998): Вращательное движение небесных тел в общей теории относительности. Труды ИПА РАН, 3, 172-195

6. Клионер, С.А. (2000): Локальные системы координат и параметризованный постньютоновскнй формализм. Труды ИПА РАН, 5, в печати

7. Bretagnon, P., Brumberg, V.A., Capitaine, N., Damour, T., Eubanks, T.M., Fukushima, T., Guinot, В., Klioner, S.A., Kopeikin, S.M., Krivov, A.V., Seidelmann, P.K., SofFel, M.H. (1997): General Relativity and the IAU Recommendations. Report of the IAU WGAS Sub

«

Working Group on Relativity in Celestial Mechanics and Astrometry. Highlights of Astronomy, edited by Andersen, J., 11A, 194-199

8. Dehant, V., Arias, F., Bizouard Ch., Bretagnon, P., Brzezinski, A., Buffett, B., Capitaine, N., Defraigne, P., De Viron, O., Feissel, M., Fliegel, H., Forte, A., Gambis, D., Getino, J., Gross, R., Herring, T., Kinoshita, H., Klioner, S., Mathews, P.M., McCarthy, D., Moisson, X., Petrov, S., Ponte, R.M., Roosbeek, F., Salstein, D., Schuh, H., Seidelmann, K., Soffel, M., Souchay, J., Vondrak, J., Wahr, J.M., Wallace, P., Weber, R., Williams, J., Yatskiv, Y., Zharov, V., Zhu, S.Y. (1999): Considerations concerning the non-rigid Earth nutations. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 72(4), 245-310

9. Eubanks, T.M., Matsakis, D.N., Josties, F.J., Archinal, B.A., King-ham, K.A., Martin, J.O., McCarthy, D.D., Klioner, S.A., Herring, T.A. (1995): Secular motions of extragalactic radio-sources and the stability of the radio reference frame. In: Astronomical and Astro-physical Objectives of Sub-milliarcsecond Optical Astrometry, edited by E. H0g and P.K. Seidelmann, Proceedings of the IAU Symposium 166, Kluwer, Dordrecht, 283

10. Eubanks T.M., Matsakis D.N., Martin J.O., Archinal B.A., McCarthy D.D., Klioner S.A., Shapiro S., Shapiro I.I. (1997): Advances in Solar System Tests of Gravity. In: Proceedings of The Joint APS/AAPT 1997 Meeting, 18-21 April 1997, Washington D.C. (also available at http: //flux.aps.org/meetings/YR97/BAPSAPR97/abs/S1280005.html).

11. Klioner, S.A. (1993a): Hierarchy of Relativistic Kinematically Non-Rotating Reference Systems. Proceedings of the International Symposium on Reference Frame Establishment and Technical Development in Space Geodesy, IRIS'93, Communications Research Laboratory, Tokyo, 351-357

12. Klioner, S.A. (1993b): On Hierarchy of Relativistic Kinematically Non-Rotating Reference Systems. Astronomy & Astrophysics, 279, 273-277

13. Klioner, S.A. (1994a): Rotation Relative to Distant Celestial Objects in the Framework of General Relativity, Proc. of the 19th General Assembly of the European Geophysical Society, Annales Geophysicae, Supplement to Volume 12, C177

14. Klioner, S.A. (1995a): Rotation of Deformable Bodies in General Relativity, Proc. of the 20th General Assembly of the European Geo-

physical Society, Annales Geophysicae, Supplement to Volume 13, C34

15. Klioner, S.A. (1995b): On the Definition of Conserved Quantities in General Relativity. In: Abstracts of GR14 - the 14th International Conference on General Relativity and Gravitation, SIGRAV-GR14, edited by Francaviglia, M., Florence, Italy, A.223

16. Klioner, S.A. (1995c): EinS: a Mathematica Package for Tensorial Computations in Astronomical Application of General Relativity. In: Abstracts of GR14 - the 14th International Conference on General Relativity and Gravitation, SIGRAV-GR14, edited by Francaviglia, M., Florence, Italy, A. 182

17. Klioner S.A. (1995d): Relativistic Effects in Orientation of Astronomical Reference Frames. In: Earth Rotation, Reference Systems in Geo-dynamics and Solar System, edited by Capitaine, N., Kolaczek, B., Debarbat, S., Proc. of Les Journes'1995, Warsaw, 175-178

18. Klioner S.A. (1996): Angular velocity of extended bodies in general relativity. In: Dynamics, ephemerides and astrometry in the solar system, edited by Ferraz-Mello, S., Morando, B., Arlot, J.E., Kluwer, Dordrecht, 309-320

19. Klioner S.A. (1996): EinS: a Mathematica package for computations with indexed objects. User Guide. Available from the author and at http://rcswww.urz.tu-dresden.de/~klioner/eins.html, pp. 25

20. Klioner S.A. (1997a): On the problem of post-Newtonian rotational motion. In: Dynamics and Astrometry of Natural and ArtiGcial Celestial Bodies, Wytrzyszczak, I.M., Lieske, J.H., Feldman, R.A., Kluwer, Dordrecht, 383-390

21. Klioner, S.A. (1997b): Astronomical Reference Frames in the PPN Formalism. In: Reference systems and frames in the space era: present and future astrometric programmes, edited by Vondrak, J., Capitaine, N., Proceedings of Journees'1997, 32-37

22. Klioner, S.A., (1998a): New system for indicial computation and its applications in gravitational physics. Computer Physics Communications, 115, 231-244

23. Klioner, S.A. (1998b): A Package for Indicial Computation and its Applications. In: Book of extended abstracts of the International Conference 'Computer Algebra in Scientific Computing', Saint Petersburg Branch of the Steklov Mathematical Institute of the Russian Academy

of Sciences, Euler International Mathematical Institute, 20-24 April 1998, St.Petersburg, Russia, 76-79

24. Klioner, S.A. (1998c): EinS. In: J. Grabmeier, E. Kaltofen, W. Weispfenning (eds.), New Reference Book on Computer Algebra, Springer, Berlin

25. Klioner S.A. (1999): EinS: a Mathematica package for computations with indexed objects. In: Proceedings of the Eighth Marcel Grossmann Meeting, edited by Piran, Т., Rufini, R., World Scientific, Singapore, 778-780

26. Klioner S.A. (1999b): Symbolic Computation with Indexed Objects within Mathematica. В книге: Теория представлений, динамические системы, комбинаторные и алгебраические методы IV, Записки научных семинаров ПОМИ, 258, 280-291 (статья на английском языке)

27. Klioner S.A. (2000): Relativity in Modern Astrometry and Celestial Mechanics - Overview. In: Towards Models and Constants for Sub-Microarcsecond Astrometry, ed. by K.J. Johnston, D.D. McCarthy, B.J. Luzum, G.H. Kaplan, Proceedings of the IAU Colloquium 180, Washington D.C., US Naval Observatory, 265-274

28. Klioner S.A., Soffel M. (1997): Relativistic Considerations for Precession and Nutation. Highlights of Astronomy, edited by Andersen, J., 11A, 173-176

29. Klioner, S.A., Soffel, M. (1998): Nonrotating Astronomical Relativistic Reference Frames, Astronomy & Astrophysics, 334, 1123-1135

30. Klioner, S.A., Soffel, M.H. (1998): The Nordtvedt Effect in Rotational Motion. Physical Review D, 58, ID 084023

31. Klioner, S.A., Soffel, M. (1998): Rotational Motion of Celestial Bodies in the Relativistic Framework. In: The Impact of Modern Dynamics on Astronomy, edited by Henrard, J., Ferraz-Mello, S., Proceedings of the IAU Colloquium 172, Kluwer, Dordrecht, 435-436

32. Klioner S.A., Soffel M. (1998): Geodetic VLBI and Relativity. 1998 AGU Fall Meeting, American Geophysical Union, Published as a supplement to EOS, 10 November 1998, Transactions of the AGU, 79(45), G41B-03, F208

33. Klioner, S.A., Soffel, M. (1999): Local reference systems with PPN parameters. In: Proceedings of the Eighth Marcel Grossmann Meeting, edited by Piran, Т., Rufini, R., World Scientific, Singapore, 1184-1186

У

34. Klioner, S.A., Soffel, M. (1999): A post-Newtonian Description of Rotational Motion of Astronomical Bodies. In: 3. DFG-Rundgespäch 'Bezugsysteme', redigiert von Schneider, M., Mitteilungen des Bundesamtes für Kartographie und Geodäsie, Frankfurt am Main, 94-99

35. Klioner, S.A., Soffel, M. (2000): Relativistic Celestial Mechanics with PPN Parameters. Physical Review D, 62, ID 024019

36. Klioner, S.A., Vasiliev, N.N. (2000): On the number of independent components of an indexed object with symmetries. In: Book of abstracts of the 6th IMACS Conference on Applications of Computer Algebra, IMACS ACA2000, 25-28 June 2000, St.Petersburg, Russia, 19

37. Klioner, S.A., Voinov, A.V. (1993a): Relativistic Theory of Reference Systems in Closed Form. Physical Review D, 48, 1451-1461

38. Klioner, S.A., Voinov, A.V. (1993b): Closed-Form Theory of Relativistic Astronomical Reference Systems. Proceedings of the International Symposium on Reference Frame Establishment and Technical Development in Space Geodesy, IRIS'93, Communications Research Laboratory, Tokyo, 358

39. Soffel, M., Klioner, S.A. (1997): Present Status of Einsteinian Celestial Mechanics. In: Reference systems and frames in the space era: present and future astrometric programmes, edited by Vondrak, J., Capitaine, N., Proceedings of Journées'1997, 27-31

40. Soffel, M., Klioner, S.A. (1998a): Zum gegenwärtigen Stand der Relativistischen Himmelsmechanik. In: 3. DFG-Rundgespäch 'Bezugsysteme', redigiert von Schneider, M., Mitteilungen des Bundesamtes für Kartographie und Geodäsie, Frankfurt am Main, 90-93

41. Soffel M., Klioner S.A. (1998b): Relativity and Space Astrometry. In: The Message of the Angles - Astrometry from 1798 to 1998, edited by Brosche, P., Dick, W.R., Schwarz, О., Wielen, R., Proceedings of the International Spring Meeting of the German Astronomical Society, Gotha, May 11-15, 1998, Acta Histórica Astronomiae, 3, Thun, Deutsch, Frankfurt am Main, 233-239

42. Soffel M., Klioner S.A. (1998c): Nutation, Transfer Functions and Relativity: Relativistic Nutation of a Non-Rigid Earth. In: Conceptual, conventional and practical studies related to Earth rotation, edited by Capitaine, N., Proceedings of Journées'1998, Paris Observatory, Paris, 79-85

43. Soffel, M., Klioner, S.A., Petit, G., Wolf, P. (2000): New Relativistic framework for the realization of space-time reference frames and its application to time and frequency in the solar system. In: M. Soffel, N. Capitaine (eds.) "Motion of Celestial Bodies, Astrometry and Astronomical Reference Frames", Proceedings of Les Journées'1999, 34-47

Литература

44. Копейкин, С.М. (1991): Релятивистские системы координат в Солнечной системе. В книге: Гравитация и астрономия, под редакцией М.В. Сажина, Итоги Науки и Техники, серия Астрономия, том 41, Москва, Наука, 87-146

45. Меллер, К. (1975): Теория Относительности. Амомиздат, Москва

46. Мизнер, Ч., Торн, К.., Уилер, Дж. (1977): Гравитация. Мир, Москва

47. Bergeron, J. (1991): Transactions of the International Astronomical Union, XXIB, edited by Bergeron, J., Dordrecht, Kluwer

48. Brumberg, V.A. (1991): Essential Relativistic Celestial Mechanics, Adam Hilder, Bristol

49. Brumberg, V.A., Kopejkin, S.M. (1989): Relativistic Theory of Celestial Reference Frames. In: Reference Frames, edited by Kovalevsky, J., Mueller, I.I., Kolaczek, В., Kluwer, Dordrecht, 115-141

50. Damour, Т., Soffel, M., Xu, C. (1991): General Relativistic Celestial Mechanics. Physical Review D, 43, 3273-3307; 45, 1017-1044; 47, 3124-3135; 49, 618-535

51. Damour, Т., Taylor, J.H. (1992): Strong-field tests of relativistic gravity and binary pulsars. Physical Review D, 45, 1840-1868

52. Dehant, V., Fukushima, T. (1998): Introduction of JD3 on "Precession-nutation and astronomical constants in the dawn of the 21st century", Highlights of Astronomy, Vol. 11B, as presented at the XXIIIrd General Assembly of the IAU, 1997, Kyoto, Japan, ed. by Andersen, J., Kluwer, Dordrecht, 151

53. McCarthy, D.D. (1996): IERS Conventions, International Earth Rotation Service Technical Note 21, edited by McCarthy, D.D., Observatoire de Paris

54. Seidelmann, P.K. (2000): Summary and Recommendations. In: K.J. Johnston, D.D. McCarthy, B.J. Luzum, G.H. Kaplan (eds.), Towards Models and Constants for Sub-Microarcsecond Astrometry, US Naval Observatory, Washington, 398-414

55. Nordtvedt, K. (1970): Post-Newtonian Metric for a General Class of Scalar-Tensor Gravitational Theories and Observational Consequences. Astrophysical Journal, 161, 1059-1067

56. Nordtvedt, K. (1994): Gravitational equation of motion of spherical extended bodies. Physical Review D, 49, 5165-5172

57. Thome, K., Giirsel, Y. (1983): The free precession of slowly rotating neutron stars: rigid-body motion in general relativity. Monthly Notices of royal Astronomical Society, 205, 809-817

58. Will, C.M. (1993): Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge University Press, Cambridge

Введение

Часть I. Теория локальных систем координат в ППН формализме

Глава 1. Локальные системы координат и параметризованный постньютоновский формализм

1.1. Постньютоновское приближение и локальные системы координат

1.2. Альтернативные теории гравитации и параметризованный постньютоновский формализм.

1.3. Цели настоящей работы.

Глава 2. Метрические тензоры, координатные преобразования и их сшивка

2.1. Принятые обозначения.

2.2. Метрические тензоры и координатные преобразования

2.2.1. Метрический тензор глобальной ППН системы координат

2.2.2. Тензор энергии-импульса идеальной жидкости.

2.2.3. Метрический тензор локальной ППН системы координат

2.2.4. Координатные преобразования между глобальной и локальной системами координат.

2.3. Сшивка метрических тензоров глобальной и локальной ППН систем координат.

2.3.1. Сшивка членов порядка О (с-2) в роо.

2.3.2. Сшивка членов порядка 0(с~2) ъ дц.

2.3.3. Сшивка членов порядка (9(с~3) в д^.

2.3.4. Сшивка членов порядка (9(с~4) в goo.

2.4. Тензор энергии-импульса в локальной системе координат

2.5. Другие формы локальной метрики.

Глава 3. Мультипольные и приливные разложения постньютоновских потенциалов

3.1. Мультипольные разложения внутренних потенциалов

3.2. Приливные разложения внешних потенциалов.

Часть II. Уравнения поступательного и вращательного движения небесных тел

Глава 4. Уравнения поступательного движения пробной частицы в локальной системе координат

4.1. Уравнения движения в замкнутой форме.

4.2. Мультипольные разложения уравнений движения.

4.3. О характере влияния гравитационного поля Галактики на динамику Солнечной системы.

Глава 5. Локальные уравнения движения материи

5.1. Локальные уравнения движения: = 0.

5.2. Локальные уравнения движения: = 0.

5.3. Локальные уравнения движения: £аЬсХь = 0.

Глава 6. Мультипольные разложения уравнений движения

6.1. Мультипольные разложения соотношений между массами и массовыми диполями Толмана и Бланше-Дамура

6.2. Мультипольные разложения локальных уравнений поступательного движения

6.3. Мультипольные разложения уравнений вращательного движения

6.4. Уравнения движения для тел, обладающих только массой и угловым моментом.

6.5. Анализ эффекта Нордтведта во вращательном движении

6.5.1. Общее выражение для

6.5.2. Осесимметричное тело.

6.5.3. Аналитическая оценка для осесимметричного тела

6.5.4. Частный случай: однородный полушар.

6.5.5. Система Земля-Луна как единое тело.

Глава 7. Обзор полученных результатов и их сравнение с соответствующими уравнениями в ОТО

Часть III. Моделирование вращательного движения протяженных небесных тел

Глава 8. Вращение небесных тел относительно удаленных объектов

8.1. Введение.

8.2. Общая схема релятивистской редукции астрономических наблюдений.

8.3. Построение неврагцающейся системы координат как цель классической астрометрии.

8.4. Невращающиеся системы координат в ньютоновской физике

8.4.1. Динамически невращающиеся системы координат в ньютоновской физике.

8.4.2. Кинематически невращающиеся системы координат в ньютоновской физике.

8.5. Иерархия релятивистских астрономических систем координат

8.6. Пространственное вращение релятивистских систем координат

8.7. Динамически невращающиеся системы координат.

8.7.1. Динамически невращающиеся глобальные системы координат

8.7.2. Динамически невращающиеся локальные системы координат

8.8. Кинематически невращающиеся системы координат

8.8.1. Кинематически невращающиеся глобальные системы координат.

8.8.2. Кинематически невращающиеся локальные системы координат.

8.8.2.1. Нарушение транзитивности.

8.8.2.2. Нарушение симметричности.

8.9. Системы координат в Солнечной системе.

8.10. Влияние Галактики.

8.11. Заключительные замечания.

Глава 9. Вращение относительно локальной системы координат

9.1. Введение.

9.2. Вращательное движение в ньютоновской физике.

9.3. Вращательное движение в теории относительности

9.4. Релятивистские системы координат.

9.5. Постньютоновские уравнения вращательного движения

9.6. Вращающаяся система координат.

9.7. Уравнения вращательного движения относительно вращающейся системы координат.

9.8. Постньютоновские оси Тиссерана и главные оси инерции

9.9. Тензор инерции в схеме Торна-Гюрселя.

9.10. Постньютоновский момент сил и мультипольные моменты Бланше-Дамура

9.11. Сравнение ньютоновского и постньютоновского определений тензора инерции.

9.12. Модель жестко вращающихся мультипольных моментов

9.13. Важнейшие релятивистские эффекты во вращении Земли для модели жестко вращающихся мультипольных моментов

9.14. Об учете нетвердотельности тел при релятивистском моделировании вращательного движения.

Часть IV. Пакет ЕтЭ для работы с индексированными объектами в системе МаШетаЫса

Глава 10. Ет8: пакет для работы с индексированными выражениями в системе МаШетаЫса

10.1. Системы компьютерной алгебры для работы с индексированными объектами.

10.2. Структура пакета Ет8.

10.3. Дальнейшее развитие пакета.

Принятые сокращения а.е. - астрономическая единица

ИПА - Институт прикладной астрономии РАН,

Санкт-Петербург

ИСЗ - искусственный спутник Земли

MAC - Международный астрономический союз

ОТО - Общая Теория Относительности

ППН - параметризованный постньютоновский пк - парсек

РСДБ - радиоинтерферометрия со сверхдлинной базой

СТО - Специальная Теория Относительности as - microarcsecond (микросекунда дуги)

AGU - American Geophysical Union a.u. - astronomical unit

BCRS - barycentric celestial reference system

BRS - barycentric reference system

DBCRS - dynamically nonrotating BCRS

DGCRS - dynamically nonrotating GCRS

DORS - dynamically nonrotating observer's reference system

GalRS - Galactic Reference System

GCRS - geocentric celetial reference system

GPS - Global Positioning System

GRS - geocentric reference system

IAU - International Astronomical Union

IERS - International Earth Rotation Service

KBCRS - kinematically nonrotating BCRS

KGCRS - kinematically nonrotating GCRS

KORS - kinematically nonrotating observer's reference system mas - milliarcsecond (миллисекунда дуги)

LLR - Lunar Laser Ranging

ORS - observer's reference system

SLR - Satellite Laser Ranging

TRS - terrestrial reference system

VLBI - Very Long Baseline Interferometry

USNO - US Naval Observatory, Washington D.C., USA

Релятивистские эффекты играют все более важную роль при моделировании современных высокоточных астрономических наблюдений самого разного характера. Признавая этот факт, Международный Астрономический Союз (MAC) в 1991 году рекомендовал использовать некоторые простейшие идеи эйнштейновской Общей Теории Относительности (ОТО) в качестве теоретической базы для моделирования наблюдений [110]. В новых резолюциях MAC [192] стандартная релятивистская схема MAC была уточнена, и определение стандартных астрономических систем координат было дано в рамках ОТО с полной постньютоновской точностью.

Хотя ОТО согласуется со всеми известными наблюдательными данными, она отнюдь не является единственно возможной релятивистской теорией гравитации, и использование одной лишь этой теории при моделировании высокоточных наблюдений противоречило бы основополагающим принципам научного познания. Напротив, современные астроме-трические и геодинамические наблюдения являются одним из важнейших источников наблюдательных данных, позволяющих тестировать ОТО и другие релятивистские теории гравитации. По этой причине Международная Служба Вращения Земли (IERS) в своих Стандартах и Соглашениях (см. [111-113]) рекомендовала для обработки высокоточных наблюдений использовать релятивистские модели с двумя параметрами ¡3 и 7, характеризующими возможные отклонения физической реальности от эйнштейновской теории относительности. Именно эти модели лежат сейчас в основе многих аспектов тестирования ОТО. Так, лучшие современные оценки параметров (3 и 7 получены из совместной обработки лазерной локации Луны и геодезических PC ДБ наблюдений, проведенной при помощи названных моделей [90].

Причиной разногласия между строго эйнштейновскими рекомендациями MAC и более общими моделями IERS явилось, помимо всего прочего, отсутствие теоретической базы для рекомендаций MAC в рамках более широкого класса релятивистских теорий гравитации. Действительно, рекомендации MAC основаны на построении так называемой локальной геоцентрической системы координат, а теория построения такой системы координат до недавнего времени была разработана только в рамках ОТО. Это не означает автоматически, что модели, рекомендованные 1ЕИ,8, ошибочны. Однако, при использовании неадекватных релятивистских моделей оценки параметров (3 и 7, имеющих фундаментальное физическое значение, могут быть искажены. Такая ситуация недопустима, и соответствующая теоретическая база, безусловно, должна быть разработана. Это послужило одним из элементов мотивации представленной работы.

Особую роль при построении высокоточных астрономических систем отсчета играет моделирование вращательного движения Земли. Современная точность наблюдений ориентации Земли относительно удаленных источников составляет порядка 50 микросекунд дуги и продолжает неуклонно расти. Такая точность наблюдений требует учета эффектов порядка 1 микросекунды дуги [77]. На таком уровне точности проявляется целый ряд тонких релятивистских эффектов во вращательном движении. В рамках ОТО моделирование вращательного движения протяженных небесных тел представляет собой чрезвычайно сложную задачу. Задача же об учете нетвердотельности Земли на постньютоновском уровне до сих пор не получила должного решения, хотя вопрос о влиянии релятивистской геодезической прецессии на ньютоновскую методику учета нетвердотельности Земли широко обсуждается среди специалистов [76] и может привести к изменению теоретических предсказаний амплитуды годичного члена нутации на 25 микросекунд дуги. Поэтому создание последовательной постньютоновской схемы описания вращательного движения протяженного массивного деформируемого неизолированного тела в ОТО представляется необходимым и своевременным.

Цели работы

Основными целями настоящей работы являются:

1. Развитие существующего ППН формализма путем создания теории локальных систем координат в ППН формализме.

2. Исследование мультипольной структуры внутренних и внешних гравитационных полей в окрестности массивного протяженного тела в ППН формализме.

3. Вывод и исследование уравнений поступательного и вращательного движения пробных частиц и массивных протяженных тел произвольной формы, структуры и состава в рамках ППН формализма.

4. Последовательное релятивистское описание вращательного движения каждого тела системы из N протяженных массивных тел как относительно удаленных источников электромагнитного излучения, так и относительно локальной системы координат рассматриваемого тела в постньютоновском приближении.

По мере выполнения работы были поставлены и решены следующие конкретные задачи:

1. Построение локальной системы координат для массивного протяженного тела в ППН формализме и сравнение свойств такой системы координат со свойствами аналогичной системы координат в Общей Теории Относительности.

2. Нахождение определения физически адекватных мультиполь-ных моментов гравитационного поля, обобщающее определение Бланше-Дамура на случай ППН формализма.

3. Вывод выражения для потенциала приливного гравитационного поля внешних тел в окрестности массивного тела - члена системы из N тел в ППН формализме, а также адекватного приливного разложения этого потенциала.

4. Вывод и анализ уравнений поступательного движения пробных частиц в локальной ППН системе координат.

5. Получение уравнений поступательного движения массивных протяженных тел произвольной формы, состава и мультипольной структуры в ППН формализме.

6. Вывод и исследование ППН уравнений вращательного движения массивного протяженного тела произвольной формы, состава и мультипольной структуры, испытывающего гравитационное взаимодействие с внешними телами, также обладающими произвольной мультипольной структурой.

7. Создание последовательного подхода к релятивистскому описанию вращения небесных тел относительно удаленных источников электромагнитного излучения.

8. Нахождение постньютоновских определений тензора инерции и угловой скорости вращения протяженных деформируемых тел. При этом даются как определения постньютоновских главных осей инерции, так и постньютоновское обобщение осей Тиссера-на.

9. Создание программной системы, облегчающей проведение аналитических выкладок, типичных для задач гравитационной физики.

Научная новизна работы

Практически все основные результаты диссертации получены впервые.

1. Впервые построены локальные системы координат протяженного массивного тела, входящего в систему из N протяженных массивных тел в рамках ППН формализма.

2. Впервые предложены определения физически адекватных мульти-польных моментов в рамках ППН формализма.

3. Впервые выведены уравнения поступательного движения пробных тел (например, ИСЗ) относительно локальной ППН системы координат.

4. Впервые выведены уравнения поступательного движения тел произвольной мультипольной структуры в рамках ППН формализма.

5. Впервые предложен метод вывода уравнений движения протяженных тел в ППН формализме, не требующий дополнительных предположений о характере движения материи внутри тел (например, вековой стационарности).

6. Впервые выведены уравнения вращательного движения протяженных массивных тел в ППН формализме.

7. Впервые обнаружен эффект во вращательном движении массивных протяженных тел, аналогичный эффекту Нордтведта в поступательном движении.

8. Впервые сформулирован последовательный релятивистский подход к описанию вращательного движения протяженных небесных тел относительно удаленных источников. При этом дано постньютоновское определение тензора инерции тела и угловой скорости вращения осей Тиссерана. Впервые дано определение релятивистского тензора инерции, справедливое для деформируемых тел.

Научная и практическая значимость работы

Существующий ППН формализм существенно расширен за счет завершенной теории локальных систем координат протяженных массивных тел, входящих в систему из N тел. Использование локальных систем координат позволяет с самосогласованных и последовательных позиций воспроизвести все известные результаты, касающиеся уравнений движения системы N тел в ППН формализме, а также получить целый ряд новых результатов. Предложенные обобщенные мультиполь-ные моменты Бланше-Дамура позволяют физически адекватным образом изучать влияние мультипольной структуры гравитационных полей в альтернативных теориях гравитации на уравнения движения системы N тел. Выведенные в работе уравнения поступательного и вращательного движений пробных частиц и массивных протяженных тел могут использоваться для практического моделирования движения ИСЗ и различных небесных тел в рамках ППН формализма. Выведенные уравнения движения пробных частиц относительно локальной системы координат позволяют исследовать возможное неприливное влияние гравитационного поля Галактики на динамику тел Солнечной системы (такое неприливное влияние появляется в альтернативных теориях гравитации, приводящих к нарушению Сильного Принципа Эквивалентности) . Последовательное релятивистское описание вращательного движения протяженных тел в Общей Теории Относительности позволяет глубже осмыслить физическую природу и математический смысл вращения небесных тел относительно удаленных источников электромагнитного излучения. Предложенные определения тензора инерции и угловой скорости вращения тел могут найти практическое применение при разработки теорий вращательного движения конкретных тел (например, Земли). Поскольку найденные определения справедливы также для деформируемых тел, эти определения могут использоваться для создания теории вращения с учетом деформируемости тел. Как известно, эффекты деформируемости тел играют важную роль для моделирования вращательного движения Земли. Создание постньютоновской теории вращения деформируемого тела может оказаться полезным также для исследования вращательного движения и физических свойств нейтронных звезд, где релятивистские эффекты нетвердотельности играют важную роль [208]. Разработанный в диссертации новый высокоэффективный алгоритм упрощения выражений, содержащих индексированные выражения с заданными пользователем симметриями объектов и неявным суммированием показал свою практическую эффективность в рамках программной системы EinS. Система EinS успешно используется для решения различных вычислительных задач в ряде научных центров.

Помимо теоретического интереса, представленная теория может быть использована для создания справедливых в рамках ППН формализма физически адекватных моделей различных типов астрономических наблюдений. Тем самым, теория локальных систем координат служит цели экспериментального тестирования определенного класса метрических теорий гравитации. Отметим также, что используемые в настоящей работе глобальная и локальная ППН системы координат в пределе ОТО /3 = 7 = 1 в точности совпадают с системами координат, рекомендованными MAC [192]. Новые резолюции MAC, задающие локальную систему координат в ОТО, частично основаны на одной из работ автора [152], где в рамках ОТО была впервые построена локальная система координат массивного тела без разложений по степеням локальных пространственных координат. Таким образом, представленная в настоящей работе версия ППН формализма может использоваться для создания самосогласованных релятивистских моделей различных типов наблюдений с ППН параметрами. Причем при (3 = ^ = 1 эти модели автоматически переходят в стандартные модели в рамках резолюций

MAC.

На защиту выносятся

1. Построение локальных систем координат протяженных массивных тел в ППН формализме.

2. Уравнения поступательного движения системы из N протяженных массивных тел произвольной формы, состава и мультиполь-ной структуры, выведенные в рамках ППН формализма как в замкнутой форме, так и в виде разложений по мультипольным моментам Бланше-Дамура, обобщенным на случай ППН формализма.

3. Вывод уравнений поступательного движения системы из N тел, характеризуемых массой и спином, не требующий в рамках ППН формализма дополнительных предположений о характере движения материи внутри тел.

4. Уравнения вращательного движения протяженных массивных тел в ППН формализме, приводящие к эффекту, аналогичному эффекту Нордтведта в поступательном движении.

5. Теоретическая схема моделирования вращательного движения протяженного деформируемого неизолированного тела относительно удаленных небесных тел, включающая определение постньютоновского тензора инерции и вектора угловой скорости.

6. Программная система EinS для операций с индексированными объектами, включающая основанный на подборе по образцу алгоритм упрощения тензорных выражений.

Апробация работы

Результаты, полученные в диссертации, представлялись на следующих конференциях и семинарах:

• Симпозиум "Reference Frame Establishment and Technical Development in Space Geodesy" (IRIS'93), Communications Research Laboratory, Tokyo, Japan, February 1993

• Конференция "International Workshop on Relativity, Celestial Mechanics and Astrometry", National Astronomical Observatory, Tokyo, Japan, June 1993

• Симпозиум "The 26th Symposium on Celestial Mechanics", National Astronomical Observatory, Tokyo, Japan, December 1993

• Международная конференция "Современные проблемы теоретической астрономии", ИТА РАН, Санкт-Петербург, Июнь 1994

• Симпозиум MAC №172, "Dynamics, ephemerides and astrometry in the solar system", Paris, France, July 1995

• Конференция "Journees'1995: Earth Rotation, Reference Systems in Geodynamics and Solar System", Warsaw, Poland, September 1995

• Коллоквиум MAC №165 "Dynamics and Astrometry of Natural and Artificial Celestial Bodies", Poznan, Poland, July 1996

• Конференция "Journées'1996: Deux siècles d'évolution du Système du Monde. Hommage à Laplace", Paris, France, September 1996

• Конференция "8th Marcel Grossmann Meeting", Jerusalem, Israel, June 1997

• XXIII Генеральная Ассамблея MAC, конференция "Joint Discussion No. 3 'Precession-nutation and astronomical constants in the dawn of the 21st 'century'", Kyoto, Japan, August 1997

• Конференция "Journées'1997: 'Reference systems and frames in the space era: present and future astrometric programmes'", Prague, Czech Republic, September 1997

• XXVII Радиоастрономическая конференция, ИПА РАН, Санкт-Петербург, Россия ноябрь 1997

• Международная конференция "Computer Algebra in Scientific Computing" (CASC'98), Санкт-Петербург, Россия, Апрель 1998

• Конференция "DFG-Rundgespràch 'Rotation der Erde/Bezugssysteme' ", Wettzell, Germany, April 1998

• Конференция "The 1988 Spring Meeting of the German Astronomical Society", Gotha, Germany, June 1998

• Коллоквиум MAC №172 "The Impact of Modern Dynamics in Astronomy", Namur, Belgium, July 1998

• Конференция "IMACS Conference on Applications of Computer Algebra" (IMACS АСА'1998), Prague, Czech Republic, August 1998

• Конференция "Journées'1998: 'Conceptual, conventional and practical studies related to Earth rotation", Paris, France, September 1998

• Конференция "Journées'1999: 'Motion of Celestial Bodies, Astrom-etry and Astronomical Reference Frames'", Dresden, Germany, September 1999

• Конференция "The 1998 AGU Fall Meeting", San Francisco, USA, December 1998

• Симпозиум "Gravitationsphysik", Konstanz, Germany, November 1999

• Коллоквиум MAC №180 "Towards Models and Constants for Sub-Microarcsecond Astrometry", Washington D.C., USA, March 2000

• Конференция "IMACS Conference on Applications of Computer Algebra" (IMACS ACA'2000), Санкт-Петербург, Россия, Июнь 2000

• XXIV Генеральная ассамблея MAC, конференция "Joint Discussion No 3 'Models and Constants for Sub-Microarcsecond Astrometry' ", Manchester, UK, August 2000

• Семинар группы астрофизики высоких энергий Хельсинкской Обсерватории, Хельсинки, Финляндия, Апрель 1994

• Семинар Хельсинкской Обсерватории, Хельсинки, Финляндия, Апрель 1994

• Семинар Лормановской Обсерватории, Дрезден, Германия, Июль 1996

• Семинар Группы РСДБ Боннского Университета, Бонн, Германия, Июль 1997

• Семинар Морской Обсерватории США, Вашингтон, США, декабрь 1998

• Семинар кафедр небесной механики и астрометрии Астрономического института Санкт-Петербургского Государственного Университета, декабрь 1998

• Семинары Института прикладной астрономии РАН, январь 1995, май 1995, март 1998, декабрь 1998, март 2000

Структура и краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех частей (11 глав) и заключения.

Заключение 241 астрометрических проектов (DIVA, FAME, GAIA, SIM и т.д.). Поскольку предполагаемая точность наблюдений будет достигать 1 //as и наблюдения будут одновременно использоваться для тестирования ОТО, представляется очень важным связать эти системы координат с ППН формализмом, покрывающим широкий класс альтернативных метрических теорий гравитации. Эта цель также была достигнута в настоящей работе. При ¡3 — ^ — 1 глобальная и локальная ППН системы координат, используемые в настоящей работе, в точности совпадают с BCRS и GCRS. Такое совпадение обусловлено, в частности, тем, что для новой релятивистской схемы MAC были использованы результаты работы автора [152], где в рамках ОТО впервые была построена локальная система координат массивного тела в замкнутой форме (без разложений по степеням локальных пространственных координат). Представленная в настоящей работе версия ППН формализма может использоваться для создания самосогласованных релятивистских моделей различных типов наблюдений с ППН параметрами, которые при (3 = 7=1 автоматически переходят в стандартные модели в рамках резолюций MAC.

Таким образом, предлагаемая автором теория локальных систем координат в ППН формализме представляет собой законченную самосогласованную теоретическую схему, позволяющую исследовать поступательное и вращательное движение пробных частиц и массивных протяженных тел в рамках Общей Теории Относительности и альтернативных метрических теорий гравитации. Эта схема как целое и является главным результатом работы.

1. Антонов, В.А., Тимошкова, Е.И., Холшевников, К.В. (1988): Введение в теорию ньютоновского потенциала. Москва, Наука

2. Брумберг, В.А. (1972): Релятивистская небесная механика. Москва, Наука

3. Ильин, В.А., Крюков, А.П. (1994): Алгоритм символьного упрощения тензорных выражений в компьютерной алгебре. Программирование, Январь 1994, 83-91

4. Гуревич, E.JL, Кайдановский, М.Н., Клионер, С.А. (1992): Программно-аппаратный комплекс для синхронизации удаленных шкал времени. Препринт ИПА РАН, №45

5. Дорошенко, О., Копейкин, С.М. (1990): Алгоритм высокоточного фазового анализа наблюдений одиночных пульсаров. Астрономический Журнал, 67(5), 986-997

6. Жданов, В.И. (1994): Труды 3-й Орловской конференции "Изучение Земли как планеты методами астрономии, геофизики и геодезии", Главная астрономическая обсерватория Академии Наук Украины, Киев

7. Кайдановский, М.Н., Гуревич, E.JL, Клионер, С.А. (1993): Методика, аппаратура и погрешности сличения шкал времени по спутниковым каналам связи. Измерительная техника, №12, 18-21

8. Клионер, С.А. (1991а): Релятивистская редукция астрономических наблюдений. Дисс. . канд. физ.-мат. наук, ИПА РАН и Санкт-Петербургский Государственный Университет

9. Клионер, С.А. (1991Ь): Влияние квадруиольного поля тел и их вращения на распространение света. Астрономический Журнал, 68(5), 1046-1062

10. Клионер, С.А. (1991с): Физический аспект синхронизации часов. Труды Конференции "Метрологические аспекты измерений времени и частоты", Москва, Октябрь 1991, 52-53

11. Клионер, С.А. (1994Ь): Взаимное вращение пространственных осей релятивистских систем координат. Тезисы докладов Международной конференции "Современные проблемы теоретической астрономии", 20-24 июня 1994 г., Санкт-Петербург, ИТА РАН, том 2, 44-45

12. Клионер, С.А. (1995): Релятивистские эффекты в пространственной ориентации астрономических систем отсчета. Труды ХХУ1-Й радиоастрономической конференции, ИПА РАН, Санкт-Петербург, 294-295

13. Клионер, С.А. (1997): Теория локальных систем координат с ППН параметрами. Труды ХХУП-й радиоастрономической конференции, ИПА РАН, Санкт-Петербург, 2, 235-236

14. Клионер, С.А. (1998): Вращательное движение небесных тел в общей теории относительности. Труды ИПА РАН, 3, 172-195

15. Клионер, С.А. (2000): Локальные системы координат и параметризованный постньютоновский формализм. Труды ИПА РАН, 5, в печати

16. Копейкин, С.М. (1989): Релятивистские системы отсчета в Солнечной системе. Астрономический Журнал, 66(5), 1069-1080

17. Копейкин, С.М. (1989): Асимптотические сшивки гравитационных полей в Солнечной системе. Астрономический Журнал, 66(6), 1289-1303

18. Копейкин, С.М. (1990): Теория относительности в радиоастрономических наблюдениях. Астрономический Журнал, 67(1), 10-20

19. Копейкин, С.М. (1991): Релятивистские системы координат в Солнечной системе. В книге: Гравитация и астрономия, под редакцией М.В. Сажина, Итоги Науки и Техники, серия Астрономия, том 41, Москва, Наука, 87-146

20. Ландау, Л.Д., Лифшиц, Е.М. (1971): Теория поля. Москва, Наука

21. Мячин, В.Ф. (1990): К построению оптимальных вращающихся координатных систем в динамике неабсолютно твердого тела. Препринт ИТА РАН №6

22. Паули, В. (1983): Теория Относительности. Москва, Наука

23. Питьева, Е.В. (2000): частное сообщение

24. Фок, В.А. (1939): О движении конечных масс в общей теории относительности. Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, 9, 375

25. Фок, В.А. (1959): Теория пространства, времени и тяготения. Москва, ГИТТЛ

26. Ashby, N., Allan, D.W. (1979): Practical implications of relativity for a global coordinate time scale, 14(4), 649-669

27. Apostolatos, Th. A. (1996): A spinning test body in the strong field of a Schwarzschild black hole. Classical and Quantum Gravity, 13, 799-812

28. Apostolatos, Th. A. (1996): Influence of spin-spin coupling on inspi-raling compact binaries with Mi = M2 and S\ = S2- Physical Review D, 54, 2438 2441

29. Ashby, N., Bertotti, B. (1984): Relativistic Perturbations of an Earth Satellite. Physical Review Letters, 52(7), 485-488

30. Ashby, N., Bertotti, B. (1986): Relativistic effects in local inertial frames. Physical Review D, 34, 2246-2259

31. Barker, B.M., Byrd, G.G., O'Connell, R.F. (1982): Spin nutation in binary systems due to general relativistic and quadrupole effects. As-trophysical Journal, 253, 309-311

32. Barker, B.M., Byrd, G.G., O'Connell, R.F. (1986): Relativistic Kepler's third law. Astrophysical Journal, 305, 623-633

33. Barker, B.M., O'Brien, G.M., O'Connell, R.F. (1981): Relativistic quadrupole moment. Physical Review D, 24, 2332-2335

34. Barker, B.M., O'Connell, R.F. (1975): Gravitational two-body problem with arbitrary masses, spins, and quadrupole moments. Physical Review D, 12, 329-335

35. Barker, B.M., O'Connell, R.F. (1976): Lagrangian-Hamiltonian formalism for the gravitational two-body problem with spin and parametrized post-Newtonian parameters 7 and ß. Physical Review D, 14, 861-869

36. Blanchet, L., Damour, T. (1986): Radiative Gravitational Fields in General Relativity. I General Structure of the Field outside the Source. Philosophical Transactions of Royal Astronomical Society, London, A320(1555), 379-430

37. Blanchet, L., Damour, T. (1989): Post-Newtonian generation of gravitational waves. Annales de l'Institut Henri Poincaré, 50, 377-401

38. Bois, E., Vockrouhlicky, D. (1995): Relativistic spin effects in the Earth-Moon system. Astronomy & Astrophysics, 300, 559-567

39. Born, M. (1909): Die Theorie des starren Elektrons in der Kinematik des Relativitätsprinzips. Annalen der Physik, Vierte Folge, 30(11), 1-56

40. Bretagnon, P., Francou, G., Rocher, P., Simon, J.L. (1998): SMART97: a new solution for the rotation of the rigid Earth. Astronomy & Astrophysics, 329, 329-338

41. Brumberg, V.A. (1991a): Essential Relativistic Celestial Mechanics, Adam Hilder, Bristol

42. Brumberg, V.A. (1991b): Relativistic Hierarchy of Reference Systems and Time Scales, In: Reference Systems, edited by Hughes, J.A., Smith, C.A., Kaplan, G.H., Proceedings of the IAU Colloquium 127, USNO, Washington D.C., 36-49

43. Brumberg, V.A. (1992): Relativistic geocentric satellite equations of motion in closed form. Astronomy & Astrophysics, 257(2), 777-782

44. Brumberg, V.A., Bretagnon, P., Francou, G. (1991) Analytical algorithms of relativistic reduction of astronomical observations. In: Métrologie et Astrométrie, edited by Capitaine, N., Proceedings of Journées'1991, Observatoire de Paris, Paris, 141-148

45. Brumberg V.A., Bretagnon P., Guinot, B. (1996): Astronomical Units and Constants in the General Relativity Framework. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 64, 231-242

46. Brumberg, V.A., Kopejkin, S.M. (1989a): Relativistic Theory of Celestial Reference Frames. In: Reference Frames, edited by Kovalevsky, J., Mueller, I.I., Kolaczek, B., Kluwer, Dordrecht, 115-141

47. Brumberg, V.A., Kopejkin, S.M. (1989b): Relativistic Reference Systems and Motion of Test Bodies in the Vicinity of the Earth. Nuovo Cimento, 103B, 63-98

48. Borner, G., Ehlers, J., Rudolph, E. (1975): Relativistic Spin Precession in Two-Body Systems. Astronomy &; Astrophysics, 44, 417-420

49. Caporali, A. (1981a): A Reformulation of the Post-Newtonian Approximation to General Relativity. I. The Metric and the Local Equations of Motion. Nuovo Cimento, 61B(2), 181-204

50. Caporali, A. (1981b): A Reformulation of the Post-Newtonian Approximation to General Relativity. II. Post-Newtonian Equation of Motion for Extended Bodies. Nuovo Cimento, 61B(2), 205-212

51. Caporali, A. (1981c): Motion of Extended Bodies in the PPN Approximation of Fully Conservative Theories of Gravity. Nuovo Cimento, 61B(2), 213-219

52. Chandrasekhar, S. (1965): The post-Newtonian equations of hydrodynamics in General Relativity. Astrophysical Journal, 142, 1488-1513

53. Chandrasekhar, S. (1987): Ellipsoidal Figures of Equilibrium, Dover Publications, New York

54. Chandrasekhar, S., Nutku, Y. (1969): The Second Post-Newtonian Equations of Hydrodynamics in General Relativity. Astrophysical Journal, 158, 55-79

55. Chandrasekhar, S., Esposito, F. (1970): The 2|-Post-Newtonian Equations of Hydrodynamics and Radiation Reaction in General Relativity. Astrophysical Journal, 160, 153-179

56. Connes, A., Damour, T., Fayet, P. (1997): Aspherical Gravitational Monopoles. Nuclear Physics B, 490, 391-431

57. Corinaldesi, E., Papapetrou, A. (1951): Spinning test-particles in general relativity. II. Proceedings of Royal Society London, A209, 259268

58. Damour, T. (1982): Problème des deux corps et freinage de rayonnement en relativité générale. Comptes Rendus de Académie de Science Paris, 294, série II, 1355-1357

59. Damour, T. (1987): The problem of motion in Newtonian and Ein-steinian gravity. In: 300 Years of Gravitation, edited by S.W. Hawking and W. Israel, Cambridge University Press, Cambridge, 128-198

60. Damour, T., Iyer, B.R. (1991): Post-Newtonian generation of gravitational waves. II. The spin moments. Annales de l'Institut Henri Poincaré, Physique théorique, 54(2), 115-164

61. Damour, T., Schàffer, G. (1991): Redefinition of position variables and the reduction of higher-order Lagrangians. Journal of Mathematical Physics, 32(1), 127-134

62. Damour, Т., Soffel, M., Xu, С. (1991): General Relativistic Celestial Mechanics I. Method and definition of reference systems. Physical Review D, 43, 3273-3307

63. Damour, Т., Soffel, M., Xu, C. (1992a): General Relativistic Celestial Mechanics II. Translational Equations of Motion. Physical Review D, 45, 1017-1044

64. Damour, Т., Soffel, M., Xu, C. (1993): General Relativistic Celestial Mechanics III. Rotation Equations of Motion. Physical Review D, 47, 3124-3135

65. Damour, Т., Soffel, M., Xu, C. (1994): General Relativistic Celestial Mechanics IV. Theory of satellite motion. Physical Review D, 49, 618-635

66. Damour, Т., Soffel, M., Xu, C. (1995): Relativistic Celestial Mechanics. In: Proceedings of the Symposia Gaussiana, edited by Behara, Fritsch, Lintz, Walter de Gruyter & Co., Berlin

67. Damour, Т., Taylor, J.H. (1992): Strong-field tests of relativistic gravity and binary pulsars. Physical Review D, 45, 1840-1868

68. D'Eath, P.D. (1975): Dynamics of a small black hole in a background universe. Physical Review D, 11(6), 1387-1403

69. Dehant, V. (1998): личное сообщение

70. De Sitter, W. (1916a): On Einstein's Theory of Gravitation and its Astronomical Consequences. First Paper. Monthly Notices of royal Astronomical Society, 76, 699-728

71. De Sitter, W. (1916b): On Einstein's Theory of Gravitation and its Astronomical Consequences. Second Paper. Monthly Notices of royal Astronomical Society, 77, 155-184

72. Dixon, W.G. (1970): Dynamics of extended bodies in general relativity I. Momentum and angular momentum. Proceedings of Royal Society London, A 314, 499-527

73. Droste, J. (1916): Verslagen K. Akad. Wet. Amsterdam (Proceedings of the Academy of Sciences Amsterdam), 19, 447

74. Eddington, A.S. (1922): The Mathematical Theory of Relativity, Cambridge University Press, Cambridge, England

75. Ehrenfest, P. (1910): Gleichförmige Rotation starrer Körper und Rel-ativit"atstheorie. Physikalische Zeitschrift, 10(23), 918

76. Einstein, A. (1915): Erklärung der Perihelbewegung der Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Preussische Akademie der Wissenschaft Berlin, Sitzbericht, 18 November 1915, S. 831

77. Ehlers, J., Rudolph, E. (1977): Dynamics of Extended Bodies in General Relativity. Center-of-Mass Description and Quasirigidity. General Relativity and Gravitation, 8, 197-217

78. Eubanks, T.M. (1993): private communication

79. Fixsen, D.J., Cheng, E.S., Gales, J.M., Mather, J.C., Shafer, R.A., Wright, E.L. (1996): The cosmic microwave background spectrum from the full CO BE FIRAS data set. Astrophysical Journal, 473, 576-587

80. Froeschle, M., Mignard, F., Arenou, F. (1997): Determination of the PPN Parameter 7 with the Hipparcos Data In: Proceedings of the ESA Symposium "Hipparcos Venice 97", 13-16 May 1997, Venus, Italy, ESA SP-402, 49-52

81. Fukushima, T. (1991): Geodetic Nutation. Astronomy & Astrophysics, 244, L11-L12

82. Fukushima, T. (1995): Time Ephemeris. Astronomy & Astrophysics, 294, 895-906

83. Fukushima, T. (2000): Report on Astronomical Constants. In: K.J. Johnston, D.D. McCarthy, B.J. Luzum, G.H. Kaplan (eds.), Towards Models and Constants for Sub-Microarcsecond Astrometry, US Naval Observatory, Washington, 417-427

84. GAIA. composition, Formation and Evolution of the Galaxy. Concept and Technology Study Report. ESA-SCI(2000)4, July 2000

85. Geroch, R. (1970): Multipole Moments. II. Curved Space. Journal of Mathematical Physics, 11, 2580-2588

86. Getino, J., Ferrandiz, J.M. (1999): Accurate analytical nutation series. Monthly Notices of royal Astronomical Society, 306(4), L45-L49

87. Guinot, B. (1986): Is the International Atomic Time TAI a coordinate time or a proper time? Celestial Mechanics, 38, 155-161

88. Gürsel, Y. (1983): Multipole Moments for Stationery Systems: The Equivalence of the Geroch-Hansen Formulation and the Thorne Formulation. General Relativity and Gravitation, 15(8), 737-754

89. Hansen, R.O. (1974): Multipole moments of stationary space-times. Journal of Mathematical Physics, 15, 46-52

90. Herglotz, G. (1910): Uber den vom Standpunkt des Relativ-it"atsprinzip aus als "starr" zu bezeichnenden K"orper. Annalen der Physik, IV. Folge, 31, 393-415

91. Hirayama, Th., Kinoshita, H., Fujimoto, M.-K., Fukushima, T. (1987): Analytical expression of TDB-TDT0 In: IUGG 19th General Assembly, Vancouver, Proceedings of IAG symposia, 1, 91-100

92. Hartley, D. (1996): Overview of computer algebra in relativity. In: Relativity and Scientißc Computing, edited by Hehl, F., Puntigam, R., Ruder, H., Springer, Berlin, 173-191

93. Hartmann, T., Soffel, M. and Kioustelidis, T. (1994): On the use of STF-tensors in celestial mechanics. Celestial Mechanics, 60, 139-159

94. Hartmann T., Soffel M., Ron C. (1998): The geophysical approach towards the nutation of a rigid Earth. Astronomy & Astrophysics, Supplement Series, 134, 271-286

95. IAU (1991): Transactions of the International Astronomical Union, XXIB, edited by Bergeron, J., Dordrecht, Kluwer

96. IERS (1989): IERS Standards, International Earth Rotation Service Technical Note 3, edited by McCarthy, D.D., Observatoire de Paris

97. IERS (1992): IERS Standards, International Earth Rotation Service Technical Note 13, edited by McCarthy, D.D., Observatoire de Paris

98. IERS (1996): IERS Conventions, International Earth Rotation Service Technical Note 21, edited by McCarthy, D.D., Observatoire de Paris

99. IERS (2000): IERS Conventions, edited by McCarthy, D.D., Observatoire de Paris, to be published

100. Infeld, L. (1954): On the Motion of Bodies in General Relativity. Acta Physica Polonica, 13, 187

101. Infeld, L. (1957): Equations of Motion in General Relativity Theory and the Action Principle. Reviews of Modern Physics, 29(3), 398-411

102. Kalitzin, N. St. (1959): Uber die Bewegung der rotierenden Satelliten und Doppelsterne nach der Einsteinischen Gravitationstheorie. Nuovo Cimento, XI(2), 178-185

103. Klioner, S.A. (1992): The problem of clock synchronization: a relativistic approach. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 53, 81-109

104. Klioner, S.A. (1993b): On Hierarchy of Relativistic Kinematically Non-Rotating Reference Systems. Astronomy & Astrophysics, 279, 273-277

105. Klioner, S.A. (1994a): Rotation Relative to Distant Celestial Objects in the Framework of General Relativity, Proc. of the 19th General Assembly of the European Geophysical Society, Annales Geophysicae, Supplement to Volume 12, C17T

106. Klioner, S.A. (1995a): Rotation of Deformable Bodies in General Relativity, Proc. of the 20th General Assembly of the European Geophysical Society, Annales Geophysicae, Supplement to Volume 13, C34

107. Klioner, S.A. (1995b): On the Definition of Conserved Quantities in General Relativity. In: Abstracts of GR14 the 14th International Conference on General Relativity and Gravitation, SIGRAV-GR14, edited by Francaviglia, M., Florence, Italy, A.223

108. Klioner S.A. (1996): Angular velocity of extended bodies in general relativity. In: Dynamics, ephemerides and astrometry in the solar system, edited by Ferraz-Mello, S., Morando, B., Arlot, J.E., Kluwer, Dordrecht, 309 320

109. Klioner S.A. (1996): EinS: a Mathematica package for computations with indexed objects. User Guide. Available from the author and at http://rcswww.urz.tu-dresden.de/~klioner/eins.html, pp. 25

110. Klioner S.A. (1997a): On the problem of post-Newtonian rotational motion. In: Dynamics and Astrometry of Natural and Artificial Celestial Bodies, Wytrzyszczak, I.M., Lieske, J.H., Feldman, R.A., Kluwer, Dordrecht, 383-390

111. Klioner, S.A. (1997b): Astronomical Reference Frames in the PPN Formalism. In: Reference systems and frames in the space era: present and future astrometricprogrammes, edited by Vondrak, J., Capitaine, N., Proceedings of Journees'1997, 32-37

112. Klioner, S.A., (1998a): New system for indicial computation and its applications in gravitational physics. Computer Physics Communications, 115, 231-244

113. Klioner, S.A. (1998c): EinS. In: J. Grabmeier, E. Kaltofen, W. Weispfenning (eds.), New Reference Book on Computer Algebra, Springer, Berlin, in press

114. Klioner S.A. (1999): EinS: a Mathematica package for computations with indexed objects. In: Proceedings of the Eighth Marcel Grossmann Meeting, edited by Piran, T., Rufini, R., World Scientific, Singapore, 778-780

115. Klioner, S.A., Fukushima, T. (1994): Relativistic Effects in Two-way Time Transfer via Artificial Satellites using Laser Techniques, Manuscripta Geodaetica, 19(5), 294-299

116. Klioner, S.A., Kopeikin, S.M. (1992): Microarcsecond Astrometry in Space: Relativistic Effects and Reduction of Observations. Astronomical Journal, 104, 897-914

117. Klioner, S.A., Kopeikin, S.M. (1994): The post-Keplerian orbital representations of relativistic two-body problem. Astrophysical Journal, 427, 951-955

118. Klioner S.A., Soffel M. (1997): Relativistic Considerations for Precession and Nutation. Highlights of Astronomy, edited by Andersen, J., 11A, 173-176

119. Klioner, S.A., Soffel, M. (1998): Nonrotating Astronomical Relativistic Reference Frames, Astronomy & Astrophysics, 334, 1123-1135

120. Klioner, S.A., Soffel, M.H. (1998): The Nordtvedt Effect in Rotational Motion. Physical Review D, 58, ID 084023

121. Klioner S.A., Soffel M. (1998): Geodetic VLBI and Relativity. 1998 AGU Fall Meeting, American Geophysical Union, Published as a supplement to EOS, 10 November 1998, Transactions of the AGU, 79(45), G41B-03, F208

122. Klioner, S.A., Soffel, M. (1999): Local reference systems with PPN parameters. In: Proceedings of the Eighth Marcel Grossmann Meeting, edited by Piran, T., Rufini, R., World Scientific, Singapore, 1184-1186

123. Klioner, S.A., Soffel, M. (2000): Relativistic Celestial Mechanics with PPN Parameters. Physical Review D, 62, ID 024019

124. Klioner, S.A., Voinov, A.V. (1993a): Relativistic Theory of Reference Systems in Closed Form. Physical Review D, 48, 1451-1461

125. Kopejkin, S.M. (1988): Celestial Coordinate Reference Systems in Curved Space-Time. Celestial Mechanics, 44, 87-115

126. Kopejkin, S.M. (1991): Relativistic manifestations of gravitational fields in gravimetry and geodesy. Manuscripta Geodaetica, 16, 301312

127. Lindegren, L., Perryman, M.A.C. (1996): GAIA: Global astrometric interferometer for astrophysics Astronomy & Astrophysics, Supplement Series, 116, 579-595

128. Lorentz, H.A., Droste, J. (1917): Versl. K. Akad. Wet. Amsterdam, 26, 392 (part I) and 649 (part II) (English translation in H.A. Lorentz, Collected Papers, ed. Zeeman, P. and Fokker, A.D., vol. V, 330-355, Martinus Nijhoff, The Hague (1937))

129. MacCallum, M. (1987): Symbolic computation in relativity theory. In: EUROCAL'87, European Conference on Computer Algebra, edited by Davenport, J., Springer, Berlin, 34-43

130. Mathisson, M. (1937): Neue Mechanik materieller Systeme. Acta Physica Polonica, 6, 163-200

131. Michalska, R. (1960): Action Principle for the Motion of Rotating Bodies in the General Theory of Relativity. Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. math. astr. et phys., 8, 233-246

132. Michalska, R. (1960): The Equations of Motion of Rotating Oblate Bodies in the General Theory of Relativity. Bull. Acad. Polon. Sci., Ser. math. astr. et phys., 8, 247

133. Misner, C.W., Thorne, K.S., Wheeler, J.A. (1973): Gravitation. Freeman, San Francisco (имеется русский перевод: Мизнер, Ч., Торн, К., Уилер, Дж. (1977): Гравитация. Мир, Москва)

134. Miyamoto М., Soma М., 1993, Is the vorticity of the Galaxy perpendicular to the Galactic plane? I. Precessional correction and equinoctial motion correction to the FK5 system, Astronomical Journal, 105, 691-701

135. M0ller, C. (1972): The Theory of Relativity, Clarendon Press, Oxford (имеется русский перевод: Меллер, К. (1975): Теория Относительности. Амомиздат, Москва)

136. Moritz, Н., Mueller, I.I. (1987) Earth Rotation: Theory and Observation. Ungar, New York (имеется русский перевод: Мориц, Г., Мюллер, А. (1992): Вращение Земли: теория и наблюдения. Наукова Думка, Киев)

137. Nelson, R.A. (1987): Generalized Lorentz Transformation for an Accelerated, Rotating Frame of Reference, Journal of Mathematical Physics, 28, 2379-2383

138. Ni, W.T., Zimmermann, M. (1978): Inertial and gravitational effects in the proper reference frame of an accelerated, rotating observer. Physical Review D, 17, 1473-1476

139. Noether, F. (1910): Zur Kinematik des starren Korpers in der Relativtheorie. Annalen der Physik, IV. Folge, 31, 919-944

140. Nordtvedt, K. (1968a): Equivalence principle for massive bodies. I. Phenomenology. Physical Review, 169(5), 1014-1016

141. Nordtvedt, K. (1968b): Equivalence principle for massive bodies. II. Theory. Physical Review, 169(5), 1017-1025

142. Nordtvedt, K. (1970): Post-Newtonian Metric for a General Class of Scalar-Tensor Gravitational Theories and Observational Consequences. Astrophysical Journal, 161, 1059-1067

143. Nordtvedt, K. (1971): Equivalence Principle for Massive Bodies. IV. Planetary Bodies and Modified Eôtvôs-Type Experiments. Physical Review D, 3, 1683-1689

144. Nordtvedt, K. (1983): Relativistic tidal forces. Astrophysical Journal, 254, 620-626

145. Nordtvedt, K. (1991): Lunar laser ranging reexamined: The non-null relativistic contributions. Physical Review D, 43, 3131-3135

146. Nordtvedt, K. (1994): Gravitational equation of motion of spherical extended bodies. Physical Review D, 49, 5165-5172

147. Nordtvedt, K. (1995): The relativistic orbit observables in lunar laser ranging. Icarus, 114, 51-62

148. Nordtvedt, K. (1998): private communication

149. Nordtvedt, K., Will, C. (1972): Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. II. Experimental Evidence to Rule Out Preferred-Frame Theories of Gravity. Astrophysical Journal, 177, 775-792

150. Papapetrou, A. (1951): Spinning Test-Particles in General Relativity. I. Proceeding of Royal Society London, A209, 248-258

151. Petit, G., Wolf, P. (1994): Relativistic theory for picosecond time transfer in the vicinity of the Earth. Astronomy & Astrophysics, 286, 971-977

152. Rayner, C.B. (1959): Mouvement rigide en Relativité générale. Comptes Rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences, 248, 929-932

153. Robertson, H.P. (1962): Relativity and Cosmology. In: Space Age Astronomy, edited by A.J. Deutsch and W.B. Klemperer, Academic Press, New York, 228-235

154. Rodionov, A., Taranov, A. (1987): Combinatorial aspects of simplification of algebraic expressions. In: EUROCAL'87, Proceedings of the European Conference on Computer Algebra (Berlin, 1987), edited by Davenport, J., Springer, Berlin, 192-201

155. Roosbeek, F., Dehant, V. (1998): RDAN97: an analytical development of rigid earth nutation series using the torque approach. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 70(4), 215-253

156. Rosen, N. (1947): Notes on Rotation and Rigid Bodies in Relativity Theory. Physical Review, 71(1), 54-58

157. Salzman, G., Taub, A.H. (1954): Born-type rigid motion in general relativity. Physical Review, 95, 1659-1669

158. Schaffer, G. (1990): Reduction of Higher Derivative Lagrangians, An-nalen der Physik, Leipzig, 48, 601-608

159. Schiff, L.I. (1967): Comparison of theory and observation in general relativity. In: Relativity Theory and Astrophysics. I. Relativity and Cosmology, edited by Ehlers, J., American Mathematical Society, Providence

160. Seidelmann, P.K. (1985): Fundamental reference systems Past, present and future. Celestial Mechanics, 37, 199-207

161. Seidelmann, P.K. (1992): Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac, University Science Books, Mill Valley, California

162. Shahid-Saless, В., Ashby, N. (1988): Relativistic effects in local iner-tial frames including parametrized-post-Newtonian effects. Physical Review D, 38, 1645-1657

163. Soffel, M.H. (1989) Relativity in Astrometry, Celestial Mechanics and Geodesy, Springer, Berlin

164. Soffel, M. (1994): The problem of rotational motion and rigid bodies in the post-Newtonian framework, unpublished notes

165. Soffel, M., Klioner, S.A. (1997): Present Status of Einsteinian Celestial Mechanics. In: Reference systems and frames in the space era: present and future astrometricprogrammes, edited by Vondrak, J., Capitaine, N., Proceedings of Journées'1997, 27-31

166. Soffel, M., Klioner, S.A. (1998a): Zum gegenwärtigen Stand der Relativistischen Himmelsmechanik. In: 3. DFG-Rundgespäch 'Bezugsys-teme\ redigiert von Schneider, M., Mitteilungen des Bundesamtes für Kartographie und Geodäsie, Frankfurt am Main, 90-93

167. Soffel, M., Wu, X., Xu, Ch., Mueller, J. (1991): Consistent relativistic VLBI theory with picosecond accuracy, Astronomical Journal, 101, 2306-2310

168. Suen, W.M. (1986): Multipole moments for stationary, non-asymptotically-flat systems in general relativity. Physical Review D, 34(12), 3617 3632

169. Synge, J.L. (1960): Relativity: the General Theory North-Holland Publishing Company, Oxford (имеется русский перевод Синг, Дж. (1961): Общая теория относительности. Москва, ГИТТЛ)

170. Thorne, K.S. (1980): Multipole expansions of gravitational radiation. Reviews of Modern Physics, 52(2), Part 1, 299-339

171. Thorne, K.S., Hartle, J.B. (1985): Laws of motion and precession for black holes and other bodies. Physical Review D, 31(8), 1815-1837

172. Thorne, K., Giirsel, Y. (1983): The free precession of slowly rotating neutron stars: rigid-body motion in general relativity. Monthly Notices of royal Astronomical Society, 205, 809-817

173. Tulczyjew, W. (1959): Equations of Motion of Rotating Bodies in General Relativity Theory. Acta Physica Polonica, 18, 37-55. Errata, ibid., 535

174. Tulczyjew, В., Tulczyjew, W. (1962): On multipole formalism in general relativity. In: Recent Developments in General Relativity, Perg-amon Press, Oxford, 465-472

175. Voinov, A.V. (1988): Motion and rotation of celestial bodies in the post-Newtonian approximation. Celestial Mechanics, 42, 293-307

176. Voinov, A.V. (1990): Relativistic equations of motion of an Earth satellite. Manuscripta Geodaetica, 15, 65-73

177. Weinberg, S. (1972): Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. John Wiley & Sons, New York

178. Will, C.M. (1993): Theory and Experiment in Gravitational Physics, Cambridge University Press, Cambridge

179. Will, C.M. (1998): The Confrontation between General Relativity and Experiment: A 1998 Update. In: Lecture notes from the 1998 Slac Summer Institute of Particle Physics (available at http://xxx.lanl.gov/ps/gr-qc/9811036)

180. Will, C.M., Nordtvedt, K. (1972): Conservation Laws and Preferred Frames in Relativistic Gravity. I. Preferred-Frame Theories and an Extended PPN Formalism. Astrophysical Journal, 177, 757-774262

181. Wolf, P., Petit, G. (1995): Relativistic theory for clock syntonization and the realization of geocentric coordinate times. Astronomy & Astrophysics, 304,654-661

182. Xu, Ch., Wu, X., Schàffer, G. (1997): Binary systems with monopole, spin, and quadrupole moments. Physical Review D, 55(2), 528-539

183. Yahil, A., Tammann, G., Sandage, A., (1977): The Local Group The solar motion relative to its centroid. Astrophysical Journal, 217, Part 1, 903-915

184. Zhang, X.H. (1986): Multipole expansions of the general-relativistic gravitational field of the external universe. Physical Review D, 34(4), 991-1004